数学中的“有限与无限”的思想

案例评析中‘7般．7(2008年第5期高中版)15

一个从有限到无限的“思想实验"

321004浙江师范大学数学学院刘贯宇

著名数学家和数学教育家G波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学像一门系统的演绎科学；但从另一面看，创造过程中的数学，看起来却像一门试验性的归纳科学．”国家中小学课程标准明确要求“必须使学生形成勇于探索，勇于创新的科学精神”，“数学学习的内容应有利于学生从事主观的观察、实验、猜想、验证、推理、交流与实践创新”．在数学教学活动中，开展“数学实验”教学正是这些标准的体现．“数学实验”是指在数学教学过程中，针对要解决的问题，利用各种媒体或学生原有的认识基础，搭建一个合适的实验环境，进行必要的操作，从中得到启发，以便完成问题的解决．现代数学实验的本质特征是借助计算机等工具，在数学化的思维指导下，通过实际操作解决数学问题的实践．而在日常的数学教学工作中，没有计算机等“现代化武器”的“思想实验”更要引起我们的重视，因为这才更能体现数学本质．下面是对一节课外兴趣小组习题课的整理总络1教学内容已知定义在实数集R上的函数八嚣)满足：八1)=1：当算<0时，(茗)<0；对于任意的实数茗，，，都有厂(算+Y)=以互)+八，，)．(1)证明八戈)是奇函数；(2)若数列{Ⅱ。)满足条件：0

虽叭旦)=旦，正有理数得出以后，负有理数可，Ⅱm以照例推出．因此V石EQ，有以石)=航老师：耿进对于茹为有理数时的证明很到位．那么按照灵灵的说法，实数集是连续的，我们是否可以从这个方面来解决呢?刘淙淙：可以从极限的观点来证明．V善∈R，取有理数列(L)，使得lirar。=茹，从而f(石)=li-∥(L)=limr。=菇．樊斯斯：我看还是有点不足，严格来说还要证明八髫)的连续性．先证明以茹)是严格单调增函数，事实上，当口0，V菇∈R，取有理数c和d使得童一导

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范围是（一∞，ｑ　－］．　二　与该例类似的问题在各种期刊和教辅资料中均　

能见到，且解法与该例的“正确解答”相同．但笔者　

对上述解法存在不同看法．为方便说明现将有关教　

材中的内容摘录如下　

１．《初二代数》（人民教育出版社数学室编，　

１９８９年１２月第二版）设０＜ｂ，那么：１．不等式组　

９６＞。的解集是　＞６；２．不等式组｛　＜？的解集是　

＜。；３．不等式组ｆ　＞？的解集是口＜　＜６；４．不　Ｌ　＜ｂ　

等式组｛　、”的解集是空集．　ｔｘ＞ｂ　２．全日制普通高级中学数学教科书（必修）第　

一册（上）Ｐ　：设ｏ，６是两个实数，而且６１，＜６．我们　

规定：（１）满足不等式口≤　≤ｂ的实数　的集合叫做　

闭区间，表示为［１２，ｂ］；（２）满足不等式１２／，＜　＜６的　

实数　的集合叫做开区间，表示为（ｎ，ｂ）；（３）满足不　

等式０≤９６＜６或０＜　≤６的实数　的集合叫做半　

开半闭区间，分别表示为［口，ｂ），（ｎ，ｂ］．　

３．人教Ａ版新教材必修１与上述规定相同，这　里从略．　

４．全日制普通高级中学数学（必修）第一册　

（上）《教师教学用书》ｐ　：某些以实数为元素的集　

合有三种表示方法：集合表示法、不等式表示法和　

区间表示法．例如，大于３而小于７的实数的集合可　

表示为如下三种形式｛　ｌ　３＜　＜７｝，３＜ｘ＜７，　

（３，７）．对于具体问题，教材中并不要求固定采用哪　

种表示方法，可根据习惯或简明的原则来采用．　

由上述规定可知①｛　ｌ　ｏ＜　＜６｝，　＜　＜６，　

（ｏ，６）是同一集合的三种表示，②集合的三种表示　

方法的前提都是ｎ＜６．③若一个集合为｛　ｌⅡ＜　

＜６｝，意味着　＜６且｛　＞７．④空集是不能表示　Ｌ　＜ｂ　为上述三种中的任何一种形式．由此上例的“正确　

解答”是错误的，正确解答如下　

，ｎ一１≥一１　ａ≥０　

解　由题意得｛２１２—３≤４　所以｛口≤÷所　

一１≤２ａ一３　【口≥２　

１　１　以２≤０≤　／因此。的取值范围是［２，　／］．　

有限与无限的哲学

有限与无限是哲学中一个重要的概念对立。有限指的是有限制、有限度、有限量的事物，而无限则指的是无限制、无限度、无限量的事物。这两个概念在哲学中有着广泛的应用，涉及到宇宙、时间、空间、思维等方面。

一、宇宙的有限与无限

在宇宙的层面上，有限与无限的概念常常被用来讨论宇宙的大小和边界。在古代，人们认为宇宙是有限的，因为他们认为宇宙是一个封闭的球体，没有边界。但是，随着现代科学的发展，人们逐渐意识到宇宙是无限的，因为宇宙是不断膨胀的，没有边界。

二、时间的有限与无限

在时间的层面上，有限与无限的概念常常被用来讨论时间的长度和结束。在古代，人们认为时间是有限的，因为他们认为时间是一个循环的过程，没有终点。但是，随着现代科学的发展，人们逐渐意识到时间是无限的，因为时间是不断流逝的，没有终点。

三、空间的有限与无限

在空间的层面上，有限与无限的概念常常被用来讨论空间的大小和形态。在古代，人们认为空间是有限的，因为他们认为空间是一个封闭的球体，没有边界。但是，随着现代科学的发展，人们逐渐意识到空间是无限的，因为空间是不断膨胀的，没有边界。

四、思维的有限与无限

在思维的层面上，有限与无限的概念常常被用来讨论人类的认知能力和思维能力。在古代，人们认为人类的思维能力是有限的，因为人类只能认识到有限的事物。但是，随着现代科学的发展，人们逐渐意识到人类的思维能力是无限的，因为人类可以不断地探索和发现新的事物。

总之，有限与无限是哲学中一个重要的概念对立，涉及到宇宙、时间、空间、思维等方面。在不同的领域中，有限与无限的含义和应用也有所不同，但都是哲学思考的重要内容。

有限　限　或然与必然　数学思想岣考查　数学思想方法属方法范畴．但更多地带有思想、　观点的属性，属于较高层次的提炼与概括．在中学教　学与高考考查中，共识的数学思想有：函数与方程的　思想．数形结合的思想．分类与整合的思想，化归与　转化的思想．特殊与一般的思想．有限与无限的思　想．或然与必然的思想．本文主要说明的是，在高考　中对后两种数学思想的考查．　１．有限与无限的思想　数学研究的对象可以是特殊的或一般的，可以　是具体的或抽象的，可以是静止的或运动的．可以是　有限的或无限的，它们之间都是矛盾的对立统一．正　是由于对象之间的对立统一，为我们解决这些对立　统一的事物提供了研究的方法．有限与无限相比，有　限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于　对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可　循，并积累了一定的经验．而对无限个对象的研究，　却往往不知如何下手，显得经验不足．于是将对无限　的研究转化成对有限的研究，就成了解决无限问题　的必经之路．反之当积累了解决无限问题的经验之　后．可以将有限问题转化成无限问题来解决．这种无　限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是　有限与无限的思想．　在数学教学过程中，虽然开始学习的数学都是　有限的数学，但其中也包含有无限的成分，只不过没　有进行深入的研究．在学习有关数及其运算的过程　中，对自然数、整数、有理数、实数、复数的学习都是　研究有限个数的运算，但实际上各数集内元素的个　数都是无限的，以上数集都是无限集．对图形的研　究，知道直线和平而都是可以无限延展的．在解析几　何中，还学习过抛物线的渐近线，已经开始有极限的　思想体现在其中．学习了数列的极限和函数的极限　之后，使中学阶段对无限的研究又上了一个新台阶，　集中体现了有限和无限的数学思想．使用极限的思　想解决数学问题，比较明显的是立体几何中求球的　体积和表面积，采用无限分割的方法来解决．实际上　是先进行有限次分割，然后再求和求极限，我们认　为，这是典型的有限与无限数学思想的应用．　函数是对运动变化的动态事物的描述，体现了　变量数学在研究客观事物中的重要作用．导数是对　事物变化快慢的一种描述，并由此可进一步处理和　解决函数的增减、极大、极小．最大、最小等实际问　题．是研究客观事物变化率和最优化问题的有力工　具．通过学习和考查。可以体验研究和处理不同对象　所用的不同数学概念和相关理论以及变量数学的力　量．　高考中对有限与无限思想的考查才刚刚起步，　并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同　时考查有限与无限的思想．例如，在使用由特殊到一　般的归纳思想时，含有有限与无限的思想；在使用数　学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的是有　限与无限的思想，等等　随着高中课程的改革，对新　增内容的考查在逐步深入．必将加强对有限与无限　思想的考查，设计出重点体现有限与无限思想的新　颖试题．　倒ｌ（２００４全国￣－）ｈｍ｛　等于　（Ａ）＿｝　（Ｂ）１　（ｃ）詈　（Ｄ）｛　这是一道求函数极限的选择题，虽然比较容易，　解法也比较常规、简单，但其中所体现的数学思想却　是不容忽视的．求极限的问题，无论是求函数的极限　还是求数列的极限，无论是　—　。，还是　一∞，其　中体现的都是有限与无限的思想．　首先我们来看符号“　—ｌ”的意义，它表示　无　限趋近于１，但不等于１．表示出由有限向无限变化　的一种趋势，是有限与无限思想的体现．而符合　“ａｍ／（　）：ｏ”的意义则是，当自变量ｘ无限趋近于　ｌ时，函数值，（　）无限趋近于ａ的变化趋势，体现的　仍旧是有限与无限的思想．令　，，　、一　±　＝２一ｉ　＝　》【兰±２》　Ｊ、　一　２＋４　一５一（　—１）（　＋５）’　它的定义域为（一　，一５）Ｕ（一５，１）Ｕ（１，　＋∞）．　在这个定义域下．厂（　）的解析式可化简为　，（　）＝舞　它的图象如下图．　］　＿］　维普资讯 ２　：　ｉ　ｉ　｛　ｉ．．．—　ｉ　～　１　］　函数　）＝　磊　在　＝１处无定义，但　可以从　轴上点　＝１的左、右两边无限趋近于１，但　又不等于１，这时函数　（　）的值无限趋近于　１，于　是我们说，当　无限趋近于１但又不等于１时，函数　）＝　磊　的极限是吉，即　２　２　１．（　一１）（　＋２）　１．　＋２　１　ｌ￣ｔｘ２＋４ｘ－５　‘　虽然解答过程只是上面等式的三步过程，但其　中蕴含的却是由有限到无限的极限思想．求极限的　问题重点考查的就是有限与无限的数学思想．　例２（２００４年全国高考）求函数．厂（　）＝Ｉｎ（１＋　）一｛　在［ｏ，２］上的最大值和最小值．　为求函数．厂（　）在［０，２］上的最大值和最小值，　可先求出　）在（Ｏ，２）内的极大值或极小值，然后　再与　０）　２）的值相比较来确定．而求　）在（Ｏ，　２）内的极大值或极小值，则需要使用导数，由相关的　定理来解决．主要步骤是：　①求导数厂　（　）；　②求方程厂　（　）＝０的根；　③由．厂　（　）在方程根左右值的符号，确定　）　是否有极值，是极大值还是极小值．　本题中，　（　）＝‘　一　．　令·　一｛　＝ｏ，化简后得　＋　一２＝０，　解得　１＝一２（舍去），　２＝１．　当Ｏ≤　＜１时，ｆ　（　）＞Ｏ，．厂（　）单调递增；　当１＜　≤２时，ｆ　（　）＜Ｏ，　）单调递减．　所以　１）＝ｌｎ２一　为函数　）的极大值．　又因为　０）＝Ｏ，　２）＝ｌｎ３—１＞Ｏ，　１）＞　２）．　所以．厂（０）＝０为函数．厂（　）在［Ｏ，２］上的最小值，　厂（１）＝ｌｎ２一　１为函数厂（　）在Ｅｏ，２］上的最大值．　本例是从求函数的导数，判断函数的单调性，求　函数极值的角度考查有限与无限的思想．尤其是研　究函数的极值，在极值的定义中对极值的描述从另　个角度体现出有限与无限的关系：“一般地，设函　数　）在点　０附近有定义，如果对　０附近除　０外　的所有的点　，都有　）＜　０），我们就说　Ｘ０）是　函数．厂（　）的一个极大值，”在以上文字描述中的“附　近”和“所有”都含有有限与无限的辩证关系．首先　“附近”就是个模糊的概念，多近才叫附近？用“要多　近有多近”来理解也是形象的生活语言．实际上，这　里所言的“附近”只有用极限的思想，用由有限到无　限的观点去领悟才能理解其真谛．同样，“所有”也很　含糊．由“所有的点”组成的集合是个无限集，不可能　将它们一一取出进行研究．因此，这里的“所有”也体　现出无限与有限的关系．由此可以看出，极值概念的　本身就充满着有限与无限的辩证关系．高考试题就　是从概念和方法出发，考查蕴含其中的数学思想和　方法．　２．或然与必然的思想　世间万物是千姿百态、千变万化的，人们对世界　的了解、对事物的认识是从不同侧面进行的，人们发　现事物或现象可以是确定的，也可以是模糊的，或随　机的．为了了解随机现象的规律性，便产生了概率论　数学分支．概率是研究随机现象的学科，随机现象有　两个最基本的特征，一是结果的随机性，即重复同样　的试验，所得到的结果并不相同，以至于在试验之前　不能预料试验的结果；二是频率的稳定性，即在大量　重复试验中，每个试验结果发生的频率“稳定”在一　个常数附近．了解一个随机现象就是，知道这个随机　现象中所有可能出现的结果，知道每个结果出现的　概率．知道这两点就说对这个随机现象研究清楚了．　概率研究的是随机现象，研究的过程是在“偶然”中　寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”　的问题，这其中所体现的数学思想就是或然与必然　的思想．　随着新教材的实施，高考中对概率内容的考查　已放在了重要的位置．通过对教学中所学习的等可　能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独　立事件同时发生的概率、ｎ次独立重复试验恰有｜ｊ｝　次发生的概率、随机事件的分布列与数学期望等重　点内容的考查，在考查考生基本概念与基本方法的　同时，考查在解决实际应用问题中或然与必然的辩　证关系，体现或然与必然的数学思想．　例１（２００４年全国高考）从１，２，…，９这九个数　中，随机抽取３个不同的数，则这３个数的和为偶数　的概率是　Ｃ　１１　１ｎ　（Ａ）　（Ｂ）　（ｃ）　１１　（Ｄ）　本题是一个求等可能事件的概率问题，可以直　接通过分析计算其概率．如果一次试验中共有ｎ种　等可能的结果出现，其中事件　包含的结果有ｍ　种，那么事件　发生的概率Ｐ（Ａ）是　．从集合的角　度看，