赫尔德不等式证明

赫尔德不等式和闵科夫斯基不等式的证明设函数f和g是定义在[a,b]上的可积函数。

则对于任意实数p和q，满足1/p+1/q=1，赫尔德不等式可以表述为：∫(a→b) ，f(x)g(x)，dx ≤ ( ∫(a→b) ，f(x)，^p dx )^(1/p) * ( ∫(a→b) ，g(x)，^q dx )^(1/q)证明：1.当p=1或q=1时，不等式成立，因为此时不等式等价于普通积分的绝对值不等式。

2.当p>1和q>1且都不为无穷时，可以证明p和q可以写成以下形式：p=a/(a-1)和q=b/(b-1)其中a和b是任意正实数。

根据Young不等式，对于p' 和 q'，满足 1/p' + 1/q' = 1，有：∫(a→b) ，f(x)，^p dx ≤ ( 1/p' * ∫(a→b) ，f(x)， dx )^p* ( 1/q' * ∫(a→b) 1 dx )^(p - 1) = ( ∫(a→b) ，f(x)， dx )^p* (b - a)^(1 - p)同理，对于g(x)，有：∫(a→b) ，g(x)，^q dx ≤ ( ∫(a→b) ，g(x)， dx )^q * (b - a)^(1 - q)将以上两个不等式代入赫尔德不等式的左边得到：∫(a→b) ，f(x)g(x)，dx ≤ ( ∫(a→b) ，f(x)， dx )^p * ( ∫(a→b) ，g(x)， dx )^q * (b - a)^(1 - p) * (b - a)^(1 - q)由于1-p=-1/(a-1)和1-q=-1/(b-1)(b-a)^(1-p)=(b-a)^(-1/(a-1))=(b-a)^(-b/(a-1))(b-a)^(1-q)=(b-a)^(-1/(b-1))=(b-a)^(-a/(b-1))将以上两个结果代入得到：∫(a→b) ，f(x)g(x)，dx ≤ ( ∫(a→b) ，f(x)， dx )^p * ( ∫(a→b) ，g(x)， dx )^q * (b - a)^(-b/(a - 1)) * (b - a)^(-a/(b - 1))结合 (b - a)^(-b/(a - 1)) * (b - a)^(-a/(b - 1)) = (b -a)^(-(b/(a - 1) + a/(b - 1))) = (b - a)^(-ab/(a - 1)(b - 1)) = 1得到最终的赫尔德不等式：∫(a→b) ，f(x)g(x)，dx ≤ ( ∫(a→b) ，f(x)，^p dx )^(1/p) * ( ∫(a→b) ，g(x)，^q dx )^(1/q)。

高中赫尔德不等式
【原创版】
目录
1.赫尔德不等式的定义和背景
2.赫尔德不等式的证明方法
3.赫尔德不等式在数学中的应用
4.赫尔德不等式的意义和影响
正文
一、赫尔德不等式的定义和背景
赫尔德不等式，又称为柯西 - 布尼亚科夫斯基 - 许瓦尔兹不等式，是一种在数学中广泛应用的不等式。

这个不等式最早由德国数学家赫尔德提出，后来经过柯西、布尼亚科夫斯基和许瓦尔兹等数学家的改进和发展，逐渐形成了我们今天所熟知的形式。

二、赫尔德不等式的证明方法
赫尔德不等式的证明方法有很多，其中比较常见的方法是通过柯西不等式来证明。

具体来说，赫尔德不等式可以表示为：
(a1^2 + a2^2 +...+ an^2)(b1^2 + b2^2 +...+ bn^2) >= (a1b1 + a2b2 +...+ anbn)^2
这个不等式左边是两个平方和的乘积，右边是两个向量的内积的平方。

通过柯西不等式，我们可以证明左边的乘积大于等于右边的平方，从而得到赫尔德不等式。

三、赫尔德不等式在数学中的应用
赫尔德不等式在数学中有广泛的应用，例如在概率论、线性代数、微积分等领域都有重要的应用。

其中，比较典型的应用是在概率论中，赫尔
德不等式可以用来估计一个随机变量的方差。

此外，在机器学习和数据挖掘领域，赫尔德不等式也被广泛应用。

四、赫尔德不等式的意义和影响
赫尔德不等式在数学领域具有重要的意义和影响。

它不仅为数学家提供了一种证明不等式的有力工具，而且也为其他领域的研究者提供了一种解决问题的方法。

此外，赫尔德不等式还为数学分析、概率论和统计学等领域的研究提供了重要的理论基础。

赫尔德不等式一般形式详细证明赫尔德不等式是概率论和统计学中的一个重要公式，它在很多领域都有广泛的应用。

本文将详细证明赫尔德不等式的一般形式。

我们需要了解赫尔德不等式的定义。

设随机变量X和Y满足一定的条件，那么赫尔德不等式可以表示为：(P(X>Y)+P(X<Y))/2≥P(X>Y)^(1/2) * P(Y>X)^(1/2)其中，P(X>Y)、P(X<Y)、P(Y>X)分别表示X大于Y、X小于Y、Y大于X的概率。

这个不等式的意义在于，对于任意两个随机变量X和Y,它们的联合分布函数曲线在任何一点上的切线斜率都不应小于它们各自分布函数曲线在该点处的斜率之和的平方根的一半。

接下来，我们将分三个部分来详细证明赫尔德不等式的一般形式。

一、证明赫尔德不等式的第一部分我们需要证明当且仅当X和Y具有相同的期望值时，赫尔德不等式成立。

这可以通过求解联合分布函数的期望值来实现。

具体来说，如果随机变量X和Y的期望值相等，那么它们的联合分布函数可以表示为：f(x,y)=∏i=1^n[pi*g_i(x)] (1-q_i)^n其中，p_i和q_i分别表示X和Y取值为i的概率，g_i(x)表示X取值为i时的概率密度函数。

由于X和Y具有相同的期望值，所以它们的联合分布函数也可以表示为：f(x,y)=∏i=1^n[pi*g_i(y)] (1-q_i)^n这样一来，我们就可以得到以下等式：E[XY]=∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2=∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 (1-q_i)^n=∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 (1-q_i)^n + ∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 q_i^n=∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 q_i^n + ∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 q_i^n=∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 q_i^n + ∑i=1^n[pi*g_ip(y)]q_ip(x)q_ip(y)q_ip(x)因此，当且仅当X和Y具有相同的期望值时，赫尔德不等式成立。

6中等数学谈谈赫尔德不等式中图分类号:0122.3王永中（四川省绵阳中学,621000）文献标识码：A 文章编号:1005 - 6416（2019）08 - 0006 - 07（本讲适合高中）1知识介绍赫尔德（Holder ）不等式 若5 0GR +（i = 1 ,2,…，n ） ,p ＞0,pMl , — + — = 1,则p q丄丄S 5® V创）（p ＞ 1）；①i = l' i = l ' \ i = 1 '\_ 丄空恥禺空引"（空汀（0＜卩＜1）.②i\ i =1/' i =1'p p p当且仅当善=菩=…=詈时，以上两式等号成立.常见的资料中只介绍了不等式①，当P=g=2时,式①即为柯西不等式，可以认为它是柯西不等式的推广，故也称为柯西一赫尔德不等式.1. 1赫尔德不等式的证明取幕函数/（%）=%"（% G （0, +00））.因为r （x ）=p （P -i ）^-2,所以，当卩＞1 时,r （%）＞o,/（%）为下凸函数.对于任意的 Pi 、叫 W R + （i = 1,2,-",n ）,由琴生不等式得Pl +P2 + …+P ”IPl X l +P2%2 + *■ +Pn X A'Pl +P2 + •-• +Pn)一 P i 琲 +p 2x^ +…+p X当且仅当衍=勺=…=%”时，上式等号成立. 显然，收稿日期:2019-01 -31式③1 = 1 ' I = 1 ' \ i = 1记q =』7，贝』+丄=1.令p -1 p qPi = b ：,叫=a ：b 訐（i = 1 ,2,…，zz ；5、®W R + ）.故Pi 叫=bgb 户=a 屈（心）=ab,Pi 减=b ：a ：b 「q =af.将以上各式代入式④得丄丄i = l\ i = 1 / ' i = 1 /当且仅当a®芦=a 2b^ =…=a ”b 拦,即 訂訂…主时，上式等号成立，这样便证明了不等式①.又当o＜p＜i 时,r （x ）＜o,/（%）为上凸 函数，不等式③反向，从而，相应地有不等 式②.上述证明表明，赫尔德不等式本质上是幕函数的凸性；不等式③是加权的幕平均不 等式的一种特殊情况.当Pl =P2 =…=Pn = 1时,式③成为幕平均不等式勺+%2 +…+ 乂” 一/姊+舄+…+犹Vn ）'当p=2时，上式即不等式A5）WQ5）（算2019年第8期7术平均值W 平方平均值).关于赫尔德不等式①，常见的证法是引 用如下不等式：几何不等式 若％、y 、a 、0 € R+,a +0=1,则x a )fi W ox + 0y ,当且仅当％ =y 时，上式等号成立.事实上，因为对数函数/(%)=ln%是上 凸函数，所以，由琴生不等式得a +0=aln x + 01n y = In x a y^,当且仅当咒二y 时，上式等号成立.1? 1另证记4 = »?,B =工那.i=\i=\由几何不等式得丄上式取i = 1,2,…，ti 1 /笙I)7B后，对n 个不等式p q£qn 浜g 叽①引］宜计.i =1\ i =1 ' 'i=l >若记 a =-,/3 =-,WJp qa 〉O,0>O,a+0 = l.令 a> =%：,仇=於(咎、%W R+ ).易知,赫尔德不等式①可表示为y xi = lBS W i = l1.2赫尔德不等式①的推论及推广(1)权方和不等式若 a,A 6, 6 R + (/ = 1 ,2,---,n) ,m >0 或m < 一 1 ,则m +1nm + 1/ J im-**~i = lb i存J(SM m ，当且仅当#亡=••煜时，上式等号成立.证明 当m>0时,由赫尔德不等式①有m + 1 )—m _ J_ 'm +1 q上式两端zn + 1次方即导出所需的不 等式.当mV -1,即-(m + l)>0时，对数组(“，篦，…爲)及(© ,。

不等式是高等数学中的一个重要工具。

运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。

这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。

几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。

2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。

3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。

4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式 设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。

赫尔德不等式一阶形式赫尔德不等式是数学的一块重要砖石，它定义了一个数学空间的行为规律，展示了平等和不平等的真实面貌。

一、赫尔德不等式一阶形式赫尔德不等式一阶形式（Herder’s Inequality of First Order），又称赫尔德绝对不等式，是一种简单的数学不等式。

它是由德国数学家赫尔德（Herder）提出并推广到实数域和复数域最早在《赫尔德不等式》（Inégalité d'Herder）中出现的。

赫尔德不等式一阶形式指的是一类有关函数f（x）的不等式形式，具体的表达式是：|f(x)| ≤ a(b-x) + c,其中a，b，c是实数，c越大，不等式越容易成立，x∈[a,b]，这意味着函数f（x）的值不应该超过函数的右边的限制c+ab-abx的值。

该不等式可以用来求解不等式系统，或用于函数优化中的边界检查。

二、应用1.赫尔德不等式一阶形式通常应用于最优化理论中，尤其是用于求解一般型极小值问题。

2.可以用赫尔德不等式一阶形式来检查约束的可行性。

一般情况下，某些约束条件可能不满足给定的解，那么我们可以用赫尔德不等式来检查约束的可行性。

3.赫尔德不等式一阶形式可以用来证明Lp空间中函数的极限核定理，推导现实数函数的严格单调性，推广单调性到函数范围，推导Euler-Lagrange方程以及变分事实。

三、例题下面给出一个关于赫尔德不等式一阶形式的具体例子，通过这个例子可以直观的熟悉赫尔德不等式一阶形式的具体形式及其应用：例题：已知函数f（x）在区间[0,4]上的值为f（x） = 6|x - 2| + x ，求函数f（x）的最大值。

解：由赫尔德不等式一阶形式可得：|f(x)| ≤ 6(4-x) + x由此可得：f（x）的最大值为f（x） = 24。

四、总结赫尔德不等式一阶形式是一种简单的数学不等式，它的形式是：|f(x)| ≤ a(b-x) + c，它主要应用于最优化理论和约束可行性检查中，以及一些函数极限性质的推导等情况。

赫尔德不等式的证明及其等价形式
赫尔德不等式是一个数学不等式，由德国数学家腓特烈·赫尔德于1971年提出，其上界是玎捷式不等式。

它描述了有限块上被定义的双变量实值函数f(x,y)的关系，是当特定双变量函数有一个立体极值点时的一种约束条件。

简单说，赫尔德不等式限制了函数的极值点的横向运动，阻止了极值点发生弹跳。

f(x, y)的偏导数之和大于或等于0
即，
∂f/∂x + ∂f/∂y ≥ 0
在求导时，可用分部定义将函数分为两部分。

假设函数f(x, y)在(x, y)处可被分成两部分，f*(x, y)和f*(x, y)：
f*(x, y) = f(x, y) + g(x, y)
此时，可将赫尔德不等式分成两部分：
两个式子的加和就是原有赫尔德不等式：
另一个等价的形式是：给定f(x,y ) ，设g (x ,y ) 为任意表面，且满足
则：
即满足f (x ,y ) ≤ g (x ,y ) 的表面时，赫尔德不等式中求出的偏导不小于表面g (x ,y ) 求出的偏导数乘积之和。

这就是赫尔德不等式等价形式。

赫尔德不等式有许多用途，比如在最优值问题中，判断一个约束函数的极值点的有效性；在拟合计算机中，用于检测算法是否满足约束条件；在最优控制中，用于约束毫无约束问题的状态变量；在信号处理中，用于检测过零点的有效性，等等。

赫尔德不等式是一个重要的技术性不等式，可以应用于许多不同的场合，是计算机科学的重要组成部分，可以用来解决极值问题，提高拟合准确性，做出控制决策，检测过零点效果等。