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七年级数学人教版上导学案：4.3.2 角的比较与运算七年级数学人教版上导学案：4.3.2角的比较与运算专题8编制:彭泉松审核:德育目标：学习目标：学习重点：学习难点：学习过程：I.课堂介绍：（知识复习）二、自学教材学生自学课本p122探究34.3.2角度比较和计算教学目标:1、在现实情境中，运用类比的方法，学会比较两个角的大小，?丰富对角的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系．2.通过动手操作，学会在三角形板的帮助下拼出不同角度，？知道角的平分线和角的平分线，并能画出角的平分线3、进一步培养和提高学生的识图能力和动手操作的能力，认识类比的数学思想方法．4.能够在绘画、拼图等数学活动中发挥积极作用，体验数学活动的成功经验，激发学生的学习热情重点：比较角的大小，认识角的大小关系，分析角的和差关系，?认识角平分线及画角平分线难点：认识复杂图形中角的和差关系，比较两个角的大小教学过程一、引入新课教师活动：在黑板上画一个三角形。
（如右图所示）1。
提问：比较图片中线段AB、BC和Cd的长度学生活动：回顾线段长短的比较方法．小组交流，得出适当的比较线段长短的方法．Cab教师活动：总结学生的讨论结果，演示用圆规比较AB、BC和CD长度的过程，并写出结论：AB>AC>BC2、提出问题：怎样比较图中∠a、∠b、∠c的大小？学生活动：分组交流和比较方法，并得出结论：用量角器测量角度，然后比较其大小。
教师活动：（1）明确评估学生提出的方法，并手动测量学位，？比较它们的大小，黑板书写结论：∠ C>∠ b>∠ A.（2）启发和引导学生比较线段的长度，？它们也可以堆叠在一起以比较大小。
第二，教授新课程1、提出问题：如何用叠合的方法比较角的大小？学生活动：小组交流和讨论，动手操作：每个学生在透明纸上画一个角，然后剪掉角，与小组中其他学生画的角进行比较，总结比较方法和结果，然后观看多媒体演示角的比较过程教师活动：巡视并指导学生进行角的比较活动过程，打开多媒体演示角的比较过程：把一个角移到另一个角上，顶点与一条边重合；两个角的另一边都在重合边的同侧．观察这两边的位置关系，就能得出两个角的大小关系．注：讲解过程应强调操作过程，使学生掌握角度比较的操作过程。
精品基础教育教学资料，请参考使用，祝你取得好成绩！第四章几何图形初步4.3 角4.3.1 角学习目标：1. 理解角的两种定义和相关概念，掌握角的表示方法.2. 会正确使用量角器测量角的大小.3. 认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算.重点：理解角的两种定义，掌握角的表示方法，认识角的单位.难点：会进行度、分、秒之间的换算.一、知识链接1. 回忆小学所学的知识，说一说什么是角？2. 直角、平角、周角各是多少度？二、新知预学观察角的图像，你能归纳出角的特点吗？尝试去描述一下角是由什么组成的图形？要点归纳：有公共端点的两条_______组成的图形，叫做角.这个公共端点叫做角的__________,两条___________叫做角的两条边.三、自学自测判断下列哪些图形是角四、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________自主学习课堂探究教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT讲授1.情境引入（见幻灯片3）一、要点探究探究点1：角的概念及表示方法问题1 有哪些方式可以表示如图所示的角？问题2 下图中有哪些角？如何表示？还能用∠O表示∠AOB吗？要点归纳：角的表示方法：①用一个大写字母表示，该大写字母表示的点为顶点；②用三个大写字母表示；③用一个数字或一个小写希腊字母表示.注意：①当两个或两个以上的角共同一个顶点时，不能用一个大写字母表示；②当用三个大写字母表示角时，必须把顶点字母放在中间；③用数字或希腊字母表示角时，一定要在图形中用角弧标出.思考：角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. 如图，射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？针对训练1. 图中有个角，你能将它们表示出来吗？2.下列说法正确的是( )A. 平角是一条直线B. 一条射线是一个周角C. 两条射线组成的图形叫做角D. 两边成一直线的角是平角3.填写下表，将图中的角用不同方法表示出来.教学备注2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-13）1.用一个大写字母表示：∠_____2.用三个大写字母表示：∠_____或∠_____3.用一个小写希腊字母或数字表示：∠_____图中的角有_______________________________________________________________________________.___________（填“能”或不能）用∠O表示∠AOB.探究点2：角的度量思考：怎么知道这个角的大小？知识要点1周角＝°；1平角＝°.1°＝′；1′＝″.例1 计算(1) 57.32°= °′″；(2) 17°6′36″= °.方法总结：由度转化为度分秒的形式，按1°＝_____′，1′＝_____″，先把度化成分，再把分化成秒. (小数化整数)；由度分秒转化为度的形式，按1″＝_____′，1′＝_____°先把秒化成分，再把分化成度. (整数化小数)例2 如图，时钟显示为10：10时，时针与分针所夹角度是( )A．90°B．100°C．105°D．110°针对训练1.计算：（1）5°＝′＝″；（2）38.15°＝°′；（3）36″＝′=°；（4）38°15′＝°.2.时钟显示为9：30时，时针与分针所夹角度是_________°.二、课堂小结1. 下列语句正确的是( )A. 两条直线相交，组成的图形叫做角B. 两条有公共端点的线段组成的图形叫做角当堂检测教学备注配套PPT讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片14-19）4.课堂小结教学备注配套PPT讲授5.当堂检测（见幻灯片20-25）C. 两条有公共点的射线组成的图形叫做角D. 从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角2. 下列说法不正确的是( )A. ∠AOB的顶点是OB. 射线BO，AO分别是∠AOB的两条边C. ∠AOB的边是两条射线D. ∠AOB与∠BOA表示同一个角3. 甲、乙、丙、丁，四名学生在判断钟表的分针和时针互相垂直的时刻时，每人说了两个时刻，说法都对的是（）A．甲：“3时整和3时30分”B．乙说“6时15分和6时45分”C．丙说“9时整和12时15分”D．丁说：“3时整和9时整”4. 判断(1) 直线是一个平角( )(2) 如图①，点P不在∠AOB的内部( )(3) 如图②，∠ABC与∠DBE是同一个角( )5.如图所示：(1) 图中共有多少个角？请写出能用一个字母表示的角；(2) 把图中所有的角都表示出来.6. 38°15′和38.15°相等吗？如不相等，请说明它们的大小关系.能力提升：7. (1) 如图∠AOB内部画1条射线，问图中一共有多少个角？如果是画2条、3条呢？(2) ∠AOB内部画99条射线，问图中一共有多少个角？如果是(n－1) 条呢？教学备注温馨提示：配套课件及全册导学案WORD版见光盘或网站下载：**(无须登录，直接下载)。
一.知识链接: 1.如右图：AB = — , BC = — , AC = + ； 若AC= 5，AB= 2，则BC = 。
2. 1°= ′， 1′= ″，1°= ″1′= ° ，1″= ′，1″= °二.新知初探：1.如右图：1）图中有三个角，请你分别表示出来：∠ ，∠ ，∠ 。
2)请你类比线段的和差，用等式表示这几个角的关系吗？∠ =∠AOC + ∠ ，∠BOC =∠ — ∠ ，∠AOC =∠ — ∠ 。
3)如果∠AOC =23°，∠BOC =37°，则∠AOB = °2.如图：已知∠1 = 103°24′28″，∠2 = 30°54″， 求∠1＋∠2和∠1—∠2的度数。
解：∠1＋∠2= 103°24′28″＋30°54″= ∠1＋∠2= 103°24′28″—30°54″ =总结：角的和差计算应该注意：① 的加或减（即度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减）；②加法结果，分或秒大于60时要 ，减法运算时，被减数分或秒不够减时要 。
3.如图1，射线OA 表示一艘轮船的航线。
经测量， 射线OA 和表示正北方向的射线的夹角为60°，我们把这艘轮船航行的方向描述为：北偏东60°。
在图中，从点O “南偏东45°”方向的射线。
4、电视塔在学校的北偏东32°，则学校在电视塔的 。
三、能力提升如图2，甲、乙、丙三艘轮船从港口O 出发，当分• • • CA B 2 1103°24′28″ ＋ 30° 54″ 103°24′28″ — 30° 54″A 北东 西 南 O 图1别行驶到A ，B ， C 处时，经测量得，甲船位于港 口的北偏东43°45′方向，乙船位于港口的北偏东76°35′方向，丙船位于港口的北偏西43°45′方向。
角的比较与运算班级：_____________姓名：__________________组号：_________第一课时一、回顾旧知1．线段的大小比较有哪些方法？2．如何使用量角器量出一个角的度数。
（自己动手画一个角，再量出它的度数）巩固：（1）度分秒的互化①57.3 = 度 分；②17°30′= 度。
（2）如图，图中共有 个角？用符号表示出来。
二、新知梳理1．角的比较（1）与线段长短的比较相类似，比较两个角的大小有2种方法：方法一为： ；方法二为：________________学前准备（2）右上图中角之间的关系：填空：∠AOB=____+_____；∠BOC=_______－____2．探究：借助三角尺画出15°，75°的角。
一副三角板的各个角分别是多少度？学生尝试画角。
你还能画出哪些角？具有什么规律的角可以用三角板画出来呢？三、试一试1．如图所示：（1）∠DAB=∠DAC+ 。
（2）∠ACB=∠DCB － 。
2．如图2，已知点A 、O 、B 在一直线上，∠COD=90°，那么∠1+∠2= 。
3．如图∠AOC ＝53°17′，求∠BOC 的大小。
通过预习你还有什么困惑？A B CO一、新知探究1．角的大小的比较方法。
2．角平分线的定义以及符号语言的表示。
二、精练反馈A 组：1．已知如图：直线AB 和CD 相交于点O ，若∠AOD=5∠AOC ，则∠AOC= 。
∠BOC=。
B 组：2．把一个180°角6等分，每一份是多少度的角？那么把一个周角7等分，每一份的角度是多少？三、课堂小结1．角的大小的比较方法有哪些？2．角平分线是怎么定义的？3．通过这节课的学习，你有哪些收获？四、拓展延伸（选做题）已知，∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC 的度数是______________。
课堂探究【答案】【回顾旧知】1．答：①测量法②叠合法2．略（1）57 18 17.5（2）6答：∠AOB，∠BOC，∠COD，∠AOC，∠BOD，∠AOD【新知梳理】1．（1）用量角器量出角的度数再进行比较；叠合法∠AOC ∠COB ∠AOB ∠AOC2．答：90°，30°，60°，45°答：30°，45°，60°，90°，105°，120°，135°，150°，165°15°的整数倍的角可以用三角板画出来。
新人教版七年级数学上册《角的计算》导学案一、学习目标（1）.会进行度、分、秒间单位互化及角的和、差、倍、分计算（重点）（2）通过在图片、实例中找角，培养学生的观察、探究、抽象、概括的能力以及把实际问题转化成数学问题的能力。
（难点）二、学习过程：（一）自主学习角的单位有（）（）（），1°=（）′=（）″1.度，分，秒加法：32°+15°=_________，16′+35′=___________ , 32°16′+15°35′=___________ 45″+38″=____________=______________2．度、分、秒减法：32°-15°=___________， 32°16′-12°30′=___________，180°- 53°17′=___________ 3．度、分、秒乘法：11°19′×3=____________°57′ 11°15′×4=______________=________________4．度、分、秒除法：32°42′÷2=_____________ ; 32°÷3=30°_________÷3=____________;自我评价：小组评价：家长评价：教师评价：我的问题是：。
合作探究探究一：用“度分秒”来表示：8.31度=__________ 度__________分__________ 秒．探究二：（1 ）12.42°=_________° _________′″2若∠A=20°18′，∠B=20°15′30〞，∠C=20.25°，则（）错误！未找到引用源。
A、∠A＞∠B＞∠C 错误！未找到引用源。
初一数学教学案 班级 姓名 期末复习＜角＞ NO :10321M D C B A21A A 1BOBA1B OCA B OC DA1BOD 角【教学目标】1．理解角的概念，会比较角的大小，会用量角器画一个角等于已知角．2．掌握角的度、分、秒的换算，会计算角度的和、差、几倍、几分之一．3．掌握角平分线的概念，理解互补、互余的概念，理解它们的性质；掌握几何图形的表示法，会用符号表示学过的几何图形．【知识点梳理】知识点1：角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看成是一条射线绕着端点从起始位置旋转到终止位置所组成的图形．射线起始位置称为角的始边，终止位置称为角的终边．射线旋转时经过的平面部分称为的角的内部．平面其余的部分称为外部．角的表示方法 【典例指导】例1(1)判断：由两条射线组成的图形叫做角． （ ）(2)如图所示，判断下列说法对不对，不对的应怎样改正？①∠1就是∠A ；②∠2就是∠B ；③∠3就是∠C ． 知识点2：角度的度量与角的简单性质 角的度量单位是度、分、秒,它们为60进制,即1°=60′,1′=60″,也常用1′=⎪⎭⎫⎝⎛601°,1″=⎪⎭⎫⎝⎛601′ 例21．用度、分、秒表示13.25︒为 ． 用度表示383242'''︒为 ．2．计算： （1）23452415''︒+︒； （2）903541'︒-︒；（3）1536186'''︒⨯； （4）10923183'''︒÷．知识点3：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角；如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等． 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 表示：∵射线OC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC=21∠AOB 例3 ①已知一条射线OA ，若从点O 再引两 条射线OB 、OC ，使60AOB ∠=︒， 20BOC ∠=︒求AOC ∠的度数．②如图，已知AOB 为一直线，OC 为任意一条射 线，OD 平分∠BOC ， OE 平分∠AOC ． ⑴试判断OD 与OE 的位置关系， 并加以说 明．⑵写出∠1的余角和补角．知识点4：物体运动方向与正南（或正北）方向之间的夹角称为方位角．如：“北偏东30°”“南偏东25°”．例4 如图1所示，下列说法 中错误的是 （ ） A.OA 的方向是北偏东40︒ B.OB 的方向是北偏西15︒ C.OC 的方向是南偏西30︒D.OD 的方向是正东南方向知识点5：角的画法1.借助于三角尺；2.借助量角器；3.尺规作图． 例5 ⑴已知∠1和∠2（∠1＞∠2）如图所示． 求作：①∠1+∠2；②∠1－∠2.③用一副三角尺可以作出大于0°而小于180°的角的度数是 ．【课堂操练】1．下列说法正确的有 ．（1）用2倍放大镜看一个20º的角，看到的角是 40º． （2）角的边越长,角越大;（3）角是由两条射线组成的图形;（4）角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.2．下列4个图形中,能用∠1,∠AOB ,∠O 三种方法表示同一角的图形是( )3．书店、学校、食堂在平面上分别用点A 、 B 、C 来表示，书店在学校的北偏西30︒， 食堂在学校的南偏东15︒，则平面图上的 ABC ∠应该是（ ）A ．65︒B ．35︒C ．165︒D ．135︒ 4．利用一副三角板，能作出大于0︒而小于90︒的角共有（ ）A ．13个B ．11个C ．5个D ．4个 5．如果90αβ∠+∠=︒，而β∠与γ∠互余，那么α∠与γ∠的关系是（ ）A ．互余B ．互补C ．相等D ．不能确定 6．互为余角的两个角的比1﹕2，则这两个角分别是_____．7．一个角的补角是130︒，则这个角的余角是_____度．8.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平 分∠AOD ，∠FOC =90°，∠1＝30°． 求∠2和∠3的度数．9．如图，已知AOB 是一条直线，OC 是∠AOD 的平分线，OE 是∠BOD 的平分线． （1)若∠AOE =140°，求∠AOC 及∠DOE 的度数． (2)若∠EOD ︰∠COD =2︰3，求∠COD 及 ∠BOC 的度数．【课后自测】1．图中角的表示方法正确的个数有（ ）M D C B AA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在AOB ∠的内部任取一点C 作射线OC ，则一定成立的是 （ ） A.AOB ∠AOC >∠；B.AOC ∠>BOC ∠ C.AOC ∠=BOC ∠；D.AOC BOC ∠<∠ 3．以∠AOB 的顶点O 为射线端点，在∠AOB 的内部画出3条射线，在所成的图形中角的总个数是 （ ） A.4 B.6 C.8 D.10 4.若， 则 （ ）A ．∠A >∠B >∠C B ．∠B >∠A >∠CC ．∠A >∠C >∠BD ．∠C >∠A >∠B5．下列说法中错误的是 （ ）A ．两个互余的角都是锐角B ．钝角的角平分线把钝角分为两个锐角C ．互为补角的两个角不可能都是钝角D ．两个锐角的和必定是直角或钝角 6．下列说法中，正确的是 （ ） A ．两个互补的角中必有1个是钝角 B ．一个锐角的余角一定小于这个角的补角 C ．一个角的补角一定比这个角大 D ．一个角的补角一定比这个角小 7．如图所示，OB 是AOC ∠ 的平分线，OD 是COE ∠的 平分线，如果80AOC ∠=︒， 50COE ∠=︒，那么 BOD ∠=_____． 8.下列语句正确的是( ) A.一条直线可以看成一个平角.B.周角是一条射线.C.角是由一条射线旋转而成的.D.角是由公共端点的两条射线组成的图形.9．互补的两角之差是28︒，则其中一个角的余角是_____．10.如图，已知 78AOC BOD ∠=∠=︒， 35BOC ∠=︒，则AOD ∠的度数是_____． 11．把26．29°化为度分秒表示的形式 ．50°65′60″化成用度表示的形式 ．12.在时刻8：30，时钟上的时针和分针之间的夹角度数是 ． 13.A 看B 的方向是北偏东50︒，则B 看A 的方向是_____．14. A 、B 、C 分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南偏东25°，小红家在小明家正东，小红家在学校北偏东35°，则∠ACB 等于．15.如图，如果∠1与∠2互为余角，并且 ∠2=∠3，则OF 与OD 的关系是 ．16. 如图所示，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在直钢（1）截取的缺口是 度．17．写出如图中能表示的角.18．一个角的余角比它的补角的31还少12°,求这个角的度数．19．如果一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角．20．计算⑴90°-16°34′28″； ⑵22°36′+18°42′；⑶18°21′13″×6； ⑷31°56′÷2. 21． ∠AOB 的度数是80°，过Ｏ画射线OC ，OD 、OE 平分∠AOC 、∠BOC ,求∠EOD 的度数． 22．已知∠BOC 在∠AOB 的外部, OE 平分 ∠AOB , OF 平分∠BOC , OD 平分∠AOC , ∠AOE=30°, ∠BOD=20°,试求∠COF 度数.23. 如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB , ⑴若∠A =60°,求∠O . ⑵若∠A =100°, ∠O 又是多少?⑶由⑴、⑵你发现了什么规律?当∠A 的度数发生变化后,你的结论仍成立吗? (提示:三角形的内角和等于180°)（ＮＯ：11设计人：徐林军）。
学习笔记6.3.2 角的比较与运算 导学案一、学习目标：1.掌握角的大小的比较方法.2.理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题.3.会进行涉及度、分、秒的角度的计算.重点：比较角的大小，认识角的大小关系，分析角的和差关系，认识角平分线及画角平分线.难点：能从图形中观察角的和差关系.二、学习过程：自学导航与线段长短的比较类似，我们可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小(度量法).请利用量角器测量一下两个角的度数.也可以把它们的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小(叠合法)∠AOB____∠A＇O＇B＇ ∠AOB ____∠A＇O＇B＇ ∠AOB____∠A＇O＇B＇思考：观察下边图形，图中共有几个角？它们之间有什么关系？图中共有___个角分别是：____________________.它们的关系为：∠AOC＝______＋∠BOC，∠AOB＝______－∠BOC，∠AOC－∠AOB＝______.考点解析考点1：角的大小比较★★例1.如图，回答下列问题：(1)比较∠FOD与∠FOE的大小；(2)借助三角板比较∠DOE与∠BOF的大小.【迁移应用】1.在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在( )A.∠AOB＞∠AOCB.∠AOC=∠BOCC.∠BOC＞∠AOCD.∠AOC＞∠BOC2.如图，∠AOF是平角，请你比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE四个角的大小.考点2：角的和、差★★★【迁移应用】1.按图填空：(1)∠AOB+∠BOC=________;(2)∠BOD-∠COD=________;(3)∠AOD=∠AOB+∠B0C+_______;=∠AOB+______;=∠AOC+______;(4)∠BOC=∠AOD-∠AOB-_______;=∠AOC-_______;=∠B0D-_______.2.如图，∠AOB=∠COD，则( )A.∠l＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.∠1与∠2的大小无法比较合作探究思考：观察下边图形，图中共有几个角？它们之间有什么关系？图中共有___个角分别是：____________________.它们的关系为：∠AOC＝______＋∠BOC，∠AOB＝______－∠BOC，∠AOC－∠AOB＝______.探究：如图，借助三角尺画出15°，75°的角，用一副三角尺，你还能画出哪些度数的角？试一试.【结论】__________________________________________.自学导航我们知道，线段的中点把线段分成相等的两条线段.类似地，下图中，如果∠AOB＝∠BOC，那么射线OB把∠AOC分成两个相等的角，这时有_________.∠AOC＝2∠AOB＝2______，∠AOB＝∠BOC＝12【归纳】一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个_______的角的射线，叫做这个角的____________.三等分线OB，OC是∠AOD的三等分线.∠AOD＝3________＝3________＝3________，∠AOB＝________＝________＝1________.3考点解析考点3：角的平分线★★★∠COD=15°，OC平分∠AOB，求∠AOB的度数.例3.如图，∠BOD=13【迁移应用】1.如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD=32°，则∠BOD的度数是_______.2.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，∠COD=25°，则∠AOB等于( )A.50°B.75°C.100°D.120°3.如图，∠AOB=165°，0D平分∠AOC.(1)若∠AOD=50°，则∠B0C=_______.(2)若∠BOD=110°，则OC是∠BOD的平分线吗？说明理由.考点4：角度的四则运算★★★例4.计算：(1)56°18′+72°48′; (2)131°28′-51°32′15″;(3)12°30′20″×2; (4)12°31′21″÷3.【迁移应用】1.如图，O是直线AB上一点，OD是∠BOC的平分线，∠AOC=46°38′，则∠BOD的度数为________.2.计算：(1)48°39′+67°31′-21°17′; (2)23°53′×3-107°43′÷5.考点5：利用已知条件直接求角度★★★★例5.如图，已知∠AOB=90°，∠COD=90°，OE为∠BOD的平线，∠BOE=15°，求∠AOD和∠BOC的度数.【迁移应用】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠COF=90°，∠BOF=40°，求∠AOC和∠DOE的度数.考点6：利用整体思想求角度★★★★例6.如图，已知射线OC在∠AOB的内部，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.(1)若∠AOC=50°，∠BOC=30°，求∠MON的度数；(2)探究∠MON与∠AOB的数量关系.【迁移应用】1.如图，0B，OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∠MON=80°.(1)若∠BOC=40°，则∠AOD的度数为_______；(2)若∠AOD=x°，则∠BOC的度数为___________.(用含x的式子表示)2.如图，OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC.(1)若∠AOB=90°，∠BOC=38°，求∠DOE的度数；(2)若∠AOB=α，∠BOC=β(∠AOB，∠BOC均为锐角，且α＞β)，其他条件不变，求∠DOE的度数；(3)从(1)(2)的结果中，你发现了什么规律？请写出来.考点7：利用方程思想求角度★★★★★例7.如图，已知OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE= 140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，求∠AOB的度数.【迁移应用】1.如图，已知∠AOC:∠BOC=1:4，0D平分∠AOB，且∠COD=33°，求∠AOB的度数.2.如图，∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON=90°，求∠AOB的度数.考点8：利用分类讨论思想求角度★★★★★例8.已知OC平分∠AOB.若∠AOB=70°，∠COD=10°，则∠AOD的度数为______________.【迁移应用】1.从点O引出三条射线OA，OB，OC，已知∠AOB=30°，在这三条射线中，当其中一条射线是另两条射线所组成角的平分线时，∠AOC的度数为_______________________.2.已知∠AOB=108°，∠BOC=22°，射线OD，OE分别是∠AOB和∠BOC的平分线，求∠DOE的度数.。
课题：角的度量学习目标：1.理解角的概念,学会角的表示方法；2.认识角的度量单位度、分、秒,会进行简单的换算和角度计算；3.会用量角器测一个角的大小,并借助三角板画出一些特殊角,会用尺规作一个角等于已知角,熟悉画法语言．【预习案】观察发现:⑴时钟的时针和分针,棱锥相交的两条棱, 五角星的两条边给我们 的形象. ⑵这个图形是由什么基本图形构成的?【探究案】知识点一:角的概念及表示方法1.静态定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线叫做角的边.2.动态定义:一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角,起始位置称为角的始边,终止位置称为角的终边.3.角的表示方法:用符号“∠”,读作“角”. ⑴当顶点处只有一个角时，用一个大写字母表示，如“O ∠”；⑵用三个大写字母表示，如“AOB ∠” ,其中A 、B 分别为两边上的任意点,O 是顶点字母,要写在中间位置.；⑶用阿拉伯字母或希腊字母表示, 如“1∠” , “α∠” .要在靠近顶点位置加上弧线,并注上数字或希腊字母.探究1 用适当的方法表示图1中的角.⑴以O 为顶点的角有 ； ⑵以D 为顶点的角有 ； ⑶以E 为顶点的角有 .针对性练习:如图2: 图1 图2 ⑴图中共有 个角； ⑵写出能用一个字母表示的角 ； ⑶写出以B 为顶点的角 . 知识点二：角的度量1.角度制：角的度量单位是度、分、秒，它们为60进制，即160'=，1'60"=. 角的度量制度还有弧度制.2.特殊角:1周角= ,1平角= ,1直角= . 注:角的大小与边的长短无关,只与射线的张开幅度有关. 探究2 填空:⑴56平角= °,15°= 平角= 周角.⑵91.28°=_____°_____′ ″； 3.32°=_____°_____′ ″. 探究3 计算⑴3221'6148'+ ⑵902532'13"- ⑶1523'8"4⨯ ⑷10743'5÷知识点四:角的画法1.用量角器可以画出任意给定角度的角.2.借助三角尺,可以画出15°及其倍数的角.一副三角尺中的特殊角: .3.尺规作图,可以画出一个角等于已知角. 探究4 已知:AOB ∠,求作'''A O B AOB ∠=∠. 作法:⑴画一条 ；⑵以O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 于点C ，交OB 于点D ； ⑶以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ； ⑷以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ； ⑸过点 画射线 ，则'''A O B ∠即为所求.【训练案】1.下列关于角的说法正确的个数是( )①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长,角越大；③在角一边延长线上取一点D ；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列左边4个图中角的表示方法正确的个数（ ）CB A∠ABC C BA∠CAB直线是平角∠AOB 是平角A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 上面右边4个图形中,能用∠1,∠AOB ,∠O 三种方法表示同一角的图形是( )4. 用一副三角板的内角可以画出大于0º但小于180º的不同角度的角共有（ ） A ．9种 B ．10种 C ．11种 D ．12种5．八点三十分，这一时刻，时针与分针夹角是（ ）A ．70° B ．75° C ．80° D ．85° 6．从∠AOB 的顶点O 引出两条射线OC 、OD 两条射线，图中共有角的个数为（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 7．角的大小与角的两边长短＿＿＿＿．8．用三个字母表示角时，必须把表示角的顶点的字母写在＿＿＿＿．9．角的单位――角度制是采用＿＿＿进制．10．当时钟的时间为6:30分时,时针与分针的夹角为 度．11．从8点10分到8点40分,时钟的时针转过 度,时钟的分针转过 度． 12．108°42ˊ= °； 35.48°= 度 分 秒. 13. 如果一个角是30°,用10倍的望远镜观察,这个角应是______° 14. 30.6°=_____°_____′=_______′；30°6′=_______′=______°. 15. 计算:⑴49°38′＋66°22′ ⑵180°－79°19′ ⑶22°16′×5 ⑷182°36′÷4A A1B OB A1BOC AB OC DA 1BODDAB C 课题 角的度量班级 小组 姓名一、判断1．所有的直角都相等. ( ) 2．大于直角的角都是钝角. ( ) 3. 由同一端点出发的两条直线组成的图形叫做角．( ) 4．120.5°=120°50′． ( )二、填空：5．角是有公共端点的两条_______组成的图形，也可以看成是由一条______•绕它的端点旋转而成的图形．_______叫做角的顶点，_______叫做角的始边，_______叫做角的终边．6．1周角=______°；1平角=______°；7．18.32°=18° ′ ″，216°42′=_____°． 8．若时钟表示的时间为5点15分时，时钟的时针和分针所成的锐角是_____°． 9．13°39ˊ+64°45ˊ= ；40322'⨯=__________； 82°32′5″+______=180°. 三、选择10.已知A 、O 、B 三点，180AOB ∠=，则下列说法中，不正确的是（ ） A . A 、O 、B 三点共线 B .射线OA 与射线OB 共线 C .射线OA 、OB 互为反向延长线 D .OA OB AB += 11.下列说法正确的是（ ）A .角的两边可以度量;B .角是由两条射线构成的图形．C .一条直线可以看成是一个平角;D .平角的两边可以看成直线． 12. 图中,小于平角的角有 ( )A .5个B .6个C .7个D .8个13．下列各角中, ( )是钝角.A .14周角B .23平角C .平角D .14平角 14．用一副三角板的内角可以画出大于0°且小于176°的不同度数的角共有 ( )A.8种B.9种C.10种D.11种 四、计算：15．（1）36°54′+ 143°6′； （2）50°20′36″+ 40°32′10″； （3）90°－25°41′39″；（4）180°－100°32′40″ ；（5）25°40′5″×4； （6）180°÷7（精确到分）；⑺'""18052183625364--⨯；16.根据下列语句画图:(1)画∠AOB=100°；(2)在∠AOB的内部画射线OC,∠BOC=50°；(3)在∠AOB的外部画射线OD,∠DOA=40°；(4)在射线OD上取E点,在射线OA上取F,使∠OEF=90°.17.分别确定四个城市相应钟表上时针与分钟所成的角的度数.18.初一某班同学利用星期天进行＂亲近自然，体验生活＂的野营拉练活动，从早上7：30出发，下午6：30返回学校，请问出发时和返学校时时针和分针的夹角各是多少度？19．如果在∠AOD的内部从顶点O引出2条射线,求图中有多少个角?如果引出3条射线呢?如果引出100条射线呢?你发现了什么规律?ODCBA。
6.3 角6.3.2 角的比较与运算第1课时角的比较与运算一.学习目标1.掌握角的大小的比较方法.2.通过动手操作,学会借助三角尺拼出不同度数的角，理解角的和、差的意义及数量关系.3.会进行涉及度、分、秒的角度的计算二.自主预习1.类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？2.观察与思考图中有几个角？它们之间有什么关系？三.探究新知探究点一角的比较问题1如图所示（1），已知线段AB和线段CD，如何比较这两条线段的大小呢？问题2如图所示（2）已知∠ABC和∠DEF，类比线段的长短比较方法,你会比较角的大小吗？【方法归纳】角的比较方法(1)度量法：量出度数,再比较大小;(2)叠合法：把角的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小.∠AOB ∠A’O’B’∠AOB ∠A’O’B’∠AOB ∠A’O’B’练习(1)如图所示，射线OC、OD分别在∠AOB的内部、外部，下列各式错误的是（）A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOBC．∠COD＜∠AOD D．∠AOB＜∠AOC(2)如图所示，其中最大的角是，∠DOC、∠DOB、∠DOA的大小关系是．探究点二角的和、差问题1 图中有几个角?你能结合图形说明什么是两个角的和与差吗?练习如图所示：(1) ∠AOC是哪两个角的和？(2) ∠AOB是哪两个角的差？(3) 如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD 的大小关系如何？问题2:一副三角尺的各个角分别是多少度?借助三角尺画出15°,75°的角.你还能画出哪些度数的角?有什么规律吗?还能画出等度数的角.规律:凡是的倍数的角都能画出.例 1. 如图所示，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC 的度数.练习(1)如图所示(1)所示,若∠AOC=35°,∠BOC=40°,则∠AOB= °;图(1) 图(2)(2)如图所示(2)所示,若∠AOB=60°,∠BOC=40°,则∠AOC= °;(3)若∠AOB=60°,∠AOC=30°,则∠BOC= .例2.计算（1） 120°－38°41′；（2）67°31′+48°49′.【要点归纳】涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.四.运用新知1. 如图所示，∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=146°，则∠BOC=____.第1题图第3题图第5题图2. 已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC的度数是 .3.如图所示，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，则∠COD的度数为_________.4. (1) 12°36′56″+45°24′35″= ； (2) 79°45′+61°48′49″= ；5.如图所示，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．五.达标测试1.如图所示,已知∠AOB=∠COD,则( )A.∠1>∠2B.∠1=∠2C.∠1<∠2D.∠1与∠2的大小无法比较第1题图第2题图第3题图2.如图所示，∠AOC=∠BOD=80°，如果∠AOD=140°，那么∠BOC等于( ) A．20°B．30°C．50°D．40°3.如图所示,OC为∠AOB内部的一条射线.若∠AOB=100°,∠1=25°,则∠2的度数为.4.计算下列各题:(1)98°45'36″+71°22'34″;(2)52°37'-31°45'12″.5.如图所示,∠AOB=50°,∠AOC=90°,点B,O,D在同一条直线上.(1)求∠AOD的度数;(2)求∠COD的度数.参考答案达标检测1.B2.A3.75°4.解:(1)98°45'36″+71°22'34″=170°8'10″.(2)52°37'-31°45'12″=20°51'48″.5.解:(1)因为∠AOB=50°,B,O,D在一条直线上,所以∠AOD=180°-∠AOB=180°-50°=130°. (2)因为∠AOB=50°,∠AOC=90°,所以∠BOC=90°-50°=40°,所以∠COD=180°-40°=140°.。
第六章几何图形初步6.3 角6.3.3 余角和补角学习目标：1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.重点：了解余角、补角的概念及性质，了解方位角的概念和表达方式.难点：运用余角、补角和方位角的相关知识解题.一、复习导入如图，∠1+∠2= .当∠AOB = 90°时，∠3 +∠4 = . 当∠AOB = 180°时，∠5 +∠6 = .一、要点探究知识点1：余角知识要点余角：如果两个角的和等于90° (直角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余.∠3 与∠4 互余；∠3 是∠4 的余角；∠4 是∠3 的余角.讨论1：此时∠3 与∠4 还互余吗？自主学习课堂探究讨论2：钝角有余角吗？几何语言：因为∠3 与∠4 互余，所以∠3 +∠4 = 90°或∠3 = 90° -∠4，或∠4 = 90° -∠3.因为∠3 +∠4 = 90°，所以∠3 与∠4 互余.知识点2：补角探究1：你能猜猜∠1 与∠2 的数量关系吗？知识要点补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补．几何语言：因为∠1 与∠2 互补，所以∠1 +∠2 = 180°.或∠1 = 180° -∠2，或∠2 = 180° -∠1.因为∠1 + ∠2 = 180°，所以∠1 与∠2 互补.判断：下列论述是否正确？∠∠1 +∠2 +∠3 = 90°，则∠1、∠2、∠3互余；∠∠1 = 20°，∠2 = 100°，∠3 = 180°，则∠1、∠2、∠3 互补；∠∠1 +∠2 = 90°，则∠1 是余角；∠3 +∠4 = 180°，则∠3 是∠4 的补角；∠如图，∠A 不是∠B 的余角；∠如图，∠C 是∠A 的补角.比一比：看看谁计算得又快又好！∠α 是锐角，则它的余角可以表示为，补角可以表示为.∠α5°62°23′x°(0<x<90)(20 - x)°(0<x<20)余角60°补角110°知识点3：余角与补角的性质探究2：∠1 与∠2，∠3都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？知识要点补角的性质：同角(等角) 的补角相等．探究3：类比探究2，∠1 与∠2，∠3 都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？知识要点余角的性质：同角(等角) 的余角相等．典例精讲例 1 如图，点A，O，B 在同一条直线上，射线OD 和射线OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？练一练1. 已知∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互补，∠1 = 65°，则∠3 =.2. 一个角是它的余角的1.5倍，则这个角的补角是.二、课堂小结当堂检测1. 如果∠AOB +∠BOC = 90°，∠BOC +∠COD = 90°，那么∠AOB与∠COD的关系是()A. 互余B. 互补C. 相等D. 不能确定2. 如图，下列说法中错误的是()A. OA的方向是北偏东30°B. OB的方向是北偏西20°C. OC的方向是西南方向D. OD的方向是南偏东50°参考答案复习导入∠AOB 90°180°课堂探究一、要点探究判断：①×②×③×④×⑤√【比一比】90° -∠α 180°-∠α探究2：因为∠1 与∠2，∠3 都互为补角，所以∠2 = 180° - ∠1，∠3 = 180° - ∠1.所以∠2 =∠3.探究3：因为∠1 与∠2，∠3 都互为余角，所以∠2 = 90° - ∠1，∠3 = 90° - ∠1.所以∠2 = ∠3 .解：因为点 A，O，B 在同一条直线上，所以∠AOC 和∠BOC 互为补角．又因为射线OD 和射线OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，所以∠COD +∠COE = 12∠AOC + 12∠BOC= 12(∠AOC +∠BOC ) = 90°所以∠COD 和∠COE 互为余角，同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角．【练一练】1.155° 126°当堂检测1. C2.A。
期末复习角的计算专题（解析版）第一部分 教学案类型一 方程思想1．（2012秋•高淳区期末）已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α．思路引领：根据互为补角的和等于180°，然后根据题意列出关于α、β的二元一次方程组，求解即可．解：根据题意得{α+β=180°①α−12β=30°②， ①﹣②得，32β＝150°，解得β＝100°，把β＝100°代入①得，α+100°＝80°，解得α＝80°．总结提升：本题考查了互为补角的和等于180°的性质，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．2．（2021秋•潜江期末）如图，已知∠BOC ＝2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD ＝20°，求∠AOB 的度数．思路引领：此题可以设∠AOC ＝x ，进一步根据角之间的关系用未知数表示其它角，再根据已知的角列方程即可进行计算．解：设∠AOC ＝x ，则∠BOC ＝2x ．∴∠AOB ＝3x ．又OD 平分∠AOB ，∴∠AOD ＝1.5x ．∴∠COD ＝∠AOD ﹣∠AOC ＝1.5x ﹣x ＝20°．∴x ＝40°∴∠AOB ＝120°．总结提升：本题考查了角平分线的定义及角的计算，设出适当的未知数，运用方程求出角的度数是解决此类问题的一般方法．3．如图，A 、O 、B 三点在一条直线上，∠AOC ＝2∠COD ，OE 平分∠BOD ，∠COE ＝77°，求∠COD的度数．思路引领：设∠COD＝x，则∠AOC＝2x，根据∠COE＝77°，表示出∠DOE的度数，然后根据∠AOB＝180°，列方程，求出x的值即可．解：设∠COD＝x，则∠AOC＝2x，∵∠COE＝77°，OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE＝77°﹣x，∴2x+x+2（77°﹣x）＝180°，解得：x＝26°．即∠COD＝26°．总结提升：本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180°．4．如图，已知∠AOB内有两条射线OC，OD，∠AOD＝2∠BOD，∠AOC=13∠COB，∠COD＝70°．求∠AOC的度数．思路引领：设∠BOD＝x°，则∠AOD＝2x°，∠AOC＝（2x﹣70）°，∠COB＝（x+70）°，根据∠AOC=13∠COB，即可列方程求得∠BOD的度数，进而求得∠AOC的度数．解：设∠BOD＝x°，则∠AOD＝2x°，∠AOC＝（2x﹣70）°，∠COB＝（x+70）°，∵∠AOC=13∠COB，∴2x﹣70=13（x+70），解得：x＝56，则∠AOC＝2×56°﹣70°＝42°．总结提升：本题考查了角度的计算，理解图中角度之间的关系，转化为方程问题是关键．5．（2019秋•东西湖区期末）如图，∠AOC与∠BOC互余，OD平分∠BOC，∠EOC＝4∠AOE．（1）若∠AOD＝70°，求∠AOE的度数；（2）若∠DOE＝63°，求∠EOC的度数．思路引领：（1）根据互余得到∠AOB ，再根据角平分线的定义表示出∠BOC ，可求∠AOC ，再根据∠EOC ＝4∠AOE ，且∠EOC +∠AOE ＝∠AOC 列方程求解即可；（2）设∠COD ＝∠BOD ＝x °，则∠EOC ＝63°﹣x °，∠AOE =63°−x°4，由∠AOE +∠EOC +∠COB ＝90°列方程求出x 的值，再求解即可．解：（1）∵∠AOC 与∠BOC 互余，∴∠AOC +∠BOC ＝90°，∴∠AOB ＝90°，又∵∠AOD ＝70°，∴∠BOD ＝20°，∵OD 平分∠BOC ，∴∠BOC ＝2∠BOD ＝40°，∴∠AOC ＝50°，又∵∠EOC ＝4∠AOE ，且∠EOC +∠AOE ＝∠AOC ，∴4∠AOE +∠AOE ＝50°，∴∠AOE ＝10°；（2）设∠COD ＝∠BOD ＝x °，则∠EOC ＝63°﹣x °，∠AOE =63°−x°4， 由∠AOE +∠EOC +∠COB ＝90°可得63°−x°4−63°﹣x °+2x °＝90°，解得x ＝15，∴∠EOC ＝63°﹣x °＝63°﹣15°＝48°．总结提升：本题考查了余角和补角，角平分线的定义，准确识图是解题的关键． 类型二 分类讨论思想6．已知∠AOB ＝70°，∠COB ＝40°，则∠AOC 的度数是 ．思路引领：分OC 在∠AOB 内和OC 在∠AOB 外两种情况考虑，依此画出图形，根据角与角之间结合∠AOB 、∠BOC 的度数，即可求出∠AOC 的度数．解：当OC 在∠AOB 内时，如图1所示．∵∠AOB ＝70°，∠BOC ＝40°，∴∠AOC ＝∠AOB ﹣∠BOC ＝30°；当OC在∠AOB外时，如图2所示．∵∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°．故答案为：30°或110°．总结提升：本题考查了角的计算，分OC在∠AOB内和OC在∠AOB外两种情况考虑是解题的关键．7．如图，∠AOB＝120°，∠AOC＝70°，过点O作射线OD，使∠BOD＝3∠BOC．求∠AOD的度数．思路引领：分两种情况，表示出∠AOD，即可求解．解：（1）∵∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，∴∠BOC＝120°﹣70°＝50°，∵∠BOD＝3∠BOC，∴∠BOD＝150°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝30°；（2）∵∠AOD＝360°﹣∠BOD﹣∠AOB，∴∠AOD＝360°﹣120°﹣150°＝90°．答：∠AOD的度数是30°或90°．总结提升：本题考查角的计算，关键是要分两种情况，准确表示出有关的角．类型三单角平分线8．（2022秋•萧山区期末）已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝50°，设∠BOE＝n．（1）若射线OE在∠BOC的内部（如图1），①若n＝43°，求∠COD的度数；②当∠AOD＝3∠COE时，求∠COD的度数．（2）若射线OE恰为图中某一个角（小于180°）的角平分线，试求n的值．思路引领：（1）①先求出∠BOC，再求出∠COE，即可求出得出∠COD的大小；②根据题意可知2∠COE+50°＝120°据此即可求出∠COE的大小，进而求出∠COD的大小；（2）OE平分∠BOC时，需要分类讨论，并根据角平分线的定义解答即可．解：（1）①∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，由n＝43°，可得∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝17°，∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝50°﹣17°＝33°；②∵∠AOD＝3∠COE，∠AOD+∠COD＝120°，∠DOE＝50°，∴3∠COE+50°﹣∠COE＝120解得∠COE＝35°，∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝50°﹣35°＝15°；（2）当OE平分∠BOC时，如图所示：∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，∴∠BOE=12∠BOC=30°．即n＝30°；当OE平分∠AOC时，如图所示：∠BOE＝2∠BOC＝120°，即n＝120°；当OE平分∠BOD时，如图所示：∠BOE＝∠DOE＝50°，即n＝50°；当OE平分∠COD时，∠BOE＝∠EOC+∠BOC＝50°+60°＝110°，即n＝110°；OE平分∠AOD是不成立．所以n＝30°、50°、110°或120°．总结提升：本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．9．（2021秋•未央区校级期末）如图，已知∠AOB＝150°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝60°．若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD=12∠BOD，求∠DOE的度数．思路引领：根据∠EOD＝∠EOB﹣∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可．解：∵∠AOB＝150°，OE平分∠AOB，∴∠EOB=12∠AOB＝75°，∵∠BOC＝60°，∠COD=12∠BOD，∴∠BOD＝40°，∠COD＝20°，∴∠EOD＝∠EOB﹣∠DOB＝75°﹣40°＝35°．总结提升：本题考查角的计算，熟练掌握角平分线的定义，灵活应用角的和差关系是解题的关键．10．（1）如图1，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC 内，∠COE＝2∠BOE，∠DOE＝70°，求∠COE的度数．（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．①请你数一数，图中有个小于平角的角；②求出∠BOD的度数；③请通过计算说明OE是否平分∠BOC．思路引领：（1）先设∠BOE＝x，根据∠BOE=12∠EOC，得出∠COE＝2x，再根据角平分线的定义，得出∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，最后根据∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，列出方程70°﹣x+70°+2x＝180°，求得x的值即可；（2）①根据图形即可得出小于平角的角；②根据∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，得出∠AOD＝25°，最后根据∠BOD＝180°﹣∠AOD进行计算即可；③先根据∠AOC＝50°，得出∠BOC＝180°﹣50°＝130°，再根据∠DOE＝90°，求得∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，进而得出∠BOE=12∠BOC，即可得出结论．解：（1）如图1，设∠BOE＝x，∵∠BOE=12∠EOC，∴∠COE＝2x，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，∵∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，∴70°﹣x+70°+2x＝180°，解得x＝40°，∴∠EOC＝80°；（2）①由图可得，图中有9个小于平角的角，故答案为：9；②如图2，∵∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∴∠AOD＝25°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣25°＝155°；③如图2，∵∠AOC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，∵∠DOE＝90°，∴∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，∴∠BOE=12∠BOC，∴OE平分∠BOC．总结提升：本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．11．（2018秋•兴业县期末）如图，已知OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠BOE=1 3∠EOC，∠AOC＝170°．（1）若知∠AOB＝70°，求∠EOC的度数；（2）若知∠DOE＝70°，求∠EOC的度数．思路引领：（1）可以设∠BOE为x°，根据条件列方程解决，求出∠BOE，进而求出∠EOC的度数；（2）设∠BOE＝a，则∠ECO＝3a，根据条件列方程解决，求出∠BOE．解：∵∠AOC＝170°，∠AOB＝70°，∴∠BOC＝100°，设∠BOE＝x，则∠ECO＝3x，∴∠BOC＝∠BOE+∠EOC＝x+3x＝100°，∴x＝25°，∴∠EOC＝75°；（2）设∠BOE＝a，则∠ECO＝3a，∵∠DOE＝70°，OD平分∠AOB，∴∠AOD﹣∠BOD＝70°﹣a，∴∠AOC＝2∠AOD+∠BOE+∠EOC＝2（70°﹣a）+a+3a＝170°，∴a＝15°，∴∠EOC＝3a＝45°．总结提升：考查了根据角平分线的性质和已知条件列方程求解，难度适中，方程思想是解决问题的基本思考方法．类型四双角平分线12．（2019秋•岳阳楼区校级期末）如图1，已知∠AOB的内部有一条射线OC，OM、ON 分别平分∠AOC和∠BOC．（1）若∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，求∠MON的度数．（2）若去掉（1）中的条件∠BOC＝40°，只保留∠AOB＝120°，求∠MON的度数．（3）若将∠AOB内部的射线OC旋转到∠AOB的外部，如图2，∠AOB＝120°，求∠MON的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的∠MON与∠AOB的数量关系．思路引领：（1）先利用角平分线的性质得到∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，再利用∠MON＝∠COM+∠CON计算；（2）根据角平分线的性质解答即可；（3）先利用角平分线的性质得到∠CON=12∠AOC，∠COM=12∠BOC，再利用∠MON＝∠COM﹣∠CON计算，即可解答．解：（1）∵∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣40°＝80°，∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=12×80°=40°，∠NOC=12∠BOC=12×40°=20°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+20°＝60°；（2）如图1，∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝120°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×120°=60°；（3）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，所以∠MON＝∠COM﹣∠CON=12∠AOC−12∠BOC=12（∠AOC﹣∠BOC）=12∠AOB=12×120°＝60°，∠MON=12∠AOB．总结提升：此题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差．13．（2017秋•梁子湖区期末）如图，已知OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOD＝110°，∠BOE＝100°，求∠AOE的度数．思路引领：设∠EOD＝∠DOC＝x°，求出∠AOB＝∠COB＝100°﹣2x°，根据∠AOD ＝110°得出方程，求出x的值，即可求出答案．解：∵OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∴设∠EOD＝∠DOC＝x°，∠AOB＝∠COB，∵∠AOD＝110°，∠BOE＝100°，∴∠AOB＝∠BOC＝100°﹣2x°，∴∠COD+∠COB+∠AOB＝110°，∴x+100﹣2x+100﹣2x＝110，解得x＝30，即∠EOD＝∠DOC＝30°，∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110°+30°＝140°．总结提升：本题考查了角平分线性质和角的有关计算的应用，关键是能根据题意得出方程．14．（2020秋•和平区期末）如图：∠AOB：∠BOC：∠COD＝2：3：4，射线OM、ON，分别平分∠AOB与∠COD，又∠MON＝84°，则∠AOB为（）A．28°B．30°C．32°D．38°思路引领：首先设出未知数，然后利用角的和差关系和角平分线的定义列出方程，即可求出∠AOB的度数．解：设∠AOB＝2x°，则∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，∵射线OM、ON分别平分∠AOB与∠COD，∴∠BOM=12∠AOB＝x°，∠CON=12∠COD＝2x°，又∵∠MON＝84°，∴x+3x+2x＝84，x＝14，∴∠AOB＝14°×2＝28°．故选：A．总结提升：本题主要考查了角平分线的定义和角的计算，解题时要能根据图形找出等量关系列出方程，求出角的度数．类型五整体思想15．如图，∠AOC与∠BOC互补，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，试说明∠COE与∠COF具有怎样的数量关系．思路引领：根据角平分线的性质，可得∠FOC=12∠AOC，∠COE=12∠COB，根据角的和差，可得答案．解：∠COF与∠COE互余，理由如下：由OF平分∠AOC，OE平分∠BOC，得∠FOC=12∠AOC，∠COE=12∠COB．由角的和差，得∠COF+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×180°＝90°，故∠COF与∠COE互余．总结提升：本题考查了余角和补角，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．16．（2019秋•天峨县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE＝90°，OM平分∠AOD，ON平分∠DOE．（1）若∠MOE＝27°，求∠AOC的度数；（2）当∠BOD＝x°（0＜x＜90）时，求∠MON的度数．思路引领：（1）根据余角性质得到∠MOE＝27°，∠AOM＝90°﹣27°＝63°，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）根据对顶角的性质得到∠AOC＝∠BOD＝x°，求得∠AOD＝180°﹣x°，∠DOE ＝90°﹣x°，根据角平分线的定义即可得到结论．解：（1）∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝90°，∴∠MOE＝27°，∴∠AOM＝90°﹣27°＝63°，∵OM平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠AOM＝126°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝54°；（2）∵∠BOD＝x°，∴∠AOC＝∠BOD＝x°，∴∠AOD＝180°﹣x°，∵∠AOE＝∠BOE＝90°，∴∠DOE＝90°﹣x°，∵ON平分∠DOE，OM平分∠AOD，∴∠DOM=12∠AOD＝90°−12x°，∠DON=12∠DOE＝45°−12x°，∴∠MON＝∠DOM﹣∠DON＝45°．总结提升：此题主要考查了角平分线的性质以及垂线定义和邻补角的定义，正确表示出∠AOD的度数是解题关键．17．如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线：OE、OC、OD、OF、OE平分∠AOC，OF 平分∠DOB（1）若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，求∠EOF的度数；（2）若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度数（3）从（1）、（2）的结果，你能看出什么规律吗？思路引领：（1）（2）通过角的和差关系角平分线的性质，得到∠EOF与已知角∠AOB、∠AOC的关系，代入求值；（3）根据（1）（2）的结论，得出规律．解：（1）∵∠EOF＝∠EOC+∠DOC+∠FOD=12∠AOC+∠COD+12∠BOD=12∠AOB+12∠COD∵∠AOB＝160°，∠DOC＝40°∴∠EOF＝80°+20°＝100°．（2），∵∠EOF＝∠EOC+∠DOC+∠FOD=12∠AOC+∠COD+12∠BOD=12∠AOB+12∠COD∵∠AOB＝α，∠COD＝β，∴∠EOF=12α+12β=12(α+β)．（3）若∠AOB内部有顺次的四条射线：OE、OC、OD、OF，OE平分∠AOC，OF平分∠DOB，那么∠EOF=12(∠AOB+∠COD)．总结提升：本题考查了角平分线的性质及角的和差关系．通过和差关系角平分线的性质得到∠EOF=12(∠AOB+∠COD)是解决本题的关键．类型六射线的转动19．（2021秋•盱眙县期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC=12∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．【解决问题】（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，∠AOB的度数为，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为；（用含n的代数式表示）（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？思路引领：（1）根据“友好线”定义即可作出判断；（2）根据“友好线”定义即可求解；（3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可．解：（1）∵OB 是∠BOC 的平分线， ∴∠BOD ＝∠COD ， ∵∠COA =12∠BOC ， ∴∠BOD =12∠AOD ，∴射线OD 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”． 故答案为：是．（2）∵射线OM 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”，∠AOB 的度数为n ， ∴∠BOM =13∠AOB =13n ， ∵ON 平分∠AOB ， ∴∠BON =12∠AOB =12n ，∴∠MON ＝∠BON ﹣∠BOM =12n −13n =16n ． 故答案为：16n ．（3）设运动时间为x （x ≤36）秒时，射线OA 、OB 、OC 中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．当射线OB 是射线OA 在∠AOC 内的一条“友好线”时，则∠AOB =12∠COB ， 所以3x =12（180﹣5x ﹣3x ）， 解得x =907（符合题意）， 即运动时间为907秒时，射线OB 是射线OA 的“友好线”．当射线OB 是射线OC 在∠AOC 内的一条“友好线”时，则∠COB =12∠AOB ， 所以180﹣5x ﹣3x =12×3x ， 解得x =36019（符合题意）， 即运动时间为36019秒时，射线OB 是射线OC 的“友好线”．当射线OC 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”时，则∠COB =12∠AOC ， 所以3x +5x ﹣180=12（180﹣5x ）， 解得x =1807（符合题意）， 即运动时间为1807秒时，射线OC 是射线OB 的“友好线”．当射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”时，则∠AOC =12∠COB ，所以180﹣5x =12（5x +3x ﹣180）， 解得x ＝30（符合题意），即运动时间为30秒时，射线OC 是射线OA 的“友好线”． 综上所述，当运动时间为907或36019或1807或30秒时，符合题意要求．总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想．20．已知，OC 是∠AOB 内部的一条射线，且∠AOC =13∠AOB ．（1）如图1所示，若∠AOB ＝120°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数；（2）如图2所示，∠AOB ＝x °，射线OP 、射线OQ 分别从OC 、OB 出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O 顺时针旋转，OP 和OQ 分别只在∠AOC 和∠BOC 内部旋转；①当运动t 秒时，请分别写出∠AOP 和∠COQ 的度数（用x 、t 表示）；∠AOP 和∠COQ 的数量关系如何？②若∠AOB ＝150°，当t 为何值时，OP ⊥OQ ？（3）如图3所示，∠AOB 是直角，从O 点出发引射线OD ，且∠AOD ﹣∠BOD ＝∠COD ，请直接写出∠COD 与∠AOB 的度数之比．思路引领：（1）先根据已知得：∠AOC ＝40°，再由角平分线的定义和角的和差可得结论；（2）①直接根据速度和时间表示：∠COP ＝t ×1＝t °，∠BOQ ＝t ×2＝2t °，最后由角的和与差表示结论，从而由结论可得∠AOP 和∠COQ 的数量关系；②由图可知：当∠COQ +∠COP ＝90°时，OP ⊥OQ ，根据∠COQ +∠COP ＝90°列等式可得结论；（3）先计算∠AOC 的度数，由已知等式可得：∠AOC ＝∠BOD ，所以得∠COD ＝30°，可得最后的比的关系．解：（1）如图1，∵OC 平分∠AOB ， ∴∠AOM =12∠AOB =12×120°＝60°，∵∠AOC =13∠AOB =13×120°＝40°， ∵ON 平分∠AOC ，∴∠AON =12∠AOC ＝20°，∴∠MON ＝∠AOM ﹣∠AON ＝60°﹣20°＝40°；（2）①∵∠AOC =13∠AOB =13x°， 由题意得：∠COP ＝t ×1＝t °， ∠BOQ ＝t ×2＝2t °，∴∠AOP ＝∠AOC ﹣∠COP ＝（13x −t ）°，∠COQ ＝∠BOC ﹣∠BOQ ＝（23x −2t ）°，∴∠COQ ＝2∠AOP ，②当∠COQ +∠COP ＝90°时，OP ⊥OQ ， 即（23x ﹣2t ）+t ＝90，把x ＝150代入得：23×150﹣2t +t ＝90，t ＝10，∴当t ＝10秒时，OP ⊥OQ ；（3）如图3，∵∠AOB ＝90°，∠AOC =13∠AOB ， ∴∠AOC ＝30°，∵∠AOD ﹣∠BOD ＝∠COD ， ∴∠AOC +∠COD ﹣∠BOD ＝∠COD ， ∴∠AOC ＝∠BOD ＝30°，∴∠COD ＝90°﹣30°﹣30°＝30°， ∴∠COD ：∠AOB ＝30°：90°＝1：3．总结提升：本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义、垂直的定义以及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想． 一．选择题1．（2019秋•青山区期末）如图，∠AOB ＝α，∠BOC ＝β，OM ，ON 分别平分∠AOB ，∠COB ，OH 平分∠AOC ，下列结论：①∠MON ＝∠HOC ；②2∠MOH ＝∠AOH ﹣∠BOH ；③2∠MON ＝∠AOC +∠BOH ；④2∠NOH ＝∠COH +∠BOH ．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个思路引领：本题考查了角度的计算问题，根据角平分线和角的和差进行计算便可得出结论．解：①∵OM ，ON 分别平分∠AOB ，∠COB ， ∴∠BOM =12∠AOB ，∠BON =12∠BOC ，∴∠MON ＝∠BOM +∠BON =12（∠AOB +∠BOC ）=12(α+β)， ∵OH 平分∠AOC ，∴∠HOC =12∠AOC =12（∠AOB +∠BOC ）=12(α+β)， ∴∠MON ＝∠HOC ， 故①正确；②∵2∠MOH ＝2（∠AOH ﹣∠AOM ）＝2（12∠AOC −12∠AOB ）＝∠AOC ﹣∠AOB ＝α+β﹣α＝β，∠AOH ﹣∠BOH =12∠AOC ﹣（∠COH ﹣∠BOC ）=12∠AOC −12∠AOC +∠BOC ＝∠BOC ＝β，∴2∠MOH ＝∠AOH ﹣∠BOH ， 故②正确；③∵2∠MON ＝2（∠BOM +∠BON ）＝2×12（∠AOB +∠BOC ）＝α+β，∠AOC +∠BOH ＝（∠AOB +∠AOC ）+（∠COH ﹣∠BOC ）＝α+β+12α+12β−β=32α+12β， ∴2∠MON ≠∠AOC +∠BOH ， 故③错误；④∵2∠NOH ＝2（∠COH ﹣∠CON ）＝2（12α+12β−12β）＝α，∠COH +∠BOH ＝∠COH +∠COH ﹣∠BOC ＝2∠COH ﹣∠BOC =2×(12α+12β)−β=α，∴2∠NOH ＝∠COH +∠BOH ， 故④正确；∴正确的答案有3个．故选：C ．总结提升：本题始终运用角的和差与角的平分线进行角度的切换是解决本题的一个技巧，本题关系复杂，计算时要细心，不能弄错角与角的关系． 二．填空题2．（2021秋•江岸区期末）如图，射线OB 、OC 为锐角∠AOD 的三等分线，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD 的度数为 ．思路引领：设∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD 的度数为x ，由∠AOB +∠BOC +∠COD +∠AOC +∠AOD +∠BOD ＝200°求出x ，进而求解． 解：∵OB 、OC 为锐角∠AOD 的三等分线， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD 的度数为x ，∴∠AOB +∠BOC +∠COD +∠AOC +∠AOD +∠BOD ＝x +x +x +2x +3x +2x ＝10x ＝200°， ∴x ＝20°，∴∠AOD ＝∠AOB +∠BOC +∠COD ＝3x ＝60°， 故答案为：60°．总结提升：本题考查角的计算，解题关键是根据图象列出所有锐角和为200°． 三．解答题（共16小题）3．（2010秋•南长区期末）一个角的补角比这个角的三倍多10度，求这个角的余角． 思路引领：利用题中“一个角的补角＝这个角的三倍+10度”作为相等关系列方程求解即可．解：设这个角为x 度，根据题意得： 180°﹣x ＝3x +10°， x ＝42.5°，所以这个角的余角为90°﹣42.5°＝47.5°．总结提升：主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的找出角之间的数量关系，从而计算出结果．4．（2019秋•宜州区期末）已知一个角的余角比这个角的补角的12小12°，如果设这个角为x 度，请求出这个角的余角和补角的度数．思路引领：互补即两角的和为180°，互余的两角和为90°，设这个角为∠A，则这个角余角为90°﹣∠A，这个角的补角为180°﹣∠A，然后列方程求解即可．解：根据题意得：90﹣x=12（180﹣x）﹣12，解得：x＝24，90﹣x＝90﹣24＝66°，180﹣x＝180﹣24＝156°，答：这个角的余角为66°，补角为156°．总结提升：本题主要考查的是余角和补角的定义，根据题意列出关于x的方程是解题的关键．5．（2021春•奎文区期中）下面是小明参加七年级数学期中考试解的一道题．题目：在同一平面内，若∠AOB＝70°，∠BOC＝20°，求∠AOC的度数．解：根据题意可画出图形．因为∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣20°＝50°，所以∠AOC＝50°．若你是老师，你会给小明判满分吗？若会，请说明理由；若不会，请你指出小明的错误，并给出正确的解答．思路引领：分OC在∠AOB的外部和OC在∠AOB的内部两种情况，画出图形，用角的和差即可得答案．解：不会给小明判满分，小明解答不全面，还有另一种情况，正确解答如下：当OC在∠AOB的外部时，如图1，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+20°＝90°；当OC在∠AOB的内部时，如图2，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣20°＝50°，综上所述，∠AOC的度数为90°或50°．总结提升：本题考查了角的计算、分类讨论等知识；根据题意得出OC在∠AOB的外部和OC在∠AOB的内部两种情况是解题的关键．6．（2020秋•苏州期末）补全下面的解题过程：如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，OD是∠AOB的平分线，∠AOC＝2∠BOC，且∠BOC＝40°，求∠COD的度数．解：∵∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝80°．∴∠AOB＝∠AOC+∠＝120°．∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=12∠＝60°．∴∠COD＝∠﹣∠AOD＝20°．思路引领：根据题目的已知条件先求出∠AOC，进而求出∠AOB，再根据角平分线的定义求出∠AOD即可解答．解：∵∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝80°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=12∠AOB＝60°，∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝20°，故答案为：80，BOC，120，AOB，60，AOC．总结提升：本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形去分析是解题的关键．7．（2021秋•石景山区期末）如图，已知∠AOB＝120°，OP平分∠AOB．反向延长射线OA至C．（1）依题意画出图形，直接写出∠BOC的度数是°．（2）完成下列证明过程：证明：如图，∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP=12∠．（角平分线的定义）∵∠AOB＝120°，∴∠AOP＝°．∵∠BOC＝°．∴∠AOP＝∠BOC．（）思路引领：（1）补全图形，利用平角的定义即可求得∠BOC＝60°；（2）由角平分线的定义可得∠AOP=12∠AOB＝60°，从而可求得∠AOP＝∠BOC．（1）解：如图，∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOB＝60°，故答案为：60；（2）证明：∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP=12∠AOB（角平分线的定义）．∵∠AOB＝120°，∴∠AOP＝60°．∵∠BOC＝60°．∴∠AOP＝∠BOC（等量代换）．故答案为：AOB；角平分线的定义；60；60；等量代换．总结提升：本题主要考查角的计算，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．8．（2022秋•长丰县期末）如图，已知∠AOD＝90°，∠BOE＝90°，OC平分∠BOD，∠COD＝30°，求∠AOE的度数．思路引领：根据角平分线的定义可得∠BOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，再根据角的和差关系可得∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝30°，进而得出∠AOE的度数．解：∵OC平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，∵∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝30°，∵∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝120°．总结提升：此题综合考查角平分线及角的和差关系，注意数形结合，便于解决问题．9．（2018秋•开州区期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC＝38°，求∠COD的度数．思路引领：由角平分线的定义，角的和差计算得∠COD的度数为19°．解：如图所示：∵∠BOC＝2∠AOC，∠AOC＝38°，∴∠BOC＝2×38°＝76°∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC∴∠AOB＝76°+38°＝114°∵OD平分∠AOB∴∠AOD=12∠AOB=12×114°＝57°，又∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，∴∠COD＝57°﹣38°＝19°．总结提升：本题综合考查了角平分线的定义，角的和差等相关知识点，重点掌握角的计算．10．（2021秋•滨江区期末）如图，OC⊥AB于点O，∠COD=14∠BOD，OE平分∠BOD．（1）求∠COE和∠AOE的度数．（2）过点O作射线OF，若OF⊥OE，求∠BOF的度数．思路引领：（1）由垂线的定义结合∠COD=14∠BOD可求解∩BOD＝120°，再根据角平分线的定义可求解∠BOE的度数，进而可求解∠COE，∠AOE的度数；（2）可分两种情况：当OF在直线AB上方时，当OF在直线AB下方时，分解计算可求解．解：（1）∵OC⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝90°，∵∠COD=14∠BOD，∴∠COD=13∠BOC＝30°，∴∠BOD＝120°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE＝60°，∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°，∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°；（2）如图，当OF在直线AB上方时，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∵∠BOE＝60°，∴∠BOF＝∠BOE+∠EOF＝60°+90°＝150°；当OF在直线AB下方时，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∵∠BOE＝60°，∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°，故∠BOF的度数为150°或30°．总结提升：本题主要考查垂线，角平分线的定义，角的计算，分类讨论是解题的关键．11．将分别含有30°和45°的三角板如图放置，且30°和45°角的顶点重合在一起，OM 平分∠AOC，ON平分∠DOC．（1）画出几何图形，并求出∠MON的大小；（2）若将30°角的三角板换成一个任意角的纸三角板，其他条件不变，则（1）中的结论是否变化？说明理由．思路引领：由图可得角之间的关系：∠COM=12∠AOC=12（∠BOC+∠A0B），∠CON=12∠COD=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD），∠MON=12∠COD−12∠AOC=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）−12（∠BOC+∠A0B），由此解答即可．解：（1）根据题意可作图如下：根据图中所示：∠COM=12∠AOC=12（∠BOC+∠A0B）；∠CON=12∠COD=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）；∠MON=12∠COD−12∠AOC，=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）−12（∠BOC+∠A0B），=12（30°+∠A0B+45°）−12（30°+∠A0B），=12×75°−12×30°，＝22.5°；故答案为：∠MON＝22.5°．（2）将30°角三角板换成一个任意锐角的纸板，其他条件不变，（1）中的结论不变化．证明：由（1）可知∠MON=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）−12（∠BOC+∠A0B）=12∠AOD=12×45°＝22.5°，故：将30°角三角板换成一个任意锐角的纸板，其他条件不变，（1）中的结论不变化．总结提升：本题考查了角的计算，此题很复杂，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，对同学们的作图、分析、计算能力有较高要求．在计算分析的过程中注意动手操作，在计算中消去共同的未知量．12．（2019秋•高新区期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝48°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）图中有个小于平角的角；（2）求出∠BOD的度数；（3）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．思路引领：（1）按起始边分别是：OA，OD，OC，OE终边向右旋转得到角的顺序，即可写出所有小于平角的角；（2）根据OD是∠AOC的度数，即可求得∠AOD的度数，利用∠AOD与∠BOD是临补角，即可求解；（3）分别求得∠COE与∠EOB的度数，即可判断．解：（1）小于平角的角有：∠AOD，∠AOC，∠AOE，∠DOC，∠DOE，∠DOB，∠COE，∠COB，∠EOB共有9个．故答案是：9；（2）∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD=12∠AOC=12×48°＝24°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣24°＝156°；（3）∵∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝90°﹣24°＝66°，∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE＝180°﹣24°﹣90°＝66°，∴∠COE＝∠BOE，∴OE平分∠BOC．总结提升：本题考查了角平分线的定义，以及互补、互余的计算，正确确定（1）中数角的个数的顺序是难点．13．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝60°，∠BOC＝20°，求∠AOD 的度数．思路引领：根据角平分线的定义得到∠MOB=12∠AOB，∠NOC=12∠COD，由于∠NOC+∠BOC+∠MOB＝∠MON，则∠NOC+∠MOB＝40°，然后利用∠AOD＝∠COD+∠BOC+∠MOB进行计算．解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠MOB=12∠AOB，∠NOC=12∠COD，∵∠NOC+∠BOC+∠MOB＝∠MON，即∠NOC+20°+∠MOB＝60°，∴∠NOC+∠MOB＝40°，∴∠AOD＝∠COD+∠BOC+∠MOB＝2（∠NOC+∠MOB）+∠BOC＝2×40°+20°＝100°．总结提升：本题考查了角度的计算：学会计算角的和、差、倍、分．也考查了角平分线的定义．14．（2017秋•荔湾区期末）已知，∠AOD＝160°，OB、OM、ON是∠AOD内的射线（1）如图1，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，则∠MON ＝ 80 °（2）如图2，OC 是∠AOD 内的射线，若∠BOC ＝20°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，当射线OB 在∠AOC 内时，求∠MON 的大小；（3）如图2，在（2）的条件下，当∠AOB ＝2t °时，∠AOM ：∠DON ＝2：3，求t 的值． 思路引领：（1）根据角平分线的定义求出∠BOM 和∠BON ，然后根据∠MON ＝∠BOM +∠BON 代入数据进行计算即可得解；（2）设∠AOB ＝x ，表示出∠BOD ＝160°﹣x ，根据角平分线的定义表示出∠COM 和∠BON ，然后根据∠MON ＝∠COM +∠BON ﹣∠BOC 列式计算即可得解；（3）由∠AOB ＝2t °，∠BOC ＝20°，则∠AOM =12∠AOC ＝t °+10°，∠DON =12∠BOD ＝80°﹣t °，列式计算即可．解：（1）∵OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，∴∠BOM =12∠AOB ，∠BON =12∠BOD ，∴∠MON ＝∠BOM +∠BON =12（∠AOB +∠BOD ），∵∠AOD ＝∠AOB +∠BOD ＝160°，∴∠MON =12×160°＝80°；故答案为：80；（2）设∠AOB ＝x ，则∠BOD ＝160°﹣x ，∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，∴∠COM =12∠AOC =12（x +20°），∠BON =12∠BOD =12（160°﹣x ），∴∠MON ＝∠COM +∠BON ﹣∠BOC =12（x +20°）+12（160°﹣x ）﹣20°＝70°；（3）由∠AOB ＝2t °，∠BOC ＝20°，则∠AOC ＝2t °+20°，∠BOD ＝160°﹣2t °， ∴∠AOM =12∠AOC ＝t °+10°，∠DON =12∠BOD ＝80°﹣t °，∵∠AOM ：∠DON ＝2：3，∴t+1080−t =23， 解得：t ＝26．总结提升：本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．15．（2017秋•兴隆台区期末）如图，OC、OD为∠AOB内部的两条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．（1）若∠AOB＝90°，∠MON＝70°，求∠COD的度数；（2）若∠AOB＝α，∠M0N＝β，求∠COD的度数（用含有α、β的式子表示）．思路引领：由OM平分∠AOC，ON平分∠BOD可知∠AOC＝2∠AOM，∠BOD＝2∠BON．（1）将∠AOB＝90°，∠MON＝70°代入可得∠AOM+∠BON＝20°，那么∠AOC+∠BOD＝40°，∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝50°；（2）将∠AOB＝α，∠MON＝β代入可得∠AOM+∠BON＝α﹣β，那么∠AOC+∠BOD＝2（α﹣β），∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝2β﹣α．解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOC＝2∠AOM，∠BOD＝2∠BON．（1）∵∠AOB＝90°，∠MON＝70°，∴∠AOM+∠BON＝∠AOB﹣∠MON＝20°，∴∠AOC+∠BOD＝2∠AOM+2∠＝2（∠AOM+∠BON）＝40°，∴∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝90°﹣40°＝50°；（2）∵∠AOB＝α，∠MON＝β，∴∠AOM+∠BON＝∠AOB﹣∠MON＝α﹣β，∴∠AOC+∠BOD＝2∠AOM+2∠BON＝2（∠AOM+∠BON）＝2（α﹣β）＝2α﹣2β，∴∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝α﹣（2α﹣2β）＝2β﹣α．总结提升：本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想．16．（2020秋•徐州期末）如图，AB与OC交于点O，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）若∠BOC＝60°，求∠AOE的度数；（2）∠COD与∠EOC存在怎样的数量关系？请说明理由．思路引领：（1）先求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义解答；（2）根据角平分线的定义表示出∠COD与∠EOC，然后整理即可得解．解：（1）∵∠BOC＝60°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=12∠AOC=12×120°＝60°；（2）∠COD+∠EOC＝90°．理由如下：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠COD=12∠BOC，∠EOC=12∠AOC，∴∠COD+∠EOC=12（∠BOC+∠AOC）=12×180°＝90°．总结提升：本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．17．射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图（1），∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC=12∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD=12∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．（1）如图（2），∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝°，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是α6；（用含α的代数式表示）（2）如图（3），若∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针转动，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针转动，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②当t的值为多少时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？思路引领：（1）根据伴随线定义即可求解；（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．解：（1）如图（2），∠AOB ＝120°，射线OM 是射线OA 的伴随线，则∠AOM ＝40°，若∠AOB 的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是∠AOB 的平分线，则∠NOC 的度数是α6． 故答案为：40，α6； （2）射线OD 与OA 重合时，t =1805=36，①当∠COD 的度数是20°时，有两种可能：若在相遇之前，则180﹣5t ﹣3t ＝20，∴t ＝20；若在相遇之后，则5t +3t ﹣180＝20，∴t ＝25；所以，综上所述，当t ＝20或25时，∠COD 的度数是20°．②相遇之前：（i ）如图1，OC 是OA 的伴随线时，则∠AOC =12∠COD ，即 3t =12（180﹣5t ﹣3t ），∴t =907；（ii ）如图2，。
