极限思想的探讨

极限是一种思想方法极限是一种思想方法，它在各个领域都有着非常重要的应用。

无论是在数学、物理、经济学等学科中，还是在生活中的决策制定和行动规划中，极限都扮演着重要的角色。

在数学中，极限是研究函数性质的一种重要工具，在物理中，极限可以帮助我们了解事物的发展趋势，在经济学中，极限则可以帮助我们进行市场预测和决策制定。

总之，极限思想方法的应用范围非常广泛，下面我将从多个角度来分析极限的思想方法。

首先，从数学角度来看，极限是数学中的一种重要概念。

在微积分中，极限是研究函数性质的基础。

我们可以通过极限来求解函数的导数和积分，进而研究函数在不同点的变化率和总变化量。

此外，极限还可以帮助我们研究函数的收敛性和发散性，判断一个函数是否无穷大，是否趋于某个特定的值。

通过研究极限，我们可以更深入地了解函数的性质，为我们进一步研究和应用数学奠定了坚实的基础。

其次，在物理学中，极限思想方法也有着重要的应用。

物理学研究物体运动、能量转化等自然现象，在这些研究中，我们往往需要对事物的变化趋势和发展情况有一定的认识。

通过极限思想方法，我们可以利用一点点的变化来预测未来的发展趋势。

比如，在研究物体运动时，我们通过无穷小时间间隔内的位移和速度变化来求解物体的加速度，从而预测物体未来的速度和位置。

再比如，在研究气候变化时，我们通过观察历史数据和现有趋势来预测未来的气温和降水情况。

通过极限思想方法，我们可以更准确地预测物理现象的发展趋势，为我们研究和应用物理学提供有力的支持。

此外，在经济学中，极限思想方法也有着非常重要的应用。

经济学研究资源分配、市场行为和经济增长等问题，在这些研究中，我们也需要了解事物的变化趋势和发展情况。

通过极限思想方法，我们可以利用一点点的变化来预测未来的市场需求和价格变动。

比如，在研究股票市场时，我们通过观察股票价格的变化速度，来预测股票未来的走势。

再比如，在研究经济增长时，我们通过观察GDP的增长率来预测未来的经济发展情况。

通过直观理解导数概念感悟极限思想导数和极限思想是微积分学中的两个基本概念，它们在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。

本文将通过直观理解导数概念和感悟极限思想，帮助读者更好地了解这两个概念及其相互关系。

让我们从导数的概念开始。

导数是一个函数在某一点上的变化率，它反映了函数在这一点附近的变化趋势。

简单来说，导数就是函数在某一点的斜率。

例如，一个物体在做直线运动，速度函数在某一时刻的导数就是该时刻物体的加速度。

导数的定义可以简单地理解为差商的极限。

假设有一个函数y = f(x)，在某一点x0处有一个增量Δx，随之产生一个增量Δy。

当Δx逐渐趋近于0时，差商Δy/Δx的极限值就是函数f(x)在点x0处的导数。

记作f'(x0)或df/dx(x0)。

导数有多种表示方法，其中最常用的是符号表示法和文字表示法。

符号表示法是指f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数；文字表示法则是“函数f(x)在点x0处的导数”。

接下来，我们再来了解一下极限思想。

极限是微积分学中的另一个基本概念，它反映了一个变量在某一过程中逐渐趋近于一个稳定状态的过程。

极限思想就是基于这种趋近过程所产生的一种数学思想。

极限的概念可以简单地理解为当一个变量无限趋近于某个值时，这个变量的值就叫做极限。

例如，当一个数列中的项数n无限增大时，数列的通项an无限趋近于某一个常数A，这个常数A就叫做数列的极限。

极限思想在解决实际问题中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，物体在受到力的作用后会产生形变，当力的作用时间足够长时，物体的形变量会逐渐减小并趋近于零，这时物体的状态就被视为处于平衡状态。

这个平衡状态就是物体受到的力与物体产生的形变之间的极限关系。

同样，在经济学中，极限思想也被广泛应用于研究经济增长、物价变动等长期趋势。

例如，在研究经济增长时，我们可以通过对历年经济增长率的观察，得出经济增长的长期趋势是逐渐趋缓的，这种趋缓的长期趋势就是极限思想的一个应用实例。

极限思想与微积分学关系探讨极限思想与微积分之间的联系紧密.在微积分的创立和发展过程中，牛顿、莱布尼兹等数学家以无穷思想为重要依据，成功地利用无穷小方法、无限过程之间的联系进行推理、运算，获得了一系列的研究成果.这为极限思想的发展和完善奠定了坚实的基础.通过数学家们的努力，极限理论逐步得到了完善.一、极限思想的应用人们很早就应用了极限的思想.例如欧多克索斯的穷竭法，阿基米得的圆、球、抛物线图形求积法.此外，我国古代数学家对此也做过很多的工作，如刘徽的割圆术、祖恒之的截面原理等.17 世纪上半叶，德国天文学家、数学家开普勒在（Kepler，1571-1630）1615 年发表的《酒桶的立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法.他的无限小元法是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积.他认为球的体积是无数个顶点在球心、底面在球上的小圆锥的体积的和，从而得出球的体积是球的面积与球的半径乘积的1/3.他将圆周看成是有无限多个边的正多边形，于是圆就被视为以这些多边形的边为底、顶点在圆心的三角形之和，从而得出圆的面积等于圆周长与圆半径乘积的1/2.与此同时，他还用无穷小方法算出了圆环体、圆柱等的体积.虽然这些计算都是不严谨的，但是他得出的结果却是正确的.这些简单易行的方法，同我们现在采用的“微元法”有着相似之处.开普勒是第一个在求积中运用无穷小方法的数学家，这是他对积分学的最大贡献.1629年，法国数学家费马首次获得了求函数极值的法则，用类似方法他还求出了平面曲线的切线，抛物线体积的重心和拐点;用极限求出了抛物线的面积等.意大利数学家、伽利略的学生、波伦那大学教授卡瓦列（Cavalieri，1598-1647）在开普勒和伽利略的影响下，得出不可分量法.1635年他在其著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》中系统地发展了不可分量法.他认为点运动形成线，线运动形成面，体积则是由无穷多个平行平面组成的，并分别把这些元素叫作线、面和体的不可分量.他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦列里原理），并利用不可分量法推算出椭圆的面积为πab.卡瓦列里的不可分量被看成是以几何形式表示的无穷小量，这种用不可分量法求和的思想为后来定积分概念的形成奠定了基础.但由于他的不可分量法回避了求极限的过程，因而在论证上缺乏严密性.英国的数学家巴罗（Barrow，1630-1677）是牛顿的老师，也是英国皇家学会的首批会员.他在1669年出版的著作《几何讲义》中，利用所谓微分三角形或者特征三角形求出了曲线的斜率.他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小的项来求极限.这些先驱者在研究极限的过程中为微积分的创立积累了大量的资料，而这些资料无一不是以极限的思想为基石一步一步堆积起来的.二、微积分的创立1.牛顿的工作牛顿（Newton，1642 -1727）发现微积分首先得益于其老师巴罗，巴罗关于“微分三角形”的思想给他带来的影响极大，另外费马（Fermat，1601-1665）的切线方法和沃利斯（Wallis，1616-1703）的《无穷算术》也给了他很大的启发.牛顿是总结和发展了前人的思想，得出关于微积分的理论. 1666年，牛顿写出第一篇关于微积分的论文《流数短论》，在该文中首先提出了流数概念.1671年，牛顿完成了《流数法与无穷级数》（1736年出版），牛顿进一步对自己的思想作了更广泛更明确的说明，系统的引进了他所独创的概念和记法.他将变量称作“流”，将变量的变化率称作“流数”.1676年，牛顿完成了另一部著作《求曲边形的面积》（1704年出版），提出了“最初比”和“最后比”两个新概念，并且明确的给出了将导数作为增量比的极限思想.1711年，牛顿发表了《运用无穷多项方程的分析学》.在这本书中，他运用了无限小的方法和二项式定理，扩大了微积分的应用范围.采用了面积的无限小矩形，找到了曲边梯形求积的一般方法.牛顿不仅给出了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且證明了面积可以用无穷小面积的和来表示，进而证明了这样的和能通过由求变化率的逆过程得到.牛顿将和的极限用于微分中得到我们今天所说的微积分基本定理.牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，经过20年左右的时间，他的微积分从以无穷小为基础，转变为以极限为基础.但由于时代或认识的局限性，牛顿始终没能给出无穷小和极限的严格定义，但瑕不掩瑜，他将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来.正是因为这，我们说牛顿创立了微积分.2.莱布尼茨的工作德国自然科学家、数学家、哲学家莱布尼茨（Leibniz，1646 -1716）从研究几何问题入手完成了微积分的基本计算理论，引进了常量、变量和参考变量的概念.他把微积分称为“无穷小算法”.他建立的微积分也是以无穷小为基础的.创建了微积分的符号及积分符号，并提出了函数的和、差、积、商的微分法则和在积分量下对参变量求微分的方法以及旋转体体积公式.1684年，莱布尼茨在《博学文摘》上发表了第一篇论文，文中提出了切线、极大值、极小值和拐点的方法.但他对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，由于缺少严密的定义，有时他把无穷小微分作为有限的确定的量，有时又作为无穷小舍去.然而，两位数学家的贡献也有所不同.牛顿较多的注重于创立微积分的体系和基本方法，从考虑变化率的角度出发解决面积和体积问题.而莱布尼茨更多地关心微积分运算公式的建立和推广，从而建立了微积分法则和公式.三、对极限和微积分的进一步研究继牛顿和莱布尼茨之后，17—18世纪初产生了不少极限与微积分成果.捷克数学家波尔查诺（Bolzano，1781-1848）是为微积分提供更加严密的基本概念的先驱.他给连续函数所下的定义第一次清楚表明，连续性观念的基础将在极限中找到.然而他的工作长期被忽略，没能引起数学家们的注意.瑞士数学家、物理学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783年）整理了萊布尼茨的支持者——大陆派的微积分内容，先后发表了《无穷小分析应论》《微分学》《积分学》等著作.在这些著作与一系列论文中，欧拉对微积分的发展作出了伟大的贡献.（1）对函数概念进行了系统的探讨，定义了多元函数和超越函数概念，区分了显函数和隐函数，单值函数和多值函数;（2）给出了用累次积分计算有界区域的二重积分方法;（3）研究了数列极限的存在性，并把该极限记为e;对于发散级数，把实函数的许多结果都推广到复数域，从而推动了复变函数的理论发展;（5）通过对函数极值问题的研究，解决了一般函数问题的极值问题，并成功的找到了极值函数必须满足的微分方程——欧拉方程.法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（Joseph Louis lagrange，1736—1813年）试图彻底抛弃模糊不清的无穷小概念.在其名著《解析函数论》（1797年发表）中，他曾经尝试把微分、无穷小和极限与概念，从微积分中排除，用代数方法证明了泰勒展开式.由于对无穷小级数的收敛问题仍无法回避极限，因而他的“纯代数的微分学”尝试并未成功.但他对函数的抽象处理却可以说是实变函数的起点.此外，他还给出了泰勒级数的余项公式，运用极限思想研究了二元函数的极值，阐明了条件极值的理论，并研究了三重积分的变量代数式.德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815—1897）认识到微积分的基础必须建立在静态的极限的定义上.他提出了极限的静态的定义，这个定义就是我们至今仍在使用的极限的ε-N 定义.这个定义借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系.该定义只用到了存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，排除了极限概念中运动的直观痕迹，给微积分提供了严谨的理论基础，也为极限思想在数学科学中赢得了合法的席位.大部分的数学家在解决问题时都不同程度地使用了无穷小方法，进而采用了极限的思想和方法，但都没有给出明确的定义，包括被誉为微积分的创始人牛顿和莱布尼兹，他们中有很多人在创立微积分的过程中也没有给出无穷小和极限的数学定义.但这丝毫也无损于这些科学伟人的历史功绩，因为任何科学理论的创立，都不是某个数学家凭空臆想出来的，而是社会发展的需要.从认识论的角度看，人的认识规律是由具体到抽象，那么人类对极限理论的认识和发展也不应例外.极限思想作为人类思想宝库中的一种重要思想，它的发展历程与微积分、积分学的发展有着密不可分的关系，并且极限思想在微积分发展中起了重要的作用.。

极限思想的研究现状1、毕业论文开题报告信息与计算科学中国古代数学中的极限思想一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）微积分是近代数学产生的标志之一，而其中极限概念与极限方法是近代微积分学的基础。

美国学者C.B. 波斯湾耶在他的微积分概念史一书中，多处指出在古希腊数学中没有产生极限概念和使用过极限方法，但在古代东方的中国，早在春秋战国时期就有了极限思想的萌芽，对宇宙的无线性与连续性已有了相当深的认识；到三国魏晋时期，我国著名数学家刘徽受到秦汉的极限思想的启迪，继承并发展了极限思想，在为九章算术作注时，最先创造性地把极限思想引入数学，成为数学方法，这种方法在圆田术。

2、和阳马术得到了充分的发挥和广泛作用，可以说为微积分的产生准备了必要的条件（参见文献12）。

本次论文设计针对极限思想的萌芽、发展到完善过程，以及其在古代数学中应用和影响做较为全面的探讨。

数学中有很多重要的思想和方法，比如极限思想就是人们认识无限运动变化的伟大结晶，是联系初等数学和高等数学的一条重要的纽带3 。

这种思想和方法的运用，扩大了人们的思维空间，产生了许多重要的结论和经典故事。

而极限又是高等数学中最重要的概念，高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓与深化。

作为研究函数最基本的方法极限方法，早在古代就有比较清楚的描述，其在古代数学中的应用也有很多具3、体实例。

因此，结合国外的极限思想的应用实例，对中国古代极限思想的理论及实际应用进行研究十分必要。

以中国为代表的长于算法的东方数学和以希腊为代表的长于逻辑的西方数学, 是雪白梅香, 各有所长（参见文献4）。

我们知道, 极限概念是微积分的最重要概念之一。

数学家们如果一开始因为无穷小的概念不严格而放弃它, 那么微积分就不会诞生。

当时的微积分是建立在经验观察或并不很审慎的直观的基础上的, 以在天文力学上的实用性为其后盾。

这和中国学者走的道路类似。

到了19 世纪, 微积分开始严格化运动, 它要求高度演绎。

浅谈中学数学中极限思想的应用1 极限思想极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，是近代数学的一种重要思想.简单地说极限思想即是用无限逼近的方式从有限中认识无限,用无限去探求有限,从近似中认识精确,用极限去逼近准确,从量变中认识质变的思想.1.1 极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限思想可以追溯到古代，刘徽的“割圆术”就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，他们借助间接证法——归谬法来完成了有关的证明.16世纪，荷兰数学家斯泰文改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明.如此，他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 1.2 极限思想的发展与完善极限思想的进一步发展和完善是与微积分紧密相联系的.16世纪欧洲的处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题只用初等数学的方法已无法解决,为了解决这些问题，科学家们开始专心研究促进技术革新.在这样的社会背景下，牛顿和莱布尼茨以无穷小量为基础建立了微积分，微积分的建立极大的促进了极限思想的发展.到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论.为了排除极限概念中的直观痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础.所谓n A =，就是指“如果对任何0ε>，总存在自然数N ，使得当n N >时，不等式n A ε-<恒成立”.这个定义，借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用.1.3 中学数学中的极限思想极限思想并非只出现在高等数学中.在中学数学里也有很多方面体现了极限思想，其中最典型的就是在求圆面积时候的用到分割法.在初高中时我们只知道圆的面积公式：2S Rπ=（R为圆的半径）.其实，深入探究会发现圆面积的计算就是运用极限的思想得出的.在学圆的面积之前，我们只学过三角形和常规的四边形的面积计算，那么我们如何把圆的面积化为求三角形或者四边形的面积呢？如图1-1是一个以R为半径的圆O，我们给这个圆O作n条半径，如图1-2所示.图这样我们就可以发现，圆的面积是由n个小扇形相加得来.这时你会发现，当n不断增大()n→∞时，圆里面的每一个小扇形我们就可以近似的看成一个小三角形，此小三角形的底可以近似的看成扇形的圆弧()1n n A A+，高为圆的半径R.我们知道三角形的面积为112n nS R A A+≈⋅,则整个圆的面积为122334111112222n nS R A AR A A R A A R A A+≈⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()122334112n nS R A A A A A A A A+≈⋅+++⋅⋅⋅+由于12233412n nA A A A A A A A Rπ++++⋅⋅⋅+=带入即可得出圆面积的近似值为：2S Rπ≈，当n越大时越精确，当n→∞即得证.圆面积的探讨运用了“无限分割”的思想方法，同时也体现了“化曲为直，化整为零，积零为整，逐渐趋近近视值”的极限思想.当然这只是极限思想运用的一部分，在中学数学中还有很多的问题渗透了极限的思想.如函数、数列、球的表面积和体积推导、双曲线的渐近线、曲线的切线等等无不包含着极限思想的渗透和运用.本文我们结合一些具体的例子来探讨极限思想在初等数学中的一些运用.2 极限思想在函数中的渗透在中学数学中，很多幂函数、指数函数、正切函数、双曲线等等都存在渐近线，通过利用极限思想可以巧妙的研究这些函数的渐近线.例1 研究函数1+y x x =的图像.分析 函数1+y x x=的定义域为{}|0x x ≠.且为奇函数，因此可以先做出0x >时的函数图像.（1）当0x >时，由基本不等式可得1+2y x x=≥，当且仅当1x =时min 2y =；（2）当0x +→ 时，y →+∞，所以0x =是1+y x x=的一条渐近线；（3）当+x →∞时，10x →，y x →，所以y x =也是1+y x x=的一条渐近线.由此三个条件即可作出函数1+y x =的图像.如图2-1：图2-1极限思想在函数中的应用非常广泛，不仅应用于研究一些函数的渐近线，在求一些特殊函数的最值的问题中极限思想也是很好的切入点.例2 试讨论函数y =的最值. 分析 注意到函数表达式可以变形为：y=从数形结合的角度来看，函数值y可以看成做是平面直角坐标系中x轴上的动点(,0)x到两定点(32)A，、(11)B，的距离之差，即y MA MB=-（如图2-1），由平面几何的知识，易得当M移动到2(M'在线段AB的延长线上)点时y值最大maxy=下面我们探讨此函数有无最小值，分三种情况：①当M在如图2中M（线段AB的垂直平分线l与x轴的交点）右侧移动时；②当M在M'与M中间图2-1图2-2下面我们先看①时由于MB MA>，不妨记=y MB MA--，图2-2中，点1M、2M均在M的右侧（其中2M又在1M的右侧）.我们来比较111()=y M B M A--与222()=y M B M A--的大小，移项之后即比较12M B M A+与21M B M A+的大小.设1M A与2M B相交于点T,则有1212<()()M B M A M T BT M T AT++++12()()M T AT M T BT=+++21M B M A=+即12()()y y-<-所以当M在M右侧向右运动时，()y-的值越来越大，下面我们讨论()y-有无最大值.上面已知y MB MA-=-===114-=()114lim lim x x y →∞--=4211==+ 于是当x →+∞时，=y MB MA --的值越来越大的趋近于2，但是永远都不可能达到2，即y -没有最大值.但是<2y -，即2y >-.所以在第①情况下y 的取值范围为(]2,0-.同理，在第③种情况下，MB MA <当M 在M '左侧时(]1x ∈-∞-，，讨论y MA MB =-.计算可得y 的取值范围为(.在第②种情况下，当M 在M '与0M 之间且由0M 向M '移动时，y 值不断增大，所以y 的取值范围为⎡⎣0.综上所述，本题y的值域为(2-本题在高中阶段可能就只会让我们求此函数的最大值，但是如果我们进一步研究这个问题的时候，就能发现其与高等数学的衔接点.本题所涉及的函数最值问题，看似跟极限思想没多大联系，但是通过深入的研究我们才能发现其中的奥妙.3 极限思想在数列中的应用极限分析法是研究数列问题的一个有效方法.对于一个等比数列，在高中教材中给出的求和公式是11(1)(1)1(1),,.n n a q q q q S na -≠-=⎧⎪=⎨⎪⎩等比数列的求和公式是要分情况的，即1q =和1q ≠的情况.这样最简单的等比数列——常数列就被分裂出来.然而,利用极限就可以将它合二为一.对于上面1q ≠的情况，讨论1q →时，n S 的极限.111(1)lim lim 1n n q q a q S q→→-=- 2111(1)(1)lim 1n q a q q q q q-→-+++⋅⋅⋅+=-2111lim (1)n q a q q q-→=+++⋅⋅⋅+1na =这也就是说，1q =时的n S 就是1q ≠时n S 的极限.那么，等比数列求和公式就可以用一个公式来表示1(1)lim 1n n n q a q S q→-=-当然，这比高中课本上给出的公式要复杂点，但是这显然让我们重新思考了问题，使得这些分类的东西变成一个整体.对于一个无穷数列，它本身就是一个极限形式.所以在数列的有关问题中涉及到极限思想的题目很多，灵活运用极限思想能让我们解题方法更加简便，减少计算量和计算时间，优化解题过程.例3 已知数列{}n a 中，满足1=1a ，且对任意自然数n 总有12n n n a a a +-=，问是否存在实数a ，b 使得2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.分析 假设存在这样的实数a 、b ，满足2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立，则lim n x a a →∞=；再由12n n n a a a +-=两边同取极限有2aa a =-，解得0a =或3a =验证，当0a =时，数列{}n a 应该是以1为首项，以23-为公比的等比数列，显然，不可能对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以0a =不满足题意.当3a =时，将1=1a ，代入2()3n n a a b =--，求得3b =-，则233()3n n a =+⋅-，验证可得同样不满足对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以3a =同样不满足题意.综上所述，0a =和3a =都不满足题意，所以假设与题意矛盾，不存在这样的a 、b .在高中阶段，对于解这样的数列问题一般思路是按照 “由一般到特殊再到一般”的思维原则，再通过数学归纳法将{}n a 表达出来.但是对于这一个题目用这样的方法远没有借用极限思想简单.4 极限思想巧解立几问题在一些复杂立体几何的问题中，我们只要巧妙的利用无限逼近的思想，就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见，比如像下面这道例题.例4 在四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）.(0A.(1B ，C.(0D ，分析 一般的方法，我们通过三角形三条边之间的等量关系列不等式，通过解不等式可以得出来，但是通过极限思想也可以巧妙的解决这个问题.显然，对于四根长度相等的直铁条有两种摆放方法： （1）底面为等腰三角形，两腰长度为2，底长为a （图4-1）； （2）底面为等边三角形，三条边的长都为2（图4-2）.图 4-2 由于a 是ABC ∆的边，所以04a <<.如图4-1，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于BDC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 、C 的距离为2.当A D →时，0a →；当平面ABC 与平面BDC 重合时，A 与D 距离最远即a 值最大.此时由菱形的性质可解得a =由于此图形必须要构成三棱锥，所以平面ABC 与平面BDC 不可以重合，即取不到所以(0,a ∈.如图4-2，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于DBC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 的距离为2.当A 在DBC ∠的角平分线上时，a 最小，可解得a =-；当A 在DBC ∠的角平分线的反向延长线上时，a 最大，可解得a =.由于此图形必须要构成三棱锥，所以A 不能在DBC ∠的角平a ∈.综上所说，a ∈，所以此题选A .这是2010年辽宁省的一道高考题，如果用一般的方法解不等式将会非常复杂，也浪费了考试时宝贵的时间.而如果使用无限逼近思想来研究就可以将原本复杂难懂的问题简单化. 从本题可以发现，极限思想在几何解题过程中的应用可以起到良好的导向作用，同时也是一种探索解题思路或切入点的有效武器.例5 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是 ( )o o .(0180)A ，o o .(60180)B ， o o .(600)C ，9 o o .(00)D ，6 分析 如图4-3所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是正三棱锥S ABC -的高，图4-3当0180.SO→时，S无限靠近于O，此时相邻两个侧面的夹角趋近于o 当SO→∞时，正三棱锥S ABC-无限接近一个底面为正三角形的三棱柱，这时两侧面的夹角越来越小，趋近于o60.所以α的取值范围为o o(60180)，，故本题选B.从这些例题可以感受到，极限思想不仅是一种解决问题的方法，同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究中得到启发，从而得到数学关系的猜想，有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.5 总结本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用.当然，极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.所以我觉得，在我们的中学教学中，若能通过一些例题，来向学生渗透极限思想，对学生数学思维能力的提高将会有很大帮助.参考文献[1]谢慧杰.极限思想的产生、发展与完善.数学学习与研究,2008,(09):13-15.[2]梁克强.刘徽割圆术.中学生数学,2010,(06):23-24.[3]杨君芳.例析极限思想在高中数学中的一些应用.中学数学研究,2009,11(1):27-28.[4]孙道斌.利用极限思想巧解立几问题.中学生数学,2007,(1上):17-18.[5]吕士虎，徐兆亮.从高等数学看中学数学,2005,(03):1-3.[6]华东师大数学系.数学分析第三版.北京：高等教育出版社,2001:42-48.[7]张永辉，用极限思想解题.中学生数学，2006，(9上):8-9.。

数学极限思想的应用论文（共2篇）第1篇:论高等数学之极限思想极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学极限思想，本文从极限的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想几个方面进行了简要论述。

1、极限的概念1.1数列极限：设为一个数列，a为一常数，若，总存在一个正整数N，使得当时，有，称a是数列的极限。

1.2函数极限：函数在点a的某去心邻域内有定义，A为常数，若，总存在一个正数，使得当时，有，称A是当x趋向于a时函数的极限。

出于不同需要，还引进了不同意义下的极限概念，比如在集论中引进了集列的上、下极限的概念，在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极限概念.无论怎样定义，本质都是一样的，都是从有限观念发展到无限观念的过程。

2、极限思想的价值极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。

极限思想具有创新作用，它广泛用于微分方程、积分方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、函数逼近论、计算数学、力学等领域。

生活中的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，……这样，这张饼能吃完吗?显然吃不完，饼越来越小，但还是有的。

只能说，这张饼的极限为零，但绝不是零。

这就是一种极限思想的具体写照。

极限思想十分重要，贯穿整个数学体系，恰当的应用极限思想可以将一些问题简化，学生灵活运用极限思想意义重大。

3、将极限思想渗透到课堂教学中3.1课堂上介绍一些体现极限思想的典故哲学家庄周在《庄子天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，将木棰长度的变化看作为一个无限的过程中去研究，古代数学家刘徽割圆术中“割之弥细，所失弦少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”也体现了极限思想。

Limn趋于无穷x的n次方的极限讲解一、引言在数学中，极限是一个重要概念，它在微积分、实分析、数学分析和相关领域都有着广泛的应用。

其中，limn趋于无穷x的n次方的极限是一种经典的极限问题，其求解过程涉及到数学分析、数列极限和函数极限等知识。

本文将从深度和广度的角度，对limn趋于无穷x的n 次方的极限进行全面的探讨和讲解，帮助读者更深入地理解这一数学概念。

二、数列极限和函数极限的基本概念在深入讲解limn趋于无穷x的n次方的极限之前，我们首先需要了解数列极限和函数极限的基本概念。

数列极限指的是数列中的元素随着项数的增加趋于某一确定的常数或无穷大的过程，而函数极限则是指函数在自变量趋于某一确定的常数或无穷大时，因变量的极限值。

这两个概念是理解和求解极限问题的基础，对于解决limn趋于无穷x的n次方的极限问题至关重要。

三、limn趋于无穷x的n次方的极限讲解考虑极限lim(n→∞)x^n的求解过程，我们可以采取从简到繁、由浅入深的方式来探讨这一问题。

我们可以从数列极限的角度入手，通过数学归纳法和数列的性质，证明当x的绝对值小于1时，极限lim(n→∞)x^n=0；当x的绝对值大于或等于1时，极限lim(n→∞)x^n不存在。

这一部分的讲解有助于读者对于limn趋于无穷x的n次方的极限有一个直观的认识。

我们可以转而从函数极限的角度对这一极限问题进行讨论。

通过使用泰勒展开、极限的基本性质和极限的运算法则等方法，可以得到lim(n→∞)x^n的一般解法。

当x大于1时，x^n将会以无限大的速度增长；而当x小于1时，x^n则会以指数级的速度衰减。

这一函数极限的分析将有助于我们更全面地理解limn趋于无穷x的n次方的极限及其性质。

在讲解limn趋于无穷x的n次方的极限过程中，我们不仅要侧重于其数学性质和解法，还应该结合实际的例子和应用来加深读者对这一概念的理解。

我们可以以牛顿第二定律为例，通过极限的概念和求解过程，探讨质点在力的作用下的运动规律，并举例说明lim(n→∞)x^n 对于实际问题的应用。

数学几何极限思想总结数学几何极限思想总结写1000字数学几何是数学的一个重要分支，旨在研究空间中的几何图形、形状、变换等。

而极限思想是数学思想的核心之一，用于研究函数和序列的趋势、变化规律等。

本文将总结数学几何极限思想，并探讨其在几何学中的应用。

首先，我们来介绍数学几何中的极限思想。

极限是对趋近性的描述，它体现了一种逐渐接近或无限接近的趋势。

在几何学中，极限思想常常应用于求取图形的性质、变换的特点、曲线的形状等。

通过分析图形的极限，我们可以更好地理解其特性，并推断其未知的性质。

几何中的极限思想常常与序列和函数的极限联系在一起。

在几何学中，我们常常使用序列（数列）来描述图形变化的趋势。

例如，通过在平面上不断添加更多的点，我们可以构造一系列越来越接近曲线的多边形。

这些多边形的极限将是我们所研究的曲线的近似形态。

函数的极限也是几何学中极为重要的思想。

通过分析函数在某一点周围的表现，我们可以求取该点的切线、曲率、凹凸等性质。

在几何学中，极限思想还常常与无穷大、无穷小联系在一起。

无穷大可以看作是某一点或某一区间内的函数的趋势，而无穷小则表示函数在该点或该区间内的变化极为微小。

通过对无穷大和无穷小的研究，我们可以揭示图形的极限特点，例如收敛、发散、奇异点等。

通过对曲线极限的研究，我们可以确定曲线的渐近线、奇点、驻点等。

在几何学中，极限思想还常常与微分、积分联系在一起。

微分和积分是数学中的两个重要概念，它们描述了函数的变化率和变化量。

通过对函数的微分和积分，我们可以研究曲线的斜率、面积、体积等性质。

而极限思想则为微分和积分的基础，通过分析函数在某一点或某一区间内的行为，我们可以研究函数的极限、趋势及其对应的微分和积分。

总结起来，数学几何极限思想是数学几何中的重要思想，通过对图形的极限、无穷大、无穷小、微分、积分等进行研究，我们可以揭示图形的特性、变换的性质、曲线的形状等。

几何中的极限思想与序列、函数、无穷大、无穷小、微分、积分等密切相关，通过分析数学对象在某一点或某一区间内的行为，我们可以研究其极限、趋势及其对应的几何特性。

论刘徽的极限思想中国古人在进入文明以前就已经形成了数与形的原始思维，自秦汉以来更是出现了大量数学应用方面的相关著作，例如《考工记》中就有对于数学在手工业工艺技术上的应用的描写；《周易》中八卦筮卜的计算流程等等。

在这些著作中首屈一指的便是《九章算术》及它的注文。

刘徽所著的《九章算术》注文中表述了他的主要数学思想，虽然限于注文的形式使得他的数学思想表述得不够直接，但是非常深刻，可以说刘徽的《九章算术》奠定了中国古代数学的理论基础，对中国古代数学思想的发展起了关键性的集成促进作用。

极限思想（或者说无限思想）是刘徽最重要的数学思想之一，他更是将极限思想具化为数学方法并在数学中加以运用的第一人，这一点是具有世界历史意义的。

另外值得关注的是，刘徽在《九章算术》注文中，可以说在所有需要极限思想来解决的问题都使用了明确的极限方法。

由此我们可以得出，刘徽的极限思想在当时已是极为成熟了。

在刘徽的注文中，他直接用到无限过程的只有阳马术注和割圆术,我们便以此为例来探讨刘徽的极限思想。

㈠、阳马术注中的无限过程这是刘徽在为“商攻”章阳马术作的注文提出来并加以证明的关于体积公式的最基本原理。

从阳马术原文开始：今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。

问积几何。

答曰：九十三尺少半尺。

术曰:广袤相乘，以高乘之，三而一。

这个算法可以表示为：Vy=1/3*abh（a/b分别为阳马底面的长和宽，h为阳马的高）在证明从一般情形下的一个堑堵（斜割长方体后所得的直三棱柱）中分割出来的阳马（一棱垂直于底的四棱锥）和鳖臑（各面为直角三角形的四面体），其体积之比为2比1的定理(吴文俊称之为刘徽原理)时，采取这样的步骤：首先，把堑堵的三度分割成两半，成为一些小的阳马、堑堵和鳖臑，然后重新组合，便得到在原堑堵的四分之三中阳马和鳖臑所占体积之比为2比1，那就只要考虑余下的四分之一部分中情况了，由于这四分之一部分又是二个与原堑堵结构完全一样的堑堵，于是刘徽又可以进行同样的分割，然后重新组合这些更小的形体，这样他又证明了在这四分之一部分的四分之三中，阳马和鳖臑的体积之比为2比1，这个过程可以不断地进行下去，然后“半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形，”即无限进行分割的结果最后得到一个“至细”“无形”的东西，刘徽认为“安取余哉”，即可以舍弃了。

关于极限思想在初中数学中的体现摘要：极限思想是近代数学的一种重要思想，高等数学以极限思想为基础，在初中数学上也有所体现。

本文从我国古代极限思想的产生说起，主要探讨极限思想在初中数学课堂中的初步体现。

关键词：极限思想；初中数学；引言极限思想是近代数学的一种重要思想，其实在我国古代极限思想就产生了。

春秋战国时期，在《庄子天下篇》中，有一句话：“一尺之棰,日取其半,万世不竭”意思是说一个长度为一尺的木棒，每天截取它的一半，无限地进行下去，剩下的木棒长度趋近于零，但是永远不等于零。

即剩下的木棒长度无限地趋于零，无限趋于就是极限思想的初步体现。

在小学阶段，大家都学过圆的面积公式。

可是圆的面积公式是如何得到的呢？魏晋时期数学家刘徽在《九章算术经》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。

其实就是用圆的内接正多边形的面积来无限逼近圆的面积。

这种无限逼近的思想，即极限思想，在初中数学中也有所体现。

一、找规律最近几年，中考都会出现找规律的题目，大家也越来越重视这一类数学题。

例如：观察一组数：①；②；③；。

按照此规律，解决下列问题。

1.完成第④个等式；2.写出猜想的第个等式；3.计算。

1.二小问都比较简单，学生可以根据序列号和变量猜想出第个等式。

对于第三小问，学生有了前两问的基础，可以逐步地计算出第三问的结果，即可以进一步引导学生判断与的关系。

学生清楚地知道是一个正数，当越大时，越接近于0。

从而。

此时学生的思考过程也是极限思想的初步体现。

二、无理数的引出众所周知，无理数是无限不循环小数。

在初中数学中经常出现无理数，比如一元二次方程的根、锐角的三角函数值，但是学生对于无理数的理解还不够深刻。

可喜的是，现代初中数学教学中逐渐地突出了对无理数理解的重要性。

例如沪科版七年级下册《实数》，这一节课中，以边长为1的小正方形所形成的网格作为情境，引导学生计算出小正方形对角线的长度，即。

接着探究是一个怎样的数？探究过程：因为所以。

归纳总结极限思想极限思想是数学中的重要概念，用于描述函数、数列等在某个特定点或趋于某个特定值时的行为。

它在数学许多领域中被广泛应用，如微积分、数值计算等。

通过归纳总结，我们可以深入理解极限思想的本质和应用。

首先，极限思想可以用于描述函数在某点的行为。

例如，我们可以通过函数的极限来判断函数在该点是否连续，是否可导等。

函数在某点x=a的极限表示当自变量x无限接近于a时，函数的值趋于的某个特定数值L。

如果函数在x=a的左右两侧的极限都存在且相等，那么该函数在x=a处连续。

如果函数在x=a的两侧的极限存在但不相等，那么该函数在x=a处发生跳跃。

通过研究函数的极限，我们能够深入理解函数的性质。

其次，极限思想被广泛应用于数列的理论中。

数列是一组按照特定顺序排列的数的集合。

极限可以描述数列随着项的增加而趋于无穷或某个特定值的行为。

例如，我们可以通过数列的极限来确定数列的收敛性和发散性。

如果一个数列的极限存在且有限，那么该数列是收敛的；如果数列的极限不存在或为无穷大，那么该数列是发散的。

通过研究数列的极限，我们能够深入理解数列的性质和行为。

此外，极限思想也在微积分中扮演着重要的角色。

微积分研究函数的变化率、面积、体积等概念，而极限思想为微积分提供了坚实的理论基础。

微积分中的导数和积分都可以通过极限的定义来进行计算。

例如，导数可以定义为函数在某点的极限，表示函数在该点的变化率。

而积分可以定义为无穷小区间上函数的极限和。

通过将微积分问题转化为极限问题，我们能够更加深入地理解微积分的概念和应用。

总结起来，极限思想是数学中一个非常重要的概念，在函数、数列和微积分等领域中都有广泛的应用。

通过研究极限，我们可以更深入地理解数学中的各种概念和问题。

无论是在学术研究中还是实际应用中，极限思想都发挥着关键的作用。

因此，对于学习和掌握极限思想，我们需要通过归纳总结和练习来加深理解，从而运用它来解决各种数学问题。

引言极限的思想是近代数学的一种重要思想.所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.极限思想蕴含着丰富的辩证法思想,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的完美应用,同时也为辩证法论证世界提供了丰富的表现例证.有了极限思想,常数和变数、有限和无限、精确和近似、任意和确定、抽象和具体、量变与质变、直线与曲线等矛盾问题在这里都得到了完美的科学体现和辩证的统一.用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果.极限思想作为一种哲学和数学思想,其发展经历了思想萌芽、理论发展和理论完善时期.在其漫长曲折的演变历程中,布满了众多哲学家和数学家们的奋斗足迹,闪烁着人类智慧的光芒.极限理论的形成为微积分提供了理论基础,为人类认识无限提供了强有力的工具,它从方法论上凸显出来高等数学不同于初等数学的魅力,是近现代数学发展的一种重要思想和数学方法.理清极限思想的发展过程,熟练掌握极限解题方法,揭示极限思想的核心内容与哲学思想的内在联系,对理解和解决数学史和数学哲学史上的一些疑难问题问将有重大的帮助.1 产生与发展庞加莱说过：能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人,而且只限于这种人.一切数学概念都来自于社会实践,经过千锤百炼从而被提炼为概念,再经过使用、推敲、充实、拓展,不断完善为经典的理论.毫无疑问,极限也是社会实践的产物.1.1 极限思想的产生极限思想的产生可以追溯到古代,战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》中就有关于原始的极限思想的应用:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思是一尺长的木棒,第一天取去一半,剩下二分之一尺,第二天再取去二分之一尺的一半,剩下四分之一尺…….按照这样的分法分下去,长度越来越小,但无论多小,永远分不完.也就是说随着分割的次数增加,棰会越来越短 ,长度接近于零,但又永远不会等于零.墨家观点与惠施不同,提出一个“非半”的命题,墨子说“非半弗,则不动,说在端”.意思是说将一线段按一半一半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的“非半”,这个“非半”就是点.墨家有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想,名家则有“无限分割”的思想.名家的命题论述了有限长度“无限可分”性,墨家的命题指出了无限分割的变化和结果.显然名家和墨家的讨论,对数学理论的发展具有巨大推动作用.已反映出极限思想的萌芽,这无疑成为极限概念产生的丰厚的沃土.但从现有的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数学上,更加谈不上应用极限的方法来解决数学问题.公元3世纪,我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”.他创造性地将极限思想应用到数学领域.所谓割圆术,具体的方法是把圆周分割得越细,内接多边形的边数越多,其内接正多边形的周长就越是接近圆周.如此不断地分割下去,一直到圆周无法再分割为止,当到了圆内接正多边形的边数无限多的时候,它的周长就与圆周几乎“吻合”,进而完全一致了.刘徽将正多边形的面积算到了3072边形,由此求出的圆周率为3.1416,是当时世界上最早也是最准确的数据.后来祖冲之用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位,这种对于某个值无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.在国外,古希腊时期也有极限思想.古希腊的巧辩派中有相当一批人对几何三大问题感兴趣.安提芬在研究“化圆为方”的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积,当多边形的边数不断加倍时内接正多边形与圆周之间存在的空隙就被逐渐“穷竭”,不过没有具体计算的记载.公元前4世纪,古希腊数学家欧多克斯创立了较严格的确定面积和体积的一般方法—“穷竭法”,这种方法假定量的无限可分性,并且以下面命题为基础:“如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分,从余部中再减去不小于他的一半的另一部分,等等,则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量.”应用穷竭法,欧多克斯正确地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直径的立方成正比例等结论”.欧多克斯的穷竭法,也已体现出了极限论思想.古希腊最伟大的数学家阿基米德巧妙地运用欧多克斯等人的穷竭法,通过严密的计算,解决了求几何图形的面积、体积、曲线长、计算二值等大量的计算问题.它突破了传统的有限运算,采用了无限逼近的思想,将需要求积的量分成许多微小单元,再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较,他的无穷小量概念到17世纪被牛顿作为微积分的基础.由此,我们可以看到在数学无穷思想发展之初,古人就己在极限领域开创了一个光辉的起点.1.2极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相连的.16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,生产力发展,生产和技术中大量的问题,只用初等数学的方法已经无法解决,这就要求数学突破传统常量范围,来提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具,这是促进极限发展的社会背景.16世纪,荷兰人斯泰文在考察三角形重心的过程中借助几何直观用极限思想思考问题,将极限概念向前推进了一步,但极限思想仍只停留在思想的层面,没有形成系统的理论体系.进入17世纪,特别是牛顿在建立微积分的过程中,由于极限没有准确的概念,也就无法确定无穷小的概念,利用无穷小运算时,牛顿做出了自相矛盾的推导：在用“无穷小”作分母进行除法时,无穷小量不能为零；而在一些运算中又把无穷小量看作零,约掉那些包含它的项,从而得到所要的公式,显然这种数学推导在逻辑上是行不通的.那么,无穷小量是零还是非零？这个问题困然牛顿也困扰着与x +,()()00y f x x f x =+-,则（ ()()(00,00limlim x x f x x f x yf x x→→+-==导数是函数增量y 与自变量增量x 之比yx的极限函数关于自变量的平均变化率,而导数(),0f x 则为f 在0x 处关于）式极限不存在,则称f 在点0x 处不可导.可见,微分学的基本概念，试证()lim f ax ,()00x x x +∈时,相应地得到函数的增量为 ()()00y f x x f x =+-. 如果存在常数A ,使得y 能表示成()o y A x x =+, （可微,并称（3）式中的第一项A x 为f 在点A x 或 ()x x df x A x -.在点0x 可微的充要条件是函数f 在点0x 可导【必要性】若f 在点）式有 (0yA x=+(000limlim x x yA x→→==+()(),00y f x x x =+表明函数增量y 可表示为x 的线性部分()(),0f x x 与较x 高阶的无穷小在点x 可微,且有()0,0x x dyf x x -=这个定理的证明就充分利用了极限的思想.微分学的另一基本概念积分也是用极限来定义的.是定义在区间]上的有界函数个子区间[1,i i i x x -=子区间及其长度记作i x .在每个子区间上,1,2,...,i i ∈=)i x .如果当最大的子区间的长度和式()1ni i i f x ξ=∑的极限存在并且其极限值与的分发及在区间[],a b 上可积,此极限值称为f 在区间()(1nbi i ai f x f ξ==∑⎰为平面上可求长度的曲线段个可求长度的小曲线段为i s ,分割T max i ns ,在i L 上任取一点()01lim ,ni i i f s J ξ→==∑,切的值与分割(),x y 在L 上的第一型曲线积分,记作由上充分体现了极限思想在微积分中无可替代的重要地位微积分中还有许多重要的定义也离不开极限思想（3） 若()1r A n =-,()r B n =时,可知在矩阵A 中至少有一个元素的代数余12122212n n n n nn a aa a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭, 此时()A ε为可逆矩阵,又因为()A ε*由定义6可得：当ε→,(01000=000101n a b ab b n a b ab a b +⎧⎪⎨⎪+⎩+阶证明:已知1000000101n n a b ab a b abD a b ab a b ++=++阶1111b a b a++-=-；2ab b ++=101000000101k k a b ab b b a b ab a b ++=++阶1+时：101000000101k a b ab a b ab a b ++++阶按第一行展开=()()12-11k k a b D ab D +++-=()a b D +(01000000101n b x bxf x b x bx b x +=++阶)x 为关于x 的连续幂函数,且当x b ≠时,同样有：)11n n b x x ++-=根据连续函数的性质有：(01000=0001001n a b ab b n a b ab a b +⎧⎪⎨⎪+⎩+阶3 极限思想的哲学意义极限理论的建立,使数学摆脱了许多与无穷有关的悖论的困扰,悖论思想是一种探索性的辩证思维,这种思维的追索可以揭示一个概念、一种学说中存在的深刻的内在矛盾性.极限思想正是在这种悖论思维中得以发展和完善的.学习极限思想对于培养人的思维方法、思维品质,提高其分析问题和解决问题的能力,形成正确的世界观和人生价值观都有极好的作用.极限思想的哲学意义主要表现在以下几个方面:（1）极限思想是变与不变的对立统一.“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止的两种不同状态,是事物两种对立的矛盾状态.辩证唯物主义观点认为,它们在一定条件下可以相互转化.极限思想的研究提供了“变”与“不变”相互转化的方法和理论依据.使得人们能够由“不变”认识了“变”,实现了“变”中求得“不变”.因为有了极限的思想和方法,为人们解决事物变化中的问题提供了科学方法,形成了实用有效的“微元法”.（2）极限思想是有限与无限的对立统一.有限与无限有着本质的不同,但二者又有联系,无限是有限的发展,同时借助极限法,从有限认识无限.例如,在极限式n x a →,a →∞中n x 对应数列中的每一项,这些不同的数值n x 既有相对静止性,又有绝对的运动性.数列中的每一项n x 和a 是确定不变的量,是有限数；随着n 无限增大,有限数n x 向a 无限接近,正式这些有限数的n x 无限变化,体现了无限运动的变化过程,这种无限运动变化结果是数值.因此在极限思想中无限是有限的发展,有限是无限的结果,他们既是对立又是统一的.（3）极限思想是近似与精确的对立统一.近似与精确在一定条件下可以相互转化,这种转化是理解数学运算的重要方法.在极限抽象的概念中,引入“圆内接正多边形面积”,其内接多边形面积的近似值是该圆面积,当多边形的边数无限增大时,内接多边形的面积无限接近于圆的面积,取极限值后就可以得到圆面积的精确值,这就是借助极限法,从近似认识精确.虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念,但是通过极限法,建立两者之间的联系,在一定条件下可以相互转化.因此,近似与精确既是对立又是统一的.（4）极限思想是量变与质变的对立统一.辩证唯物主义认为,事物是处于不断变化过程中的,是量变和质变的统一.量变是事物发生变化的前提和准备条件,质变是事物变化的必然结果.当事物的量积累到一定的基础、达到事物变化的度时就一定发生质变.极限思想生动地诠释了马克思主义这一科学原理.例如对任何一个圆内接正多边形来说,当它边数加倍后,得到的还是内接正多边形,是量变,不是质变.但是,不断地让边数加倍,无限地进行下去的时候,多边形就质变为圆,多边形面积就转化为圆的面积.极限的思想方法让我们从量变认识到了质变.（5）极限思想是过程与结果的对立统一.过程和结果在哲学上是辩证统一的关系,在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一.例如,平面内一条曲k.当曲线上的点无限接近于P点的过程中,k是变线C上某点P的切线斜率为pk是变化结果.一方面,无论曲线上点多么接近点P,都不能与点P重合,化过程,pk,这体现了过程和结果的对立性；另一方同样曲线上变化点的斜率k也不等于pk,二者之间有紧密的联系,无面,随着无限接近过程的进行,斜率k越来越接近pk,这体现了过程与结果的统一性.所以,极限接近的变化结果使得斜率k等于了p限思想是过程与结果的对立统一.（6）极限思想是否定与肯定的对立统一.任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素,都是肯定方面和否定方面的对立统一.单位圆和它的内接正多边形分别是两个事物的对立面,内接正多边形是事物对自身的肯定,其中也包含着否定,这种内在的否定因素是通过圆内接正多边形的边数的改变来体现的.随着圆内接正多边形的边数逐渐增加到无穷时,内接正多边形的面积转化为圆的面积,促使该事物转化为自己的对立面.由肯定达到自身的否定,这体现了否定与肯定的对立；圆的内接正多边形和圆虽然是两个对立的事物,但是二者之间有紧密的联系,圆内接正多边形的面积可以转化为圆的面积,而圆是通过逐步增加内接正多边形的边数来实现的,从而建立了两者的联系,体现了否定与肯定的统一.小结极限的思想方法作为人类发现数学问题和解决数学问题的一种重要手段,它不仅是我们学习极限或高等数学所必须理解的,也是我们解决数学问题或实际问题所必须掌握的思想方法.它使得局部与整体,微观与宏观,过程与状态,瞬间与阶段的联系更加明确.使我们既可以居高临下,从整体角度考虑问题,又可以析理入微,从微分角度考虑问题.它的产生为数学的发展增加了新的动力,使数学得以在新的领域不断开拓新的道路,也使哲学找到了更多新的用以描述和论证世界的工具.本文从极限的产生与发展入手，描述了极限思想产生的背景，前进的过程，再到完善。

对小学数学中极限思想的探讨
极限的概念最强调看不到“边界”，只有在“边界”点之后才会改变。

这一概念使学生思考如何把很复杂的数学问题变得更简单，从而学会解决问题的能力，而不只是简单地“记忆”。

此外，通过极限概念，学生能够学会加强观察、发现和分析，相应地，学生可以更容易地通过观察，剖析，做出准确的结论，从而更好的掌握知识。

小学生的数学教学应把极限的概念作为一个思维发展的理念引入，激发学生对数学的探索和推理的兴趣，使学生具有多维思维的能力和体会，从而丰富学习的内涵和形式。

极限思想不仅能够提高学生的数学思维逻辑能力，而且有助于学生在数学学习中培养更多的技术能力，提高学习效果。

总之，小学数学教学中引入极限思想，不仅有利于培养学生的创造力与分析能力，而且可以让学生在数学学习中培养科学的学习态度和动手实践精神。

论极限的思想方法
极限思想是今天科学研究和实践的重要理论方法，它成为现代分析几何、数学物理、复变函数分析以及微积分的重要工具。

它可以用来证明函数的收敛性、微分的存在性以及诸多其他运算的正确性。

极限思想的起源要追溯到古希腊的得失法，在十七世纪，笛卡尔引入了初等分析学来建立可计算的极限运算。

从古至今，极限思想已经极大地改变了数学和科学研究的方法。

极限思想是用来研究变量在不断变化时其可能出现的极大值、极小值或特殊值的一种数学分析方法。

它首先要求对一组数值等距离的重复绘制图像，然后研究其形变趋势，从而得到数学关系的极限值，从而得出最终的结果。

它尤其适用于复杂而多变的实际情况，这些情况很难用其他方法求解。

极限思想不但用于分析，而且可以应用在许多现实问题中，如物理模型中的流体动力学、社会学中的人口动态和社会趋势以及其他生物勘查等领域。

在计算机科学中，极限思想可用于解决机器学习、图灵机和数据科学中的抽象问题，从而更好的理解自动化系统的性能。

总之，极限思想自古至今可以说是非常有用与实际的，无论是在分析上还是建模和计算机解决实际问题上，都可以派上用场。

正是极限思想发展下来的数学分析，用以计算机科学的发展才得以急剧提升，并且广泛应用于现今社会，提升了生活的质量，极大地帮助了各个领域的发展。

极限思想的实际应用及分析极限思想是数学中的重要概念之一，也是实际应用中经常使用的方法之一。

它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、经济学、工程学和计算机科学等。

在本文中，我将对极限思想的实际应用进行分析，并且探讨其在现实生活中的重要性。

首先，物理学是一个最能体现极限思想应用的领域之一。

在物理学中，许多重要的物理现象可以通过极限思想来解释。

例如，在运动学中，我们常常使用速度的定义来描述物体的运动。

而速度的定义实际上是一个极限的概念，即速度等于物体在某一瞬间的位移对时间的极限。

通过这样的定义，我们可以准确地描述物体在任意时刻的运动状态，进而研究物体的加速度，力学和能量等重要物理量。

在经济学中，极限思想也有着广泛的应用。

例如，在微观经济学中，我们经常使用边际效应来分析个体的决策行为。

边际效应实际上是一个极限的概念，即当某一决策变量微小变化时，对应的效益的变化量。

通过分析边际效应，我们可以了解到个体的决策行为是如何取决于其行为变量的微小变化的。

这对于经济学家和政策制定者来说是非常重要的，可以帮助他们设计更有效的经济政策，以及预测市场的发展趋势。

在工程学中，极限思想也有着重要的应用。

例如，在结构工程中，为了保证建筑物的安全性和可靠性，我们需要对各种材料和结构进行强度和稳定性的分析。

在这个过程中，我们需要考虑诸如材料的极限抗压强度、构件的极限刚度等概念。

通过分析这些极限概念，我们可以确定建筑物能够承受的最大荷载，从而保证结构的安全性。

此外，在电子工程和通信工程中，极限思想也被广泛应用于信号处理和系统建模等领域。

在计算机科学中，极限思想也有其独特的应用。

例如，在算法设计中，我们常常需要分析算法的时间复杂度和空间复杂度。

通过极限思想，我们可以准确地描述算法在大规模数据处理中的效率和可行性。

此外，在计算机图形学中，极限思想也被广泛应用于建模和渲染等领域，以获得更加真实和逼真的视觉效果。

综上所述，极限思想在实际应用中非常重要。