三角形三条中线的交点叫做三角形重心

三角形的心有哪些三角形有重心、外心、内心、垂心。

当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。

三角形三条中线的交点叫做三角形重心；三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。

三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。

三角形三边上的三条高线交于一点，称为三角形垂心。

三角形有内心、外心、重心、垂心、旁心、界心。

1、三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心。

即为内切圆的圆心。

内心就是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（通过全等易证明）。

2、外心是一个数学名词。

是指三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点。

3、三角形战略重点就是三角形三条中线的交点。

当几何体为匀质物体时，战略重点与形心重合。

4、三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

5、旁心就是三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线切线的圆）的圆心。

6、三角形的顶点与其对边的周界中点的连线叫做三角形的周界中线。

或者三角形三条周界中线的交点叫做三角形的界心。

如果三角形一边上的一点和这边所对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点。

三角形外心的性质：1、性质1：锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外。

2、性质2：三角形三条边的垂直平分线的处设一点,该点即为三角形外接圆的圆心，外心至三顶点的距离成正比。

3、性质3：点g是平面abc上一点，那么点g是⊿abc外心的充要条件：(向量ga+向量gb)·向量ab= (向量gb+向量gc)·向量bc=(向量gc+向量ga)·向量ca=向量0。

1．三角形的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心．2．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）3．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在模型介绍三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.考点一：三角形重心问题【例1】．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若四边形AEFD的面积为6，则△CBF的面积为．例题精讲【变式11】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CO⊥AB于点O，中线AE与CO 相交于点F，则的值为．【变式12】．如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣2，3），点C在x轴负半轴，OB＝BC，点M为△OBC 的重心，若将△OBC绕着点O旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．考点二：三角形外心问题【例2】．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为°．【变式21】．已知△ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，则△ABC的外接圆半径的长为．【变式22】．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．考点三：三角形内心问题【例3】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．则△ABC的内切圆半径r＝．➢变式训练【变式31】．⊙O是△ABC的内切圆，且∠C＝90°，切点为D，E，F，若AF，BE的长是方程x2﹣13x+30＝0的两个根，则S△ABC的值为（）A．30B．15C．60D．13【变式32】．如图所示，在矩形ABCD中，BD＝10，△ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则矩形两边AB＝，AD＝．考点四：三角形垂心问题【例4】．如图，H是锐角△ABC的垂心（3条高的交点），若AH＝BC，则∠BAC的度数是．➢变式训练【变式41】．如图，在△ABC中，已知AB＝5，CA＝7，BC＝6，H为垂心，则AH＝．【变式42】．如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圆直径为10，则AM＝．1．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC＝45°，点O是△ABC的外接圆的圆心，则∠AOB等于（）A．65°B．90°C．130°D．140°2．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝3，O是它的内心，以O为中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为（）A．B．C．D．3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（）A．52°B．76°C．26°D．128°5．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝90°，∠C＝60°．若AB＝5．则△ABD外心与△BCD内心的距离是（）A．5B．C．D．6．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，已知Rt△ABC的直角边AC＝24，斜边AB＝25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）A．B．25C．D．568．如图，点G是△ABC的重心，且△DGC的面积为4，则△ABC的面积为．9．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝，则⊙O的直径等于．10．如图，点D是等腰Rt△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE．若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为．11．如图，⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，若⊙O的半径是1，∠C＝60°，AB ＝5，则△ABC的周长为．12．如图，点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作DF∥BC，交AB于点F，若△ABC的面积为36，则四边形BEDF的面积为．13．如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠BAC＝度．14．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于．15．如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，AC＝7，则它的内切圆的半径为．16．如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝BC，过D、G的直线交AC于点E，则＝．17．在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝．18．如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O1O2＝．20．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝．21．若△ABC的外接圆半径为2，H是△ABC垂心，则△HAB的外接圆半径长是22．如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线l在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线l上时，等边三角形的内心运动过的路程长为．23．如图，O，H分别为△ABC的外心和垂心，O到BC边的距离为2，H到BC边的距离为HE＝3，则BC 边上的高为．24．如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O1，以O1B为边长作正△O1BP1，再取正△O1BP1的内心O2，以O2B为边长作正△O2BP2，…，依次规律作第2009个正△O2009BP2009．则△O2009BP2009的面积是．25．如图，点P为△AOB的重心，点B在x轴的正半轴上，函数（k＞0）图象经过点A，P，且交AB 于点C，则点A，P的纵坐标之比是，AC：BC的值为．26．如图，已知锐角△ABC的外接圆半径等于2，∠BAC＝60°，O、H分别为△ABC的外心和垂心，连接OH与BC的延长线交于点P，则OH•OP＝．27．如图，AB＝2，BC＝1，△ABC与△EBD为全等的Rt△（∠ABC＝∠EBD＝90°），F为直线AE和直线CD的交点，求线段BF的取值范围为．28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为．29．如图，等边△ABC的边长为4，点O为△ABC的三条中线的交点，点D，E分别为边AB，BC上的点，若∠DOE＝120°，则DE的最小值为．30．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝．31．如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝45°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．32．如图，线段AC＝7，半圆D的直径AB＝4，点B在射线CB上运动．（1）当半圆D恰好经过AC边的中点时，CB＝；（2）当△ABC的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，tan C＝．33．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH 的重心为G．（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．34．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝．35．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由；（3）若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜4，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．。

初中数学如何计算三角形的点到重心的距离
要计算一个三角形的点到重心的距离，可以使用以下方法：
1. 重心的概念：在一个三角形中，重心是三条中线的交点，即通过每个顶点与对边中点作的直线的交点，它们的交点称为重心。

2. 重心的性质：在一个三角形中，重心有以下性质：
a) 重心到三个顶点的距离成比例，比例系数为2:1。

b) 重心到三条边的距离之和是最小的。

3. 计算三角形的点到重心的距离：对于一个三角形ABC，我们可以计算点P 到三个顶点的距离，然后用重心到顶点的距离来计算点到重心的距离。

a) 假设点P 的坐标为(x, y)。

b) 计算点到顶点的距离：使用点到点的距离公式，将点P 的坐标和三个顶点的坐标分别代入公式中，计算点到顶点的距离。

c) 计算重心到顶点的距离：由于重心到三个顶点的距离成比例，可以选择其中一个顶点到重心的距离来计算。

可以使用点到点的距离公式，将重心的坐标和一个顶点的坐标代入公式中，计算重心到顶点的距离。

d) 计算点到重心的距离：将点到顶点的距离减去重心到顶点的距离乘以2/3，即可得到点到重心的距离。

需要注意的是，这个方法适用于任意三角形。

总结起来，要计算一个三角形的点到重心的距离，可以通过计算点到顶点的距离，并减去重心到顶点的距离乘以2/3来实现。

这个方法可以在计算机程序中实现，并用于几何计算、模型建立等问题。

三角形五心定理（三角形的重心,外心,垂心,心坎和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,心坎定理,旁心定理的总称.一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证实,十分简略.（重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量平均的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名）重心的性质：1.重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2.重心和三角形3个极点构成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3.重心到三角形3个极点距离的平方和最小.4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是极点坐标的算术平均,即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3.二.三角形外心定理三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心.外心的性质：1.三角形的三条边的垂直等分线交于一点,该点即为该三角形外心.2.若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3.当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.4.盘算外心的坐标应先盘算下列暂时变量：d1,d2,d3分离是三角形三个极点连向别的两个极点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c ).5.外心到三极点的距离相等三.三角形垂心定理三角形的三条高（地点直线）交于一点,该点叫做三角形的垂心.垂心的性质：1.三角形三个极点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.2.三角形外心O.重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3.垂心到三角形一极点距离为此三角形外心到此极点对边距离的2倍.4.垂心分每条高线的两部分乘积相等.定理证实已知：ΔABC中,AD.BE是两条高,AD.BE交于点O,衔接CO并延伸交AB于点F ,求证：CF⊥AB证实：衔接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A.B.D.E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB是以,垂心定理成立！四.三角形心坎定理三角形内切圆的圆心,叫做三角形的心坎.心坎的性质：1.三角形的三条内角等分线交于一点.该点即为三角形的心坎.2.直角三角形的心坎到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3.P为ΔABC地点平面上随意率性一点,点I是ΔABC心坎的充要前提是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4.O为三角形的心坎,A.B.C分离为三角形的三个极点,延伸AO 交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五.三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他双方的延伸线相切的圆）的圆心,叫做三角形的旁心.旁心的性质：1.三角形一内角等分线和别的两极点处的外角等分线交于一点,该点即为三角形的旁心.2.每个三角形都有三个旁心.3.旁心到三边的距离相等.如图,点M就是△ABC的一个旁心.三角形随意率性两角的外角等分线和第三个角的内角等分线的交点.一个三角形有三个旁心,并且必定在三角形外.附：三角形的中间：只有正三角形才有中间,这时重心,心坎,外心,垂心,四心合一.有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心,重外垂内和旁心, 五心性质很主要,卖力控制莫记混．重心三条中线定订交,交点地位真奇巧, 交点定名为“重心”,重心性质要清楚明了,重心朋分中线段,数段之比听分晓; 长短之比二比一,灵巧应用控制好．外心三角形有六元素,三个内角有三边．作三边的中垂线,三线订交共一点．此点界说为外心,用它可作外接圆．心坎外心莫记混,内切外接是症结．垂心三角形上作三高,三高必于垂心交．高线朋分三角形,消失直角三对整,直角三角形有十二,构成六对类似形, 四点共圆图中有,仔细剖析可找清.内心三角对应三极点,角角都有等分线, 三线订交定共点,叫做“心坎”有根源;点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称“心坎”,如斯界说应当然．。

三角形的位置关系三角形的重心三角形的位置关系-三角形的重心三角形是几何学中最基本的图形之一，它的位置关系及其特点一直是数学研究的重点。

本文将讨论三角形的一个重要位置关系——三角形的重心。

一、三角形的定义与基本性质三角形是由三条线段组成的封闭图形，其具体定义为三个不共线的点所确定的图形。

三角形的基本性质包括内角和为180°、任意两边之和大于第三边、高度相等的两边成比例。

二、三角形的重心定义三角形的重心是指三角形三条线段的交点，也就是三条中线的交点。

中线是指连接一个顶点与对边中点的线段。

三、重心的性质1. 重心是三角形内部的点，它既在三角形的内部，也在三条中线上。

2. 三角形的三条中线交于一个点，即重心。

3. 重心到三个顶点的距离满足下列关系：GA/MA=GB/MB=GC/MC=2/1，其中GA、GB、GC表示重心到顶点A、B、C的距离，MA、MB、MC表示中线与对边的交点到对边起点的距离。

因此，重心到顶点的距离大于到对边中点的距离。

4. 重心将全体面积的三等分，即三角形被重心分成的三个小三角形的面积相等。

四、重心的意义与应用1. 重心是三角形的一个重要特征点，通过重心可以研究三角形的很多性质，如面积、周长、边长比、内角度量等。

2. 在工程学中，三角形的重心对于确定平衡和稳定性非常重要。

例如，在建筑设计中，确定物体的重心有助于合理布置家具、灯具等。

3. 三角形的重心还应用于平面几何的证明和计算中，可以通过构造重心来辅助推导和解题。

五、举例分析以一个具体的三角形为例，考察其重心的位置关系。

假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，连接中线GA、GB、GC后交于重心G。

通过计算可以得到重心到各顶点的距离，验证重心的特性。

六、总结本文介绍了三角形的一个重要位置关系——三角形的重心，重心具有许多独特的性质和应用。

通过研究重心，我们可以更好地理解和应用三角形的几何性质。

希望本文对读者对三角形位置关系的理解有所帮助。

三角形的心特点
三角形共有五心，分别为重心、内心、外心、垂心和旁心。

以下是这五心的特点：
1. 内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

到三边距离相等。

2. 外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

到三个顶点距离相等。

3. 重心：三条中线的交点。

三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

4. 垂心：三条高所在直线的交点。

此点分每条高线的两部分乘积。

5. 旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。

到三边的距离相等。

中考重点三角形的中心与垂心中考重点：三角形的中心与垂心三角形是几何学中的基础图形之一，经常在中考题目中出现。

掌握三角形的基本性质是解题的关键，而了解三角形的中心和垂心等重点概念，则更有助于我们理解和解答相关题目。

本文将详细介绍三角形的中心和垂心，并探讨它们的性质及应用。

一、三角形的中心三角形有四个重要的中心，分别是重心、外心、内心和垂心。

在本文中，我们重点介绍三角形的重心和外心。

1. 三角形的重心三角形的重心是三条中线的交点，即三条连接三角形顶点和对边中点的线段。

以三角形ABC为例，假设D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，连接AD、BE、CF，它们的交点G就是三角形ABC的重心。

重心G将三角形的每条中线分成两段，且其中一段比另一段长2倍。

重心具有以下性质：- 重心到三角形顶点的距离比重心到对边的距离长2倍。

- 重心将三角形分成六个小三角形，其中三个顶点分别是G和三角形ABC的顶点，而另外三个顶点分别在三角形ABC的中点上。

- 所有的中线都经过重心，且把三角形分成六个面积相等的小三角形。

2. 三角形的外心三角形的外心是三条垂直平分线的交点，即三角形三个顶点和所在边的垂直平分线的交点。

以三角形ABC为例，假设D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，连接AD、BE、CF，它们的垂直平分线的交点O就是三角形ABC的外心。

外心具有以下性质：- 外心到三个顶点的距离相等，即AO=BO=CO。

- 外心是三角形外接圆的圆心，外接圆的半径等于外心到三个顶点的距离。

- 外接圆上的弧度是三条边所对应的内角的平分线。

二、三角形的垂心三角形的垂心是三条高线的交点，即三角形三个顶点和对边所在直线的交点。

以三角形ABC为例，假设D、E、F分别为BC、AC、AB 上的垂足（垂足是对边到顶点的垂线与对边的交点），它们的交点H 就是三角形ABC的垂心。

垂心具有以下性质：- 垂心到三个顶点的距离不相等，即AH≠BH≠CH。

- 垂心是三角形三条高线的交点，垂心到对边的距离等于垂线段最短的那条高线的长度。

重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心。

重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、三角形内到三边距离之积最大的点。

外心设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3、GA=GB=GC=R.4、∠BGC=2∠A，或∠BGC=2(180°-∠A).内心设⊿ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心．2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．3、r=S/p．4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5、∠BIC=90°+A/2．垂心三角形三条边上的高交于一点，该点叫做三角形的垂心。

设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，1、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；2、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

3、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·H D=BH·HE=CH·HF。

4、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

5、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。

6、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

计算三角形的重心三角形的重心是指三角形三个顶点的垂线交点，也是三条中线的交点。

计算三角形的重心可以通过求三个顶点坐标的平均值来实现。

一、计算重心的公式设三角形的三个顶点分别为A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3,y3）。

重心的坐标为G（x, y）。

则重心的计算公式为：x = (x1 + x2 + x3)/3y = (y1 + y2 + y3)/3二、计算重心的步骤以下是计算三角形重心的具体步骤：1. 确定三个顶点的坐标，即A、B、C；2. 根据重心的计算公式，计算重心的横坐标x和纵坐标y；3. 得到重心的坐标G（x, y）。

三、实例演示假设三角形的顶点分别为A（1, 1），B（4, 5），C（7, 2）。

我们可以按照上述步骤计算重心。

1. 确定三个顶点的坐标：A（1, 1）B（4, 5）C（7, 2）2. 根据重心的计算公式，计算重心的横坐标x和纵坐标y：x = (1 + 4 + 7)/3 = 12/3 = 4y = (1 + 5 + 2)/3 = 8/3 ≈ 2.673. 得到重心的坐标G（x, y）：G（4, 2.67）因此，三角形ABC的重心的坐标为G（4, 2.67）。

四、重心的作用重心是三角形的一个重要特征点，具有以下作用：1. 在力学和静力学中，重心是计算物体平衡和稳定性的关键点；2. 在几何学中，重心是计算三角形的性质和判断三角形形状的重要参考点；3. 重心也可用于计算三角形的其他性质，如重心与顶点的距离比、重心与各边的距离比等。

五、总结计算三角形的重心可以通过求三个顶点坐标的平均值来实现。

重心是三角形的重要特征点，具有多重作用。

在实际应用中，我们可以通过求解重心来计算三角形的平衡、稳定性和其他重要性质。

以上是关于计算三角形重心的简要介绍，希望对您有所帮助。

三角形的重心与垂直平分线的关系在几何学中，三角形是最基本的图形之一，而重心和垂直平分线是三角形中重要的概念。

在本文中，我们将探讨三角形的重心与垂直平分线之间的关系。

一、三角形的重心重心是指三角形内所有三条中线的交点，记作G。

中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

对于任意三角形ABC，它的三条中线分别为AD、BE和CF，其中D、E和F分别是BC、AC和AB的中点。

重心G就是中线AD、BE和CF的交点。

二、三角形的垂直平分线垂直平分线是指与线段的中点垂直相交，并将线段平分为两段相等的线段。

对于任意三角形ABC，如果通过一条边的中点和与这条边垂直的直线，刚好将这条边分成两段相等的长度，那么这条直线就是这条边的垂直平分线。

三、三角形重心与垂直平分线的关系在任意三角形ABC中，重心G与三个顶点A、B和C之间有以下重要的特点和关系：1. 重心G到三个顶点的距离相等。

即GA = GB = GC。

这意味着重心到三个顶点的距离是相等的，重心G可以视为三角形ABC的重心的重心。

2. 重心G到三角形对边的距离成比例。

即GD：GE：GF = 2：1。

3. 重心G是三角形内切圆的圆心。

内切圆是与三角形的三条边都相切的圆。

4. 重心G所在的直线通过三角形的垂心H。

垂心是指三角形三条高的交点。

垂直平分线与重心之间的关系如下：1. 三角形的重心与垂直平分线的交点是三角形的外心O。

外心是指与三角形的三条边的垂直平分线相交的唯一圆心。

2. 垂直平分线上的某个点P与三角形的顶点之间的距离相等，即PA = PB = PC。

3. 垂直平分线平分了三角形的外角。

三角形的外角是指三角形内部对角的补角。

三角形的重心和垂直平分线之间的关系在解决几何问题时非常有用。

它们的几何特性和性质经常被应用于三角形的证明和计算中。

通过理解重心和垂直平分线的关系，我们可以更好地理解和分析三角形的性质和特点。

正文至此结束，通过对三角形的重心与垂直平分线关系的讨论，我们可以看出它们之间的重要性和密切联系。