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4.2.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系（典例）已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交；(2)△=0相切；(3)△<0相离。
判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)d<r相交；(2)d=r相切；(3)d>r相离。
例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。
法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点，∵点P在圆O内，∴直线L与圆O相交。
法二：圆心O到直线L的距离为当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，∴14m2+4m+17>0 ∴m∈R所以直线L与直线O相交。
2．切线问题：例3：已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2) 法一：∵点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，∴当x0≠0且y0≠0时，∴切线方程为当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；\当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2∴x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。
综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2。
(1)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。
解：当PT方程为x=4时，为圆O的切线，满足题意：设PT的方程为y-6=k(x-4)，即kx-y-4k+6=0则圆心O到PT的距离为所以PT的方程为综上，切线PT的方程为x=4，5x-12y+52=0 例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：(1)；（2） B(4，5) 解： (1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，法一：设切线方程为，则圆心到切线的距离为，∴所求切线方程为法二：∵AC⊥l，∴所求切线方程为(2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为又直线x=4也是圆的切线方程，∴所求切线方程为例5、设点P(x，y)是圆x2+y2=1上任一点，求的取值范围。
数学新课标人教A版必修2：4．2 直线、圆的位置关系（教案）4.2.1 直线与圆的位置关系一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．2、过程与方法设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，直线与圆相离；（2）当时，直线与圆相切；（3）当时，直线与圆相交；3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重点、难点：重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．三、教学设想问题设计意图师生活动1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课．师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课．生：看图，并说出自己的看法．2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类．师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化"数形结合"的数学思想．问题设计意图师生活动生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系．3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力．师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程．生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程．4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法．师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法．生：利用图形，寻找两种方法的数学思想．5．你能两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗？体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系．师：指导学生阅读教科书上的例1．生：新闻记者教科书上的例1，并完成教科书第136页的练习题2．6．通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤．生：阅读例1．师；分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间．生：交流自己总结的步骤．师：展示解题步骤．7．通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗？进一步深化"数形结合"的数学思想．师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用"数形结合"的数学思想解决问题．生：阅读教科书上的例2，并完成第137页的练习题．问题设计意图师生活动8．通过例2的学习，你发现了什么？明确弦长的运算方法．师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法．生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法．9．完成教科书第136页的练习题1、2、3、4．巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系．师：引导学生完成练习题．生：互相讨论、交流，完成练习题．10．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考：（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何求出直线与圆的相交弦长？作业：习题4．2A组：1、3．4.2.2 圆与圆的位置关系一、教学目标1、知识与技能（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．2、过程与方法设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；（3）当时，圆与圆相交；（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含；3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重点、难点：重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系．三、教学设想问题设计意图师生活动1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣．教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流．2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和解决两圆的位置教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法．问题设计意图师生活动关系的方法．学生观察图形并思考，发表自己的解题方法．3．例3你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？培养学生"数形结合"的意识．教师应该关注并发现有多少学生利用"图形"求，对这些学生应该给予表扬．同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科．4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？进一步培养学生解决问题、分析问题的能力．利用判别式来探求两圆的位置关系．师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题．生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解．5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？进一步激发学生探求新知的精神，培养学生师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置．生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径．6．如何判断两个圆的位置关系呢？从具体到一般地总结判断两个圆的位置关系的一般方法．师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法．7．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题．巩固方法，并培养学生解决问题的能力．师：指导学生完成练习题．生：阅读教科书的例3，并完成第137页的练习题．问题设计意图师生活动8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？得出两个圆的相交弦所在直线的方程．师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法．生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程．9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？进一步验证相交弦的方程．师：引导学生验证结论．生：互相讨论、交流，验证结论．10．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考：（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？作业：习题4．2A组：4、7．4.2.3 直线与圆的方程的应用一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用"数形结合"的数学思想解决问题．2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果"翻译"成几何结论．3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．二、教学重点、难点：重点与难点：直线与圆的方程的应用．三、教学设想问题设计意图师生活动1．你能说出直线与圆的位置关系吗？启发并引导学生回顾直线与圆的位置关系，从而引入新课．师：启发学生回顾直线与圆的位置关系，导入新课．生：回顾，说出自己的看法．2．解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？理解并掌握直线与圆的位置关系的解决办法与数学思想．师：引导学生通过观察图形，回顾所学过的知识，说出解决问题的方法．生：回顾、思考、讨论、交流，得到解决问题的方法．问题设计意图师生活动3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择．师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面直角坐标系求解．生：自学例4，并完成练习题1、2．师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间．4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？使学生加深对圆的方程的认识．教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值．5．你能利用"坐标法"解决例5吗？巩固"坐标法"，培养学生分析问题与解决问题的能力．师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题．生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法．6．完成教科书第140页的练习题2、3、4．使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深"坐标法"的解题步骤．教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4．教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据．7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？反馈学生掌握"坐标法"解决问题的情况，巩固所学知识．学生独立解决第141页习题4．2A第8题，教师组织学生讨论交流．8．小结：（1）利用"坐标法"解决问对知识进行归纳概括，体会利师：指导学生完成练习题．生：阅读教科书的例3，并完成第问题设计意图师生活动题的需要准备什么工作？（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？（3）你认为学好"坐标法"解决问题的关键是什么？（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？用"坐标法"解决实际问题的作用．教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究．作业：习题4．2B组：1、2．。
