2020年安徽省六安一中高考数学模拟试卷(四)(4月份)(有答案解析)

…外…………○…………装学校:___________姓…内…………○…………装绝密★启用前安徽省六安市第一中学2020届高三下学期高考适应性考试数学（文）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知{}1A x Z x =∈>-，集合{}2log 2B x x =<，则A B =（ ）A ．{}14x x -<<B ．{}04x x <<C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32．设复数()1z bi b R =+∈，且234z i =-+，则z 的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-3．已知函数f (x )＝e x －(x ＋1)2(e 为2.718 28…)，则f (x )的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．线…………○……线…………○……①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[]110,120内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．15．一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱，则该圆锥的体积为（）A．B C D6．已知函数()()()2x xe e xf xx x-⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩，若0.015a=，33log22b=，2log0.9c=，则有（）A．()()()f b f a f c>>B．()()()f a f b f c>>C．()()()f a f c f b>>D．()()()f c f a f b>>7．下列命题错误的是( )A．命题“若0xy=，则x，y中至少有一个为零”的否定是：“若0xy≠，则x，y都不为零”B．对于命题0:p x R∃∈，使得20010x x++<，则:p x R⌝∀∈，均有210x x++≥C．命题“若0m>，则方程20x x m+-=有实根”的逆否命题为“若方程20x x m+-=无实根，则0m≤”D．“1x=”是“2320x x-+=”的充分不必要条件○……_班级：_○……8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，11168313225a a a a a a ++=，则27a 的最大值是（ ） A ．25B ．254C ．5D ．259．把函数sin2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =有以下四个判断：①该函数的解析式为2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；②该函数图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③该函数在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a =正确判断的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②④10．已知点A 为抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PF =，当m 取最大值时PA 的值为（ ） A ．1B ．5C ．6D ．11．已知向量,a b 满足1a =，a 与b 的夹角为3π，若对一切实数x ，2xa b a b++恒成立，则||b 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞12．已知函数()21cos 12f x ax x =+-（a R ∈），若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞B ．()[),01,-∞+∞C ．(][),01,-∞⋃+∞D ．(][),11,-∞-+∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题…………○……※※请※…………○……13．曲线22ln y x x =-在某点处的切线的斜率为3，则该切线的方程为____________.14．当实数x ，y 满足不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩时，1ya x ≥+，则实数a 的取值范围是________．15．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左、右焦点为1F 、2F ，点2F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率是________． 三、双空题16．已知在数列{}n a 中，611a =且()111n n na n a +--=，设11n n n b a a +=，*n N ∈，则n a =________，数列{}n b 前n 项和n T =________． 四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足2a =，cos (2)cos a B c b A =-. （1）求角A 的大小； （2）求ABC 周长的范围.18．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，PA PC =，BD PA ⊥，E 是BC 上一点，且1BE =，设ACBD O =.（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）若60BAD ∠=︒，PA PE ⊥，求三棱锥P AOE -的体积.19．已知Q 为圆()22:116E x y ++=上一动点，()0,1F ，QF 的垂直平分线交QE 于点P ，设点P 的轨迹为曲线C ．…………○…………订……名：___________班级：___________考号：_…………○…………订……（2）已知直线l 为曲线C 上一点()0,1A x -处的切线，l 与直线4y =交于B 点，问：以线段AB 为直径的圆是否过定点F ？请给予说明．20．某企业对某种产品的生产线进行了改造升级，已知该种产品的质量以其质量指标值m 衡量，并依据质量指标值m 划分等级如下表：该企业从生产的这种产品中随机抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到如下的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值m 的平均数x （同一区间数据用该区间数据的中点值代表）；（2）用分层抽样的方法从样本质量指标值m 在区间[)150,200和[]200,250内的产品中随机抽取4件，再从这4件中任取2件作进一步研究，求这2件都取自区间[]200,250的概率；（3）该企业统计了近100天中每天的生产件数，得下面的频数分布表：该企业计划引进新的设备对该产品进行进一步加工，有A ，B 两种设备可供选择.A 设加工4件，每天维护费用为800元/台.该企业现有两种购置方案： 方案一：购买100台A 设备和800台B 设备； 方案二：购买200台A 设备和450台B 设备.假设进一步加工后每件产品可以增加25元的收入，在抽取的这100天的生产件数（同一组数据用该区间数据的中点值代表）的前提下，试依据使用A ，B 两种设备后的日增加的利润（日增加的利润=日增加的收入-日维护费用）的均值为该公司决策选择哪种方案更好？21．设函数2()e 4xx f x x =--.（1）证明：函数()f x 在(0,)+∞单调递增；（2）当0x <时，()f x a <恒成立，求整数a 的最小值.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 经过点(1,M --且倾斜角为α.（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α. 23．已知()()2f x x m m m R =-+∈．（1）若不等式()2f x ≤的解集为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的值；（2）在（1）的条件下，若a ，b ，c +∈R ，且4a b c m ++=，求证：4436ac bc ab abc ++≥．参考答案1．D 【解析】 【分析】先求解集合B 再求A B 即可.【详解】{}04B x x =<<,∵{}1A x Z x =∈>-,∴{}1,2,3A B =,故选：D. 【点睛】本题主要考查了对数的不等式求解以及交集的运算,属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及复数相等的充要条件求出复数z ，从而得到z 的共轭复数，即可得解； 【详解】解：因为()1z bi b R =+∈ 所以221234z b bi i =-+=-+， ∴2b =，∴12z i =+，∴12z i =-， 故z 的虚部为2-， 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，复数相等的充要条件，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】利用特殊值代入()10f ->，可排除A 、D,根据导数判断函数的单调性可排除B ，即可得出结果. 【详解】函数()2(1)x f x e x ＝－+，当1x =-时，()1=110f ee -->＝，故排除A 、D ，又()22()20ln 2x xf x e x f x e x '''=--=-=⇒=，，，当0ln 2x <<时，()(0())00f f f x x ''<''<∴<，，所以()f x 在()0,ln 2为减函数，故排除B,故选：C. 【点睛】本题考查函数的图象、利用导数研究函数的单调性，识别函数图象问题，往往可根据特殊值或特殊自变量所在区间利用排除法解答，属于中档题. 4．C 【解析】 【分析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可． 【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[]110,120内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确； ④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确． 故选C ． 【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 5．D 【解析】 【分析】首先作出该几何体的轴截面图，设内接圆柱的高为h 得到h =AB =.【详解】作出该几何体的轴截面图如图，2BC =，1BD =，设内接圆柱的高为h ，由21h π⨯⨯=，得h =因为CABCED ，所以ED CD AB CB =，即12AB =，得AB =所以该圆锥的体积为21233π⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题主要考查圆锥的体积，同时考查圆柱的体积，属于简单题. 6．B 【解析】 【分析】首先根据题意得到()f x 在R 上为增函数，再比较,,a b c 的大小关系即可得到答案. 【详解】因为当0x >时，()xxf x e e -=-为增函数，当0x ≤时，()2f x x =-为增函数，所以()f x 在R 上为增函数.又因为0.01551a =>=，323333log 2log 2log 2b ===01b <<，22log 0.9log 10c =<=，所以a b c >>.故()()()f a f b f c >>. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的单调性，同时考查指数函数，对数函数的比较大小，属于简单题.7．A 【解析】 【分析】根据命题的否定，逆否命题，充分不必要条件的性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A 选项中命题的否定是：若0xy =，则x ，y 都不为零，故A 不正确；B 选项是一个特称命题的否定，变化正确；C 选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题条件和结论都否定再交换位置，C 正确；D 选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出1x =，故D 正确， 故选：A. 【点睛】本题考查了命题的否定，逆否命题，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 8．B 【解析】 【分析】由已知得685a a +=，再利用基本不等式22687682a a a a a +⎛⋅⎫=≤ ⎪⎝⎭求27a 的最大值.【详解】解：由等比数列的性质，可得()222111683136688682225a a a a a a a a a a a a ++=++=+=，又因为0n a >，所以685a a +=，所以22687682524a a a a a +⎛⎫=≤=⎪⎝⎭⋅， （当且仅当6852a a ==时取等） 所以27a 的最大值是254. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，考查等比中项的应用，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9．D 【解析】 【分析】先利用三角函数的平移变换和伸缩变换得到函数()2in 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f s x x ，再利用正弦函数的性质一一验证. 【详解】把函数sin2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位得到sin 2in 263ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦y x s x ， 纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()2in 23π⎛⎫=+⎪⎝⎭f s x x ，故①正确； 因为2in 2=033ππ⎛⎫⨯+⎪⎝⎭s ，故②正确； 因为0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则22,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin y x =不单调，故③错误；因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2in 223π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭s x ，若函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a =故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．D 【解析】 【分析】先求得抛物线的焦点和准线，再根据定义可得m 取最大值时，PA 与抛物线相切，利用判别式可求得PA 的方程，即可求得点P 的坐标，利用距离公式求得PA . 【详解】因为抛物线24x y =，所以焦点(0,1)F ,准线方程1y =-，即点(0,1)A -过点P 作准线的垂线，垂足为N ，由抛物线的定义可得PF PN = 因为PA m PF =，所以PA m PN = 设PA 的倾斜角为θ，所以1sin PN PA mθ== 当m 取最大时，sin θ 最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA ：1y kx =-，代入抛物线24x y =，可得224(1)440x kx x kx =-∴-+= 即2161601k k ∆=-=∴=± 可得点(2,1)P此时PA ==故选D 【点睛】本题考查了抛物线与直线的知识，熟悉抛物线的图像，定义以及性质是解题的关键，属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】|2|||a b a x b ++平方，利用向量的数量积公式，展开整理得，对一切实数x ，222||3||||10x b x b b ++--恒成立，从而有0∆≤解不等式，即可得出结论.【详解】解：因为||1a =，a 与b 的夹角为3π， 所以1||cos ||32a b b b π⋅==． 把|2|||a b a x b ++两边平方，整理可得222||3||||10x b x b b ++--， 所以()224||43||||10b b b ∆=---≤， 即(||1)(2||1)0b b -+，即||1b ．故选:C ． 【点睛】本题考查向量的模与数量积的关系，将问题等价转化为一元二次不等式恒成立，属于基础题. 12．B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性变换得到22sin 2x a x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，设2sin 2x k x =，利用其几何意义根据图象得到范围. 【详解】()21cos 12f x ax x =+-，易知函数为偶函数，且()00f =，故考虑0x >的情况即可，当0x >时，()21cos 102f x ax x =+-=，即()222sin 21cos 2x x a x x ⎛⎫ ⎪-== ⎪ ⎪⎝⎭，设2sin 2xk x=，表示函数2sin 2xy =上的点到原点的斜率，根据图象知： cos 2xy '=，当0x =时，max1y '=，故1k <，故22sin 201x x ⎛⎫ ⎪≤< ⎪ ⎪⎝⎭， ()222sin 21cos 2x x a x x ⎛⎫ ⎪-== ⎪ ⎪⎝⎭无解，故()[),01,a ∞∞∈-+.故选：B.【点睛】本题考查了利用导数解决函数的零点问题，将题目转化为函数2sin 2xy =上的点到原点的斜率是解题的关键. 13．310x y --= 【解析】 【分析】先求出函数的导数，再由导数的几何意义列方程求解出切点，再由点斜式写出切线方程即可. 【详解】 由143y x x'=-=，解得1x =或14x =-（舍去），所以切点的坐标为(1,2)，所以所求切线的方程为23(1)y x -=-，整理为310x y --=. 故答案为：310x y --= 【点睛】本题考查了函数导数的几何意义及应用，属于基础题． 14．[)4,+∞. 【解析】 【分析】本题根据题意画出可行域，再求出1yx +的最大值，即可解题. 【详解】画出不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，如图所示的三角形BCD 及其内部，其中(0,4)D .1yx +表示(,)P x y 与(1,0)A -连线的斜率， 当(,)P x y 取(0,4)D 时，1yx +的最大值为4，所以4a ≥． 故答案为：[)4,+∞. 【点睛】本题考查线性规划求目标函数的最大值，是中档题. 15．2 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线的对称性以及题意可知一条渐近线的倾斜角为60︒，再根据双曲线的性质即可求出结果. 【详解】由题意，作出草图，如下图所示：设()2,0F c 关于渐近线by x a=的对称点为N ，其中垂足为M ， 由对称性知12FON F OM NOM ∠=∠=∠, 所以260F OM ∠=︒，所以渐近线by x a=倾斜角为60︒，所以tan 60ba=︒=所以双曲线的离心率为2e ==． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了双曲线的性质和离心率的求法，属于中档题. 16．21n - 21nn + 【解析】 【分析】由()111n n na n a +--=变形得出数列111na n n ⎧⎫-⎨⎬--⎩⎭为常数列，结合611a =可得n a ，然后用裂项相消法求得n T ． 【详解】解：()111n n na n a +--=，()1111111n n a a n n n n n n+∴-==---- ()111211n n a a n n n n n +∴-=-≥-- 111n a n n ⎧⎫∴-⎨⎬--⎩⎭为常数列，()611221155n a a n n n -=-=≥-- ()212n a n n ∴=-≥，1n =，11a =适合上式．∴21n a n =-，*n N ∈，111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ∴111111111111232352212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故答案为：21n -；21nn +． 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和．解题关键是由已知等式变形后构造新数列111na n n ⎧⎫-⎨⎬--⎩⎭为常数列，从而得通项公式n a ． 17．（1）3π；（2）(]4,6. 【解析】 【分析】（1）将cos (2)cos a B c b A =-利用正弦定理和两角和的正弦公式化简得sin 2sin cos C C A =，从而可得A 的值.（2）由余弦定理和基本不等式，以及三角形两边之和大于第三边，可得周长范围. 【详解】（1）由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=.由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=. 即sin()2sin cos A B C A +=，因为sin()sin A B C +=. 所以sin 2sin cos C C A =. 因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =， 因为0A π<<，所以3A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得224bc b c +=+ 即2()34b c bc +=+. 因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭所以223()()44b c b c +≤++，即4b c +≤（当且仅当2b c ==时等号成立）. 又∵b c a +>，即24b c <+≤， 所以46a b c <++≤， 即周长的范围为(]4,6. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.18．（1）证明见解析；（2）32. 【解析】 【分析】（1）由已知可先证BD ⊥平面PAC ，得到BD PO ⊥，再由PO AC ⊥，进一步得到PO ⊥平面ABCD ；（2）根据条件，解三角形求出三棱锥P AOE -的高PO ，底面积AOES ，再利用棱锥的体积公式求出三棱锥P AOE -的体积 【详解】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥，O 是AC 的中点.BD PA ⊥，PA AC A =，BD ∴⊥平面PAC .PO ⊂平面PAC ，BD PO ∴⊥.PA PC =，O 是AC 的中点，PO AC ∴⊥. AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，ACBD O =，PO ∴⊥平面ABCD .（2）解：由四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒， 得ABD △和BCD 都是等边三角形4BD AB ∴==.O 是BD 的中点，2BO ∴=.在Rt ABO △中，AO ==.在Rt PAO △中，222212PA AO PO PO =+=+. 取BC 的中点F ，连接DF ，则DF BC ⊥.∴在Rt BDF △中，DF =1BE =，E ∴是BF 的中点.又O 是BD 的中点，12OE DF ∴==.在Rt POE 中，22223PE OE PO PO =+=+.在ABE △中，由余弦定得2222cos12021AE AB BE AB BE =+-⋅︒=.PA PE ⊥，222PA PE AE ∴+=.2212321PO PO ∴+++=.PO ∴=AOEABC ABE COE SS S S =--△△△11144sin12041sin12032222=⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒-⨯=，113332P AOE AOE V S PO -∴=⋅==△.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积的计算，解三角形，余弦定理，三角形的面积公式，考查空间想象能力与思维能力，运算能力，属于中档题.19．（1）22143y x +=；（2）以线段AB 为直径的圆过定点F ．理由见解析. 【解析】 【分析】（1）首先设(),P x y ，根据题意得到42PE PF PE PQ QE =+==+>，从而得到点P 在以E 、F 为焦点的椭圆上，再求轨迹方程即可.（2）首先求得3,12A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设3:12l y k x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，代入22143y x+=利用0∆=得到2k =-，在计算0FA FB ⋅=，即可得到线段AB 为直径的圆过定点F .【详解】（1）如图所示，设(),P x y ，由题知：PQ PF =，42PE PF PE PQ QE =+==+>所以点P 在以E 、F 为焦点的椭圆上，24a =，1c =，b =故点P 轨迹方程为22143y x +=.（2）将1y =-代入22143y x +=得32x =±， 所以3,12A ⎛⎫±- ⎪⎝⎭，不妨取3,12A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设3:12l y k x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，代入22143y x +=得：()()22222734969904k x k k x k k ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭.所以()()222227964349904k kk k k ⎛⎫∆=--+--= ⎪⎝⎭，整理得：2440k k ++=，解得2k =-. 所以:240l x y ++=，故()4,4B -. 因为3,22FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()4,3FB =-， 即()3,24,302FA FB ⎛⎫⋅=--⋅-= ⎪⎝⎭，故以线段AB 为直径的圆过定点F . 【点睛】本题第一问考查椭圆的轨迹方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查学生的计算能力，属于中档题.20．（1）312.5；（2）12；（3）方案二. 【解析】【分析】 （1）根据频率分布直方图中的数据计算即可；（2）首先得到应从区间[)150,200上抽取1件，记为1A ，从区间[]200,250上抽取3件，记为1B ，2B ，3B ，然后用列举法求解即可；（3）根据给出的条件分别计算出两种方案下的日增加的利润均值即可得到答案.【详解】（1）由题意得1750.052250.152750.23250.33750.24250.1312.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）因为区间[)150,200和[]200,250上的频率之比为1:3， 所以应从区间[)150,200上抽取1件，记为1A ，从区间[]200,250上抽取3件，记为1B ，2B ，3B ，则从中任取两件的情况有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B 共6种，其中两件都取自区间[]200,250上的情况有()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共3种， 所以其概率3162P ==. （3）每天生产件数的频数分布表为：若采用方案一，使用100台A 设备和800台B 设备每天可进一步加工的件数为3010048006200⨯+⨯=，可得实际加工件数的频数分布表为所以方案一中使用A ，B 设备进一步加工后的日增加的利润均值为()600020620080255001008080040000100⨯+⨯⨯-⨯-⨯=； 若采用方案二，使用200台A 设备和450台B 设备每天可进一步加工的件数为3020044507800⨯+⨯=，可得实际加工件数的频数分布表为所以方案二中使用A ，B 设备进一步加工后的日增加的利润均值为 ()600020700030780050255002008045044000100⨯+⨯+⨯⨯-⨯-⨯=. 综上所述，公司应该选择方案二.【点睛】本题主要考查的是频率分布直方图和古典概型的知识，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.21．（1）见解析；（2）2 【解析】【分析】（1）. 先确定导函数的定义域，再求导，从而来分析函数的单调性；(2)解决函数不等式恒成立问题，先求的函数f(x)在x>0上的最大值，在分析a 取得最小值【详解】（1）因为()e 12x x f x '=--，记()()h x f x '=，所以1()e 2x h x '=-， 当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>恒成立，所以，()h x 在(0,)+∞单调递增，所以，()(0)0h x h >=，所以当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>恒成立，所以，函数()f x 在(0,)+∞单调递增（2）由（1）知，1()e 2x h x '=-，令()0h x '=解得ln2x =-， 当(,ln 2)x ∈-∞-时，()0h x '<，即()h x 单调递减；当(ln 2,0)x ∈-时，()0h x '>，即()h x 单调递增；又(1)0h -<，(2)0h ->，所以在(2,1)--上存在唯一0x ，满足()00h x =，即0()0f x '=.当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增；当()0,0x x ∈时，()0f x '<，即()f x 单调递减；所以，当0x <时，()020max00()e 4x x f x f x x ==--， 因为，()00f x '=可得00e 12x x =+ 所以，200max ()142x x f x =--+，由0(2,1)x ∈--，可得max 5()1,4f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 因为()f x a <恒成立，且a ∈Z ，所以整数a 的最小值为2【点睛】本题考核利用导数求函数的单调性，根据函数不等式恒诚问题，求参数的值或范围问题22．（1）4cos ρθ=，1cos t sin x t y αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2. 【解析】【分析】（1）由曲线C 的参数方程消去参数可得曲线C 的普通方程，由此可求曲线C 的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；（2）将直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程224x y x +=，整理得)26cos 320t t αα-++=，利用韦达定理，根据A 为MB 的中点，解出α即可. 【详解】（1）由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数， 可得()2224x y -+=，即224x y x +=， ∴已知曲线C 的普通方程为224x y x +=，cos x ρθ=，222x y ρ=+，∴24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l经过点(1,M --，且倾斜角为α， ∴直线l的参数方程：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，0απ≤≤）. （2）设,A B 对应的参数分别为A t ，B t .将直线l 的参数方程代入C 并整理，得)26cos 320t t αα-++=，∴)6cos A B t t αα+=+，32A B t t ⋅=. 又A 为MB 的中点，∴2B A t t =，∴)2cos 4sin 6A t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴232sin 326A B t t πα⎛⎫⋅=+= ⎪⎝⎭，即2sin ()16πα+=，0απ≤≤， ∴7666πππα≤+<， ∴62ππα+=，即3πα=，∴tan 3π=【点睛】本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.23．（1）1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用12x =和32x =是方程()2f x =的解可求得m ； （2）由（1）得41a b c ++=，用“1”代换得()44111444ac bc ab a b c abc a b c ++⎛⎫=++⋅++ ⎪⎝⎭，然后由柯西不等式得结论后可证．【详解】解：（1）由题意12223222m m m m ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1m =；（2）由（1）知41a b c ++=， ∴()2441114944ac bc ab a b c abc a b c ++⎛⎫=++⋅++≥= ⎪⎝⎭ 4436ac bc ab abc ∴++≥．【点睛】本题考查已知绝对值不等式的解求参数，考查由柯西不等式证明不等式成立．解题关键是由已知条件凑配出柯西不等式的形式，从而完成证明．。

1号卷·A10联盟2024届高三4月质量检测考试数学试题巢湖一中 合肥八中 淮南二中 六安一中 南陵中学 舒城中学 太湖中学 天长中学 屯溪一中 宣城中学 滁州中学 池州一中 阜阳一中 灵盟中学 宿城一中 合肥六中 太和中学 合肥七中 科大附中 野寨中学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2N 250A x x x =∈-≤，则A 的子集个数为（ ）A. 4B. 7C. 8D. 162. 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，若点54,A p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，则OAF △的面积为（ ）A.B.C. 4D. 83. 已知()0,m n ∈+∞,，14n m +=，则9m n+的最小值为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 64. 学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（ ） A. 24种 B. 36种C. 48种D. 60种5. 已知12ln22a =+，1ln93b =+，12ec =+，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c a b <<B. c b a <<C. a c b <<D. a b c <<6. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a c =，且()22sin 21sin BB A=+，则B =（ ）A.π3B.2π3C.3π4D.5π67. 已知AB 是圆O ：222x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=︒，则()OM ON AB +⋅的最小值为（ ） A. 0B. -2C. -4D. -8. 若定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()222f x y f x y f x f y +-=+，且()11f =-，则()()()()0122024f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 0B. -1C. 2D. 1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ） A. 平均数9.6 B. 众数为10 C. 第80百分位数为9.8D. 方差为3735010. 在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数()()41sin 2121i i x f x i =⎡⎤-⎣⎦=-∑的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（ ）A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的图象关于点()2π,0对称C. ()f x 的图象关于直线π2x =对称 D. π是()f x 的一个周期11. 已知双曲线C ：2213y x -=左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：()1x my m =-∈R 与C 的左、右两支分别交于M ，N 两点（点N 在第一象限），点01,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 上，点Q 在直线2NF 上，且12QF PF ∥，则（ ）A. C 的离心率为3B.当m =时，MN =为的C. 22PF M NF P ∠=∠D. 2QF 为定值第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若复数()()45i z a a =+-+在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围是__________. 13. 若关于x 方程()eln e ln e xxm m x x +=+-有解，则实数m 的最大值为__________. 14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，且()1101C E C B λλ=<<，则当AE EC +取得最小值时，三棱锥11B ECD -的外接球体积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()2131e 2x f x x mx -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）若曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线l 与直线50x y -=垂直，求l 的方程； （2）若函数()f x 在()0,∞+上有2个极值点，求实数m 的取值范围.16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，45CAB CBA ∠=∠=︒，1A AC ACB ∠=∠，1160CC B ∠=︒，1BC CC =，P 为线段1BB 的中点，点N 为线段11A B 上靠近1B 的三等分点.（1）求证：1BB AP ⊥；（2）求平面NCP 与平面ACP 夹角的余弦值.17. 某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下： ①学生：回答n 个问题，每个问题小明回答正确的概率均为12；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为()01p p <<. ②教师：回答n 个问题，每个问题唐老师回答正确概率均为23.的的假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜. （1）若3n =，25p =，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X ，求X 的分布列及数学期望：（2）若2n =，且小明同学获胜的概率不小于51144，求p 的最小值. 18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为4，过右焦点F 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，点A ，B在x 轴上的投影分别为A '，B '（A '在B '的左侧）；当直线l 的倾斜角为135 时，线段AB 的中点坐标为42,33⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求C 的方程；（2）若圆C '：228x y +=，判断以线段AF 为直径的圆C ''与圆C '的位置关系，并说明理由；（3）若直线AB '与直线A B '交于点M ，MAB △面积为43，求直线l 的方程. 19. 在不大于()*,,2nkk n k ∈≥N 的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为()kF n .（1）求()24F ，()33F 的值；（2）对于*,,m n p ∈N ，m n p <<，是否存在m ，n ，p ，使得()()()666F m F n F p +=?若存在，求出m ，n ，p 的值；若不存在，请说明理由； （3）记[]x 表示不超过x 的最大整数，且()1651nn i S F i ==-∑，求[][][][]123100S S S S +++⋅⋅⋅+的值. 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2N 250A x x x =∈-≤，则A 的子集个数为（ ）A. 4B. 7C. 8D. 16【答案】C 【解析】【分析】求出集合A 中元素，进而求出集合A 的子集个数．的【详解】由题意得，{}5N |00,1,22A x x ⎧⎫=∈≤≤=⎨⎬⎩⎭， 则A 的子集个数为328=， 故选：C ．2. 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，若点54,A p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，则OAF △的面积为（ ）A. B.C. 4D. 8【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，将A 点坐标代入抛物线方程，求得4p =，求出524,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可求得OAF △的面积.【详解】将54,A p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入C 的方程，得5222p p =，故4p =，所以524,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OAF △的面积521222S =⨯⨯=故选：A.3. 已知()0,m n ∈+∞,，14n m +=，则9m n+的最小值为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.【详解】(),0,m n ∀∈+∞，919119110104444m m n mn n n m mn ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当9mn mn=，即1m =，3n =时等号成立. 故选：B.4. 学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种【答案】B 【解析】【分析】把5位老师按3:1:1和2:2:1分组，再把分成的3组安排到3所学校，列式计算得解. 【详解】把5位老师按3:1:1和2:2:1分组，且唐老师和李老师在一起的不同分组方法数为1233C C +， 所以不同的安排方法有313332(C C )(33)636A +=+⨯=（种）. 故选：B 5. 已知12ln22a =+，1ln93b =+，12ec =+，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c a b << B. c b a <<C. a c b <<D. a b c <<【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，构造函数1()2ln ,1f x x x x=+>，利用导数判断单调性即可得解. 【详解】令函数1()2ln ,1f x x x x =+>，求导得221221()0x f x x x x -'=-+=>， 因此函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(2)(e)(3)f f f <<，1112ln222ln32e 3+<+<+，所以a c b <<故选：C6. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a c =，且()22sin 21sin BB A=+，则B =.（ ） A.π3B.2π3C.3π4D.5π6【答案】D 【解析】【分析】由已知等式结合正弦定理可得()2221b a B =+，再由余弦定理可得()22222cos 21cos b a c ac B a B =+-=-，最后结合同角的三角函数关系和特殊三角函数值得到结果即可【详解】由()22sin 21sin B B A =及正弦定理得()2221b B a=+，即()2221b a B =+， 由a c =及余弦定理可得()22222cos 21cos b a c ac B a B =+-=-，∴()()222121cos a B a B =-cos B B =-，∴tan B =. 又0πB <<，∴5π6B =. 故选：D.7. 已知AB 是圆O ：222x y +=直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=︒，则()OM ON AB +⋅的最小值为（ ） A. 0 B. -2C. -4D. -【答案】C 【解析】【分析】取MN 的中点C ，结合垂径定理与数量积的运算表示出()OM ON AB +⋅后，借助三角函数值域即可得解.【详解】设MN 的中点为C ，∵120MON ∠=︒，OM ON =，则30OC =°=∵C 为MN 的中点，∴2OM ON OC +=，设向量OC 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，的∴()22cos 4cos OM ON AB OC AB OC AB θθ+⋅=⋅==，又[]cos 1,1θ∈-，∴()OM ON AB +⋅的最小值为4-.故选：C.8. 若定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()222f x y f x y f x f y +-=+，且()11f =-，则()()()()0122024f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 0B. -1C. 2D. 1【答案】D 【解析】【分析】利用赋值法，先后求出()01f =，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再令12y x =-，得到()()10f x f x +-=，即可求解.【详解】令12x y ==，则有()()()()21011f f f f =+， 又()11f =-，∴()01f =.令12x =，0y =.则有()()1121011022f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭令12y x =-，则有()()122221212f x f f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴()()2210f x f x +-=，∴()()10f x f x +-=， ∴()()()()0122024f f f f +++⋅⋅⋅+.()()()()()012202320241101201f f f f f =+++⋅⋅⋅++=+⨯=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ） A. 平均数为9.6 B. 众数为10 C. 第80百分位数为9.8 D. 方差为37350【答案】ABD 【解析】【分析】根据平均数、众数、百分位数和方差的定义求解. 【详解】对于A ，平均数()19.19.39.49.69.810109.67=++++++=，故A 正确； 对于B ，出现次数最多的数为10，故B 正确；对于C ，7×0.8=5.6，第80百分位数为第6位，即10，故C 错误； 对于D ，方差为()()()()()()2222221379.19.69.39.69.49.69.69.69.89.62109.67350⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.10. 在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数()()41sin 2121i i x f x i =⎡⎤-⎣⎦=-∑的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（ ）A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的图象关于点()2π,0对称C. ()f x 的图象关于直线π2x =对称 D. π是()f x 的一个周期【答案】BC 【解析】【分析】对A ，根据奇偶函数得定义判断；对B ，计算()()4πf x f x -=-可判断；对C ，计算()()πf x f x -=可判断；对D ，根据周期函数的定义判断.【详解】由题意得，()111sin sin 3sin 5sin 7357f x x x x x =+++， 对于A ，x ∈R ，()()()()()111sin sin 3sin 5sin 7357f x x x x x -=-+-+-+-()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =----=-，∴函数()f x 是奇函数，故A 错误；对于B ，()()()()()1114πsin 4πsin 34πsin 54πsin 74π357f x x x x x -=-+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =----=-，∴()f x 的图象关于点()2π,0对称，故B 正确； 对于C ，()()()()()111πsin πsin 3πsin 5πsin 7π357f x x x x x -=-+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =+++=，∴()f x 的图象关于直线π2x =对称，故C 正确； 对于D ，()()()()()111πsin πsin 3πsin 5πsin 7π357f x x x x x +=+++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =----=-，∴π不是()f x 的周期，故D 错误. 故选：BC.11. 已知双曲线C ：2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：()1x my m =-∈R 与C 的左、右两支分别交于M ，N 两点（点N 在第一象限），点01,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上，点Q 在直线2NF 上，且12QF PF ∥，则（ ）A. C 的离心率为3B. 当m =时，MN =C. 22PF M NF P ∠=∠D. 2QF 为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据离心率的公式即可求解A ，联立直线与抛物线方程， 根据弦长公式即可求解B ，根据二倍角公式以及斜率关系即可求解C ，根据角的关系即可求解线段长度相等，判断D.【详解】由题意得，1,a b ==2c e a ===，故A 错误；联立22113x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，得2803y -=，解得0y =或y =，则0MN =-=，故B 正确；由直线l ：()1x my m =-∈R 可知()1,0M -，又1,2a b c ===，01,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭，故P 在线段2MF 的中垂线上，设PM ，2PF 的斜率分别为k ，k -，()1,0M -，故直线MP 的方程为()1y k x =+，联立()22113y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，得()22223230k x k x k ----=，设()11,N x y ，则212213k x k -+=-，21233k x k +=-，故22236,33k k N k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭. 当2NF x ⊥轴时，2223b MF a c NF a=+===，2MF N 是等腰直角三角形，且易知2245PF M NF P ∠=∠=︒；当2NF 不垂直于x 轴时，直线2NF 的斜率为22226233123k k k k k k-=+---，故222tan 1k NF M k ∠=--， 因为2tan PF M k ∠=，所以2222tan 2tan 1kPF M NF M k∠==∠-，所以222PF M NF M ∠=∠，22PF M NF P ∠=∠，故C 正确；因为12QF PF ∥，故212221F FQ PF M NF P F QF ∠=∠=∠=∠，故2124QF F F ==，故D 正确.故选:BCD.第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若复数()()45i z a a =+-+在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】()5,4-- 【解析】【分析】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可.【详解】由题意得，()4050a a +<⎧⎨-+<⎩，解得54a -<<-，∴实数a 的取值范围是()5,4--. 故答案为：()5,4--.13. 若关于x 的方程()eln e ln e xxm m x x +=+-有解，则实数m 的最大值为__________. 【答案】1e##1e - 【解析】【分析】根据题意，由条件可得()ln ln eeln e e ln mx x m x x -+=+-，构造函数()e e x f x x =+，即可得到()()ln ln f m f x x =-，然后利用导数求得函数()ln g x x x =-的值域即可得到结果.【详解】由题意得，()ln ln eeln e e ln mx x m x x -+=+-，令()e e xf x x =+，则()()ln ln f m f x x =-， 易知()f x 单调递增，所以ln ln m x x =-. 令()lng x x x =-，()1xg x x-'=，当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()ln 11m g ≤=-，得10em <≤. 所以m 的最大值为1e. 故答案为：1e14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，且()1101C E C B λλ=<<，则当AE EC +取得最小值时，三棱锥11B ECD -的外接球体积为______. 【答案】32π3##32π3【解析】【分析】首先将平面1BCC 展成与平面11ABC D 同一平面，确定点E 的位置，再建立空间直角坐标系，确定球心的位置，根据球体积公式计算即可．【详解】由题意得，12,B AB C ==，将平面1BCC 展成与平面11ABC D 同一平面， 当点,,A E C 共线时，此时AE EC +最小， 在展开图中作CN AB ⊥，垂足为N ，因为1BCC 为等腰直角三角形，所以12BC CC ==，BN CN ==由ABE ANC 得，BE AB CN AN =⇒=2BE =-，在正方体1111ABCD A B C D -，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，则2EF BF ==如图，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()2,0,0,2,2,0A B ，()0,2,0C ，2,2E-，()()()1112,2,2,0,2,2,0,0,2B C D ，则()()()11112,2,2,2,0,2,2,2,0AC B C B D =-=--=--， 因为111110,0AC B C AC B D ⋅=⋅= ，所以11111,AC B C AC B D ⊥⊥ ，又因为111,B C B D ⊂平面11B CD ，且1111B C B D B ⋂=， 所以1AC ⊥平面11CB D ，因为1111111,AD AB AC C D C B C C ====， 所以三棱锥11B ECD -外接球的球心在1AC 上，设球心为O ，设()()12,2,20AO k AC k k k k ==-≠，则()22,2,2O k k k -，因为OC OE =，所以()()()(()(22222222222222222k k k k k k -+-+=-+-+-+，解得1k =，即()0,2,2O ，所以外接球2R OC ==， 所以三棱锥11B ECD -外接球的体积3432ππ33V R ==， 故答案为：32π3. 【点睛】方法点睛：立体图形中求线段和最小值，将线段所在平面展开在同一平面，即可确定最小值；确定立体图形的外接球，可先确定球心所在直线，建立空间直角坐标系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()2131e 2x f x x mx -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）若曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线l 与直线50x y -=垂直，求l 的方程； （2）若函数()f x 在()0,∞+上有2个极值点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）10230x y +-=（2）4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）令()0f x '=，分离参数可得212e 3x m x -=，由题意可得方程212e3x m x-=在()0,∞+上有2个根，构造函数()212e 3x g x x-=，()0,x ∈+∞，利用导数求出其极值和单调区间即可得解.【小问1详解】 由题意得，()()21212212e 21e 32e 3x x x f x x mx x mx ---'=+--=-，故131524f m ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭，解得8m =， 而112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故所求切线方程为1152y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即10230x y +-=； 【小问2详解】 令()0f x '=，则2122e3x x mx -=，故212e 3x m x-=， 因为函数()f x 在()0,∞+上有2个极值点，所以方程212e 3x m x-=在()0,∞+上有2个根，令()212e 3x g x x -=，()0,x ∈+∞，则()()21221e23x x g x x --'=⋅，令()0g x '=，解得12x =，故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 且1423g ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0x →时，()g x ∞→+，当x →+∞，()g x ∞→+， 故实数m 的取值范围为4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，45CAB CBA ∠=∠=︒，1A AC ACB ∠=∠，1160CC B ∠=︒，1BC CC =，P 为线段1BB 的中点，点N 为线段11A B 上靠近1B 的三等分点.（1）求证：1BB AP ⊥；（2）求平面NCP 与平面ACP 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）先得到1AC CC ⊥，ACBC ⊥，得到线面垂直，故1AC B B ⊥，再得到1B C BC =，由三线合一得到1BB CP ⊥，得到线面垂直，得到结论；（2）先证明出面面垂直，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值. 【小问1详解】因为45CAB CBA ∠=∠=︒，故90ACB ∠=︒， 又1A AC ACB ∠=∠，所以190A AC ∠=︒， 故侧面11AAC C 为矩形，故1AC CC ⊥， 又ACBC ⊥，1BC CC C ⋂=，1,BC CC ⊂11CC B B ，所以AC ⊥平面11CC B B ，而1B B ⊂平面11CC B B ，故1AC B B ⊥，又1BC CC =，11160B BC CC B ∠=∠=︒，故1BCB △为等边三角形， 所以1B C BC =，因为P 是线段1BB 的中点，故1BB CP ⊥，且AC CP C ⋂=，,AC CP ⊂平面ACP ，故1BB ⊥平面ACP ， 因为AP ⊂平面ACP ，故1BB AP ⊥.【小问2详解】由（1）知，AC ⊥平面11CC B B ，又AC ⊂平面ABC ， 故平面11CC B B ⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB 所在直线分别为x ，y 轴， 过点C 在平面11CC B B 内作垂直CB 的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系，不妨设2AC =，则()2,0,0A ，()0,2,0B，(1B，(10,C -，30,2P ⎛ ⎝，(12,A -，设(),,N a b c ，则11123A N AB =，即(()22,1,2,2,03a b c -+-=-，解得21,,33a b c ===故21,33N ⎛⎝， 易得平面ACP的一个法向量为(10,BB =-，设平面NCP 的法向量(),,n x y z =，则2033302x y n CN n CP y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ ，令1y =，则(4,1,n =.记平面NCP 与平面ACP 夹角为θ，故cos cos ,n θ==， 即平面NCP 与平面ACP .17. 某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下： ①学生：回答n 个问题，每个问题小明回答正确的概率均为12；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为()01p p <<. ②教师：回答n 个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为23. 假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜. （1）若3n =，25p =，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X ，求X 的分布列及数学期望：（2）若2n =，且小明同学获胜的概率不小于51144，求p 的最小值. 【答案】（1）分布列见解析，2110； （2）12. 【解析】【分析】（1）求出小明答每个问题，回答正确的概率，再利用二项分布求出分布列及期望.（2）求出小明答对1个、2个试题的概率，唐老师答对0个、1个试题的概率，再把小明获胜的事件分拆成互斥事件的和，即可求出概率. 【小问1详解】小明同学答每个问题，回答正确的概率112722510P =+⨯=， X 的所有可能取值为0,1,2,3，显然7~(3,10X B ， 则3327(0)(101000P X ===，1230()37189(1)C 1010100P X =⋅==，22337441(2)C 10101000(P X =⋅==⋅，3337343(3)C ()101000P X ===，则X 的分布列为X0 1 2 3P271000 1891000 4411000 3431000数学期望721()31010E X =⨯=. 【小问2详解】记事件i A 为小明同学答对了i 道题，事件j B 为唐老师答对了j 道题，1,2i =，0,1j =，其中小明同学答对某道题的概率为111(1)222p p +=+，答错某道题的概率为1(1)2p -，则1212111(C (1)(1)(12)22)P A p p p =⋅+⋅-=-，=+=+22211()[(1)](1)24P A p p ，==2011()()39P B ，112214(C 39)3P B =⋅⋅=， 所以小明同学获胜概率为102120102120)()()(()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++2222111411151(1(1)(1)(3107)29494936144)p p p p p =-⋅++⋅++⋅=++≥，解得112p ≤<，所以p 的最小值为12.18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为4，过右焦点F 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，点A ，B在x 轴上的投影分别为A '，B '（A '在B '的左侧）；当直线l 的倾斜角为135 时，线段AB 的中点坐标为42,33⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求C 的方程；（2）若圆C '：228x y +=，判断以线段AF 为直径的圆C ''与圆C '的位置关系，并说明理由；（3）若直线AB '与直线A B '交于点M ，MAB △的面积为43，求直线l 的方程. 【答案】（1）22184x y +=（2）圆C ''与圆C '内切，理由见解析（3）20x y --=或20x y +-=【解析】【分析】（1）利用点差法，结合中点坐标，以及直线的斜率，求椭圆方程； （2）根据椭圆的定义，表示圆心距和两圆半径的关系，即可判断两圆的位置关系；（3）首先设直线l 的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示点M 的坐标，并利用坐标表示MAB △的面积，即可求解直线方程. 【小问1详解】 易知24b =，则2b =.的.设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 相减得，()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，故22231043b a -⋅=，解得2212b a =，则28a =，故椭圆C 的方程为22184x y +=.【小问2详解】设2AF r =，圆C '的半径为椭圆C 的左焦点为F '，则1r ⎤∈-+⎦，2AF r '=-，设D 为线段AF的中点，则12OD AF r '==-， 故圆C ''与圆C '内切. 【小问3详解】当直线l 斜率为0时，不符合题意，舍去.当直线l 斜率不为0时，设直线l 方程为()20x my m =+≠，联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222440m y my ++-=，易知()22161620m m =++> ，则12242m y y m +=-+，12242y y m ⋅=-+. 易知()1,0A x '，()2,0B x '， 所以直线AB '：()1212y y x x x x =--①，直线A B '：()2121yy x x x x =--②，联立①②()()122112211212121222224M my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++===+=+++，所以12121211142222MAB M S BB x x y x y my y =⋅-=-=-'⋅ ， 因为12121my y y y =+，所以()212121142223MABS y y y y y =-+=-===，解得1m =±，故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是联立方程求出点M 的坐标，并利用坐标表示面积公式. 19. 在不大于()*,,2nkk n k ∈≥N 的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为()kF n .（1）求()24F ，()33F 的值；（2）对于*,,m n p ∈N ，m n p <<，是否存在m ，n ，p ，使得()()()666F m F n F p +=?若存在，求出m ，n ，p 的值；若不存在，请说明理由； （3）记[]x 表示不超过x 的最大整数，且()1651nn i S F i ==-∑，求[][][][]123100S S S S +++⋅⋅⋅+的值.【答案】（1）()245F =，()339F =（2）不存在，理由见解析（3）500 【解析】【分析】（1）由()k F n 的定义，分别求出()24F ，()33F ；（2）若()()()666F m F n F p +=成立，可转化为666m n p +=，即166n m p m --+=，即可判断； （3）根据题意可知[]15S =，当2n ≥时，可证5 5.6n S <<，即[]5n S =，得解. 【小问1详解】在不大于42的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5个，所以()245F =.在不大于33的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，17，19，23，25，共9个，所以()339F =. 【小问2详解】因为在不大于6n的所有正整数中，能被2整除的数有62n 个，能被3整除的数有63n个，能被6整除的数有66n个， 所以()1666666262363n n n nnn F n -=--+==⨯.若()()()666F m F n F p +=，则666333m n p+=，即666m n p +=， 因为m n p <<，所以166n m p m --+=，易知16n m -+是奇数，6p m -是偶数，上式不成立， 故不存在m ，n ，p ，使得()()()666F m F n F p +=. 【小问3详解】由（2）知，当1n =时，()165551121S F ===--，所以[]15S =，当2n ≥时，()111165561631261261266n n n n F n -----==<=-⋅-⋅-⋅，（上式变换注意用到不等式，若0,0a b c >>>，则b bc a a c+<+.） 所以当2n ≥时，()211165111315351166656nn n n i S F i --=⎛⎫⎛⎫=<+++⋅⋅⋅+=+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑，所以当2n ≥时，5 5.6n S <<，[]5n S =， 所以[][][][]1231005100500S S S S +++⋅⋅⋅+=⨯=.【点睛】关键点点睛：本题第二问，关键是根据()k F n 的定义分析在不大于6n 的所有正整数中，能被2整除的数有62n 个，能被3整除的数有63n 个，能被6整除的数有66n个，进而可得()1666666262363n n n nnn F n -=--+==⨯.第三问，关键是分析得到当2n ≥时，()1165631266n n F n --<=-⋅成立，此处用到糖水不等式放缩.。

2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（五）数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}{}0,1A x x B x x =>=>，则U A C B ⋂=（ ） A ．{}01x x ≤< B ．{}01x x <≤C ．{}0x x <D ．{}1x x >【答案】B【解析】求出U C B 后可求U A C B ⋂. 【详解】{}|1U C B x x =≤，故{}|01U A C B x x ⋂=<≤.故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算（交集和补集），此类属于基础题. 2．若复数z 满足i1iz z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】先由i1iz z =-，解得z ，再求z ，然后用几何意义判断. 【详解】 因为i1iz z =-， 所以ii(1+i)1i1i (1i)(1+i)22z ===-+--， 所以1i 22z =--，所以z 对应的点在第三象限.. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．已知幂函数1()nf x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin,cos,tan 777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A【解析】根据函数1()n f x mx +=是幂函数，得到1m =，再由1()nf x x +=在区间[2,]n -上是奇函数，得到2n =，然后用函数的单调性判断. 【详解】因为函数1()nf x mx +=是幂函数，所以1m = ，所以1()nf x x +=，又因为1()nf x x +=在区间[2,]n -上是奇函数，所以2n =，即3()f x x =，因为222cossin tan 777πππ<<， 又()f x 为增函数， 所以b a c <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及性质，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个实轴顶点为12,A A ，点C 为虚轴顶点，且120CA CA ⋅<uuu r uuu r，则双曲线的离心率的范围为（ ）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞【答案】A【解析】根据120CA CA ⋅<uuu r uuu r，所以12ACA ∠为钝角，有a b >求解. 【详解】根据题意，120CA CA ⋅<uuu r uuu r ， 所以12ACA ∠为钝角，所以a b >，所以22222,2,1c a c e a>∴<∴<<.故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.5．已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张，若小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回，则第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为（ ） A ．15B ．25C ．325D ．425【答案】C【解析】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝，B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝，先明确是条件概率类型，求(),()P A P AB ，再代入公式求解. 【详解】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝； B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝；21111112116333323323333996159(),()28140+====C C C C C C C C C C P A P AB x C C C ， 所以9()3140()15()2528P AB P B A P A ===. 故选：C 【点睛】本题主要考查了条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6．已知向量21(),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>r r ，函数()f x a b =⋅r r 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，则()2f π=（ ）A ．2B ．74 C ．54D ．1【答案】D【解析】由21(),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>r r ，利用数量积运算得到()f x 15sin(2)264x πω=++，再根据函数()f x a b =⋅r r在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，求得周期，确定函数再求值. 【详解】因为213(,cos ),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>r r ，所以213()(2cos )cos sin 2ωωω=⋅=++r rf x x x x a b 2131cos sin 22x x ωω=++， 1cos231sin 24x x ωω+=++5113(cos2sin 2)422x x ωω=++15sin(2)264x πω=++，因为函数()f x a b =⋅r r在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π， 所以T π=，22ππω∴=，1ω∴=， 即15()sin(2)264f x x π=++， 所以15()1244f π=-+=.故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数与平面向量，数量积运算及三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.7．如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的i =（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】根据循环结构，从1i =开始，一一验证，直至5>=S n 时，对应的值. 【详解】输入的5n =，程序框图运行如下：1i =，1(1)115S =-⨯=-<，2i =，21(1)21215S =-+-⨯=-+=<，3i =，31(1)31325S =+-⨯=-=-<，4i =，42(1)42425S =-+-⨯=-+=<L ，10i =，(12)(34)(56)(78)(910)5S =-++-++-++-++-+=，11=i ，115(1)1151165S =+-⨯=-=-<，12i =，126(1)1265S n =-+-⨯=>=.所以输出的12.i = 故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环结构，还考查了数形结合的思想和逻辑推理的能力，属于基础题.8．设M 是ABCD Y 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，则(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（ ）A ．6B ．16C ．24D ．48【答案】B【解析】根据AP BD ⊥，有AM u u u u r 在向量AP u u u r的射影为AP u u u r ，根据向量加、减法运算，将(3)()++-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rOB OC OD OA OP OA 转化求解.【详解】 因为AP BD ⊥，所以AM u u u u r 在向量AP u u u r的射影为AP u u u r ，所以2(3)()24416OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP ++-⋅-=⋅=⋅=⋅=u u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u r u u u ru u u u r u u u ru u u r . 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的加法，减法运算及向量的投影，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.9．设,x y 满足约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则22(1)(1)z x y =-++的取值范围为（ ）A ．[2,13]B ．[4,13]C．D．【答案】A【解析】根据约束条件，作出可行域，目标函数表示表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离的平方，然后用数形结合求解.【详解】由约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩作出可行域如图，令22(1)(1)t x y -++，则表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离， 由图可得，max t DC =，联立4623x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得(1,2)C -，所以max 13t DC =过(1,1)D -作DH AB ⊥于H ，则min 22t DH == 所以[2,13]z ∈. 故选：A 【点睛】本题主要考查了线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.10．已知数列{}n a 满足113,1n n a a a +==，012123164nnn n n n a C a C a C a C +++++=L ，则21(1)(2)n x x x--展开式中的常数项为（ ）A ．160-B ．80-C ．80D ．160【答案】D【解析】根据13n n a a +=，得数列{}n a 为等比数列，求得13-=n n a ，再由012123164nn n n n n a C a C a C a C +++++=L ，确定n ，得到21(1)(2)n x x x--为61(1)(2)x x x -- ，然后利用通项公式求解. 【详解】 因为13n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列， 所以13-=n n a ，所以01200112212313333(13)464,+++++=++++=+==L L n n n n nn n n n n n n n n a C a C a C a C C C C C ，解得3n =所以21(1)(2)n x x x--61(1)(2)=--x x x，其中61(2)x x -展开式的第r+1项为66621661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-⋅⋅⋅，令621r -=-，得72r =（舍去）， 令620r -=，得3r = 可得33346(1)2160T C =-⋅=-，所以二项式2321(1)(44)x x x-+-展开式中常数项为1(160)160-⨯-=． 故选：D 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及二项式定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．如图，已知六个直角边均为1和3的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着L 旋转一周得到的几何体的体积为（ ）A ．154πB ．174πC ．194πD ．214π【答案】B【解析】根据图形，3旋转得到的几何体是两个同底的圆台，再根据圆台的体积公式求解，内部的六边形边长为1，旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥.再根据圆柱，圆锥的体积公式求解，然后外部的减内部的体积即为所求. 【详解】3 旋转得到的几何体是两个同底的圆台， 上底半径为323，高为32 ，所以旋转得到的几何体的体积为2213212[324πππ⨯⨯+=，内部的六边形边长为1旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥，121，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为22112132πππ⨯⨯+⨯=，所以几何体的体积为174π.故选：B【点睛】本题主要考查了空间几何体的组合体的体积，还考查了空间想象的能力，属于中档题. 12．已知函数1,0()ln,0xxf xxxx⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx=-在R上有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．1(0,)eB．1(0,)2eC．1(,)2e-∞D．11(,)2e e【答案】B【解析】根据分段函数，分当0x<，0x>，将问题转化为()f xkx=的零点问题，用数形结合的方法研究.【详解】当0x<时，()21f xkx x==，令()()2312g,'0x g xx x==->，()g x在()0x∈-∞，是增函数，0k>时，()f xkx=有一个零点，当0x>时，()2lnf x xkx x==，令()()23ln12lnh,x xx h xx x-'==当x∈时，h()0x'＞，∴()h x在上单调递增，当)x∈+∞时，h()0x'＜，∴()h x在)+∞上单调递减，所以当x=()h x取得最大值12e，因为()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 所以当0x >时，()f x k x=有2个零点， 如图所示：所以实数k 的取值范围为1(0,)2e综上可得实数k 的取值范围为1(0,)2e， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.二、填空题13．已知抛物线2:8C y x =，Q 是C 上的一点，若焦点F 关于Q 的对称点P 落在y 轴上，则FP =________. 【答案】6【解析】根据Q ,F P 间的对称关系，结合点P 在y 轴上，求得点Q 的横坐标，再利用抛物线的定义求解. 【详解】设(),Q m n ,()2,0F 因为Q 为FP 的中点，且点P 在y 轴上， 所以Q 的横坐标为1m =， 由抛物线的定义得，22(12)6==+=FP QF .故答案为：6 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及对称问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为22()3h V a b ab =++，其中a 为上底边长，b 为下底边长，h 为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a ⨯个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n 层，最下层(即下底)由b b ⨯个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：22()32n b a S a b ab -=+++根据以上材料，我们可得22212n +++=L __________.【答案】1(1)(21)6n n n ++ 【解析】根据题意，在22()32n b aS a b ab -=+++中，令1,a b n ==，即可得到结论. 【详解】根据题意，令1,a b n ==，22221(1)1(1)1232(21)6n n S n n n n n n -=++++==++++L .故答案为：1(1)(21)6n n n ++ 【点睛】本题主要考查了类比推理，还考查了抽象概括问题的能力，属于基础题.15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为3，则俯视图的面积为__.3【解析】根据三视图，得到这个几何体为一个放倒的四棱锥，画出直观图，根据三视图，正视图为底面，高为俯视图的高，由体积求得高，得到俯视图的边长即可. 【详解】由三视图可知，几何体为一个四棱锥， 直观图如下，设四棱锥的高为h ， 几何体的体积为11223,332h h +⨯⨯=∴=， 即点E 到平面ABCD 的距离为3， 又因为俯视图三角形底边长为2， 所以俯视图的面积为=⨯⨯=12332s故答案为：3 【点睛】本题主要考查了三视图与直观图，还考查了数形结合的思想和空间想象的能力，属于中档题.16．在ABC V 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且4,6AB AC ==，若ABC V 的面积不小于63，则BECF的最小值为_____. 【答案】91 【解析】根据题意，在ABE △，ACF V 中，利用余弦定理分别求得2224324cos 2524cos BE A A =+-=-，2222624cos 4024cos CF A A =+-=-，建立BECF模型，然后根据ABC V 的面积不小于63，确定cos A 的范围，再利用函数求最值. 【详解】根据题意，如图所示：因为点,E F 分别为,AC AB 的中点， 所以3,2AE AF ==，在ABE △中，由余弦定理得，2224324cos 2524cos BE A A =+-=-，在ACF V 中，由余弦定理得，2222624cos 4024cos CF A A =+-=-，所以BECF又因为ABC ∆的面积不少于6，所以1sin 12sin 2△≥=⋅=ABC S AB AC A A所以11sin [,]22∈-A A 当cos A 取最大时，BECF【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和记为n T ，121(1)n n a T n +=+≥，11a =；等差数列{}n b 中，且{}n b 的前n 项和为n S ，1333,27b a S =+=. （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足1313log n n n c b a ++=，求{}n c 的前n 项和.【答案】（1）13,3n n n a b n -== （2）1nn + 【解析】（1）由121(1)n n a T n +=+≥，得到121(2),≥-=+n n a T n 然后两式相减得13(2)n n a a n +=≥ 从而得到数列{}n a 是等比数列，再分别求{}n a 与{}n b 的通项公式.（2）根据（1）得到()1313111log 11n n n c b a n n n n ++===-++，再用裂项相消法求和. 【详解】（1）121(1)≥+=+Q n n a T n ， 121(2),≥-∴=+n n a T n12(2),≥+∴-=n n n a a a n 13(2)n n a a n +∴=≥又11a =，2213,3aa a =∴=，所以数列{}n a 为等比数列，13n n a -∴=.设数列{}n b 的公差为d ，33127,6,3a S b d d +=∴+=∴=Q ， 3n b n ∴=.（2）由题意得：()1313111log 11n n n c b a n n n n ++===-++所以前n 项和11111(1)()()22311n n A nn n =-+-++-=++L . 【点睛】本题主要考查了数列通项与前n 项和之间的关系以及裂项相消法求和，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18．京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜X 次，求随机变量X 的分布列与期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）在犯错误的概率不超2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（2）见解析，133【解析】（1）根据列联表，利用公式求得卡方值，对应卡值下结论.（2）根据题意，分四种情况，一是猜2次，2人全是“梅派”传人”，二猜3次是第3次是“梅派”传人，三是猜4次，第4次是“梅派”传人，四是猜5次，分两类，一类是第5次是“梅派”传人，第二类是第5次不是“梅派”传人，分别用古典概型求得概率，列出分布列，求期望. 【详解】（1）因为222()40(301512) 6.061 5.024()()()()18221525n ac bd K a b c d a c b d --⨯==≈>++++⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系. （2）由题意，随机变量X 的取值分别为2,3,4,5.22261(2) 15A P X A ===，112242362(3) 15C C A P X A ===， 123243461(4) 5===C C A P X A ， 13411452441245563(5) 5+===C C A C C C A P X A ， ∴随机变量X 的分布列为：P115 215 15 35∴随机变量X 的期望为：12131323451515553=⨯+⨯+⨯+⨯=EX. 【点睛】本题主要考查了独立性检验和分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.19．在如图（1）梯形ABCD 中，9,10,:1:2AB AD DC EB ===，过D 作DE AB ⊥于E ，1DE =，沿DE 翻折后得图（2），使得23AEB π∠=，又点F 满足EA EB EF +=u u u r u u u r u u u r，连接,,AF BF CF ，且2EM MF =u u u u r u u u u r.（1）证明：//CF 平面BDM ；（2）求平面BMD 与平面AED 所成的二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）3020【解析】（1）连接DB 与EC 交于点N ，由:1:2DC EB =，得到:2:1EN CN =，2,=u u u u ru u u u rEM MF 由比例关系得到//MN CF ，再由线面平行的判定定理证明.（2）根据由EA EB EF +=u u u r u u u r u u u r，得四边形AFBE 为平行四边形，由6AF BE ==，3EAF π∠=，得AE EF ⊥，再由,,⊥⊥DE EB DE EA ，得DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥，从而EF ⊥平面ADE ，以点E 为原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，ED 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，分别求得平面BMD 和平面AED 得一个法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】 （1）如图所示：连接DB 与EC 交于点N ，:1:2DC EB =，则:2:1EN CN =Q2,:2:1EM MF EM MF =∴=u u u u r u u u u r，∴//MN CF ，又MN ⊂平面BDM ，CF ⊄平面BDM ， ∴//CF 平面BDM .（2）证明：由EA EB EF +=u u u r u u u r u u u r， 得四边形AFBE 为平行四边形， 所以6AF BE ==，3EAFπ∠=，所以222cos333EF AE AF AE AF π=+-⋅=，所以222,AF AE EF AE EF =+∴⊥， 又,,DE EB DE EA EB EA E ⊥⊥=I ，所以DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥， 又EA ED E =I ，EF ∴⊥平面ADE以点E 为原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，ED 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,0,1),(3,33,0),(0,23,0)E D B M -， 所以(3,33,1),(3,3,0)BD BM =-=-u u u ru u u u r设平面BMD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，所以(,,)(3,33,1)0,(,,)(3,3,0)0n BD x y z n BM x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u v v u u u u vv 3330330x z x ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩令y ==rn ，又平面AED 得一个法向量为(0,1,0)m =u r，所以cos ,⋅<>==⋅r u u rr u u r r u u r n m n m n m 又平面BMD 与平面AED 所成的二面角显然为锐角， 所以平面BMD 与平面AED所成的二面角的余弦值20. 【点睛】本题主要考查了线面平行和空间中二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证，空间想象和运算求解的能力，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点为12,F F ，左右两顶点,A B ，点M为椭圆C 上任意一点，满足直线,MA MB 的斜率之积为34-，且12MF MF ⋅的最大值为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线2a x c=与x轴的交点为S ，过S 点的直线l 与椭圆C 相交与,P Q 两点，连接点2QF 并延长，交轨迹C 于一点P '.求证：22'P F PF =.【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）因为12MF MF ⋅的最大值为4，根据椭圆的定义，利用基本不等式求得a ，再根据直线,MA MB 的斜率之积为34-，有000022222002222200(1)x b y y y b a x a x a x a x a a-⋅===-+---，求得b ，写出椭圆方程.（2）由条件知(4,0)S ，设直线l 的方程4x ky =+，与椭圆方程联立224143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x得22(34)24360k y ky +++=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则00'(,)P x y . 由根与系数的关系得，1212222436,3434k y y y y k k +=-=++.，设直线2QF 的方程为2211x x y y -=+，所以222222111434x x y y x y x ky -⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，得2222222(3)6(3)[34]90++++-=ky ky y y y y ，因为要证22'P F PF =.根据椭圆的对称性，只要证得点P 与 P '关于x 轴对称， 即01x x =01=-y y .【详解】（1）根据题意122212()4,22MF MF MF MF a a +⋅==∴=≤，又设00(,)M x y ，所以000022222002222200(1)x b y y y b a x a x a x a x a a-⋅===-+---，所以2234b a -=-， 故23b =，从而椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）根据题意，(4,0)S ，所以设直线l 的方程4x ky =+，联立224143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得22(34)24360k y ky +++=，222(24)436(34)144(4)0k k k ∆=-⨯+=->，即24k >.设1122(,),(,)P x y Q x y ，则00'(,)P x y . 由根与系数的关系得，1212222436,3434k y y y y k k +=-=++. 设直线2QF 的方程为2211x x y y -=+，所以222222111434x x y y x y x ky -⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，得2222222(3)6(3)[34]90++++-=ky ky y y y y ， 所以2022229,(3)34-=++y y ky y 所以2022222229927(34)1827(34)18--==++++++y y k y ky k y k y111936211827()3-==-++--y k k y y .所以20111112213321()1()()1[3()]()143ky x y k y k k y ky x y y y +=-+=+-+=+---+=+= 故11'(,)P x y -， 所以22'P F PF =. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.21．已知函数()m x f x e n -=+在点(1,1)处的切线方程为20x y +-=.（1）若函数()()(cos )()F x f x a x a =-+∈R 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； （2）设2()(1)[(1)1]G x f x x t x =++-+，对于[0,1]x ∈，()G x 的值域为[,]N M ，若2M N >，求实数t 的取值范围.【答案】（1）a <2）(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞U【解析】（1）根据()m xf x e n -=+在点(1,1)处的切线方程为20x y +-=.有'(1)1,f =-(1)1,f =求得函数()f x .然后将函数()()(cos )()F x f x a x a =-+∈R 存在单调递减区间，转化为()0f x '≤存在取值区间求解；（2）根据2(1)1()xx t x G x e+-+=，求导()(1)'()xx t x G x e---=，根据[0,1]x ∈，分①当1t ≥时，②当0t ≤时，③当01t <<时，三种情况讨论值域，然后再分别研究2M N >成立，确定实数t 范围.【详解】因为'()m x f x e -=-，所以1'(1)1,1m f e m -=-=-∴=， 又11(1)1,0f e n n -=+=∴=，故1()x f x e -=. （1）由题意得1()(sin cos )x f x e a x x -'=--++， 若函数()f x 存在单调减区间， 则1()(sin cos )0x f x e a x x -'=--++≤即sin cos 0a x x -++≥存在取值区间，即)4a x π+存在取值区间，所以a ≤当a =1()(sin cos )x f x e x x -'=-+当1()(sin cos )0x f x e x x -'=-+<，则sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.当1()(sin cos )0x f x e x x -'=-+=，则sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭24x k ππ=+.当1()(sin cos )0x f x e x x -'=-+>，则sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+< ⎪⎝⎭x ∈R 且24x k ππ≠+所以a =.故a <（2）因为2(1)1()xx t x G x e+-+=，所以()(1)'()x x t x G x e ---= ①当1t ≥时，()0'≤G x ，()G x 在[0,1]上单调递减，由2N M <， 所以2(1)(0)G G <，即321t e -⋅<，得32et >-； ②当0t ≤时，'()0G x ≥，()G x 在[0,1]上单调递增， 所以2(0)(1)G G <，即32te-<，得32t e <-， ③当01t <<时，在[0,)x t ∈，'()0G x <，()G x 在[0,]t 上单调递减， 在(,1]x t ∈，'()0G x >，()G x 在[,1]t 上单调递增， 所以2()max{(0),(1)}G t G G <，即132max{1,}()t t te e+-⋅<*. 令1()t t p t e +=，(0,1)t ∈，则()0t t p t e -'=<，所以1()t t p t e+=在(0,1)t ∈上单调递减， 故1421t t e e +⨯>>，而334t e e e-<<，所以不等式（*）无解， 综上所述，(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞U . 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数与函数的极值，最值问题，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.22．已知直线l 的普通方程为20x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，将直线向右平移2个单位后得到直线'l ，又点P的极坐标)2π. （1）求直线'l 以及曲线C 的极坐标方程；（2）若直线'l 与曲线C 交于,A B 两点，求三角形PAB 的面积值. 【答案】（1）4πρ=，2cos sin 60ρθθ--+=.（2）【解析】（1）根据cos ,sin ,x y ρθρθ== 分别求解直线'l 的极坐标方程和曲线C 的极坐标方程.（2）由直线'l 的极坐标方程和曲线C 的极坐标方程联立得2660ρρ-+=，再求弦长12AB ρρ=-P 到直线'l 的距离d ，代入面积公式求解.【详解】（1）因为直线'l 的普通方程为0x y -=， 所以直线'l 的极坐标方程4πθ=，因为曲线C的普通方程22((4x y +-=，所以曲线C的极坐标方程2cos sin 60ρθθ--+=. （2）由（1）得2660ρρ-+=，所以12AB ρρ=- 点P 到直线'l 的距离d为34π=，所以132PAB S =⨯=V 【点睛】本题主要考查了普通方程，极坐标方程，参数方程间的转化，以及直线与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 23．已知函数()||||f x x a x b c =++-+（1）若1,2,3a b c ===，求不等式8()10f x <<的解集； （2）当0,0,0.a b c >>>时，若()f x 的最小值为2，求111a b c++的最小值. 【答案】（1）(3,2)(3,4)--U .（2）92【解析】（1）根据题意，利用绝对值的几何意义，转化函数22,2()1236,1242,1x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪-≤-⎩，再分类讨论解不等式.（2）由()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥，再根据0,0a b >>，()f x 的最小值为a b c ++，即2a b c ++=，然后用“1”的代换利用基本不等式求最小值. 【详解】 （1）根据题意，22,2()1236,1242,1x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪-≤-⎩，因为8()10f x <<所以210228x x ≥⎧⎨>+>⎩或110428x x ≤-⎧⎨>->⎩，解得34x <<或32x -<<-， 所以解集为(3,2)(3,4)--U .（2）因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立， 又0,0a b >>，所以a b a b +=+， 所以()f x 的最小值为a b c ++， 所以2a b c ++=.所以1111111119()()(3)(3222)2222b a ac c b a b c abcabcabcabc++=++++=+++++++++=≥. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及最值的求法，基本不等式的应用，还考查了转化化归、分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（九）（文）测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设复数z 满足2(1i)(1i)z -=+（i 为虚数单位），则z = （ ） A ．0BC ．2D．2．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}34B x x =∈-<<Z ，则A B I 的真子集个数为 （ ） A ．3B ．4C ．7D ．83．已知,,0x y z >，则“22222()()()xy yz x y y z +=++”是“z yy x=”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．用max{,}a b 表示,a b 中的最大值，若2()max{||,2}f x x x =-，则()f x 的最小值为 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．如图，圆A 过正六边形ABCDEF 的两个顶点,B F ，记圆A 与正六边形ABCDEF 的公共部分为Ω，则往正六边形ABCDEF 内投掷一点，该点不落在Ω内的概率为（ ）ABC．1D．16．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且432110,99S a S ==，若()72M a =，()e496,log N a P a ==，则,,M N P 的大小关系为 （ ）A ．M P N >>B ．M N P >>C ．N M P >>D ．N P M >>7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，根据图中三视图，求得该几何体的表面积为 （ ）A ．16πB ．18πC ．20πD ．24π8．已知单位向量,a b 的夹角为34π，若向量2,4λ==-m a n a b ，且⊥m n ，则=n （ ） A ．2B ．4C ．8D ．169．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值是35，则判断框内应补充的条件为 （ ）A ．9i ≤B ．10i ≤C ．11i ≤D ．12i ≤10．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>一个焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆交于,A B 两点，O 是原点，若ABO △是等边三角形，则椭圆的离心率为 （ ）A B C D 11．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是 （ ）A ．|cos3|x xB ．1cos22xx +C ．22225(4)(49)x x x ππ--D ．|sin 2|x x12．设定义在R 上的函数()y f x =满足对任意t ∈R 都有1(2)()f t f t +=，且 (0,4]x ∈时，()()f x f x x'>，则(2016),4(2017),2(2018)f f f 的大小关系是（ ）A ．2(2018)(2016)4(2017)f f f <<B ．2(2018)(2016)4(2017)f f f >>C ．4(2017)2(2018)(2016)f f f <<D ．4(2017)2(2018)(2016)f f f >>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．已知函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=-+，则函数()f x 图象的对称轴为 .14．已知直线1:250l x y +-=与直线()2:50l mx ny n -+=∈Z 相互垂直，点()2,5到圆()()22:1C x m y n -+-=的最短距离为3，则mn = .15．已知点(,)x y 满足280260370x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥，求11x z y +=-的取值范围为 .16．已知数列{}n a 的前n 项和(1)n S n n =+，数列{}n b 对*n ∈N ，有1122n n n S b S b S b a +++=L ，求122017b b b +++=L .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin (sin sin )6sin A A B B +=.（1）求a b；（2）若3cos 4C =，求sin()A B -.18．（12分）如图，正三棱柱A B C ABC '''-中，D 为AA '中点，E 为BC '上的一点，,AB a CC h '==. （1）若DE ⊥平面BCC B ''，求证：BE EC '=.（2）平面BC D '将棱柱A B C ABC '''-分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为1V ，下面一个几何体的体积为2V ，求12,V V .19．（12分）为了调查某厂工人生产某件产品的效率，随机抽查了100名工人某天生产该产品的数量，所取样本数据分组区间为[40,45),[45,50)，[50,55),[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)由此得到右图所示频率分布直方图.（1）求a的值并估计该厂工人一天生产此产品数量的平均值；（2）从生产产品数量在[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)的四组工人中，用分层抽样方法抽取13人，则每层各应抽取多少人？20．（12分）已知()(),0P x y y ≥是曲线Ω上的动点，且点P 到()0,1的距离比它到x 轴的距离大1.直线1:10l x y -+=与直线2:320l x y -=的交点为Q .（1）求曲线Ω的轨迹方程；（2）已知,A B 是曲线Ω上不同的两点，线段AB 的垂直垂直平分线交曲线Ω于,C D 两点，若,A B 的中点为Q ，则是否存在点R ，使得,,,A B C D 四点内接于以点R 为圆心的圆上；若存在，求出点R 坐标以及圆R 的方程；若不存在，说明理由.21．（12分）已知函数2()2ln 2(1)f x a x a x x =-++(1)a ≤. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间21[,]e e上有两个零点，求a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). （1）求曲线C 的直角坐标系方程和直线l 的普通方程；（2）点P 在曲线C 上，且到直线l，求符合条件的P 点的直角坐标.23．（10分）选修4—5不等式选讲已知定义在R 上的函数2()4||2f x x a x a +=--. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.参考答案1．【答案】B 【解析】注意到23(1i)(1i)2i(1i)1i 1i (1i)(1i)2z +++====-+--+，则z ，故选B.2．【答案】C 【解析】依题意，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，{}2,1,0,1,2,3B =--，故{}1,2,3A B =I ，故A B I 的真子集个数为7，故选C.3．【答案】C 【解析】由22222()()()xy yz x y y z +=++，得22242xy z x z y =+，即22()0xz y -=，2xz y =，从而z yy x=，以上推导过程均是可逆的，故选C.4．【答案】B 【解析】可知当1x <-时，2||2x x >-，此时()f x x =-.当11x -≤≤时，可得2||2x x -≤，此时2()2f x x =-.当1x >时，2||2x x >-，此时()f x x =.综上，2,1()2,11,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，可得当1x =-或1x =时()f x 取得最小值1，故选B.5．【答案】D 【解析】依题意，不妨设2AB =，故正六边形ABCDEF的面积2126S =⨯=Ω的面积2214233πS π=⨯⨯=，故所求概率41πP ，故选D.6．【答案】B 【解析】依题意，242101011993S q q S =⇒+=⇒=，故246111,,327243a a a ===，则97e 3e 1111,,log 03273243M N P ====<，故M N P >>，故选B. 7．【答案】C 【解析】将三视图还原，可知原几何体由半球体与圆柱体拼接而成，其中半球体的半径为2，圆柱体的底面半径为2，高为2，故所求几何体的表面积2222222220S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯=，故选C.8．【答案】B 【解析】依题意，⊥m n ，故()240λ⋅-=a a b ，故2820λ-⋅=a a b，故40λ⎛-⋅= ⎝⎭，解得λ=-4=+n a，故()22416=+=n a ，故4=n 9．【答案】C 【解析】当2i =，可得2,2T a S a =+=+； 当3i =，可得1,3T a S =-+=； 当4i =，可得5,8T a S a =-+=-+； 当5i =，可得,8T a S ==； 当6i =，可得6,14T a S a =+=+； 当7i =，可得1,15T a S =-+=； 当8i =，可得9,24T a S a =-+=-+； 当9i =，可得,24T a S ==； 当10i =，可得10,34T a S a =+=+； 当11i =，可得1,35T a S =-+=.故判断框内应补充的条件为11?i ≤，故选C.10．【答案】D 【解析】不妨设题中的焦点为椭圆的右焦点，将焦点坐标(,0)c 代入椭圆方程中，得两交点坐标分别为22(,),(,)b b c c a a -，由于ABO △是等边三角形，则可得2tan 30b ac =︒，从而22a c ac -=，即1e e -=，解之得ee =，故选D.11．【答案】B 【解析】由图象可得当0x >，()0f x ≥，故可排除C ，因为当322x ππ<<时，22225(4)(49)0x x x ππ--<.当322x ππ<<，可得()0f x >，而当x π=时，|sin 2|0x x =，故可排除D 选项，当56x π=时，|cos3|0x x =，故可排除A 选项，故选B. 12．【答案】C 【解析】由于1(2)()f t f t +=，故对任意t ∈R 有11(4)()1(2)()f t f t f t f t +===+，则()y f x =为周期函数，周期为4.当(0,4]x ∈时，()()f x f x x'>，可得()()0xf x f x '->，构造函数()()((0,4])f x F x x x =∈，2()()()0xf x f x F x x '-'=>，故()F x 在区间(0,4]上单调递增，则(1)(2)(4)124f f f <<， 即4(1)2(2)(4)f f f <<.注意到(2017)(45041)(1)f f f =⨯+=，(2018)(45042)(2)f f f =⨯+=，(2016)(45034)(4)f f f =⨯+=，故由4(1)2(2)(4)f f f <<可得4(2017)2(2018)(2016)f f f <<，故选C.13．【答案】()84k x k ππ=+∈Z 【解析】依题意，21cos(4)112()sin (2)sin 44222x f x x x ππ--=--=-=-， 由4,2x k k ππ=+∈Z 得84k x ππ=+，故11()sin 422f x x =-关于直线()84kx k ππ=+∈Z 对称. 14．【答案】2【解析】依题意，20m n -=31+ ②；联立两式，解得2,1m n ==，故2mn =.15．【答案】3[,5]2【解析】不等式组280260370x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥所表示的平面区域如图所示阴影部分（包括边界），其中,,A B C 为直线的交点，11(1)y z x -=--表示阴影部分区域内的点与点(1,1)P -连线的斜率，计算可得,,A B C三点坐标分别为(2,3),(4,2),(5,4)，由图象可得1(1)y x ---的最大值为3122(1)3AP k -==--，1(1)y x ---的最小值为2114(1)5BP k -==--，故112[,]53z ∈，从而3[,5]2z ∈.16．【答案】20171009【解析】由条件(1)n S n n =+可得112a S ==，当2n ≥，1(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+--=，从而数列{}n a 的通项公式2()n a n n *=∈N .当2n ≥时，由1122n n n S b S b S b a +++=L 得1122111n n n S b S b S b a ---+++=L ，将此二式相减，可得1n n n n S b a a -=-，1222(1)1n n n n a a b S n n n n --===-++.当1n =时，得1111,1S b a b ==， 符合表达式221n b n n =-+，故数列{}n b 的通项公式为22()1n b n n n *=-∈+N ， 从而12201722222222017()()()212232017201820181009b b b +++=-+-++-=-=L L .17．【解析】（1）由2sin (sin sin )6sin A A B B +=得22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=，即2sin sin ()60sin sin A A B B +-=，解得sin 2sin A B=或3-（舍去），由正弦定理得sin 2sin a A b B ==.（6分） （2）由余弦定理得2223cos 24a b c C ab +-==，将2a b =代入，得22253b c b -=，解得c ，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，则sin 2sin B A B =222cos 2b c a A bc +-=，从而sin()sin cos cos sin (A B A B A B -=-.（12分） 18．【解析】（1）如图，取BC 中点F ，连接,AF EF .Q 棱柱A B C ABC '''-为正三棱柱，∴ABC △为正三角形，侧棱,,AA BB CC '''两两平行且都垂直于平面ABC .∴AF BC ⊥，AF BB '⊥Q ,BC BB '⊂平面BCC B ''，BC BB B '=I ，∴AF ⊥平面BCC B ''，Q DE ⊥平面BCC B ''，∴//DE AF ，,,,A F E D ∴四点在同一个平面上.Q //AA '平面BCC B ''，AA '⊂平面AFED ，平面BCC B ''I 平面AFED EF =，∴//AA EF '，Q //AA CC ''，∴//EF CC '，E ∴为BC '中点，即BE EC '=.（6分）（2）正三棱柱A B C ABC '''-的底面积212S a =⨯，则体积2V h =. 下面一个几何体为四棱锥B ACC D '-，底面积13=()224ACC D h S h a ah '⨯+⨯=梯形，因为平面ABC ⊥平面ACC A ''，过点B 作ABC △边AC 上的高线，由平面与平面垂直的性质可得此高线垂直于平面ACC A ''，故四棱锥B ACC D '-的高，则221334V ah h =⨯=，从而22212V V V h h h =-=.（12分） 19．【解析】（1）由于小矩形的面积之和为1，则(0.0340.0650.020.01)51a a a ++++++⨯=，由此可得0.008a =.（3分）该厂工人一天生产此产品数量的平均值(42.50.00847.50.0352.50.032=⨯+⨯+⨯+)57.50.0662.50.0467.50.0272.50.01557.35⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（6分）（2）生产产品数量在[55,60)的工人有0.06510030⨯⨯=人，生产产品数量在[60,65)的工人有0.0085510020⨯⨯⨯=人，生产产品数量在[65,70)的工人有0.02510010⨯⨯=人，生产产品数量在[70,75]的工人有0.0151005⨯⨯=人，故用分层抽样法从生产产品数量在[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)的四组工人中抽样，抽取人数分别为301363020105⨯=+++人，201343020105⨯=+++人，101323020105⨯=+++人，51313020105⨯=+++人.（12分） 20．【解析】（1）因为点P 到()0,1的距离比它到x 轴的距离大1，则点P 到()0,1的距离与点P 到直线1y =-的距离相等；故点P 的轨迹为抛物线24x y =，即曲线Ω的轨迹方程为24x y =；（5分）（2）联立10,320,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩故()2,3Q ；设1122(,),(,)A x y B x y ，则2211224,4x y x y ==，根据点差法，两式相减， 整理得12121214AB y y x x k x x -+===-， 所以直线AB 的方程是10x y -+=，直线CD 的方程是50x y +-=，联立2450x y x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，得(2(2C D --+-+-，从而有CD =联立2410x y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，得(2(2A B --++，有8AB =；设CD 的中点为R ，则(2,7)R -，从而有2CDRA RB ==，故,,,A B C D 四点共圆且(2,7)R -为圆心，故圆R 的方程是22(2)(7)48x y ++-=.（12分）21．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22(1)()()2(1)2a x x a f x a x x x--'=-++=， 令()0f x '=可得1x =或x a =.下面分三种情况.①当0a ≤时，可得0x a ->，由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<， 此时()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1).②当01a <<时，由()0f x '>得0x a <<或1x >，由()0f x '<得1a x <<， 此时()f x 的单调递增区间为(0,),(1,)a +∞，单调递减区间为(,1)a .③当1a =时，22(1)()0x f x x-'=≥，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.（6分） （2）由（1）得，当0a <时，()f x 在1x =处取得最小值21a --，且()f x 在区间21[,]e e内先减后增，又224242()42(1)(24)20f e a a e e e a e e =-++=--+->，212(1)1()2a f a e e e +=--+，要使得()f x 在区间21[,]e e上有两个零点， 必须有1()0f e≥且210a --<，由此可得12122(1)e a e e --<-+≤. 当0a =时，2()2f x x x =-，显然()f x 在区间21[,]e e上不存在两个零点. 当10a e <≤时，由（1）得()f x 在区间21[,]e e内先减后增， 又21221()2()0a f a e e e e=----<，2242242()(24)2(24)20f e e a e e e e e =--+->--+->， 故此时()f x 在区间21[,]e e上不存在两个零点. 当11a e <<时，由（1）得()f x 在区间21[,]e e内先增，先减，后增. 又22()2ln 2(1)2ln (2)0f a a a a a a a a a a =-++=-+<,2242()(24)20f e e e e >--+-＞，故此时()f x 在区间21[,]e e上不存在两个零点. 当1a =时，由（1）得()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，()f x 在区间21[,]e e上不存在两个零点.综上，a 的取值范围是121(,]22(1)e e e ---+.（12分） 22．【解析】（1）由曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=，则210cos ρρθ=，即2210x y x +=，得其标准方程为22(5)25x y -+=.直线l参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)， 则其普通方程为20x y --=.（5分）（2）由（1）得曲线C 为圆心为(5,0)，半径为5的圆，曲线C 的参数方程为55cos 5sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩ (ϕ为参数)， 化简的|35cos 5sin |2ϕϕ+-=，可得5cos 5sin 1ϕϕ-=-或5cos 5sin 5ϕϕ-=-. 当5cos 5sin 1ϕϕ-=-时，注意到22sin cos 1ϕϕ+=，联立方程组， 得3cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4cos 53sin 5ϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，此时对应的P 点坐标为(8,4),(1,3)-.当5cos 5sin 5ϕϕ-=-时，注意到22sin cos 1ϕϕ+=，联立方程组，得cos 0sin 1ϕϕ=⎧⎨=⎩或cos 1sin 0ϕϕ=-⎧⎨=⎩，此时对应的P 点坐标为(5,5),(0,0).综上，符合条件的P 点坐标为(8,4),(1,3),(5,5),(0,0)-.（10分）23．【解析】（1）当1a =时，()1|24|f x x x =+--.当1x ≤时，原不等式可化为1425x x -+-≥，解得0x ≤，结合1x ≤得此时0x ≤.当12x <<时，原不等式可化为1425x x -+-≥，解得2x -≤，结合12x <<得此时x 不存在.当2x ≥时，原不等式可化为1245x x -+-≥，解得103x ≥， 结合2x ≥得此时103x ≥. 综上，原不等式的解集为10{|0}3x x x ≤或≥.（5分） （2）由于2402||x a x a -+-≥对任意x ∈R 恒成立，故当240a -≤时，不等式2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，此时22a -≤≤. 当24a >，即2a <-或2a >时，由于22a a >，记2()()(4)g x f x a =--， 下面对x 分三种情况讨论.当2x a ≤时，22()4(42)344g x a x a x a x a =-+---=-++，()g x 在区间(,2]a -∞内单调递减.当22a x a <<时，22()4(4)442g x a x x a a x a =-+---=-+， ()g x 在区间2(2,)a a 内单调递增.当2x a ≥时，2222()4(4)3244g x x a x a a x a a =-+---=--+， ()g x 在区间2[,)a +∞内单调递增.综上，可得()(2)24g x g a a =-+≥， 要使得2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，只需min ()0g x ≥，即240a -+≥，得2a ≤， 结合2a <-或2a >，得2a <-.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.（10分）。

安徽省六安市第一中学高三高考模拟（四）数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.实数集R，设集合，则（）A. [2，3]B. (1，3)C. (2，3]D.【答案】D【解析】求出集合P，Q，从而求出，进而求出．∵集合P＝{x|y}＝{x|}＝{x|}，＝，∴＝{x|或}，∴＝{x|x≤﹣2或x1}＝（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．故选：D．2.设，则（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．因为，其中x，y实数，∴，可得，x=2y．解得x＝时，y＝1或x＝-时，y＝-1．则|x+4y i|＝|2+4i|或|x+4yi|＝|-2-4i|．又|1+i|，∴故选：A．3.己知命题p：若为锐角三角形，则；命题，若，则或．则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题p：由△ABC为锐角三角形，则＞A B＞0，可得sin A＞sin（B）＝cos B，即可判断出真假；命题q：判断其逆否命题的真假即可得出结论【详解】命题p：若△ABC为锐角三角形，则0<C<∴＞A+B，因此＞A B＞0，则sin A＞sin（B）＝cos B，可知p是假命题；命题q：∀x，y∈R，若x+y≠5，则x≠﹣1或y≠6，其逆否命题：若x＝﹣1且y＝6，则x+y ＝5，是真命题，因此是真命题．则下列命题为真命题的是（￢p）∧q．故选：B．4.若函数的两个零点是，则（）A. B. C. D. 无法判断【答案】C【解析】令f（x）＝0得，画出y＝与y＝的图象，数形结合可得+，即，进而得到答案．令f（x）＝0得，则y＝与y＝的图象有2个交点，不妨设m＜n，a＞1，作出两个函数的图象如图：∴，即，∴+，即，∴mn＜1．故选：C．5.执行如下的程序框图，最后输出结果为k=10，那么判断框应该填入的判断可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算s的值并输出相应的变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．模拟程序的运行，可得当k＝10，s＝1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45由题意，此时应该满足判断框内的条件，输出k的值为10．可得判断框内应该填入的判断可以是s≥45？故选：D．6.已知，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，变形，利用两角差的余弦公式可得结果.由可得，，，，，，故选B.7.设满足约束条件目标函数的最大值为2，则的最小值为（）A. 22B. 25C. 27D. 30【答案】C【解析】作出x、y满足约束条件的图象，利用目标函数的几何意义找到最优解，代入目标函数中，得到a，b的方程，再由基本不等式求出的最小值，代入求解即可由题意、y满足约束条件的图象如图：目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，由几何意义可知：直线z＝ax+by的截距此时最大，从图象上知，最优解是A（6，8），故有6a+8b＝2，即3a+4b＝1，∴（3a+4b）（）＝1515+227，当且仅当2b＝3a，3a+4b＝1时即a=等号成立．的最小值为27．故选：C．8.已知展开式的常数项为15，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的几何意义及性质，求得要求式子的值．由的展开式的通项公式为T r+1•（﹣1）r•a6﹣r•，令0，求得r＝2，故常数项为•a4＝15，可得a＝1，∴xdx dx=dx，由定积分的几何意义可知：dx为在x轴上方的面积，即单位圆面积的一半，∴，故选C．9.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】三视图可知，该几何体为三棱锥，分别确定底面积和高，利用锥体的体积公式求解即可．由三视图可知，该几何体为三棱锥，底面为等腰三角形，如图：由俯视图知底面等腰三角形的高为2，底边长为2， ∴S 底面2×2＝2，∴由正视图知棱锥的高2． ∴三棱锥的体积为V 2×2．故选：B ． 10.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为（ ） A.B.C.D.【答案】A 【解析】由球体积知球半径为，设的外心为，由正弦定理得，由得，设的中点为，则平面，连接，则为直线与平面所成的角，，，，故选A.11.已知过双曲线的右焦点向两条渐近线引垂线交于P 、Q ，O为原点，若四边形OPFQ 的面积为12，则双曲线的离心率是 A. B.C. 或D. 或【答案】D【解析】设双曲线的一条渐近线方程为bx ﹣ay ＝0，求得F 到渐近线的距离，可得 |OF |＝a，利用四边形OPFQ的面积及焦点坐标可得a，可求离心率的值．设双曲线的一条渐近线方程为bx﹣ay＝0，由F（c，0）到渐近线的距离为d b，可得|OP|a，∴，则四边形OPFQ的面积为ab=12，又c=5，即,解得a=3或4,则e或．故选：D．12.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令G（x）=，则G′（x）==2x+3，可设G（x）=x2+3x+c，∵G（0）=f（0）=1．∴c=1．∴f（x）=（x2+3x+1）e x，∴f′（x）=（x2+5x+4）e x=（x+1）（x+4）e x．可得：x=﹣4时，函数f（x）取得极大值，x=﹣1时，函数f（x）取得极小值．f（﹣1）=﹣，f（0）=1，f（﹣2）=﹣＜0，f（﹣3）=＞0．∴＜k≤0时，不等式f（x）﹣k＜0的解集中恰有两个整数﹣1，﹣2．故k的取值范围是．故答案选：C．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.己知向量，则实数________．【答案】【解析】根据坐标可得出，将转化为解方程即可求出实数的值．∵，∴；又∴即有12+3，解得＝．故答案为：．14.在四边形ABCD中，若，则BD的最大值为__________．【答案】3【解析】设∠ACB＝α，由正弦定理得到sin B＝AC•sinα．求出则CD2＝AC2，利用由余弦定理得BD2＝5+4sin（B﹣45°），可得BD的最大值．四边形ABCD中，AB＝1，BC，AC＝CD，，设∠ACB＝α，由正弦定理，，即sin B＝AC•sinα．则＝++2•1+2+2•1••cos（π﹣B）＝3﹣2cos B．∴由余弦定理得＝++2•1•cos（90°+α）＝2+﹣2CD cos（90°+α）＝2+（3﹣2cos B）+2AC sinα＝5﹣2cos B+2sin B＝5+4sin（B﹣45°）≤9，故BD的最大值为3，故答案为：3．15.己知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是_________．【答案】【解析】由f2（x）﹣bf（x）+c＝0有8个不同实数解，令f（x）=K，则关于K的方程有2个不同的解，根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布列出不等关系，结合线性规划的知识求解得出答案．【详解】根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）﹣bf（x）+c＝0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k的方程k2﹣bk+c＝0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：，化简得，此不等式组表示的区域如图：令z＝b+c，则z＝b+c在（2，1）处z＝3，在（0，0）处z＝0，所以b+c的取值范围为（0，3），故答案为（0，3）．16.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，.若，则的面积的最大值是__________．【答案】【解析】根据抛物线焦点的坐标求得的值.联立直线的方程和抛物线的方程，消去得到关于的一元二次方程，这个方程的判别式大于零，利用韦达定理求得弦长的表达式，利用点到直线距离公式求得到直线的距离，由此求得三角形面积的表达式，在利用导数求得面积的最大值.由于抛物线的焦点为，故，抛物线方程为，联立得，.由于直线和抛物线有两个交点，故判别式，解得.由弦长公式得.焦点到直线的距离为.故三角形的面积为，由于，故上式可化为.令，，故当时，函数递增，当时，函数递减，故当时取得最大值，此时=.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.己知分别为三内角A，B，C的对边，其面积在等差数列中，，公差．数列的前n项和为，且．(1)求数列,的通项公式；(2)若，求数列的前n项和为．解：(1)S ac sin B ac•，∴ac＝4，又，＝，∴，∴b＝2，从而＝⇒∴,故可得：，∴＝2+2（n﹣1）＝2n；∵，∴当n＝1时，，当n≥2时，，两式相减，得，（n≥2）∴数列{}为等比数列，∴．(2)由(1)得，∴＝•+•+…+•＝1×21+2×21+3×21+…+，∴2＝1×22+2×23+3×24+…+n2n+1，∴﹣＝1×21+（22+23+…+2n）﹣n2n+1，即：﹣＝（1-n）2n+1-2，∴＝（n﹣1）2n+1+2.18.国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地。

高考数学模拟试卷（文科）（四）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设x∈R，则“1＜x＜2”是“（x-2）2＜1”的（）A. 既不充分也不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 充分而不必要条件2.若a∈R，（2-i）（a+2i）∈R，则a=（）A. 4B. -4C. 1D. -13.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0垂直,垂足为(1,c),则a+b+c=( )A. -2B. -4C. -6D. -84.已知，点为角α的终边上一点，且=，则角β=（）A. B. C. D.5.数列{a n}满足a1=1，对任意n∈N*的都有a n+1=1+a n+n，则+……+=（）A. B. 2 C. D.6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A. 66B. 33C. 16D. 87.若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则•的取值范围（）A. [，5]B. [，5]C. [，4]D. [，4]8.一个几何体的三视图如图所示，则该物体的体积为（）A. 1B.C.D.9.设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A. ±B. ±C. ±1D. ±10.点P在椭圆C1：=1上，C1的右焦点为F，点Q在圆C2：x2+y2+6x-8y+21=0上，则|PQ|-|PF|的最小值为（）A. 4-4B. 4-4C. 6-2D. 2-611.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. 16π C. D.12.已知函数（a＞0，且a≠1）在R上单调递增，且函数y=|f（x）|与y=x+2的图象恰有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=______，d=______．14.知向量，的夹角为120°，且||=2，||=3，则向量在向量方向上的投影为______．15.已知实数a，b，c满足，其中e是自然对数的底数，那么（a-c）2+（b-d）2的最小值为______16.我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆=S环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=8，C-b=a cos B．（1）若△ABC有两解，求b的取值范围；（2）若△ABC的面积为8，B＞C，求b-c的值．18.如图，三棱锥P-ABC中，点C在以AB为直径的圆O上，平面PAC⊥平面ACB，点D在线段AB上，且BD=2AD，CP=CA=3，PA=2，BC=4，点G为△PBC的重心，点Q为PA的中点．（1）求证：DG∥平面PAC；（2）求点C到平面QBA的距离．19.为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：（2）根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；（3）若按照电视机的使用时间进行分层抽样，从使用时间在[0，4）和[4，20]的电视机中抽取5台，再从这5台中随机抽取2台进行配件检测，求被抽取的2台电视机的使用时间都在[4，20]内的概率．附：K2=20.已知抛物线，点与抛物线的焦点关于原点对称，动点到点的距离与到点的距离之和为4．（1）求动点的轨迹；（2）若，设过点的直线与的轨迹相交于两点，当的面积最大时，求直线的方程．21.已知函数f（x）=ln x+（a∈R）在x=1处的切线与直线x-2y+1=0平行．（Ⅰ）求实数a的值，并判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）=m有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求圆C的极坐标方程；（2）射线与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．23.已知函数f（x）=|x-2|-2，g（x）=|2x+a|．（1）当a=1时，解不等式f（x）≤g（x）；（2）若f（x）≥g（x）在[6，8]上恒成立，求实数a的取值范围答案和解析1.【答案】D【解析】解：解不等式（x-2）2＜1，得：1＜x＜3，又“1＜x＜2”是“1＜x＜3”的充分不必要条件，即“1＜x＜2”是“（x-2）2＜1”的充分不必要条件，故选：D．由二次不等式的解法得：不等式（x-2）2＜1的解为：1＜x＜3，由充分必要条件得：“1＜x＜2”是“1＜x＜3”的充分不必要条件，即“1＜x＜2”是“（x-2）2＜1”的充分不必要条件，得解本题考查了二次不等式的解法及充分必要条件，属简单题2.【答案】A【解析】解：（2-i）（a+2i）=2a+2+（4-a）i，若复数是实数，则4-a=0，得a=4，故选：A．根据复数的运算，结合复数是实数的等价条件进行计算即可．本题主要考查复数的计算，结合复数的运算法则是解决本题的关键．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了直线垂直与斜率的关系，考查了计算能力，属于基础题．由题意可得：×=-1，a+4c-2=0，2-5c+b=0，联立解出即可得出．【解答】解：由题意可得：×=-1，a+4c-2=0，2-5c+b=0，解得a=10，c=-2，b=-12．∴a+b+c=-4．故选：B．4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的定义结合两角和差的正弦公式进行转化是解决本题的关键．根据三角函数的定义求出sinα，cosα的值，利用两角和差的正弦公式进行化简求解即可．【解答】解：∵=，∴sinαcosβ-cosαsinβ=，即sin（α-β）=，∵，点为角α的终边上一点，∴sinα==，cosα==，0＜α-β＜，则cos（α-β）==，则cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=+=，则β=，故选D．5.【答案】C【解析】解：根据题意，数列{a n}满足对任意n∈N*的都有a n+1=1+a n+n，则a n+1-a n=n+1，则a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+……+（a2-a1）+a1=n+（n-1）+……+1=，则==-；则+……+=2[（1-）+（-）+……+（-）]=2（1-）=；故选：C．根据题意，将a n+1=1+a n+n变形可得a n+1-a n=n+1，进而可得a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+……+（a2-a1）+a1=n+（n-1）+……+1=，变形可得==-；据此由数列求和的方法分析可得答案．本题考查数列的递推公式和数列的求和，关键是求出数列的通项公式，属于综合题．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题．由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=-1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为66．【解答】解：初始值n=4，x=2，程序运行过程如下表所示：v=2，i=3，v=2×2+3=7，i=2，v=2×7+2=16，i=1，v=16×2+1=33，i=0，v=33×2+0=66，i=-1 跳出循环，输出v的值为66，故选：A．7.【答案】A【解析】解：∵向量=（3，2），=（x，y），∴•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，1），此时z max=3×1+2×1=5，经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（，），此时z min=3×+2×=，则≤z≤5故选：A．由数量积的定义计算出•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划以及向量数量积的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．8.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图，转换为几何体，如图所示：侧面等腰直角三角形ABC⊥底面等腰直角三角形BCD．故：V=，故选：D．首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.【答案】C【解析】解：由题意，A1（-a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，-），∵A1B⊥A2C，∴，∴a=b，∴双曲线的渐近线的斜率为±1．故选：C．求得A1（-a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，-），利用A1B⊥A2C，可得，求出a=b，即可得出双曲线的渐近线的斜率．本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10.【答案】D【解析】解：点P在椭圆C1：=1上，C1的右焦点为F（1，0），左焦点E（-1，0），如图：圆C2：x2+y2+6x-8y+21=0上，可得：（x+3）2+（y-4）2=4，圆心坐标（-3，4），半径为2．由椭圆的定义可得：|PE|+|PF|=2a=4，|PF|=4-|PE|，则|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4，由题意可得：|PQ|-|PF|的最小值为：|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4=|C2E|-2-4=-6=2-6，故选：D．利用椭圆方程求出焦点坐标，求出圆的圆心与半径，利用椭圆的定义，转化求解距离的最小值即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案．【解答】解：平面PAB⊥平面ABC，作出图形，在等边三角形ABC中，取AB中点F，设其中心为G，由AB=，得FG=．设△PAB的外心为E，在△PAB中，由PA=PB=，AB=，得cos∠APB=，则sin∠APB=，设△PAB的外接圆半径为r，则，即r=,再设三棱锥P-ABC的外接球球心为O，则外接球半径R=OP=,∴该三棱锥外接球的表面积为4π×．故选：A．12.【答案】D【解析】解：由函数（a＞0，且a≠1）在R上单调递增，可得：，解得：2≤a≤4，①函数y=|f（x）|与y=x+2的图象恰有两个不同的交点，由图可知：（1）当y=x2+（a-2）x+（x＞0）的图象与直线y=x+2相切，解得：a=或a=1，②（2）当y=x2+（a-2）x+（x＞0）的图象与直线y=x+2相交，且只有一个交点，则方程x2+（a-2）x+=x+2有一正根一负根或一正根一零根，即方程x2+（a-3）x+=0有一正根一零根，则≤0，即a，③综合①②③得：实数a的取值范围是：∪[，4]，故选：D．由分段函数的单调性可得：，解得：2≤a≤4，由方程的根的个数与函数图象的交点之间的关系，数形结合的数学思想方法，作图观察可得：（1）y=x2+（a-2）x+（x＞0）的图象与直线y=x+2相切，y=x2+（a-2）x+（x＞0）的图象与直线y=x+2相交，且只有一个交点，则方程x2+（a-2）x+=x+2有一正根一负根或一正根一零根，即方程x2+（a-3）x+=0有一正根一零根，则≤0，求解即可．本题考查了分段函数的单调性、方程的根的个数与函数图象的交点之间的关系，数形结合的数学思想方法，属难度较大的题型．13.【答案】；-1【解析】解：由a2，a3，a7成等比数列，则a32=a2a7，即有（a1+2d）2=（a1+d）（a1+6d），即2d2+3a1d=0，由公差d不为零，则d=-a1，又2a1+a2=1，即有2a1+a1+d=1，即3a1-a1=1，解得a1=，d=-1．故答案为：；-1．运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=-a1，再由条件2a1+a2=1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．14.【答案】【解析】解：=，所以向量在向量方向上的投影公式=．故答案为：．先计算出，继而利用向量在向量方向上的投影公式计算出结果．本题考查了平面向量的数量积运算以及投影的几何意义，属于中档题目．15.【答案】【解析】解：因为，所以b=a-2e a，d=3-c，即点A（a，b）的轨迹方程为：y=x-2e x，点B（c，d）的轨迹方程为：y=3-x，则（a-c）2+（b-d）2的几何意义为|AB|2，设斜率为-1的直线与曲线y=x-2e x相切且切点为C（x0，y0），由y′=1-2e x，则1-2e=-1，解得x0=0，y0=-2，由点到直线的距离公式得d==，即|AB|2min==，故答案为：由，所以b=a-2e a，d=3-c，即点A（a，b）的轨迹方程为：y=x-2e x，点B（c，d）的轨迹方程为：y=3-x，由（a-c）2+（b-d）2的几何意义为|AB|2，结合导数的应用可得：设斜率为-1的直线与曲线y=x-2e x相切且切点为C（x0，y0），由y′=1-2e x，则1-2e=-1，解得x0=0，y0=-2，由点到直线的距离公式得d==，即|AB|2min==，得解本题考查了（a-c）2+（b-d）2的几何意义及利用导数求函数切线的切点坐标，属难度较大的题型16.【答案】4π【解析】【分析】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征，是解答的关键．根据祖暅原理利用圆柱、圆锥的体积公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，短轴长为2，长轴为6的椭球体的体积V=2（π•12•3-•π•12•3）=4π．故答案为4π.17.【答案】解：（1）由正弦定理及条件c-b=a cos B得，所以，即，又sin B≠0，∴，所以．由△ABC有两解，所以b sin A＜8＜b，解之得，所以b的取值范围为．（2）由（1）知，，∴bc=24．由余弦定理得，b2+c2-2bc cos A=64，即，所以（b-c）2=32，又B＞C，所以．【解析】（1）先利用正弦定理以及条件求出sin A，再根据△ABC有两解，建立不等式求出b的取值范围；（2）根据三角形面积公式以及余弦定理，利用配方法计算出b-c的值．本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，属于中档题目．18.【答案】（1）证明：连接BG并延长交PC于E，∵G是△PBC的重心，∴BG=2EG，又BD=2AD，∴DG∥AE，又DG⊄平面PAC，AE⊂平面PAC，∴DG∥平面PAC．（2）∵点C在以AB为直径的圆O上，∴AC⊥BC，又平面PAC⊥平面ACB，平面PAC∩平面ACB=AC，∴BC⊥平面PAC，∵CP=CA=3，PA=2，∴CQ⊥PA，CQ==2，∴V B-PAC==×4=，又PB==5，AB==5，∴PB=AB，∴PA⊥BQ，∴BQ==2，∴S△PAB==2，设C到平面PAB的距离为d，则V C-PAB==，∴=，解得d=．∴点C到平面QBA的距离为．【解析】（1）连接BG并延长交PC于E，则BG=2EG，又BD=2AD得出DG∥AE，故而DG∥平面PAC；（2）根据V C-PAB=V B-PAC列方程得出点C到平面QBA的距离．本题考查了线面平行的判定，空间距离的计算，属于中档题．19.【答案】解：（1）依题意，所求平均数为:=2×0.2+6×0.36+10×0.28+14×0.12+18×0.04=0.4+2.16+2.8+1.68+0.72=7.76；（2）依题意，完善表中的数据如下所示：故K2=≈333.33＞10.828；故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；（3）依题意，使用时间在[0，4）内的有1台，记为A，使用时间在[4，20]内的有4台，记为a，b，c，d；则随机抽取2台，所有的情况为（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共10种；其中满足条件的为（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6种，故所求概率为P==．【解析】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是一般题．（1）利用频率分布直方图求出平均数；（2）依题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）依题意用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得FG=p，QG+QF=4，①当p＞4时，Q的轨迹不存在，②当p=4时，Q的轨迹为一线段，方程为y=0（-2≤x≤2），③0＜p＜4时，Q的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，方程为（0＜p＜4）；（Ⅱ）若，则Q的轨迹方程为，方法一：当l⊥x轴时不合题意，故设l：y=kx-2，A（x1，y1），B（x2，y2）.（1+4k2）x2-16kx+12=0．由△＞0得（16k）2-48（1+4k2）＞0,∴解得，由韦达定理得，=，∴．，令，则，∴；当且仅当即t=2，时等号成立，；方法二：若，则Q的轨迹方程为，当l⊥x轴时不合题意，故设l：y=kx-2，A（x1，y1），B（x2，y2）．且|x2|＞|x1|，（1+4k2）x2-16kx+12=0，由△＞0得（16k）2-48（1+4k2）＞0，∴，解得，由韦达定理得，∴，=，，令，则∴；当且仅当即t=2，时等立，．【解析】（Ⅰ）由题意可得FG=p，QG+QF=4，讨论p与4的大小，即可得到所求轨迹；（Ⅱ）若，则Q的轨迹方程为，讨论直线l的斜率是否存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，方法一、由弦长公式和原点到直线l的距离公式，结合三角形的面积公式，化简整理，运用基本不等式可得所求最大值时直线l的方程；方法二、运用，结合韦达定理，化简整理，再由基本不等式即可得到所求最大值时直线l的方程．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查椭圆的定义、方程和性质，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式、三角形的面积公式和基本不等式求最值，考查化简整理的运算能力，属于难题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域：（0，+∞），…………………………………………………………（1分），……………………………………………………………………………（2分）∴，∴………………………………………………………（3分）令f'（x）＜0，解得，故；……………………………………（4分）令f'（x）＞0，解得，故．……………………………………（5分）（II）由x1，x2为函数f（x）=m的两个零点，得，…………………（6分）两式相减，可得，……………………………………（7分），，因此，……………………………………………（8分）令，则，…………………………（9分）构造函数，………………………………………（10分）则所以函数h（t）在（0，1）上单调递增，故h（t）＜h（1），………………………………（11分）即，可知，故x1+x2＞1．命题得证．…………………（12分）【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出，，令t=，则，构造函数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及换元思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）因为圆C的参数方程为（为参数），所以圆C的普通方程是（x-2）2+y2=4.又因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.（2）因为直线l的方程是，所以.设P（ρ1，θ1），则有ρ1=4cosθ1，设Q（ρ2，θ1），则有，∴，∴2≤|OP|•|OQ|≤3．∴|OP|•|OQ|的范围是[2，3]．【解析】本题考查曲线的极坐标方程的求法、两线段的积的取值范围的求法以及极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，属于中档题．（1）圆C的参数方程消去参数能求出圆C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C的极坐标方程．（2）设P（ρ1，θ1），则有ρ1=4cosθ1，设Q（ρ2，θ1），且直线l的方程是，由此能求出|OP|•|OQ|的范围．23.【答案】解：（1）由题意，当a=1时，g（x）=|2x+1|，由f（x）≤g（x），可得|x-2|-2≤|2x+1|，即|x-2|-|2x+1|≤2，所以或或，解得x≤-1或-≤x≤2或x＞2，即x≤-1或x≥-；所以不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x≤-1或x≥-}；（2）由题意f（x）≥g（x）在[6，8]上恒成立，等价于|2x+a|≤x-4在[6，8]上恒成立，等价于（2x+a）2≤（x-4）2在[6，8]上恒成立，即3x2+（4a+8）x+a2-16≤0在[6，8]上恒成立，令h（x）=3x2+（4a+8）x+a2-16，则，即，解得-14≤a≤-12；所以实数a的范围为[-14，-12]．【解析】（1）a=1时不等式化为|x-2|-2≤|2x+1|，利用分类讨论求不等式的解集；（2）由题意知问题等价于|2x+a|≤x-4在[6，8]上恒成立，两边平方并化简，得出3x2+（4a+8）x+a2-16≤0在[6，8]上恒成立，构造函数，利用函数的性质列不等式组求出a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.实数集R，设集合P={x|y=}，Q={x|x2＜4}，则P∪（∁R Q）=（）A. [2，3]B. （1，3）C. （2，3]D. （-∞，-2]∪[1，+∞）2.设x，y∈R，（x+i）x=4+2yi，则=（）A. B. C. 2 D.3.己知命题p：若△ABC为锐角三角形则sin A＜cos B；命题q：∀x，y∈R，若x+y≠5，则x≠-1或y≠6．则下列命题为真命题的是（）A. p∨（￢q）B. （￢p）∧qC. p∧qD. （￢p）∧（￢q）4.若函数f（x）=|log a x|-3-x（a＞0，a≠1）的两个零点是m，n，则（）A. mn=1B. mn＞1C. mn＜1D. 无法判断5.执行如下的程序框图，最后输出结果为k=10，那么判断框应该填入的判断可以是（）A. s＞55？B. s≥55？C. s＞45？D. s≥45？6.已知α∈（-），cos（）-sin，则sin（）的值是（）A. B. C. D.7.设x，y满足约束条件，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为（）A. 22B. 25C. 27D. 308.已知展开式的常数项为15，=（）A. ．πB. ．2+πC. ．D.9.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A.B.C.D.10. 已知三棱锥P -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的等边三角形，若球O 的体积为π，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为（ ）A.B.C.D.11. 已知过双曲线的右焦点F （5，0）向两条渐近线引垂线交于P 、Q ，O 为原点，若四边形OPFQ 的面积为12，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. 或 D. 或12. 已知f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，且对任意的实数x 都有f ′（x ）=e x（2x +3）+f （x ）（e 是自然对数的底数），f （0）=1，若不等式f （x ）-k ＜0的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A. [-，0）B. [-，0]C. （-，0]D. （-，0）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知向量，则实数λ=______．14. 在四边形ABCD 中，AB =1，BC =，AC =CD ，，则BD 的最大值为______．15. 已知函数，若关于x 的方程f 2（x ）-bf （x ）+c =0（b ，c ∈R ）有8个不等的实数根，则b +c 的取值范围是______．16. 已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F （1，0），直线l ：y =x +m 与抛物线交于不同的两点A ，B ，若0≤m ＜1，则△FAB 的面积的最大值是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三内角A ，B ，C 的对边，其面积，，，在等差数列{a n }中，a 1=a ，公差d =b ．数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n -2b n +1=0，n ∈N *．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）若c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和为S n ．18.国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地．目前德国汉堡、美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出．某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求女教师人数的分布列与期望．附：K2=，n=a+b+c+d，19.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．20.已知双曲线的左右两个顶点是A1，A2，曲线C上的动点P，Q关于x轴对称，直线A1P与A2Q交于点M，（1）求动点M的轨迹D的方程；（2）点E（0，2），轨迹D上的点A，B满足，求实数λ的取值范围．21.已知函数，，（1）当x∈[1，e]，求f（x）的最小值，（2）当m≤2时，若存在，使得对任意x2∈[-2，0]，f（x1）≤g（x2）成立，求实数m的取值范围．22.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-16cosθ=0，直线l与曲线C交于A，B两点，点P（1，3），（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．23.已知函数f（x）=|x-1|+|x+2|（1）若存在x使不等式a-f（x）＞0成立，求实数a的取值范围（2）若不等式a+-f（x）≥0对任意的正数a恒成立，求实数x的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合P={x|y=}={x|-x2+4x-3≥0}={x|1≤x≤3}，Q={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，∴={x|x≤-2或x≥2}，∴P∪（∁R Q）={x|x≤-2或x≤1}=（-∞，-2]∪[1，+∞）．故选：D．求出集合P，Q，从而求出C R Q，进而求出P∪（∁R Q），由此能求出结果．本题考查并集、补集的求法，考查并集、补集定义等基础知识考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】A【解析】解：根据题意，x，y∈R，（x+i）x=4+2yi，则有x2+xi=4+2yi，则有，解可得：或，当x=2，y=1时，==3+i，此时=，当x=-2，y=-1时，=-=-3-i，此时=，则=，故选：A．根据题意，由复数的计算公式可得，（x+i）x=4+2yi⇒x2+xi=4+2yi，则有，分析可得x、y的值，将x、y的值代入中计算可得答案．本题考查复数与复数模的计算，涉及复数相等的意义，关键求出x、y的值，属于基础题．3.【答案】B【解析】分析：命题p：由△ABC为锐角三角形，则A+B＞，因此π＞A＞-B＞0，可得sin A＞sin（-B）=cos B，即可判断出真假；命题q：判断其逆否命题的真假即可得出结论本题考查的知识点是复合命题及其真假判断，难度不大，属于基础题．解：命题p：若△ABC为锐角三角形，则π＞A+B＞，因此π＞A＞-B＞0，则sin A＞sin（-B）=cos B，可知是假命题；命题q：∀x，y∈R，若x+y≠5，则x≠-1或y≠6，其逆否命题：若x=-1且y=6，则x+y=6，是真命题，因此是真命题．则下列命题为真命题的是（￢p）∧q．故选：B．4.【答案】C【解析】解：令f（x）=0得|log a x|=3-x，则y=|log a x|与y=3-x的图象有2个交点，不妨设m＜n，a＞1，作出两个函数的图象如图：∴3-m＞3-n，即-log a m＞log a n，∴log a m+log a n＜0，即log a（mn）＜0，∴mn＜1．故选：C．令f（x）=0得|log a x|=3-x，画出y=|log a x|与y=3-x的图象，数形结合可得log a m+log a n＜0，即log a（mn）＜0，进而得到答案．本题考查了基本初等函数的图象与性质，对数的运算性质，属于中档题5.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得当k=10，s=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45由题意，此时应该满足判断框内的条件，输出k的值为10．可得判断框内应该填入的判断可以是s≥45？故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算s的值并输出相应的变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意：cos（）-sin，即cos-sinα-sinα=，可得：cos（+α）=，即cos（+α）=∵α∈（-），则+α∈（0，）∴sin（+α）=．则sin（）=sin[（+α）]=sin（+α）cos-cos（+α）sin=．故选：B．由cos（）-sin，打开可得cos（+α）=，在求解sin（+α）=，利用和与差即可求解．本题考查的知识点是两角和与差的正余弦公式，构造思想，难度不大，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由题意、y满足约束条件的图象如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，从图象上知，最优解是A（6，8），故有6a+8b=2，即3a+4b=1，∴=（3a+4b）（）=15+≥15+2=27，等号当且仅当2b=3a，3a+4b=1时成立．的最小值为27．故选：C．作出x、y满足约束条件的图象，由图象判断同最优解，令目标函数值为6，解出a，b的方程，再由基本不等式求出的最小值，代入求解即可.本题考查简单线性规划的应用及不等式的应用，解决本题，关键是根据线性规划的知识判断出取最值时的位置，即最优解，由此得到参数的方程，再构造出积为定值的形式求出表达式的最小值．8.【答案】C【解析】解：∵展开式的常数项为15，设常数项为T k+1==×=15，∴，得k=2，∴a4=1，即|a|=1，∴==+=，表示函数y=和x轴在[-1，1]围成图形的面积，而y=表示单位圆在x轴及其上方的部分，故表示半个单位圆的面积．∴==．故选：C．根据可以求出a，然后将定积分转化为函数围成的面积，可以求得结果．本题考查定积分的计算、二项式定理、定积分的几何意义．具有一定的综合性，属中档题．9.【答案】B【解析】解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，底面为等腰三角形，由俯视图知底面等腰三角形的高为2，底边长为2，∴S底面=×2×2=2，∴由正视图知棱锥的高2．∴三棱锥的体积为V=×2×2=．故选：B．三视图可知，该几何体为三棱锥，分别确定底面积和高，利用锥体的体积公式求解即可．本题考查三视图及其应用，棱锥的体积计算，关键是利用三视图判断几何体的形状与相关数据．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了棱锥与球的位置关系，球的体积，线面角，属于中档题．取AB的中点M，则∠CPM为所求线面角，利用勾股定理和球体积求出PM，即可得出答案．【解答】解：设△ABC的中心为E，M为AB的中点，过O作OD⊥PA，则D为PA的中点，∴∠CPM是直线PC与平面PAB所成角．∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴OD=AE==，∵=，∴OP=，∴PA=2PD=2=．∴PM==．∴tan∠CPM==．故选：A．11.【答案】D【解析】解：根据题意，双曲线的右焦点F（5，0），则a2+b2=25，双曲线的渐近线方程为y=±x，即ay±bx=0，则F到渐近线的距离d==b，即|PF|=|FQ|=b，又由|OF|=c=5，则|OP|=|OQ|=a，则四边形OPFQ的面积S=2××ab=ab=12，又由a2+b2=25，则a=3或4，则双曲线的离心率e==或；故选：D．根据题意，由双曲线的焦点坐标可得c=5，则a2+b2=25，求出双曲线的渐近线方程，进而求出焦点到渐近线的距离d=b，即|PF|=|FQ|=b，分析可得|OP|=|OQ|=a，进而分析可得四边形OPFQ的面积S=2××ab=ab=12，计算可得a的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意用a、b表示四边形OPFQ的面积，属于基础题．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值及方程与不等式的解法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．令G（x）=，可得G′（x）==2x+3，可设G（x）=x2+3x+c，G（0）=f（0）=1．解得c=1．f（x）=（x2+3x+1）e x，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：令G（x）=，则G′（x）==2x+3，可设G（x）=x2+3x+c，∵G（0）=f（0）=1．∴c=1．∴f（x）=（x2+3x+1）e x，∴f′（x）=（x2+5x+4）e x=（x+1）（x+4）e x．可得：x=-4时，函数f（x）取得极大值，x=-1时，函数f（x）取得极小值．f（-1）=-，f（0）=1，f（-2）=-＜0，f（-3）=＞0．∴＜k≤0时，不等式f（x）-k＜0的解集中恰有两个整数-1，-2．故k的取值范围是．故选：C．13.【答案】【解析】解：；∵；∴=；解得．故答案为：．根据条件可求出，而根据可得出，进行数量积的运算即可求出λ．考查向量坐标的数量积运算，向量垂直的充要条件，向量的数量积运算．14.【答案】3【解析】解：四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC=CD，，设∠ACB=α，由正弦定理，=，即sin B=AC•sinα．则CD2=AC2===AB2+BC2+2•=1+2+2•1••cos（π-B）=3-2cos B．∴由余弦定理得BD2=BC2+CD2+2•1•cos（90°+α）=2+CD2-2CD cos（90°+α）=2+（3-2cos B）+2AC sinα=5-2cos B+2sin B=5+4sin（B-45°）≤9，故BD的最大值为3，故答案为：3．设∠ACB=α，由正弦定理得到sin B=AC•sinα．求出则CD2=AC2，利用由余弦定理得BD2=5+4sin（B-45°），可得BD的最大值．本题主要考查两个向量数量积的运算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．15.【答案】（0，3）【解析】解：设t=f（x），则方程f2（x）-bf（x）+c=0可化为t2-bt+c=0，设关于t的方程的根为t1，t2，又关于x的方程f2（x）-bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不等的实数根等价于函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数为8个，由图可知：0＜t1＜t2≤1，设g（t）=t2-bt+c，则有，即，此不等式表示的平面区域为ABC所围成的区域，设z=b+c，由简单的线性规划型题型可得：0+0＜z＜2+1，即0＜b+c＜3，故答案为：（0，3）．由方程的根的个数与函数图象的交点个数的关系得：关于x的方程f2（x）-bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不等的实数根等价于函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数为8个，由图可知：0＜t1＜t2≤1，由简单的线性规划的应用得：设g（t）=t2-bt+c，则有，即，此不等式表示的平面区域为ABC所围成的区域，设z=b+c，由简单的线性规划型题型可得：0＜b+c＜3，得解本题考查了方程的根的个数与函数图象的交点个数的关系及简单的线性规划的应用，属难度较大的题型．16.【答案】【解析】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），∴抛物线的方程为y2=4x由直线l：y=x+m与抛物线方程，联立得x2+（2m-4）x+m2=0，由直线l与抛物线E有两个不同交点，得△=（2m-4）2-4m2=16-16m＞0在0≤m＜1时恒成立；设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4-2m，x1x2=m2；|AB|=|x1-x2|=4•又∵点F（1，0）到直线l：y=x+m的距离为d=，∴△FAB的面积为S=d•|AB|=2=•≤•=当且仅当2-2m=1+m，即m=时取等号，即△FAB的面积的最大值为．故答案为：．求出抛物线的方程，由直线l：y=x+m与抛物线方程，联立得x2+（2m-4）x+m2=0，利用根与系数的关系，结合弦长公式，求出直线l被抛物线E所截得弦长|AB|，得出△FAB 面积表达式，利用基本不等式求出最值来．本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，确定三角形的面积，正确运用基本不等式是关键．17.【答案】解：（1）由已知，可得，解得a=b=c=2，根据条件可得等差数列{a n}首项为2，公差为2，∴a n=2n，∵数列{b n}的前n项和为T n，满足T n-2b n+1=0①，n∈N*，当n=1时，b1-2b1+1=0，b1=1当n≥2时，T n-1-2b n-1+1=0②，①-②并化简得：b n=2b n-1，∴数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴；（2）∵，∴S n=1×21+2×22+3×23+…+（n-1）2n-1+n•2n，2S n=1×22+2×23+3×24+…+（n-1）2n+n•2n+1，以上两式相减得-Sn=21+22+23+…+2n-n•2n+1=∴【解析】本题考查数列的递推关系式以及数列的通项公式的求法，数列的求和的方法，考查计算能力．（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b，c，然后求解数列的通项公式；（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．3分）（2）K2==≈4.762＞3.841，所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关．…．（7分）（3）设选出女教师人数为x则p（x=0）=P（x=1）=P（x=2）=…………………………………………………（10分）（）………………………………．（12分）【解析】（1）根据已有数据，把表格数据填写完整即可；（2）求出k2．即可判断能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关．（3）求出X的人数，得到分布列，然后求解期望即可．本题考查独立检验以及离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】（1）证明：连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz如图．设底面边长为a，则高．于是，，，，故OC⊥SD,从而AC⊥SD;（2）由题设知，平面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量．设所求二面角为θ，则，所求二面角的大小为30°．（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．由（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，且设，则而即当SE：EC=2：1时，,而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.【解析】本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强,,属中档题.（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C和D的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则，从而求出二面角的大小；（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC20.【答案】解：（1）由已知A1（-2，0），A2（2，0），设则直线，直线，两式相乘得，化简得，即动点M的轨迹D的方程为；（2）过E（0，2）的直线若斜率不存在则或3，设直线斜率k存在，A（x1，y1），B（x2，y2），，则由（2）（4）解得x1，x2代入（3）式得，化简得，由（1）△≥0解得代入上式右端得，，解得，综上实数的取值范围是．【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标，考查计算能力，属于中档题．（1）分别求得A1P与A2Q的方程，两式相乘，化简整理即可求得动点M的轨迹D的方程；（2）当直线斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利益韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得实数λ的取值范围．21.【答案】（1），∴，当m≤2时，f（x）在x∈[1，e]上f'（x）≥0，f（x）min=f（1）=2-m，当m≥e+1时，f（x）在[1，e]上f'（x）≤0，，当2＜m＜e+1时，f（x）在x∈[1，m-1]上f'（x）≤0，x∈[m-1，e]上f'（x）≥0，f（x）min=f （m-1）=m-2-m ln（m-1），（2）已知等价于f（x1）min≤g（x2）min，由（1）知m≤2时f（x）在x∈[e，e2]上，而g'（x）=x+e x-（x+1）e x=x（1-e x），当x2∈[-2，0]，g'（x2）≤0，g（x2）min=g（0）=1，所以，所以实数m的取值范围是．【解析】本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．（1）求出函数的导数，通过当m≤2时，当m≥e+1时，当2＜m＜e+1时，分别判断函数的单调性求解函数的最小值．（2）已知条件等价于f（x1）min≤g（x2）min，通过函数的导数求解函数的最值，然后推出实数m的取值范围．22.【答案】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程y=2x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-16cosθ=0，即ρ2sin2θ=16ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2=16x；（2）直线l的参数方程改写为（t'为参数），代入y2=16x，得，设A、B对应的参数分别为,∴，，∴,则．【解析】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．（1）利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程即可；（2）直线的参数方程改写为（t'为参数），代入y2=16x，利用参数的几何意义求的值．23.【答案】解：（1）f（x）=|x-1|+|x+2|≥|x-1-x-2|=3，问题等价于a＞f（x）min=3，故a的范围是（3，+∞）；（2）a＞0，a+≥4（a=2取“=”），由已知可化为f（x）≤（a+）min=4，故|x-1|+|x+2|≤4，当x＜-2时，不等式为：1-x-x-2≤4解得x≥-当-2<x<1时，不等式为：-x+1+x+2≤4解得x无解当x>1时，不等式为x-1+x+2≤4解得x≤故-≤x≤，故x的范围是[-，]．【解析】（1）根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，求出a的范围即可；（2）问题转化为f（x）≤（a+）min=4，得到|x-1|+|x+2|≤4，解不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想以及函数恒成立问题，是一道中档题．。

安徽省六安市第一中学2020届高三数学下学期模拟卷（五）文测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设U =R ,{|0}A x x =>,{|1}B x x =>，则U A B =I ð （ ） A ．{|01}x x <≤ B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >2．若复数z 满足i1iz z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数所对应的点位于 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知幂函数1()nf x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin,cos,tan777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则 （ ） A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个实轴顶点为12,A A ，点C 为虚轴顶点，且120CA CA ⋅<u u u r u u u u r，则双曲线的离心率的范围为 （ ）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞5．2016年五一期间，各大网站纷纷推出各种“优惠劵”.在此期间，小明同学对本小区某居民楼的20名住户在假期期间抢得“优惠劵”的数量进行调查得到如下表格则该小区50 ） A ．30B ．1500C ．26D ．13006．已知向量21(),(2cos ,sin )(0)2x x x ωωωω==+>a b ，函数()f x =⋅a b 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，则()2f π= （ ） A ．2B ．74 C ．54D ．17．如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的i = （ ）A ．10B ．11C ．12D ．138．设M 是ABCD Y 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，则(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（ ） A ．6B ．16C ．24D ．489．设,x y 满足约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥，则22(1)(1)z x y =-++的取值范围为（ ） A ．[2,13]B ．[4,13]C ．[4,13]D．[2,13]10．设函数22log (3),0()3(1),0xt x x f x t x ⎧+-<⎪=⎨-⎪⎩≥，且1()62f =，则不等式2(2)()f a f a ->的解集为 （ ） A ．(2,1)- B ．(2,2)-C ．(1,2)-D ．(,2)(1,)-∞-+∞U11．如图，已知六个直角边均为1和3的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着L 旋转一周得到的几何体的体积为 （ ）A ．154πB ．174πC ．194πD ．214π12．已知函数()()y f x x =∈R 满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()1f x x =-，又31,121()ln ,1x x g x e x x x⎧-⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩≤，则函数()()()F x g x f x =-在区间[2017,2017]-上零点的个数为（ ） A ．2015B ．2016C ．2017D ．2018第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．已知抛物线2:8C y x =，Q 是C 上的一点，若焦点F 关于Q 的对称点P 落在y 轴上，则FP = .14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为22()3h V a b ab =++ 其中a 为上底边长，b 为下底边长，h 为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a ⨯个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n 层，最下层(即下底)由b b ⨯个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：22()32n b aS a b ab -=+++根据以上材料，我们可得22212n +++=L .15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为3，则俯视图的面积为 .16．已知数列{}n a 满足12n n n a a S +=，且11a =，记数列的前n 项和为n S ，若不等式22212nnS a ma n +≥对任意n *∈N 都成立，则实数m 的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）在ABC △中，,E F 分别是,AC AB 的中点，cos cos 2cos a B b A c A +=，且4,6AB AC ==.（1）求ABC △的面积； （2）求BECF的值.18．（12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：试问：关系？（2）若在一轮中演唱中，每次猜出3位亮相，求至少1位是“梅派”传人”的概率. 参考数据：参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++19．（12分）在如图（1）梯形ABCD 中，9,10,:1:2AB AD DC EB ===，过D 作DE AB ⊥于E ，1DE =，沿DE 翻折后得图（2），使得23AEB π∠=，又点F 满足EA EB EF +=u u u r u u u r u u u r ，连接,,AF BF CF ，且2EM MF =u u u u r u u u u r .（1）证明：//CF 平面BDM ； （2）求三棱锥D AEF -外接球的体积.20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的左、右焦点为12,F F ，左右两顶点,A B ，点M 为椭圆C 上任意一点，满足直线,MA MB 的斜率之积为34-，且12MF MF ⋅的最大值为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线AM 与过点B 且与x 轴垂直的直线交于点D ，过点,B D 作22,BP PF DQ PF ⊥⊥，垂足分别为,P Q 两点，求证：BP DQ BD +=.21．（12分）已知函数()2ln 1f x x ax =-+.（1）若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线30x y --=垂直，求a 的值； （2）当0a <且()0,1x ∈时，函数()f x 的图象总在直线()12y a x a =-+的下方，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程已知直线l 的普通方程为20x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为2cos2sin x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩，将直线向右平移2个单位后得到直线'l ，又点P 的极坐标)2π. （1）求直线'l 以及曲线C 的极坐标方程；（2）若直线'l 与曲线C 交于,A B 两点，求三角形PAB 的面积值.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()||||f x x a x b c =++-+（1）若1,2,3a b c ===，求不等式8()10f x <<的解集； （2）当0,0,0.a b c >>>时，若()f x 的最小值为2，求111a b c++的最小值.2020届模拟05文科数学答案与解析1．【答案】B 【解析】因为{}1U B x x =≤ð，所以{|01}U A B x x =<I ≤ð． 2．【答案】C 【解析】由i 1i z z =-得i i(1+i)1i 1i (1i)(1+i)22z ===-+--，所以1i 22z =--，所以z 对应的点在第三象限.3．【答案】A 【解析】因为幂函数1()n f x mx +=在区间[2,]n -上是奇函数，所以1,2m n ==，即3()f x x =，因为222cossin tan 777πππ<<，又()f x 为增函数，所以b a c <<. 4．【答案】A 【解析】根据题意，120CA CA ⋅<u u u r u u u u r，所以12ACA ∠为钝角，所以a b >，所以22222,2,1c a c e a >∴<∴<<5．【答案】D 【解析】由数据可知四个组的频率分别为0.1,0.35,0.4,0.15，所以每一人抢得“优惠劵”的平均数为0.1100.35200.4300.154026.⨯+⨯+⨯+⨯=所以该班50名住户在2016年“五一”期间抢得的“优惠劵”个数约为50261300⨯=个.故选D. 6．【答案】D 【解析】213()(2cos )cos sin 2f x x x x ωωω=⋅=++a b 2131cos sin 22x x ωω=++ 1cos 235113151sin 2(cos 2sin 2)sin(2)4422264x x x x x ωπωωωω+=++=++=++，由题意：T π=,22ππω∴=,1ω∴=，即15()sin(2)264f x x π=++，所以15()1244f π=-+=. 7．【答案】C 【解析】输入的5n =，程序框图运行如下：1i =，1(1)115S =-⨯=-<;2i =，21(1)21215S =-+-⨯=-+=<；3i =，31(1)31325S =+-⨯=-=-<;4i =，42(1)42425S =-+-⨯=-+=<L ； 10i =，(12)(34)(56)(78)(910)5S =-++-++-++-++-+=；11i =，115(1)1151165S =+-⨯=-=-<；12i =，126(1)1265S n =-+-⨯=>=；所以输出的12.i =8．【答案】B 【解析】因为AP BD ⊥，AM u u u u r 在向量AP u u u r的射影为AP u u u r，所以2(3)()24416OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP ++-⋅-=⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r . 9．【答案】A 【解析】由约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥作出可行域如图， 令22(1)(1)t x y =-++，则表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离，由图可得，max t DC =，联立4623x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得(1,2)C -，所以max 13t DC ==过(1,1)D -作DH BD ⊥于H ，则min 22t DH ===，故[2,13]z ∈ 10．【答案】A 【解析】121()31)62f t =⨯-=Q （，即121)2t -=（，解得5t =. 故22log (8),0()34,0xx x f x x ⎧-<⎪=⎨⨯⎪⎩≥，可以判断函数()f x 为增函数，所以22,21a a a ->∴-<<， 所以解集为(2,1)-.11．【答案】B 【解析】外面的六边形旋转得到的几何体的体积为22221333212[()(3)()(3)]3224πππππ⨯⨯++⨯=，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为2211332()()132πππ⨯⨯+⨯=，所以几何体的体积为174π.12．【答案】C 【解析】()()2f x f x +=Q ，所以()f x 的一个周期为2，当1x >时，ln ()e xg x x=，所以2(1ln )'()e x g x x -=，所以(1,),'()0,()(1)0;(,),'()0,()0x e g x g x g x e g x g x ∈>>=∈+∞<>， ()g x 的最大值为1，()f x 与()g x 的图象如下：在区间[1,1]-内有一个根，在[1,2017]内有1008个周期，每个周期内均有2个根，所以()F x 共有2017个零点 .13．【答案】6【解析】根据题意，Q 为FP 的中点，所以Q 的横坐标为1x =，所以2(12)6FP =+=.14．【答案】1(1)(21)6n n n ++【解析】观察规律令1,a b n ==，可得222112(1)(21)6n n n n +++=++L .15．【答案】3【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如右图，设四棱锥的高为h ，几何体的体积为11223,332h h +⨯⨯=∴=， 即点E 到平面ABCD 的距离为3，俯视图为一个正三角形，边长为2，所以俯视图的面积为3，16．【答案】2【解析】根据题意得1121121112,2,222n n n n n n n n n n n n n a a S a a S a a a a S S a +++++++++==-=-=，2135212,1,3,5,,21;n n k a a a a a a k +--=====-L 2422,4,,2.k n a a a k a n ===∴=L ； 所以222222(1)(1)4,4n n n n m n m n +++∴+≥≥，2222(1)51511()4424455n n t n n n +=+=++=++， 当*n ∈N 时，22(1)4n t n +=+单调递增，所以2t ≥，故2m ≤.17．【解析】（1）cos cos 2cos ,sin cos sin cos 2sin cos a B b A c A A B B A C A +=∴+=Q ，1sin()2sin cos ,cos 2B AC A A ∴+=∴=；（4分） 又(0,)A π∈，所以3A π=，所以ABC △的面积为164sin6323S π=⨯⨯=.（6分）（2）根据题意，画出图形，如图所示：又点,E F 分别为,AC AB 的中点，则3,2AE AF ==，（7分）所以在ABE △中，由余弦定理得2224324cos 2524cos BE A A =+-=-，2222624cos 4024cos CF A A =+-=-，（9分）所以2524cos 151591114024cos 4024cos 28BEA CF A A -==-=-=--.（12分）18．【解析】（1）因为222()40(301512) 6.061 5.024()()()()18221525n ac bd K a b c d a c b d --⨯==≈>++++⨯⨯⨯，（3分） 所以在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（5分）（2）记4位票友为,,,a b c d ，2位“梅派”传人”为,A B ，则从中选出3位的所有结果有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b d a b A a b B a c d a c A a c B a d A a d B a A B b c d(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)b c A b c B b d A b d B b A B c d A c d B c A B d A B 共20种，（8分）其中至少1位是“梅派”传人”的结果为(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b A a b B a c A a c B a d A a d B a A B b c A b c B b d A b d B ，(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)b A B c d A c d B c A B d A B .（10分）有16种，所以满足条件的概率为164205P ==.（12分） 19．【解析】（1）连接DB 与EC 交于点N ，:1:2DC EB =，则:2:1EN CN =Q 2,:2:1EM MF EM MF =∴=u u u u r u u u u r，∴//MN CF ，（2分）又MN ⊂平面BDM ，CF ⊄平面BDM ，∴//CF 平面BDM .（4分） （2）证明：由EA EB EF +=u u u r u u u r u u u r，得四边形AFBE 为平行四边形， 所以6AF BE ==，3EAF π∠=，所以222cos333EF AE AF AE AF π=+-⋅=，所以222,AF AE EF AE EF =+∴⊥，（6分）又,,DE EB DE EA EB EA E ⊥⊥=I ，所以DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥， 又EA ED E =I ，EF ∴⊥平面ADE .（8分）以,,EA ED EF 为棱，构造长方体，所以长方体外接球与三棱锥D AEF -的外接球相同，所以外接球的直径为22222231(33)37EA ED EF ++=++=，（11分） 所以球的体积为34373737()3ππ=.（12分） 20．【解析】（1）根据题意122212()4,22MF MF MF MF a a +⋅==∴=≤，（1分）又设00(,)M x y ，所以000022222002222200(1)x b y y y b a x a x a x a x a a-⋅===-+---，所以2234b a -=-，（3分）故23b =，从而椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（4分）（2）证明：设直线():2(0)AM y k x k =+≠，则：(2,4)D k ,BD 的中点为E 为(2,2)k ，联立22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：2222(34)1616120k x k x k +++-=设()00,P x y ，由韦达定理得：2021612234k x k --=+，解得：2026834k x k-=+，故有：()00212234k y k x k =+=+，（7分） 又()21,0F ，所以当12k =±时，31,2M ⎛⎫± ⎪⎝⎭，()2,2D ±，此时2MF x ⊥轴，所以四边形BPQD 为矩形，所以2,2BP DQ BD +==，所以BP DQ BD +=.（8分）当12k ≠±时，0204=114PF y kk x k =--，所以直线()224:114kPF y x k =--， 即：224401414k kx y k k --=--， 所以点E 到直线2PF的距离2d k =，（10分） 而=4BD k ，即知：12d BD =，所以以BD 为直径的圆与直线2PF 相切，所以四边形BPQD 为直角梯形，BD 的中点为E ， 所以24BP DQ d k BD +===.（12分） 21．【解析】（1）依题意，1()2f x ax x'=-，故()'112f a =-，则121a -=-，解得1a =；（3分）（2）依题意，当()0,1x ∈时，()2ln 112x ax a x a -+<-+，即()2ln 1120x ax a a x -++-+->，令()()2ln 112g x x ax a a x =-++-+-，下面证明()0g x >在()0,1恒成立；先分析函数()g x 在()0,1上的单调性；()212(12)1'2(1)1ax a x g x a x x x+--=-+-+=；令()22(12)1m x ax a x =+--；当0a <时，()m x 图象开口向下，()m x 在(0,)+∞上有两个零点1和12a-，①当12a =-时，112a-=，此时()0m x ≤，∴()g x 在()0,1上单调递减； ②当102a -<<时，112a ->，此时当()0m x >，可得112x a<<-；()0m x <，可得01x <<或12x a>-. ∴()g x 在1(1,)2a -上单调递增；在()0,1，1(,)2a-+∞上单调递减. ③当12a <-时，1012a <-<，此时当()0m x >，可得112x a-<<； ()0m x <，可得102x a<<-或1x >. ∴()g x 在1(,1)2a -上单调递增；在1(0,)2a-，(1,)+∞上单调递减； 因为函数()g x 过(1,0)点，且当12a -≥时，()g x 在()0,1为减函数，∴()(1)0g x g >=，符合题意.当12a <-时，()g x 在1(0,)2a -上单调递减，在1(,1)2a-上单调递增， ∴1()(1)02g g a -<=，不符合题意，舍去.综上所述，a 的取值范围为1[,0)2-.（12分） 22．【解析】（1）直线'l 的普通方程为0x y -=，直线'l 的极坐标方程4πρ=，（3分） 曲线C的普通方程22((4x y +-=，所以2cos sin 60ρθθ--+=.（5分）（2）由（1）得2660ρρ-+=，所以12AB ρρ=-8分） 点P 到直线'l 的距离d为34π=，所以132PAB S =⨯=.（10分）23．【解析】 （1）根据题意，22,2()|1||2|36,1242,1x x f x x x x x x +⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪--⎩≥≤，（3分）解210228x x ⎧⎨>+>⎩≥，或110428x x -⎧⎨>->⎩≤，得34x <<或32x -<<-，所以解集为(3,2)(3,4)--U .（5分）（2）因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，（8分） 又0,0a b >>，所以a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b c ++，所以2a b c ++=.所以1111111119()()(3)(3222)2222b a ac c b a b c a b c a b c a b c a b c ++=++++=+++++++++=≥.（10分）。

2020年安徽省六安市第一中学高考适应性考试数学试题一、单选题1．已知等比数列{}n a 满足133732a a a a +=⋅=，则5a =（ ）A ．±B ．-C ．D ．4-2．2010年至2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，全球连接器行业增长呈现加速状态.根据如下折线图，下列结论正确的个数为（ ）①每年市场规模逐年增加；②市场规模增长最快的是2013年至2014年；③这8年的市场规模增长率约为40%；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳.A ．1B ．2C ．3D ．43．已知集合{}321012=---，，，，，A ，{}23B x x =≤，则A B =（ ）A ．{0}2，B ．{101}-，，C ．{0}1，D ．321{012}---，，，，， 4．已知两个向量()()3,1a cos sin b θθ==-，，则2a b -的最大值是（ ）A ．2B ．C ．4D ．5．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 （ ）A ．9m >B ．C ．D ．9m <6．已知函数()cos21f x x x -+，下列结论中错误的是A ．()f x 的图象关于π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称 B ．()f x 在5π11π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 的图象关于π3x =对称 D ．()f x 的最大值为37．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：根据上表数据，用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程是（ ） 参考公式：121()()()ni ii n ii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y b x =-⋅；参考数据：108x =，84y =； A ．0.6274ˆ.2yx =+ B ．0.7264ˆ.2y x =+ C ．0.7164ˆ.1y x =+ D ．0.6264ˆ.2y x =+ 8．设π(0]2x ∈，，则下列命题：①sin x x ≥；②sin cos x x x ≥；③sin x y x=是单调减函数；④若sin sin kx k x ≥恒成立，则正数k 的取值范围是01k <≤，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49．以()2,1为圆心且与直线10y +=相切的圆的方程为（ ）A ．()()22214x y -+-=B ．()()22212x y -+-= C ．()()22214x y +++= D ．()()2221x y +++ 10．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i11．定义函数()(){}()()()()()()()(),max ,,f x f xg x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则{}max sin ,cos x x 的最小值为（ ）A．BC．D12．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ） A ．-5B ．5C ．35D ．-90二、双空题13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，则点1A 到平面AMN 的距离是________；若动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 平面AMN ，则线段1PA 的长度范围是________.三、填空题14．已知动点(,)P x y 满足240x y x x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则21y z x -=+的最大值为______.15．点P 是双曲线221169x y -=左支上的一点，其右焦点为F ，若M 为线段FP 的中点, 且M 到坐标原点的距离为7，则PF =___________.16．在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为____________四、解答题17．已知函数e ()x a f x x-=，其中0,x a >∈ R ． （I ）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（II ）当1a =时，证明：1m ∀≤，()ln f x x x m ≥+．18．如图，曲线1C 是以原点O 为中心、12,F F 为焦点的椭圆的一部分，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线1C 和2C的交点3(2且 21AF F ∠为钝角.（1）求曲线1C 和2C 的方程；（2）过2F 作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线12C C 、依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点、H 为BE中点，问22BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由. 19．在矩形所在平面α的同一侧取两点E 、F ，使DE α⊥且AF α⊥，若3AB AF ==，4=AD ，1DE =.（1）求证：AD BF ⊥（2）取BF 的中点G ，求证//DF AGC 平面（3）求多面体-ABF DCE 的体积.20．选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =+--+的最大值为10．（Ⅰ）求a b c ++的值； （Ⅱ）求2221(1)(2)(3)4a b c -+-+-的最小值，并求出此时a ，b ，c 的值． 21．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(2b ，1)，n ＝(2a －c ，cos C )，且m ∥n .(1)若b 2＝ac ，试判断△ABC 的形状；(2)求y ＝1－2cos 21tan A A+的值域． 22．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12、13、13，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；（2）求ξ的分布列及数学期望.23．已知直线l 经过点()2,1P ，倾斜角4πα=. （1）写出直线l 的参数方程；（2）设直线l 与圆:2O ρ=相交于两点A ，B ，求线段AB 的长度.【答案与解析】1．C根据等比数列的性质求解即可．解：∵3732a a ⋅=，∴253732a a a =⋅=，∴5a =±，又130a a +=>，∴5a =故选：C ．本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．2．C根据图形判断有年份规模呈下降，判断①错误；折线图中20132014-变化最大，判断②正确；③求出平均增长率，判断③正确；根据图像的平稳程度，判断④正确.①201l 年到2012年的市场规模有所下降，①说法错误；②市场规模增长最快的是2013年至2014年，该说法正确；③这8年的市场规模增长率约为63.545.3100%40%45.3-⨯≈，该说法正确； ④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳，该说法正确.综上，正确的结论有3个.故选:C.本题考查折线图数据分析，属于基础题.3．B求解出集合B ，根据交集定义求得结果.解:由{}{23B x x x x =≤=≤≤,又{}321012=---，，，，，A , 则{}1,0,1A B =-故选：B.本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.4．C根据向量的线性运算得2a b -的表达式，再由向量模的求法，逆用两角差的正弦公式进行化简，即可求出答案．解：∵向量()()cos sin 31a b θθ==-，，，，∴2a b -=（2cos θ2sin θ+1），∴()(()22222cos 2sin 1a b θθ-=++＝4﹣θ+4sin θ+4＝8sin （θ3π-）+8≤8+8＝16，当sin （θ3π-）＝1时，取“＝”， ()22222164a b a b a b ∴-=-=-≤=∴2a b -的最大值为4．故选C ． 本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及逆用两角差的正弦公式，是基础题目．5．C【解析】试题分析：设()()()22029{ 930f f x x x m m f ≤=-+∴∴≤≤考点：三个二次关系 6．B利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性，最值性，对称性的性质分别进行判断即可．f （x ）﹣cos2x+1=2sin （2x ﹣6π）+1， A ．当x=12π时，sin （2x ﹣6π）=0，则f （x ）的图象关于（12π，1）中心对称，故A 正确， B ．由2kπ+2π≤2x ﹣6π≤2kπ+32π，k ∈Z ，得kπ+3π≤x≤kπ+56π，k ∈Z ， 当k=0时，函数的递减区间是[3π，56π]，故B 错误， C ．当x=3π时，2x ﹣6π=2×3π﹣6π=2π，则f （x ）的图象关于x=3π对称，故C 正确， D ．当2sin （2x ﹣6π）=1时，函数取得最大值为2+1=3，故D 正确， 故选：B ．本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数。

2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（五）数学（文）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}{}0,1A x x B x x =>=>，则U A C B ⋂=（ ） A ．{}01x x ≤< B ．{}01x x <≤C ．{}0x x <D ．{}1x x >【答案】B【解析】求出U C B 后可求U A C B ⋂. 【详解】{}|1U C B x x =≤，故{}|01U A C B x x ⋂=<≤.故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算（交集和补集），此类属于基础题. 2．若复数z 满足i1iz z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】先由i1iz z =-，解得z ，再求z ，然后用几何意义判断. 【详解】 因为i1iz z =-， 所以ii(1+i)1i1i (1i)(1+i)22z ===-+--， 所以1i 22z =--，所以z 对应的点在第三象限.. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．已知幂函数1()nf x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin,cos,tan 777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A【解析】根据函数1()n f x mx +=是幂函数，得到1m =，再由1()nf x x +=在区间[2,]n -上是奇函数，得到2n =，然后用函数的单调性判断. 【详解】因为函数1()nf x mx +=是幂函数，所以1m = ，所以1()nf x x +=，又因为1()nf x x +=在区间[2,]n -上是奇函数，所以2n =，即3()f x x =，因为222cossin tan 777πππ<<， 又()f x 为增函数， 所以b a c <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及性质，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个实轴顶点为12,A A ，点C 为虚轴顶点，且120CA CA ⋅<uuu r uuu r，则双曲线的离心率的范围为（ ）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞【答案】A【解析】根据120CA CA ⋅<uuu r uuu r，所以12ACA ∠为钝角，有a b >求解. 【详解】根据题意，120CA CA ⋅<uuu r uuu r ， 所以12ACA ∠为钝角，所以a b >，所以22222,2,1c a c e a>∴<∴<<.故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.5．2016年五一期间，各大网站纷纷推出各种“优惠劵”.在此期间，小明同学对本小区某居民楼的20名住户在假期期间抢得“优惠劵”的数量进行调查得到如下表格则该小区50名住户在2016年“五一”期间抢得的“优惠劵”个数约为（ ） A ．30 B ．1500C ．26D ．1300【答案】D【解析】根据表中数据,求出每组所对的频率,利用平均数公式估计每一人抢得“优惠劵”的平均数,然后再乘以50即可. 【详解】由数据可知四个组的频率分别为0.1,0.35,0.4,0.15， 所以每一人抢得“优惠劵”的平均数为0.1100.35200.4300.154026⨯+⨯+⨯+⨯=所以该班50名住户在2016年“五一”期间抢得的“优惠劵”个数约为50261300⨯=(个). 故选:D 【点睛】本题考查利用样本估计总体的平均数;属于基础题.6．已知向量21(),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>r r ，函数()f x a b =⋅r r 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，则()2f π=（ ）A ．2B ．74 C ．54D ．1【答案】D【解析】由213(,cos ),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>r r ，利用数量积运算得到()f x 15sin(2)264x πω=++，再根据函数()f x a b =⋅r r在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，求得周期，确定函数再求值. 【详解】因为213(,cos ),(2cos ,sin )(0)22a xb x x ωωωω==+>r r ，所以213()(2cos )cos sin 2ωωω=⋅=++r rf x x x x a b 2131cos sin 22x x ωω=++， 1cos231sin 24x x ωω+=++5113(cos2sin 2)422x x ωω=++15sin(2)264x πω=++，因为函数()f x a b =⋅r r 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，所以T π=，22ππω∴=，1ω∴=， 即15()sin(2)264f x x π=++，所以15()1244f π=-+=.故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数与平面向量，数量积运算及三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.7．如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的i =（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】根据循环结构，从1i =开始，一一验证，直至5>=S n 时，对应的值.输入的5n =，程序框图运行如下：1i =，1(1)115S =-⨯=-<，2i =，21(1)21215S =-+-⨯=-+=<，3i =，31(1)31325S =+-⨯=-=-<，4i =，42(1)42425S =-+-⨯=-+=<L ，10i =，(12)(34)(56)(78)(910)5S =-++-++-++-++-+=，11=i ，115(1)1151165S =+-⨯=-=-<，12i =，126(1)1265S n =-+-⨯=>=.所以输出的12.i = 故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环结构，还考查了数形结合的思想和逻辑推理的能力，属于基础题.8．设M 是ABCD Y 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，则(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（ ）A ．6B ．16C ．24D ．48【答案】B【解析】根据AP BD ⊥，有AM u u u u r 在向量AP u u u r的射影为AP u u u r ，根据向量加、减法运算，将(3)()++-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rOB OC OD OA OP OA 转化求解.【详解】 因为AP BD ⊥，所以AM u u u u r 在向量AP u u u r的射影为AP u u u r ，所以2(3)()24416OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP ++-⋅-=⋅=⋅=⋅=u u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u r u u u ru u u u r u u u ru u u r . 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的加法，减法运算及向量的投影，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.9．设,x y 满足约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则22(1)(1)z x y =-++的取值范围为（ ）A ．[2,13]B ．[4,13]C．D．【解析】根据约束条件，作出可行域，目标函数表示表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离的平方，然后用数形结合求解. 【详解】由约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩作出可行域如图，令22(1)(1)t x y -++，则表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离， 由图可得，max t DC =，联立4623x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得(1,2)C -，所以max 13t DC =过(1,1)D -作DH AB ⊥于H ，则min 22t DH == 所以[2,13]z ∈. 故选：A 【点睛】本题主要考查了线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.10．设函数()()()22log 30310xt x x f x t x ⎧+-<⎪=⎨-≥⎪⎩，且1()62f =，则不等式2(2)()f a f a ->的解集为（ ） A ．(2,1)- B ．(2,2)-C ．(1,2)-D ．(,2)(1,)-∞-+∞U【答案】A【解析】根据分段函数()f x 解析式知,()1213162f t ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,求出t 得到分段函数()f x 的解析式,根据解析式判断函数()f x 的单调性,利用单调性得到关于a 的不等式,解不等式即可. 【详解】121()31)62f t =⨯-=Q （，即121)2t -=（，解得5t =.故()()22log 80340xx x f x x ⎧-<⎪=⎨⨯≥⎪⎩，由此可以判断函数()f x 为R 上的增函数，因为2(2)()f a f a ->,所以22,21a a a ->∴-<<，所以所求不等式的解集为(2,1)-. 故选:A 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性解不等式;属于中档题、常考题型.11．如图，已知六个直角边均为1和3的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着L 旋转一周得到的几何体的体积为（ ）A ．154πB ．174πC ．194πD ．214π【答案】B【解析】根据图形，3旋转得到的几何体是两个同底的圆台，再根据圆台的体积公式求解，内部的六边形边长为1，旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥.再根据圆柱，圆锥的体积公式求解，然后外部的减内部的体积即为所求. 【详解】3 旋转得到的几何体是两个同底的圆台，，高为32 ，所以旋转得到的几何体的体积为2213212[324πππ⨯⨯+=，内部的六边形边长为1旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥，121，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为22112132πππ⨯⨯+⨯=， 所以几何体的体积为174π. 故选：B 【点睛】本题主要考查了空间几何体的组合体的体积，还考查了空间想象的能力，属于中档题. 12．已知函数()y f x x =∈R ()满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()1f x x =-，又31,121()ln ,1x x g x e x x x⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()()F x g x f x =-在区间[2017,2017]-上零点的个数为（ ） A ．2015 B ．2016 C ．2017 D ．2018【答案】C【解析】由题意知,当1x >时，函数ln ()e xg x x=，求出函数()g x 的导数,利用导数()'g x 判断函数()g x 的单调性,求出函数()g x 的最大值,因为函数()f x 是以2为周期的周期函数,画出函数()g x 和()f x 的图象,把函数零点个数转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】()()2f x f x +=Q ，所以()f x 的一个周期为2，因为当1x >时，ln ()e x g x x =，则2(1ln )'()e x g x x -=， 当1x e <<时,()'0g x >,函数()g x 在区间()1,e 上单调递增, 所以()()()011g g x g e =<<=；当x e >时,()'0g x <,函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减,所以()()1g x g e <=；所以当1x >时,函数()g x 有最大值为1, 函数()f x 与()g x 的图象如下：所以函数()()()F x g x f x =-在区间[1,1]-内有一个零点， 在[1,2017]内有1008个周期，每个周期内均有2个零点， 所以函数()F x 在区间[2017,2017]-共有2017个零点. 故选:C 【点睛】本题考查函数的零点个数问题;熟练掌握周期函数的定义和分段函数图象的作法,利用数形结合思想把函数零点问题转化为两个函数的交点问题是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.二、填空题13．已知抛物线2:8C y x =，Q 是C 上的一点，若焦点F 关于Q 的对称点P 落在y 轴上，则FP =________. 【答案】6【解析】根据Q ,F P 间的对称关系，结合点P 在y 轴上，求得点Q 的横坐标，再利用抛物线的定义求解. 【详解】设(),Q m n ,()2,0F 因为Q 为FP 的中点，且点P 在y 轴上， 所以Q 的横坐标为1m =， 由抛物线的定义得，22(12)6==+=FP QF .故答案为：6 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及对称问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为22()3h V a b ab =++，其中a 为上底边长，b 为下底边长，h 为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a ⨯个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n 层，最下层(即下底)由b b ⨯个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：22()32n b a S a b ab -=+++根据以上材料，我们可得22212n +++=L __________.【答案】1(1)(21)6n n n ++ 【解析】根据题意，在22()32n b aS a b ab -=+++中，令1,a b n ==，即可得到结论. 【详解】根据题意，令1,a b n ==，22221(1)1(1)1232(21)6n n S n n n n n n -=++++==++++L .故答案为：1(1)(21)6n n n ++ 【点睛】本题主要考查了类比推理，还考查了抽象概括问题的能力，属于基础题.15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为3，则俯视图的面积为__.3【解析】根据三视图，得到这个几何体为一个放倒的四棱锥，画出直观图，根据三视图，正视图为底面，高为俯视图的高，由体积求得高，得到俯视图的边长即可. 【详解】由三视图可知，几何体为一个四棱锥， 直观图如下，设四棱锥的高为h ， 几何体的体积为11223,332h h +⨯⨯ 即点E 到平面ABCD 3 又因为俯视图三角形底边长为2， 所以俯视图的面积为=⨯⨯=12332s 3【点睛】本题主要考查了三视图与直观图，还考查了数形结合的思想和空间想象的能力，属于中档题.16．已知数列{}n a 满足12n n n a a S +=，且11a =，记数列的前n 项和为n S ，若不等式22212nnS a ma n +≥对任意n *∈N 都成立，则实数m 的最大值为____________.【答案】2【解析】类比已知n S 求n a 的方法:由12n n n a a S +=,得到1212n n n a a S +++=,两式相减得到数列{}n a 的递推公式,利用递推公式求数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式,利用函数恒成立问题中的分离参数法进行求解即可. 【详解】因为12n n n a a S +=,所以1212n n n a a S +++=, 两式相减可得,121122n n n n n n a a a a S S ++++-=-,因为11n n n S S a ++-=,所以有()1212n n n n a a a a +++-=, 因为10n a +≠,所以22n n a a +-=,当n 为奇数时,因为11a =,所以有35213,5,,21k a a a k -==⋅⋅⋅=-, 当n 为偶数时, 因为11a =,1212a a S =,所以2422,4,,2k a a a k ==⋅⋅⋅=, 综上可知,数列{}n a 是以1为首项,以1为公差的等差数列, 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =,前n 项和()12n n n S +=, 因为不等式22212nnS a ma n+≥对任意n *∈N 都成立，所以()222214n n n m n++≥对任意n *∈N 都成立, 即()2214n nm ++≥对任意n *∈N 都成立,令2222(1)51511()4424455n n t n n n +=+=++=++， 因为当*n N∈时，22(1)4n t n +=+单调递增，所以2t ≥，即实数m 的最大值为2, 故答案为:2 【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和公式及不等式的恒成立问题;由n S 和n a 的关系式正确的求出数列{}n a 的通项公式是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.三、解答题17．在ABC ∆中，,E F 分别是,AC AB 的中点，cos cos 2cos a B b A c A +=，且4,6AB AC ==. （1）求ABC ∆的面积； （2）求BECF的值. 【答案】（1） （2【解析】()1利用正弦定理把边化成角,再由两角和的正弦公式求出A ∠,代入三角形的面积公式求解即可;()2在ABE △和ACF ∆中,分别利用余弦定理求出22,BE CF ,由()1知cos A ,即可求出BECF的值. 【详解】()1cos cos 2cos ,sin cos sin cos 2sin cos a B b A c A A B B A C A +=∴+=Q ，1sin()2sin cos ,cos 2B AC A A ∴+=∴=； 又(0,)A π∈，所以3A π=，所以ABC ∆的面积为164sin6323S π=⨯⨯=.()2根据题意，画出图形，如图所示：又点,E F 分别为,AC AB 的中点，则3,2AE AF ==， 所以在ABE △中，由余弦定理得，2224324cos 2524cos BE A A =+-=-，同理,在ACF ∆中,由余弦定理可得,2222624cos 4024cos CF A A =+-=-，所以2524cos 151591114024cos 4024cos 28BEA CF A A -----【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用;属于中档题、常考题型.18．京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：京剧票友 一般爱好者 合计 50岁以上151025试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜X 次，求随机变量X 的分布列与期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）在犯错误的概率不超2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（2）见解析，133【解析】（1）根据列联表，利用公式求得卡方值，对应卡值下结论.（2）根据题意，分四种情况，一是猜2次，2人全是“梅派”传人”，二猜3次是第3次是“梅派”传人，三是猜4次，第4次是“梅派”传人，四是猜5次，分两类，一类是第5次是“梅派”传人，第二类是第5次不是“梅派”传人，分别用古典概型求得概率，列出分布列，求期望. 【详解】（1）因为222()40(301512) 6.061 5.024()()()()18221525n ac bd K a b c d a c b d --⨯==≈>++++⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系. （2）由题意，随机变量X 的取值分别为2,3,4,5.22261(2) 15A P X A ===，112242362(3) 15C C A P X A ===， 123243461(4) 5===C C A P X A ， 13411452441245563(5) 5+===C C A C C C A P X A ， ∴随机变量X 的分布列为：X2 3 4 5P115 215 15 35∴随机变量X 的期望为：12131323451515553=⨯+⨯+⨯+⨯=EX. 【点睛】本题主要考查了独立性检验和分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.19．在如图（1）梯形ABCD 中，9,10,:1:2AB AD DC EB ===，过D 作DE AB ⊥于E ，1DE =，沿DE 翻折后得图（2），使得23AEB π∠=，又点F 满足EA EB EF +=u u u r u u u r u u u r，连接,,AF BF CF ，且2EM MF =u u u u r u u u u r.（1）证明：//CF 平面BDM ； （2）求三棱锥D AEF -外接球的体积. 【答案】（1）见解析； （23737. 【解析】()1连接DB 与EC 交于点N ,由线面平行的判定定理知,证明//MN CF 即可；()2在AEF ∆中,利用余弦定理求出EF ,利用勾股定理和线面垂直的判定与性质证得,,EA ED EF 两两互相垂直, 以,,EA ED EF 为棱，构造长方体,则长方体外接球与三棱锥D AEF -的外接球相同,求出对应长方体的外接球的体积即可.【详解】()1证明:如图:连接DB 与EC 交于点N ，因为:1:2DC EB =，则:2:1EN CN =Q2,:2:1EM MF EM MF =∴=u u u u r u u u u r，∴//MN CF ，又MN ⊂平面BDM ，CF ⊄平面BDM ， ∴//CF 平面BDM .()2由EA EB EF +=u u u r u u u r u u u r，得四边形AFBE 为平行四边形，因为23AEB π∠=,所以6AF BE ==，3EAF π∠=，所以在AEF ∆中,由余弦定理可得,222cos333EF AE AF AE AF π=+-⋅所以222,AF AE EF AE EF =+∴⊥， 又因为,,DE EB DE EA EB EA E ⊥⊥=I ， 所以DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥， 又EA ED E =I ，EF ∴⊥平面ADE .以,,EA ED EF 为棱，构造长方体,则长方体外接球与三棱锥D AEF -的外接球相同， 22222231(33)37EA ED EF ++++， 所以球的体积为343V R π=⋅⋅=34373737(3π. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定与性质及三棱锥外接球体积的求解;证得,,EA ED EF 两两互相垂直, 以,,EA ED EF 为棱，构造长方体,把求三棱锥D AEF -的外接球体积转化为求所对的长方体外接球体积是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点为12,F F ，左右两顶点,A B ，点M为椭圆C 上任意一点，满足直线,MA MB 的斜率之积为34-，且12MF MF ⋅的最大值为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线AM 与过点B 且与x 轴垂直的直线交于点D ，过点,B D 作22,BP PF DQ PF ⊥⊥，垂足分别为,P Q 两点，求证：BP DQ BD +=.【答案】（1）22143x y +=； （2）见解析.【解析】()1利用直线,MA MB 的斜率之积为34-,得到,a b 的关系式,再利用椭圆定义可得,2122122MF MF MF MF a ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭,即可求出,a b ,得到椭圆C 的标准方程；()2求得,A B 及焦点坐标,设直线():2(0)AM y k x k =+≠,则(2,4)D k ，BD 的中点E 为(2,2)k ,设()00,M x y ,联立22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ,求出0x 用k 表示,分12k =±和12k ≠±两种情况,分别证明BP DQ BD +=即可. 【详解】()1根据题意21222||4,22MF MF MF MF a a ⎛⎫+⋅==∴= ⎪⎝⎭…，设00(,)M x y ，所以000022222002222200(1)x b y y y b a x a x ax a x a a -⋅===-+---， 所以2234b a -=-,故23b =，从而椭圆C 的标准方程为22143x y +=.()2证明:设直线():2(0)AM y k x k =+≠，则：(2,4)D k ,BD 的中点为E 为(2,2)k ，联立22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：2222(34)1616120k x k x k +++-= 设()00,M x y ，由韦达定理得：2021612234k x k --=+，解得：2026834k x k -=+，故有：()00212234ky k x k=+=+， 又()21,0F ， 当12k =±时，31,2M ⎛⎫± ⎪⎝⎭，()2,2D ±，此时2MF x ⊥轴，所以四边形BPQD 为矩形，所以2,2BP DQ BD +==， 所以||||||BP DQ BD +=.当12k ≠±时，因为20204114PF y k k x k ==--,()21,0F所以直线224:(1)14kPF y x k =--，即：224401414k k x y k k --=--， 所以点E 到直线2PF的距离2||d k ==， 而4BD k =，即知：1||2d BD =，所以以BD 为直径的圆与直线2PF 相切， 因为四边形BPQD 为直角梯形，BD 的中点为E ， 所以24BP DQ d k BD +===. 综上可知,BP DQ BD +=. 【点睛】本题考查椭圆标准方程和直线与椭圆的位置关系;重点考查学生的运算能力和转化与化归能力;分12k =±和12k ≠±两种情况，分别证明BP DQ BD +=是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题. 21．已知函数()2ln 1f x x ax =-+.（1）若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线30x y --=垂直，求a 的值； （2）当0a <且()0,1x ∈时，函数()f x 的图象总在直线()12y a x a =-+的下方，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =； （2）1[,0)2-. 【解析】()1求出函数()f x 的导数()'f x ,由切线方程可得()'112f a =-1=-,解方程即可;()2由题意知,()2ln 112x axa x a -+<-+对任意()0,1x ∈恒成立等价于不等式()2ln 1120x ax a a x -++-+->对任意()0,1x ∈恒成立,令函数()()2ln 112g x x ax a a x =-++-+-，证明()0g x >在()0,1恒成立即可;对函数()g x 进行求导()'g x ,利用导数()'g x 判断函数()g x 的单调性,求最值即可求出实数a 的取值范围. 【详解】()1依题意，1()2f x ax x'=-，故()'112f a =-，则121a -=-，解得1a =；()2依题意，当()0,1x ∈时，()2ln 112x axa x a -+<-+恒成立,即()2ln 1120x ax a a x -++-+->对任意()0,1x ∈恒成立，令()()2ln 112g x x ax a a x =-++-+-，证明()0g x >在()0,1恒成立即可,因为()212(12)1'2(1)1ax a x g x a x x x+--=-+-+=，令()22(12)1m x ax a x =+--，当0a <时，()m x 图象开口向下，又因为()m x 在(0,)+∞上有两个零点1和12a-， ①当12a =-时，即112a -=，此时()0m x <在()0,1上恒成立，∴函数()g x 在()0,1上单调递减，因为()10g =，所以函数()0g x >在()0,1恒成立,符合题意; ②当102a -<<时,即112a ->，此时当01x <<时, ()0m x <， ∴函数()g x 在()0,1上单调递减，因为()10g =，所以函数()0g x >在()0,1恒成立,符合题意;③当12a <-时，即1012a <-<，此时当112x a -<<时,()0m x >， 当102x a<<-时, ()0m x <，∴函数()g x 在1(,1)2a -上单调递增；在1(0,)2a-上单调递减；所以1()(1)02g g a-<=，不符合题意; 综上可知，实数a 的取值范围为1[,0)2-. 【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数求切线的斜率、判断函数的单调性求最值解决恒成立问题;考查分类讨论和转化与化归的数学思想;构造函数证明不等式是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.22．已知直线l 的普通方程为20x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，将直线向右平移2个单位后得到直线'l ，又点P的极坐标)2π. （1）求直线'l 以及曲线C 的极坐标方程；（2）若直线'l 与曲线C 交于,A B 两点，求三角形PAB 的面积值. 【答案】（1）4πρ=，2cos sin 60ρθθ--+=.（2）【解析】（1）根据cos ,sin ,x y ρθρθ== 分别求解直线'l 的极坐标方程和曲线C 的极坐标方程.（2）由直线'l 的极坐标方程和曲线C 的极坐标方程联立得2660ρρ-+=，再求弦长12AB ρρ=-P 到直线'l 的距离d ，代入面积公式求解.【详解】（1）因为直线'l 的普通方程为0x y -=， 所以直线'l 的极坐标方程4πθ=，因为曲线C的普通方程22((4x y +-=，所以曲线C的极坐标方程2cos sin 60ρθθ--+=. （2）由（1）得2660ρρ-+=，所以12AB ρρ=- 点P 到直线'l 的距离d为34π=，所以132PAB S =⨯=V 【点睛】本题主要考查了普通方程，极坐标方程，参数方程间的转化，以及直线与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 23．已知函数()||||f x x a x b c =++-+（1）若1,2,3a b c ===，求不等式8()10f x <<的解集； （2）当0,0,0.a b c >>>时，若()f x 的最小值为2，求111a b c++的最小值. 【答案】（1）(3,2)(3,4)--U .（2）92第 21 页 共 21 页【解析】（1）根据题意，利用绝对值的几何意义，转化函数22,2()1236,1242,1x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪-≤-⎩，再分类讨论解不等式.（2）由()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥，再根据0,0a b >>，()f x 的最小值为a b c ++，即2a b c ++=，然后用“1”的代换利用基本不等式求最小值. 【详解】 （1）根据题意，22,2()1236,1242,1x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪-≤-⎩，因为8()10f x <<所以210228x x ≥⎧⎨>+>⎩或110428x x ≤-⎧⎨>->⎩，解得34x <<或32x -<<-， 所以解集为(3,2)(3,4)--U .（2）因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立， 又0,0a b >>，所以a b a b +=+， 所以()f x 的最小值为a b c ++， 所以2a b c ++=.所以1111111119()()(3)(3222)2222b a ac c b a b c abcabcabcabc++=++++=+++++++++=≥. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及最值的求法，基本不等式的应用，还考查了转化化归、分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

2020年安徽省六安一中高考数学模拟试卷(理科)(四)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={1,2,3,4,5,6}，A={1,2}，B={2,3,4}，则A∩(∁R B)=()A. {1,2，5，6}B. {1}C. {2}D. {1,2，3，4}2.在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A(2,1)和B(0,1)，则z1z2等于()A. −1−2iB. −1+2iC. 1−2iD. 1+2i3.一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()A. d>875B. d<325C. 875<d<325D. 875<d≤3254.执行如图的程序框图，则输出的n的值为()A. 5B. 6C. 7D. 85.函数f(x)=x3−x的奇偶性为()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数6.已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234 y2 4.2 4.5 4.6m 且回归方程是y=0.65x+2.7，则m=()A. 5.6B. 5.3C. 5.0D. 4.77. 若变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤4x −y ≤2x ≥0,y ≥0，则2x +y 的最大值是( )A. 2B. 4C. 7D. 88. 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 222=1(a >0)的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 1=60°，则△F 1PF 2的面积是( )A. 4√33B. 4√3C. 2√3D. 2√339. 某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A. πB. 4π3 C. 5π3 D. 2π10. 在三棱锥A −BCD 中，△ABC 是边长为3的正三角形，BD ⊥平面ABC 且BD =4，则该三棱锥的外接球的体积为( )A. 28πB. 28√7πC.283√7π D.283π11. 在△ABC 中，AB =2，A =2π3，动点G 满足AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若点G 的轨迹与直线AB ，AC 围成的封闭图形的面积为√34，则BC = ( )A. √7B. √19C. √21D. 3√312. 若函数f(x)={x 2+1x,x >1,ln(x +a),x ≤1的图象上存在关于直线x =1对称的不同两点，则实数a 的取值范围是( )A. (e 2−1,+∞)B. (e 2+1,+∞)C. (−∞,e 2−1)D. (−∞,e 2+1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2x −1)(1x +2x)6的展开式中含x 7的项的系数是______．14. 在矩形ABCD 中，AB =4，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√17，E 为线段AB 上一点，且BD ⊥CE ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．15.已知函数f(x)=Mcos(ωx+φ)(M>0,ω>0)的部分图象如图所示，其中A(π18,4)，B(2π9,0)(其中A是该图象的最高点)，则函数f(x)在(−2π3,−π2)的值域为．16.已知抛物线y2=2mx(m>0)的焦点为F，过焦点F作直线交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为x2+y2−2x−2ty+t2−15=0，则m=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，满足S n=2a n−1．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设数列{a n}的前n项积为T n，求T n．18.某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N(170.5,16)，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5,162.5)，第二组[162.5,167.5),...，第六组[182.5,187.5)，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．(Ⅰ)求该学校高三年级男生的平均身高与这50名男生中身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人数；(Ⅱ)从这50名男生中身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人中任意抽取2人，该2人身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．(附：参考数据：若ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544,P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.9974．19.在多面体AFCDEB中，BCDE是边长为2的正方形，CF//AB，平面ABCF⊥平面BCDE，AB=2FC=2，AB⊥CE．(1)求证：BD⊥平面CFE；(2)求直线EF与平面ADF所成角的正弦值．20. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F 2(1,0),离心率为e =12.(1)求椭圆的方程: (2)设直线y =kx+1与椭圆相交于A.B 两点.M,N 分别为线段AF 2,BF 2的中点,若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上,求k 的值.21. 已知函数f(x)=e x +ax 在x =0处的切线与直线x =1垂直．(1)求a 的值； (2)求证：f(x)≥1．22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =2ty =12+√3t(t 为参数)，曲线C 1：为参数)．(1)求直线l及曲线C1的极坐标方程；(ρ∈R)与直线l和曲线C1分别交于异于原点的A，B两点，求|AB|的值．(2)若曲线C2:θ=π323.已知函数f(x)=3x2+(b−8)x−a−ab，f(x)<0的解集为(−2,3)．(1)求f(x)的解析式；(2)当x>0时，求y=f(x)+21的最小值．x【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查集合的交集与补集的混合运算，属于基础题，由全集和B ，求出∁U B ，再和A 求交集可得． 解：因为全集U ={1,2,3,4,5,6}，B ={2,3,4}，所以∁U B ={1,5,6}， 又因为A ={1,2}，所以A ∩(∁U B)={1}． 故选B ．2.答案：C解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由已知得z 1=2+i ，z 2=i ， ∴z 1z 2=2+i i=i(2+i)i 2=−1+2i −1=1−2i ．故选C ．3.答案：D解析：本题考查等差数列通项公式的应用，属于较易题． 根据通项得到关于d 的不等式即可求解． 解：依题意可知{a 10>1a 9≤1，∴{125+9d >1125+8d ≤1，∴875<d ≤325. 故选D ．4.答案：B解析：本题考查程序框图，是基础题． 模拟程序的运行过程即可求解．解：S =11×2+12×3+...+1n(n+1)=1−1n+1， 可知，当n =5时，S =56， 故当n =6时，S =67>56， 故选B ．5.答案：A解析：函数定义域为R ，f(−x)=(−x)3−(−x)=−x3+x=−(x3−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数．6.答案：D解析：解：∵x .=2，y .=15.3+m5，∴代入回归方程y =0.65x +2.7，得m =4.7， 故选：D ．根据已知中的数据，求出数据样本中心点的坐标，代入回归直线方程，进而求出m ． 本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题．7.答案：C解析：解：满足约束条件{x +y ≤4x −y ≤2x ≥0,y ≥0的可行域如下图中阴影部分所示：∵目标函数Z =2x +y ，∴Z O =0，Z A =4，Z B =7，Z C =4， 故2x +y 的最大值是7， 故选：C ．本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件{x +y ≤4x −y ≤2x ≥0,y ≥0的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．8.答案：B解析：解：由题意可得F 2(√a 2+4,0)，F 1(−√a 2+4,0)， 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得F 1F 22=16+4a 2=PF 12+PF 22−2PF 1⋅PF 2cos60°=(PF 1−PF 2)2+PF 1⋅PF 2=4a 2+PF 1⋅PF 2， 即有PF 1⋅PF 2=16．可得S △ PF 1F 2=12PF 1⋅PF 2sin60°=12×16×√32=4√3．故选：B ．由题意可得F 2(√a 2+4,0)，F 1(−√a 2+4,0)，由余弦定理可得PF 1⋅PF 2=16，由S =12PF 1⋅PF 2sin60°，即可求得△F1PF2的面积．本题考查三角形的面积的求法，注意运用三角形的余弦定理和面积公式，同时考查双曲线的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9.答案：B解析：解：三视图复原的几何体是下部是半球，半径为：1，上部是圆锥，底面半径为1，高为：2，几何体的体积为：12×43π×13+13π×12×2=4π3．故选：B．判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力．10.答案：C解析：【试题解析】本题考查了球的性质、直角三角形外接圆的性质、三棱锥外接球的体积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由题意画出图形，找出三棱锥外接球的球心，求解三角形得半径，代入球的体积公式求解．解：如图，底面三角形ABC是边长为3的正三角形，设其外接圆的圆心为G，则BG=23√32−(32)2=√3，设三棱锥A−BCD的外接球的球心为O，取BD的中点E，连接OE，∵BD⊥平面ABC，∴OE⊥BD，连接OB，则OB为三棱锥A−BCD的外接球的半径．∴OB =√22+3=√7．∴该三棱锥的外接球的体积为V =43π×(√7)3=28√73π． 故选：C ．11.答案：B解析：本题考查了平面向量线性运算的几何意义，正弦定理解三角形，属于中档题．根据向量加法的几何意义得出P 点轨迹，利用正弦定理解出AB ，得出△ABC 的面积，从而求出围成封闭区域的面积．解：设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴M ，G ，N 三点共线．∴G 点轨迹与AB ，AC 围成的图形为△AMN ．．∴AN =1．∴AC =3，在△ABC 中，根据余弦定理可求．故选B ． 12.答案：A解析：本题主要考查函数零点与方程根的关系，利用导数研究函数单调，属于难题．解题关键在于将问题转化为存在x ∈(1,+∞)使得函数g (x )=e x+1x +x −2与y =a 有交点，利用导数研究g(x)单调性即可求解．解：依题意，函数f(x)的图像上存在关于x =1对称的不同两点，则存在x 1>1，x 2≤1，且x 1+x 2=2，使得，则e x12+1x1=x2+a，则a=e x12+1x1−x2=e x12+1x1+x1−2，设g(x)=e x2+1x+x−2=e x+1x+x−2，故问题转化为存在x∈(1,+∞)使得函数g(x)与y=a有交点，g′(x)=e x+1x·(1−1x2)+1>0，则函数g(x)在x∈(1,+∞)上单调递增，故g(x)>g(1)=e2−1，故a>e2−1．故选A．13.答案：128解析：解：(1x+2x)6的展开式的通项公式是T r+1=C6r⋅(1x)6−r⋅(2x)r=2r⋅C6r⋅x2r−6，且r∈[0,6]，∴2r−6∈[−6,6]；∴当r=6时，T6+1=26×C66×x6=64x6，∴(2x−1)(1x+2x)6的展开式中含x7的项是2x⋅64x6=128x7；即(2x−1)(1x+2x)6的展开式中含x7的项的系数是128．故答案为：128．根据(1x +2x)6的展开式的通项公式，求出展开式的最高次项是64x6，再求(2x−1)(1x+2x)6的展开式中含x7的项与它的系数．本题考查了二项式展开式的项与对应系数的应用问题，是基础题目．14.答案：14解析：解：如图，以A 为原点，AB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系． 则A(0,0)，B(4,0)，∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√17， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则D(0,1)，C(4,1)， 设E(x,0)，CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −4,−1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,1)， 则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ =4(4−x)−1=0． ∴x =154，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(154,−1)． 又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,1)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15−1=14． 故答案为：14．由题意建立平面直角坐标系，得到A ，B 的坐标，结合|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√17得到C ，D 的坐标，然后设出点E 的坐标，由BD ⊥CE 求得E 的坐标，然后再由数量积的坐标运算得答案．本题考查平面向量的数量积运算，建立坐标系求解是解答该题的关键，属中档题．15.答案：(2,4]解析：本题考查三角函数的图像性质，属于中档题．由图可知M =4，T 4=π6，可得f (x )=4cos (3x +φ)，根据三角函数的图像性质即可求出值域． 解：依题意，M =4，T 4=π6，解得T =2π3， 故ω=3，故f (x )=4cos (3x +φ)，将A (π18,4)代入f(x)中，得3×π18+φ=2kπ，(k ∈Z)，故φ=−π6+2kπ(k ∈Z)，即f (x )=4cos (3x −π6)，则当x ∈(−2π3,−π2)时，3x ∈(−2π,−3π2)， 即3x −π6∈(−13π6,−5π3)，则cos(3x−π6)∈(12,1],故f(x)∈(2,4]．16.答案：6解析：解：过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为x2+y2−2x−2ty+t2−15=0，即(x−1)2+(y−t)2=16，可得弦的中点横坐标为1，圆的半径为4．∴x1+x2=2，则x1+x2+m=8，即2+m=8，可得m=6，故答案为：6．化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，利用抛物线的焦点弦长公式列式求得m值．本题考查抛物线的简单性质以及圆的方程的综合应用，考查计算能力，是基础题．17.答案：解：(Ⅰ)由S n=2a n−1可得，当n=1时，a1=S1=2a1−1，即有a1=1；当n≥2时a n=S n−S n−1，a n=2a n−2a n−1，即a n=2a n−1，则数列{a n}为首项为1，公比为2的等比数列，即a n=2n−1，n∈N∗．(Ⅱ)Tn =a1⋅a2⋅a3…a n=20+1+2+3+⋯+(n−1)=2n(n−1)2．解析：(Ⅰ)运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时a n=S n−S n−1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；(Ⅱ)运用指数的运算性质和等差数列的求和公式，计算即可得到所求．本题考查数列的递推式和等比数列的定义和通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)由频率分布直方图得该校高三年级男生平均身高为：160×0.1+165×0.2+170×0.3+175×0.2+180×0.1+185×0.1=171.5cm；由频率分布直方图知后两组频率为0.2，人数为0.2×50=10，即这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人数为10人．(Ⅱ)∵P(170.5−3×4<ξ≤170.5+3×4)=0.9974，∴P(ξ⩾182.5)=1−0.99742=0.0013，而0.0013×100000=130人，50人中182.5cm以上的有：50×0.02×5=5人∴全省前130人身高在182.5cm以上，这50人中182.5cm以上的有5人，随机变量ξ可取0，1，2，p(ξ=0)=C52C102=1045=29，P(ξ=1)=C51C51C102=2545=59，P(ξ=2)=C52C102=1045=29，∴Eξ=0×29+1×59+2×29=1．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．(Ⅰ)由频率分布直方图求出该校高三年级男生平均身高．由频率分布直方图知后两组频率为0.2，由此能求出这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人数．(Ⅱ)由题意随机变量ξ可取0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的数学期望．19.答案：证明：(1)∵BCDE是正方形，∴BE⊥BC，BD⊥CE，∵平面ABCF⊥平面BCDE，平面ABCF∩平面BCDE=BC，∴BE⊥平面ABCF，∴BE⊥AB，∵AB⊥CE，BE∩CE=E，∴AB ⊥平面BCDE ，∵CF//AB ，∴CF ⊥平面BCDE ，∴CF ⊥BD ，∵CF ∩CE =C ，∴BD ⊥平面CFE ．解：(2)以B 为原点，向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则E(0,2，0)，F(2,0，1)，A(0,0，2)，D(2,2，0)，则EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,1)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,1)， 设平面ADF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y +z =0n⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x −2y +2z =0， 取y =1，得n⃗ =(1,1，2)， 设直线EF 与平面ADF 所成角为θ，则sinθ=|n ⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6⋅√9=√69． ∴直线EF 与平面ADF 所成角的正弦值为√69．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．(1)推导出BE ⊥BC ，BD ⊥CE ，从而BE ⊥平面ABCF ，进而BE ⊥AB ，再由AB ⊥CE ，得AB ⊥平面BCDE ，从而CF ⊥平面BCDE ，进而CF ⊥BD ，由此能证明BD ⊥平面CFE ．(2)以B 为原点，向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF 与平面ADF 所成角的正弦值．20.答案：解：(1)由题意得{c =1c a =12得 a =2，所以a 2=4，结合a 2=b 2+c 2，解得b 2=3，所以，椭圆的方程为x 24+y 23=1， (2)由{x 24+y 23=1y =kx +1消去得：(3+4k 2)x 2+8kx −8=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，所以x 1+x 2=−8k 3+4k 2x 1x 2=−83+4k 2，依题意知，OM ⊥ON ，且M(x 1+12,y 12)，N(x 2+12,y 22)， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+12,y 12)⋅(x 2+12,y 22)=x 1+12⋅x 2+12+y 12⋅y 22=0， 即(x 1+1)(x 2+1)+(k x 1+1)(k x 2+1)=0，整理得：(1+k 2)x 1x 2+(1+k)(x 1+x 2)+2=0，所以(1+k 2)⋅−83+4k 2+(1+k)⋅−8k3+4k 2+2=0，整理得：4k 2+4k +1=0 所以k =−12．解析：(1)由题意得{c =1c a =12得 a =2，再结合a 2=b 2+c 2，可求得b 2，从而可得椭圆的方程；(2)由椭圆的方程与直线的方程y =kx +1联立，得：(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由中点坐标公式求出M ，ND ，再OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可求得k 的值． 本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．21.答案：解：(1)函数f(x)=e x +ax 的导数为f′(x)=e x +a ，在x =0处的切线斜率为1+a ，切线与直线x =1垂直，可得1+a =0，即a =−1；(2)证明：设g(x)=f(x)−1=e x −x −1，可得g′(x)=e x −1，当x >0时，g′(x)>0，g(x)递增；x <0时，g′(x)<0，g(x)递减；可得g(x)在x =0处取得极小值0，且为最小值0，则g(x)≥0，可得f(x)≥1．解析：(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a 的方程，解方程可得a ：(2)设g(x)=f(x)−1=e x −x −1，求得导数和单调区间、极值和最值，即可得证．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，考查推理能力和运算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)由{x =2t y =12+√3t ，得直线l 的一般方程为√3x −2y +24=0， 直线l 的极坐标方程为， 曲线C 1的标准方程为x 2+(y −2)2=4，即ρ2−4ρsinθ=0，可得曲线C 1的极坐标方程：ρ=4sinθ；(2)将θ=π3分别代入和得ρA =16√3，ρB =2√3， 所以|AB|=|ρA −ρB |=|16√3−2√3|=14√3．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是基础题．(1)分别化直线与圆的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程；(2)把曲线θ=π3分别代入直线l 和曲线C 1的极坐标方程，求出A ，B 的极径，由|AB|=|ρA −ρB |可得结果． 23.答案：解：(1)由题可知{f(3)=0f(−2)=0，即{27+3(b −8)−a −ab =012−2(b −8)−a −ab =0， 即a =3，b =5，所以f(x)=3x 2−3x −18;(2)由(1)得y =f(x)+21x =3x 2−3x+3x =3x +3x −3， 由x >0，得y =3(x +1x )−3≥3×2−3=3，当且仅当x =1x ，即x =1时取等号，所以y 的最小值为3．解析：本题主要考查了待定系数法求解函数解析式及利用基本不等式求解最值，属于基础题．(1)由题可知{f(3)=0f(−2)=0，代入即可求解，从而可求f(x)， (2)由(1)，得y =f(x)+21x =3x 2−3x+3x =3x +3x −3.然后结合基本不等式即可求解．。

六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足13i1iz +=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知空间中的两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，则“αβ⊥”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A.B. C.8D.4.如图，已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下结论错误．．的是（）A.向量AC与向量1C D 的夹角为60°B.110AC A B ⋅= C.()2211111113A A A D A B A B ++=D.若1113A P A C =，则点P 是11AB D 的中心5.(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,则k =（） A.33B.C.D.26.过点()3,4P -作圆22:25C x y +=的切线l ，直线:40m ax y -=与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A.5B.2C.4D.7.如图，已知平面αβ⊥，l αβ= ，,A B 是直线l 上的两点，C D 、是平面β内的两点，且.,3,6,6DA l CB l AD AB CB ⊥⊥===,P 是平面α上的一动点，且直线PD PC 、与平面α所成角相等，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（）A.18B.36C.24D.488.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（A.332πB.33πC.572π D.57π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.若直线l 的斜率为l 的倾斜角为π3-B.三棱锥-P ABC 中，E F 、分别为PB PC 、的中点，23PG PA =，则平面EFG 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即:1:5P EFG EFG ABC V V --=C.若直线l 过点(2,1)P -且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为30x y --=D.在四面体O ABC -中，若,OA BC OB AC ⊥⊥，则OC AB⊥10.在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB BC E F ⊥,、分别是线段PB PC 、上的动点.则下列说法正确的是（）A.当AE PB ⊥时，AE PC⊥B.当AF PC ⊥时，AEF △一定为直角三角形C.当//EF BC 时，平面AEF ⊥平面PABD.当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中λ，[]0,1μ∈，则下列选项正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥11A PCD -的体积为定值B.当34μ=时，1B P PD + C.当1λμ+=时，直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长度为22D.当11,23λμ==时，点1B 到平面11PC D 的距离为6131312.若实数,x y 满足x -=）A.x 的最小值是0B.x 的最大值是5C.若关于y 的方程有一解，则x 的取值范围为[){}1,45D.若关于y 的方程有两解，则x 的取值范围为(4,5)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.14.如图，在四面体A BCD -中，2==AC BD ，AC 与BD 所成的角为60︒，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为_______.15.已知ABC 的一条内角平分线所在的直线方程为y x =，两个顶点坐标分别为(1,1),(3,2)B C -，则边AC 所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）16.已知数列{}n a 满足：()()()1*21131n nn n a a n n ++-+-=+∈N ，若121a a ==，则数列{}n a 的前20项和20S =___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=o .（1）求证：AG BD ⊥；（2）求直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值.18.如图，P 为ABC 内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α、β在ABP 中的对边分别记为,,(2)sin cos m n m n ββ+=，π,0,3αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求APB ∠；（2）若1,2AB BP AC AP AP PC ===⊥，，求线段AP 和BC 的长.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点,(1,0)(1,2)A B -.（1）若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||MN =l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得22||12||PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn n S a =-．（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设3(2)n nn b n a +=+，求证：1231n b b b b ++++< ．21.在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体ABCDE 中，已知，,//AC BC ED AC ⊥，且22,AC BC ED DC DB =====.（1）设平面BDE 与平面ABC 的交线为l ，证明：//l 平面ACDE ；（2）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABF夹角的余弦值等于43，若存在，求BFBC的值；若不存在，请说明理由.22.已知a b ∈R ，，函数()()sin ,xf x e a xg x =-=（1）求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足13i1i z +=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】求出12i z =-+即得解.【详解】解：因为131i iz+=-，所以()()()()13i 1i 13i 24i 12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+，所以12z i =--在复平面内对应的点为()1,2--，在第三象限.故选：C.2.已知空间中的两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，则“αβ⊥”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，当αβ⊥时，m α⊂或m α ，不充分；当m α 时，αβ⊥，必要.故选：B.3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A.B. C.8D.【答案】D 【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以O B ''=2OA O A =''=，2OB O B =''=；所以原图形的面积为2⨯=故选：D4.如图，已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下结论错误．．的是（）A.向量AC与向量1C D 的夹角为60°B.110AC A B ⋅=C.()2211111113A A A D A B A B ++= D.若1113A P A C =，则点P 是11AB D 的中心【答案】A 【解析】【分析】由1160A C D ∠=︒得向量AC 与1C D夹角，判断A ，建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，得各点坐标，用空间向量法判断BCD ．【详解】正方体中，11//AC AC （由1AA与1CC 平行且相等得平行四边形11ACC A ），11A C D 是正三角形，1160A C D ∠=︒，但AC 与1C D夹角等于11A C 与1C D 的夹角为120︒，A 错；以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，设1AB =，则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，1(1,1,1)B ，1(1,0,1)A ，1(0,1,1)C ，1(0,0,1)D ，1(1,1,1)AC =- ，1(0,1,1)A B =- ，110AC A B ⋅=，B 正确；111111(1,1,1)A A A D A B AC ++==-- ，221111111()33A A A D A B A B ++== ，C 正确；1111113(,,333A P A C =--= ，P 点坐标为212(,,)333(1,0,0)(1,1,1)(0,0,1)3++=，所以P 是11AB D 的重心，即中心，D 正确．故选：A ．5.(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,则k =（） A.33B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为半圆y =位于直线(0)y kx k =>下方的区间长度为2，由此可得2,4a b ==，求出直线与半圆的交点坐标即可求得k 的值.【详解】解：如图所示：因为y =表示以坐标原点为圆心，4为半径位于x 轴上方(含和x 轴交点)的半圆，(0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,即半圆位于直线下方的区间长度为2，所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以2k ==.故选：C.6.过点()3,4P -作圆22:C x y +=的切线l ，直线:40m ax y -=与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A.5 B.2C.4D.【答案】A 【解析】【分析】根据平行关系可假设():434al y x -=+，由直线与圆相切可知圆心到直线距离d 等于半径，由此可构造方程求得a ，利用平行直线间距离公式可求得结果.【详解】由40ax y -=得：4ay x =；//l m ，∴直线l 斜率4a k =，则():434al y x -=+，即:43160l ax y a -++=，l 与圆C 相切，∴圆心()0,0C 到直线l的距离5d ==，解得：3a =，则:34250l x y -+=，:340m x y -=，l ∴与m 之间的距离5d ==.故选：A.7.如图，已知平面αβ⊥，l αβ= ，,A B 是直线l 上的两点，C D 、是平面β内的两点，且.,3,6,6DA l CB l AD AB CB ⊥⊥===,P 是平面α上的一动点，且直线PD PC 、与平面α所成角相等，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（）A.18B.36C.24D.48【答案】B 【解析】【分析】首先根据线面角的定义得12PA DA PB BC ==，再在平面α内，建立平面直角坐标系，则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >，，得出点P 的轨迹，从而确定点P 到平面ABCD距离的最大值，即可求解体积的最大值.【详解】DA l ⊥ ，αβ⊥，l αβ= ，AD β⊂AD α∴⊥，同理BC α⊥，DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角，DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒，DAP CPB ∴~ ，3162PA DA PB BC ===，在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >，，∴=，整理可得：()22516x y ++=，P ∴在α内的轨迹为()50M -，为圆心，以4为半径的上半圆,所以点P 到直线AB 距离的最大值是半径4，因为αβ⊥，l αβ= ，点P 到AB 距离就是点P 到平面ABCD 的距离即点P 到平面ABCD 距离的最大值是4，所以四棱锥P ABCD -体积的最大值()1114366436332ABCD V S =⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=.故选：B8.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（）A.332πB.33πC.572π D.57π【答案】D 【解析】【分析】根据正棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积.【详解】图1设底边长为a ，原四棱锥的高为h ，如图1，1,O O 分别是上下底面的中心，连结1OO ，11O A ，OA ，根据边长关系，知该棱台的高为2h，则11112173224ABCD A B C D h a h V -==，由1AA =11AOO A为直角梯形，111124O A A B a ==，2222OA AB a ===h =，11112724ABCD A B C D a h V -==283=当且仅当22482a a =-，即4a =时等号成立，此时棱台的高为1.上底面外接圆半径111r A O ==r AO ==，设球的半径为R ，显然球心M 在1OO 所在的直线上.显然球心M 在1OO 所在的直线上.图2当棱台两底面在球心异侧时，即球心M 在线段1OO 上，如图2，设OM x =，则11O M x =-，01x <<，显然1MA MA R===，即=解得0x <，舍去.图3当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M 在线段1O O 的延长线上，如图3，设OM x =，则11O M x =+，显然1MC MA R ====解得52x =，572R ==，此时，外接球的表面积为225744572R πππ⎛=⨯= ⎝⎭.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.若直线l 的斜率为l 的倾斜角为π3-B.三棱锥-P ABC 中，E F 、分别为PB PC 、的中点，23PG PA =，则平面EFG 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即:1:5P EFG EFG ABC V V --=C.若直线l 过点(2,1)P -且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为30x y --=D.在四面体O ABC -中，若,OA BC OB AC ⊥⊥，则OC AB ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据倾斜角的定义即可判断A ；由题意可得14PEF PBC S S =△△，点G 到平面PBC 的距离是点A 到平面PBC 的距离的23，再根据棱锥的体积公式计算即可判断B ；分直线l 过原点和不过原点两种情况讨论，即可判断C ；将,,AB AC BC uu u r uuu r uu u r 分别用,,OA OB OC表示，再根据数量积的运算律及空间向量的线性运算即可判断D.【详解】解：对于A ，若直线l 的斜率为l 的倾斜角为2π3，故A 错误；对于B ，因为E F 、分别为PB PC 、的中点，所以14PEF PBC S S =△△，设点A 到平面PBC 的距离为h ，点G 到平面PBC 的距离为h '，因为23PG PA = ，所以23'=h h ，则13P ABC A PBC PBC V V S h --==，11213436P GEF G PEF PBC P ABC V V S h V ---==⋅⋅= ，则56EFG ABC P ABC P EFG P ABC V V V V ----==-，所以:1:5P EFG EFG ABC V V --=，故B 正确；对于C ，当直线l 过原点时，直线方程为12y x =-，当直线l 不过原点时，设直线方程为1x y a a+=-，则有211a a-+=-，解得3a =，所以直线方程为133x y-=，即30x y --=，综上，所求直线方程为12y x =-或30x y --=；对于D ，在四面体O ABC -中，,,AB OB OA AC OC OA BC OC OB =-=-=-，因为,OA BC OB AC ⊥⊥，所以()()0,0OA BC OA OC OB OB AC OB OC OA ⋅=⋅-=⋅=⋅-=，即,OA OC OA OB OB OC OA OB ⋅=⋅⋅=⋅ ，所以OA OC OB OC ⋅=⋅ ，即()0OA OB OC -⋅= ，所以0BA OC ⋅=，所以AB OC ⊥，故D 正确.故选：BD .10.在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB BC E F ⊥,、分别是线段PB PC 、上的动点.则下列说法正确的是（）A.当AE PB ⊥时，AE PC⊥B.当AF PC ⊥时，AEF △一定为直角三角形C.当//EF BC 时，平面AEF ⊥平面PABD.当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据PA ⊥底面ABC 得到PA BC ⊥，结合AB BC ⊥得到BC ⊥平面PAB ,则BC AE ⊥，AE PB ⊥ ，最后利用线面垂直的判定得到⊥AE 平面BCP ，则AE PC ⊥；对B ，取点E 位于点B 处即可判断，对C ，由BC ⊥平面PAB ，//EF BC 得到EF ⊥平面PAB ，则平面AEF ⊥平面PAB ，对D ，利用反证法，假设平面AEF ⊥平面PAB ，根据面面垂直的性质定理得到线面垂直，从而得到与基本事实相矛盾的结论，所以当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直.【详解】对A 选项，PA ⊥ 底面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,AB BC ⊥ ，PA AB A = ，且,PA AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ,AE ⊂ 平面PAB ，BC AE ∴⊥，AE PB ⊥ ，BC PB B = ，且,BC PB ⊂平面BCP ，AE ∴⊥平面BCP ，PC ⊂ 平面BCP ，AE PC ∴⊥，故A 正确，对B 选项，当AF PC ⊥时,无法得出AEF △一定为直角三角形，例如E 点取点,B ABF 不是直角三角形，若90AFB ∠= ，则BF AF ⊥，又AF PC ⊥ ，BF PC F ⋂=，,BF PC ⊂平面BCP ，则AF ⊥平面BCP ，BC ⊂ 平面BCP ，则AF BC ⊥，而PA BC ⊥，AF PA A = ，,AF PA ⊂平面ACP ，则BC ⊥平面ACP ，AC ⊂ 平面ACP ，则BC AC ⊥，显然不成立，故此时90AFB ∠≠ ，若90BAF ∠= ，则AF AB ⊥，AP AB ⊥ ，AF AP A ⋂=，,AF AP ⊂平面ACP,AB ∴⊥平面ACP ，AC ⊂ 平面ACP ，AB AC ∴⊥，显然不成立，故此时90BAF ∠≠ ，若90ABF ∠= ，则BF BA ⊥，而CB BA ⊥，,BF CB ⊂平面BCP ，BF CB B = ，所以BA ⊥平面BCP ，BP ⊂ 平面BCP ，BA BP ∴⊥，显然不成立，故90ABF ∠≠ ，故B 错误，对C 选项，由A 选项证得BC ⊥平面PAB ，//EF BC Q ，EF ∴⊥平面PAB ，EF ⊂ 平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAB ，故C 正确，对D 选项，在平面PAB 内，过点P 作AE 的垂线，垂足为G ，假设平面AEF ⊥平面PAB ， 平面AEF ⋂平面PAB AE =，PG AE ⊥，且PG ⊂平面PAB ，PG ∴⊥平面AEF ，而若此时PC ⊥平面AEF ，这与过平面外一点作平面的垂线有且只有一条矛盾，故当PC ⊥平面AEF 时,平面AEF 与平面PAB 不可能垂直，故D 正确，故选：ACD.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中λ，[]0,1μ∈，则下列选项正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥11A PCD -的体积为定值B.当34μ=时，1B P PD +C.当1λμ+=时，直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长度为2D.当11,23λμ==时，点1B 到平面11PC D 的距离为61313【答案】ABD 【解析】【分析】对A ：由题意确定点P 的位置，利用转换顶点法求体积；对B ：由题意确定点P 的位置，借助于展开图分析求解；对C ：由题意确定点P 的位置，分析可得直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹为MN ，即可求得结果；对D ：由题意确定点P 的位置，利用等积法求点到面的距离.【详解】对A ：取,AB CD 的中点,M N ，连接MN ，则MN AD ，∵11A D AD ，∴MN 11A D ，MN ⊄平面11ACD ，11A D ⊂平面11ACD ，∴MN 平面11ACD ，若12λ=，则点P 在线段MN 上，∴点P 到平面11ACD 的距离相等，过N 作1NF CD ⊥，垂足为F ，∵11A D ⊥平面11CDD C ，1,CD NF ⊂平面11CDD C ，∴11111,CD A D NF A D ⊥⊥1111CD A D D ⋂=，111,CD A D ⊂平面11ACD ，∴NF ⊥平面11ACD ，故三棱锥11P ACD -的高为2NF =，∴1111122122323A PCD P A CD V V --==⨯⨯⨯⨯（定值），A 正确；对B ：分别在,AD BC 上取点,M N ，使得3AM BNDM NC==，连接11,,MN A M B N ，则MN AB ，又∵AB 11A B ，∴MN 11A B ，则11,,,A B M N 四点共面，135,22BN B N ===若34μ=，则P MN ∈，故1B P ⊂平面11A B NM ，如图，将平面11A B NM 和平面CDMN 对接成一个平面时，则113B C B N NC =+=，∴11B P PD B D +≥=B 正确；对C ：若1λμ+=，则P BD ∈，1A P ⊂平面1A BD ，设1111,A D D E M A B B E N ==I I ，则平面1A BD ⋂平面11B D E MN =，即直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹为MN ，∵1112A M A N MD BN ==，∴12233MN BD ==，故直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长为223，C 错误；对D ：分别在,AD BC 上取点,M N ，使得12AM BN DM NC ==，连接11,,MN MD NC ，则MN CD ，MN =CD ，∵11C D CD ，11C D =CD ，∴MN 11C D ，11MN C D =，则11MNC D 为平行四边形，又∵11C D ⊥平面11AA D D ，1MD ⊂平面11AA D D ∴111C D MD ⊥，则11MNC D 为矩形，若11,23λμ==，则点P 为MN 的中点，12133D M ==，设点1B 到平面11PC D 的距离为d ，由111111B PC D P B C D V V --=，即1111222232332d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得13d=，故点1B 到平面11PC D 的距离为61313，D 正确；故选：ABD.12.若实数,x y 满足x -=）A.x 的最小值是0B.x 的最大值是5C.若关于y 的方程有一解，则x 的取值范围为[){}1,45D.若关于y 的方程有两解，则x 的取值范围为(4,5)【答案】AB 【解析】【分析】根据特殊值可判断A 项；设t =t ⎡∈⎣，原方程即为2t x -+=，将t 当成变量，设()2f t t x =-+，()g t =t ⎡∈⎣，原方程有解等价于()f t 的图象和()g t 的图象有公共点，即可利用数形结合解出．【详解】对于A 项：由已知可得，0x =≥，且当0x =时，解得0y =，符合题意，故A 项正确；当0x >时，令t =0t ≥，又0x y -≥，则t ≤，即t ⎡∈⎣，则原方程可化为2t x -+=．设()2f t t x =-+，()g t =t ⎡∈⎣，整理得()20t f t x +-=，t ⎡∈⎣，则()f t 的图象是斜率为2-的直线的一部分；整理可得()222t g t x +=，t ⎡∈⎣，()g t 的四分之一圆.如图，作出函数()y f t =与()y g t =的图象，则问题等价于()f t 的图象和()g t 的图象有公共点，观察图形可知，当直线与圆相切时，直线()2f t t x =-+的截距最大，此时x 有最大值，由=得5x =，故B 项正确；当直线过点(时，x =，解得1x =或0x =（舍去）；当直线过点)时，x =4x =或0x =（舍去）．因此，要使直线与圆有公共点，则有[]1,5x ∈，综上，[]{}1,50x ∈ ，故x 的最大值为5，最小值为0．对于C 、D 项：综上并结合图象可知，当0x =或5x =或[)1,4x ∈时，y 有一解；当[)4,5x ∈时，y 有两解．故C 、D 项错误.故选：AB ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.【详解】由圆229x y +=可得圆心()0,0O ，半径为3，直线120kx y k -+-=，即()210k x y --+=，直线过定点P (2,1)，又因为22219+<，所以点在圆的内部，当圆心到直线MN 距离最大时，弦长MN 最小，此时OP MN ⊥，此时4MN ==，故答案为：4.14.如图，在四面体A BCD -中，2==AC BD ，AC 与BD 所成的角为60︒，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为_______.【答案】1或1【解析】【分析】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，求出MEN ∠的值，利用余弦定理可求得线段MN 的长.【详解】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，M 、E 分别为AB 、BC 的中点，//ME AC ∴且112ME AC ==，同理可得EN //BD 且112EN BD ==，MEN ∴∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，则60MEN ∠= 或120 .在MEN 中，1EM EN ==.若60MEN ∠= ，则MEN 为等边三角形，此时，1MN =；若120MEN ∠= ，由余弦定理可得MN =综上所述，1MN =故答案为：115.已知ABC 的一条内角平分线所在的直线方程为y x =，两个顶点坐标分别为(1,1),(3,2)B C -，则边AC 所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）【答案】3250x y --=【解析】【分析】根据题意可知，y x =是角A 的平分线，所以点B 关于角平分线的对称点B '在直线AC 上，即可求得边AC 所在的直线方程.【详解】由题意可知，直线y x =为三角形内角A 的平分线，所以，点B 关于角平分线y x =的对称点B '在直线AC 上，设(,)B a b '，即1111122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=⎪⎩，解得1,1a b ==-，所以(1,1)B '-此时直线BC '所在直线方程即为边AC 所在的直线方程，即212(3)31y x +-=--，整理得3250x y --=.故答案为：3250x y --=16.已知数列{}n a 满足：()()()1*21131n n n n a a n n ++-+-=+∈N ，若121a a ==，则数列{}n a 的前20项和20S =___________.【答案】115-【解析】【分析】分别讨论*21,n m n m m =-=∈N 、，由累加法得2122m m a a ++、的通项，即可求20S .【详解】当*21,n m m =-∈N 时，()()()2212121212111321162m m m m m m a a a a m m -+-+--+-=-=-+=-，∴()()212121212331126121216121312m m m m m a a a a a a a a m m m m m m m m ++---=-+-++-+=+-+++-++=-+=++ ∴()()2221319312912910a a a +++=⨯++++++++ ；当*2,n m m =∈N 时，()()2122222221161m m m m m m a a a a m +++-+-=-+=+，即()22261m m a a m +-=-+，∴()()222222224222612116113412m m m m m a a a a a a a a m m m m m m m m ++-=-+-++-+=-+-+++-+-+=-+=--+ ∴()()22224203129412910a a a +++=-⨯+++-⨯++++ .故()22220131924203129(129)10S a a a a a a =+++++++=⨯++++++++ ()()2229(19)31294129103201152+-⨯+++-⨯++++=-⨯+=- 故答案为：115-四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=o.（1）求证：AG BD ⊥；（2）求直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】【分析】（1）根据圆柱侧面积公式可求得母线长AD ，利用余弦定理可求得AP ，根据等腰三角形三线合一性质可证得AG DP ⊥；由AP BP ⊥，BP AD ⊥可证得BP ⊥平面ADP ，由线面垂直性质可得BP AG ⊥；利用线面垂直的判定和性质可证得结论；（2）取OB 中点E ，根据等腰三角形三线合一和线面垂直性质可证得PE ⊥平面ABD ，由线面角定义可知所求角为PDE ∠，根据长度关系可得结果.【小问1详解】由圆柱侧面积可知：2π4πOA AD AD ⋅⋅=⋅=，解得：AD =2OA OP ==，120AOP ∠=o，AP ∴=，AD AP ∴=，又G 为DP 中点，AG DP ∴⊥；AB 是圆O 的直径，AP BP ∴⊥；AD ⊥ 平面ABP ，BP ⊂平面ABP ，BP AD ∴⊥，又,AD AP ⊂平面ADP ，AD AP A = ，BP ∴⊥平面ADP ，AG ⊂ 平面ADP ，BP AG ∴⊥，又,BP DP ⊂平面BDP ，BP DP P = ，AG ∴⊥平面BDP ，BD ⊂Q 平面BDP ，AG BD ∴⊥.【小问2详解】取OB 中点E ，连接PE ，18060BOP AOP ∠=-∠= ，OB OP =，OBP ∴△为等边三角形，PE AB ∴⊥；AD ⊥ 平面ABP ，PE ⊂平面ABP ，PE AD ⊥∴；AB AD A =Q I ，,AB AD ⊂平面ABD ，PE ∴⊥平面ABD ，PDE ∴∠即为直线PD 与平面ABD 所成角，DP =，PE ==，2sin4PE PDE DP ∴∠==，即直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值为4.18.如图，P 为ABC 内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α、β在ABP 中的对边分别记为,,(2)sin cos m n m n ββ+=，π,0,3αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求APB ∠；（2）若1,2AB BP AC AP AP PC ===⊥，，求线段AP 和BC 的长.【答案】（1）2π3（2）1AP =，BC =【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理将(2)sin cos m n ββ+=化简为sin sin 3παβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再结合所给角的范围，即可求解.（2）利用余弦定理求出AP ，再结合AP PC ⊥150BPC ∠=︒，，利用余弦定理即可求出BC .【小问1详解】已知()2sin cos m n ββ+=，由正弦定理可得22sin sin sin cos αββββ+=，由sin 0β≠，31sin cos sin sin sin 223παββαβ⎛⎫∴=-⇒= ⎪⎝⎭，πππ,0,0,333αββ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，3παβ=-，233APB ππαβ+=⇒∠=.【小问2详解】在APB △中，由余弦定理得知：2222cos AB AP BP AP BP APB=+-⋅⋅∠即231+1AP AP AP =+⇒=又AP PC ⊥ ，且2AC AP PC =⇒=，又150BPC ∠=︒ ，在BPC △中，2222cos BC PB PC PB PC BPC =+-⋅⋅∠，2312BC BC =+⇒=19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点,(1,0)(1,2)A B -.（1）若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||MN =l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得22||12||PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1x =或34110x y +-=（2）存在，两个【解析】【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线l 的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解；(2)假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，利用题干条件得到点P 也满足22(1)4x y +-=，根据两圆的位置关系即可得出结果.【小问1详解】圆22:40C x y x +-=可化为22(2)4x y -+=，圆心为(2,0),2r =，若l 的斜率不存在时，1l x =：，此时||MN =.当l 的斜率存在时，设l 的斜率为k ，则令:2(1)l y k x -=-，因为||MN =1d ==314k =⇒=-，34110x y ∴+-=所以直线l 的方程为1x =或34110x y +-=.【小问2详解】假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222||||(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=，|22|22-<<+ ，22(2)4x y ∴-+=与22(1)4x y +-=相交，则点P 有两个.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn n S a =-．（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设3(2)n nn b n a +=+，求证：1231n b b b b ++++< ．【答案】（1）证明见解析；()112n n a n -=+⋅（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用公式()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得到1122n n n a a --=+，可构造等差数列并求通项.(2)求出的通项，利用裂项相消求和证明不等式.【小问1详解】因为22n n n S a =-①，所以2n ≥时，11122n n n S a ---=-②，-①②得112222n n n n n a a a --=--+，即1122n n n a a --=+，2n ≥，所以111222n n n n a a ---=，2n ≥，在①式中，令1n =，得12a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项12为公差的等差数列．所以111(1)222n n a n n +=+-⋅=，所以()112n n a n -=+⋅．【小问2详解】）由121311(2)(1)2(1)2(2)2n n n n n b n n n n ---+==-++⋅+⋅+⋅，所以1230011211111(1()(3232424252n b b b b ++++=-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯ 2111111(1)2(2)2(2)2n n n n n n ---⎡⎤+-=-⎢⎥+⋅+⋅+⋅⎣⎦．因为110(2)2n n ->+⋅，所以1231n b b b b ++++< ，得证．21.在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体ABCDE 中，已知，,//AC BC ED AC ⊥，且22,AC BC ED DC DB =====.（1）设平面BDE 与平面ABC 的交线为l ，证明：//l 平面ACDE ；（2）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于43，若存在，求BF BC的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）线段以上不存在点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343，理由见解析．【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证线面平行//DE 平面ABC ，，再由线面平行的性质定理得线线平行//DE l ，从而再得证线面平行；（2）选①，取AC 中点G ，BC 中点,O AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，由勾股定理证明AG EG ⊥，然后证明AC ⊥平面BCD ，从而得面面垂直，由面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直DO ⊥平面ABC ，又有OH BC ⊥，然后以O 为坐标原点，,,OD OH OB 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；选②，先证明平面ABC ⊥平面BCD ，然后取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，证明DO ⊥平面ABC ，然后同选①，选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，结合勾股定理证明BD DE ⊥，然后证明证明DO ⊥平面ABC ，再然后同选①；（3）设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343，然后由空间向量法求二面角的余弦，求解t ，有解说明存在，无解说明不存在．【小问1详解】//DE AC ，AC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，//DE ∴平面ABC ，又DE ⊂ 平面BDE 且平面BDE ⋂平面=ABC l ，//DE l∴又DE ⊂ 平面ACDE ，l ⊄平面ACDE ，//l ⇒平面ACDE .【小问2详解】若选①，取AC 中点G ，BC 中点,O AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，//ED AC ，12CG AC ED ==，∴四边形EDCG 为平行四边形，EG CD ∴∥，EG ∴=112AG AC ==，2AE =，222AG EG AE ∴+=，AG EG ∴⊥，又//CD EG ，AC CD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.则以O 为坐标原点，,,OD OH OB 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()0,1,0B，(E ，()2,2,0AB ∴=-，(1,BE =- ，DO ⊥ 平面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量()0,0,1m = ；设平面ABE 的法向量()1111,,n x y z = ，则11111112200AB n x y BE n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，解得：11y =，10z =，()1=1,1,0∴ n ，10m n ∴⋅= ，即1m n ⊥ ，∴平面ABE ⊥与平面ABC .若选②，AC BD ^ ，AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.以下同选①；若选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，DC BD ==DO BC ∴⊥，又2BC =，DO ∴=,O H 分别为,BC AB 中点，12OH AC ∴∥，又12ED AC ∥，OH ED ∴∥，∴四边形DEHO为平行四边形，EH DO ∴==AC BC ⊥，2AC BC ==，AB ∴=，12EH AB ∴=，AE BE ∴⊥，EAB EBA ∠=∠ ，2∴==BE AE ，222BD DE BE ∴+=，BD DE ∴⊥，又//DE AC ，AC BD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，又DO BC ⊥，DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.以下同选①；【小问3详解】设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABF夹角的余弦值等于43，由（2）得：(1,,EF t =-，(AE =- ，设平面AEF 的法向量()2222,,n x y z = ，则2222222200AE n x y EF n x ty ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令24y =，则())2221,1x t z t =+=-，())()221,1n t t ∴=+- ，∵面ABF 的法向量为(0,0,1)n = ，222cos ,43n n n n n n ⋅∴<>===⋅ ，化简得2417290t t -+=，21744291750∆=-⨯⨯=-<，方程无实数解，所以线段BC 上不存在点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343．22.已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=（1）求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．【答案】（1）(1)1=-+y a x （2）（i）)b ∞∈+；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）求出(0)f '可求切线方程；（2）（i ）当0a =时，曲线()y f x =和()y g x =有公共点即为()2e ,0t s t bt t =-≥在[)0,+∞)b ∈+∞.（ii ）曲线()y f x =和()y g x =有公共点即00sin e 0x a x +=，利用点到直线的距离x ≥22e >e sin x x x +，从而可得不等式成立.【小问1详解】()e cos x f x a x '=-，故(0)1f a '=-，而(0)1f =，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为()()101y a x =--+即()11y a x =-+.【小问2详解】（i ）当0a =时，因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，故e x =设t =，故2x t =，故2e t bt =在[)0,+∞上有解，设()2e ,0t s t bt t =-≥，故()s t 在[)0,+∞上有零点，而()22e ,0t s t t b t '=->，若0b =，则()2e 0t s t =>恒成立，此时()s t 在[)0,+∞上无零点，若0b <，则()0s t '>在()0,+∞上恒成立，故()s t 在[)0,+∞上为增函数，而()010s =>，()()01s t s ≥=，故()s t 在[)0,+∞上无零点，故0b >，设()22e ,0t u t t b t =->，则()()2224e 0t u t t '=+>，故()u t 在()0,+∞上为增函数，而()00u b =-<，()()22e 10b u b b =->，故()u t 在()0,+∞上存在唯一零点0t ，且00t t <<时，()0u t <；0t t >时，()0u t >；故00t t <<时，()0s t '<；0t t >时，()0s t '>；所以()s t 在()00,t 上为减函数，在()0,t +∞上为增函数，故()()0min s t s t =，因为()s t 在[)0,+∞上有零点，故()00s t ≤，故200e 0t bt -≤，而2002e 0t t b -=，故220020e 2e 0t t t -≤即02t ≥，设()22e ,0t v t t t =>，则()()2224e 0t v t t '=+>，故()v t 在()0,+∞上为增函数，而2002e t b t =，故12b ≥=.（ii ）因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，所以e sin x a x -=有解0x ，其中00x ≥，若00x =，则100a b -⨯=⨯，该式不成立，故00x >.故00sin e 0x a x +=，考虑直线00sin e 0x a x +=，表示原点与直线00sin e 0x a x +=上的动点(),a b 之间的距离，x ≥0222200e sin x a b x x +≥+，下证：对任意0x >，总有sin x x <，证明：当2x π≥时，有sin 12x x π≤<≤，故sin x x <成立.当02x π<<时，即证sin x x <，设()sin p x x x =-，则()cos 10p x x '=-≤（不恒为零），故()sin p x x x =-在[)0,+∞上为减函数，故()()00p x p <=即sin x <成立.综上，sin x x <成立.下证：当0x >时，e 1x x >+恒成立，()e 1,0x q x x x =-->，则()e 10x q x '=->，故()q x 在()0,+∞上为增函数，故()()00q x q >=即e 1x x >+恒成立.下证：22e >e sin xx x+在()0,+∞上恒成立，即证：212e sin x x x ->+，即证：2211sin x x x -+≥+，即证：2sin x x ≥，而2sin sin x x x >≥，故2sin x x ≥成立.e x >，即22e a b +>成立.【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式.。

A. x3 3x log3 x
B. 3x x3 log3 x
C.log3 x x3 3x
D.log3 x 3x x3
4.《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数的代表作，书中有如下问题:“今有勾八步，股一十
五步，问勾中容圆，径几何?”其意思为“已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15 步，问其内切圆的直径
6
2
3
题是()
A.函数 f(x)的图象关于直线 x = 对称 12
B. x = − 是函数 f(x)的一个零点 6
C.函数 f(x)的图象可由 g(x) = 3 sin 2x 的图象向左平移 个单位得到 3
D.函数 f(x)在[0, ]上是增函数 12
7.设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y2 = 2 px( p 0) 上任意一点, M 是线段 PF 上的点,且|PM|=
=
(an
an+1 + 1)(an+1
+ 1)
(n
N*)
，求数列{bn}的前
n
项和 Tn .
18、(本小题满分 12 分) 在某市高三数学质:量检测中，全市共有 5000 名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人 数为 2000 人，非示范性高中参加考试学生人数为 3000 人现从所有参加考试的学生中随机抽取 100 人，做 检测成绩数据分析. (1)设计合理的抽样方案(说明抽样方法和样本构成即可); (2)依据 100 人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的
(2)将曲线
C2
经过伸缩变换
x y
= =
2 2
y
2

安徽省六安市第一中学2020届高三第二学期高考模拟考试题四 数学（理）【含解析】一、选择题1.已知全集U 是不大于5的自然数集，2{|340}A x x x =∈--N ≤，3{|1log 2}B x U x =∈<≤，则()U A B ⋂=（ ）A. {}1,2,3B. {}0,1,2,3C. {}4D. {}5【答案】B 【解析】 【分析】化简集合,A B ，根据补集和交集定义，即可求解.【详解】2{|340}{|14}{0,1,2,3,4}A x N x x x N x =∈--≤=∈-≤≤={}{}0,1,2,3,4,54,5U B ==由已知，，则(){}0,1,2,3U A B ⋂=.故选:B .【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2.在复平面内，复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(1,2),(1,1)-，则复数12z z 的共轭复数的虚部为（ ） A.32B. 32-C.12D. 12-【答案】B 【解析】 【分析】求出复数12,z z ，根据复数的除法运算法则，求出12z z 实部、虚部即可求解. 【详解】由题知，1212,1z i z i =-+=+，所以()()()()12121121311122i i z i i z i i i -+--+===+++-，其共轭复数为1322i -，故虚部为32-. 故选:B .【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数代数运算，以及共轭复数，属于基础题.3.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

2019届安徽省六安市第一中学高三高考模拟（四）数学（文）试题一、单选题1．设则是的（）A．既不充分也不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．充分而不必要条件【答案】D【解析】由二次不等式的解法，由得出x的取值范围，再与进行比较，得解.【详解】解：解不等式，得：，又“”是“”的充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件，故选：D．【点睛】本题考查了二次不等式的解法及充分必要条件，属简单题2．若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由复数的运算，结合复数的概念即可求出结果.【详解】，，.故选A【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.属于基础题型.3．直线与直线垂直，垂足为，则( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：根据两直线垂直可得，然后将点的坐标代入直线可得，同理可得，于是可得．详解：∵直线与直线垂直，∴，∴，∴直线方程即为．将点的坐标代入上式可得，解得．将点的坐标代入方程得，解得．∴．故选B．点睛：本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题．4．已知，点为角的终边上一点，且，则角（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知，得出 sin（α﹣β），将β角化为β＝α﹣（α﹣β），根据和差角公式，求出β的某种三角函数值，再求出β．【详解】∵|OP|＝7，∴sinα，cosα．由已知，，根据诱导公式即为sinαcosβ﹣cosαsinβ，∴，∵∴0＜α﹣β，∴cos（α﹣β），∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β），∵，所以角β故选：D．【点睛】本题考查三角函数诱导公式、和差角公式的应用：三角式求值、求角．运用和差角公式时，角的转化非常关键，注意要将未知角用已知角来表示．常见的角的代换形式：β＝α﹣（α﹣β），2α＝（α﹣β）+（α+β）等．5．数列满足，对任意的都有，则（）A．B．2 C．D．【答案】C【解析】根据题意，将变形可得，进而可得，裂项可得；据此由数列求和方法可得答案．【详解】根据题意，数列满足对任意都有，则，则，则；则；故选：C．【点睛】本题考查数列的递推公式和数列的裂项相消法求和，关键是求出数列的通项公式，属于综合题．6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图1所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为4，2，则输出的值为（）A．8 B．16 C．33 D．66【答案】D【解析】按照程序框图，逐步执行，即可得出结果.【详解】初始值，，程序运行过程如下：，，；，；，；，；，结束循环，输出的值为66.故选D【点睛】本题主要考查程序框图，按照程序，逐步运行，即可得出结果，属于基础题型.7．若满足约束条件且向量，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由数量积的定义计算出，设，作出约束条件对应的平面区域，由目标函数的几何意义，即可求出结果.【详解】因为，，所以，设,作出约束条件所表示的可行域，如图：由，则，平移直线，由图像可知，当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，此时，经过点A时，直线的截距最小，此时最小，由，解得，即，此时，则.故选A【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，做题的关键在于由向量的数量积，将问题转化为线性规划的问题来处理即可，属于基础题型.8．一个几何体的三视图如图所示，则该物体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图知几何体为三棱锥，画出其直观图，根据三视图的数据求出底面面积，代入棱锥的体积公式计算可得答案.【详解】由三视图知几何体为三棱锥，其直观图如图：棱锥的高为1,底面三角形的面积，∴几何体的体积，故选D.【点睛】本题考查三视图与立体图之间的转换,几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力和应用能力.9．设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过作的垂线与双曲线交于两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，所以，分别计算出点的坐标代入，便能得到与的关系，从而求出双曲线渐近线的斜率。

2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（四）理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U是不大于5的自然数集，2{|340}A x x x=∈--N≤，3{|1log2}B x U x=∈<≤，则()UA B=Ið（）A．{}1,2,3B．{}0,1,2,3C．{}4D．{}52．在复平面内，复数12,z z在复平面内对应的点分别为(1,2),(1,1)-，则复数12zz的共轭复数的虚部为（）A．32B．32-C．12D．12-3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸4．执行如图所示程序框图输出的S值为（）A．2021B．1921C．215231D．3575065．已知函数()f x的定义域为D，满足：①对任意x D∈，都有()()0f x f x+-=，②对任意12,x x D∈且12x x≠，都有1212()[()()]0x x f x f x-->，则函数()f x叫“成功函数”，下列函数是“成功函数”的是（）A．()tanf x x=B．()sinf x x x=+C．2 ()ln2x fxx-=+D．()x xf x e e-=-6．某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表:ix0.04 1 4.84 10.24iy 1.1 2.1 2.3 3.3 4.2若依据表中数据画出散点图，则样本点(,)(1,2,3,4,5)i ix y i=都在曲线1y x=+附近波动.但由于某种原因表中一个x值被污损，将方程1y x=+作为回归方程，则根据回归方程1y x=+和表中数据可求得被污损数据为（）A． 4.32-B．1.69 C．1.96 D．4.327．已知变量,x y满足约束条件2240240x yx yx y+⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，若222x y x k++≥恒成立，则实数k的最大值为（）A．40 B．9 C．8 D．728．已知12,F F是双曲线2222:1(0,0)x yE a ba b-=>>的左、右焦点，P是双曲线E右支上一点，M是线段1F P 的中点，O是坐标原点，若1OF M△周长为3c a+（c为双曲线的半焦距），13F MOπ∠=，则双曲线E的渐近线方程为（）A．2y x=±B．12y x=±C．2y x=±D．2y x=±9．某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．164π+B．484π+C．4812π+D．4816π+10．在四棱锥A BCDE-中，ABC△是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC⊥平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为（）A．2121πB．84πC．721πD．2821π11．在DEF△中，曲线P上动点Q满足3(1)34DQ DF DEλλ=+-u u u r u u u r u u u r，4DE=,9cos16D=，若曲线P与直线,DE DF围成封闭区域的面积为157，则sin E=（ ） A ．37B ．18C ．7 D ．3412．若()ln (1)ln f x ax x e a x x =+--（1x >）恰有1个零点，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．[0,+)∞B ．1{0}[,)4+∞U C (,)e +∞D ．(0,1)(1,)+∞U第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．已知2(2)n x y -+展开式的各项系数和为128，则展开式中含43x y 项的系数为 .14．在梯形ABCD 中，//AD BC ,0AB BC ⋅=u u u r u u u r ,||2AB =u u u r ,||4BC =u u u r ，AC BD E =I ,AC BD ⊥u u u r u u u r，则向量AE CD ⋅u u u r u u u r= .15．已知函数()sin()f x A x ωφ=+(0,0,||)2A πωφ>><图象相邻的一个最大值点和一个对称中心分别为5(,2),(,0)612ππ，则()()cos2g x f x x =在区间[0,)4π的值域为 .16．已知直线l 与抛物线2:4G y x =自下到上交于,A B ，C 是抛物线G 准线与直线l 的交点，F 是抛物线G的焦点，若2AC AF =-u u u r u u u r，则以AB 为直径的圆的方程为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{}n a 前n 项和为113,2,(1)(2)n n n n S a S S n a n+==+++.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（12分）中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如下图所示，已知抽取的人员中成绩在[50,60)内的频数为3.（1）求n的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；（2）已知抽取的n名参赛人员中，成绩在[80,90)和[90,100]女士人数都为2人，现从成绩在[80,90)和[90,100]的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为X，求X的分布列与数学期望.19．（12分）在多面体ABCDE 中，ABCD 为菱形，3DCB π∠=，BCE △为正三角形.（1）求证：DE BC ⊥；（2）若平面ABCD ⊥平面BCE ，求直线AE 与平面CDE 所成的角的正弦值.20．（12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12，,M N 是平面内两点，满足122F M MF =-u u u u r u u u u r，线段1NF 的中点P 在椭圆上，1F MN △周长为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若与圆221x y +=相切的直线l 与椭圆C 交于,A B ，求OA OB ⋅u u u r u u u r （其中O 为坐标原点)的取值范围.21．（12分）已知()sin x f x e ax x =-+.（1）若函数()f x 在点(0,(0))f 的切线与圆221x y +=相切，求实数a 的值.（2）已知()ln(1)1g x x =++，当0x ≥时()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2247cos2ρθ=-，直线l 过点(1,0)，倾斜角为34π. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l 的参数方程的标准形式； （2）已知直线l 交曲线C 于,A B 两点，求||AB .23．（10分）选修4—5不等式选讲（1）已知函数()|21||2|f x x x =++-，当23x -≤≤时，()f x m ≤恒成立，求实数m 的最小值. （2）已知正实数,a b 满足，a b ab +=，求22a b +的最小值.2020届模拟04理科数学答案与解析1．【答案】B 【解析】由题可知，{}0,1,2,3,4,5U =,{}0,1,2,3,4A =，{}4,5B =，则{}()0,1,2,3U A B =I ð，故选B. 2．【答案】B 【解析】由题知，1212i,1i z z =-+=+，所以1212i (12i)(1i)13i 1i (1i)(1i)22z z -+-+-===+++-，其共轭复数为13i 22-，故虚部为32-，故选B.3．【答案】B 【解析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则19959()985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==，所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-，所以1257 2.5a a d =+=尺，故选B.4．【答案】D 【解析】由程序框图知，输出11111324352123S =++++⨯⨯⨯⨯L 111111[(1)()()232435=-+-+-++L 111111357()]1)2123222223506-=+--=（，故选D. 5．【答案】B 【解析】由任意x D ∈，都有()()0f x f x +-=知()f x 是奇函数，由任意12,x x D ∈且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x -->知()f x 是增函数，因为()tan f x x =在定义域上是奇函数，但在定义域上不是单增函数，故A 错；因为()sin f x x x =+是奇函数，()1cos 0f x x '=+≥，所以在定义域上是增函数，故B 正确；由增性排除C,D.故选B. 6．【答案】C 【解析】设缺失的数据为,(1,2,3,4,5)i i x m x i ==，则样本(,)i i m y 数据如下表所示：i m 0.2 1 2.2 3.2 i y1.12.12.33.34.2其回归直线方程为ˆ1ym =+，由表中数据额可得， 1.1 2.1 2.3 3.3 4. 2.652y =++++=（），由线性回归方程ˆ1y m =+得，1.6m =，即10.21 2.2 3.2=1.65x ++++（），解得 1.96x =.故选C. 7．【答案】D 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，设22222(1)1z x y x x y =++=++-表示可行域内点(,)P x y 与点(1,0)A -距离的平方减去1，由题知min z k ≤，过A 作直线20x y +-=的垂线，由图可知，垂足在线段BC 上，因为点A 到直线的20x y +-=的距离223211=+，所以2min 327()12z =-=，故选D.8．【答案】C 【解析】连接2PF ，因为M 是线段1F P 的中点，由三角形中位线定理知221||||,//2OM PF OM PF =，由双曲线定义知12||||2PF PF a -=，因为1OF M △周长为111211||||||||||322OF OM F M c PF PF c a ++=++=+，所以12||||6PF PF a +=， 解得12||4,||2PF a PF a ==，在12PF F △中，由余弦定理得22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，即222(2)(4)(2)242cos3c a a a a π=+-⨯⨯，整理得，223c a =，所以22222b c a a =-=，所以双曲线E 的渐近线方程为2y x =±，故选C .9．【答案】A 【解析】由三视图知，该三视图对应的几何体为如图所示的四棱锥P ABCD -和一个底面半径为4高为3的四分之一圆锥组成的组合体，四棱锥可以看成是以两直角边分别为3,4的直角三角形为底面，高为4的棱柱截去一个体积为棱柱体积13的棱锥得到的，故该几何体的体积为22111434431643243ππ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选A .第9题图 第10题图 第12题图10．【答案】D 【解析】取BC 的中点为M ，,N F 分别是正三角形ABC 的中心和正方形BCDE 的中心，O 是该四棱锥外接球的球心，连接,,,,,AM FM OF ON OM OB ，则N 在线段AM 上，OF ⊥平面BCDE ，ON ⊥平面ABC ，OM ⊥BC ，AM ⊥BC ，MF ⊥BC ，所以∠AMF 为二面角A —BC —D 的平面角，因为平面ABC ⊥平面BCD ，所以AM ⊥MF ，又33,3AM MF ==，所以133NM AM ==，所以四边形OEMF 为矩形，所以23OM =，在直角三角形OMB 中，球半径2222(23)321OB OM BM =+=+=，所以外接球的体积为34π(21)2821π=，故选D. 11．【答案】A 【解析】设31,43DB DE DA DF ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则,B A 在直线,DE DF 上，且3||||34DB DE ==，1||||3DA DF =，由3(1)34DQ DF DE λλ=+-u u u r u u u r u u u r 知，(1)DQ DA DB λλ=+-u u u r u u u r u u u r，所以点Q 在直线AB 上，故曲线P 与直线,DE DF 围成封闭区域就是DAB △，由9cos 16D =得，57sin D =，所以1||||sin 2DAB S DA DB D =△157157||32DA =⨯⨯=，解得||2DA =，所以||6DF =，由余弦定理知，222229||||||2||||cos 462462516EF DE DF DE DF D =+-=+-⨯⨯⨯=，解得||5EF =， 由正弦定理得，||||sin sin DF EF E D=，所以576||sin 3716sin ||5DF D E EF ⨯===，故选A. B ．【答案】B 【解析】由()ln (1)ln f x ax x e a x x =+--(1)x >恰有1个零点，方程ln (1)ln 0ax x e a x x +--=(1)x >恰有1个解，即方程()ln x a x e e x =-+(1)x >恰有1个解，即函数()ln xg x x=(1)x >的图象与直线()y a x e e =-+(1)x >在(1,)+∞上恰有1个交点，因为2ln 1()ln x g x x-'=，当1x e <<时，()0g x '＜，当x e >时，()0g x '＞，所以()g x 在区间(1,)e 上都是减函数，在(,)e +∞是增函数，当x e =时，()g x 取极小值()g e e =，直线()y a x e e =-+过点(,)e e ，斜率为a ，显然(,)e e 是函数()ln xg x x=(1)x >的图象与直线()y a x e e =-+(1)x >的一个交点，这两个图象不能有其他交点，作出函数ln x y x =(1)x >与()y a x e e =-+的图象，由图可知，当x e ＞时，直线()y a x e e =-+应在函数()ln xg x x=（1x >）的图象上方，设()()()ln xx a x e e x e xϕ=--->， 即()0x ϕ<恒成立，因为()0e ϕ=,∴只需()x ϕ为减函数，所以2ln 1()0ln x x a xϕ-'=-≤，即2ln 1ln x a x -≥恒成立，设2ln1()()ln x m x x e x-=>，设ln 1t x =-，则0t >， 2111()1(1)41222t m t t t t t t===+++⨯+≤，当且仅当1t t =，即1t =，即ln 11x -=， 即2x e =时，max 1[()]4m t =，所以14a ≥，当0a =时，直线()y a x e e =-+与ln x y x =(1)x >相切，也适合，故满足题意a 的取值范围为1{0}[,)4+∞U ，故选B.13．【答案】840-【解析】令1x y ==得，2128n =，解得7n =，将27(2)x y -+看成7个22x y -+相乘，要得到含43x y 项，则这7个因式中2个因式取2x ，余下5个因式中3个取y -，余下2个因式取2，所以含43x y 项的系数为233275(1)2840C C -⨯=-.14．【答案】165-【解析】由0AB BC ⋅=u u u r u u u r 知，AB BC ⊥，以B 为原点，以向量,BC BA u u u r u u u r 分别为,x y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则(0,2),(0,0),(4,0)A B C ，设(,2)D a ，则(,2),(4,2)BD a CA ==-u u u r u u u r ，所以440BD AC a ⋅=-+=u u u r u u u r，解得1a =，所以(1,2)D ，设(,2)BE BD λλλ==u u u r u u u r ，所以(,2)E λλ，所以(,22)AE λλ=-u u u r ，因为E 在AC 上，所以//AE AC u u u r u u u r，所以24(22)0λλ+-=，解得45λ=，所以42,55AE =u u u r （-），(3,2)CD =-u u u r ，所以165CD AE ⋅=-u u u r u u u r .15．【答案】3(0,]2【解析】由题知，2A =，541264T πππ=-=，所以2T ππω==，解得2ω=，由2sin(2)26πφ⨯+=，||2πφ<，解得6πφ=，所以()2sin(2)6f x x π=+，所以2()()cos22sin(2)cos23sin 2cos2cos 26g x f x x x x x x x π==++3114cos422x x =++1sin(4)62x π=++，因为04x π<≤，所以74666x πππ+<≤，所以1sin(4)126x π-<+≤，所以130()sin(4)422g x x π<=++≤，所以()g x 在区间[0,)4π的值域为3(0,]2.16．【答案】2252364()()39x y -+=【解析】因为2AC AF =-u u u r u u u r ，所以焦点F 在直线l 上，且||2||AC AF =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，由抛物线定义知，||||AD AF =，所以||1cos ||2AD DAC AC ∠==，所以3DAC π∠=，即直线l 的倾斜角为3π，所以直线l 方程为3(1)y x -，代入24y x =整理得，231030x x -+=，设1222(,),(,)A x y B x y ，线段AB 的中点坐标为00(,)x y ，则12103x x +=，所以12163AB p x x =++=，120523x x x +==，∴00233(1)y x -，所以以AB 为直径的圆的方程为2252364()(39x y -+=.17．【解析】（1）由题知1n a +=1n n S S +-=3(1)(2)n a n n ++，即1321n n a an n+=⨯++， 即113(1)1n n a an n++=++，（2分） Q 111,130a a =∴+=≠，10na n∴+≠， ∴数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为3，公比为3的等比数列，（4分）∴13n na n+=，∴3n n a n n =⨯-；（6分） （2）由（1）知，3nn a n n =⨯-，∴221312323333n n T n n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-L221323333123n n n =⨯+⨯+⨯++⨯-----L L ，（7分）设221323333nn M n =⨯+⨯+⨯++⨯L ， ①∴23131323(1)33n n n M n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯L ②①-②得，123113(13)(12)3323333331322n n n n n n n M n n +++---=++++-⨯=-⨯=--L ， ∴1(21)3344n n n M +-=+，Q (1)1232n n n +-----=-L ，（11分）∴1(21)3(1)3424n n n n n T +-+=-+.（12分）18．【解析】（1）由频率分布直方图知，成绩在[50,60)频率为1(0.04000.03000.01250.0100)100.075-+++⨯=，Q 成绩在[50,60)内频数为3，∴抽取的样本容量3400.075n ==，（2分） ∴参赛人员平均成绩为550.075650.3750.4850.125950.173.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（4分）（2）由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在[80,90)的人数为0.0125×10×40=5， 成绩在[90,100]的人数为0.0100×10×40=4，∴X 的可能取值为0,1,2,3,4，（5分）∴223222541(0)20C C P X C C ===；11221123232222543(1)10C C C C C C P X C C +===， 221111222223223222547(2)15C C C C C C C C P X C C ++===，21111222232222541(3)6C C C C C C P X C C +===， 222222541(4)60C C P X C C ===.（10分）∴X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P12031071516160∴137119()012342010156605E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分） 19．【解析】（1）取BC 的中点为O ，连接,,EO DO BD ，Q BCE △为正三角形,∴EO BC ⊥， Q ABCD 为菱形，3DCB π∠=,∴BCD △为正三角形，∴DO BC ⊥，Q DO EO O =I ,∴BC ⊥平面DOE ,∴BC DE ⊥.（5分）（2）由（1）知，DO BC ⊥，Q 平面ABCD ⊥平面BCE ，∴DO ⊥平面BCE ，（6分） 以O 为原点，,,OE OC OD 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2BC =， 直线AE 与平面CDE 所成的角θ，则(0,1,0),(0,0,3),(3,0,0),(0,2,3)C D E A -，则(3,2,3),(3,1,0),(0,1,3)EA EC CD =--=-=-u u u r u u u r u u u u u r，（7分） 设平面CDE 的法向量为(,,)x y z =n ，则3030EC x y CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r u u u r n n ，取1x =， 则3y =,1z =,∴(1,3,1)n =，（9分）∴||3233|6sin |||105EA EA θ⋅--+===⋅⨯u u u ru u u r n |n |,∴直线AE 与平面CDE 所成的角的正弦值为6.（12分） 20．【解析】（1）连接2PF ,Q 122F M MF =-u u u u r u u u u r ,∴122F F F M =u u u u r u u u u u r，∴2F 是线段1F M 的中点，Q P 是线段1F N 的中点，∴21//2PF MN =， 由椭圆的定义知，12||||2PF PF a +=，∴1F MN △周长为111212||||||2(||||||)4412NF MN FM FP PF FF a c ++=++=+=， 由离心率为12知，12c a =，解得2,1a c ==，∴2223b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（4分） （2）当直线l 的斜率不存在时，直线1x =±，代入椭圆方程22143x y +=解得32y =±，此时95144OA OB ⋅=-=-u u u r u u u r ，（5分） 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 由直线l 与圆221x y +=相切知，211k=+，221m k ∴=+，（6分）将直线l 方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2234120x y +-=整理得，222(34)84120k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，222222(8)4(34)(412)48(43)4832)0km k m k m k ∆=-+-=-+=+（＞，（8分）1212()()y y kx m kx m =++=2222222221212222(412)8312()343434k m k m m k k x x km x x m m k k k --+++=-+=+++，2221212224123123434m m k OA OB x x y y k k --⋅=+=+++u u u r u u u r 222222712125555344341612m k k k k k --+==-=--+++， Q 2161212k +≥，∴2110161212k <+≤，∴2550121612k --<+≤， ∴5534OA OB -⋅-u u u r u u u r ≤＜，（11分）综上所述，OA OB ⋅u u u r u u u r 的取值范围为55[,]34--.（12分）21．【解析】（1）由题知，()cos x f x e a x '=-+，(0)1f =，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线斜率为(0)2f a '=-，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线方程为(2)1y a x =-+，即(2)10a x y --+=，（2分）221(2)(1)a =-+-，解得2a =.（4分）（2）设()()()sin ln(1)1x h x f x g x e ax x x =-=-+-+-∴1()cos 1xh x e a x x '=-+-+，（5分） 设1()cos 1xm x e a x x =-+-+，∴21()sin (1)xm x e x x '=-++，Q 当0x ≥时，1x e ≥，1sin 1x -≤≤，210(1)x >+，∴()0m x '＞，∴()m x 即()h x '在[0,)+∞上是增函数，(0)1h a '=-，（7分）当1a ≤时，10a -≥，则当0x ≥时，()(0)10h x h a ''=-≥≥，∴函数()h x 在[0,)+∞上是增函数，∴当0x ≥时，()(0)0h x h =≥，满足题意，（9分）当1a >时，(0)10h a '=-＜，Q ()h x '在[0,)+∞上是增函数，x 趋近于正无穷大时，()h x '趋近于正无穷大， ∴存在0(0,)x ∈+∞上，使0()0h x '=，当00x x <<时，0()()0h x h x ''=＜，∴函数()h x 在0(0,)x 是减函数，∴当00x x <<时，()(0)0h x h =＜，不满足题意，（11分）综上所述，实数a 的取值范围为(,1]-∞.（12分） 22．【解析】（1）由2247cos 2ρθ=-得，222227cos sin 240ρρθρθ-+-=，将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上式整理得22143x y +=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=，（3分）由题知直线l 的标准参数方程为212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）.（5分）（2）设直线l 与曲线C 交点,A B 对应的参数分别为12,t t ，将直线l 的标准参数方程为212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 是参数）代入曲线C 方程22143x y +=整理得， 2762180t t --=，∴121262187t t t t +=-，（8分） ∴22121212621824||||()4()4()777AB t t t t t t =-+---.（10分）23．【解析】（1）Q 113,21()3,2231,2x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥，（2分）∴()f x 在区间1[2,]2--上是减函数，在区间1[,3]2-是增函数，Q (2)7,(3)8f f -==，∴()f x 在区间[2,3]-上的最大值为8， ∴8m ≥，∴实数m 的最小值为8.（5分）（2）Q a b ab +=，0,0a b >>，∴111a b+=， ∴222222222222211()()22()2248b a b a b a b a a b a b a b a b a b a b a b+=++=+++++⨯⨯≥，当且仅当2222a b b a=且b a a b =，即a b =时，22a b +取最小值8.∴22a b +的最小值为8.（10分）。