2019年高三第三次全国大联考(新课标Ⅰ卷)理数卷(原卷版)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.84．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．245．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16B ． 8C ．4D ． 26．已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -= ，1b =-7．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A.4122-B. 5122-C. 6122-D. 7122-10．双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO的面积为A ．324B ．322C ．22D ．3211．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-） B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）12．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是A ． ①④B ． ②③C ． ①②③D ． ①③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

理科数学 第 1 页（共 11 页）3 + 3i 2 - 2 3i 3( 3 + i) 2(1- 3i)3 3 7 52019 年第三次全国大联考【新课标Ⅰ卷】理科数学·全解全析1．A 【解析】 A ={x ∈ Z | x 2 - 2x - 3 ≤ 0} ={x ∈ Z | -1 ≤ x ≤ 3} ={-1, 0,1, 2,3}，B ={x | x < 0 或 x > 1 }， ∴ C ={x | x ∈ A 且 x ∉ B } ={0,1}，故选 A ．2．D 【解析】 a = 2q 2 ，∴ a= 2 ，∴ a 2 ⋅ a 8 = a 2= 4 ，故选 D.3．C 【解析】 z = 1-3i ，∴ 2 = = = = 3 i，故选C ．24(-x )2 4x 2 4x 24．A 【解析】依题意， x ∈ R ，且 f (-x ) === f (x ) ，故函数 f (x ) =为偶函数，其图3|- x |3|x |3|x |象关于 y 轴对称，排除B ；因为 f (1) = 4> 1，排除C ； f (2) =16< 2 ，排除D ，故选A ．3 95．B 【解析】由程序框图可得，初始值：x = 1，n = 1，第 1 次循环，x = -1，n = 2 ；第 2 次循环，x = 2 ，2n = 3 ；第 3 次循环， x = 1， n = 4 ……依次类推得到此算法得到的 x 值具有周期性且周期为3 ，因为2n = 24 ，1025 ，7 ，2020 是各选项不满足条件的n 值，其被3 除的余数分别为0 ，2，1，1，所以当n = 1025 时不满足条件且输出的 x = -1，故选B ．6．B 【解析】由| FM |= 3 | FB | ，且 OB ∥AM （O 为坐标原点），得| OF |= | OB | = | FB | = 1，∴a + c = 3c且| AM |= 3b ，∴a = 2c ，∴b =3c ，又 △AFM | AF | | AM | | FM | 3的面积为9 ，∴ 1 ⨯ (c + a ) ⨯ 3b = 9 ， 2∴c =，∴a = 2，b = ，∴椭圆的标准方程为 x 8 + y 2 6= 1，故选B ． 7．C 【解析】 g (x ) = ln 1 - x ，∴ g (-x ) = ln 1 + x = -g (x ) ，∴函数 g (x ) 是奇函数，设t = 1 - x，1 + x 1 - x 1 + xt = -1 +2 x + 1 ，∴ t = 1 - x 在区间(-1,1) 上是减函数，又 y = ln t 在区间(0,+∞) 上是增函数，1 + x∴ g (x ) 在区间(-1,1) 上是减函数，∴ f (x ) 是定义在(-1,1) 上的奇函数且在区间(-1,1) 上是减函数，2z +1+ 2 3i 2z - 3i 3i ⋅ (1- 3i) 2(1- 3i) 2 2 6 52理科数学 第 2 页（共 11 页）2 23 2 5 2 4f ( 1 ) = -1，∴ f (- 1) = 1，又 f (0) = 0 ，∴ f (0) ≤ f (x - 2) ≤ f (- 1) ，又 f (x ) 在区间(-1,1)2 2 2上是减函数，∴ - 1 ≤ x - 2 ≤ 0 ，∴ 3 ≤ x ≤ 2 ，∴所求不等式的解集为[ 3,2] ，故选 C ．2 2 28．D 【解析】由几何体的三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 A - BCD ， 三角形 BCD 是等腰直角三角形且CB = CD = 4 ，∴S △BCD = 8 ； △ABC 是直角三角形， AB = 2 ，∴S △ABC = 4 ；△ACD 是等腰三角形，且 AC = AD =2 ，∴S △ACD = 4 ；又 BD = 4 ，∴ AB 2 + AD 2 =BD 2 ，∴∠BAD = 90 ，∴S = 4 ，∴该几何体的表面积是8 + 4 2 + 4 3 + 4 5 ，故选 D.9．A 【解析】方法一：因为嘉宾甲、乙主持的两期节目必须相连，所以有A 2A 5 种安排方案，又因为嘉宾A 2A 5丙必须排在前 3 期主持节目，所以该节目嘉宾主持人的安排方案种数是2 5 = 120 ，故选 A ．方法二：若嘉宾丙主持第 1 期节目，则安排方案有A 2A 4= 48 种；若嘉宾丙主持第 2 期节目，则安排方案有A 1 A 2A 3 = 36 种；若嘉宾丙主持第 3 期节目，则安排方案有A 2A 3 + A 2A 2A 2= 36 种，所以该节目3 2 32 33 2 2嘉宾主持人的安排方案种数是48 + 36 + 36 =120 ，故选 A ．10．A 【解析】 3 tan ϕ = 2sin( π+ ϕ) ，∴3tan ϕ = 2cos ϕ ，∴3sin ϕ = 2cos 2 ϕ ，∴3sin ϕ = 2 -22sin 2 ϕ ，∴2sin 2 ϕ + 3sin ϕ - 2 = 0 ，∴sin ϕ = 1 ， 0 < ϕ < π ，∴ϕ = π，∴ f (x ) = 2cos(ωx +2 2 6π) ，又 直线 x = π 6 3 是 函 数 f (x )的 图 象 的 一 条 对 称 轴 ， ∴ωπ + π = k π(k ∈ Z ) ， 3 6∴ω = 3k - 1 (k ∈ Z ) ， ω > 0 ，∴ ω 的最小值为 5 ，此时函数 f (x ) 的最小正周期T = 4π，故选 A ．2 2 511．B 【解析】 2a n = a n +1 + a n -1 + 2 ，∴ (a n +1 - a n ) - (a n - a n -1 ) = -2 ，∴数列{a n +1 - a n } 是公差为- 26 5 2 △ABD理科数学 第 3 页（共 11 页）3 ⎨ ⎩的 等 差 数 列 ， a 1 = 1, a 2 = 30 ， ∴a 2 - a 1 = 29 ，∴a 16 - a 15 = 29 + (15 -1)⨯ (-2) = 1 > 0 ，a 17 - a 16 = 29 + (16 -1)⨯ (-2) = -1 < 0 ，又 数列{a n +1 - a n } 是单调递减数列，∴数列{a n +1 - a n } 的前15 项和最大，即(a 2 - a 1) + (a 3 - a 2 ) + + (a 16 - a 15 ) = a 16 -1最大，∴数列{a n } 的最大项是第 16项 a ，又 a -1 = 15⨯ 29 +15⨯14⨯(-2) = 225 ，∴a = 226 ，∴数列{a }的最大项的值是226 ，16162故选B ．16 n12．B 【解析】若 f (x ) = ln x +2e - 2 ，则[xf (x )] x' =( x l n x 2e + 2 -)x l n ' = x 1 l n - ≠x，所以①是错误的；[xf (x )]' = ln x ，∴ f (x ) + xf '(x ) = ln x ，∵ f (e) = 1 ，∴令 x = e ，得 f '(e) = 0 ，所以②是正确的； xf '(x ) = ln x - f (x ) ，∴ x 2f '(x ) = x ln x - xf (x ) ，∴[x 2f '(x )]' = ln x +1-[xf (x )]' = ln x +1 - l n x = 1 > 0 ，∴函数 x2 f '(x ) 在区间(0,+∞) 上是增函数，当0 < x < e 时，x 2 f '(x ) < e 2 f '(e) = 0 ， 即 f '(x ) < 0 ， ∴ 函数 f (x ) 在区间 (0, e) 上是减函数； 当 x > e 时， x 2f '(x ) > e 2f '( e )= ，即f '(x ) > 0 ，∴函数 f (x ) 在区间(e, +∞) 上是增函数，∴ f (x ) ≥ f (e) =1，∴ f (x ) 的最小值为1且 f (x )没有零点，即③是错误的，④是正确的，所以正确的说法是②④，故选 B ．⎧x - y ≤ 0 13．18 【解析】作出约束条件⎪2x - 3y + 6 ≥ 0 表示的平面区域如图中阴影部分所示， ⎪x ≥ 1由图象得目标函数 z = 2x + y 取得最大值的最优解为(6,6) ，所以 z 的最大值为18 ．14.【解析】设将OA 绕原点逆时针旋转120得到向量OA ' ， OA = ( 3, 0) ，∴| OA ' |=| OA |=3,理科数学 第 4 页（共 11 页）4 23, ) OA∠AOA ' = 120 ，∴OA ' = (-3 3 ，' =- 1 OB ，∴OB = ( 3, -3) ， A , B ,C 三点共线， 2 22∴OC = (1- λ)OA + λOB ，∴OC = ( 3, -3λ) ，∴ OC 在OA 方向上的投影是= 3 ．15. 2 【解析】设| MF 1 |= x ,| MF 2 |= y ， 点 M 为双曲线右支上一点，∴ x - y = 2a ①；又 △MF 1F 2的周长为9a ，∴ x + y = 9a - 2c ②；又 直线 MF 与直线 y = - bx 平行，∴tan ∠MF F = b，2a2 1a∴cos ∠MF F = a，∴在△MF F 中，由余弦定理可得 y 2 + 4c 2 - x 2 = 4cy cos ∠MF F ，结合①②2 1 c1 2 2 1得 2a (2c - 9a ) + 4c 2= 2a (7a - 2c ) ，∴ c 2 + 2ac - 8a 2 = 0 ，∴e 2 + 2e - 8 = 0 ，解得e = 2 ，∴该双曲线的离心率为2 ．16.πR 【解析】设底面正三角形 ABC 的边长为 x (x > 0) ， 顶点 P 到底面 ABC 的距离为 R 且三棱锥 P - ABC 的体积为5 3R 3 ，∴ 1 ⨯ 3 x 2 R = 5 3 3 ，∴ x = 15R ，∴正三角形 ABC 的外 36 3 4 36 3接圆半径为5 R ，∴球心O 到底面 ABC 的距离为 2R ，又 顶点 P 到底面 ABC 的距离为 R ，∴顶33R 点 P 的轨迹是一个截面圆的圆周（球心在底面 ABC 和截面圆之间）且球心O 到该截面圆的距离为 3，截面圆的半径为 2 2 R ，∴顶点 P 的轨迹长度是 4 2 πR ． 3 317．（本小题满分12 分）【解析】（1） b =3， a 2 + c 2- sin A sin C tan B = 1，6 12∴ a 2 + c 2 - sin A sin C tan B = b 2 ，即a 2 + c 2 - b 2 = sin A sin C tan B ，由余弦定理得2ac c os B = sin A sin C tan B ，∴2ac sin A sin C = tan B ，（2 分） cos B由正弦定理得 2b 2 tan B = ，即2b 2 cos B = 2，∴ 1 cos 2 B = sin 3 B ，sin 2 B cos B sin B tan B 6∴ 1- sin 2 B = 6sin 3 B ，即6sin 3 B + sin 2 B -1 = 0 ，（4 分）OA ⋅OC = 3| OA | 3理科数学 第 5 页（共 11 页）(2 + 3)(a + c )2(2 - 3)(a + c )2(2 - 3)(a + c )2 变形得(2sin B -1)(3sin 2B + 2sin B +1) = 0 ，解得sin B = 1，20 < B < π ，∴ B = π．（6 分）2 6（2） b = 3 ， B = π ，∴由余弦定理得a 2 + c 2 - 2ac cos π = 1 ，化简得a 2 + c 2- 3ac = 1 ，6∴(a + c )2- (2 + 6 3)ac = 1 12，（8 分）6 12 12 (a + c )2ac ≤，∴-(2 + 4 ac ≥ - ，4∴(a + c )2- (2 + 3)ac ≥， 4∴ ≤ 1 4 12，∴(a + c )2 ≤ ，（10 分） 3∴(a + c + 2b )(a + c - 2b ) = (a + c )2 - 4b 2 ≤ 1 + 33 ，当且仅当a = c 时等号成立，∴ (a + c + 2b )(a + c - 2b ) 的最大值为1 + 33.（12 分）18．（本小题满分12 分）【解析】（1）估计生猪重量达不到 270 斤的概率为(0.0005 + 0.002) ⨯ 40 + 0.005⨯ 30 = 0.25 .（2 分） （2）生猪重量的平均数为180⨯0.02 + 220⨯0.08 + 260⨯0.2 + 300⨯0.32 + 340⨯0.24 +380⨯0.1+420⨯ 0.04 = 305.6 （斤）.所以估计该企业本养殖周期的销售收入是305.6 ⨯8⨯ 5000 = 1222.4 （万元）.（6 分）（3） 由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到 270 斤及以上的概率为1- 0.25 = 3，4由题意可得随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2 ，则Y ~ B (2, 3) ，（8 分） 4∴ P (Y = 0) = C 0⨯ 3 0 ⨯1 2 = 1 ，( ( ) 24 4 16 P (Y = 1) = C 1⨯ 3 1 ⨯ 1 1 = 3 ，( ( ) 24 4 8 P (Y = 2) = C 2⨯ 3 2 ⨯ 1 0 = 9 ，（9 分）( ) ( ) 24 4 162 + 3理科数学 第 6 页（共 11 页）2 33∴随机变量Y 的分布列为∴随机变量Y 的方差 D (Y ) = 2⨯ 3 = ．（12 分）4 4 819．（本小题满分12 分）【解析】（1）如图，连接 AB 交OC 于点 N ，连接 MN ，PA ∥平面 MOC ，∴ PA ∥ MN ， BM = 2MP ，∴ B N = 2NA ，OA = OB = 2 ， ∠AOB = 120 ，∴ AB = 2 ，∴ BN = ，（2 分）又 ∠OBA = 30 ， ∴ 在 △BON 中， 根据余弦定理得 ON =， ∴ON 2 + OB 2 = BN 2 ，∴∠BON = 90 ，∴ON ⊥ OB ，又 PO ⊥平面AOB ，∴ON ⊥ OP ，∴ON ⊥平面 POB ，（4 分）又 ON ⊂ 平面 MOC ，∴平面 MOC ⊥ 平面 POB ．（5 分）（2）由（1）得OC ⊥ OB ,OP ⊥ OC ,OP ⊥ OB ，如图建立空间直角坐标系O - xyz ，OP = ， OA = OB = OC = 2 ，∴ OP = (0, 0, 5) ， OA = ( 3, -1, 0) ， OC = (2, 0, 0) ，OB = (0, 2, 0) ， 点 M ∈ PB 且 BM = 2MP ，∴OM = (0, 2 ,2 5，（7 分） 3 3设平面 POA 的法向量为n = (x , y , z ) ，则⎧⎪n 1 ⋅ O P = 0 ，即 ⎧⎪5z 1 = 0，令 x= 1，得 y =，111 1⎨ ⎪⎩n 1 ⋅ O A = 0⎨11⎩⎪ 3x 1 - y 1 = 0 3 3 4 3 3 5理科数学 第 7 页（共 11 页）152 6 | AF |= 1 4 p θ ⎨z 1 = 0 ，∴ n 1 = (1, 3, 0)，⎧⎪n⋅ OC = 0⎧2x 2 = 0设平面 M O 的 法 向 量 为 n = (x , y , z ) ，则 ⎨2，即⎪，即2222⎪n ⋅ OM = 0 ⎨ 2 y +2 5z = 0 ⎩ 2⎪⎩3 23 2⎧⎪x 2 = 0，令 z = 1，得 y = -，x = 0 ，∴ n= (0, -5,1) ，（10 分）⎨y + 5z = 0 2222⎩⎪ 2 2设平面 POA 和平面 MOC 所成二面角的大小为θ ，则| cos θ |= =10 6 ，∴sin = ， 4 4∴平面 POA 和平面 MOC 所成二面角的正弦值的大小为6 .（12分） 420．（本小题满分12 分）【解析】（1） 点 A 的纵坐标为2 ，∴点 A 的横坐标为x = 1 ， 2 4 p点 A 到 y 轴的距离等于| AF | ，∴ 1 34 p = | AF |，（2 分） 3又+ p ，∴ 1 2 4 p = 1 12 p p ，∴ 1 =p ， 6 6 p 6p > 0 ，∴ p = 1，∴此时抛物线的标准方程为 y 2= 2x .（4 分）p⎧x = my + p（2）设直线l 的方程为 x = my + (m ≠ 0) ，由⎪2 ⎪⎩ y 2 = 2 px2 得 y 2 - 2mpy - p 2 = 0 ，设 A (x 1 , y 1 )( y 1 > 0), B (x 2 , y 2 ) ，⎧ y 1 + y 2 = 2mpp 25理科数学 第 8 页（共 11 页）由根与系数的关系得⎨y ⋅ y = - p 2 ，∴ x 1 ⋅ x 2 = ，（6 分） 4 ⎩ 1 2y y y x + y x y (my + p) + y(my + p)∴ k + k = 1 + 2 = 1 2 2 1 = 1 2 2 2 1 2 x 1 x 2 x 1 ⋅ x 2x 1 ⋅ x 21 2理科数学 第 9 页（共 11 页）23 (x +1- 3)(x +1+ 3)3 3 3 3 '2my y + p( y + y ) = - 2mp 2 + mp 2 = -=1 22 1 2x 1 ⋅ x 24m p 2 ，4y y y x - y xy (my + p ) - y (my + p ) p ( y - y ) k 1 - k 2 = 1 - 2= 1 2 2 1 = 1 2 2 2 1 2 = 2 1 2 ，x 1 x 2 x 1 ⋅ x 2x 1 ⋅ x 2 x 1 ⋅ x 2y 1 > 0, y 2 < 0 ，∴ y 1 - y 2 > 0 ，p 4m 2p 2+ 4 p 2= p 2m 2 + 1 ∴k 1 - k 2 = 2x 1 ⋅ x 2= 2x 1 ⋅ x 2p 2= 4 4，（10 分） k =1 m，且k ≥ ，∴ k 1 + k 2 = -4m == = 1k 1 - k 2 ∴ k 1 + k 2 < 0 ，即 k 1 + k2 的取值范围是[.（12 分）3 k 1 - k 2 k 1 - k 2 321．（本小题满分12 分）x 2 + 2ax + 22x + 2a - x 2 - 2ax - 2-x 2 + (2 - 2a )x + 2a - 2【解析】（1） f (x ) = ，∴ f '(x ) ==，2e xx = -1为 f (x ) 的极值点，∴ f '(-1) = 0 ，∴-( 2e x-1)2 + (2 - 2a )( 2e x-1) + 2a - 2 = 0 ，解得a = 2 ，（2 分）-x 2 - 2x + 2∴ f (x ) == - ，2ex2e x由 f '(x ) > 0 得 -1- < x < -1+ ，此时函数 f (x ) 单调递增；由 f '(x ) < 0 得 x < -1- 或x > -1+ ，此时函数 f (x ) 单调递减，（4 分）∴函数 f (x ) 的单调增区间是(-1- 3,-1+ 3) ，单调减区间是(-∞，-1- 3),(-1+ 3，+ ∞) （. 5 分）（2）由（1）得 f (x ) =x 2 + 4x + 2，m 2 +1 3 3 32ex理科数学第10 页（共11 页）理科数学 第 11 页（共 11 页）3⎩x f (x ) ≤ g (x )，∴ x 2 + 4x + 2 ≤ kx + k ， ≥ - 2 ， 2e x∴ x 2 + 4x + 2 ≤ 2k e x (x +1) ，∴ 2k e x (x +1) - x 2 - 4x - 2 ≥ 0 ，（6 分）令 h (x ) = 2k e x (x +1) - x 2 - 4x - 2 ， x ≥ -2 ，则h '(x ) = 2k e x (x + 2) - 2x - 4 = 2(x + 2)(k e x -1) ， x ≥ -2 ，∴ x + 2 ≥ 0 .①当 k ≤ 0 时， h '(x ) ≤ 0 ，函数 h (x ) 在区间[-2,+∞) 上是减函数，∴h (x ) ≤ h (-2) = 2 - 2k e -2 > 0 ，h (0) = 2k - 2 < 0 ，∴不等式2k e x (x +1) - x 2 - 4x - 2 ≥ 0 在区间[-2,+∞) 上不能恒成立；（8 分）②当k > 0 时，由k e x -1 = 0 得 x = - ln k ，（i ）若- ln k ≤ -2 ，即 k ≥ e 2 ，则 k e x -1 ≥ 0 ，∴ h '(x ) ≥ 0 ，∴函数h (x ) 在区间[-2,+∞) 上是增函数，∴h (x ) ≥ h (-2) = 2 - 2k e -2，∴ 2 - 2k e -2 ≥ 0 ，∴k ≤ e 2 ，∴k = e 2 ；（10 分）（ii ）若 - ln k > -2 ，即 0 < k < e 2 ，则当- 2 ≤ x < -ln k 时， h '(x ) ≤ 0 ，函数 h (x ) 单调递减，当x ≥ - l n k 时，则 h '(x ) ≥ 0 ， 函数 h (x ) 单调递增， ∴h ( x ) ≥ h (- l n k∴ 0 ≤ ln k ≤ 2 ，即1 ≤ k ≤ e 2 ，又0 < k < e 2 ，∴1 ≤ k < e 2 .由①②得， k 的取值范围是[1, e 2] .（12 分）)= - ( l k n 2 )+ 2 k l n ≥， 22．（本小题满分10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 【解析】（1） 切线l 的极坐标方程为 ρ = 3 ，∴ 2 3ρ cos θ - 2ρ sin θ = 3 ，则切2 3 cos θ - 2sin θ线l 的直角坐标方程为2 3x - 2y - 3 = 0 ，（2 分）∵曲线C 的参数方程为 ⎧⎪x = 2t （ t 为参数），∴曲线C 的普通方程为 x 2 = 2 y ，即 y = 1 x 2 ，则 1y ' = x ，又切线l 的斜率为 ⎨⎪ y = t 2 1 2 ，∴ x =，此时 y = 3 ，0 0 23故切点 P 的直角坐标为( 3, ) .（5 分 ） 2 3理科数学 第 10 页（共 11 页） 3 1⎧x = π⎪ 3 + 1 t 2 （2） 切线l 的倾斜角为 3 ，∴切线l 的参数方程为⎨ （ t 为参数），3 3⎪ y = + t⎩⎪ 2 2曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ 2 - 4 3ρ cos θ - 6ρ sin θ +16 = 0 ， ∴曲线 C 2 的直角坐标方程为x 2 + y 2 - 4 3x - 6y +16 = 0 ，（7 分）⎧ x = ⎪ 将⎨ 3 + 1 t 2 代入 x 2 + y 2 - 4 3x - 6y +16 = 0 ，得4t 2 -10 3t +1 = 0 ， ⎪ y = 3 + 3 t ⎩⎪ 2 2设交点 A , B 对应的参数分别是t 1 , t 2 ，⎧ 5 3 ⎪t 1 + t 2 = 21 1 t + t 则⎨ ，∴ + = 12 = 2 = 10 ， ⎪t ⋅ t = 1 t 1 t 2 12 1 ⎪⎩ 1 2 4 故 + 1 = 10 4 .（10 分） | PA | | PB |23．（本小题满分10 分）选修 4-5：不等式选讲【解析】（1）依题意， | x - 3 | + | 3x +1|≤ 7 ，若 x <- 1 ，原式化为3 - x - 3x -1 ≤ 7 ，解得 x ≥- 5 ，故- 5 ≤ x < - 1； 3 4 4 3 若- 1 ≤ x ≤ 3 ，原式化为3 - x + 3x +1 ≤ 7 ，解得 x ≤ 3 ，故- 1 ≤ x ≤ 3 ； 3 2 3 2 若 x > 3，原式化为 x - 3 + 3x +1 ≤ 7 ，解得 x ≤ 9 ，无解；4 综上所述，不等式 f (x ) ≤ 7 的解集为{x | -5 ≤ x ≤ 3}.（5 分）4 2（2）由题意知，不等式| x - 3 | + | mx +1|≤ 4 - x 在[1, 3] 上恒成立， 即3 - x + | mx +1|≤ 4 - x ，则| mx +1|≤ 1，故-1 ≤ mx +1 ≤1，（7 分）即-2 ≤ mx ≤ 0 在[1, 3] 上恒成立，得- 2≤ m ≤ 0 ，5 3 33理科数学第10 页（共11 页）故实数 m 的取值范围为[ 2, 0].（10 分）3理科数学第11 页（共11 页）。

{ }2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。

1.已知集合 A = {-1,0,1,2}， B = x | x 2 ≤ 1 ，则 A I B = （）A. {-1,0,1}B. {0,1}C. {-1,1} D . {0,1,2}2.若 z(1+ i) = 2i ，则 z = （）A. -1 - iB. -1 + iC.1 - iD.1 + i3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》 的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共 有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）.0.5B.0.6C.0.7D.0.84. (1+ 2 x 2 )(1+ x)4 的展开式中 x 3的系数为（）A.12B.16C.20D.245.已知各项均为正数的等比数列{a } 的前 4 项和为 15，且 a = 3a + 4a ，则 a = （）n 5313A.16B.8C.4D.26.已知曲线 y = ae x + x ln x 在 (1,ae) 处的切线方程为 y = 2 x + b ，则（）A. a = e , b = -1 B . a = e , b = 1 C . a = e -1 , b = 1D. a = e -1, b = -17.函数 y =2 x 32x + 2- x在 [-6,6] 的图像大致为（）A.2-110.双曲线C：-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点.若PO=PF，则A.328.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面E CD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A.BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9.执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于（）1B.2-2425C.2-11D.2-2627x2y242△PFO的面积为（）32B. C.22D.324211.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在（0,+∞）单调递减，则（）) > f (2 2 ) > f (2 3 ) B. f (log ) > f (2 3 ) > f (2 2 )23 - 3 ) D. f (2 3 ) > f (2 2 ) > f (log) > f (2 2 3 5 )(ω > 0) ，已知 f ( x) 在[0,2π ]有且仅有 5 个零点，下述四个结论：10 ) 单调递增；14.记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和，若 a 15.设 F ,F 为椭圆 C :+ = 1 的两个焦点， M 为 C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2 为等腰三角形，36 20A. f (log 1 1 2 3 - - - -3 4 3 4C. f (2 2 2 - 3) > f (log 1 1 - - 3 4 3 4)12.设函数 f ( x ) = sin(ω x +π① f ( x ) 在 (0, 2π ) 有且仅有 3 个极大值点；② f ( x ) 在 (0, 2π ) 有且仅有 2 个极小值点；③ f ( x ) 在 (0,π12 29④ ω 的取值范围是[ , ) .5 10其中所有正确结论的编号是（）A.①④B.②③C.①②③D.①③④二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.r r r rr r r r r 13.已知 a, b 为单位向量，且 a ⋅ b = 0 ，若 c = 2a - 5b ，则 cos < a, c >= _____________.nn1≠ 0 ， a = 3a ，则S10= _____________. 2 1 S5x 2y 21 2则 M 的坐标为______________.16.学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型，如图，该模 型为长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 挖去四棱锥 O - EFGH 后所得的几 何体，其中 O 为长方体的中心， E ,F ,G ,H 分别为所在棱的中点，AB = BC = 6cm ， AA = 4cm . 3D 打 印 所 用 的 材 料 密 度 为 10.9 g / cm 3 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________ g .三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

绝密★启用前2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则A．B．C．D．2．若，则z=A．B．C．D．3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.84．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12B．16C．20D．245．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项为和为15，且a5=3a3+4a1，则a3= A．16B．8C．4D．26．已知曲线在点（1，a e）处的切线方程为y=2x+b，则A．B．a=e，b=1C．D．，7．函数在的图象大致为A．B．C．D．8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出的值等于A. B. C. D.10．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐进线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为A．B．C．D．11．设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）12．设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点②在（）有且仅有2个极小值点③在（）单调递增④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学&参考答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2|1B x x =≤，则A B =（）A.{1,0,1}-B.{}0,1C.{1,1}-D.{}0,1,2 2.若(1)2z i i +=，则z =（） A.1i -- B.1i -+ C.1i - D.1i +3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A.0.5B.0.6C.0.7D.0.84.24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为（） A.12B.16C.20D.245.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（） A.16B.8C.4D.26.已知曲线ln x y ae x x =+在(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则（） A.,1a e b ==- B.,1a e b == C.1,1a e b -== D.1,1a e b -==-7.函数3222x xx y -=+在[6,6]-的图像大致为（）8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（）A.BM EN =，且直线BM ，EN 是相交直线B.BM EN ≠，且直线BM ，EN 是相交直线C.BM EN =，且直线BM ，EN 是异面直线D.BM EN ≠，且直线BM ，EN 是异面直线9.执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于（） A.4122-B.5122- C.6122-D.7122- 10.双曲线22142x y C -=：的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若PO PF =，则PFO △的面积为（）A.4 B.2C.11.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在0,+∞（）单调递减，则（）A.233231(log )(2)(2)4f f f -->>B.233231(log )(2)(2)4f f f -->>C.233231(2)(2)(log )4f f f -->> D.233231(2)(2)(log )4f f f -->>12.设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在0,2π[]有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点； ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点； ③()f x 在(0,)10π单调递增；④ω的取值范围是1229[,)510. 其中所有正确结论的编号是（） A.①④B.②③C.①②③D.①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知,a b 为单位向量，且0a b ⋅=，若25c a b =-，则cos ,a c <>=_____________. 14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S =_____________. 15.设12F F ,为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为______________.16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型，如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O E F G H -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E F G H ,,,分别为所在棱的中点，6AB BC cm ==，14AA cm =.3D 打印所用的材料密度为30.9/gcm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________g .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019届高三数学第三次联考试题理（含解析）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确定象限即可【详解】故选B【点睛】本题考查复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合，，则集合可以为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合A,再依次验证选项即可.【详解】因为，可以依次验证选项，得到当时，.故答案为D.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题目. 3.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如表：由此表估计这100名小学生身高的中位数为（）（结果保留4位有效数字）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可.【详解】由题身高在,的频率依次为0.05，0.35，0.3,前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x,则,解x=123.3故选C【点睛】本题考查中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题.4.将函数f（x）=cos（4x-）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则g （x）的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由伸缩变换确定g(x),再求周期公式计算即可【详解】由题,∴T==故选B【点睛】本题考查三角函数伸缩变换，准确记忆变换原则是关键，是基础题.5.如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析图知2a,2b,则e可求.【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,则则离心率e=.故选B.【点睛】本题考查椭圆的离心率，熟记a,b的几何意义是关键，是基础题.6.若函数f（x）=有最大值，则a取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析函数每段的单调性确定其最值，列a的不等式即可求解.【详解】由题,单调递增，故单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解.故选B.【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.7.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A. 32B. 40C.D.【答案】C【解析】【分析】将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题8.设x，y满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案．【详解】如图，作出约束条件表示的可行域.由图可知，当直线经过点时.z取得最大值；当直线经过点时，z取得最小值.故，故选A．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题．9.若存在等比数列，使得，则公比的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将原式表示为的关系式，看做关于的二次型方程有解问题，利用判别式列不等式求解即可.【详解】由题设数列的公比为q(q≠0),则,整理得=0,当时，易知q=-1，符合题意；但q≠0,当≠0时，，解得故q的最大值为故选D【点睛】本题考查等比数列，考查函数与方程的思想，准确转化为的二次方程是关键，是中档题.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，则异面直线AC1与BE所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取靠近的四等分点F，连接则∥BE,连接AF,∴∠A或其补角为所求,在A中利用余弦定理即可求解.【详解】取靠近的四等分点F，连接则∥BE,连接AF,∴∠A或其补角为所求，设正方体的边长为4，则∠A故选D【点睛】本题考查异面直线所成的角，作平行线找角是基本思路，准确计算是关键，是基础题.11.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7=5，S5=-55，则nSn的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将用表示，解方程组求得，再设函数求导求得的最小值即可.【详解】∵解得∴设当0<x<7时，当x>7时，,故最小值为f(7)=-343.故选A.【点睛】本题考查等差数列通项及求和，考查函数的思想，准确记忆公式，熟练转化为导数求最值是关键，是中档题.12.已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P为C 上一点，且P在第一象限．记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当2k1+k2取得最小值时，△PAB的重心坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设A（，0），B（，0），P（x，y），得到＝2，利用基本不等式求解最值，得到P的坐标，进而得到△PAB重心坐标.【详解】解：设A（，0），B（，0），P（x，y）由题意，，，∴2，2+≥24，当且仅当2k1＝时取等号，此时＝1，PA的方程为y＝x+1，，PB的方程为y＝2联立方程：，解得P∴重心坐标为故选B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.的展开式的第项为_______．【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项公式求解即可【详解】由题展开式的第2项为故答案为【点睛】本题考查二项式定理，熟记公式，准确计算是关键，是基础题.14.在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（-2，0），，则点D的坐标为______．【答案】【解析】先求再求进而求D即可【详解】由题,故D(6,1)故答案为【点睛】本题考查向量的坐标运算，准确计算是关键，是基础题15.若函数则_____．【答案】6【解析】【分析】确定,再由对数的运算性质代入求值即可【详解】由题-故答案为6【点睛】本题考查对数运算,函数的综合应用，考察抽象概括能力与计算能力，是中档题.16.过点引曲线：的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则__________．【答案】【解析】由两切线的斜率互为相反数，设切点，求导列关于t 的方程求出t值即可求解【详解】设切点坐标为即,解得t=0或t=两切线的斜率互为相反数，即2a+6,解得故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，转化两切线的斜率互为相反数是突破点，熟练掌握切线的求法，准确计算是关键，是中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，.（1）求；（2）若，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，由二倍角公式即可求（2）由题得，解得a,b值，再由余弦定理求c边即可求解.【详解】（1）∵，∴，∴.（2）设的内角的对边分别为.∵，∴，∵，∴，.由余弦定理可得，则，的周长为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，准确运用余弦定理计算c边是关键，是基础题.18.某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售；不低于100箱通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4．（1）甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位各自达成的成交价相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；（2）某单位需要这种零件650箱，求购买总价X的数学期望．【答案】（1）0.76；（2）120640元.【解析】【分析】（1）先求甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率，再由对立事件得概率即可求解；（2）先写出在折扣优惠中每箱零件的价格为的取值，再列分布列求解即可【详解】（1）因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为，所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率.（2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为元，则或188.的分布列为1840.6则.从而购买总价的数学期望为元.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，对立事件的概率，是基础题.19.已知是抛物线上一点，为的焦点．（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列．（2）若直线与交于，两点，且，求线段垂直平分线在轴上的截距．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得，，的长度，从而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去，根据韦达定理求解出，从而可得中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得垂直平分线所在直线方程，代入求得结果.【详解】（1）是抛物线上一点根据题意可得：，，，，依次成等比数列（2）由，消可得，设的中点，线段的垂直平分线的斜率为故其直线方程为当时，【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.20.如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为正方形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=2BC=1．（1）证明：平面ADEF⊥平面ABF．（2）若AF⊥平面ABCD，二面角A-BC-E为30°，三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，求二面角A-CD-O的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】证明平面即可证明平面平面（2）由题确定二面角的平面角为，进而推出为线段的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系由空间向量的线面角公式求解即可【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，又，，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面，又，则平面，从而，又，所以二面角的平面角为.以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则，，.因为三棱锥的外接球的球心为，所以为线段的中点，则的坐标为，.设平面的法向量为，则，即令，得.易知平面的一个法向量为，则.由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的判定，空间向量计算线面角，第二问确定球心O的位置是关键，是中档题.21.已知函数f（x）的导函数f（x）满足（x+xlnx）f（x）＞f （x）对x∈（1，+∞）恒成立．（1）判断函数g（x）=在（1，+∞）上的单调性，并说明理由；（2）若f（x）=ex+mx，求m的取值范围．【答案】（1）在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）对求导利用已知条件即可判断单调性；（2）将代入条件，转化为恒陈立，求，讨论的正负求解即可【详解】（1）由，，得.，则，故在上单调递增.（2）∵，∴，即.设函数，，∵，∴，为增函数，则.当，即时，，则在上单调递增，从而.当，即时，则，，若，；若，.从而，这与对恒成立矛盾，故不合题意.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查导数与函数的单调性问题，不等式恒成立问题，明确第二问分类讨论的标准是关键，是中档题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）若与相交于两点，，求；（2）圆的圆心在极轴上，且圆经过极点，若被圆截得的弦长为，求圆的半径．【答案】（1）6；（2）13.【解析】【分析】（1）将直线参数方程代入圆的直角坐标方程，利用求解得到结果；（2）写出的普通方程并假设圆的直角坐标方程，利用弦长为建立与的关系，再结合圆心到直线距离公式得到方程，解方程求得，即为圆的半径.【详解】（1）由，得将代入，得设两点对应的参数分别为，则故（2）直线的普通方程为设圆的方程为圆心到直线的距离为因为，所以解得：或（舍）则圆的半径为【点睛】本题考查直线参数方程中参数的几何意义、极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程.解决直线参数方程问题中距离之和或积的关键，是明确直线参数方程标准形式中的参数的几何意义，将距离问题转化为韦达定理的形式.23.设函数.（1）求不等式的解集；（2）证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）零点分段法去绝对值解不等式即可；（2）零点分段分情况证明再由绝对值不等式证明即可【详解】（1）∵，∴，即，当时，显然不合；当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为.（2）证明：当时，；当时，，则；当时，，则.∵，∴.∵，∴.故.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，证明不等式，熟练运算是关键，是中档题2019届高三数学第三次联考试题理（含解析）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确定象限即可【详解】故选B【点睛】本题考查复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合，，则集合可以为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合A,再依次验证选项即可.【详解】因为，可以依次验证选项，得到当时，.故答案为D.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题目.3.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如表：由此表估计这100名小学生身高的中位数为（）（结果保留4位有效数字）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可.【详解】由题身高在,的频率依次为0.05，0.35，0.3,前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x,则,解x=123.3故选C【点睛】本题考查中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题.4.将函数f（x）=cos（4x-）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由伸缩变换确定g(x),再求周期公式计算即可【详解】由题,∴T==故选B【点睛】本题考查三角函数伸缩变换，准确记忆变换原则是关键，是基础题.5.如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析图知2a,2b,则e可求.【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,则则离心率e=.故选B.【点睛】本题考查椭圆的离心率，熟记a,b的几何意义是关键，是基础题.6.若函数f（x）=有最大值，则a取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析函数每段的单调性确定其最值，列a的不等式即可求解.【详解】由题,单调递增，故单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解.故选B.【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.7.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A. 32B. 40C.D.【答案】C【解析】【分析】将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题8.设x，y满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案．【详解】如图，作出约束条件表示的可行域.由图可知，当直线经过点时.z取得最大值；当直线经过点时，z取得最小值.故，故选A．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题．9.若存在等比数列，使得，则公比的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将原式表示为的关系式，看做关于的二次型方程有解问题，利用判别式列不等式求解即可.【详解】由题设数列的公比为q(q≠0),则,整理得=0,当时，易知q=-1，符合题意；但q≠0,当≠0时，，解得故q的最大值为故选D【点睛】本题考查等比数列，考查函数与方程的思想，准确转化为的二次方程是关键，是中档题.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，则异面直线AC1与BE所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取靠近的四等分点F，连接则∥BE,连接AF,∴∠A或其补角为所求,在A 中利用余弦定理即可求解.【详解】取靠近的四等分点F，连接则∥BE,连接AF,∴∠A或其补角为所求，设正方体的边长为4，则∠A故选D【点睛】本题考查异面直线所成的角，作平行线找角是基本思路，准确计算是关键，是基础题.11.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7=5，S5=-55，则nSn的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将用表示，解方程组求得，再设函数求导求得的最小值即可.【详解】∵解得∴设当0<x<7时，当x>7时，,故最小值为f(7)=-343.故选A.【点睛】本题考查等差数列通项及求和，考查函数的思想，准确记忆公式，熟练转化为导数求最值是关键，是中档题.12.已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P为C上一点，且P在第一象限．记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当2k1+k2取得最小值时，△PAB的重心坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设A（，0），B（，0），P（x，y），得到＝2，利用基本不等式求解最值，得到P 的坐标，进而得到△PAB重心坐标.【详解】解：设A（，0），B（，0），P（x，y）由题意，，，∴2，2+≥24，当且仅当2k1＝时取等号，此时＝1，PA的方程为y＝x+1，，PB的方程为y＝2联立方程：，解得P∴重心坐标为故选B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.的展开式的第项为_______．【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项公式求解即可【详解】由题展开式的第2项为故答案为【点睛】本题考查二项式定理，熟记公式，准确计算是关键，是基础题.14.在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（-2，0），，则点D的坐标为______．【答案】【解析】【分析】先求再求进而求D即可【详解】由题,故D(6,1)故答案为【点睛】本题考查向量的坐标运算，准确计算是关键，是基础题15.若函数则_____．【答案】6【解析】【分析】确定,再由对数的运算性质代入求值即可【详解】由题-故答案为6【点睛】本题考查对数运算,函数的综合应用，考察抽象概括能力与计算能力，是中档题.16.过点引曲线：的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则__________．【答案】【解析】【分析】由两切线的斜率互为相反数，设切点，求导列关于t的方程求出t值即可求解【详解】设切点坐标为即,解得t=0或t=两切线的斜率互为相反数，即2a+6,解得故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，转化两切线的斜率互为相反数是突破点，熟练掌握切线的求法，准确计算是关键，是中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，.（1）求；（2）若，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，由二倍角公式即可求（2）由题得，解得a,b值，再由余弦定理求c边即可求解.【详解】（1）∵，∴，∴.（2）设的内角的对边分别为.∵，∴，∵，∴，.由余弦定理可得，则，的周长为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，准确运用余弦定理计算c边是关键，是基础题.18.某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售；不低于100箱通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4．（1）甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位各自达成的成交价相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；（2）某单位需要这种零件650箱，求购买总价X的数学期望．【答案】（1）0.76；（2）120640元.【解析】【分析】（1）先求甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率，再由对立事件得概率即可求解；（2）先写出在折扣优惠中每箱零件的价格为的取值，再列分布列求解即可【详解】（1）因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为，所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率.（2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为元，则或188.的分布列为1840.6则.从而购买总价的数学期望为元.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，对立事件的概率，是基础题.19.已知是抛物线上一点，为的焦点．（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列．（2）若直线与交于，两点，且，求线段垂直平分线在轴上的截距．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得，，的长度，从而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去，根据韦达定理求解出，从而可得中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得垂直平分线所在直线方程，代入求得结果.【详解】（1）是抛物线上一点根据题意可得：，，，，依次成等比数列（2）由，消可得，设的中点，线段的垂直平分线的斜率为故其直线方程为当时，【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.20.如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为正方形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=2BC=1．（1）证明：平面ADEF⊥平面ABF．（2）若AF⊥平面ABCD，二面角A-BC-E为30°，三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，求二面角A-CD-O的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】证明平面即可证明平面平面（2）由题确定二面角的平面角为，进而推出为线段的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系由空间向量的线面角公式求解即可【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，又，，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面，又，则平面，从而，又，所以二面角的平面角为.以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则，，.因为三棱锥的外接球的球心为，所以为线段的中点，则的坐标为，.设平面的法向量为，则，即令，得.易知平面的一个法向量为，则.由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的判定，空间向量计算线面角，第二问确定球心O的位置是关键，是中档题.21.已知函数f（x）的导函数f（x）满足（x+xlnx）f（x）＞f（x）对x∈（1，+∞）恒成立．（1）判断函数g（x）=在（1，+∞）上的单调性，并说明理由；（2）若f（x）=ex+mx，求m的取值范围．【答案】（1）在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）对求导利用已知条件即可判断单调性；（2）将代入条件，转化为恒陈立，求，讨论的正负求解即可【详解】（1）由，，得.，则，故在上单调递增.（2）∵，∴，即.设函数，，∵，∴，为增函数，则.当，即时，，则在上单调递增，从而.当，即时，则，，若，；若，.从而，这与对恒成立矛盾，故不合题意.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查导数与函数的单调性问题，不等式恒成立问题，明确第二问分类讨论的标准是关键，是中档题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.。

状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。

考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。

检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。

如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。

有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。

考试期间遇到这些事，莫慌乱！绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{0，1，2}2．（5分）若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.84．（5分）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12B．16C．20D．245．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16B．8C．4D．26．（5分）已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1B．a＝e，b＝1C．a＝e﹣1，b＝1D．a＝e﹣1，b＝﹣17．（5分）函数y＝在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣10．（5分）双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（）A．B．C．2D．311．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）12．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。