函数的单调性高考经典题型训练

函数单调性奇偶性经典练习一、单调性题型高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法：121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>⇒⎧<⎨-<<⇒⎩+⇒⎧-⎧⎪⇒-⇒⎨⎨-⎩⎪-⇒⎩即单调增函数定义法（重点）：在其定义域内有任意，且即单调增函数复合函数快速判断：“同增异减”增为减函数基本初等函数加减（设为增函数，为减函数）：增为增函数减互为反.⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩函数的两个函数具有相同的单调性例1 证明函数23()4x f x x +=-在区间(4)+∞，上为减函数（定义法）解析：用定义法证明函数的单调性，按步骤“一假设、二作差、三判断（与零比较）”进行.解：设12(4)x x ∈+∞，，且12x x <，1221121212232311()()()44(4)(4)x x x x f x f x x x x x ++--=-=---- 214x x >>Q 210x x ∴->，1(4)0x ->，2(4)0x -> 12()()f x f x ∴> 故函数()f x 在区间(4)+∞，上为减函数. 练习1 证明函数21()3x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法）练习2证明函数2()f x x =2()3-∞，上为增函数（定义法、快速判断法）练习3 求函数3()2x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法)练习4求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法）（复合函数，基本初等函数相加减问题，反函数问题在本章结束时再练习） （二） 函数单调性的应用⎧⎪⎨⎪⎩单独考查单调性：结合单调函数变量与其对应函数值的关系求参数定义域与单调性结合：结合定义域与变量函数值关系求参数值域与单调性结合：利用函数单调性求值域 例1 若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且2(2)(3)f x x f a +>+恒成立，数a 的围。

第3讲函数的单调性典型例题【例1】求函数()f x x=的值域.【答案】99⎡-⎢⎣⎦. 【解析】()()f x xf x ==--,()f x 是奇函数.t =,则01t ,即10t -.()222f x x =()()()()()22112111t t t t t =-+=+-+()()()1122t t t =++-()()()3112264327t t t ⎡⎤++++-=⎢⎥⎣⎦, 当且仅当31t =,即3x =±时,上式取等号. 因为()00f =,所以()()01y f x x=的值大于或等于0,其值域为0,9⎡⎢⎣⎦.由奇函数的性质可得原函数的值域为99⎡-⎢⎣⎦. 【例2】求函数()4321x y x =+的值域.【答案】40,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】令tan ,,22x ππθθ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭, 则()44232tan sin cos 1tan y θθθθ==+2221sin sin 2cos 2θθθ=⋅32221sin sin 2cos 42327θθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, 当且仅当2tan2θ=时等号成立,所以函数()4321x y x =+的值域为40,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【例3】已知函数()22,11,1ax x x f x ax x ⎧+=⎨-+>⎩≤在R 上为增函数，则实数a 的取值范围为。

【答案】11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】函数()22,1,1,1ax x x f x ax x ⎧+=⎨-+>⎩在R 上为增函数,则有11,0,21,a a a a ⎧-⎪⎪<⎨⎪+-+⎪⎩解得112a --.故答案为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【例4】已知函数()2f x x x m m =-+.（1）若函数()f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；（2）若函数()f x 在[]1,2上的最小值为7，求实数m 的值.【答案】(1)][()(),14,;22m ∞∞-⋃+=-或1【解析】(1)()2222,,,.x mx m x m f x x mx m x m ⎧-+=⎨-++<⎩ (i)当0m =且0x 时,()2f x x =,此时()f x 在[]1,2上单调递增,可取0m =.(ii)当0m <时,][)1,2,m ∞⎡⊆+⎣,且当x m 时,()22f x x mx m =-+.二次函数22y x mx m =-+的图象开口向上,对称轴为直线02mx =<,如图()1,f x 在[]1,2上单调递增,可取0m <.(iii)当0m >时,如图2,若()f x 在[]1,2上单调递增,则22m或1m ,得01m <或4m .综上所述,实数m 的取值范围是(],1∞-[)4,∞⋃+.图1 图2(2)(i)当1m 时,()f x 在[]1,2上单调递增,()2min ()117f x f m m ==-+=,即260m m --=,解得3m =(舍去)或2m =-.(ii)同(2)(i),当4m 时,()f x 在[]1,2上单调递增,可解得m =均舍去)； 当34m <时,可解得12m -±=(均舍去); 当23m <<时,可解得1m =;当12m <时,可解得m =均舍去).综上,2m =-或1.【例5】已知函数()([]11,2,42f x x x x=-∈，求函数()f x 的值域.【答案】11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】解法1：()(112f x x x =-+1112x ⎛=-+ ⎝1112x ⎡⎢=-+⎢⎣. 令1m x =,则11,42m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 构造函数()1g m m =-+()1m =-=,则()g m 是11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数,从而()11,22g m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,因此()11,44f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 解法()112:12f x x ⎡⎢=-⎢⎣.令1311tan ,,42x θθ⎡⎤-=∈--⎢⎥⎣⎦为第四象限角,则sin 12cos y θθ+=,可看作图中单位圆上一点P 与点()0,1A -连线斜率的一半的改变范围,如图,将1x =2和4x =代人可得所求函数的值域为11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【例6】设函数()f x m =，若存在实数,()a b a b <，使()f x 在[],a b 上的值域为1⎤++⎥⎣⎦，则正实数m 的取值范围是_______.21m << 【解析】因为()f x m m ==+933m +>,所以3a b <<.由函数的性质知()f x 在[)3,∞+上是增函数,所以()()1,21,f a a f b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即1,21,m a m ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩所以1m -=-=即方程12m x -=[)3,∞+上有两个不等的实数根,a b . 设()2g x x =则()2g x '=3x -=6x x -=当()3,6x ∈时,()()0,g x g x '>单调递增;当()6,x ∞∈+时,()()0,g x g x '<单调递减.又()()33,60g g ==, 由于()2g x x =()231322x x x ⎛⎫--=-+ ⎪⎪⎝⎭,所以()lim x g x ∞∞→+=-,从而3102m -<-<, 故212m -<<. 【例7】（多选题）已知函数()231,11,1x x f x x x +⎧=⎨->⎩若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（）A.t 没有最小值B.t 1C.t 没有最大值D.t 的最大值为1712【答案】BD【解析】如图,作出函数()f x 的图象.因为()()f n f m =且n m >,则1,1m n >,所以2311m n +=-,即223n m -=.由21,014,n n >⎧⎨<-⎩解得15n <,又()22213233n n m n n n --=-=---213173212n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,故当n =,min ()1n m -,当32n =时,max 17()12n m -=. 故选BD.【例8】对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满意()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”.设()()31,0x f x m m R m =+-∈≠是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（）A.2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B.21,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(),0-∞【答案】A【解析】若()31xf x m =+-是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”,则存在[]01,1x ∈-满意()()00f x f x -=-,即003131x x m m -+-=--+,得002332x x m -=--+.构造函数[]000332,1,1x x y x -=--+∈-,令013,,33x t t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦, 则1122y t t tt ⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在(]1,3上单调递减,当1t =时取得最大值0,当13t =或3t =时取得最小值44,,033y ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.又0m ≠,所以实数m 的取值范围是2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 故选A.【例10】已知221x y +=，则22x y x y +--+的最大值_______.2.【解析】解法()221:1222x y y x y x y +--=+⋅-+--()1121112y xy =+⋅---,2y x-的几何意义为单位圆上的点(),x y 与定点()0,2连线的斜率,如图.设过点()0,2的切线为2y kx =+,1=,解得k =结合图象,得23y x--或23y x-,则211121212112x y xx y y +-=+⋅+⋅-+--2=, 所以22x y x y +--+2.解法2：令,x y m x y n -=+=,则22222,22x y n m n x y m +--+==-++,同上,转化为圆上的点(),m n 与点()2,2-连线的斜率,易得223232n m ---++,则22x y x y +--+2.解法3：圆221x y +=上的点(),P x y 到直线x 20y +-=的距离为1d =,又点(),P x y 在直线20x y +-=的下方,=同理,圆221x y +=上的点(),P x y 到直线x -20y +=的距离为2d =,则22x y x y +--+12d d =-如图,设12,,PQ d PS d PAQ ∠α===,则tan α12d d =.结合图形可知,当直线AP 与圆221x y +=相切时,α取最小值,30OAP ∠=,则min?4530α=-=15,从而tan tan152α=所以22x y x y +--+2.解法4：设22x y t x y +-=-+,整理得()1t x --()()1210t y t +++=,由题意,圆221x y +=与直线()()()11210t x t y t --+++=有交点,则圆心到直线的距离小于等于半径,即1,解得2323t --+所以22x y x y+--+2.:【例11】已知实数0a >，函数()23f x x x a =+--在区间[]1,1-上的最大值是2，则a =_______.【答案】54或3【解析】解法1;因为函数()23f x x x a =+--在区间[]1,1-上的最大值是2, 取0x =,可得()02f ,又0a >,得32a -,解得15a ,即有()23,11f x x x a x =-+--,故()f x 的最大值在顶点或端点处取得.由()12f -=,即12a -=,解得3a =或a =1-(舍去)；由()12f =,即32a -=,解得5a =或1a =; 由122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1324a -=,解得54a =或a =214(舍去).当1a =时,()22f x x x =--,因为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭924>,故不符合题意,舍去;当5a =时,()22f x x x =-+,因为()1f -=42>,故不符合题意,舍去;当3a =时,()2f x x x =-,明显当1x =-时,()f x 取得最大值2,符合题意; 当54a =时,()()277,144f x x x f =--=,()111,242f f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,符合题意. 所以54a =或3a =.解法()2:f x 在[]1,1-上的最大值为2,等价于()232f x x x a =+--在[]1,1-上恒成立,且等号可取到, 即2232x x a -+--在[]1,1-上恒成立,且至少一处等号可取到,即2215x x a x ---在[]1,1-上恒成立,且至少一处等号可取到.在同一个坐标系里画出函数21,y x y =-=2,5x a y x -=-的图象,如图.肯定值函数的图象过25y x =-图象上的点()1,4-,或者与21y x =-的图象相切,得14a +=或210x x a -+-=.对于后者,由Δ0=得54a =,所以3a =或54a =.【例12】对于定义域为D 的函数()y f x =，假如存在区间[,]m n D ⊆, 同时满意：①()f x 在[],m n 上是单调函数，②[],m n 上()f x 的值域也是[],m n ，则称[],m n 是该函数的“美丽区间”.已知函数()()()221,0a a x y h x a R a a x +-==∈≠有“美丽区间”[],m n ，当a 改变时，求n m -的最大值_______.【解析】设[],m n 是已知函数定义域的子集. 由于0x ≠,则[](),,0m n ∞⊆-或[],m n ⊆()0,∞+. 而函数()222111a a x a y a x a a x+-+==-在[],m n 上单调递增,若[],m n 是已知函数的“美丽区间”,则()(),,h m m h n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以,m n 是方程211a x a a x+-=即22a x -()210a a x ++=的两个同号且不等的实数根. 因为210mn a =>,所以,m n 同号, 只要()()()2222Δ4310a a a a a a =+-=+->,解得3a <-或1a >.n m -===当3a =时,n m -【例13】已知在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若AB 边上的高为14AB ，则当sin sin sin sin A B B A+取得最大值时，sin C =_______.【答案】5 【解析】设AB 边上的高为c h ,即14c h c =, 由面积公式得11sin 22c ch ab C =,即24sin c ab C =. 22sin sin sin sin A B a b a b B A b a ab++=+=, 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-,则22cos 4sin 2cos c ab C ab C ab C ab ab++=()4sin 2cos C C C ϕ=+=+, 其中1tan 2ϕ=. 当2C πϕ+=时,上式取到最大值此时2C πϕ=-,故sin sin cos 2C πϕϕ⎛⎫=-===⎪⎝⎭【例14】在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),,A a a P 是函数1(0)y x x=>图象上的一个动点，若,P A之间的最短距离为，则满意条件的实数a 的值为______.【答案】1-【解析】1设1,(0)P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭, 则2222211||()AP x a a x x x ⎛⎫=-+-=+- ⎪⎝⎭2222a ax a x -+. 令[)12,t x x∞=+∈+,则222||222AP t at a =-+-. 记()()222222g t t at a t =-+-,其图象的对称轴为t a =,最小值为28=,所以()2min?2,()22428,a g t g a a <⎧⎨==-+=⎩或()2min?2,()28,a g t g a a ⎧⎨==-=⎩解得1a =-或a =.【解析】2由题意可知,若0a <,则1a =-满意题意.若0a >,则圆22()()8x a y a -+-=与曲线1(0)y x x=>相切,联立方程组, 消去y 得22221228a x ax a a x x-++-+=, 即()221122100?*x a x a x x ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由()22Δ(2)42100a a =--=,得a =, 此时方程()*的解为2x =,满意题意. 综上,1a =-或a =.【例15】已知函数()21,1,{ln ,1,x x f x x x x-<=>若关于x 的方程()()212202f x tf x t ++-=有5个不同的实数根，则实数t 的取值范围是 A.111,22e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.111,22e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.113,22e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.113,22e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】设ln x y x =,则21ln x y x-='. 当()0,e x ∈时,0y '>,函数单调递增;当()e,x ∞∈+时,0y '<,函数单调递减.所以当e x =时,函数取得极大值, 1ey =极大值.方程()()212202f x tf x t ++-=可化为()()12102f x t f x ⎡⎤⎡⎤+-+=⎣⎦⎢⎥⎣⎦,解得()12f x t =-+或()12f x =-.画出函数()f x 的大致图象,如图.要使得关于x 的方程()()21222f x tf x t ++-0=有5个不同的实数根, 应满意1102e t <-+<,解得1112e 2t -<<,即实数t 的取值范围是111,2e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选A.。

第10讲 利用导数研究函数单调性5种常见题型总结【考点分析】考点一：利用导数判断函数单调性的方法 ①求函数的定义域（常见的0,ln >x x ）；①求函数的导数，如果是分式尽量通分，能分解因式要分解因式；①令()0='x f ，求出根 ,,,321x x x ，数轴标根，穿针引线，注意x 系数的正负；④判断()x f '的符号，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数． 考点二：已知函数的单调性求参数问题①若()f x 在[]b a ,上单调递增，则()0f x '≥在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）； ①若()f x 在[]b a ,上单调递减，则()0f x '≤在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）．【题型目录】题型一：利用导数求函数的单调区间题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围 题型四：已知含量参函数在区间上不单调求参数范围 题型五：已知含量参函数存在单调区间求参数范围【典型例题】题型一：利用导数求函数的单调区间【例1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数()()2e x f x x =+的单调递减区间是（ ）A ．(),3-∞-B ．()0,3C ．()3,0-D ．()3,-+∞【例2】（2022·北京市第三十五中学高二阶段练习）函数ln xy x=的单调递增区间是（ ） A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()e,+∞C ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,e【例3】（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,2)【例4】（2022·黑龙江·铁人中学高三开学考试）函数2()ln 1f x x x =--的单调增区间为_________.【例5】（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数()()ln 1f x x x =+，则（ ） A ．()f x 在()1,-+∞单调递增 B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是偶函数【例6】（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3k ≤-或11k -≤≤或3k ≥ B ．31k -<<-或13k << C ．22k -<<D ．不存在这样的实数【例7】（2022·全国·高二课时练习多选题）设函数()e ln x f x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的定义域是()0,∞+B ．当()0,1x ∈时，()f x 的图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有两个单调区间【例8】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．()0,∞- B ．(1,+∞)C ．()1,∞-D ．(0,+∞)【例9】 （2022·全国·高二专题练习）已知函数()1xlnx f x e +=，（其中e ＝2.71828…是自然对数的底数）．求()x f 的单调区间.【例10】【2020年新课标2卷理科】已知函数()x x x f 2sin sin 2=.（1）讨论()x f 在区间()π,0的单调性；【例11】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数()ln f x x x x =-. (1)求()f x 的单调区间；【例12】（2022·陕西渭南·高二期末（文））函数()()2e x f x x ax b =++，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为：450x y ++=. (1)求,a b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间.【例13】【2020年新课标1卷理科】已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当1=a 时，讨论()x f 的单调性；【例14】【2019年新课标2卷理科】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论()x f 的单调性，并证明()x f 有且仅有两个零点；【题型专练】1．（2022湖南新邵县教研室高二期末（文））函数()4ln f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．()0,∞+ B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）函数()()3e x f x x =-，则()f x 的单调增区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),3-∞D ．()3,+∞3．（2022·四川绵阳·高二期末（文））函数()2ln 2x x x f -=的单调递增区间为（ ）A ．()1,-∞-B ．()+∞,1C ．()1,1-D ．()1,04．（2022·广西桂林·高二期末（文））函数()3213f x x x =-的单调递减区间为（ ）A ．()02，B ．()()02∞∞-+，，，C ．()2+∞，D ．()0-∞，5．（2022·重庆长寿·高二期末）函数()65ln f x x x x=--的单调递减区间为（ ）A ．（0，2）B ．（2，3）C ．（1，3）D ．（3，+∞）6．（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 3f x x x =-的单调减区间为__________．7．（2022·全国·高二专题练习）函数2()2x x f x =的单调递增区间为__________.8.（2022·全国·高二专题练习）函数cos y x x =+的单调增区间为_________.9.（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的单调区间(1)()211x f x x +=-；(2)()21ln 2f x x x =-； (3)()3223361f x x x x =+-+；(4)()sin ,0f x x x x π=-<<；(5)()()22e xf x x x -=+；(6)()sin 2cos xf x x=+．10．（2022·全国·高二单元测试）已知函数()()321313x x x f x =-++，求()f x 的单调区间．11.函数()x e x x f -=2的递增区间是（ ） A ．()0,2B ．(),0∞-C ．(),0∞-，()2,+∞D ．()(),02,-∞+∞12.【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=x e ax −e x ． (1)当a =1时，讨论f(x)的单调性；13.（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1m m -+上不单调，则实数m 的取值范围是（ ）A ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.（2020·河北省石家庄二中高二月考）函数1()ln f x x x=的单调递减区间为____________. 15.（2022·全国·高三专题练习（文））函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________．题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【例1】（2022·河南·高三阶段练习（文））如图为函数()f x （其定义域为[],m m -）的图象，若()f x 的导函数为()f x '，则()y f x '=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【例2】（2022·四川·遂宁中学外国语实验学校高三开学考试（理））设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，其图象如图所示.记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0xf x '≤的解集为（ ）A ．[][)31,0,12,323⎛⎤--⋃⋃ ⎥⎝⎦B ．[]18,01,2,333⎡⎤⎡⎫-⋃⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31148,,,323233⎛⎫⎡⎤⎡⎫--⋃⋃ ⎪⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎣⎦⎣⎭【例4】（2022·全国·高二单元测试）已知函数()f x 的导函数()'f x 图像如图所示，则()f x 的图像是图四个图像中的（ ）．A ．B ．C ．D ．【例5】（2022·广东潮州·高二期末多选题）已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则下列结论正确的为（ ）A ．曲线m 是()f x 的图象，曲线n 是()f x '的图象B ．曲线m 是()f x '的图象，曲线n 是()f x 的图象C ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为()0,1D ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为41,3⎛⎫⎪⎝⎭【题型专练】1．（2022·江苏常州·高三阶段练习）如图是()y f x '=的图像，则函数()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．()2,1-B ．()()2,0,2,-+∞C ．(),1-∞-D ．()(),1,1,-∞-+∞2．（2022·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，且()f x '是()f x 的导函数，则（ ）A ．()()()()12012f f f f ''''-=-<<<B ．()()()()21012f f f f ''''<<<-=-C ．()()()()02112f f f f ''''>>>-=-D ．()()()()21021f f f f ''''<<<-<-3．（2022·福建莆田·高二期末）定义在()1,3-上的函数()y f x =，其导函数()y f x '=图像如图所示，则()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．()1,0-B ．()1,1-C ．()0,2D ．()2,34．（2022·广东广州·高二期末）已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，函数()y f x ='的图象如图所示，则函数()y f x =图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022·北京·牛栏山一中高二阶段练习）设()f x '是函数()f x 的导函数，在同一个直角坐标系中，()y f x =和()y f x '=的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2022·福建宁德·高二期末多选题）设()f x 是定义域为R 的偶函数，其导函数为()f x '，若0x ≥时，()f x 图像如图所示，则可以使()()0f x f x '⋅<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,3题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ax x x x f ++=2ln 的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．(],3a ∈-∞-B ．3a =-C ．3a =D ．(],3a ∈-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．[]1,1- C ．[]1,3 D ．[]1,3-【例3】（2022·浙江·高二开学考试）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a >D ．1a ≥-【例4】（2022·全国·高二课时练习）若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．(],3-∞C ．23,e 1⎡⎤+⎣⎦ D ．(2,e 1⎤-∞+⎦【例5】（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高二阶段练习）已知函数()321f x x x ax =+-+在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数1()sin 2cos 2f x x a x =+在区间(0,)π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞-B ．[1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．[1,)+∞【例7】（2022·山东临沂·高二期末）若对任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有121212ln ln 3x x x x x x ->-，则m 的最小值是________.【例8】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()0ln 232>+-=a x x axx f ，若函数()x f 在[]2,1上为单调函数，则实数a 的取值范围是________.【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）若函数2()ln 5f x x ax x =+-在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,3]-∞ B ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．253,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．25,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-4.（2022·全国·高三专题练习）若函数()d cx bx x x f +++=23的单调递减区间为()3,1-，则=+c b （ ）A ．－12B ．－10C ．8D ．105.（2022·全国·高三专题练习）若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是_______. 6.函数321()3f x ax x a =-+在[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．1a ≥C ．2a >D ．2a ≥7.对于任意1x ，2[1,)x ∈+∞，当21x x >时，恒有2211ln 2()x a x x x <-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞C ．(,2]-∞D ．(,3]-∞8.若函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数，则t 的取值范围是（ ） A ．[1,2] B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞题型四：已知含量参函数在区间上不单调，求参数范围【例1】（2022·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（文））已知函数()3212132a g x x x x =-++．若()g x 在()2,1--内不单调，则实数a 的取值范围是______．【例2】（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数()()41xf x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【题型专练】 1.函数()()2244xf x e xx =--在区间()1,1k k -+上不单调，实数k 的范围是 .2.（2022·全国·高三专题练习）若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.题型五：已知含量参函数存在单调区间，求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数()21()ln 12g x x x b x =+--存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞D ．(],3-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．【例3】（2022·河北·高三阶段练习）若函数()2()e xf x x mx =+在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在单调递减区间，则m 的取值范围是_________．【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知()2ln ag x x x x=+-. (1)若函数()g x 在区间[]1,2内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若()g x 在区间[]1,2上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习（文））若函数()()0221ln 2≠--=a x ax x x h 在[]4,1上存在单调递减区间”，则实数a 的取值范围为________.2.若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为 .3.故函已知函数32()3()f x ax x x x =+-∈R 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3,-+∞ B ．()()3,00,-+∞C ．()(),00,3-∞D ．[)3,-+∞4.已知函数()()R a x ax x x f ∈+++=123在⎪⎭⎫⎝⎛--31,32内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,√3] B ．(−∞,√3]C ．(√3,+∞)D ．(√3,3)。

完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。

[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。

[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。

4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。

b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。

y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。

1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。

0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。

3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。

证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。

11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。

函数单调性练习题高中一、选择题1. 设函数f(x) = x^3 3x，则下列结论正确的是（）A. f(x)在（∞，+∞）上单调递增B. f(x)在（∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增C. f(x)在（∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增D. f(x)在（∞，1）上单调递增，在（1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增2. 已知函数f(x) = (1/2)^x，则下列结论正确的是（）A. f(x)在（∞，+∞）上单调递增B. f(x)在（∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增C. f(x)在（∞，+∞）上单调递减D. f(x)在（∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减二、填空题1. 已知函数f(x) = x^2 2x，求f(x)的单调递增区间：______。

2. 已知函数f(x) = 3x^3 9x，求f(x)的单调递减区间：______。

三、解答题1. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x，求f(x)的单调区间。

2. 已知函数f(x) = (1/3)^x 2x，求f(x)的单调区间。

3. 设函数f(x) = x^2 4x + 3，求f(x)的单调区间。

4. 已知函数f(x) = 2x^3 3x^2 12x + 5，求f(x)的单调区间。

5. 设函数f(x) = (1/2)^x + x^2 4x，求f(x)的单调区间。

6. 已知函数f(x) = x^4 4x^3 + 6x^2，求f(x)的单调区间。

7. 设函数f(x) = 3x^3 9x^2 + 5，求f(x)的单调区间。

8. 已知函数f(x) = (1/3)^x x^3 + 2x^2，求f(x)的单调区间。

9. 设函数f(x) = 2x^4 8x^3 + 12x^2，求f(x)的单调区间。

10. 已知函数f(x) = x^5 5x^4 + 10x^3，求f(x)的单调区间。

四、判断题1. 函数f(x) = x^2 + 2x在整个实数域上单调递增。

函数单调性的七类经典题型单调性 类型一：三角函数单调区间1.函数tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为__________． 【答案】5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【解析】试题分析: 因为232πππππ+<-<-k x k ,所以Z k k x k ∈+<<-,656ππππ,故应填答案5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( )A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞) 解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． 3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)类型二：对数函数单调区间1.函数f(x)＝ln(4＋3x －x2)的单调递减区间是( )A.⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－1，32 D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，4解析：函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋254的减区间为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，4，∵e ＞1，∴函数f(x)的单调减区间为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，4.2.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．类型三：分段函数单调性 1.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>≤--1,log 1,1)2(x x x x a a ,若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(2,3] D ．(2，＋∞)解析：要保证函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增．若f(x)＝(a －2)x －1在区间(－∞，1]上单调递增，则a －2＞0，即a ＞2.若f(x)＝logax 在区间(1，＋∞)上单调递增，则a ＞1.另外，要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a －2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a 的取值范围为2＜a≤3. 答案：C类型四：利用单调性求参数范围1.已知函数()f x 为定义[]2,3a -在上的偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是_______________． 【答案】1122m ≤<【解析】试题分析: 由偶函数的定义可得032=+-a ,则5=a ,因为01)1(22,01222>+-=+->+m m m m,且)22()22(),1()1(2222+-=-+-+=--m m f m m f m f m f ,所以322122≤+-<+m m m ,解之得1122m ≤<.故应填答案1122m ≤<.2.已知y ＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若f(m －1)＜f(1－2m)，则m 的取值范围是__________．解析：依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2－2＜1－2m ＜2m －1＜1－2m⇒⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－1＜m ＜3－12＜m ＜32m ＜23⇒－12＜m ＜23.答案：⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12，233.已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.答案：(－∞，1]4.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1.又∵函数g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上也是减函数，∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1]．5.若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23.答案：⎝⎛⎦⎥⎥⎤12，23 类型五：范围问题1.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足不等式f (1)<f (lg x 10)的x 的取值范围是________.押题依据 利用函数的单调性、奇偶性求解不等式是高考中的热点，较好地考查学生思维的灵活性.答案 (0,1)∪(100，＋∞)解析 由题意得，f (1)<f (|lg x 10|)⇒1<|lg x10|⇒lgx 10>1或lg x10<－1⇒x >100或0<x <1.2.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32 解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a －1|)>f (2)，∴2|a －1|<2＝212，∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <32.3.设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则实数a的取值范围是__________. 答案 (－∞，3]解析 由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，又因为f (x )＝x |x －a |，所以当a ≤0时，结论显然成立，当a >0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以0<a ≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3].类型六：综合题1.（作图）已知f(x)是定义在实数集R上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于()A．{x|x≤0或1≤x≤4} B．{x|0≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|0≤x≤1或x≥4}解析：画出函数f(x)和g(x)的草图如图，由图可知当f(x)g(x)≥0时，x的取值范围是x≤0或1≤x≤4，即{x|f(x)g(x)≥0}＝{x|x≤0或1≤x≤4}，故选A.2.函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －12<0的解集．（数形结合）解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0.又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12<0＝f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －12>0，x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12<1，即0<x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －12<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12<0＝f (－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －12<0，x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12<－1.∴x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －12<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <1＋174或1－174<x <0.3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．答案：B4.如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3]解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．答案：D6.若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，所以当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎨⎧a >1，3＋log a 2≥4.解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．答案：(1,2]7.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝|x －a |－a (a ∈R).若∀x ∈R ，f (x ＋2 016)>f (x )，则实数a 的取值范围是_________. 数形结合当a ＝0时，f (x )＝x ，x ∈R ，满足条件；当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >0，0，x ＝0，x ＋2a ，x <0为R 上的单调递增函数，也满足条件；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >a ，－x ，－a ≤x ≤a ，x ＋2a ，x <－a ，要满足条件，需4a <2 016 ，即0<a <504， 综上实数a 的取值范围是a <504.。

高考数学复习函数的单调性与最值专题训练（含答案）函数的单调性也可以叫做函数的增减性，下面是函数的单调性与最值专题训练，请考生及时练习。

一、选择题1.以下函数中，既是偶函数又在(0，+)内单调递减的函数是().A.y=x2B.y=|x|+1C.y=-lg|x|D.y=2|x|解析关于C中函数，当x0时，y=-lg x，故为(0，+)上的减函数，且y=-lg |x|为偶函数.答案 C.函数f(x)为R上的减函数，那么满足f(|x|)A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)(0,1)D.(-，-1)(1，+)解析 f(x)在R上为减函数且f(|x|)|x|1，解得x1或x-1.答案 D.假定函数y=ax与y=-在(0，+)上都是减函数，那么y=ax2+bx 在(0，+)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增解析y=ax与y=-在(0，+)上都是减函数，a0，b0，y=ax2+bx的对称轴方程x=-0，y=ax2+bx在(0，+)上为减函数.答案B4.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1)，那么函数g(x)的递减区间是().A.(-，0]B.[0,1)C.[1，+)D.[-1,0]解析 g(x)=如下图，其递减区间是[0,1).应选B.答案 B.函数y=-x2+2x-3(x0)的单调增区间是()A.(0，+)B.(-，1]C.(-，0)D.(-，-1]解析二次函数的对称轴为x=1，又由于二次项系数为正数，，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(-，0).答案 C.设函数y=f(x)在(-，+)内有定义，关于给定的正数K，定义函数fK(x)=取函数f(x)=2-|x|，当K=时，函数fK(x)的单调递增区间为().A.(-，0)B.(0，+)C.(-，-1)D.(1，+)解析 f(x)=f(x)=f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(-，-1).答案 C二、填空题.设函数y=x2-2x，x[-2，a]，假定函数的最小值为g(a)，那么g(a)=________.解析函数y=x2-2x=(x-1)2-1，对称轴为直线x=1.当-21时，函数在[-2，a]上单调递减，那么当x=a时，ymin=a2-2a;当a1时，函数在[-2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，那么当x=1时，ymin=-1.综上，g(a)=答案.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是_______.解析y=-(x-3)|x|作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.答案.函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-，3)上是减函数，那么a的取值范围是________.解析当a=0时，f(x)=-12x+5在(-，3)上为减函数;当a0时，要使f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-，3)上是减函数，那么对称轴x=必在x=3的左边，即3，故0答案10.函数f(x)=(a是常数且a0).关于以下命题：函数f(x)的最小值是-1;函数f(x)在R上是单调函数;假定f(x)0在上恒成立，那么a的取值范围是a对恣意的x10，x20且x1x2，恒有f.其中正确命题的序号是____________.解析依据题意可画出草图，由图象可知，显然正确;函数f(x)在R上不是单调函数，故错误;假定f(x)0在上恒成立，那么2a-10，a1，故正确;由图象可知在(-，0)上对恣意的x10，x20且x1x2，恒有f成立，故正确.答案三、解答题.求函数y=a1-x2(a0且a1)的单调区间.当a1时，函数y=a1-x2在区间[0，+)上是减函数，在区间(-，0]上是增函数;当0x12，那么f(x1)-f(x2)=x+-x-=[x1x2(x1+x2)-a]，由x22，得x1x2(x1+x2)16，x1-x20，x1x20.要使f(x)在区间[2，+)上是增函数，只需f(x1)-f(x2)0，即x1x2(x1+x2)-a0恒成立，那么a16..函数f(x)=a2x+b3x，其中常数a，b满足ab0.(1)假定ab0，判别函数f(x)的单调性;(2)假定ab0，求f(x+1)f(x)时的x的取值范围.解 (1)当a0，b0时，由于a2x，b3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增;当a0，b0时，由于a2x，b3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减.(2)f(x+1)-f(x)=a2x+2b3x0.(i)当a0，b0时，x-，解得x(ii)当a0，b0时，x-，解得x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数;(2)假定f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3.(1)证明设x1，x2R，且x10，f(x2-x1)1.f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10.f(x2)f(x1).即f(x)是R上的增函数.(2) f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，f(2)=3，原不等式可化为f(3m2-m-2)函数的单调性与最值专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优秀的效果。

函数的单调性（一）一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y=2x ＋1 B ．y=3x2＋1 C ．y=x2D ．y=2x2＋x ＋1 2．函数f(x)=4x2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f(1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5)4．函数f(x)=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f(x)在区间[a ，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a ，b]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根6．已知函数f(x)=8＋2x －x2，如果g(x)=f( 2－x2 )，那么函数g(x) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f(x)是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f(－1)＜f(9)＜f(13) B ．f(13)＜f(9)＜f(－1) C ．f(9)＜f(－1)＜f(13) D ．f(13)＜f(－1)＜f(9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥311．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］B ．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)C ．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］D ．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)12．定义在R 上的函数y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y=f(x ＋2)图象的对称轴是x=0，则（ ）A ．f(－1)＜f(3)B ．f (0)＞f(3)C ．f (－1)=f (－3)D ．f(2)＜f(3) 二、填空题：13．函数y=(x －1)-2的减区间是____． 14．函数y=x －2x -1＋2的值域为_____． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为.16、函数f(x) = ax2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__． 三、解答题：17．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f(yx) = f(x)－f(y) （1）求f(1)的值．（2）若f(6)= 1，解不等式 f( x ＋3 )－f(x1) ＜2 ． 18．函数f(x)=－x3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论． 19．试讨论函数f(x)=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f(x)=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f(x)在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m －1)－f(1－2m)＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f(x)=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a=21时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞，⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f(1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f[x(x ＋3)]＜f(36)， 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f(x)在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x1、x2∈(－∞，＋∞)， x1＜x2 ，则f(x1)=－x13＋1， f(x2)=－x23＋1．f(x1)－f(x2)=x23－x13=(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)=(x2－x1)［(x1＋22x )2＋43x22］．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0而(x1＋22x )2＋43x22＞0，∴f(x1)＞f(x2)．∴函数f(x)=－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x1、x2∈－1，1］且x1＜x2，即－1≤x1＜x2≤1．f(x1)－f(x2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x2－x1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x1＞0，x2＞0时，x1＋x2＞0，那么f(x1)＞f(x2)．当x1＜0，x2＜0时，x1＋x2＜0，那么f(x1)＜f(x2)．故f(x)=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f(x)=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x1、x2∈0，＋)∞且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)=121+x －122+x －a(x1－x2)=1122212221+++-x x x x －a(x1－x2)=(x1－x2)(11222121++++x x x x －a)(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2) ∴a ≥1时，函数f(x)在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x1=0，x2=212aa-，满足f(x1)=f(x2)=1 ∴0＜a ＜1时，f(x)在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x1|≥x1;122+x ＞x2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f(x)在(－2，2)上是减函数∴由f(m －1)－f(1－2m)＞0，得f(m －1)＞f(1－2m)∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a=21时，f(x)=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x2＞x1≥1，则f(x2)－f(x1)=x2＋1122121x x x --=(x2－x1)＋21212x x x x -=(x2－x1)(1－2121x x ) ∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－2121x x ＞0，则f(x2)＞f(x1) 可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞)上的最小值为f(1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f(x)=xax x ++22＞0恒成立⇔x2＋2x ＋a ＞0恒成立设y=x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)2＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．。

高三一轮复习—函数的单调性（题型大全）一、判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数； （4）单调函数的性质法；（5）图象法；（6）复合函数的单调性结论等二、题型（1）求函数单调区间（2）证明函数单调性（3）利用函数单调性求值域、最值（4）利用函数单调性比较大小（5）利用函数单调性求参数值和参数的取值范围（6）抽象函数单调性三、分类练习（1）求函数单调区间1.32()23f x x x =-2.3()f x x ax =-3.3()f x ax x =-4.2237()(1)x f x x -=- 5.5()x f x x e -=⋅（2）证明函数单调性1、求证函数y=x ³+x 在R 上是增函数。

2、证明函数xx x f 1)(+=在)1,0(上是减函数。

3、判断函数12)(-+=x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明. （3）利用函数单调性求值域、最值1、 y=-+2x x -6 2、 y=+x 1-x 3、 y=+3-x 2x + 4、 求函数12-=x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值. （4） 利用函数单调性比较大小1、如果函数f(x)=x ²+bx+c,对于任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1),f(2),f(4)的大小。

2、已知函数()f x 在区间()0+∞，上是减函数，那么()21f a a -+与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小 关系为 3、已知f(x)在区间),(+∞-∞上是减函数，a,b ∈R,且a+b ≤0,则下列正确的是：A 、f(a)+f(b) ≤-[f(a)+f(b)]B 、f(a)+f(b) ≤f(-a)+f(-b)C 、f(a)+f(b) ≥-[f(a)+f(b)]D 、f(a)+f(b) ≥f(-a)+f(-b)（5）利用函数单调性求参数值和参数的取值范围1、已知函数3)3(422--+=x a x y 在区间（-∞，-3）上是减函数，则实数a 的取值范围是_________．2、函数32)(2--=ax x x f 在区间]2,1[上单调，求a 的取值范围.3、若函数)(x f y =在),0[+∞上单调递减，且0)()(2<-t f t f ，求t 的取值范围．（6）抽象函数单调性1、 )(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且)()(f y f x f y x -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛。

单调性类型一：三角函数单调区间 1.函数tan 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间为__________． 【答案】5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【解析】试题分析: 因为232πππππ+<-<-k x k ,所以Z k k x k ∈+<<-,656ππππ,故应填答案5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( )A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． 3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)类型二：对数函数单调区间1.函数f(x)＝ln(4＋3x －x2)的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，32 B.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－1，32 D.⎣⎡⎭⎫32，4解析：函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4， ∵e ＞1，∴函数f(x)的单调减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.2.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．类型三：分段函数单调性 1.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>≤--1,log 1,1)2(x x x x a a ,若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2，＋∞)解析：要保证函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增．若f(x)＝(a －2)x －1在区间(－∞，1]上单调递增，则a －2＞0，即a ＞2. 若f(x)＝logax 在区间(1，＋∞)上单调递增，则a ＞1.另外，要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a －2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a 的取值范围为2＜a≤3. 答案：C类型四：利用单调性求参数范围1.已知函数()f x 为定义[]2,3a -在上的偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是_______________．【答案】112m ≤< 【解析】试题分析: 由偶函数的定义可得032=+-a ,则5=a ,因为01)1(22,01222>+-=+->+m m m m ,且)22()22(),1()1(2222+-=-+-+=--m m f m m f m f m f ,所以322122≤+-<+m m m ,解之得112m ≤<.故应填答案112m <. 2.已知y ＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若f(m －1)＜f(1－2m)，则m 的取值范围是__________．解析：依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2－2＜1－2m ＜2m －1＜1－2m ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜3－12＜m ＜32m ＜23⇒－12＜m ＜23.答案：⎝⎛⎭⎫－12，233.已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 答案：(－∞，1] 4.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1. 又∵函数g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上也是减函数，∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1]．5.若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23.答案：⎝⎛⎦⎤12，23 类型五：范围问题1.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足不等式f (1)<f (lg x10)的x 的取值范围是________. 押题依据 利用函数的单调性、奇偶性求解不等式是高考中的热点，较好地考查学生思维的灵活性.答案 (0,1)∪(100，＋∞) 解析 由题意得，f (1)<f (|lgx 10|)⇒1<|lg x 10|⇒lg x 10>1或lg x10<－1⇒x >100或0<x <1.2.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，32解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)>f (2)，∴2|a －1|<2＝212，∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <32.3.设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 答案 (－∞，3]解析 由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，又因为f (x )＝x |x －a |，所以当a ≤0时，结论显然成立，当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以0<a ≤3. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，3].类型六：综合题1.（作图）已知f(x)是定义在实数集R 上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于( ) A ．{x|x≤0或1≤x≤4} B ．{x|0≤x≤4} C ．{x|x≤4} D ．{x|0≤x≤1或x≥4}解析：画出函数f(x)和g(x)的草图如图，由图可知当f(x)g(x)≥0时，x 的取值范围是x≤0或1≤x≤4，即{x|f(x)g(x)≥0}＝{x|x≤0或1≤x≤4}，故选A.2.函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0的解集．（数形结合）解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0. 又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0＝f (1)，∴⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎫x －12>0，x ⎝⎛⎭⎫x －12<1，即0<x ⎝⎛⎭⎫x －12<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0. f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0＝f (－1)，∴⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎫x －12<0，x ⎝⎛⎭⎫x －12<－1.∴x ⎝⎛⎭⎫x －12<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1＋174或1－174<x <0. 3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．答案：B4.如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3]解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．答案：D6.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，所以当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3＋log a2≥4.解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．答案：(1,2]7.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝|x －a |－a (a ∈R ).若∀x ∈R ，f (x ＋2 016)>f (x )，则实数a 的取值范围是_________. 数形结合当a ＝0时，f (x )＝x ，x ∈R ，满足条件；当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >0，0，x ＝0，x ＋2a ，x <0为R 上的单调递增函数，也满足条件；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >a ，－x ，－a ≤x ≤a ，x ＋2a ，x <－a ，要满足条件，需4a <2 016 ，即0<a <504， 综上实数a 的取值范围是a <504.。