北京市人大附中2019届高考数学信息卷(三)文(含解析)

北京市人大附中高三高考信息卷（三）数学试卷（理）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知全集集合,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由全集及，求出补集，找出集合的补集与集合的交集即可.，集合，，又，故选B.2.已知函数则“”是“函数在上单调递增”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，f(x)在上满足f(x)=2x，单调递增,满足题意；又由2x＝x2，x∈[0，+∞），解得x＝2或4．当时，2x x2，函数f（x），函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，满足题意，但不满足∴“a≤0”是“函数f（x）在[0，+∞）上单调递增”的充分不必要条件．故选：A．3.已知函数,若存在,使得,则a 的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】当x ≤2时，log 2f （x）≤log 22，即﹣1≤f （x）≤1，则f （x）的值域为[﹣1，1]，当x≤2时，2a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为[1+a，4+a]，若存在，使得f（x1）＝g（x2），则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅，若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅，则1+a＞1或4+a＜﹣1，得a＞0或a＜﹣5，则当[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣5，0]，故选：A．4.在三角形ABC中,,则（）A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】由正弦定理得或，选D.5.若复数,当时,则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】由题，当时,所以复数在复平面所对应的点为在第三象限故选C6.已知满足约束条件若目标函数的最大值是,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】约束条件作出可行域如图三角形区域，可得A（1，1），B（4，﹣2），当m＝0时，显然不符题意；当m＜0时，代入A（1，1）可得m+1＝6，可得m＝5，舍去；当m＞0时，代入（1，1）若取最大，可得m+1＝6，解得m＝5；代入（4，﹣2）可得4×5﹣2＝18＞6，则m＝5舍去；代入（4，﹣2）若取最大，可得4m﹣2＝6，解得m＝2，代入（1，1），可得2+1＝3＜6成立，综上可得m＝2．故选：C．7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积及底面面积，则答案可求．由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是长方形，AB=2，AD=1，侧面P AB⊥底面ABCD，且∠P AB=90°，P A=2，则S四边形ABCD=2×1=2，，，，∴该四棱锥的所有面中最大面的面积是．故选：B．8.已知点,.若椭圆上存在点,使得为等边三角形,则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】过点C做x轴垂线，垂足为D，根据正三角形性质可知D为A，B的中点，C坐标为（1，），C点的坐标代入椭圆方程得，解得m＝6，所以椭圆的离心率为：．故选：C ．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年北京市人大附中高考信息卷（三）文科数学试题一、选择题:在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式得集合A，再求并集的结果.【详解】因为，所以，选D.【点睛】本题考查一元二次不等式解集以及并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性与单调性逐一判断选择.【详解】是奇函数在区间上单调递减；是偶函数在区间上单调递增；是偶函数在区间上单调递增；是偶函数又在区间上单调递减；综上选D.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.3.设，为非零向量,则“∥”是“与方向相同”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量关系概念进行判断选择.【详解】因为，为非零向量,所以∥时与方向相同或相反，因此“∥”是“与方向相同”的必要而不充分条件，选B.【点睛】本题考查充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.4.在三角形ABC中,为中点,为中点,设,,若,则的值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件将用 ,表示，再根据平面向量基本定理得值，即得结果.【详解】因为,所以，，选B.【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查基本分析求解能力，属基础题.5.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先作可行域，再根据三角形面积公式求结果.【详解】作可行域，为如图所示等腰直角三角形OAB，由，得. 所以其面积为，选C.【点睛】本题考查可行域，考查基本分析求解能力，属基础题.6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，该三棱锥底面是等腰三角形，底边长为4，底边上的高为4，三棱锥的高为2．故选B．7.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是A. DB. EC. FD. A【答案】B【解析】分析：利用相关系数的定义性质分析得解.详解：因为相关系数的绝对值越大，越接近1，则说明两个变量的相关性越强.因为点E到直线的距离最远，所以去掉点E, 余下的个点所对应的数据的相关系数最大.点睛：本题主要考查回归直线和相关系数，相关系数的绝对值越大，越接近1，则说明两个变量的相关性越强.8.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，，）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是( ) A. 等于12.5 B. 12.5到12.6之间 C. 等于12.6 D. 大于12.6【答案】D 【解析】 【分析】根据题中定义计算行驶100公里的耗电量，即得结果. 【详解】由题意得行驶100公里的耗电量为，所以选D.【点睛】本题考查新定义，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题.9.已知,且满足,则的最大值为_______【答案】【解析】分析：根据题意，由对数的运算性质可得，结合基本不等式的性质可得，进而结合对数的运算性质分析可得答案. 详解：根据题意，，又，，且，则，则有，即得最大值为.故答案为：.点睛：基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．10.圆的圆心到直线的距离为_______【答案】【解析】 【分析】根据点到直线距离公式求解. 【详解】圆的圆心(2,1)到直线的距离为.【点睛】本题考查点到直线距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11.双曲线的焦距是_______;若圆与双曲线的渐近线相切,则_______【答案】(1). 10(2).【解析】【分析】根据双曲线标准方程求基本量，再根据直线与圆相切得圆心到渐近线距离等于半径得结果.【详解】因为双曲线，所以焦距是10；因为渐近线方程为，即，因此圆心到渐近线距离为，因为圆与双曲线的渐近线相切,所以.【点睛】本题考查双曲线焦距、渐近线以及直线与圆相切，考查基本分析求解能力，属基础题.12.血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值．（）①记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_______；②记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_______【答案】(1). (2).【解析】【分析】①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】①设,则，由于,,所以,,即最大；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经历的时间最长，所以中最大的是【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.13.已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则函数的值域是_______．【答案】【解析】分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数=，当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．三、解答题.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！北京市人大附中2019届高考信息卷(二)文科数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知复数满足，则复数在复平面内表示的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化为的形式，由此确定所在象限.【详解】依题意，对应点在第一象限，故选A. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点所在的象限，属于基础题.2.已知，则在，，，中最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可以比较四个数的大小，进而得到在，，，的最大值．【详解】∵，∴y＝和y＝均为减函数，∴＞，＜，又∵y＝在（0，+∞）为增函数，∴＞，即在，，，中最大值是，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是指数函数的单调性和幂函数的单调性的应用，属于基础题．3.已知函数的最小正周期为，其图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则的单调递增区间为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】利用函数的周期为可求得，再求出函数图象平移后的解析式，由其图象关于轴对称可求得，结合三角函数性质即可求得的增区间，问题得解。

【详解】由的最小正周期为，所以，的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为，因其图象关于轴对称，所以，，因为，则，所以，由，，得，.即的单调递增区间为，.故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的图象及其性质等基础知识，考查三角函数图像平移知识及运算求解能力，属于中档题。

4.《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈。

现有一刍甍，其三视图如下图所示，设网格纸上每个小正方形的边长为丈，那么该刍甍的体积为( )A. 立方丈B. 立方丈C. 立方丈D. 立方丈【答案】C【解析】【分析】利用三视图还原为几何体，对几何体切割求解.【详解】根据三视图还原为几何体，如图，把几何体切割，如图，由图可知几何体是由一个三棱柱和两个四棱锥组成的，结合三视图中的数据可得,,所以该刍甍的体积为立方丈.故选C.【点睛】本题主要考查三视图及传统文化，利用三视图求解几何体的体积，一般是先还原成几何体，结合几何体的特点，选用合适的公式求解.5.执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为，则过定点的直线与圆，截得的最短弦长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据程序框图求出，结合点与圆的位置关系，确定最短弦的位置，结合勾股定理求解. 【详解】根据程序框图，第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：；第四次运算：；此时结束循环输出，即.易知点在圆内部，且与圆心的距离为2，由圆的性质可得，当直线与过点的直径垂直时，所得弦长最小.此时弦长为.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和圆的弦长求解，过圆内一点的直线被圆所截得的最长弦是圆的直径，最短弦是与该直径垂直的弦.6.已知数列和的前项和分别为和，且，,，若对任意的 ,恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据和项与通项关系得数列递推关系式，根据等差数列定义以及通项公式得再根据裂项相消法求，最后根据最值得结果.【详解】因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.【点睛】本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.7.已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A. (0，－1) B. C. D. (－1,1)【答案】D【解析】【分析】利用联想到正弦定理，结合椭圆定义找到的关系式，从而求得离心率的范围.【详解】由正弦定理可得：,结合题意可得，所以，根据椭圆的定义可得，所以，，易知.因为椭圆上一点，所以，即，整理得，所以，解得.故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解，求解离心率的值时，一般是构建的等式；求解离心率的范围时，一般是构建的不等关系.8.已知实数满足若恒成立，那么的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，作出不等式组对应的可行域，根据的图象是过点，斜率为的直线，结合图象，即可求解.【详解】由题意,实数满足，即，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数的图象是过点，斜率为的直线，要使得不等式恒成立，即恒成立，结合图象可知，当直线过点时，斜率取得最小值，所以实数的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用，其中解答中正确求解约束条件所对应的不等式组，作出约束条件所表示的平面区域，再根据斜率公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，推理与计算能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

1、填写信息、稳定情绪试卷一发下来，立即忙于答题是不科学的，应先填写信息。

如本答题卡上涂清“试卷类型”写清姓名和准考证号等，这样做不但是考试的要求，更是一剂稳定情绪的良药。

2、总览全卷，区别难易。

打开试卷后，看看哪些是基础题，哪些是中档题，哪些是难题或压轴题，按先易后难的原则，确定解题顺序，逐题进行解答。

力争做到“巧做低档，题全做对；稳做中档题，一分不浪费，尽力冲击高档题，做错也无悔。

”3、认真审题灵活作答审题要做到：一不漏掉题，二不看错题，三要审准题，四要看全题目的条件和结论。

要遵循“审题要慢，做题要快”的原则。

坚决避免因审题不清或审题时走马观花，粗心大意造成失分现象。

如《父辈》看成《父亲》要求介绍漫画，应该是说明文，写成了记叙文。

4、过程清晰，稳中求快，要注意“三要”①要书写清晰，卷面整洁。

特别是数学、理综解题过程要力求完整。

我们提的口号是“争取多写一步”。

文科作文和文综要注意卷面整洁。

②一次成功。

要提高第一次做题的成功率，不要认为反正还得检查而粗枝大叶。

即使查出错误再去纠正，在时间上也是不合算的。

③科学地使用草稿纸。

利用草稿纸也有学问，利用好了能帮助思考，节省时间，储存记忆；反之就要扰乱思维，浪费时间。

使用的方法不应该是先正中间写一写，然后边缘，拐解，最后填空，结果自己都很难看清。

而应该是：一卷面上不写解答过程的题，把过程在草稿纸上演算，标上题号以便检查时用；二是卷面要求写解答过程的题，如果思路很清楚就直接写在卷面上，不必在草稿纸上写一遍又抄一遍，要在草稿纸上标出记号。

四折叠草稿纸也是一种方法。

5、注重策略，减少失误。

①答题顺序策略。

做题是按顺序做还是先易后难做，科学的方法是按顺序做与先易后难相结合。

先把自己有把握的题一次性做好，再逐一攻克难度较大的题。

如文综卷，按顺序仍然是先做容易基础题，先易后难，但由于地理一般给一个空间概念，历史给一个时间线索，政治给予认识，评价等。

如果有的同学看了材料分析后做政治评价比较容易，也可以先做政治题。

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（A ）（–1，1）（B ）（1，2）（C ）（–1，+∞）（D ）（1，+∞）（2）已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（A （B （C ）3（D ）5（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A ）12y x =（B ）y =2x-（C ）12log y x=（D ）1y x=（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（5）已知双曲线2221x y a-=（a >0，则a =（A（B ）4（C ）2（D ）12（6）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10.110-（8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β（B ）4β+4sin β（C ）2β+2cos β（D ）2β+2sin β第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市人大附中2019届高考模拟预测卷三文科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2{|320}A x x x =++=,{2,1,0,1,2}B =--,则A B =（A ）{2,1}-- （B ）{2,1}- （C ）{1,2}（D ）{2,1,0,1,2}--2.设0.21()2a =,2log 3b =,0.32c -=,则（A ） （B ） （C ）（D ）3.设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为π6,则a =（A （B（C ） （D4.如图,半径为1的圆内有一阴影区域,在圆内随机撒入一大把豆子,共n 颗,其中落在阴影区域内的豆子共m 颗,则阴影区域的面积约为 （A ）m n （B ）πm n（C ）n m（D ）πn m5.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的所有面中最大面的面积是 （A ）4 （B ）2 （C（D6.已知实数,x y 满足10,0,0,x y x y +-≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩（A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）[1,)+∞ （D）)+∞ 7.某游戏开始时,有红色精灵m 个,蓝色精灵n 个.游戏规则是:任意点击两个精灵,若两精灵同色,则合并成一个红色精灵,若两精灵异色,则合并成一个蓝色精灵,当只剩一个精灵时,游戏结束.那么游戏结束时,剩下的精灵的颜色 （A ）只与m 的奇偶性有关 （B ）只与n 的奇偶性有关 （C ）与m ,n 的奇偶性都有关 （D ）与m ,n 的奇偶性都无关8.已知函数()sin f x x x =,现给出如下命题:①当(43)x ∈--，时,()0f x ≥; ②()f x 在区间(0,1)上单调递增; ③()f x 在区间(1,3)上有极大值;④存在0M >,使得对任意x ∈R ,都有|()|f x M ≤. 其中真命题的序号是 （A ）①②（B ）②③（C ）②④（D ）③④第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.已知0,0x y >>,且满足4x y +=,则lg lg x y +的最大值为______. 10.阅读如图所示的程序框图,为使输出的数据为40,则①处应填的数字为_______.11.在△ABC 中，已知6BC =，4AC =，3sin 4A =，则B ∠=____. 12.为为绿化生活环境,某市开展植树活动.今年全年植树6.4万棵,计划3年后全年植树12.5万棵.若植树的棵数每年的增长率均为a ,则a =______.13.若不等式log 40a x x +->（0a >且1a ≠）在区间(0,2)内有解，则实数a 的取值范围是. 14.正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,11,24AE BF ==.动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在锐角ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知3cos24C =-． （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =时，求a ．16.（本小题满分13分）数列{}n a 中，141,42a a ==，n ∈N *.在等比{}n a 的通项公式；（I ）求数列6n n b a n =+-，数列{}n b 的前n 项（II ）设和为n S ，若0n S >，求n 的最小值.17．（本小题满分13分）国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：下表记录了我国在改革开放后某市A ，B ，C ，D ，E 五个家庭在五个年份的恩格尔系数.（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率为_____（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）;(Ⅱ)从以上五个家庭中随机选出两个家庭，求这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率;(Ⅲ)如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5. 请写出A，B，C，D，E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）.18.（本小题满分13分）已知3(2,0),(1,)2A P-为椭圆22221(0)x yM a ba b+=>>：上两点，过点P且斜率为,(0)k k k->的两条直线与椭圆M的交点分别为,B C.（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形PABC为平行四边形，求k的值．19.（本小题满分14分）如图1，在矩形ABCD中，2AB AD=，E为DC的中点.以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置，且平面PAE⊥平面ABCE(如图2)．（Ⅰ）求证：EC∥平面PAB；（Ⅱ）求证：BE PA ⊥；（Ⅲ）对于线段PB 上任意一点M ,是否都有PA EM ⊥成立？请证明你的结论.20．（本小题满分14分）已知函数f （x ）=2x 3+3ax 2+1（a ∈R ）．（Ⅰ）当a =0时，求f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）求f （x ）在区间[0，2]上的最小值．图 2PE图 1CBAEDCBA北京市人大附中2019届高考模拟预测卷三文科数学试题参考答案及评分标准一．选择题二．填空题9.2lg 2 10 .3 11.6π12.25% 13.(0,1)(1,2) 14.8 三．解答题15.解：（Ⅰ）因为3cos24C =-，所以2312sin 4C -=-.因为02C π<<，所以sin C =（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin 4C =因为ABC ∆是锐角三角形，所以cos 4C ==.因为2c a =，sin sin a cA C=，所以1sin sin 28A C ==,cos 8A =.所以sin sin[()]sin()sin cos cos sin 8B AC A C A C A C =π-+=+=+=.因为sin sin a bA B =，b = 所以2a =.16.解：（I ）由数列{}n a 为等比数列，且112a =,44a =，得3414a a q ==，解得2q =.则数列{}n a 的通项公式1212n n n a a q --==,n *∈N . ………………..5分（II ） 2662n n n b a n n -=+-=-+102(546)(222)n n S n --=--++-++++(11)2122n n n --=+.当5n ≥时，(11)152n n -≥-，213122n -≥，所以0n S >； 当4n =时，44472102S -⨯+-=<； 当3n =时，33382102S -⨯+-=<；当2n =时，22292102S -⨯+-=<； 当1n =时，111102102S -⨯+-=<. 所以，n 的最小值为5 .………………………..13分17.解：（Ⅰ分(Ⅱ)在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A,B,C 三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭的所有选法为：AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10种，其中至少有一个家庭达到“相对富裕”或更高生活质量的有9种.记至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量为事件M ,则109)(=M P . ---------------------------------------11分 (Ⅲ)生活质量方差最大的家庭是C ，方差最小的家庭是E.---------------------------------------13分18.解：（I ）由题意得222,191.4a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆M 的方程为22143x y +=.又1c ==， 所以离心率12c e a ==. ………………………..5分 （II ）设直线PB 的方程为(0)y kx m k =+>，由22,143y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得222(34)8(412)0k x kmx m +++-=. 当0∆>时，设1122(,),(,)B x y C x y ，则212412134m x k -⋅=+，即21241234m x k -=+. 将3(1,)2P 代入y kx m =+，整理得32m k =-，所以212412334k k x k --=+. 所以2112121292(34)k k y kx m k --+=+=+.所以2222412312129(,)342(34)k k k k B k k ----+++. 同理2222412312129(,)342(34)k k k k C k k +--++++. 所以直线BC 的斜率212112BC y y k x x -==-. 又直线PA 的斜率30121(2)2PABC k k -===--，所以//PA BC . 因为四边形PABC 为平行四边形，所以PA BC =.所以2222412341231(2)3434k k k k k k+----=--++，解得32k =或12. 12k =时，(2,0)B -与A 重合，不符合题意，舍去. 所以四边形PABC 为平行四边形时，32k =. ………………………………13分19.（Ⅰ）在矩形ABCD 中，E 是CD 中点，所以//CE AB ……………………………2分 AB ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB 所以//EC 平面PAB ……………………………4分（Ⅱ）在矩形ABCD 中，=2AB CD ，E 是CD 中点，可得222=AB AE BE +所以BE AE ⊥……………………………..6分又 平面PAE ⊥平面ABCE ，平面PAE ⋂平面ABCE AE =，BE ⊂平面ABCE所以BE ⊥平面PAE ………………………..8分PA ⊂平面PAE所以BE PA ⊥……………………………9分（Ⅲ）对于线段PB 上任意一点M ,都有PA EM ⊥成立.证明如下………………..10分因为矩形ABCD ，所以DA DE ⊥，即PA PE ⊥………………………..11分由（Ⅱ）得BE PA ⊥P ME CB A而BE⊂平面PEB，PE⊂平面PEB，PE BE E⋂=所以PA⊥平面PEB………………………………13分对于线段PB上任意一点M，EM⊂平面PEB20.解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=2x3+3ax2+1，其定义域为R，当a=0时，f（x）=2x3+1，其导数f′（x）=6x2，又由f′（1）=6，f（1）=3，则f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y-3=6（x-1），即6x-y-3=0；（Ⅱ）根据题意，函数f（x）=2x3+3ax2+1，其导数f′（x）=6x2+6ax=6x（x+a），分3种情况讨论：①，当a=0时，f′（x）=6x2≥0，则f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；②，当a＞0时，若f′（x）=6x（x+a）＞0，解可得x＜-a或x＞0，则f（x）的递增区间为（-∞，-a）和（0，+∞），递减区间为（-a，0）；③，当a＜0时，若f′（x）=6x（x+a）＞0，解可得x＜0或x＞-a，则f（x）的递增区间为（-∞，0）和（-a，+∞），递减区间为（0，-a）；综上可得：当a=0时，f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；当a＞0时，f（x）的递增区间为（-∞，-a）和（0，+∞），递减区间为（-a，0）；当a＜0时，f（x）的递增区间为（-∞，0）和（-a，+∞），递减区间为（0，-a）；（Ⅲ）根据题意，分3种情况讨论：①，当-a≤0时，有a≥0，f（x）在[0，2]上递增，此时f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（0）=1，②，当0＜-a＜2时，即-2＜a＜0时，f（x）在[0，-a]上递减，在（-a，2）上递增，此时f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（-a）=a2+1，③，当-a≥2时，即a≤-2时，f（x）在[0，2]上递减，此时f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（2）=17+12a，综合可得：当a≥0时，f（x）的最小值为f（0）=1，当-2＜a＜0时，f（x）的最小值为f（-a）=a2+1，当a≤-2时，f（x）的最小值为f（2）=17+12a．。

2019年北京市高考数学试卷（文科）（解析版）绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =A. （–1，1）B. （1，2）C. （–1，+∞）D. （1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ，∴(1,)A B ⋃=+∞ ，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.2.已知复数z =2+i ，则z z ⋅=A. B. C. 3 D. 5【答案】D【解析】【分析】 题先求得z ，然后根据复数的乘法运算法则即得. 【详解】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..3.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 A. 12y x = B. y =2x - C. 12log y x = D. 1y x= 【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可..【详解】函数122,log x y y x -==， 1y x= 在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.4.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ， 运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ， 运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ， 结束循环，输出=2s ，故选B .【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.5.已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =A. B. 4 C. 2 D. 12【答案】D【解析】【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解.【详解】 ∵双曲线的离心率c e a==，c =，=， 解得12a =， 故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断.【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m 1的星的亮度为E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1 【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg ( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选：A【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.8.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD.2β+2sinβ【答案】B【解析】【分析】阴影部分的面积S=S△P AB+ S1- S△OAB.其中S1、S△OAB的值为定值.当且仅当S△P AB取最大值时阴影部分的面积S取最大值.【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为βr2+S△POB+ S△POA=4β+12|OP||OB|s in（π-β）+12|OP||OA|Sin（π-β）=4β+2Sinβ+2Sinβ=4β+4 Sinβ，故选B.【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

高考数学信息试卷（文科）（一）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.在复平面内与复数z=所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A. B. C. D.2.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且，则当ω取最小值时，函数f（x）的解析式为（）A. B.C. D.3.实数x，y满足不等式组，若z=3x+y的最大值为5，则正数m的值为（）A. 2B.C. 10D.4.数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）A. 5.5B. 5C. 6D. 6.55.从写有电子字体的“2”，“0”，“1”，“9”的四张卡片（其中“2”可作“5”用，“9”可作“6”用），随机抽出两张卡片，则能使得两张卡片的数字之差的绝对值等于1的概率为（）A. B. C. D.6.如图，在下列三个正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面．在各正方体中，直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是（）A. BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②③B. BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有①C. .BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②D. BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有③7.已知函数在上单调递增，且，则实数m的取值范围为（）A. B. C. [1，+∞） D.8.数列{a n}满足：对任意的n∈N+且n≥3，总存在i，j∈N+，使得a n＝a i+a j（i≠j，i＜n，j＜n），则称数列{a n}是“T数列”．现有以下四个数列：①{2n}；②{n2}；③{3n}；④{（）n﹣1}．其中是“T数列”的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9.已知α锐角，且cos（）=，则tanα=______．10.在边长为2的等边三角形ABC中，，则向量在上的投影为______．11.复数z满足=2-i（i为虚数单位），则z的模是______．12.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为则它的一条渐近线被圆（x+4）2+y2=8所截得的弦长等于______．13.如图，已知四面体ABCD的棱AB∥平面α，且AB=，其余的棱长均为1．四面体ABCD以AB所在的直线为轴旋转x弧度，且始终在水平放置的平面α上方．如果将四面体ABCD在平面α内正投影面积看成关于x的函数，记为S（x），则函数S （x）的最小值为______；S（x）的最小正周期为______．三、解答题（本大题共7小题，共85.0分）14.程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S=1320，那么判断框中应填入______15.已知数列的前n项和为,且．求数列的通项公式；设,数列的前n项和为,求的最小值及取得最小值时n 的值．16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a2＝c2﹣b2．（1）证明：＝﹣2；（2）若cos A＝，且△ABC的面积为，求c．17.已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻1月1日7：364月9日5：467月9日4：5310月8日6：171月21日7：314月28日5：197月27日5：0710月26日6：362月10日7：145月16日4：598月14日5：2411月13日6：563月2日6：476月3日4：479月2日5：4212月1日7：163月22日6：156月22日4：469月20日5：5912月20日7：31日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻2月1日7：232月11日7：132月21日6：592月3日7：222月13日7：112月23日6：572月5日7：202月15日7：082月25日6：552月7日7：172月17日7：052月27日6：522月9日7：152月19日7：022月28日6：49（）从表的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7：00的概率；（2）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7：31化为7）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为s2，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为s*2，判断s2与s*2的大小．（只需写出结论）18.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD．（2）若，求几何体ABCDEF的体积．19.已知M是直线l：x=-1上的动点，点F的坐标是（1，0），过M的直线l′与l垂直，并且l′与线段MF的垂直平分线相交于点N．（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程；（Ⅱ）设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A′，点P的坐标为（2，0），直线AP与曲线C的另一个交点为B（B与A′不重合），是否存在一个定点T，使得T，A′，B三点共线？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．20.已知函数（m∈R，m＞0）（1）若m=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若y=f（x）在上有零点，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵复数z===1+i，∴复数的共轭复数是1-i，就是复数z=所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数；故选：B．用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到复数的共轭复数，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到选项．本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．2.【答案】C【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，可得y=sin（ωx-+φ）的图象；∵所得图象关于y轴对称，∴-+φ=kπ+，k∈Z．∵=sin（π+φ）=-sinφ，即sinφ=，则当ω取最小值时，φ=，∴-=kπ+，取k=-1，可得ω=4，∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（4x+），故选：C．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由，求出φ，再根据所得图象关于y轴对称求出ω，可得f（x）的解析式．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．3.【答案】A【解析】解：由题意作出实数x，y满足不等式组的平面区域，将z=3x+y化为y=-3x+z，z相当于直线y=-3x+z的纵截距，故结合图象可得，，解得，x=1，y=2；故m=2；故选：A．由题意作出其平面区域，将z=3x+y化为y=-3x+z，z相当于直线y=-3x+z的纵截距，从而解方程可求出m，即可．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为V=V三棱柱-2V三棱锥=×3×1×4-2×××3×1×1=5（立方丈）．故选：B．根据三视图知该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，结合图中数据计算该几何体的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型．先确定从四张卡片中随机抽出两张卡片所包含的基本事件总数，再列举出“能使得两张卡片的数字之差的绝对值等于1”所包含的基本事件，进而可求出概率．【解答】解：从四张卡片中随机抽出两张卡片所包含的基本事件总数为C42=6；由题意可知：满足“能使得两张卡片的数字之差的绝对值等于1”所包含的基本事件有：（2，1），（0，1），（2，9），共3个基本事件；故所求概率为P==．故选：D．6.【答案】A【解析】解：①中利用GE∥BD，EF∥BB1，可证得平面EFG∥平面BB1D1D，从而确定BD1∥平面EFG；②中利用EF⊥A1B则EF⊥BD1；EG⊥AD1，则EG⊥BD1，可得BD1⊥平面EFG；③设棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系，则B（2，2，0），D1（0，0，2），E（1，0，0），F（2，1，2），G（0，2，1），∴，，，∴=-2-2+4=0，=2-4+2=0，∴BD1⊥EF，BD1⊥EG，∴BD1⊥平面EFG，故选：A．①利用平面EFG与平面BB1D1D可确定BD1∥平面EFG；②利用三垂线定理可证得EF⊥BD1，EG⊥BD1，从而确定BD1⊥平面EFG；③建立空间坐标系，利用，可得BD1⊥EF，BD1⊥EG，得BD1⊥平面EFG．此题考查了线面平行，面面平行，线面垂直，空间向量等，综合性较强，难度适中．7.【答案】C【解析】解：函数=-cos2x•（-cosθ）-sin2x sinθ=cos（2x+θ），∵函数f（x）在上单调递增，∴函数的最大值为f（-）=cos（θ-）≤1，若恒成立，则函数的最大值为f（-）=cos（θ-）≤m恒成立，而cos（θ-）≤1，∴只要1≤m，故选：C．先利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据正弦函数的最大值求得f（x）的最大值小于或等于1，可得实数m的取值范围．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最大值，函数的恒成立问题，属于中档题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查数列中的新定义，属于较难题.由题意结合“T数列”的定义，考查所给的数列是否满足定义即可，其中满足定义的需要给出满足题意的i，j数值，不满足题意的举出反例即可．【解答】解：令a n=2n，则a n=a1+a n-1，所以数列{2n}是“T数列”；令，则a1=1，a2=4，a3=9，所以a3≠a1+a2，所以数列{n2}不是“T数列”；令，则a1=3，a2=9，a3=27，所以a3≠a1+a2，所以数列{3n}不是“T数列”；令，则=a n-1+a n-2，所以数列{}是“T数列”综上，“T数列”的个数为2．故选：C．9.【答案】【解析】解：由cos（）=，得sinα=，∵α是锐角，∴α=60°，则tanα=．故答案为：．由已知利用诱导公式求得α，进一步得到tanα的值．本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题．10.【答案】-【解析】解：∵，∴D为BC的中点，∴=，∴==-2+2×2×cos120°=-3，||===，则向量在上的投影为==-，故答案为：-．由已知可得，D为BC的中点，然后结合向量的基本定理及向量的数量积的性质即可求解．本题主要考查了平面向量的基本定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．11.【答案】5【解析】解：由=2-i，得z=（2-i）（1+2i）=2+4i-i+2=4+3i，∴|z|=．故答案为：5．先将原式化为z=（2-i）（1+2i），化简之后，再由模的计算公式，即可求出结果．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．12.【答案】4【解析】解：因为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，即=，所以=，所以=，故双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±3y=0，又圆（x+4）2+y2=8的圆心为（-4，0），半径r为2，所以圆心到任一条渐近线的距离为d==2，因此，弦长为2=2=4．故答案为：4．根据双曲线的离心率先求出双曲线的渐近线方程，先求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长即可．本题主要考查圆的弦长，熟记双曲线的简单性质，以及几何法求弦长的公式即可，属于常考题型．13.【答案】π【解析】解：取AB的中点M，连结CM，DM，∵DA=DB，CA=CB，∴AB⊥CM，AB⊥DM，∴AB⊥平面CDM，∴AB⊥CD．∵AB=，AC=BC=CD=1，∴AC⊥BC，CM=DM=，∴CM⊥DM，∴M到CD的距离为．∴当CD⊥α时，S（x）取得最小值=，由三棱锥的对称性可知S（x）的最小正周期为π．故答案为：，π．设M为AB的中点，求出M到CD的距离，即可得出S（x）的最小值，根据三棱锥的对称性得出S（x）的周期．本题考查了棱锥的几何特征，投影面积的计算，属于中档题．14.【答案】K＜10？【解析】解：第一次执行循环体后S=12，K=11；第二次执行循环体后S=132，K=10；第三次执行循环体后S=1320，K=9；然后退出循环体，输出后S=1320．所以判断框中应填入K＜10？．故答案为：K＜10？．根据程序框图，列出每次执行循环体后得到的S、K的值，当S=1320时退出循环体，这时就可以得出判断框中的条件．本题考查了程序框图的三种结构，解题的关键是列出每次执行循环体后得到的S与K值．15.【答案】解：（1）数列{a n}满足S n=2a n-2，①当n=1时，有S1=2a1-2=a1，变形可得a1=2，当n≥2时，有S n-1=2a n-1-2，②，①-②可得：a n=2a n-2a n-1，变形可得：a n=2a n-1，则数列{an}是以a1=2为首项，公比为2的等比数列，故a n=2n，（2）根据题意，b n=2log2a n-11=2log22n-11=2n-11，当n=1时，b1=2-11=-9，数列{b n}为等差数列，且首项b1=-9，公差d=2；则T n===n2-10n，则当n=5时，T n取得最小值，且其最小值为-25．【解析】（1）根据题意，由S n=2a n-2，令n=1可得a1的值，进而可得n≥2时，有S n-1=2a n-1-2，两式联立分析可得a n=2a n-1，则数列{an}是以a1=2为首项，公比为2的等比数列，据此分析可得答案；（2）根据题意，b n=2log2a n-11=2log22n-11=2n-11，即可得{b n}为等差数列，结合等差数列的前n项和公式分析可得T n，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查数列的递推公式，涉及数列的前n项和的性质，关键是求出数列{a n}的通项公式．16.【答案】（1）证明：△ABC中，3a2=c2-b2，则======-2；（2）解：由cos A=，A∈（0，π），∴sin A==；由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-bc，∴3a2=3b2+3c2-bc=c2-b2，∴2b2+c2=bc；…①又△ABC的面积为S=bc sin A=bc•=，∴bc=；…②又3a2=c2-b2，∴c＞b，…③由①②③，解得b=1，c=．【解析】（1）根据题意，利用三角恒等变换和正弦、余弦定理，计算的值即可；（2）由cos A求得sin A的值，利用余弦定理和△ABC的面积公式，列方程组求得c的值．本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）记事件A为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”，在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7：00，∴P（A）==．（2）由表1所有升旗时刻对应数据比较集中，而表2所有升旗时刻对应数据比较分散，可得s2＜s*2．【解析】（1）在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7：00，根据古典概型概率公式可估计这一天的升旗时刻早于7：00的概率；（2）观察表格数据可得，表2中所有升旗时刻对应数据较分散，可得其大小关系．本题考查了随机变量的数学期望、相互独立与相互对立事件的概率计算公式、方差的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∴AC⊥平面BEFD，∴平面ACF⊥平面BEFD；（2）解：设AC与BD的交点为O，AB=a（a＞0），由（1）得AC⊥平面BEFD，∵BE⊥平面ABCD∴BE⊥BD，∵DF∥BE，∴DF⊥BD，∴BD2=EF2-（DF-BE）2=8，∴∴，∵，∴∴，∴OA2=AB2-OB2=3，∴∴．（Ⅰ）证明AC⊥平面BEFD，利用面面垂直的判定定理证明平面ACF⊥平面BEFD；【解析】（Ⅱ）求出AB长，利用体积公式求几何体的体积．本题主要考查空间面面垂直的判定以及空间几何体的体积，要求熟练掌握相应的判定定理．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲线C为抛物线，焦点坐标为F（1，0），准线方程为l：x=-1，∴点N的轨迹C的方程y2=4x；（Ⅱ）设A（，a），则A′（，-a），直线AP的斜率k AP==，直线AB的方程y=（x-2），由，整理得：ay2-（a2-8）y-8a=0，设B（x2，y2），则ay2=-8，则y2=-，x2=，则B（，-），又A′（，-a），∴A′B的方程为y+a=-（x-），令y=0，则x=-2，直线A′B与x轴交于定点T（-2，0），因此存在定点（-2，0），使得T，A′，B三点共线．【解析】（Ⅰ）由题意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲线C为抛物线，焦点坐标为F （1，0），点N的轨迹C的方程y2=4x；（Ⅱ）设A（，a），则A′（，-a），直线AB的方程y=（x-2），代入抛物线方程，求得B的坐标，A′B的方程为y+a=-（x-），则令y=0，则x=-2，直线A′B与x轴交于定点T（-2，0），即可求得存在一个定点T（-2，0），使得T，A′，B三点共线本题考查抛物线的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率及方程，考查计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）m=2时，f（1）=，f′（x）=，∴f′（1）=1，故所求切线方程为y+=x-1，即2x-2y-3=0；（2）依题意，f′（x）=．①当0＜m≤e时，f′（x）≤0，f（x）在[]上单调递减，则，解得e，故此时m=e；②当m≥e2时，f′（x）≥0，f（x）在[]上单调递增，则，即，此不等式组无解；③当e＜m＜e2时，若x∈（），f′（x）＞0，f（x）单调递增，若x∈（]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，由m＞e时，＞0，故只需f（e）≤0，即m-≤0，m．故此时e．综上，m的取值范围是[e，]．【解析】（1）m=2时，求出f（1）及f′（x），得到f′（1），再由直线方程的点斜式求解；（2）由f′（x）=，对m分类分析函数f（x）在上的单调性，再由y=f（x）在上有零点列关于m的不等式组求解．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，是中档题．。

2019年北京市人大附中高考数学模拟试卷（文科）（三）（4月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合A ={x |x 2+3x +2=0}，B ={-2，-1，0，1，2}，则A ∩B =（ ）A. {−2,−1}B. {−2,1}C. {1,2}D. {−2,−1,0，1，2}2. 设a =(12)0.2，b =log 23，c =2-0.3，则（ ）A. b >c >aB. a >b >cC. b >a >cD. a >c >b3. 设双曲线x 2a2−y 2=1(a ＞0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则a =（ ） A. √33B. 2√33C. √3D. 2√34. 如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n 颗，其中，落在阴影区域内的豆子共m 颗，则阴影区域的面积约为（ ）A. mn B. nm C.mπnD. nπm5. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（ ）A. 4B. √5C. 2D. √26. 已知实数x ，y 满足{x +y −1≥0x ≥0y ≥0，则√x 2+y 2的取值范围是（ ）A. (0,1)B. (0,1]C. [1,+∞)D. [√22,+∞)7. 某游戏开始时，有红色精灵m 个，蓝色精灵n 个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色（ ） A. 只与m 的奇偶性有关 B. 只与n 的奇偶性有关 C. 与m ，n 的奇偶性都有关 D. 与m ，n 的奇偶性都无关8. 已知函数f （x ）=x sinx ，现给出如下命题：①当x ∈（-4，-3）时，f （x ）≥0； ②f （x ）在区间（0，1）上单调递增； ③f （x ）在区间（1，3）上有极大值；④存在M ＞0，使得对任意x ∈R ，都有|f （x ）|≤M ． 其中真命题的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知x ＞0，y ＞0，且满足x +y =4，则lg x +lg y 的最大值为______．10. 阅读如图所示的程序框图，为使输出的数据为40，则①处应填的数字为______．11. 在△ABC 中，已知BC =6，AC =4，sinA =34，则∠B =______．12. 为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5万棵．若植树的棵数每年的增长率均为a ，则a =______．13. 若不等式log a x +x -4＞0（a ＞0且a ≠1）在区间（0，2）内有解，则实数a 的取值范围是______． 14. 正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE =12，BF =14．动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos2C =−34．（Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当c =2a ，且b =3√2时，求a ．16. 在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=4，n ∈N *．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+n-6，数列{b n}的前n项和为S n，若S n＞0，求n的最小值．17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：恩格尔系数（%）生活质量大于等于60贫穷[50，60）温饱[40，50）小康[30，40）相对富裕[20，30）富裕小于20极其富裕下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数．年份家庭恩格尔系数（%）A B C D E1978年57.752.562.361.058.81988年54.248.351.955.452.61998年44.741.643.549.047.42008年37.936.529.241.342.72018年28.627.719.835.734.2（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率为______（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）；（Ⅱ）从以上五个家庭中随机选出两个家庭，求这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率；（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．请写出A，B，C，D，E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）．18.已知A(−2，0)，P(1，32)为椭圆M：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上两点，过点P且斜率为k，-k（k＞0）的两条直线与椭圆M的交点分别为B，C．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形PABC为平行四边形，求k的值．19.如图1，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为DC的中点．以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置，且平面PAE⊥平面ABCE（如图2）．（Ⅰ）求证：EC∥平面PAB；（Ⅱ）求证：BE⊥PA；（Ⅲ）对于线段PB上任意一点M，是否都有PA⊥EM成立？请证明你的结论．20.已知函数f（x）=2x3+3ax2+1（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）求f（x）在区间[0，2]上的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A={-1，-2}；∴A∩B={-2，-1}．故选：A．先解出集合A={-1，-2}，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵，且2-0.2＜20=1，而b=log23＞log22=1．∴b＞a＞c．故选：C．把a，c化为同底数，再由指数函数与对数函数的单调性比较大小．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，是基础题．3.【答案】C【解析】解：双曲线的一条渐近线方程y=x，由题意可得=tan =，∴a=，故选：C．由题意可得=tan =，解得即可．本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题4.【答案】C【解析】解：豆子落入阴影区域的概率p==，∴S阴影=•π．故选：C．根据面积比近似等于豆子个数比得出阴影面积．本题考查了模拟法计算概率，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是长方形，AB=2，AD=1，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=90°，PA=2，则S四边形ABCD=2×1=2，，，，．∴该四棱锥的所有面中最大面的面积是．故选：B．几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积及底面面积，则答案可求．本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥的面积计算，关键是由三视图还原原几何体，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：实数x，y满足表示的可行域如图：的几何意义是可行域内的点与坐标原点的距离，可知P 到原点的距离最小，即=．则的取值范围是：[，+∞）．故选：D．先画出可行域，利用目标函数几何意义转化求解即可．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：每碰一次，就少一个精灵，所以当最后只剩一个精灵时，碰了m+n-1次，任意两个精灵相碰，有三种情况：第一种情况：红色+红色→红色，此时红色精灵减少1个，蓝色精灵数量不变；第二种情况：蓝色+蓝色→红色，此时红色精灵增加1个，蓝色精灵减少2个；第三种情况：红色+蓝色→蓝色，此时红色精灵减少1个，蓝色精灵数量不变；根据以上分析可知，每碰一次，蓝色精灵的数量要么不变，要么减少2，也就是说，每碰一次蓝色精灵数量的奇偶性不变．开始时，蓝色精灵有n个，当n是奇数时，最后剩下的只能是一个蓝色精灵；当n是偶数时，最后剩下的只能是一个红色精灵．∴游戏结束时，剩下的精灵的颜色只与n的奇偶性有关．故选：B．推导出每碰一次，蓝色精灵的数量要么不变，要么减少2，从而每碰一次蓝色精灵数量的奇偶性不变．开始时，蓝色精灵有n个，当n是奇数时，最后剩下的只能是一个蓝色精灵；当n是偶数时，最后剩下的只能是一个红色精灵．本题考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.【答案】B【解析】解：当x∈（-4，-π）时，sinx＞0，f（x）＜0，故①为假命题；f′（x）=sinx+xcosx，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在区间（0，1）上单调递增，故②为真命题；∵f′（1）=sin1+cos1＞0，f′（3）=sin3+3cos3＜0，且f′（x）在在区间（1，3）上连续，故存在x0∈（1，3），使x∈（1，x0）时，f′（x）＞0，x∈（x0，3）时，f′（x）＜0，故当x=x0时，f（x）取极大值，故③为真命题；由函数f（x）=xsinx不存在最大值和最小值，故不存在M＞0，使得对任意x∈R，都有|f（x）|≤M．故④为假命题，故选：B．分析函数f（x）=xsinx的图象和性质，进而逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，难度中档．9.【答案】lg4【解析】解：根据题意，lgx+lgy=lgxy，又由x＞0，y＞0，且x+y=4，则xy≤（）2=4；则有lgx+lgy=lgxy≤lg4，即lgx+lgy的最大值为lg4．故答案为：lg4．根据题意，由对数的运算性质可得lgx+lgy=lgxy，结合基本不等式的性质可得xy≤（）2=4，进而结合对数的运算性质分析可得答案．本题考查基本不等式的应用，关键是掌握基本不等式的变形．10.【答案】3【解析】解：当S=1时，应不满足输出的条件，故S=4，n=2；当S=4时，应不满足输出的条件，故S=13，n=3；当S=13时，应不满足输出的条件，故S=40，n=4；当S=40时，应满足输出的条件，故进行循环的条件应为n≤3，故答案为：3．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11.【答案】π6【解析】解：∵BC=6，AC=4，，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵AC＜BC，∴可得：B为锐角，可得：B=．故答案为：．由已知利用正弦定理可求sinB的值，结合大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，属于基础题．12.【答案】25%【解析】解：由题意可知6.4（1+a）3=12.5，∴（1+a）3=，∴1+a=，故a==25%．故答案为：25%．列方程求出a即可．本题考查了指数函数模型的应用，属于基础题．13.【答案】（0，1）∪（1，√2）【解析】解：当a＞1时，函数y=log a x+x-4是增函数，可得f（2）=log a2+2-4＞0．解得1＜a．当a∈（0，1）时，x→0时，f（x）＞0，x→2时，f（2）=log a2+2-4＜0，满足题意，所以实数a的取值范围是（0，1）∪（1，）．故答案为：（0，1）∪（1，）通过a＞1与0＜a＜1，转化求解不等式log a x+x-4＞0（a＞0且a≠1）在区间（0，2）内有解，列出不等式组，即可求解实数a的取值范围．本题考查分段函数的应用，函数与不等式的关系，考查转化思想以及计算能力．14.【答案】6【解析】解：如图所示，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为6次．故答案为：6．本题应对方法是数形结合，将正方形ABCD画出来，依据题意作出EF，再借助对称依次作出反射的情形，最后可得到第一次回到点E反弹的次数．本题主要考查平面解析几何，直线与直线的对称问题，精确作图，即可得出答案．15.【答案】解：（Ⅰ）由已知可得1-2sin2C=-34．所以sin2C=78．因为在△ABC中，sin C＞0，所以sin C=√144．（6分）（Ⅱ）因为c=2a，所以sin A=12sin C=√148．因为△ABC是锐角三角形，所以cos C=√24，cos A=5√28．所以sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C=√148×√24+5√28×√144=3√78．由正弦定理可得：3√7sinB=asinA，所以a=√14．（13分）说明：用余弦定理也同样给分．【解析】（Ⅰ）利用二倍角公式cos2C=1-2sin2C求解即可，注意隐含条件sinC＞0；（Ⅱ）利用（1）中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sinA，cosA，cosC的值，又由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC求出sinB的值，最后由正弦定理求出a的值．此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数及三角恒等变换等知识点，同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变形的技能．16.【答案】解：（Ⅰ）由数列{a n}为等比数列，且a1=12，a4=4，得a4=a1q3=4，∴12⋅q3=4，即：q3=8．解得q=2．∴数列{a n}的通项公式a n=a1q n−1=2n−2，n∈N∗\（Ⅱ）由题意，可知：b n=a n+n−6=n−6+2n−2，∴S n=b1+b2+…+b n=（-5+2-1）+（-4+20）+…+（n-6+2n -2）∴S n=(−5−4+⋯+n−6)+(2−1+20+…+2n-2）=n(n−11)2+2n−12．当n≥5时，n(n−11)2≥−15，2n−12≥312，∴S n＞0；当n=4时，S4=−4×7+24−12＜0；当n=3时，S3=−3×8+23−12＜0；当n=2时，S2=−2×9+22−12＜0；当n=1时，S1=−1×10+21−12＜0．∴n的最小值为5．【解析】本题第（Ⅰ）题可根据等比数列的定义求出数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先求出数列{b n}的一般项，通过对一般项的观察发现数列{b n}是一个等差数列加上一个等比数列，在求数列{b n}的前n项和为S n可将等差数列和等比数列分别求和再相加，然后再判断S n＞0时n的最小值．本题第（Ⅰ）题主要考查等比数列的基本概念；第（Ⅱ）题求数列{b n}的前n项S n，时采用的是裂项法分别求和．本题属中档题．17.【答案】15【解析】解：（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，基本事件总数n=5，在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本整个数m=1，∴在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率p=．故答案为：．（4分）（Ⅱ）在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A，B，C三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭的所有选法为：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种，其中至少有一个家庭达到“相对富裕”或更高生活质量的有9种．记至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量为事件M，则这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率．（11分）（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．则得到：家庭1978年1988年1998年2008年2018年A 1 1 2 3 4B 1 2 2 3 4C 0 1 2 4 5D 0 1 2 2 3E 1 1 2 2 3生活质量方差最大的家庭是C，方差最小的家庭是E．（13分）（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，基本事件总数n=5，在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本整个数m=1，由此能求出在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率．（Ⅱ）在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A，B，C三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭，利用列举法能求出这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率．（Ⅲ）生活质量方差最大的家庭是C，方差最小的家庭是E．本题考查概率、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】（共13分）解：（I）由题意得{a=2，1a2+94b2=1.解得{a=2，b=√3.所以椭圆M 的方程为x 24+y 23=1．又c =√a 2−b 2=1，所以离心率e =ca =12．………………………..（5分） （II ）设直线PB 的方程为y =kx +m （k ＞0），由{y =kx +m ，x 24+y 23=1消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx +（4m 2-12）=0．当△＞0时，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）， 则1⋅x 1=4m 2−123+4k 2，即x 1=4m 2−123+4k 2．将P(1，32)代入y =kx +m ，整理得m =32−k ，所以x 1=4k 2−12k−33+4k 2．所以y 1=kx 1+m =−12k 2−12k+92(3+4k 2)．所以B(4k 2−12k−33+4k 2，−12k 2−12k+92(3+4k 2))． 同理C(4k 2+12k−33+4k 2，−12k 2+12k+92(3+4k 2))．所以直线BC 的斜率k BC =y 2−y1x 2−x 1=12．又直线PA 的斜率k PA =32−01−(−2)=12=k BC ，所以PA ∥BC ． 因为四边形PABC 为平行四边形，所以|PA |=|BC |． 所以|4k 2+12k−33+4k 2−4k 2−12k−33+4k 2|=|1−(−2)|，解得k =32或12.k =12时，B （-2，0）与A 重合，不符合题意，舍去．所以四边形PABC 为平行四边形时，k =32．………………………………（13分） 【解析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程组，求解a ，b ，即可求椭圆M 的方程及离心率；（Ⅱ）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出C 、D 坐标，通过四边形PABC 为平行四边形，转化求k 的值．本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 19.【答案】（本小题14分）证明：（Ⅰ）在矩形ABCD 中，E 是CD 中点，所以CE ∥AB ……………………………（2分）AB ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB 所以EC ∥平面PAB ……………………………（4分） （Ⅱ）在矩形ABCD 中，AB =2CD ，E 是CD 中点， 可得AB 2=AE 2+BE 2所以BE ⊥AE ……………………………..（6分）又 平面PAE ⊥平面ABCE ，平面PAE ∩平面ABCE =AE ，BE ⊂平面ABCE所以BE ⊥平面PAE ………………………..（8分）PA ⊂平面PAE所以BE ⊥PA ……………………………（9分）解：（Ⅲ）对于线段PB 上任意一点M ，都有PA ⊥EM 成立．证明如下………………..（10分） 因为矩形ABCD ，所以DA ⊥DE ，即PA ⊥PE ………………………..（11分） 由（Ⅱ）得BE ⊥PA而 BE ⊂平面PEB ，PE ⊂平面PEB ，PE ∩BE =E所以 PA ⊥平面PEB ………………………………（13分） 对于线段PB 上任意一点M ，EM ⊂平面PEB所以PA ⊥EM …………………………………（14分） 【解析】（Ⅰ）推导出CE ∥AB ，由此能证明EC ∥平面PAB ．（Ⅱ）推导出BE ⊥AE ，从而BE ⊥平面PAE ，由此能证明BE ⊥PA ．（Ⅲ）推导出DA ⊥DE ，即PA ⊥PE ，BE ⊥PA ．，从而PA ⊥平面PEB ，由此得到对于线段PB 上任意一点M ，都有PA ⊥EM 成立．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，函数f （x ）=2x 3+3ax 2+1，其定义域为R ，当a =0时，f （x ）=2x 3+1，其导数f ′（x ）=6x 2， 又由f ′（1）=6，f （1）=3，则f （x ）在点（1，f （1））的切线方程为y -3=6（x -1），即6x -y -3=0；（Ⅱ）根据题意，函数f （x ）=2x 3+3ax 2+1，其导数f ′（x ）=6x 2+6ax =6x （x +a ）， 分3种情况讨论：①，当a =0时，f ′（x ）=6x 2≥0，则f （x ）在（-∞，+∞）上为增函数； ②，当a ＞0时，若f ′（x ）=6x （x +a ）＞0，解可得x ＜-a 或x ＞0， 则f （x ）的递增区间为（-∞，-a ）和（0，+∞）， 递减区间为（-a ，0）；③，当a ＜0时，若f ′（x ）=6x （x +a ）＞0，解可得x ＜0或x ＞-a ， 则f （x ）的递增区间为（-∞，0）和（-a ，+∞）， 递减区间为（0，-a ）；综上可得：当a =0时，f （x ）在（-∞，+∞）上为增函数；当a ＞0时，f （x ）的递增区间为（-∞，-a ）和（0，+∞），递减区间为（-a ，0）； 当a ＜0时，f （x ）的递增区间为（-∞，0）和（-a ，+∞），递减区间为（0，-a ）； （Ⅲ）根据题意，分3种情况讨论：①，当-a ≤0时，有a ≥0，f （x ）在[0，2]上递增，此时f （x ）在区间[0，2]上的最小值为f （0）=1，②，当0＜-a ＜2时，即-2＜a ＜0时，f （x ）在[0，-a ]上递减，在（-a ，2）上递增，此时f （x ）在区间[0，2]上的最小值为f （-a ）=a 3+1，③，当-a ≥2时，即a ≤-2时，f （x ）在[0，2]上递减，此时f （x ）在区间[0，2]上的最小值为f （2）=17+12a ， 综合可得：当a ≥0时，f （x ）的最小值为f （0）=1， 当-2＜a ＜0时，f （x ）的最小值为f （-a ）=a 3+1， 当a ≤-2时，f （x ）的最小值为f （2）=17+12a ． 【解析】（Ⅰ）根据题意，当a=0时，f（x）=2x3+1，求出其导数，利用导数的几何意义分析可得切线的斜率，结合直线的点斜式方程分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，求出函数的导数f′（x）=6x2+6ax=6x（x+a），分3种情况讨论-a与0的大小，结合函数的单调性与导数的关系，分析可得答案；（Ⅲ）根据题意，结合（Ⅱ）的结论，分3种情况讨论函数在区间[0，2]上的单调性，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性以及最值，涉及利用导数分析曲线的切线方程，关键是掌握导数的定义以及几何意义．。