2014高二数学竞赛培训班讲义(1)数列专题(上篇)

高二数学竞赛班一试讲义第2讲 数列求和与数列不等式班级 姓名一、知识要点：1．公式法：适用于等差、等比数列求和或可转化为等差、等比数列求和的数列． 2．错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则求数列{}n n a b 的前n 项和n S ，常用错位相减法。

3．分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；4．裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项。

5．倒序相加法：类似于等差数列前n 项和公式的推导方法．6．并项求和法：把数列的连续若干项并在一起组成一项，再求这些大项的和7．数列求和不等式的证明方法：均值不等式法，利用有用结论，部分项放缩，添减项放缩，利用单调性放缩，换元放缩，递推放缩，转化为加强命题放缩，分奇偶项讨论，数学归纳法。

二、例题精析例1．（1）已知数列{}n a 的通项公式2293932n n n a n n -=--，求数列{}n a 的前n 项的和n S 。

（2）已知数列{}n a 的通项公式12(21)(21)nn n na +=--，求数列{}n a 的前n 项的和n S 。

例2．数列数列{}n a ：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,,L 即正整数k 有k 个，自小到大排列而成， 求n a 及n S ．例3．设10<<a ，定义a a a a a nn +=+=+1,111，求证：对一切正整数n 有.1>n a例4．（1）已知n a n =，1()2nn b =，求证：11222n n a b a b a b +++<L 。

（2）已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21， 求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ（02年全国联赛山东预赛题）例5．在数列{}n x 中，已知14,2)n x x n ==≥，求证： （1）12333n n x x --≤-； （2）11223()3()33n n n x ---≤≤+。

第五章 数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。

其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。

若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn .定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a nn =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。

定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =qq a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。

高中数学竞赛数列专题摘要：一、高中数学竞赛数列专题简介1.高中数学竞赛背景2.数列专题在竞赛中的重要性3.数列专题的主要内容二、等差数列与等比数列1.等差数列的概念与性质2.等差数列的通项公式与求和公式3.等比数列的概念与性质4.等比数列的通项公式与求和公式三、常见的数列类型1.质数数列2.斐波那契数列3.几何数列4.调和数列四、数列的性质与应用1.数列的递推关系2.数列的极限与无穷数列3.数列在实际问题中的应用五、高中数学竞赛数列专题的备考策略1.掌握基础知识2.熟练运用公式与性质3.分析与解决问题的方法与技巧4.模拟试题与真题训练正文：高中数学竞赛数列专题涵盖了丰富的知识点，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

为了更好地应对数列专题的挑战，我们需要对这一专题有全面的了解，包括基本概念、公式、性质以及实际应用等方面。

首先，高中数学竞赛的背景为选拔优秀的学生参加各类数学竞赛，如全国青少年数学竞赛、国际奥林匹克数学竞赛等。

在这些竞赛中，数列专题具有很高的出现频率和重要性，因此，对这一专题的掌握程度对竞赛成绩有着直接影响。

数列专题的主要内容包括等差数列与等比数列、常见的数列类型、数列的性质与应用等方面。

等差数列与等比数列是数列的基本类型，它们在数学竞赛中占据重要地位。

等差数列具有以下性质：任意两项之差相等；等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，求和公式为Sn=n/2(2a1+(n-1)d)。

等比数列具有以下性质：任意两项之比相等；等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，求和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。

在高中数学竞赛中，还常遇到一些常见的数列类型，如质数数列、斐波那契数列、几何数列和调和数列等。

这些数列具有独特的性质和规律，需要我们熟练掌握其定义、公式和性质。

数列的性质与应用方面，我们需要了解数列的递推关系、极限与无穷数列，以及数列在实际问题中的应用。

递推关系是指数列的通项公式可以通过已知的前几项求得。

专题一 数学竞赛中的数列问题东北育才学校 张雷数学竞赛中的数列问题可以分为以下三类(1) 递推数列问题：其中二阶递归数列是数学竞赛中非常重要的内容.既是高考中递归数列的延伸，又是数学竞赛的基础知识.其形式为n n n qa pa a +=++12（p 、q 为常数）.且已知1a 和.2a 求}{n a 的通项公式.我们通常采用特征方程法.即设βα,为方程q px x +=2的二根.则βα≠时，.n n n B A a βα+=其中A 、B 为待定系数，由1a 和2a 确定；如果βα=，则.)(1-+=n n n B A a α其中A 、B 为待定系数，由1a 和2a 确定. 除此之外，还有不动点法等.(2) 数列不等式问题（3）数列综合应用问题：数列问题丰富多彩，常与不等式、数论、组合、函数方程等相结合，这需要我们灵活的解题能力和全面的数学知识.【范例选讲】一、 递推数列问题1. （2008年东南竞赛）设数列{}n a 满足：111,2(12),1,2,3,n n n a a a n n +==+⋅+=.试求通项n a 的表达式.解：将所给递推关系的两边同时除以12n +，得111,2222n n n n n a a n n+++=++ 即111,2222n n n n n a a n n+++-=+ 所以 1111112222nn ni ii ii i i i a a ii +++===⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭∑∑∑， 111111(1)2242n n n i i a a n n i+++=+-=+∑， 即 111(1)112.4222n n n n i i n n i a ++=+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑令12n n i i i S ==∑，则1122nn i i i S -==∑， 11111112122222nn n n n n n i i i i i i i i i i i i S S S +---====-=-=-=-∑∑∑∑111111211112222n n i i i n i i -+---=+--⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭∑1121112111()222212nn n i n i n n --=⎡⎤=-+=-+-⎢⎥⎣⎦-∑112112222n n nn n -+=-+-=-故 111(1)1123(1)222(1)4222242n n n n n n n n n n n a n +++⎡++⎤++⎛⎫⎡⎤=++-=+-≥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，从而 222(6)1(2)n n a n n n n -=-+--≥.2．（2009年高中数学联赛）已知p ，q （0q ≠）是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，12n n n a pa qa --=-（n =3，4，…）． （I ）求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； （II ）若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和． 【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列． 数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠，11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--． 于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分 方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3. （2000年全国高中数学联赛）设数列}{n a 和{b n }满足10=a ，00=b ，且,2,1,0 47836711=⎩⎨⎧-+=-+=++n b a b b a a n n n n n n 证明：n a ),,2,1,0( =n 是完全平方数．分析 我们能否得到}{n a 的递推关系，先求出通项看一看. 证明 由于6371+-=+n n n a a b 则.637121+-=+++n n n a a b 代入下式整理得： 61412--=++n n n a a a 即).21()21(142112---=-++n n n a a a 又10=a ，.41=a 则由特征方程法可求得： n n a )347(41+=21)347(41+-+n . 由于 7±43=（2±2)3 ，所以 2])32(21)32(21[n n n a -++=设n n n c )32(21)32(21-++=，则10=c ，.21=c由特征方程法可知：}{n c 满足递推关系.412n n n c c c -=++故由0c ，1c 为整数可推得：n c 为整数，于是n a 为完全平方数. 二．数列不等式问题4、（2007年全国高中数学联赛）设∑=-+=nk n k n k a 1)1(1，求证：当正整数2≥n 时，n n a a <+1.证明 由于)111(11)1(1k n k n k n k -+++=-+，因此∑=+=n k n kn a 1112，于是，对任意的正整数2≥n ，有∑∑+==++-+=-1111121111)(21n k n k n n k n k n a a0)11()2)(1(1)2)(1(11)2111(11>-++=++-+-+=∑∑==nk n k kn n n n k n n ，即n n a a <+1 5.（2003年女子竞赛）数列{}n a 定义如下：2112,1,1,2,n n n a a a a n +==-+=，证明：20031220031111112003a a a -<+++< 证：由题设得11(1)n n n a a a +-=-111111n n na a a +∴=---122003122320032004120042004111111111()()()1111111111111a a a a a a a a a a a a ∴+++=-+-++-------=-=----易知数列{}n a 是严格递增的，20041a >，故1220031111a a a +++<为了证明不等式左边成立，只需证明2003200412003a -> 由已知用归纳法可得1111n n n a a a a +-=+，及11,(1)n n n a a a n n ->≥从而结论成立。

数列的一般形式： a ， a ， a ，……， a ，……，简记作 {a }。

n ， ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如， (-1) = ⎨ (k ∈ Z ) ；③+1,n = 2k ⎩ f (n )，其图象是一群孤立点。

a =⎨ ⎩S n - S n -1 (n ≥ 2)数列{ a }的前n 项和 S 与通项 a 的关系： n2a高考数学基础知识复习：数列概念知识清单1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作a ，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项） 在 n第二个位置的叫第 2 项，……，序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作 a ； n123nn（2）通项公式的定义：如果数列{a } 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这 n个公式就叫这个数列的通项公式。

例如，数列①的通项公式是 a = n （ n ≤ 7， n ∈ N ），n +1数列②的通项公式是 a = （ n ∈ N ）。

n +说明：① {a }表示数列， a nn表示数列中的第 n 项， a = f (n )表示数列的通项公式；n⎧-1,n = 2k -1 n不是每个数列都有通项公式。

例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观 点看，数列实质上是定义域为正整数集 N （或它的有限子集）的函数 f (n ) 当自变量 n 从 1 +开始依次取值时对应的一系列函数值 f (1), f (2), f (3), ……， f (n ) ，……．通常用a 来代替n（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列） 常数列和摆动数列。

高二数学复习考点知识讲解与提升练习第01讲 数列的概念一、数列及相关概念1、定义：按一定顺序排成的一列数叫做数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，数列中的每一项都和项的序数有关，各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，… ，第n 项，… 注：数列与数集的区别：数集中的元素具有无序性和互异性，而数列的主要特征是有序性，而且数列的项可以重复出现。

2、数列的一般形式可以写成：123,,,,,,n a a a a 其中n a 是数列的第n 项，n 是n a 的序数，上面的数列可简单记作{}n a 。

3、函数思想：数列可以看成是定义在自然数集或其子集上的函数。

函数与数列的联系与区别： 一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题． 另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N ,因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即1n n a a ->)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{}n a 递增⇔1n n a a +>对任意的()n n N *∈都成立．类似地，有{}n a 递减⇔1n n a a +<对任意的()n n N *∈都成立.二、数列的表示方法解析法、图像法、列举法、递推法.三、数列的分类有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列；1. 有穷数列:项数有限.2. 无穷数列：项数无限.3. 递增数列:对于任何n N *∈,均有1n n a a +>.4. 递减数列:对于任何n N *∈,均有1n n a a +<.5. 摆动数列:例如:-1,1,-1,1,-1,1, …….6. 常数数列:例如:6,6,6,6,…….四、数列的通项公式定义：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41，1.414，….；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是n a2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .一、求数列通项公式【例1】 ,52,21,32,1的一个通项公式是。

高二数学：数列(讲义)
数列是数学中极为重要的一个概念，它通常用来描述一组事物的性质，是数学上组织一系列数的有效方式。

它可以概括出许多数学性质，例如等差数列的等差性质。

数学中使用数列的许多应用，几乎无处不能被见，科学计算和大数据分析更是大量使用数列来完成商业活动中的任务。

通常情况下，数列可分为两类：等差数列和等比数列。

等差数列，又称等差级数，即每两项之差（公差）相等。

它大多数情况下是由某个初始数（首项）和某个常量公差组成的，每一个数的值都是比前面数要大的。

通常我们只需记录着数列的首项和公差就可以完成所有等差数列的计算。

等差数列的构成要素有三个：首项、公差、项数，因此，它又可分为等差等比数列。

许多数学性质可以作为数列的研究内容，如求和、等比数列的累加积、关于每一项的表达式以及关于每一项之和的表达式等。

数列在多方面涉及到数学研究，也提供了许多应用，例如计算机编程中使用数列来实现，统计学中使用数列推断，物理学中描述物质运动规律也可使用数列，数学中常涉及到数列的比较、计算等。

几乎在所有数学应用中，都可以看到数列的存在。