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第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数 (1)4.1.1实数指数幂及其运算 (1)4.1.2指数函数的性质与图像 (5)第1课时指数函数的性质与图像 (5)第2课时指数函数的性质与图像的应用 (9)4.2对数与对数函数 (13)4.2.1对数运算 (13)4.2.2对数运算法则 (17)4.2.3对数函数的性质与图像 (20)第1课时对数函数的性质与图像 (20)第2课时对数函数的性质与图像的应用 (23)4.3指数函数与对数函数的关系 (27)4.4幂函数 (30)4.5增长速度的比较 (35)4.6函数的应用(二) (38)4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0x＝__na__x＝__±na__0不存在根式(1)当na有意义时，na称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．(2)性质：①(na)n＝__a__；②na n＝⎩⎨⎧__a__，n为奇数，__|a|__，n为偶数.分数指数幂的意义正分数 指数幂 n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n ＝__na __正分数m n ，a m n ＝__(n a )m __＝na m负分数 指数幂 s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1a s __无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t 是一个确定的__实数__． 实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R ) (1)a r a s ＝__a r ＋s __． (2)(a r )s ＝__a rs __． (3)(ab )r ＝__a r b r __． 题型n 次方根的概念及相关问题 典例剖析典例1 (1)求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围； (2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号．[解析] (1)(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎨⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]． (2)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎨⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于na ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要n a 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号．根式与分数指数幂的互化 典例剖析典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15 ；a 34 ；a －23 ； (2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解．[解析] (1)a 15 ＝5a ；a 34 ＝4a 3；a －23 ＝1a 23 ＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63 ＝a 2；13a 2＝1a 23 ＝a －23 ．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．有理(实数)指数幂的运算法则的应用 典例剖析典例3 化简：(1)(5x －23 y 12 )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)；(2)0.064－13 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75；(3)32＋3×27－33；(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×(－14)×(－56)·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ．(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716．(3)32＋3×27－33 ＝32＋3×(33)－33 ＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12 ＋(2)1－3＋1＋3 ＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2 ＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14 ]＋2＝(2)14 ＋2＝2＋218 ．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 易错警示 典例剖析典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12 ．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14 ．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1．[正解] ∵(－a ) 12 存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14＝(－a ) 14 ．4.1.2 指数函数的性质与图像第1课时 指数函数的性质与图像知识点 指数函数函数__y ＝a x __称为指数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1． 思考：(1)为什么指数函数的底数a ＞0，且a ≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a ＝0，当x ＞0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义．②如果a ＜0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，14，…，该函数无意义． ③如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．(2)①a ＞0，且a ≠1，②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．指数函数的图像和性质0＜a ＜1a ＞1图像定义域 实数集R 值域 __(0，＋∞)__ 性质 过定点__(0,1)__ 是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y ＝2x，y ＝3x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，…，为什么一定过点(0,1)?(2)对于指数函数y x底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 ？ x ＜0？0＜a ＜1x ＞0 ？ x ＜0？提示：(1)当x ＝0时，a ＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)． (2)底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 y ＞1 x ＜0 0＜y ＜1 0＜a ＜1x ＞0 0＜y ＜1 x ＜0y ＞1题型指数函数的概念 典例剖析典例1 (1)函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为__2__．(2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点(π，e)，则f (－π)＝__1e __． [分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解． (2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f (－π)． [解析] (1)由题意得a 2－3a ＋3＝1， 即(a －2)(a －1)＝0， 解得a ＝2或a ＝1(舍)．(2)设指数函数为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则e ＝a π，所以f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e ． 规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a ＞0，且a ≠1； ②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y ＝13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)． (2)利用已知条件求底数A ． (3)写出指数函数的解析式．指数函数的图像问题 典例剖析典例2 (1)函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图像可能是( D )(2)要得到函数y ＝23－x的图像，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像( A )A ．向右平移3个单位B ．向左平移3个单位C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位[分析] (1)要注意对a 进行讨论，分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论判断． (2)先对解析式变形，再进行判断． [解析] (1)函数y ＝x ＋a 单调递增． 由题意知a ＞0且a ≠1．当0＜a ＜1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于0且小于1； 当a ＞1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D ．(2)因为y ＝23－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x －3，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3 ，即y ＝23－x 的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图像所过的定点．指数函数的定义域、值域问题 典例剖析典例3 (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值域为(1，＋∞)，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－2，－1)∪(1，2)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2)函数y ＝52x －1的定义域为__⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12__． [分析] (1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得． (2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析] (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则底数a 2－1＞1，a 2＞2，所以|a |＞2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)要使函数y ＝52x －1有意义，则2x －1≥0，所以x ≥12.所以函数y ＝ 52x －1的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12． 规律方法：函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合． (2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 易错警示 典例剖析典例4 若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[错解] ∵函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴⎩⎨⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，∴a ＝3．故实数a 的值为3．[辨析] 误解中没有对a 进行分类讨论．[正解] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，由题意可知，⎩⎨⎧ a 0－1＝0a 2－1＝2，解得a ＝ 3.当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是减函数，由题意可知，⎩⎨⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，此时a 无解．综上所述，a ＝3．第2课时 指数函数的性质与图像的应用知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1．解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解； (2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝b x (b ＞0且b ≠1)的图像求解．与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)函数的性质有： (1)函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有__相同__的定义域．(2)当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有__相同__的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有__相反__的单调性．思考：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性取决于哪个量？(2)如何判断形如y＝f(a x)(a＞0且a≠1)的函数的单调性？提示：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y ＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1比较下列各组数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；(4)55，33，2．[分析]底数相同的幂值a b与a c比较大小，一般用y＝a x的单调性；指数相同的幂值a c与b c比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝a x与y＝b x的图像考察x＝c 时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y＝0.8x，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得1．70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝212＝(23)16＝816，33＝313＝(32)16＝916而8＜9.∴816＜916，即2＜33，又2＝212 ＝(25) 110 ＝32110 ，55＝515 ＝(52) 110 ，而25＜32，∴55＜2． 总之，55＜2＜33．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较． 2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域 典例剖析典例2 求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域．[分析] 利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解[解析] 令t ＝－x 2＋x ＋2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，因为t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 在R 上是减函数，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞；又t ≤94，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1294，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1294，＋∞． 规律方法：复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域．指数函数性质的综合应用 典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( B )A ．(4,8)B ．[4,8)C ．(1，＋∞)D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x 是R 上的奇函数．①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围． [解析] (1)因为分段函数为增函数，所以满足 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a2＞0，a ≥6－a2，解得4≤a ＜8．(2)①因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1，因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． ②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )， 即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3，由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤x 0，g (x )，x ＞x 0的单调性(1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)． (2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)． 2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小． 易错警示 典例剖析典例4 求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的值域．[错解] 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞．[辨析] 在换元时，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞0，在误解中忽略了这一点．[正解] 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34．因为t ＞0，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算知识点对数的概念(1)定义：在代数式a b＝N(a＞0且a≠1)，N∈(0，＋∞)中，幂指数b称为以a 为底N的对数．(2)记法：b＝__log a N__，a称为对数的__底数__，N称为对数的__真数__．(3)范围：N＞0，即__负数和零没有对数__．思考：(1)为什么负数和零没有对数？(2)对数式log a N是不是log a与N的乘积？提示：(1)因为b＝log a N的充要条件是a b＝N，当a＞0且a≠1时，由指数函数的值域可知N＞0，故负数和零没有对数．(2)不是，log a N是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．知识点对数恒等式(1)a log a N＝N．(2)log a a b＝B．知识点常用对数与自然对数(1)常用对数：log10N，简写为lg N．(2)自然对数：log e N，简写为ln N，e＝2.718 28…．题型对数的概念典例剖析典例1若a2 020＝b(a＞0，且a≠1)，则(A)A．log a b＝2 020B．log b a＝2 020C．log2 020a＝b D．log2 020b＝a(2)对数式log(a－2)(5－a)中实数a的取值范围是(C)A．(－∞，5)B．(2,5)C．(2,3)∪(3,5)D．(2，＋∞)(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是(B)A．e0＝1与ln 1＝0B．log39＝2与912＝3C．8－13＝12与log812＝－13D．log77＝1与71＝7[分析] (1)根据对数的定义转化．(2)对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0． (3)根据对数式的定义判断．[解析] (1)若a 2020＝b (a ＞0，且a ≠1)则log a b ＝2 020．(2)由题意得⎩⎨⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，解得2＜a ＜3或3＜a ＜5．(3)由指、对数式的互化可知，A 、C 、D 正确；对于B 选项log 39＝2可化为32＝9，所以B 选项错误．规律方法：指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．利用指数式与对数式关系求值角度1 利用指数式与对数式的互化求值 典例剖析典例2 求下列各式的值： (1)log 381；(2)log 4116； (3)log12 8；(4)lg 0.1．[解析] (1)因为34＝81，所以log 381＝4．(2)因为4－2＝116，所以log 4116＝－2． (3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8，所以log12 8＝－3．(4)因为10－1＝0.1，所以lg 0.1＝－1． 角度2 两个特殊对数值的应用 典例3 已知log 2[log 3(log 4x )]＝ log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值． [解析] 因为log 2[log 3(log 4x )]＝0， 所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64，同理求得y ＝16，所以x ＋y ＝80．规律方法：对数性质在求值中的应用1．对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0．2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．对数恒等式的应用 典例剖析 典例4 计算： (1)71－log 75；(2)412 (log 29－log 25)；(3)a log a b ·log b c (a 、b 均为不等于1的正数，c ＞0)．[解析] (1)原式＝77log 75＝75．(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95．(3)原式＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝C ．规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数． 易错警示 典例剖析典例5 求满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值． [错解] ∵log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，∴x 2＋3x ＝x ＋3， 即x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1.故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值为－3和1． [辨析] 误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．[正解] 由对数性质，得⎩⎨⎧x 2＋3x ＞0x ＋3＞0x ＋3≠1x 2＋3x ＝x ＋3，解得x ＝1．故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1的x 的值为1．4.2.2对数运算法则知识点积、商、幂的对数若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，则有(1)积的对数：__log a(MN)＝log a M＋log a N__．(2)商的对数：__log a MN＝log a M－log a N__．(3)幂的对数：__log a M n＝n log a M__．思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，log a(MNQ)＝log a M＋log a N＋log a Q，积的对数运算性质可以推广到n项的乘积．知识点换底公式若a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，则有__log a b＝log c blog c a__．思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？(2)你能用换底公式推导出结论log Nn M m＝mn log N M吗？提示：(1)log a b＝lg blg a，log a b＝ln bln a．(2)log Nn M m＝lg M mlg N n＝m lg Mn lg N＝mn·lg Mlg N＝mn log N M．题型利用对数的运算法则求值典例剖析典例1计算：(1)log a2＋log a 12(a＞0且a≠1)；(2)log318－log32；(3)2log510＋log50.25；(4)2log525＋3log264；(5)log2(log216)；(6)62log63－20log71＋log41 16．[解析] (1)log a 2＋log a 12＝log a (2×12)＝log a 1＝0． (2)log 318－log 32＝log 3(18÷2)＝log 39＝2． (3)2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2．(4)2log 525＋3log 264＝2log 552＋3log 226＝4＋18＝22． (5)log 2(log 216)＝log 24＝2．(6)原式＝6log 69－20×0＋log 44－2＝9－2＝7． 规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．利用对数的运算法则化简 典例剖析典例2 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg (xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z ；(4)lg xy 2z ．[解析] (1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ．(2)lg xy 2z ＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ．(3)lg xy 3z ＝lg (xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z ．(4)lg x y 2z ＝lg x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z ． 规律方法：关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．换底公式及其应用 典例剖析典例3 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645的值；(2)设3x ＝4y ＝6z ＞1，求证：1z －1x ＝12y ．[分析] 在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x ，y ，z ，并结合换底公式与对数的运算性质证明． [解析] (1)由18b ＝5，得log 185＝b ， ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝b ＋a 1＋1－log 189＝a ＋b 2－a． (2)设3x ＝4y ＝6z ＝t ，∵3x ＝4y ＝6z ＞1，∴t ＞1，∴x ＝lg t lg 3，y ＝lg t lg 4，z ＝lg tlg 6，∴1z －1x ＝lg 6lg t －lg 3lg t ＝lg 2lg t ＝lg 42lg t ＝12y ． ∴1z －1x ＝12y ．规律方法：换底公式的应用(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值． (2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式1log a b ＝log b A ．易错警示 典例剖析典例4 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 2xy 的值．[错解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵xy ＝1或4，∴log 2x y ＝log 21＝0或log 2xy ＝log 24＝4． [辨析] 误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．[正解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，∴x ＝y 应舍去． ∴x y ＝4，∴log 2xy ＝log 24＝4．4.2.3对数函数的性质与图像第1课时对数函数的性质与图像知识点对数函数函数y＝__log a x__称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？(2)对数函数的解析式有何特征？提示：(1)定义域为x＞0，因为负数和零没有对数．(2)①a＞0，且a≠1；②log a x的系数为1；③自变量x的系数为1．对数函数的性质与图像知识点0＜a＜1a＞1图像定义域__(0，＋∞)__值域__R__性质过__定点(1,0)____是减函数____是增函数__思考：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x，…，为什么一定过点(1,0)?(2)对于对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞1？0＜x＜1？0＜a＜1x＞1？0＜x＜1？提示：(1)当x＝1时，log a1＝0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0)．(2)底数x的范围y的范围a＞1x＞1y＞0 0＜x＜1y＜00＜a＜1x＞1y＜0 0＜x＜1y＞0题型对数函数的概念典例剖析典例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝2log3x；(2)y＝log5x；(3)y＝log x2；(4)y＝log2x＋1．[解析](1)log3x的系数是2，不是1，不是对数函数．(2)是对数函数．(3)自变量在底数位置，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1．(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x．求函数的定义域典例剖析典例2求下列函数的定义域：(1)y＝lg (2－x)；(2)y＝1log3(3x－2)；(3)y＝log(2x－1)(3－4x)．[分析]函数的定义域是使函数有意义的自变量x的允许取值范围．求定义域时，要结合使根式、分式等有意义的条件和对数式的定义求解．[解析](1)由题意得lg (2－x)≥0，即2－x≥1，∴x≤1，则y＝lg (2－x)的定义域为{x|x≤1}．(2)欲使y ＝1log 3(3x －2)有意义，应有log 3(3x －2)≠0，∴⎩⎨⎧3x －2＞03x －2≠1.解得x ＞23，且x ≠1．∴y ＝1log 3(3x －2)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＞23，且x ≠1．(3)使y ＝log (2x －1)(3－4x )有意义时，⎩⎨⎧2x －1＞02x －1≠13－4x ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞12x ≠1x ＜34，∴12＜x ＜34．∴此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12 ＜x ＜34．规律方法：求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0．(2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．应用对数函数的单调性比较数的大小 典例剖析典例3 比较下列各组中两个数的大小： (1)log 23.4和log 28.5； (2)log 0.53.8和log 0.52； (3)log 0.53和1; (4)log 20.5和0； (5)log 0.30.7和0; (6)log 34和0．[分析] (1)(2)中两数同底数，不同真数，可直接利用对数函数的单调性比较大小；(3)中将1化为log 0.50.5，(4)中将0化为log 21，(5)中将0化为log 0.31，(6)中将0化为log 31，然后再利用对数函数的单调性比较大小．[解析] (1)∵y ＝log 2x 在x ∈(0，＋∞)上为增函数，且3.4＜8.5， ∴log 23.4＜log 28.5．(2)∵y ＝log 0.5x 在x ∈(0，＋∞)上为减函数，且3.8＞2， ∴log 0.53.8＜log 0.52．(3)∵1＝log 0.50.5，∴log 0.53＜log 0.50.5，∴log 0.53＜1． (4)∵0＝log 21，∴log 20.5＜log 21，∴log 20.5＜0． (5)∵0＝log 0.31，∴log 0.30.7＞log 0.31， ∴log 0.30.7＞0．(6)∵0＝log 31，∴log 34＞log 31，∴log 34＞0．规律方法：比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性． (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图像，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1、0等中间量进行比较．易错警示 典例剖析典例4 解不等式log a (2x －5)＞log a (x －1)． [错解]原不等式可化为⎩⎨⎧2x －5＞0x －1＞02x －5＞x －1，解得x ＞4．故原不等式的解集为{x |x ＞4}．[辨析] 误解中默认为底数为a ＞1，没有对底数a 分类讨论． [正解]当a ＞1时，原不等式可化为⎩⎨⎧2x －5＞0x －1＞02x －5＞x －1，解得x ＞4；当0＜a ＜1时，原不等式可化为⎩⎨⎧2x －5＞0x －1＞02x －5＜x －1，解得52＜x ＜4．综上可知，当a ＞1时，原不等的解集为{x |x ＞4}，当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |52＜x ＜4}．第2课时 对数函数的性质与图像的应用知识点y ＝log a f (x )型函数性质的研究(1)定义域：由f (x )＞0解得x 的取值范围，即为函数的定义域．(2)值域：在函数y ＝log a f (x )的定义域中确定t ＝f (x )的值域，再由y ＝log a t 的单调性确定函数的值域．(3)单调性：在定义域内考虑t ＝f (x )与y ＝log a t 的单调性，根据__同增异减__法则判定(或运用单调性定义判定)． (4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．(5)最值：在f (x )＞0的条件下，确定t ＝f (x )的值域，再根据a 确定函数y ＝log a t 的单调性，最后确定最值． 知识点log a f (x )＜log a g (x )型不等式的解法 (1)讨论a 与1的关系，确定单调性．(2)转化为f (x )与g (x )的不等关系求解，且注意真数大于零． 题型对数函数的图像 典例剖析 典例1如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图像，已知a 取3，43，35，110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次为( A )A ．3、43、35、110B ．3、43、110、35C ．43、3、35、110D ．43、3、110、35[解析] 解法一：观察在(1，＋∞)上的图像，先排C 1、C 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图像靠近x 轴的底大，C 1、C 2对应的a 分别为3、43.然后考虑C 3、C 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时图像靠近x 轴的底小，C 3、C 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A ．解法二：作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C 1、C 2、C 3、C 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A．规律方法：函数y＝log a x(a＞0且a≠1)的底数变化对图像位置的影响．观察图像，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图像越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图像越靠近x轴．(2)左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．形如y＝log a f(x)的函数的单调性典例剖析典例2求函数y＝log12(1－x2)的单调区间．[分析]求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．[解析]要使函数有意义，应满足1－x2＞0，∴－1＜x＜1.∴函数的定义域为(－1,1)．令u＝1－x2，对称轴为x＝0．∴函数u＝1－x2在(－1,0]上为增函数，在[0,1)上为减函数，又∵y＝log12u为减函数．∴函数y＝log12(1－x2)的单调递增区间为[0,1)，递减区间为(－1,0]．规律方法：1.求形如y＝log a f(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域．2．求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求解；(2)借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝log a t在定义域上的单调性，从而判定y＝log a f(x)的单调性．形如y＝log a f(x)的函数的奇偶性典例剖析典例3判断函数y＝lg (x2＋1－x)的奇偶性．[分析]判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称．[解析]∵x2＋1＞x，∴x2＋1－x＞0恒成立，∴函数的定义域为R．f(－x)＝lg (x2＋1＋x)＝lg (x2＋1－x)(x2＋1＋x)x2＋1－x＝lg1x2＋1－x＝－lg (x2＋1－x)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，∴函数y＝lg (x2＋1－x)是奇函数．规律方法：判断函数的奇偶性，必须先求函数的定义域，因为定义域关于原点对称是函数具有奇偶性所需具备的条件．若定义域关于原点对称，再利用奇偶性定义判断f(x)与f(－x)的关系．形如y＝log a f(x)的函数的值域典例剖析典例4求函数f(x)＝log12(x2－6x＋17)的值域．[分析]利用对数函数的真数大于0及内函数的值域求解．[解析]∵x2－6x＋17＝(x－3)2＋8＞0，∴函数f(x)的定义域为R，令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，又0＜12＜1，∴y＝log12t在[8，＋∞)上是减函数，∴f(x)≤log128＝－3，故所求函数的值域是(－∞，－3]．规律方法：对于形如y＝log a f(x)(a＞0，a≠1)的复合函数，求值域的步骤：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)求log a f(x)的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．易错警示典例剖析典例5已知y＝log a(2－ax)在[0,1]上是减函数(x是自变量)，则a的取值范围是(B)A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．[2，＋∞)[错解]选A．令u＝2－ax，因为u＝2－ax是减函数，所以a＞0．在对数函数中底数a∈(0,1)，所以0＜a＜1.故选A．[辨析]本题解答时犯了两个错误：(1)忽略真数为正这一条件；(2)对数函数的底数含有字母a，忘记了对字母分类讨论．[正解]设u＝2－ax，由y＝log a u，得a＞0，因此u＝2－ax单调递减．要使函数y＝log a(2－ax)是减函数，则y＝log a u必须是增函数，所以a＞1，排除A，C．又因为a＝2时，y＝log a(2－2x)在x＝1时没有意义，但原函数x的取值范围是[0,1]，所以a≠2，因此排除D．故选B．4.3指数函数与对数函数的关系知识点反函数的概念(1)一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中__任意一个y__的值，只有__唯一__的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数，可以记作x＝f－1(y)．(2)一般地，对于函数y＝f(x)的反函数x＝f－1(y)，习惯上反函数的自变量仍用x 表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．思考：函数f(x)＝x2有反函数吗？为什么？提示：没有．若令y＝f(x)＝1，则x＝±1，即x值不唯一，不符合反函数的定义．知识点求反函数的两种方法(1)可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到反函数y＝f－1(x)．(2)从y＝f(x)反解得到x＝f－1(y)，然后把x＝f－1(y)中的x，y对调得到y＝f－1(x)．知识点互为反函数的图像与性质(1)图像y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线__y＝x__对称．(2)性质①y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的__值域__相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的__定义域__相同．②如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在．此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是__增函数__；如果y＝f(x)是__减函数__，则y＝f －1(x)也是减函数．题型判断函数是否有反函数典例剖析典例1(1)下列函数中，存在反函数的是(D)A．x x＞0x＝0x＜0f(x)10－1B．x x是有理数x是无理数g(x)10C．x12345h(x)－12042D．x12345l(x)－2－1034(2)判断下列函数是否有反函数．①f(x)＝x＋1 x－1；②g(x)＝x2－2x．[分析]根据反函数的定义进行判断．[解析](1)因为f(x)＝1时，x为任意的正实数，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在；因为g(x)＝1时，x为任意的有理数，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在；因为h(x)＝2时，x＝2或x＝5，即对应的x不唯一，因此h(x)的反函数不存在；因为l(x)的值域{－2，－1,0,3,4}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此l(x)的反函数存在．(2)①令y＝f(x)，因为y＝x＋1x－1＝1＋2x－1，是由反比例函数y＝2x向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数．②令g(x)＝3，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在．规律方法：判定函数存在反函数的方法(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在．(2)确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在．(3)利用原函数的解析式，解出自变量x，如果x是唯一的，则函数的反函数存在．求反函数典例剖析典例2求下列函数的反函数．(1)y＝2x＋1(x∈R)；(2)y＝1＋ln(x－1)(x＞1)；(3)y＝x＋2x＋1(x∈R且x≠－1)．[分析]按照求反函数的步骤求反函数．[解析](1)函数y＝2x＋1，当x∈R时，y＞0．方法一：∵x＋1＝log2y，∴x＝－1＋log2y，x，y互换得反函数为y＝－1＋log2x(x ＞0)．方法二：对y＝2x＋1中的x，y互换得x＝2y＋1，∴y＋1＝log2x，即反函数为y＝－1＋log2x(x＞0)．(2)由y＝1＋ln(x－1)，得x＝e y－1＋1，又由x＞1，知y∈R，∴反函数为y＝e x－1＋1(x∈R)．(3)y＝x＋2x＋1＝1＋1x＋1(x∈R且x≠－1)，∴y∈R且y≠1．对y＝x＋2x＋1，x，y互换得x＝y＋2 y＋1，∴反函数为y＝2－xx－1(x∈R且x≠1)．规律方法：1.求反函数时，要先确定原函数的值域．2．两种方法：x，y先互换，再求y与先求x，再x，y互换．3．最后要注明反函数的定义域．。
2-4指数与指数函数 基础巩固强化1.(文)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( ) A ．0 B.33 C. 1 D. 3[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y ＝3x 图象上知3a ＝9， 即a ＝2，所以tan a π6＝tan π3＝ 3. (理)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][答案] B[解析] 由f (1)＝19得a 2＝19， ∵a >0，∴a ＝13，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.2．(2012·浙江湖州第二次质检)已知图甲是函数y ＝f (x )的图象，则图乙中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)[答案] D[解析] 由图乙可知，该函数为偶函数，且x <0时，其函数图象与函数f (x )的图象相同，即该函数图象的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )， x <0，f (－x )， x ≥0，即y ＝f (－|x |)，故应选D.3．(2012·北京文，5)函数f (x )＝x 12－(12)x的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 函数f (x )＝x 12－(12)x 的零点个数即为方程x 12＝(12)x的实根个数，在平面直角坐标系中画出函数y ＝x 12和y ＝(12)x的图象，易得交点个数为1个．[点评] 本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象． 4．(文)三个数P ＝(25)－15 ，Q ＝(65)－15 ，R ＝(65)－25的大小顺序是( )A ．Q <R <PB ．R <Q <PC ．Q <P <RD ．P <Q <R[答案] B[解析] 由于当a >1时，y ＝a x为R 上的增函数，故(65)－25 <(65)－15 ，则排除A 、C 、D ，选B.对于A 选项，∵0<a <1时，对x <0有a x >1，但当a >1时，对x <0，a x <1，故(65)－15<(25)－15 .(理)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b[答案] C[解析] y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>12>0.3，∴1>a >b ，又y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1，∴b <a <c .5．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为( )A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋xD ．y ＝3x －2[答案] D[解析] 设P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，则P 关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在函数f (x )的图象上，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－x，即g (x )＝3x －2.6．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，2x (x ≤0).若f (a )＝12，则实数a ＝( )A ．－1 B. 2 C ．－1或 2 D ．1或－ 2[答案] C[解析] 当a >0时，log 2a ＝12，∴a ＝2；当a <0时，2a ＝12，∴a ＝－1，选C.(理)(2013·四川内江市一模)已知a 是f (x )＝2x －log 13x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)<0B ．f (x 0)＝0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定[答案] A[解析] 如图，在同一坐标系中，画出函数y ＝2x 与y ＝log 13x 的图象，其交点P 的横坐标为a,0<x 0<a 时，2x 0<log 13x 0，∴f (x 0)<0.7．设函数f (x )＝a －|x |(a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则f (－2)与f (1)的大小关系是________．[答案] f (－2)>f (1)[解析] 由f (2)＝a －2＝4，解得a ＝12， ∴f (x )＝2|x |，∴f (－2)＝4>2＝f (1)．8．(2011·厦门质检)方程9x －6·3x －7＝0的解是________． [答案] log 37[解析] 9x －6·3x －7＝0⇔(3x )2－6·3x －7＝0， ∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去)．∴x ＝log 37.9．(文)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3e x －1x <3，log 3(x 2－6) x ≥3.则f (f (3))的值为________． [答案] 3[解析] f (3)＝log 3(32－6)＝1，f (f (3))＝f (1)＝3e 1－1＝3.(理)(2012·衡水模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0；③2－a <2c; ④2a ＋2c <2. [答案] ④ [解析]作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示．又a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a <1，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，∴f (c )<1，∴0<c <1，∴1<2c <2，f (c )＝|2c －1|＝2c －1， 又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2. 10．已知函数f (x )＝(23)|x |－a . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．[分析] 这是一个复合函数判定单调性的问题，解题时先找出构成复合函数的简单函数，分别考虑它们的单调性，再求f (x )的单调区间，最后利用单调性考虑何时取到最大值94，从而建立a 的方程求出a .[解析] (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， 又y ＝(23)t是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由(1)知，f (x )在x ＝0处取到最大值， ∴f (0)＝(23)－a ＝94，∴a ＝2.能力拓展提升11.(2011·湖北理，6)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154 C.174 D ．a 2[答案] B[解析] ∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2得，f (－x )＋g (－x )＝a －x －a x ＋2，解得f (x )＝a x －a －x ，g (x )＝2，又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x－2－x，∴f (2)＝154.12．(文)已知f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当f (x 1)＝g (x 2)＝3时，x 1>x 2，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．．的是( ) A ．b >a >1 B ．a >1>b >0 C ．0<a <b <1 D ．b >1>a >0[答案] D[解析] ∵f (x 1)＝g (x 2)＝3，∴ax 1＝bx 2＝3， ∴x 1＝log a 3，x 2＝log b 3，当b >1>a >0时，x 1<0，x 2>0不满足x 1>x 2.(理)已知实数a 、b 满足等式(12)a ＝(13)b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ，其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝(13)x ，y ＝(12)x 的图象，如图．当x <0时，∵(12)a ＝(13)b，∴a <b <0，②成立； 当x >0时，(12)a ＝(13)b ，则有0<b <a ，①成立； 当x ＝0时，(12)a ＝(13)b ，则有a ＝b ＝0，⑤成立． 故③④不成立，故选B.13．(文)若关于x 的方程4x ＋(1－a )·2x ＋4＝0有实数解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，5]B ．[5，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(－5,5][答案] B[解析] a －1＝2x＋42x ≥22x·42x ＝4等号在2x ＝42x ，即x ＝1时成立，∴a ≥5.(理)(2011·襄阳一调)用min{a ，b ，c }表示a 、b 、c 三个数中的最小值，设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 [答案] B[解析]解法1：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (0≤x ≤2)，x ＋2 (2<x ≤4)，10－x (x >4).由于函数在区间[0,2]上单调递增，在区间(2,4]上单调递增，在点x ＝2处两段的函数值相等，故函数在区间[0,4]上单调递增，函数在区间(4，＋∞)上单调递减，又在点x ＝4处两段上的函数值相等，故x ＝4是函数的最大值点，函数的最大值是f (4)＝6.故选B.解法2：画出y ＝2x ，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图象如图，根据函数f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }的意义，函数f (x )的图象是由上面三个函数图象位于最下方的图象组成的，观察图象可知，当0≤x ≤2时，f (x )＝2x ，当2<x ≤4时，f (x )＝x ＋2，当x >4时，f (x )＝10－x ，f (x )的最大值在x ＝4时取得，最大值为6，故选B.14．(2012·杭州第一次质检)若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x <0，2－x ，x ≥0，则方程f (x )＝12的解集为________．[答案] {1}[解析] 方程f (x )＝12可化为，⎩⎨⎧x <0，1x ＝12，或⎩⎨⎧x ≥0，2－x ＝12，解之得，x ＝1.15．已知函数f (x )＝(13)ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．[解析] (1)当a ＝－1时，f (x )＝(13)－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增， 在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝(13)t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减， 在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)， 递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝(13)h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.[点评] 讨论f (x )＝(13)－x 2－4x ＋3的单调区间时，可化为f (x )＝3x 2＋4x －3讨论，也可利用导数讨论．16．(文)已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．[分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算f (－x )，看是否等于f (x )(或－f (x ))；(2)可用单调性定义，也可用导数判断f (x )的单调性； (3)b ≤f (x )恒成立，只要b ≤f (x )min ，由f (x )的单调性可求f (x )min . [解析] (1)函数定义域为R ，关于原点对称． 又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f (－1)≤f (x )≤f (1)，∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a 2a＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]．(理)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m 、n ，同时满足以下条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]． 若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由．[分析] (1)由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的单调性可求出f (x )的值域，g (x )是以f (x )为变元的二次函数，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，可求关于t 的二次函数的最小值h (a )．(2)由(1)知当m >n >3时h (a )的表达式，考察h (a )在[n ，m ]上的单调性，结合其值域[n 2，m 2]，可列出关于m ，n 的方程组求解m ，n ，如果有解则所求实数m ，n 存在，否则不存在．[解析] (1)因为x ∈[－1,1]，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.设⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，h (a )＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a <13，3－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤a ≤3，12－6a (a >3).(2)因为m >n >3，a ∈[n ，m ]，所以h (a )＝12－6a .因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，且h (a )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2.两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，因为m >n ，所以m －n ≠0，得m ＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾，故满足条件的实数m 、n 不存在．[点评] 解题关键在于利用换元的思想方法，将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值．对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在．1．如图是一个算法的程序框图，当输入x 的值为3时，输出y 的结果恰好为13，则？处的关系式是( )A ．y ＝log 9xB ．y ＝3xC ．y ＝3－xD ．y ＝x 13[答案] B[解析] 输入x ＝3≤0不成立，故x ＝3－2＝1,1≤0不成立，故x ＝1－2＝－1，－1≤0成立，执行？后输出y ＝13，故选B.2．下列大小关系正确的是( ) A ．0.43<30.4<log 40.3 B ．0.43<log 40.3<30.4 C ．log 40.3<0.43<30.4 D ．log 40.3<30.4<0.43 [答案] C[解析] 根据指数函数和对数函数的性质，0<0.43<1,30.4>1，log 40.3<0，故有log 40.3<0.43<30.4.3．函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )[答案] A[解析] 函数有意义，需e x －e －x ≠0，即x ∈{x |x ≠0}，排除答案C 、D ；又y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，当x >0时为减函数，排除B ，故选A.4．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≤1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12[答案] A[解析] 由条件知，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，又x ＝1为其对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 故选A.5．在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )[答案] D[解析] 对于A ，y ＝x ＋a 中，0<a <1，故y ＝log a x 单减，与图象不符，排除A ；对于B 、C 由y ＝x ＋a 知，a >1，∴y ＝log a x 单调增，与图象不符，排除B 、C ，因此选D.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0.则不等式|f (x )|≥13的解集为________．[答案] [－3,1] [解析]f (x )的图象如图． |f (x )|≥13⇒f (x )≥13， 或f (x )≤－13.∴⎩⎨⎧x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥13，或⎩⎨⎧x <0，1x ≤－13，∴0≤x ≤1或－3≤x <0，∴解集为{x |－3≤x ≤1}．7．函数f (x )的定义由程序框图给出，程序运行时，输入h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，φ(x )＝log 2x ，则f (12)＋f (4)的值为________．[答案] －1516[解析] 由程序框图知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧φ(x )， h (x )>φ(x )，h (x )， h (x )≤φ(x ).∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝22，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1， ∵h (4)＝116，φ(4)＝2，∴f (4)＝116，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (4)＝－1＋116＝－1516. 8．(2012·乌鲁木齐地区诊断)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在[－3，－2]上为减函数，则在锐角△ABC 中，有( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B )[答案] A[解析] 由题知偶函数f (x )的周期为2，所以f (x )在[－1，0]上为减函数，故偶函数f (x )在[0,1]上为增函数，因为A ＋B >π2，所以π2>A >π2－B>0,1>sin A>cos B>0.于是f(sin A)>f(cos B)，故选A.。
高考数学总复习 2-4 指数与指数函数但因为测试 新人教B 版1.(文)若log 2a <0，⎝⎛⎭⎫12b<1，则( ) A ．a >1，b >0 B ．a >1，b <0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0[答案] C[解析] 由log 2a <0得0<a <1， 由⎝⎛⎭⎫12b<1＝⎝⎛⎭⎫120知b >0. (理)三个数P ＝(25)－15 ，Q ＝(65)－15 ，R ＝(65)－25的大小顺序是( )A ．Q <R <PB ．R <Q <PC ．Q <P <RD ．P <Q <R[答案] B[解析] 当a >1时，y ＝a x为R 上的增函数，故(65)－25 <(65)－15 ，∴R <Q ，则排除A 、C 、D ，选B.[点评] 对于P 、Q 的大小关系，当x <0时，∵0<a <1时，有a x >1，但当a >1时，a x<1，故(65)－15 <(25)－15 ，∴Q <P .2．函数f (x )＝(a 2－1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．|a |>1 B ．|a |<2 C ．|a |< 2 D ．1<|a |< 2[答案] D[解析] 由题意知，0<a 2－1<1， ∴1<a 2<2，∴1<|a |< 2.3．(文)若指数函数y ＝a x 的反函数的图象经过点(2，－1)，则a 等于( ) A.12 B ．2 C ．3 D ．10 [答案] A[解析] 运用原函数与反函数图象关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝a x 过点(－1,2)，故选A. (理)(2011·山东文，3)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y ＝3x 图象上知3a ＝9，即a ＝2，所以tan a π6＝tan π3＝ 3.4．(文)在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝21－x 的图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称[答案] C [解析] y ＝2x＋1的图象关于y 轴对称的曲线对应函数为y ＝21－x ，故选C.(理)(2011·聊城模拟)若函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤－1 B ．－1≤m <0 C ．m ≥1 D ．0<m ≤1[答案] A[解析] ∵|1－x |∈[0，＋∞)，∴2|1－x |∈[1，＋∞)，欲使函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，应有m ≤－1.5．(文)(2011·浙江省台州市模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x， x <1，x －1 x ≥1，且f (a )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(2，＋∞)C ．(0,1)∪(2，＋∞)D ．(1，＋∞)[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a >1，得0<a <1，由⎩⎨⎧a ≥1，a －1>1，得a >2，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．(理)函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2)[答案] C[解析] 由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.6．(2010·山东枣庄市模考)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x x ≥4f x ＋1 x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.13 B.16 C.112 D.124 [答案] D[解析] ∵1<log 23<2，∴3<2＋log 23<4， ∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log23＝⎝⎛⎭⎫12log224＝124. 7．(文)(2011·青岛模拟)若定义运算a *b ＝⎩⎨⎧a a <b b a ≥b ，则函数f (x )＝3x *3－x 的值域是________．[答案] (0,1][解析] 由a *b 的定义知，f (x )取y ＝3x 与y ＝3－x 的值中的较小的，∴0<f (x )≤1.(理)(2011·广东省汕头市四校联考)如图所示的算法流程图中，若f (x )＝2x ，g (x )＝x 2，则h (3)的值等于________．[答案] 9[解析] 由程序框图可知，h (x )的值取f (x )与g (x )的值中较大的，∵f (3)＝23＝8，g (3)＝32＝9,9>8，∴h (3)＝9.8．若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x <0⎝⎛⎭⎫13x，x ≥0则不等式|f (x )|≥13的解集为________．[答案] [－3,1] [解析]f (x )的图象如图．|f (x )|≥13⇒f (x )≥13或f (x )≤－13.∴⎝⎛⎭⎫13x ≥13或1x ≤－13∴0≤x ≤1或－3≤x <0，∴解集为{x |－3≤x ≤1}．9．(2010·常德市检测)定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为______，最小值为______．[答案] 4 2[解析] 由3|x |＝1得x ＝0，由3|x |＝9得x ＝±2，故f (x )＝3|x |的值域为[1,9]时，其定义域可以为[0,2]，[－2,0]，[－2,2]及[－2，m ]，0≤m ≤2或[n,2]，－2≤n ≤0都可以，故区间[a ，b ]的最大长度为4，最小长度为2.10．(文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)， ∴f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x1＋4x，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x1＋4x ，∴f (x )在(－1,1)上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈0，1 －2x 4x＋1 x ∈－1，0 0 x ＝0.(2)当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝2x 2－2x 12x 1＋x 2－14x 1＋1 4x 2＋1，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数． (理)已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．[分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算f (－x )，看是否等于f (x )(或－f (x ))； (2)可用单调性定义，也可用导数判断f (x )的单调性； (3)b ≤f (x )恒成立，只要b ≤f (x )min ，由f (x )的单调性可求f (x )min . [解析] (1)函数定义域为R ，关于原点对称． 又因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． (2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f (－1)≤f (x )≤f (1)， ∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1].11.(文)(2011·浙江省金华十校模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤2log 2x －1 ，x >2，则f (f (5))等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] B[解析] f (f (5))＝f (log 2(5－1))＝f (2)＝22－2＝1.(理)(2011·山东济南一模)若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是( )A ．0<t ≤2B ．0<t ≤4C ．2<t ≤4D ．t ≥4[答案] C[解析] 由4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，得(2x ＋2y )2－2×2x ×2y ＝2(2x ＋2y )． 即t 2－2·2x ＋y ＝2t ，t 2－2t ＝2·2x ＋y.又由2x ＋2y ≥22x ＋y ，得2x ＋y ≤14(2x ＋2y )2，即2x ＋y ≤14t 2.所以0<t 2－2t ≤12t 2.解得2<t ≤4.12．(文)(2011·广州市综合测试)函数f (x )＝e x ＋e －x (e 为自然对数的底数)在(0，＋∞)上( )A ．有极大值B ．有极小值C ．是增函数D ．是减函数[答案] C[解析] 设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝e x2＋1e x 2－ex 1－1e x 1＝(e x 2－e x1)－e x 2－e x 1e x 2e x 1＝(e x 2－e x 1)(1－1e x 2e x 1)>0，所以函数f (x )＝e x ＋e －x (e 为自然对数的底数)在(0，＋∞)上是增函数．(理)(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7.若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．[94，3)B ．(94，3)C ．(2,3)D ．(1,3)[答案] C[解析] ∵{a n }是递增数列， ∴f (n )为单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >13－a >0a 8－6> 3－a ×7－3，∴2<a <3. 13．(2011·陕西师大附中一模)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.[答案]10[解析] ∵2a ＝5b ＝m ∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2 ∴m ＝10.14．(文)(2011·南通六校联考)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．[答案] m <n[解析] ∵a ＝5－12∈(0,1)，∴y ＝a x 是减函数， 故a m >a n ⇒m <n .(理)(2010·柳州市模考)已知⎝⎛⎭⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x 的值为________．[答案] －13[解析] T 7＝C 69(2x )3·⎝⎛⎭⎫－226＝212×8x ＝214， ∴3x ＝－1，∴x ＝－13.15．(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明； (3)求函数的值域．[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且为奇函数． ∴f (0)＝0，解得a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，∴f (x )为增函数．证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2. f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－1＋22x 2＋1＝2 2x 1－2x 22x 1＋1 2x 2＋1，∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，且2x 1＋1>0,2x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )为R 上增函数．(3)令y ＝2x －12x ＋1，则2x ＝－1－yy －1，∵2x >0，∴－1－yy －1>0，∴－1<y <1.∴函数f (x )的值域为(－1,1)．(理)(2010·浙江台州模拟)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x . (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝1＋⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x .因为f (x )在(－∞，0)上递减，所以f (x )>f (0)＝3，即f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M >0，使|f (x )|≤M 成立． 所以函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立． ∴－3≤f (x )≤3，即－4－⎝⎛⎭⎫14x ≤a ·⎝⎛⎭⎫12x≤2－⎝⎛⎭⎫14x ， ∴－4·2x －⎝⎛⎭⎫12x ≤a ≤2·2x －⎝⎛⎭⎫12x在[0，＋∞)上恒成立， 设2x ＝t ，h (t )＝－4t －1t ，p (t )＝2t －1t ，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1，设1≤t 1<t 2，h (t 1)－h (t 2)＝t 2－t 14t 1t 2－1t 1t 2>0p (t 1)－p (t 2)＝t 1－t 22t 1t 2＋1t 1t 2<0所以h (t )在[1，＋∞)上递减，p (t )在[1，＋∞)上递增，h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在[1，＋∞)上的最小值为p (1)＝1， 所以实数a 的取值范围为[－5,1]．1．(2010·山东省实验中学)若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D ．(0，12)[答案] D[解析] 若a >1，如图(1)为y ＝|a x －1|的图象，与y ＝2a 显然无交点；当0<a <1时，如图(2)，要使y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点，应有2a <1，∴0<a <12.2．设函数f (x )＝|2x －1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] A[解析] 因为f (x )＝|2x －1|的值域为[a ，b ]，所以b >a ≥0，而函数f (x )＝|2x －1|在[0，＋∞)内是单调递增函数，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ |2a －1|＝a |2b －1|＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，所以有a ＋b ＝1，选A.[点评] 本题解题的关键在于首先由函数的值域推出b >a ≥0，从而避免了对a 、b 的各种可能存在情况的讨论，然后根据函数的单调性，建立关于a 、b 的方程组求解．3．(2011·石家庄一中模拟)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12 xC.12x D ．x 2[答案] B[解析] 函数y ＝a x 的反函数是f (x )＝log a x ， ∵其图象经过点(a ，a )，∴a ＝log a a ，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x .4．(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( )A ．a 3＋a 7>2a 5B ．a 3＋a 7<2a 5C ．a 3＋a 7＝2a 5D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 [答案] A[解析] 因为所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，所以有a n ＝a n ，故a 3＋a 7＝a 3＋a 7，由基本不等式得：a 3＋a 7>2a 3·a 7＝2a 10＝2a 5，∴a 3＋a 7>2a 5(因为a >0，a ≠1，从而基本不等式的等号不成立)，故选A.5．设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)[答案] A[解析] 由a －2＝4，a >0，得a ＝12，∴f (x )＝(12)－|x |＝2|x |.又∵|－2|>|－1|，∴2|－2|>2|－1|，即f (－2)>f (－1)．6．函数y ＝a 2x －2(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A ，则坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为________．[答案]2[解析] 由指数函数的性质可得：函数y ＝a 2x －2(a >0，a ≠1)的图象恒过点A (1,1)，而A ∈l ， ∴m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1，由基本不等式可得：m 2＋n 2≥12(m ＋n )2＝12.∴O 到直线l 的距离d ＝1m 2＋n 2≤122＝2， ∴O 到直线l 的距离的最大值为 2.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x x ≤1log 2x －1 x >1，则f (x )≤12的解集为________．[答案] [1，2＋1] [解析] 由f (x )≤12得，⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫12x ≤12x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1 ≤12x >1， ∴x ＝1或1<x ≤2＋1，∴1≤x ≤2＋1，故解集为[1，2＋1]．8．(2011·潍坊模拟)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝2x－1，则f (23)、f (32)、f (13)的大小关系是________．[答案] f (23)<f (32)<f (13)[解析] 由f (x ＋1)＝f (－x ＋1)知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x ≥1时，f (x )为单调增函数，则x ≤1时，f (x )为单调减函数．又f (32)＝f (1＋12)＝f (1－12)＝f (12)，13<12<23，∴f (23)<f (32)<f (13)．9．已知函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0，a ≠1)，若f (－1)＝3，则f (0)＋f (2)的值为________．[答案] 9[解析] 由f (－1)＝3得a ＋1a＝3，于是f (2)＝a 2＋1a 2＝(a ＋1a)2－2＝32－2＝7. 又∵f (0)＝1＋1＝2，∴f (0)＋f (2)＝9.。
第2章 第4节一、选择题1．(2010·陕西文)下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数[答案] C[解析] ∵(x ＋y )α≠x α·y α，log a (x ＋y )≠log a x ＋log a y ，a x ＋y ＝a x ·a y ，cos(x ＋y )＝cos x cos y －sin x sin y ≠cos x cos y ，∴选C.2．(2010·南充市)若A ＝{x ∈Z |2≤22－x<8}，B ＝{x ∈R ||x －1|>1}，则A ∩(∁R B )的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由2≤22－x <8得，1≤2－x <3，∴－1<x ≤1，∵x ∈Z ，∴x ＝0或1，∴A ＝{0,1}； 由|x －1|>1得，x >2或x <0，∴B ＝{x |x >2或x <0}，∴∁R B ＝{x |0≤x ≤2}， ∴A ∩∁U B ＝{0,1}．3．(文)(2010·北京崇文区)设a ＝⎝⎛⎭⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b[答案] C[解析] y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>12>0.3，∴1>a >b ，又y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1，∴b <a <c .(理)(2010·重庆诊断)设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1B.12<⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b C ．a 2<ab <1 D ．log 12b <log 12a <0[答案] B[解析] 依题意得ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，因此A 不正确；同理可知C 不正确；由函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数得，当0<b <a <1时，有⎝⎛⎭⎫120>⎝⎛⎭⎫12b >⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛121，即12<⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b ，因此B 正确；同理可知D 不正确．综上所述，选B.[点评] 可利用a ，b 取值的任意性取特值检验，令b ＝14，a ＝12可得，14>18>116，∴a 2>ab >b 2，排除A 、C ；log1214＝2，log 1212＝1，∴log 12b >log 12a ，排除D ，故选B. 4．(文)(2010·泰安质检)某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2010年的年产量约为( )A ．60万吨B ．61万吨C ．63万吨D ．64万吨[答案] C[解析] 设年增长率为x ，则由题意知40(1＋x )10＝50，∴(1＋x )10＝54，∴2010年的年产量为40(1＋x )20＝40×⎝⎛⎭⎫542＝2504≈63万吨．(理)(2010·安徽安庆联考)如图是一个算法的程序框图，当输入x 的值为3时，输出y 的结果恰好为13，则？处的关系式是( )A ．y ＝log 9xB ．y ＝3xC ．y ＝3－xD ．y ＝x 13[答案] B[解析] 输入x ＝3≤0不成立，故x ＝3－2＝1,1≤0不成立，故x ＝1－2＝－1，－1≤0成立，执行？后输出y ＝13，故选B.5．(2010·安徽理，6)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )[答案] D[解析] 若a <0，则只能是 A 或B 选项，A 中－b2a<0，∴b <0，从而c >0与A 图不符；B 中－b2a>0，∴b >0，∴c <0与B 图也不符；若a >0，则抛物线开口向上，只能是C 或D 选项，则当b >0时，有c >0与C 、D 不符．当b <0时，有c <0，此时－b2a >0，且f (0)＝c <0，故选D.6．(文)(2010·山东理，4)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3[答案] D[解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，即0＝20＋b ，∴b ＝－1，故f (1)＝2＋2－1＝3，∴f (－1)＝－f (1)＝－3.(理)(2010·辽宁省实验中学)已知函数f (x )＝2x－1，对于满足0<x 1<x 2<2的任意实数x 1，x 2，给出下列结论：(1)(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0； (2)x 2f (x 1)<x 1f (x 2)； (3)f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； (4)f (x 1)＋f (x 2)2>f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是( ) A ．(1)(2) B ．(1)(3) C ．(2)(4)D ．(3)(4)[答案] C[解析] ∵f (x )为增函数，x 1<x 2，∴f (x 1)<f (x 2)，∴(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0，故(1)错； 排除A 、B ；A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是f (x )＝2x －1在(0,2)上任意两点，则k AB ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1不总大于1，故(3)错，排除D ，选C.7．(文)(2010·重庆南开中学)已知f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当f (x 1)＝g (x 2)＝3时，x 1>x 2，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．．的是( ) A ．b >a >1 B ．a >1>b >0 C ．0<a <b <1D ．b >1>a >0[答案] D[解析] ∵f (x 1)＝g (x 2)＝3，∴ax 1＝bx 2＝3， ∴x 1＝log a 3，x 2＝log b 3，当b >1>a >0时，x 1<0，x 2>0不满足x 1>x 2.(理)(2010·辽宁文，10)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20D ．100[答案] A[解析] ∵2a＝5b＝m ∴a ＝log 2m b ＝log 5m ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2 ∴m ＝10 选A.8．(文)(2010·吉林市质检、上海松江市模拟)若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴k ＝2，f (x )＝a x －a －x ， 又f (x )为减函数，∴0<a <1， ∴g (x )＝log a (x ＋2)的图象为A.(理)(2010·烟台中英文学校质检、海淀期中)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )[答案] D[解析] 对于A ，y ＝x ＋a 中，0<a <1，故y ＝log a x 单减，与图象不符，排除A ；对于B 、C 由y ＝x ＋a 知，a >1，∴y ＝log a x 单调增，与图象不符，排除B 、C ，因此选D.9．(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( )A ．a 3＋a 7>2a 5B ．a 3＋a 7<2a 5C ．a 3＋a 7＝2a 5D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 [答案] A[解析] 因为所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，所以有a n＝a n，故a 3＋a 7＝a 3＋a 7，由基本不等式得：a 3＋a 7>2a 3·a 7＝2a 10＝2a 5，∴a 3＋a 7>2a 5(因为a >0，a ≠1，从而基本不等式的等号不成立)，故选A.10．(文)(2010·青岛市质检)过原点的直线与函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图象于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是( )A ．(1,2)B ．(2,4)C ．(12，2)D ．(0,1) [答案] A[解析] 设A (x 0，y 0)，则y 0＝2x 0，由条件知C (x 0,4x 0)，∴y B ＝4x 0＝22x 0，∴B (2x 0,22x 0)，∵直线AB 过原点，∴k OA ＝k OB ，∴22x 02x 0＝2x0x 0，∴x 0＝1，∴A (1,2)．(理)(2010·湖南八校联考)已知函数f (x )＝log 12(4x －2x ＋1＋1)的值域是[0，＋∞)，则它的定义域可以是( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0] [答案] A[解析] 由题意知，log 12(4x －2x ＋1＋1)≥0，则有0<4x －2x ＋1＋1≤1，解得x ≤1且x ≠0，排除C 、D.经检验，当x ∈(0,1]时，f (x )的值域是[0，＋∞)．故选A.[点评] 由函数f (x )的值域为[0，＋∞)知，令u ＝4x－2x ＋1＋1，则log 12u ≥0，∴0<u ≤1，而u ＝(2x －1)2，∴x ≤1且x ≠0，而当x ＝1时，u ＝1，当x ＝0时，u ＝0，故0<x ≤1时，0<u ≤1，因此集合{x |x ≤1且x ≠0}的所有包含{x |0<x ≤1}的子集都可以取作该函数的定义域．二、填空题11．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x x ∈[－1，0]3x x ∈(0，1]，则f ⎝⎛⎭⎫log 312＝________. [答案] 2[解析] ∵－1<log 312<0，∴f (log 312)＝⎝⎛⎭⎫13log 312＝(3log 312)－1＝2.(理)(2010·北京东城区)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x x ≤0f (x －1)－f (x －2) x >0，则f (－1)＝______，f (33)＝________.[答案] 4，－2[解析] f (－1)＝21－(－1)＝4，f (33)＝f (32)－f (31)＝f (31)－f (30)－f (31)＝－f (30)，同理f (30)＝－f (27)，∴f (33)＝f (27)，∴f (33)＝f (3)＝－f (0)＝－2.12．(文)(2010·常德市检测)定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________，最小值为________．[答案] 4 2[解析] 由3|x |＝1得x ＝0，由3|x |＝9得x ＝±2，故f (x )＝3|x |的值域为[1,9]时，其定义域可以为[0,2]，[－2,0]，[－2,2]及[－2，m ]，0≤m ≤2或[n,2]，－2≤n ≤0都可以，故区间[a ，b ]的最大长度为4，最小长度为2.(理)(2010·柳州市模考)已知⎝⎛⎭⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x 的值为________．[答案] －13[解析] T 7＝C 96(2x )3·⎝⎛⎭⎫－226＝212×8x＝214，∴3x ＝－1，∴x ＝－13.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x x ≤1log 2(x －1) x >1，则f (x )≤12的解集为________．[答案] [1，2＋1] [解析] 由f (x )≤12⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ≤12x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x －1)≤12x >1， ∴x ＝1或1<x ≤2＋1，∴1≤x ≤2＋1，故解集为[1，2＋1]．14．函数f (x )的定义由程序框图给出，程序运行时，输入h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，φ(x )＝log 2x ，则f (12＋f (4)的值为________．[答案] －1516[解析] 由程序框图知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧φ(x ) h (x )>φ(x )h (x ) h (x )≤φ(x )，∵h ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212＝22，φ⎝⎛⎭⎫12＝－1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝－1， ∵h (4)＝116，φ(4)＝2，∴f (4)＝116，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (4)＝－1＋116＝－1516. 三、解答题15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)，∴f (－x )＝2－x 4－x ＋1＝2x1＋4x ，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x1＋4x ，∴f (x )在(－1,1)上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈(0，1)－2x 4x＋1 x ∈(－1，0)0 x ＝0.(2)当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋12x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4x 1＋1)(4x 2＋1)，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．16．已知关于x 的方程9x －2×3x ＋(3k －1)＝0有两个实数根，求实数k 的取值范围． [解析] 令3x ＝t ，则方程化为t 2－2t ＋(3t －1)＝0，①要使原方程有两个实数根，方程①必须有两个正根 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－2)2－4(3k －1)≥0t 1t 2＝3k －1>0t 1＋t 2＝2>0解得13<k ≤23[点评] ∵t ＝3x >0，∴原方程有两个实数根x 1、x 2，则对应的方程①应有两个正根t 1＝3x 1，t 2＝3x 2，而不是两个任意实数根．17．(文)(2010·辽宁省锦州市通考)已知函数f (x )＝m ·2x ＋t 的图象经过点A (1,1)，B (2,3)及C (n ，S n )，S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)若数列{c n }满足c n ＝6na n －n ，求数列{c n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵函数f (x )＝m ·2x＋t 的图象经过点A 、B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋t ＝14m ＋t ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1t ＝－1，∴f (x )＝2x－1，∴S n ＝2n －1，∴a n ＝2n －1.(2)c n ＝3n ·2n－n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝3×(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n)－(1＋2＋…＋n )，令P n ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n ① 则2P n ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1② ①－②得－P n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2×(2n －1)2－1－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴P n ＝(n －1)2n ＋1＋2， ∴T n ＝3(n －1)2n ＋1＋6－n (n ＋1)2. (理)(2010·浙江台州模拟)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x . (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝1＋⎝⎛12x ＋⎝⎛⎭⎫14x. 因为f (x )在(－∞，0)上递减，所以f (x )>f (0)＝3，即f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M >0，使|f (x )|≤M 成立． 所以函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立． ∴－3≤f (x )≤3，即－4－⎝⎛⎭⎫14x ≤a ·⎝⎛⎭⎫12x ≤2－⎝⎛⎭⎫14x ， ∴－4·2x －⎝⎛⎭⎫12x ≤a ≤2·2x －⎝⎛⎭⎫12x 在[0，＋∞)上恒成立，设2x ＝t ，h (t )＝－4t －1t p (t )＝2t －1t，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1，设1≤t 1<t 2，h (t 1)－h (t 2)＝(t 2－t 1)(4t 1t 2－1)t 1t 2>0p (t 1)－p (t 2)＝(t 1－t 2)(2t 1t 2＋1)t 1t 2<0所以h (t )在[1，＋∞)上递减，p (t )在[1，＋∞)上递增，h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在[1，＋∞)上的最小值为p (1)＝1， 所以实数a 的取值范围为[－5,1]．。
2-4指数与指数函数 基础巩固强化1.(文)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( ) A ．0 B.33 C. 1 D. 3[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y ＝3x 图象上知3a ＝9， 即a ＝2，所以tan a π6＝tan π3＝ 3. (理)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][答案] B[解析] 由f (1)＝19得a 2＝19， ∵a >0，∴a ＝13，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.2．(2012·浙江湖州第二次质检)已知图甲是函数y ＝f (x )的图象，则图乙中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)[答案] D[解析] 由图乙可知，该函数为偶函数，且x <0时，其函数图象与函数f (x )的图象相同，即该函数图象的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )， x <0，f (－x )， x ≥0，即y ＝f (－|x |)，故应选D. 3．(2012·北京文，5)函数f (x )＝x 12－(12)x的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 函数f (x )＝x 12－(12)x 的零点个数即为方程x 12＝(12)x的实根个数，在平面直角坐标系中画出函数y ＝x 12和y ＝(12)x的图象，易得交点个数为1个．[点评] 本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象． 4．(文)三个数P ＝(25)－15 ，Q ＝(65)－15 ，R ＝(65)－25的大小顺序是( )A ．Q <R <PB ．R <Q <PC ．Q <P <RD ．P <Q <R[答案] B[解析] 由于当a >1时，y ＝a x为R 上的增函数，故(65)－25 <(65)－15 ，则排除A 、C 、D ，选B.对于A 选项，∵0<a <1时，对x <0有a x >1，但当a >1时，对x <0，a x <1，故(65)－15<(25)－15 .(理)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b[答案] C[解析] y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>12>0.3，∴1>a >b ，又y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1，∴b <a <c .5．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为( )A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋xD ．y ＝3x －2[答案] D[解析] 设P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，则P 关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在函数f (x )的图象上，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－x，即g (x )＝3x －2.6．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，2x (x ≤0).若f (a )＝12，则实数a ＝( )A ．－1 B. 2 C ．－1或 2 D ．1或－ 2[答案] C[解析] 当a >0时，log 2a ＝12，∴a ＝2；当a <0时，2a ＝12，∴a ＝－1，选C.(理)(2013·四川内江市一模)已知a 是f (x )＝2x －log 13x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)<0B ．f (x 0)＝0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定[答案] A[解析] 如图，在同一坐标系中，画出函数y ＝2x 与y ＝log 13x 的图象，其交点P 的横坐标为a,0<x 0<a 时，2x 0<log 13x 0，∴f (x 0)<0.7．设函数f (x )＝a －|x |(a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则f (－2)与f (1)的大小关系是________．[答案] f (－2)>f (1)[解析] 由f (2)＝a －2＝4，解得a ＝12， ∴f (x )＝2|x |，∴f (－2)＝4>2＝f (1)．8．(2011·厦门质检)方程9x －6·3x －7＝0的解是________． [答案] log 37[解析] 9x －6·3x －7＝0⇔(3x )2－6·3x －7＝0， ∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去)．∴x ＝log 37.9．(文)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3e x －1x <3，log 3(x 2－6) x ≥3.则f (f (3))的值为________． [答案] 3[解析] f (3)＝log 3(32－6)＝1，f (f (3))＝f (1)＝3e 1－1＝3.(理)(2012·衡水模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0；③2－a <2c; ④2a ＋2c <2. [答案] ④ [解析]作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示．又a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a <1，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，∴f (c )<1，∴0<c <1，∴1<2c <2，f (c )＝|2c －1|＝2c －1， 又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2. 10．已知函数f (x )＝(23)|x |－a . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．[分析] 这是一个复合函数判定单调性的问题，解题时先找出构成复合函数的简单函数，分别考虑它们的单调性，再求f (x )的单调区间，最后利用单调性考虑何时取到最大值94，从而建立a 的方程求出a .[解析] (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由(1)知，f (x )在x ＝0处取到最大值， ∴f (0)＝(23)－a ＝94，∴a ＝2.能力拓展提升11.(2011·湖北理，6)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154 C.174 D ．a 2[答案] B[解析] ∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2得，f (－x )＋g (－x )＝a －x －a x ＋2，解得f (x )＝a x －a －x ，g (x )＝2，又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ，∴f (2)＝154.12．(文)已知f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当f (x 1)＝g (x 2)＝3时，x 1>x 2，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．．的是( ) A ．b >a >1 B ．a >1>b >0 C ．0<a <b <1 D ．b >1>a >0[答案] D[解析] ∵f (x 1)＝g (x 2)＝3，∴ax 1＝bx 2＝3， ∴x 1＝log a 3，x 2＝log b 3，当b >1>a >0时，x 1<0，x 2>0不满足x 1>x 2.(理)已知实数a 、b 满足等式(12)a ＝(13)b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ，其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝(13)x ，y ＝(12)x 的图象，如图．当x <0时，∵(12)a ＝(13)b，∴a <b <0，②成立； 当x >0时，(12)a ＝(13)b，则有0<b <a ，①成立； 当x ＝0时，(12)a ＝(13)b ，则有a ＝b ＝0，⑤成立． 故③④不成立，故选B.13．(文)若关于x 的方程4x ＋(1－a )·2x ＋4＝0有实数解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，5]B ．[5，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(－5,5][答案] B[解析] a －1＝2x＋42x ≥22x·42x ＝4等号在2x ＝42x ，即x ＝1时成立，∴a ≥5.(理)(2011·襄阳一调)用min{a ，b ，c }表示a 、b 、c 三个数中的最小值，设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 [答案] B[解析]解法1：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (0≤x ≤2)，x ＋2 (2<x ≤4)，10－x (x >4).由于函数在区间[0,2]上单调递增，在区间(2,4]上单调递增，在点x ＝2处两段的函数值相等，故函数在区间[0,4]上单调递增，函数在区间(4，＋∞)上单调递减，又在点x ＝4处两段上的函数值相等，故x ＝4是函数的最大值点，函数的最大值是f (4)＝6.故选B.解法2：画出y ＝2x ，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图象如图，根据函数f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }的意义，函数f (x )的图象是由上面三个函数图象位于最下方的图象组成的，观察图象可知，当0≤x ≤2时，f (x )＝2x ，当2<x ≤4时，f (x )＝x ＋2，当x >4时，f (x )＝10－x ，f (x )的最大值在x ＝4时取得，最大值为6，故选B.14．(2012·杭州第一次质检)若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x <0，2－x ，x ≥0，则方程f (x )＝12的解集为________．[答案] {1}[解析] 方程f (x )＝12可化为，⎩⎨⎧x <0，1x ＝12，或⎩⎨⎧x ≥0，2－x ＝12，解之得，x ＝1.15．已知函数f (x )＝(13)ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．[解析] (1)当a ＝－1时，f (x )＝(13)－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增， 在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝(13)t在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减， 在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)， 递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝(13)h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.[点评] 讨论f (x )＝(13)－x 2－4x ＋3的单调区间时，可化为f (x )＝3x 2＋4x －3讨论，也可利用导数讨论．16．(文)已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． [分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算f (－x )，看是否等于f (x )(或－f (x ))；(2)可用单调性定义，也可用导数判断f (x )的单调性； (3)b ≤f (x )恒成立，只要b ≤f (x )min ，由f (x )的单调性可求f (x )min . [解析] (1)函数定义域为R ，关于原点对称． 又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f (－1)≤f (x )≤f (1)， ∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a2a＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]．(理)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m 、n ，同时满足以下条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]． 若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由．[分析] (1)由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的单调性可求出f (x )的值域，g (x )是以f (x )为变元的二次函数，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，可求关于t 的二次函数的最小值h (a )．(2)由(1)知当m >n >3时h (a )的表达式，考察h (a )在[n ，m ]上的单调性，结合其值域[n 2，m 2]，可列出关于m ，n 的方程组求解m ，n ，如果有解则所求实数m ，n 存在，否则不存在．[解析] (1)因为x ∈[－1,1]，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.设⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.当a <13时，h (a )＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a <13，3－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤a ≤3，12－6a (a >3).(2)因为m >n >3，a ∈[n ，m ]，所以h (a )＝12－6a .因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，且h (a )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2.两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，因为m >n ，所以m －n ≠0，得m ＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾，故满足条件的实数m 、n 不存在．[点评] 解题关键在于利用换元的思想方法，将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值．对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在．1．如图是一个算法的程序框图，当输入x 的值为3时，输出y 的结果恰好为13，则？处的关系式是( )A ．y ＝log 9xB ．y ＝3xC ．y ＝3－xD ．y ＝x 13[答案] B[解析] 输入x ＝3≤0不成立，故x ＝3－2＝1,1≤0不成立，故x ＝1－2＝－1，－1≤0成立，执行？后输出y ＝13，故选B.2．下列大小关系正确的是( ) A ．0.43<30.4<log 40.3 B ．0.43<log 40.3<30.4 C ．log 40.3<0.43<30.4 D ．log 40.3<30.4<0.43 [答案] C[解析] 根据指数函数和对数函数的性质，0<0.43<1,30.4>1，log 40.3<0，故有log 40.3<0.43<30.4.3．函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )[答案] A[解析] 函数有意义，需e x －e －x ≠0，即x ∈{x |x ≠0}，排除答案C 、D ；又y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，当x >0时为减函数，排除B ，故选A.4．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≤1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12[答案] A[解析] 由条件知，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，又x ＝1为其对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 故选A.5．在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )[答案] D[解析] 对于A ，y ＝x ＋a 中，0<a <1，故y ＝log a x 单减，与图象不符，排除A ；对于B 、C 由y ＝x ＋a 知，a >1，∴y ＝log a x 单调增，与图象不符，排除B 、C ，因此选D.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0.则不等式|f (x )|≥13的解集为________．[答案] [－3,1] [解析]f (x )的图象如图． |f (x )|≥13⇒f (x )≥13， 或f (x )≤－13.∴⎩⎨⎧x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥13，或⎩⎨⎧x <0，1x ≤－13，∴0≤x ≤1或－3≤x <0，∴解集为{x |－3≤x ≤1}．7．函数f (x )的定义由程序框图给出，程序运行时，输入h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，φ(x )＝log 2x ，则f (12)＋f (4)的值为________．[答案] －1516[解析] 由程序框图知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧φ(x )， h (x )>φ(x )，h (x )， h (x )≤φ(x ).∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝22，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1， ∵h (4)＝116，φ(4)＝2，∴f (4)＝116，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (4)＝－1＋116＝－1516. 8．(2012·乌鲁木齐地区诊断)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在[－3，－2]上为减函数，则在锐角△ABC 中，有( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B )[答案] A[解析] 由题知偶函数f (x )的周期为2，所以f (x )在[－1，0]上为减函数，故偶函数f (x )在[0,1]上为增函数，因为A ＋B >π2，所以π2>A >π2－B >0,1>sin A >cos B >0.于是f (sin A )>f (cos B )，故选A.。
