定义域和值域

函数的定义域与值域函数是数学中常见的概念，它描述了两个集合之间的映射关系。

在讨论函数时，我们经常会遇到两个重要的概念，即定义域和值域。

本文将详细介绍函数的定义域与值域，并探讨它们在函数理论和实际问题中的重要性。

一、定义域的概念及作用在定义函数时，我们需要明确函数的输入变量的取值范围，这个取值范围称为函数的定义域。

简单来说，定义域是指函数能够接受的实际参数的集合。

例如，考虑一个简单的函数f(x) = 2x，如果我们要求f(x)的定义域为实数集，那么定义域可以表示为D = R。

这意味着函数f(x)可以接受任意实数作为输入。

定义域在函数的数学性质和实际应用中都起着重要作用。

首先，定义域的确定可以帮助我们分析函数的性质。

对于某些函数来说，定义域的限制可能导致函数的不连续、无定义等特殊情况。

其次，在实际问题中，定义域的设定可以帮助我们剔除那些无法满足条件的输入值，从而使得函数描述的问题更加合理和实用。

二、值域的概念及意义值域是函数中输出变量的取值范围，也可以理解为函数所有可能的输出值组成的集合。

考虑函数f(x) = x^2，如果定义域为实数集，那么值域可以表示为R+，即非负实数集合。

这是因为对于任意实数x，函数f(x)总能输出一个非负实数。

值域的确定与函数的图像密切相关。

通过绘制函数的图像，我们可以直观地观察函数的值域。

但需要注意的是，并非所有函数都能通过图像判断值域。

对于某些复杂的函数来说，值域的确定需要借助数学分析和推导。

在实际应用中，值域的确定有助于我们了解问题的解空间和可能的输出结果。

通过对值域的分析，我们可以推断出函数的特性，帮助我们解决实际中遇到的问题。

三、定义域与值域的关系定义域和值域是函数中的两个重要概念，它们之间存在一定的关系。

首先，定义域决定了值域的范围。

也就是说，值域的元素必须是定义域中元素通过函数映射得到的结果。

例如，对于函数f(x) = x^2而言，如果定义域为实数集，则值域为非负实数集。

函数的定义域及值域
函数的定义域和值域是函数的两个基本概念，也是学习函数的重要内容之一。

下面将详细介绍函数的定义域和值域。

函数的定义域指函数自变量的取值范围。

也就是说，在函数中，自变量只能取定义域中的值。

定义域可以是一个数集，也可以是多个数集的交集。

对于一些函数，其定义域可能需要满足一些额外的条件，例如函数的分母不能为零。

下面是一些常见的函数定义域：
（1）多项式函数的定义域是实数集R。

（2）有理函数的定义域是除去使分母为零的实数集的补集。

（3）指数函数、对数函数、三角函数等的定义域都要满足一定条件，例如指数函数的定义域是实数集，对数函数的定义域是(0,+\infty)。

函数的值域是函数在定义域内所有可能的输出值所形成的集合。

也就是说，值域是函数的因变量的取值范围。

对于函数的值域，通常需要考虑函数的单调性、奇偶性、周期等性质。

下面是一些常见的函数值域：
（2）对于三角函数sinx和cosx，它们的值域都是[-1,1]。

（3）对于指数函数y=a^x，其中a>0且a!=1，其值域是(0,+\infty)。

需要注意的是，在求解函数的值域时，需要考虑函数的定义域。

如果函数的定义域不是实数集，那么需要剔除定义域外的值。

综上所述，函数的定义域和值域是函数的两个基本概念。

在学习函数时，我们需要认真理解它们的含义，并学会合理运用。

函数的定义域和值域函数的定义域、值域⼀、知识回顾第⼀部分：函数的定义域1.函数的概念：设集合A 是⼀个⾮空的数集，对于A 中的任意⼀个数x ，按照确定的法则f ，都有唯⼀的确定的数y 与它对应，则这种关系叫做集合A 上的⼀个函数，记作()x f y =，(A x ∈)其中x 叫做⾃变量，⾃变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域.如果⾃变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作)(a f y =或ax y=，所有的函数值所构成的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域.2.定义域的理解：使得函数有意义的⾃变量取值范围，实际问题还需要结合实际意义在确定⾃变量的范围，注意:定义域是个集合，所以在解答时要⽤集合来表⽰. 3.区间表⽰法：设a ，R b ∈，且b a <.满⾜b x a ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[]b a ,. 满⾜b x a <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作()b a ,.满⾜b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，记作(][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点，在数轴上表⽰时，包括端点时，⽤实⼼的点，不包括时⽤空⼼点表⽰.4.基本思想：使函数解析式有意义的x 的所有条件化为不等式，或不等式组的解集.5.定义域的确定⽅法：保证函数有意义，或者符合规定，或满⾜实际意义. （1）分式的分母不为零. （2）偶次⽅根式的⼤于等于零. （3）对数数函数的真数⼤于零.（4）指数函数与对数函数的底⼤于零且不等于1. （5）正切函数的⾓的终边不能在y 轴上. （6）零次幂的底数不能为零.（7）分段函数：①分段函数是⼀个函数.②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.（8）复合函数定义域的求法：①已知)(x f y =的定义域是A ，求()[]x f y ?=的定义域的⽅法为解不等式：A x ∈)(?，求出x 的取值范围.②已知()[]x f y ?=的定义域为A ，求)(x f y =的定义域的⽅法:A x ∈，求)(x ?的取值范围即可.第⼆部分：函数的值域函数值域的确定⽅法：（1）直接观察法对于⼀些⽐较简单的函数，其值域可通过观察得到. （2）分离常数法：分⼦、分母是⼀次函数得有理函数，形如,dcx bax y ++=，,,,,(d c b a 为常数，)0≠c 可⽤分离常数法，此类问题⼀般也可以利⽤反函数法.（3）换元法：运⽤代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另⼀函数，从⽽求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常⽤此法求解. （4）配⽅法：适⽤于⼆次函数值域的求值域. （5）判别式法：适⽤于⼆次函数型值域判定.（6）单调性法：利⽤单调性，端点的函数值确定值域的边界.（7）函数的有界性：在直接求函数值域困难的时候，可以利⽤已学过函数的有界性，反过来确定函数的值域.（8）不等式法：利⽤不等式的性质确定上下边界.（9）数形结合法：函数解析式具有明显的某种⼏何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题⽬若运⽤数形结合法，往往会更加简单，⼀⽬了然，赏⼼悦⽬.⼆、精选例题第⼀部分：函数的定义域例1.函数x x y +-=1的定义域为（）A .{}1x x ≤B .{}0x x ≥ C.{}10x x x ≥≤或 D.{}01x x ≤≤【解析】由题意??≥≤≥≥-01001x x x x 即∈x {}10≤≤x x ，故选D. 例2.函数()()xx x x f -+=01的定义域是（）A .()0,+∞B .(),0-∞C.()(),11,0-∞--UD.()()(),11,00,-∞--+∞U U【解析】由?≠-≠+001x x x 得,01<-≠x x 故选C.例3.若函数()1+=x f y 的定义域是[],3,2-则()12-=x f y 的定义域是（）5.0,2A ??[]4,1.-B []5,5.-C []7,3.-D 【解析】Θ()1+=x f y 的定义域是[],3,2-,32≤≤-∴x[]4,11-∈+∴x ，即()x f 的定义域是[]4,1-.⼜由4121≤-≤-x 解得250≤≤x即()12-=x f y 的定义域是??25,0故选.A例4.设函数()x f y =的定义域是()1,0，则()2x f y =的定义域是什么？【解析】Θ函数()x f y =的定义域是()1,0.102<<∴x 即11<<-x故()2x f y =的定义域是()1,1-∈x 且0≠x .例5.已知函数(),11+=x x f 则函数()[]x f f 的定义域是（） {}1.-≠x x A {}2.-≠x x B {}21.-≠-≠x x x C 且{}21.-≠-≠x x x D 或【解析】：()11+=x x f 的定义域是101-≠?≠+x x 则()[]x f f 的定义域是111-≠+x 即21012-≠-≠?≠++x x x x 且故选.C 例6.已知()x f21-求函数??-xx f 213的定义域是?【解析】由()x f21-可知021≥-x 即0213≥-x x ()2100312≤≤?≤-?x x x故函数-x x f 213的定义域是??∈21,0x例7.若函数y =的定义域是R ，求实数k 的取值范围.【解析】当0=k 时，86+-=x y ，当34>x 时，⽆意义，∴0≠k ；当068y kx x k =-++为开⼝向下的⼆次函数，图像向下延伸，函数值总会出现⼩于零的情况，进⽽，0k 时，同时要求0≤?，即解得1≥k .例8.已知函数x x x f -+=11lg )(，求函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域. 【解析】由题意011>-+xx，即0)1)(1(<+-x x ，解得11<<-x 故函数xxx f -+=11lg )(的定义域为)1,1(-所以??≠+<+<-012111x x 解得02<<-x 且21-≠x .即12)1()(++=x x f x m 的定义域为)0,21()21,2(---Y⼜121<<-x，解得22<<-x ，即)2(x f 的定义域为)2,2(-)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域即为)(x m 和)2(x f 的定义域的交集，即)0,21()21,2(---Y )2,2(-I =)0,21()21,2(---Y故函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域为)0,21()21,2(---Y .例9.已知函数()23x x f x a b =?+?，其中常数,a b 满⾜0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性；（2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围. 【解析】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>?-<，121233,0(33)0x x x xb b <>?-<，∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数. 当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数. （2）(1)()2230x x f x f x a b +-=? +?>当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2ax b<-.第⼆部分：函数的值域1.观察法：例1.求函数x y 1=的值域. 【解析】0≠x Θ01≠∴x0≠∴y ，即值域为：()()+∞∞-,00,Y2.分离常数法：分⼦、分母是⼀次函数得有理函数，形如)0,,,(,≠++=c d c b a dcx bax y 为常数，，可⽤分离常数法，此类问题⼀般也可以利⽤反函数法.通式解析：)(,)(cad b d cx c ad b c a d cx b c ad d cx c a d cx b ax y ≠+-+=++-+=++=故值域为?≠c a y y 例2.求函数125xy x -=+的值域. 【解析】因为177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++，所以72025x ≠+，所以12y ≠-，所以函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-.3.换元法：运⽤代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另⼀函数，从⽽求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常⽤此法求解.例3.(A 类)求函数2y x =.【解析】令x t 21-=（0t ≥），则212t x -=，所以22151()24y t t t =-++=--+因为当12t =，即38x =时，max 54y =，⽆最⼩值所以函数2y x =5(,]4-∞.4.三⾓换元：例4.求函数2)1(12+-++=x x y 的值域.【解析】0)1(12≥+-x Θ1)1(2≤+∴x ，令[]πββ,0,cos 1∈=+x1)4sin(21cos sin cos 11cos 2++=++=-++=∴πβββββy ，,0πβ≤≤Θ4544ππβπ≤+≤，1)4sin(22≤+≤-πβ， 121)4sin(20+≤++≤πβ故值域为：[]12,0+ 5.配⽅法：例5.求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+，因为[1,1]x ∈-，所以2[3,1]x -∈--，所以21(2)9x ≤-≤，所以23(2)65x -≤--+≤，即35y -≤≤，所以函数242y x x =-++在（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-.6.判别式法：例6.求函数2211xx x y +++=的值域. 【解析】原函数化为关于x 的⼀元⼆次⽅程，0)1()1(2=-+--y x x y （1）当1≠y 时，R x ∈，0)1(4)1(22≥---=?y .解得2321≤≤y ，当1=y 时，0=x ，⽽??∈23,211，故函数的值域为??23,21.7.单调性法：例7.求函数x x x f 4221)(-+-=的值域. 【解析】由042≥-x ，解得21≤x ，令x x g 21)(-=，x x m 42)(-=，在21≤x 上)(),(x m x g 均为单调递减函数，所以x x x m x g 4221)()(-+-=+在21≤x 上也是单调递减函数.故0)21()(min ==f x f ，值域为),0[+∞.8.有界性例8.求函数11+-=x x e e y 的值域.【解析】函数变形为11-+=y y e x，0>x e Θ011>-+∴y y ，解得11<<-y ，所以函数的值域为()1,1-.9.不等式法：例9.求函数xx y 4+=的值域；【解析】当0>x 时，4424=?≥+=xx x x y （当x =2时取等号）；所以当0>x 时，函数值域为),4[+∞. 当02)4(-=?-≤+-=xx x x y （当2-=x 时取等号）；所以当010.数形结合法函数解析式具有明显的某种⼏何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题⽬若运⽤数形结合法，往往会更加简单，⼀⽬了然，赏⼼悦⽬. 例10. （1）求函数82++-=x x y 的值域.（2）求函数5413622++++-=x x x x y 的值域. （3）求函数5413622++-+-=x x x x y 的值域.【解析】（1）函数可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(-B 间的距离之和.由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10min ==AB y 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10>=AB y 故所求函数的值域为：),10[+∞ 此题也可以画函数图象来解.（2）原函数可变形为：2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=可看成x 轴上的点)0,(x P 到两定点)1,2(),2,3(--的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，如图34)12()23(22min =+++==AB y ，故所求函数的值域为),34[+∞.（3）将函数变形为：2222)10()2()20()3(-++--+-=x x y可看成定点A ()3,2到点P )0,(x 的距离与定点B ()2,1-到点P )0,(x 的距离之差. 如图BP AP y -=由图可知：①当点P 在x 轴上且与A ，B 两点不供线时，如点'P ，则构成'ABP ?，()23()1,2--ABPxyBPA根据三⾓形两边之差⼩于第三边，有26)12()23(22=-++=<'-'AB P B P A所以2626<'-'<-P B P A即2626<<-y②当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26=='-'AB P B P A .综上所述，函数的值域为：]26,26(-.三、课堂训练第⼀部分：函数定义域1.函数()x x x y +-=1的定义域为（）{}0.≥x x A{}1.≥x x B{}{}01.Y ≥x x C{}10.≤≤x x D解析：由题意得()≥≥-001x x x ≥≤≥?001x x x 或即[){}0,1Y +∞∈x ，故选.C 2.()xx f 11211++=的定义域为 .【解析】由分式函数分母不为0得：≠≠+≠++001101121x x x解得≠-≠≠-≠-≠010311x x x x x 或或()1,-∞-∈?x ??? ??-31,1Y ??? ??0,31Y ()+∞,0Y3.已知函数()x f 的定义域为[].2,2- ①求函数()x f 2的定义域；②求函数??-141x f 的定义域. 【解析】①Θ函数()x f 的定义域为[]2,2-222≤≤-∴x 即11≤≤-x 故函数()x f 2的定义域为[]1,1-∈x . ②Θ函数()x f 的定义域为[]2,2-21412≤-≤-∴x 即124≤≤-x 故函数??-141x f 的定义域为[]12,4-. 4.已知函数()42-x f的定义域[]5,3∈x ，则函数()x f 的定义域是？【解析】Θ函数()42-x f 的定义域[]5,3∈x 21452≤-≤∴x即函数()x f 的定义域是[]21,5∈x5.如果函数()()()x x x f -+=11的图像在x 轴上⽅，则()x f 的定义域为（）.{}1.x x B {}11.-≠x x x D 且【解析】对于()(),011>-+x x 当0≥x 时，有()()011<-+x x 11<<-?x 得;10<≤x当0>+x 1-≠?x 得.10-≠6.（1）已知1,,,,≠∈+a R z y x a ，设,,log 11log 11zya a ay ax --==⽤x a ,表⽰z .（2）设ABC ?的三边分别为c b a ,,，且⽅程01lg 2)lg(2222=+--+-a b c x x 有等根，判断ABC ?的形状. 【解析】（1）,,log 11log 11 zya a ay ax --==则,log 11log log ,log log log 11log 11zay ax a za a ya a a a -===--y ax a ya a a log 11log log log 11-==-zza a log 11log 1111-=--=所以xz a a log 11log -=，故xa a z log 11-=.（2）原⽅程可以转化为0)(10lg22222=-+-a b c x x ⼜因为⽅程有等根，则0)(10lg 4)2(2222=---=?ab c ，必然有1)(10lg 222=-a b c ，所以10)(10222=-ab c ，即222a b c +=. 故ABC ?为直⾓三⾓形.第⼆部分：函数的值域例1.求函数111++=x y 的值域.【解析】.111,01≥++∴≥+x x Θ∴11110≤++<x ，∴函数的值域为(]1,0.例2.求函数[]2,1,522-∈+-=x x x y 的值域. 【解析】将函数配⽅得：()412 +-=x y []2,1-∈x Θ由⼆次函数的性质可知：当1=x 时，,4min =y 当1-=x 时，8max =y故函数的值域是[]8,4例3.求函数1-+=x x y 的值域.【解析】令()01≥=-t t x ，则12+=t x 故.4321122+??? ??+=++=t t t y⼜,0≥t 由⼆次函数性质知，当0=t 时，;1min =y 当t 不断增⼤时，y 值趋于∞+，故函数的值域为[)+∞,1.例4.求函数2332+-+-=x x x y 的值域.【解析】定义域满⾜?≥+-≥-023032x x x 3≥?x . 令,31-=x y 任取,321≥>x x 由,03333212121>-+--=---x x x x x x1y ∴在[)+∞,3上单调递增.令,2322+-=x x y由,232+-=x x u 对称轴,23=x 开⼝向上，知2y 在[)+∞,3上也单调递增. 从⽽知()=x f 2332+-+-x x x 在定义域[)+∞,3上是单调递增.()∴=≥∴.23f y 值域为[)+∞,2.例5.求函数21+-=x x y 的值域【解析】由1231232≠+-=+-+=x x x y ，可得值域{}1≠y y例6.求13+--=x x y 的值域【解析】可化为 ??>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y 如图：观察得值域{}44≤≤-y y .例7.求函数x y -=3的值域. 【解析】0≥x Θ33,0≤-≤-∴x x 故函数的值域是：[]3,∞-例8.求函数51042+++=x x y 的值域.【解析】配⽅，得().5622+++=x y ().65,6622+≥∴≥++y x Θ∴函数的值域为).,65(+∞+例9.求函数1122+++-=x x x x y 的值域.【解析】Θ1122+++-=x x x x y ，R x ∈，去分母整理得()()01112=-+++-y x y x y.当1=y 时，,0=x 故y 可取1；①当1≠y 时，⽅程①在R 内有解，则()()(),011412≥---+=?y y y,031032≤+-∴y y 解得.331≤≤y ∴函数的值域为.3,31??例10.求函数11--+=x x y 的值域.【解析】原函数可化为：112-++=x x y令,1,121-=+=x y x y 显然21,y y 在[)+∞,1上为⽆上界的增函数所以21,y y y =在[)+∞,1上也为⽆上界的增函数所以当1=x 时，21y y y +=有最⼩值2，原函数有最⼤值22 2= 显然,0>y 故原函数的值域为(]2,0.例11.求函数133+=x xy 的值域【解析】设t x=+13 ，则()111131113113>-=+-=+-+=t ty xx x 101101<<∴<<∴>y tt Θ，()01原函数的值域为∴.例12.求函数53-++=x x y 的值域.【解析】53-++=x x y ??≥-<<--≤+-=)5(22)53(8)3(22x x x x x由图像可知函数53-++=x x y 的值域为[)+∞,8.四、课后作业【训练题A 类】1.函数()f x = ）.A . 1[,)2+∞B . 1(,)2+∞ C. 1(,]2-∞ D. 1(,)2-∞2.函数265x x y ---=的值域是（）525.≤≤y A5.≤y B 50.≤≤y C 5.≥y D 3.函数31---=x x y 在其定义域内有（）.A 最⼤值2，最⼩值2- .B 最⼤值3，最⼩值1- .C 最⼤值4，最⼩值0 .D 最⼤值1，最⼩值3-4.已知函数31++-=x x y 的最⼤值为M ，最⼩值为m ，则Mm的值为（） 41.A 21.B 22.C 23.D 5.函数()=x f 962+-x 的值域是 ( )A 、（－∞，6）B 、]3,(-∞C 、 (0，6)D 、 (0，3) 6.()421-=x x f 的定义域为_____ 7.函数x x y 21-+=的值域是 . 8.求()43 13512-++-=x x x x f 的定义域9.求2045222+-++-=x x x x y 的值域.10.求函数12-+=x x y 的值域.11.已知()x f 的值域为,94,83??试求()()x f x f y 21-+=的值域.【参考答案】1.【答案】C【解析】由根式知21021≤?≥-x x 故选.C 2.【答案】A【解析】425425216022≤+??+-=--≤x x x Θ， 25602≤--≤∴x x ，即525≤≤y3.【答案】A【解析】由题意得()()()??>≤<-≤-=3,231,421,2x x x x y []2,2-∈?y ，故选A4.【答案】C【解析】两边平⽅，即()()312312+-+++-=x x x x y ()41242++-+=x844max 2=+=y ，4min 2=y ，284max min ==y y 故选C . 5.【答案】B 【解析】∴≥+392x Θ3962≤+-x 故选.B6.【答案】()+∞,8 【解析】80421≥?≥-x x ，即()+∞,8 7.【答案】(],1-∞【解析】令x t 21-=则()0212≥-=t t x 即()()021212≥++-=t t t t f ()11212+--=t故1=t 时，取得最⼤值.即().1≤x f8.【解析】1212210431012>>≥>-≥-x x x x x ，即()+∞,129.【解析】()()1624122+-++-=x x y ()()()()2222402201-+-+++-=x x即可看成三点：()()()4,2,2,1,0,B A x P -，PB PA y +=在PAB ?中AB PB PA >+知点()2,1-A 点()4,2B 在数轴异侧时AB 最⼤. PB PA y +==AB 故()()3742212=--+-=≥AB y10.【解析】显然，函数的定义域为21≥x . 当21≥x 时，函数12,21-==x y x y 都是递增的所以在21=x 时，取得最⼩值.即??+∞∈,21y .11.【解析】()(),412191,9483≤-≤∴≤≤x f x f Θ即有(),212131≤-≤x f令(),21,31,21∈-=t x f t ()(),1212t t x f +-=()()t t t g y +-==∴2121()11212+--=t21,311Θ，∴函数()t g y =在区间21,31上单调递增，,9731min =??? ??=∴g y ∴=??? ??=.8721max g y 函数的值域为87,97.【训练题B 类】1.求()52+=x x f 的值域2.求函数xy --=111的值域3.求函数12--=x x y 的值域.4.已知()x f 43-的定义域为[],2,1-∈x 则函数()x f 的定义域是？5.求下列函数的值域：（1）;1342++=x x y （2）5438222+-+-=x x x x y6.对于每个函数x ，设()x f 是2,14+=+=x y x y 和42+-=x y 三个函数中的最⼩者，则()x f 的最⼤值是什么？7.已知??-x f 213的定义域为[]5,1∈x ，则函数()32+x f 的定义域是？8.求下列函数的值域：（1）[);5,1,642∈+-=x x x y（1）245x x y -+=.9.求函数13+--=x x y 的值域.10.函数232+-=kx x y 的值域为??+∞-? -∞-,3232,Y ，求k 的值.11.（1）已知函数?≥<=0,0,)(2x x x x x f ，求))((x f f .（2）求函数12)(2--+=x x x f 的最⼩值.12.若函数432--=x x y 的定义域为[],,0m 值域为,4,425??--求m 的取值范围.【参考答案】1.【解析】25052-≥?≥+x x ，即??+∞-,25 2.【解析】原式化为,11=--x y y ,011≥-=-∴yy x 即01<≥y y 或. 故()[)+∞∞-∈,10,Y y .3.【解析】函数的定义域是{}.,1R x x x ∈≥令()0,1≥=-t t x 则 ,12+=t x8154122222+??-=+-=∴t t t y ，⼜o t ≥，∴结合⼆次函数的图像知()815≥t y .故原函数的值域为?≥815y y . 4.【解析】Θ()x f 43-的定义域为[]2,1-∈x 7435≤-≤-∴x()x f ∴的定义域为[]7,5-∈x .5.【解析】（1）由1342++=x x y 可得,0342=-+-y x yx 当0=y 时，;43-=x 当0≠y 时，,R x ∈故()(),03442≥---=?y y解得,41≤≤-y 且0≠y .当2-=x 时，;1-=y 当21=x 时，.4=y∴所求函数的值域为[].4,1-（2）由5438222+-+-=x x x x y 可得()()0352422=-+---y x y x y ，当02≠-y 时，由,R x ∈得()()()035242162≥----=?y y y ，25≤≤-∴y .25<≤-∴y .经检验2=x 时，5-=y ，⽽2≠y .∴原函数的值域为[]2,5-.6.【解析】在同⼀直⾓坐标系中作出三个函数的图像，由图像可知，()x f 的最⼤值是2+=x y 和42+-=x y 交点的纵坐标，易得()3 8max =x f . 7.【解析】Θ??-x f 213的定义域为[]5,1∈x 2521321≤-≤∴x 即253221≤+≤x 4145-≤≤-∴x 故函数()32+x f 的定义域是??--∈41,45x 8.【解析】（1）配⽅，得().222+-=x y [),5,1∈x Θ∴函数的值域为{}.112<≤y y（2）对根号⾥配⽅得：()30922≤≤?+--=y x y 即[]3,0∈∴y .。

函数的定义域与值域一、定义域1．基本函数的定义域求法（1）分式中的分母不为零 （2）偶次方根下的数（或式）大于或等于零；（3）指数式的底数大于零且不等于一； （4）对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零； （5）正切函数x y tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且； （6）反三角函数的定义域y ＝arcsinx 的定义域是[－1，1]，值域是； y ＝arccosx 的定义域是[－1，1]，值域是[0，π] ；y ＝arctgx 的定义域是R ，值域是；2．复合函数的定义域求法 若已知)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域就是不等式A x g ∈)(的x 的集合；若已知)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域就是函数)(x g )(A x ∈的值域。

例1．⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．例2． 已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R 求实数m 的取值范围。

分析：函数的定义域为R ，表明0862≥++-m mx mx ，使一切R x ∈都成立，由2x 项的系数是m ，所以应分0=m 或0≠m 进行讨论。

解：当0=m 时，函数的定义域为R ；当0≠m 时，0862≥++-m mx mx 是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是⎩⎨⎧≤+--=∆>0)8(4)6(02m m m m 10≤<⇒m 综上可知10≤≤m 。

例3．已知函数347)(2+++=kx kx kx x f 的定义域是R ，求实数k 的取值范围。

函数的定义域、值域一、知识回顾第一部分：函数的定义域1.函数的概念：设集合A 是一个非空的数集，对于A 中的任意一个数x ，按照确定的法则f ，都有唯一的确定的数y 与它对应，则这种关系叫做集合A 上的一个函数，记作()x f y =，(A x ∈)其中x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域.如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作)(a f y =或a x y =，所有的函数值所构成的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域.2.定义域的理解：使得函数有意义的自变量取值范围，实际问题还需要结合实际意义在确定自变量的范围，注意:定义域是个集合，所以在解答时要 用集合来表示. 3.区间表示法：设a ，R b ∈，且b a <.满足b x a ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[]b a ,. 满足b x a <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作()b a ,.满足b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，记作(][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点，在数轴上表示时，包括端点时，用实心的点，不包括时用空心点表示.4.基本思想：使函数解析式有意义的x 的所有条件化为不等式，或不等式组的解集.5.定义域的确定方法：保证函数有意义，或者符合规定，或满足实际意义. （1）分式的分母不为零. （2）偶次方根式的大于等于零. （3）对数数函数的真数大于零.（4）指数函数与对数函数的底大于零且不等于1. （5）正切函数的角的终边不能在y 轴上. （6）零次幂的底数不能为零.（7）分段函数：①分段函数是一个函数.②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.（8）复合函数定义域的求法：①已知)(x f y =的定义域是A ，求()[]x f y ϕ=的定义域的方法为解不等式：A x ∈)(ϕ，求出x 的取值范围.②已知()[]x f y ϕ=的定义域为A ，求)(x f y =的定义域的方法:A x ∈，求)(x ϕ的取值范围即可.第二部分：函数的值域函数值域的确定方法：（1）直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到. （2）分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，形如,dcx bax y ++=，,,,,(d c b a 为常数，)0≠c 可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法.（3）换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常用此法求解. （4）配方法：适用于二次函数值域的求值域. （5）判别式法：适用于二次函数型值域判定.（6）单调性法：利用单调性，端点的函数值确定值域的边界.（7）函数的有界性：在直接求函数值域困难的时候，可以利用已学过函数的有界性，反过来确定函数的值域.（8）不等式法：利用不等式的性质确定上下边界.（9）数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目.二、 精选例题第一部分：函数的定义域例1.函数x x y +-=1的定义域为（ ）A .{}1x x ≤B .{}0x x ≥ C.{}10x x x ≥≤或 D.{}01x x ≤≤【解析】由题意⎩⎨⎧≥≤⇒⎩⎨⎧≥≥-01001x x x x 即∈x {}10≤≤x x ，故选D. 例2.函数()()xx x x f -+=01的定义域是（ ）A .()0,+∞B .(),0-∞ C.()(),11,0-∞-- D.()()(),11,00,-∞--+∞【解析】由⎩⎨⎧≠-≠+001x x x 得,01⎩⎨⎧<-≠x x 故选C.例3.若函数()1+=x f y 的定义域是[],3,2-则()12-=x f y 的定义域是（ ）5.0,2A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]4,1.-B []5,5.-C []7,3.-D 【解析】 ()1+=x f y 的定义域是[],3,2-,32≤≤-∴x[]4,11-∈+∴x ，即()x f 的定义域是[]4,1-.又由4121≤-≤-x 解得250≤≤x即()12-=x f y 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,0故选.A例4.设函数()x f y =的定义域是()1,0，则()2x f y =的定义域是什么？【解析】 函数()x f y =的定义域是()1,0.102<<∴x 即11<<-x故()2x f y =的定义域是()1,1-∈x 且0≠x .例5.已知函数(),11+=x x f 则函数()[]x f f 的定义域是（ ） {}1.-≠x x A {}2.-≠x x B {}21.-≠-≠x x x C 且{}21.-≠-≠x x x D 或【解析】：()11+=x x f 的定义域是101-≠⇒≠+x x 则()[]x f f 的定义域是111-≠+x 即21012-≠-≠⇒≠++x x x x 且故选.C 例6.已知()x f21-求函数⎪⎭⎫⎝⎛-x x f 213的定义域是?【解析】由()x f21-可知021≥-x 即0213≥-xx()2100312≤≤⇒≤-⇒x x x 故函数⎪⎭⎫⎝⎛-x x f 213的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x例7.若函数y =R ，求实数k 的取值范围.【解析】当0=k 时，86+-=x y ，当34>x 时，无意义，∴0≠k ； 当0<k 时，()268y kx x k =-++为开口向下的二次函数，图像向下延伸，函数值总会出现小于零的情况，进而，0<k 不成立，当0>k 时，同时要求0≤∆，即解得1≥k .例8.已知函数x x x f -+=11lg )(，求函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域. 【解析】由题意011>-+xx，即0)1)(1(<+-x x ，解得11<<-x 故函数xxx f -+=11lg )(的定义域为)1,1(-所以⎩⎨⎧≠+<+<-012111x x 解得02<<-x 且21-≠x .即12)1()(++=x x f x m 的定义域为)0,21()21,2(---又121<<-x ，解得22<<-x ，即)2(xf 的定义域为)2,2(-)2(12)1()(x f x x f x F +++=的定义域即为)(x m 和)2(xf 的定义域的交集，即)0,21()21,2(--- )2,2(- =)0,21()21,2(---故函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域为)0,21()21,2(--- . 例9.已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性； （2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围. 【解析】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)xxxxf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>⇒-<，121233,0(33)0x x x x b b <>⇒-<，∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数. 当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数. （2）(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>当0,0a b <>时，3()22xa b >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2ax b<-.第二部分：函数的值域1.观察法：例1.求函数x y 1=的值域. 【解析】0≠x 01≠∴x0≠∴y ，即值域为：()()+∞∞-,00,2.分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，形如)0,,,(,≠++=c d c b a dcx bax y 为常数，，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法.通式解析：)(,)(cad b d cx c ad b c a d cx b c ad d cx c a d cx b ax y ≠+-+=++-+=++= 故值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y 例2.求函数125xy x -=+的值域. 【解析】因为177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++， 所以72025x ≠+，所以12y ≠-，所以函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-.3.换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常用此法求解.例3.(A 类)求函数2y x =.【解析】令x t 21-=（0t ≥），则212t x -=，所以22151()24y t t t =-++=--+因为当12t =，即38x =时，max 54y =，无最小值所以函数2y x =5(,]4-∞.4.三角换元：例4.求函数2)1(12+-++=x x y 的值域.【解析】0)1(12≥+-x 1)1(2≤+∴x ，令[]πββ,0,cos 1∈=+x1)4sin(21cos sin cos 11cos 2++=++=-++=∴πβββββy ，,0πβ≤≤ 4544ππβπ≤+≤，1)4sin(22≤+≤-πβ， 121)4sin(20+≤++≤πβ故值域为：[]12,0+ 5.配方法：例5.求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+， 因为[1,1]x ∈-，所以2[3,1]x -∈--，所以21(2)9x ≤-≤，所以23(2)65x -≤--+≤，即35y -≤≤， 所以函数242y x x =-++在（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-.6.判别式法：例6.求函数2211xx x y +++=的值域. 【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程，0)1()1(2=-+--y x x y （1）当1≠y 时，R x ∈，0)1(4)1(22≥---=∆y .解得2321≤≤y ， 当1=y 时，0=x ，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211，故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21.7.单调性法：例7.求函数x x x f 4221)(-+-=的值域. 【解析】由042≥-x ，解得21≤x ， 令x x g 21)(-=，x x m 42)(-=，在21≤x 上)(),(x m x g 均为单调递减函数， 所以x x x m x g 4221)()(-+-=+在21≤x 上也是单调递减函数.故0)21()(min ==f x f ，值域为),0[+∞.8.有界性例8.求函数11+-=x x e e y 的值域.【解析】函数变形为11-+=y y e x，0>x e 011>-+∴y y ，解得11<<-y ， 所以函数的值域为()1,1-.9.不等式法： 例9.求函数xx y 4+=的值域； 【解析】当0>x 时，4424=⋅≥+=xx x x y （当x =2时取等号）； 所以当0>x 时，函数值域为),4[+∞.当0<x 时，442)4(-=⋅-≤+-=xx x x y （当2-=x 时取等号）； 所以当0<x 时，函数值域为]4,(--∞. 综上，函数的值域为),4[]4,(+∞--∞10.数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目. 例10. （1）求函数82++-=x x y 的值域.（2）求函数5413622++++-=x x x x y 的值域. （3）求函数5413622++-+-=x x x x y 的值域.【解析】（1）函数可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(-B 间的距离之和.由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10min ==AB y 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10>=AB y 故所求函数的值域为：),10[+∞ 此题也可以画函数图象来解.（2）原函数可变形为：2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=可看成x 轴上的点)0,(x P 到两定点)1,2(),2,3(--的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，如图34)12()23(22min =+++==AB y ，故所求函数的值域为),34[+∞.（3）将函数变形为：2222)10()2()20()3(-++--+-=x x y可看成定点A ()3,2到点P )0,(x 的距离与定点B ()2,1-到点P )0,(x 的距离之差. 如图BP AP y -=由图可知：①当点P 在x 轴上且与A ，B 两点不供线时，如点'P ，则构成'ABP ∆，)2xBP根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(22=-++=<'-'AB P B P A所以2626<'-'<-P B P A即2626<<-y②当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26=='-'AB P B P A .综上所述，函数的值域为：]26,26(-.三、 课堂训练第一部分：函数定义域1.函数()x x x y +-=1的定义域为（ ）{}0.≥x x A{}1.≥x x B{}{}01. ≥x x C{}10.≤≤x x D解析：由题意得()⎩⎨⎧≥≥-001x x x ⎩⎨⎧≥≤≥⇒001x x x 或即[){}0,1 +∞∈x ，故选.C 2.()xx f 1111++=的定义域为 .【解析】由分式函数分母不为0得：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≠≠+≠++001101121x x x解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠≠-≠-≠010311x x x x x 或或()1,-∞-∈⇒x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,31 ()+∞,0 3.已知函数()x f 的定义域为[].2,2- ①求函数()x f 2的定义域；②求函数⎪⎭⎫⎝⎛-141x f 的定义域. 【解析】① 函数()x f 的定义域为[]2,2-222≤≤-∴x 即11≤≤-x故函数()x f 2的定义域为[]1,1-∈x . ② 函数()x f 的定义域为[]2,2-21412≤-≤-∴x 即124≤≤-x 故函数⎪⎭⎫⎝⎛-141x f 的定义域为[]12,4-. 4.已知函数()42-x f的定义域[]5,3∈x ，则函数()x f 的定义域是？【解析】 函数()42-x f 的定义域[]5,3∈x 21452≤-≤∴x即函数()x f 的定义域是[]21,5∈x5.如果函数()()()x x x f -+=11的图像在x 轴上方，则()x f 的定义域为（ ）.{}1.<x x A {}1.>x x B {}11.-≠<x x x C 且 {}11.≠->x x x D 且【解析】对于()(),011>-+x x 当0≥x 时，有()()011<-+x x 11<<-⇒x 得;10<≤x当0<x 时，有()012>+x 1-≠⇒x 得.10-≠<x x 且 综上，,11-≠<x x 且故选.C6.（1）已知1,,,,≠∈+a R z y x a ，设,,log 11log 11zya a ay ax --==用x a ,表示z .（2）设ABC ∆的三边分别为c b a ,,，且方程01lg 2)lg(2222=+--+-a b c x x 有等根，判断ABC ∆的形状. 【解析】（1）,,log 11log 11zya a ay ax --==则,log 11log log ,log log log 11log 11z ay ax a za a ya a a a -===--y ax a ya a a log 11log log log 11-==-zza a log 11log 1111-=--=所以xz a a log 11log -=，故xa a z log 11-=.（2）原方程可以转化为0)(10lg 22222=-+-a b c x x又因为方程有等根，则0)(10lg 4)2(2222=---=∆ab c ， 必然有1)(10lg 222=-a b c ，所以10)(10222=-ab c ，即222a b c +=. 故ABC ∆为直角三角形.第二部分：函数的值域例1.求函数111++=x y 的值域.【解析】.111,01≥++∴≥+x x ∴11110≤++<x ，∴函数的值域为(]1,0.例2.求函数[]2,1,522-∈+-=x x x y 的值域.【解析】将函数配方得：()412+-=x y []2,1-∈x由二次函数的性质可知：当1=x 时，,4m in =y 当1-=x 时，8m ax =y故函数的值域是[]8,4例3.求函数1-+=x x y 的值域.【解析】令()01≥=-t t x ，则12+=t x 故.4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=t t t y又,0≥t 由二次函数性质知，当0=t 时，;1min =y 当t 不断增大时，y 值趋于∞+， 故函数的值域为[)+∞,1.例4.求函数2332+-+-=x x x y 的值域. 【解析】定义域满足⎩⎨⎧≥+-≥-023032x x x 3≥⇒x . 令,31-=x y 任取,321≥>x x 由,03333212121>-+--=---x x x x x x1y ∴在[)+∞,3上单调递增.令,2322+-=x x y由,232+-=x x u 对称轴,23=x 开口向上，知2y 在[)+∞,3上也单调递增. 从而知()=x f 2332+-+-x x x 在定义域[)+∞,3上是单调递增.()∴=≥∴.23f y 值域为[)+∞,2.例5.求函数21+-=x x y 的值域 【解析】由1231232≠+-=+-+=x x x y ，可得值域{}1≠y y 例6.求13+--=x x y 的值域【解析】可化为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y 如图：观察得值域{}44≤≤-y y .例7.求函数x y -=3的值域.【解析】0≥x 33,0≤-≤-∴x x 故函数的值域是：[]3,∞-例8.求函数51042+++=x x y 的值域.【解析】配方，得().5622+++=x y ().65,6622+≥∴≥++y x∴函数的值域为).,65(+∞+例9.求函数1122+++-=x x x x y 的值域.【解析】 1122+++-=x x x x y ，R x ∈，去分母整理得()()01112=-+++-y x y x y.当1=y 时，,0=x 故y 可取1； ①当1≠y 时，方程①在R 内有解，则()()(),011412≥---+=∆y y y,031032≤+-∴y y 解得.331≤≤y ∴函数的值域为.3,31⎥⎦⎤⎢⎣⎡例10.求函数11--+=x x y 的值域.【解析】原函数可化为：112-++=x x y令,1,121-=+=x y x y 显然21,y y 在[)+∞,1上为无上界的增函数所以21,y y y =在[)+∞,1上也为无上界的增函数所以当1=x 时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值222= 显然,0>y 故原函数的值域为(]2,0.例11.求函数133+=x xy 的值域【解析】设t x=+13 ，则()111131113113>-=+-=+-+=t ty xx x 101101<<∴<<∴>y tt ，()01原函数的值域为∴.例12.求函数53-++=x x y 的值域.【解析】53-++=x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+-=)5(22)53(8)3(22x x x x x由图像可知函数53-++=x x y 的值域为[)+∞,8.四、 课后作业【训练题A 类】1.函数()f x = ）.A . 1[,)2+∞B . 1(,)2+∞ C. 1(,]2-∞ D. 1(,)2-∞2.函数265x x y ---=的值域是（ ）525.≤≤y A5.≤y B 50.≤≤y C 5.≥y D 3.函数31---=x x y 在其定义域内有（ ）.A 最大值2，最小值2- .B 最大值3，最小值1- .C 最大值4，最小值0 .D 最大值1，最小值3-4.已知函数31++-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm的值为（ ） 41.A 21.B 22.C23.D 5.函数()=x f 962+-x 的值域是 ( )A 、（－∞，6）B 、]3,(-∞C 、 (0，6)D 、 (0，3) 6.()421-=x x f 的定义域为_____ 7.函数x x y 21-+=的值域是 . 8.求()4313512-++-=x x x x f 的定义域9.求2045222+-++-=x x x x y 的值域.10.求函数12-+=x x y 的值域.11.已知()x f 的值域为,94,83⎥⎦⎤⎢⎣⎡试求()()x f x f y 21-+=的值域.【参考答案】1.【答案】C【解析】由根式知21021≤⇒≥-x x 故选.C 2.【答案】A【解析】425425216022≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--≤x x x ， 25602≤--≤∴x x ，即525≤≤y3.【答案】A【解析】由题意得()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤-=3,231,421,2x x x x y []2,2-∈⇒y ，故选A4.【答案】C【解析】两边平方，即()()312312+-+++-=x x x x y ()41242++-+=x844max 2=+=y ，4min 2=y ，2284max min ==y y 故选C . 5.【答案】B【解析】∴≥+392x 3962≤+-x 故选.B6.【答案】()+∞,8 【解析】80421≥⇒≥-x x ，即()+∞,8 7.【答案】(],1-∞【解析】令x t 21-=则()0212≥-=t t x 即()()021212≥++-=t t t t f ()11212+--=t故1=t 时，取得最大值.即().1≤x f8.【解析】1212210431012>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-x x x x x ，即()+∞,129.【解析】()()1624122+-++-=x x y ()()()()2222402201-+-+++-=x x即可看成三点：()()()4,2,2,1,0,B A x P -，PB PA y +=在PAB ∆中AB PB PA >+知点()2,1-A 点()4,2B 在数轴异侧时AB 最大.PB PA y +==AB 故()()37422122=--+-=≥AB y10.【解析】显然，函数的定义域为21≥x . 当21≥x 时，函数12,21-==x y x y 都是递增的 所以在21=x 时，取得最小值.即⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,21y . 11.【解析】()(),412191,9483≤-≤∴≤≤x f x f即有(),212131≤-≤x f 令(),21,31,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=t x f t ()(),1212t t x f +-=()()t t t g y +-==∴2121()11212+--=t⎥⎦⎤⎢⎣⎡∉21,311 ，∴函数()t g y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31上单调递增，,9731min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴g y ∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛=.8721max g y 函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡87,97.【训练题B 类】1.求()52+=x x f 的值域2.求函数xy --=111的值域3.求函数12--=x x y 的值域.4.已知()x f 43-的定义域为[],2,1-∈x 则函数()x f 的定义域是？5.求下列函数的值域：（1）;1342++=x x y （2）5438222+-+-=x x x x y6.对于每个函数x ，设()x f 是2,14+=+=x y x y 和42+-=x y 三个函数中的最小者，则()x f 的最大值是什么？7.已知⎪⎭⎫⎝⎛-x f 213的定义域为[]5,1∈x ，则函数()32+x f 的定义域是？8.求下列函数的值域：（1）[);5,1,642∈+-=x x x y （1）245x x y -+=.9.求函数13+--=x x y 的值域.10.函数232+-=kx x y 的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,3232, ，求k 的值.11.（1）已知函数⎩⎨⎧≥<=0,0,)(2x x x x x f ，求))((x f f .（2）求函数12)(2--+=x x x f 的最小值.12.若函数432--=x x y 的定义域为[],,0m 值域为,4,425⎥⎦⎤⎢⎣⎡--求m 的取值范围.【参考答案】1.【解析】25052-≥⇒≥+x x ，即⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,25 2.【解析】原式化为,11=--x y y ,011≥-=-∴yy x 即01<≥y y 或. 故()[)+∞∞-∈,10, y .3.【解析】函数的定义域是{}.,1R x x x ∈≥令()0,1≥=-t t x 则 ,12+=t x8154122222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=∴t t t y ，又o t ≥，∴结合二次函数的图像知()815≥t y .故原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥815y y . 4.【解析】 ()x f 43-的定义域为[]2,1-∈x 7435≤-≤-∴x()x f ∴的定义域为[]7,5-∈x .5.【解析】（1）由1342++=x x y 可得,0342=-+-y x yx 当0=y 时，;43-=x 当0≠y 时，,R x ∈故()(),03442≥---=∆y y解得,41≤≤-y 且0≠y .当2-=x 时，;1-=y 当21=x 时，.4=y∴所求函数的值域为[].4,1-（2）由5438222+-+-=x x x x y 可得()()0352422=-+---y x y x y ，当02≠-y 时，由,R x ∈得()()()035242162≥----=∆y y y ，25≤≤-∴y .25<≤-∴y .经检验2=x 时，5-=y ，而2≠y .∴原函数的值域为[]2,5-.6.【解析】在同一直角坐标系中作出三个函数的图像，由图像可知，()x f 的最大值是2+=x y 和42+-=x y 交点的纵坐标，易得()38max =x f . 7.【解析】 ⎪⎭⎫⎝⎛-x f 213的定义域为[]5,1∈x 2521321≤-≤∴x 即253221≤+≤x4145-≤≤-∴x 故函数()32+x f 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈41,45x 8.【解析】（1）配方，得().222+-=x y [),5,1∈x ∴函数的值域为{}.112<≤y y（2）对根号里配方得：()30922≤≤⇒+--=y x y 即[]3,0∈∴y .9.【解析】原式可变为()[)[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+--∞-∈=,3,43,1,221,,4x x x x y 44≤≤-⇒y 即[]4,4-∈y10.【解析】232+-=kx x y 的反函数为kx x y -+=232，其定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,22,k k ，故.3322-=⇒-=k k 11.【解析】（1）当0≥x 时，0)(2≥=x x f ，则42)())((x x f x f f ==；当0<x 时，,0)(<=x x f 则x x f x f f ==)())(( 所以⎩⎨⎧≥<=0,0,))((2x x x x x f f（2）⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=2,12,3)(22x x x x x x x f由)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ， 在)2,(-∞上的最小值为43)21(=f 故函数)(x f 在R 上的最小值为43. 12.【解析】,425232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 因为,4,425⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈y 又,4)0(-=f ,42523-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ()43-=f ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⇒≤≤3,23323m m . 【训练题C 类】1.函数()()R x xx f ∈+=211的值域是（ ） []1,0.A [)1,0.B (]1,0.C ()1,0.D2.函数()155+=x xx f 的值域是（ ） ()()+∞-∞-,51,. A ()5,1.B()()+∞∞-,11,. C ⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,5151,. D3.下列函数中，值域是()+∞,0的是（ ）12.2+-=x x y A ()()+∞∈++=,012.x x x y B ()Nx x x y C ∈++=121.211.+=x y D 4.求函数x x y 431-+-=的值域.5.求x x y ++-=12的值域.6.函数()112->++=x x x y 的值域是.7.已知函数()x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有()()()x f x x xf +=+11，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛25f f 的值是多少？8.求函数)2(x x x y -+=的值域.9.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈+-∞∈-=),0[,1)0,(,11)(2x x x x x f ，求)1(+x f .10.已知函数()x f 的定义域为()b a ,且,2>-a b 则()()()1313+--=x f x f x F 的定义域为()13,13.-+b a A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+31,31.b a B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,31.b a C ⎪⎭⎫⎝⎛++31,31.b a D11.若函数()x f y =的定义域为[],1,1-求函数⎪⎭⎫⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4141x f x f y 的定义域.【参考答案】1.【答案】C【解析】.1110,11,0,222≤+<∴≥+∴≥∴∈x x x R x∴函数()()R x xx f ∈+=211的值域为(].1,0 2.【答案】C 【解析】15115155+-+=+=x x x x y 1511+-=x 11511015≠+-∴≠+x x 即1≠y 知()()+∞∞-∈,11, y 故选.C3.【答案】D 【解析】A 中()012≥-x [)+∞∈∴,0yB 中11112++=++x x x ()+∞∈,0x 21<<∴y 即()2,1∈y C 中()2211121+=++=x x x y N x ∈ ()1,0∈∴y D 中由题意知01>+x ()+∞∈+∴,011x 故选D 4.【解析】令()01≥=-t t x 则()012≥+=t t x则142-+-=t t y ()o t t ≥⎪⎭⎫⎝⎛--=2214则0≤y .5.【解析】两边平方：6649212322≤⇒≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=y x y6.【解析】()12111211111112->=+⋅+≥+++=+++=++=x x x x x x x x x y当且仅当111+=+x x 即0=x 时成立，故2≥y 7.【解析】由()()()x f x x xf +=+11可得：23=x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛23252523f f ，21=x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛21232321f f ， 21-=x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-21212121f f .又.025,023021=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛f f f又()()()(),111111--=+--f f ()().0100=-=-∴f f()().0025,00==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∴=∴f f f f8.【解析】由0)2(≥-x x 解得定义域为20≤≤x两边平方整理得：0)1(2222=++-y x y x （1）因为0)1(2222=++-y x y x 一定有根，所以08)1(42≥-+=∆y y 解得：2121+≤≤-y由0≥∆仅保证关于x 的方程：0)1(2222=++-y x y x 在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根， 也就是说0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大， 故需要进一步确定此函数的值域. 采取如下方法进一步确定函数的值域. ∵20≤≤x 0)2(≥-+=∴x x x y ，把0min =y ，21+=y 带入方程（1）解得：]2,0[2222241∈-+=x即当时，2222241-+=x 时原函数的值域为：]21,0[+9.【解析】由复合函数的定义域知)1(+x f 的定义为),1[)1`,(+∞-⋃--∞当)1`,(--∞∈x 时 11)2(+=-x x f ，当),1[+∞-∈x 时22)1(2++=+x x x f 所以⎪⎩⎪⎨⎧+∞-∈++--∞∈+=+),1[,22)1,(,11)1(2x x x x x x f10.【答案】B【解析】由题意得⎩⎨⎧<+<<-<b x a b x a 1313，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<<-+<<+31313131b x a b x a 显然,3131->+b b ,3131->+a a 又,2>-a b 从而.3131+>-a b()x F ∴的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-+31,31b a ，故选.B11.【解析】 函数()x f y =的定义域为[]1,1-∴有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-14111411x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-45434345x x 得4343≤≤-x 故函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4141x f x f y 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈43,43x .。

函数的定义域和值域知识点总结函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。

在了解函数的定义域和值域之前，我们需要先了解函数的基本概念和表示方法。

函数可以理解为一个输入到输出的映射关系，如果将函数视为一个机器，输入是函数的自变量，输出是函数的因变量。

函数可以用数学符号表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)表示函数的表达式。

例如，y=2x+1就是一个简单的一次函数。

定义域是指所有自变量可能取值的集合，也可以简单理解为函数的输入范围。

根据函数的不同类型，定义域可以有不同的限制条件。

1.有理函数：有理函数是指可以表示为两个多项式相除的函数。

它的定义域包含所有不使得分母等于0的实数。

2.无理函数：无理函数是指不能表示为两个多项式相除的函数，例如平方根、立方根、指数函数等。

对于无理函数，它的定义域可以是任意实数，也可以有一些限制条件。

3.双曲函数：双曲函数是指以指数函数和对数函数为基础的函数。

对于双曲函数，它的定义域可以是任意实数。

4.指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是互为反函数关系的两个函数。

指数函数的定义域为所有实数，对数函数的定义域为正实数。

在确定函数的定义域时，常常需要考虑到以下几点：1.分式中的分母不能为0。

2.做对数运算时，底数必须大于0且不等于13.做反三角函数时，函数的值域必须在对应的定义域内。

4.开方运算中，被开方数必须大于等于0。

在讨论函数的定义域时，我们常常需要注意以下几个特殊情况：1.绝对值函数：绝对值函数的定义域为所有实数。

2.常量函数：常量函数的定义域为所有实数。

3.单调函数：单调函数的定义域为所有实数。

4.双曲函数：双曲函数的定义域为所有实数。

接下来，我们来讨论函数的值域。

值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合，也就是函数的输出范围。

函数的值域可能存在上界、下界或者不受限。

确定函数的值域时需要考虑以下几点：1.对于连续函数，可以通过求导数来判断函数的极大值和极小值，从而确定值域的上界和下界。

1 函数的定义域和值域要点梳理1．常见基本初等函数的定义域(1)函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)、y ＝sin x 、y ＝cos x 的定义域是R(2) y ＝log a x 的定义域是{x |x ＞0}或(0，＋∞)，y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }． 求定义域方法：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.2．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤4ac －b 24a .(3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．(7)y ＝tan x 的值域是R .求值域方法：(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法，(7)导数法，(8)利用基本不等式典型例题求函数的定义域例1、函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________． 例2、函数f (x )＝x 22－x－lg(x －1)的定义域是________． 例3、函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是________． 求函数的值域例4、求下列函数的值域．(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝1－x 21＋x 2； (3)y ＝x ＋4x(x ＜0)；(4)f (x )＝x －1－2x (5)y ＝log 3x ＋log x 3－1(x ＞1)．例5、若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围。

函数的值域与定义域分析在数学的广袤天地中，函数是一个极为重要的概念。

而函数的值域与定义域，则是理解和研究函数的关键要素。

首先，咱们来聊聊什么是函数的定义域。

简单说，定义域就是函数中自变量的取值范围。

比如说，对于一个分式函数，分母不能为零；对于一个根式函数，根号下的式子必须大于等于零。

这就像是给自变量设定了一个活动范围，只有在这个范围内，函数才有意义。

举个例子，函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1) ，这里 x 就不能等于 1 ，因为要是 x 等于 1 ，分母就成零了，整个式子就没意义啦。

所以，这个函数的定义域就是 x 不等于 1 ，用数学语言表示就是 x ∈（∞， 1) ∪（1, ＋∞）。

再比如，函数 g(x) ＝√（x ＋ 2) ，为了让根号下的式子有意义， x ＋ 2 就得大于等于零，解这个不等式，就能得到 x 大于等于－2 ，所以它的定义域就是 x ∈－2, ＋∞）。

定义域的确定，不仅取决于函数的表达式，还可能受到实际问题的限制。

比如说，在一个描述时间、长度、面积等实际量的函数中，自变量的值通常不能是负数，也不能超出实际可能的范围。

说完定义域，咱们再来看看值域。

值域呢，就是函数因变量的取值范围。

也就是说，在给定的定义域内，函数输出的所有可能的值的集合。

还拿上面的例子来说，对于函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1) ，因为 x 不等于1 ，当 x 趋近于 1 时，f(x) 的值趋近于正无穷或者负无穷；当 x 趋近于正无穷或负无穷时，f(x) 趋近于零但不等于零。

所以，这个函数的值域就是 y ∈（∞， 0) ∪（0, ＋∞）。

对于函数 g(x) ＝√（x ＋ 2) ，因为根号下的数总是非负的，而且根号下 x ＋ 2 可以取到零以及大于零的任何值，所以这个函数的值域就是 y ∈ 0, ＋∞）。

确定函数的值域有时候并不容易，需要我们对函数的性质有深入的理解。

比如，对于二次函数，我们可以通过分析其开口方向和顶点坐标来确定值域；对于一些复杂的函数，可能需要用到求导等高等数学的方法。