北师大七年级下第五章5.1认识三角形(4)
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北师大版数学七年级下册知识点总结第一章 整式的乘除1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数。
2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。
3、整式:单项式和多项式统称整式。
注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、同底数幂的乘法法则:n m n m a a a +=•(n m ,都是正整数)同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
注意:底数可以是多项式或单项式。
如:532)()()(b a b a b a +=+•+5、幂的乘方法则:mn n m a a =)((n m ,都是正整数)幂的乘方,底数不变,指数相乘。
如:10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用:即m n n m mn a a a )()(==如:23326)4()4(4==6、积的乘方法则:n n n b a ab =)((n 是正整数)积的乘方,等于各因数乘方的积。
如:(523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-7、同底数幂的除法法则:n m n m a a a -=÷(n m a ,,0≠都是正整数,且)n m同底数幂相除,底数不变,指数相减。
如:3334)()()(b a ab ab ab ==÷8、零指数和负指数;10=a ,(ɑ≠0)即任何不等于零的数的零次方等于1。
p p aa 1=-(p a ,0≠是正整数),即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。
9、科学记数法:如:0.00000721=6-1021.7⨯(第一个非零数字前零的个数)10、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式。
教学设计思想:本节内容需四课时讲授;三角形是学生在小学就已熟悉的图形,本节以观察房子的顶部框架中所包含的三角形出发,让学生经历从现实世界中抽象出几何模型的过程,复习三角形的有关概念,认识三角形的基本要素(边、角、顶点)及其表示方法,进一步展开对三角形性质的讨论。
首先结合生活实例引入三角形的概念、表示方法。
接着运用观察和测量等方法获得三角形的性质,同时运用已有的结论进行简单的推理,从而得到“三角形任意两边之和大于第三边”;对于“三角形任意两边之差小于第三边”的性质只须通过测量等活动归纳得出结论即可,无须用不等式证明。
在探索“三角形内角和为180°”这个结论时,学生在以前的学习中已经通过操作获得了这个结论,教师此时应引导学生在操作中进行自觉地思考,思考能否利用平行线的有关事实说明这个结论,将直观和说理结合起来。
教学目标(一)知识与技能1.熟记三角形的高线的定义.2.掌握三角形的高线的画法.(二)过程与方法1.通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力.2.认识三角形的高线,并能在具体的三角形中作出它们.(三)情感与价值观要求通过折纸、画图等活动,培养学生的动手能力,提高学生的识图技能,使学生的思维变得更灵活.教学重点三角形的高线的定义.教学难点直角三角形和钝角三角形的三条高的认识和理解,尤其是画出它们是本节课的难点.教学方法探求发现法让学生在现实情景中探求问题,在动手操作中发现规律,从而使他们掌握新的内容.教具准备上节课的电脑课件.电脑课件:直角三角形、钝角三角形的高.投影片.教学安排4课时.教学过程Ⅰ.巧设现实情景,引入新课[师]同学们好,大家来看大屏幕如图5-37,△ABC中,有一条红色线段,一端点在顶点A处,另一端点从点B沿着BC 边移动到点C,观察移动过程中形成的无数条线段(AD,AE,AF,AG……)中,有没有特殊位置的线段?你认为有哪些特殊位置?图5-37[生]老师,这个问题上节课已经解决了.这些线段中有三条线段的位置比较特殊,它们分别是三角形的角平分线、中线和高线.[师]对.上节课我们已探讨了三角形的中线和角平分线,这节课来研究三角形的高线.Ⅱ.讲授新课[师]从刚才移动的过程中,知道:AG⊥BC,这时我们说AG就是△ABC的高,那么三角形的高是如何定义的呢?从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.(height)图5-38如图5-38,线段AG是BC边上的高.注意:三角形的高是线段.由定义可知:AG是△ABC中BC边上的高,那么有∠AGB=90°,∠AGC=90°,∠AGB=∠AGC.教师演示视频——三角形的高三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点与垂足之间的线段.那么如何过三角形的一个顶点,画出它的对边的垂线呢?我们先来回忆:过一点如何作一条直线的垂线?[生甲]可以利用折纸的方法,对折直线所在的纸片,使直线重合,折痕过已知点,这样折痕就是过已知点垂直于已知直线的垂线.(甲同学演示)[生乙]也可以用三角尺来画.把三角尺的一条直角边与已知直线重合,移动三角尺,使它的另一条直角边经过已知点,画直线,这样即可画出过一点并与已知直线垂直的直线.[生丙]也可以利用量角器来画.[师]很好,同学们利用几种方法,画出了过已知点并与已知直线垂直的直线,那能不能画出三角形的高呢?下面我们来做一做.每人准备一个锐角三角形纸片.(1)你能画出这个三角形的三条高吗?你能用折纸的方法得到它们吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系?将你的结果与同伴进行交流.[生甲]我能画出这个锐角三角形的三条高,用折纸的方法也能得到它们.这三条高相交于一点.如图5-39.图5-39线段AD、BE、CF是△ABC的三条高,它们相交于点O.[师]很好,大家能画出锐角三角形的三条高,并且知道这三条高都在三角形内,且相交于一点,那么直角三角形的三条高,你能画出来吗?钝角三角形呢?大家来议一议在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形.(1)画出直角三角形的三条高,它们有怎样的位置关系?(2)你能折出钝角三角形的三条高吗?你能画出它们吗?(3)钝角三角形的三条高交于一点吗?它们所在的直线交于一点吗?将你的结果与同伴进行交流.[生乙]直角三角形中,只有一条高,如图5-40,在Rt△ABC中,CD是直角三角形ABC的高.图5-40[生丙]不对,直角三角形的两边互相垂直.所以:直角边AC、BC也应该是Rt△ABC 的高,即:AC是BC边上的高,BC也是AC边上的高.Rt△ABC的三条高分别是AC、BC、CD,它们相交于一点,这个点是三角形的一个顶点.[师]丙同学说得对吗?[生齐声]对.[师]很好.直角三角形有一条高在三角形的内部,而另两条高恰是它的两条直角边.下面我们来看钝角三角形.即问题(2).[生丁]我画出钝角三角形后,只能折出它的一条高,而其他两条找不到.[生戊]其他的两条高在三角形的外边.如图5-41:图5-41线段AD、BE、CF是钝角三角形ABC的高.[师]对,下面我们看问题.如图5-42,△ABC的高AD.(1)当点C沿着CB向点B方向移动.当点C与点D重合时,此时AD是△ABC的高吗?由此你发现了什么?(2)将点C继续沿着CB向点B方向移动,当点C、点B不重合且在AD的同侧,此时AD是△ABC的高吗?由此你发现了什么?图5-42(一个问题解决完后,再解决第2个)[生甲]当点C沿着CB向点B方向移动,点C与点D重合时,这时∠ACB=90°,这时由原来的锐角三角形变为直角三角形,此时AD仍是△ABC的高,只是比较特殊,AC与AD 为同一条线段了.即:直角边也是直角三角形的高.[生乙]将点C继续沿着CB向点B方向移动,当点C、点B不重合且在AD的同侧,此时的三角形为钝角三角形.因为AD仍然垂直于BC所在的直线,所以AD是△ABC的高,只是它在三角形的外面.[师]同学们分析得很透彻,那你能画出或折出钝角三角形的高吗?[生]能.[师]很好,钝角三角形的高有什么特点呢?[生丙]钝角三角形有三条高,一条高在三角形内,另两条高在三角形外.[师]对,那钝角三角形的三条高交于一点吗?[生丁]不.[师]那么这三条高所在的直线交于一点吗?(学生讨论)[生]钝角三角形的三条高所在的直线交于一点.如图5-43.图5-43[师]很好,由此我们知道了:三角形的三条高所在的直线交于一点.接下来,同学们想一想:分别指出图5-44中△ABC的三条高.图5-44[生甲]图(1)中的三条高分别为:AB、BC、BD.[生乙]图(2)中的三条高分别为:BF、AD、CE.[师]好,接下来我们做一练习来熟悉掌握三角形的三条重要线段.Ⅲ.课堂练习(一)补充1.分别画出图5-45中一组直角三角形的所有高.图5-452.分别画出图5-46中一组钝角三角形的所有高.图5-463.分别画出图5-47中各个三角形的所有角平分线.图5-474.分别画出图5-48各个三角形的所有的中线.图5-485.从上面画直角三角形、钝角三角形的高、角平分线、中线,你发现了什么?以下有三种情况,根据你画图的实践,用序号字母填写下表(有几种可能情况填写几个字母).A.在三角形的内部B.在三角形的边上C.在三角形的外部锐角三角形直角三角形钝角三角形角平分线中线高线答案:1.如图5-49.图5-492.如图5-50.图5-503.如图5-51.图5-51 4.略5.如下表:锐角三角形直角三角形钝角三角形角平分线A A A中线A A A高线A A、B A、C(二)看课本P126~127,然后小结.Ⅳ.课时小结这节课我们重点探讨了三角形的高.三角形的高不一定都在三角形的内部.锐角三角形的三条高都在三角形的内部;直角三角形中,有两条高恰好是它的两条直角边;钝角三角形中,两锐角所对边上的高都在三角形的外部.三角形的三条高所在的直线相交于一点.到现在为止,我们学习了三角形的三种重要线段:角平分线、中线和高线.这三种重要线段都是用连结顶点——对边(或对边所在直线)上一个特殊点的方法来定义的.大家要掌握它们的定义,并且会在图形中准确地作出这些线段.Ⅴ.课后作业.(一)课本P127习题5.4 1、2、3(二)1.预习内容 P128~1302.预习提纲(1)什么是全等图形?(2)全等图形有什么性质.板书设计§5.1.4 认识三角形一、三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点与垂足之间的线段.注意:三角形的高是线段,与垂线有区别.。
专题4.1 认识三角形(与三角形有关的线段)(知识讲解)【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法;2. 理解并会应用三角形三边间的关系;3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念,学会它们的画法及简单应用;4. 对三角形的稳定性有所认识,知道这个性质有广泛的应用.【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义: 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.特别说明:(1)三角形的基本元素:①三角形的边:即组成三角形的线段;②三角形的角:即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角;③三角形的顶点:即相邻两边的公共端点.(2)三角形定义中的三个要求:“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3)三角形的表示:三角形用符号“△”表示,顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”,读作“三角形ABC ”,注意单独的△没有意义;△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示,也可以用小写字母a 、b 、c 来表示,边BC 用a 表示,边AC 、AB 分别用b 、c 表示.2.三角形的分类(1)按角分类:特别说明:①锐角三角形:三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形:有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类:特别说明:①等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边都叫做腰,另外一边叫做底边,两腰的夹角叫顶角,腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形:三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理:三角形任意两边的和大于第三边.推论:三角形任意两边的差小于第三边.特别说明:(1)理论依据:两点之间线段最短.(2)三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可求第三边长的取值范围.⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形(3)证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.三角形的高的数学语言:如下图,AD 是ΔABC 的高,或AD 是ΔABC 的BC 边上的高,或AD⊥BC 于D ,或∠ADB=∠ADC=∠90°.注意:AD 是ΔABC 的高∠ADB=∠ADC=90°(或AD⊥BC 于D);特别说明:(1)三角形的高是线段;(2)三角形有三条高,且相交于一点,这一点叫做三角形的垂心;(3)三角形的三条高:(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部,三条高的交点也在三角形内部;(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部,且三条高的交点在三角形的外部;(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线.三角形的中线的数学语言:如下图,AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD =CD =BC. 特别说明:(1)三角形的中线是线段;(2)三角形三条中线全在三角形内部; (3)三角形三条中线交于三角形内部一点,这一点叫三角形的重心; (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言:如下图,AD 是ΔABC 的角平分线,或∠BAD=∠CAD 且点D 在BC 上.注意:AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD=∠DAC=∠BAC (或∠BAC=2∠BAD=2∠DAC) . 特别说明:(1)三角形的角平分线是线段; ⇔21⇔21(2)一个三角形有三条角平分线,并且都在三角形的内部;(3)三角形三条角平分线交于三角形内部一点,这一点叫做三角形的内心;(4)可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小就确定不变了,这个性质叫做三角形的稳定性. 特别说明:(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变,大小固定指三条边长不改变.(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用.例如,房屋的人字梁具有三角形的结构,它就坚固而稳定;在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板,构成一个三角形,就可以使栅栏门不变形.大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构,也是这个道理.(3)四边形没有稳定性,也就是说,四边形的四条边长确定后,不能确定它的形状,它的各个角的大小可以改变.四边形的不稳定性也有广泛应用,如活动挂架,伸缩尺.有时我们又要克服四边形的不稳定性,如在门框未安好之前,先在门框上斜着钉一根木板,使它不变形.【典型例题】类型一、与三角形有关线段??三角形的边段??概念??分类1.如图所示,(1)图中有几个三角形?(2)说出CDE ∆的边和角.(3)AD 是哪些三角形的边?C ∠是哪些三角形的角?【答案】(1)图中有:ABD ∆,ADC ∆,ADE ∆,EDC ∆,ACB ∆,共5个;(2)CDE ∆的边:CD ,CE ,DE ,角:C ∠,CDE ∠,DEC ∠;(3)AD 是ADB ∆,ADE ∆,ADC ∆的边;C ∠是ABC ∆,ADC ∆,DEC ∆的角.【分析】(1)分类找三角形,含AB 的,含AD (不含AB )的,含DE (不含AD )的三类即可;(2)根据组成三角形的三条线段一一找出,利用三角形两边的夹角即可找出;(3)观察图形,找出含AD 的三角形,先找AD 左边的,再找AD 右边的即可,根据三角形内角的定义,角的两边是三角形的边,找到第三边,在∠C 的内部在线段看与角的两边是否相交即可解:(1)图中有:以AB 为边的三角形有∠ABD ,∠ABC ,以AD 为边的三角形有∠ADE ,∠ADC ,再以DE 为边三角形有∠DEC ,一共有5个三角形分别为ABD ∆,ABC ∆,ADC ∆,ADE ∆,EDC ∆;(2)CDE ∆的边:CD ,CE ,DE ,角:C ∠,CDE ∠,DEC ∠;(3)AD 是ADB ∆,ADE ∆,ADC ∆的边;C ∠是ABC ∆,ADC ∆,DEC ∆的角.【点拨】本题考查三角形的识别,三角形的基本要素,三角形个数,观察图形找出图中的三角形,三角形的组成,找以固定线段的三角形,和固定角的三角形,掌握利用分类思想找出所有的图形,三角形的边与角,共线段三角形以及共角三角形是解题关键.举一反三:【变式】如图,以BD 为边的三角形有哪些?分别写出来;以∠1为内角的三角形有哪些?分别写出来.【分析】先根据BD 边找三角形,再根据∠1找三角形.解:以BD 为边的三角形有:∠BDC ,∠BDO ,以∠1为内角的三角形有:∠EOC ,∠ACD .【点拨】本题考查了三角形的内角和边的概念,学会分类的方法找三角形是本题的解题关键.2.已知ABC 的三边长分别为a ,b ,c .若a ,b ,c 满足22()()0a b b c -+-=,试判断ABC 的形状.【答案】ABC 的形状是等边三角形.【分析】利用平方数的非负性,求解a ,b ,c 的关系,进而判断ABC .解:∠22()()0a b b c -+-=,∠0a b -=,0b c -=∠a =b =c ,∠ ABC ∆是等边三角形.【点拨】本题主要是考查了三角形的分类,熟练掌握各类三角形的特点,例如三边相等为等边三角形,含90︒的三角形为直角三角形等,这是解决此类题的关键.举一反三:【变式】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形.(1)∠ABC 中,∠A =30°,∠C =∠B ;(2)三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形;(2)直角三角形.【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.解:(1)∠∠A =30°,∠C =∠B ,∠A +∠C +∠B =180°,∠∠C =∠B =75°,∠满足条件的三角形是锐角三角形.(2) ∠三个内角的度数之比为1∠2∠3,∠可求得每个内角的度数分别为30°,60°,90°,∠满足条件的三角形是直角三角形.【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题.类型二、与三角形有关线段??构成三角形条件??确定第三边取值范围3.判断下列长度的三条线段能否拼成三角形?为什么?(1)3cm 、8cm 、4cm ; (2)5cm 、6cm 、11cm ; (3)5cm 、6cm 、10cm ;【答案】(1)不能,因为3cm +4cm <8cm ;(2)不能,因为5cm +6cm =11cm ;(3)能,因为5cm +6cm >10cm【分析】略举一反三:【变式】如图所示三条线段a ,b ,c 能组成三角形吗?你是用什么方法判别的?【答案】三条线段a ,b ,c 能组成三角形,理由见分析【分析】只需要利用作图方法证明b a c b c -<<+即可.解:三条线段a ,b ,c 能组成三角形,理由如下:如图所示,根据线段的和差可知b a c b c -<<+,∠三条线段a ,b ,c 能组成三角形.【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件,线段的尺规作图,证明b a c b c -<<+是解题的关键.4.己知三角形的两边长为5和7,第三边的边长a .(1)求a 的取值范围;(2)若a 为整数,当a 为何值时,组成的三角形的周长最大,最大值是多少?【答案】(1) 212a << (2)当11a =时,三角形的周长最大为23【分析】(1)根据三角形三边关系求解即可得到答案;(2)由(1)取最大值即可得到答案.(1)解:由三角形的三边关系可知7575a -<<+,即212a <<,∠a 的取值范围是212a <<;(2)解:由(1)知,a 的取值范围是212a <<,a 是整数,∠当11a =时,三角形的周长最大,此时周长为:571123++=,∠周长的最大值是23.【点拨】本题考查三角形三边关系:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 举一反三:【变式】已知:ABC 中,5AB =,21BC a =+,12AC =,求a 的范围.【答案】38a <<【分析】根据三角形的三边关系列不等式求解即可.解:∠AB BC AC 、、是ABC 的三边,∠AC AB BC AC AB -<<+,即:a -<+<+12521125,解得:38a <<,故答案为:38a <<.【点拨】本题考查了三角形的三边关系、解不等式组;熟练掌握三角形的三边关系以及解不等式组的方法是解题的关键.类型三、与三角形有关线段??三角形的高??作图??求值(等面积法)5.在如图所示的方格纸中,每个小正方形的边长均为1,点A ,点B ,点C 均在小正方形的顶点上.(1) 画出ABC 中BC 边上的高AD ;(2) 直接写出ABC 的面积为___.【答案】(1)见分析 (2)8【分析】(1)结合网格图,直接利用三角形高线作法得出答案;(2)结合网格图,直接利用三角形的面积求法得出答案.(1)解:如图所示:AD 即为所求;1【变式】如图:(1) 用三角尺分别作出锐角三角形ABC ,直角三角形DEF 和钝角三角形PQR 的各边上的高线.(2) 观察你所作的图形,比较三个三角形中三条高线的位置,与三角形的类型有什么关系?【分析】(1)根据三角形高的画法画图即可;(2)根据(1)所作图形进行求解即可.(1)解;如图所示,即为所求; (2)解:由(1)可知,锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部;直角三角形的三条高线的交点为直角顶点;钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部.【点拨】本题主要考查了画三角形的高,三角形高线的交点,正确画出三角形的高是解题的关键.6.如图,,AD AE 分别是ABC 的中线和高,3cm AE =,26cm ABD S =△.求BC 和DC 的长.【答案】8cm BC =,4cm CD =ABD S =是ABC 的中线,得到解:由题意,得:BD AE ⋅4cm ,是ABC 的中线,12BD BC =∠4cm,28cm CD BC BD ===.【点拨】本题考查三角形的高线和中线.熟练掌握三角形的中线是三角形的顶点到对边中点所连线段,是解题的关键.举一反三:【变式】如图,AD BE ,分别是ABC 的高,若465AD BC AC ===,,,求BE 的长.2ABC S =分别是ABC 的高,1122ABC S BC AD AC =⨯=⨯45AD BC AC ===,,,462455BC BE ⨯==24BE =【点拨】本题考查了三角形面积的计算公式,掌握等面积法求解是解题的关键.7.如图,在ABC 中()2AB BC AC BC BC >=,,边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分,求AC 和AB 的长.【答案】5636AC AB ==,【分析】先根据2AC BC =和三角形的中线列出方程求解,分类讨论7050AC CD AC CD +=+=①,②,注意答案是否满足条件,即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系.解:设BD CD x ==,则24AC BC x ==,BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分,AB BC >,①当7050AC CD AB BD +=+=,时,470x x +=,解得:14x =,441456AC x ∴==⨯=,14BD CD ==,50501436AB BD ∴=-=-=,36AB ∴=,36286456BC AB AC +=+=>=,满足三边关系,5636AC AB ∴==,;②当5070AC CD AB BD +=+=,时,450x x +=,解得:10x =,441040AC x ∴==⨯=,10BD CD ∴==,70701060AB BD =-=-=,60AC BC AB +==,不满足三角形三边关系,所以舍去,5636AC AB ∴==,.【点拨】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系,解题的关键是找到等量关系,列出方程. 举一反三:【变式】如图,已知AD 、AE 分别是ABC 的高和中线9cm,12cm AB AC ==,15cm BC =,90BAC ∠=︒.试求:(1) ABE 的面积;(2) AD 的长度;(3) ACE △与ABE 的周长的差.2ACE △的周长-ABE 的周长)解:ABC 是直角三角形,2191254(cm )2ABC =⨯⨯,AE 是BC 上的中线,BE EC ∴=,ABE ACE S S ∆∆∴=,2127cm 2ABE ABC S S ∆∆∴=; )解:BAC ∠=,AD 是BC 1122AD BC ∴⋅=AB AC AD BC ⋅∴=)解:AE 是BC BE CE =,ACE 的周长-ABE 的周长和ABE 的周长差是3cm 【点拨】本题考查了三角形的面积公式,以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键.8.如图,ABC 中,90C ∠=︒,8cm AC ,6cm BC ,10cm AB =.若动点P 从点C 开始,按C →A →B →C 的路径运动,且速度为每秒2cm .设运动的时间为t 秒.(1) 当t =___________时,CP 把ABC 的周长分成相等的两部分?(2) 当t =___________时,CP 把ABC 的面积分成相等的两部分?(3) 当t 为何值时,BCP 的面积为12?【答案】(1)6(2)6.5(3) 2或6.5秒先求出ABC的周长为把ABC的周长分成相等的两部分时,12cmBC+=速度即可求解;)根据中线的性质可知,点把ABC的面积分成相等的两部分,进而求解即)分两种情况:∠P在AC1)ABC中,∠8cmAC,6cmBC,10cmAB,∠ABC的周长861024cm=++=,∠当CP把ABC的周长分成相等的两部分时,点P在AB上,此时212t=,解得6t=.故答案为:6;)当点P在AB中点时,把ABC的面积分成相等的两部分,此时213t=,解得 6.5t=.故答案为:6.5;)分两种情况:∠当P在AC∠BCP的面积16 2CP⨯⨯4CP=,24t=,t∠当P在AB∠BCP的面积=12=ABC面积的一半,∠P为AB中点,213t=, 6.5.故t为2或6.5秒时,BCP的面积为12.【点拨】本题考查了一元一次方程的应用,三角形的周长与面积,三角形的中线,难度适中.利用分【变式】已知ABC的面积为S,根据下列条件完成填空.图1图2图3(1) 1AM 是ABC 的边BC 上的中线,如图1,则1ACM 的面积为 (用含S 的式子表示,下同);2CM 是1ACM 的边1AM 上的中线,如图2,则2ACM △的面积为 ;3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线,如图3,则3ACM △的面积为 ;…… )中的求解可得规律,利用规律即可求解.是ABC 的边上的中线,ABC 的面积为11122ACM ABC S S S ==; 2CM 是1ACM 的边AM 2, 12111244ACM ACM ABC S S S S ===;3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线,如图3,231128ACM ACM S S S ==, 故答案为:12S ,14S ,1)解:∠112ACM SS =,211124ACM ACM S S S ==2312ACM ACM S S ==,以此类推,可得12n ACM S ⎛⎫= ⎪⎝⎭2022=2022ACM S故答案为:202212⎛⎫ ⎪【点拨】本题考查了三角形中线的性质,熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是9.如图,CE 是ABC 的角平分线,EF BC ∥,交AC 于点F ,已知64AFE ∠=︒,求FEC ∠的度数.【答案】32︒ ACB AFE ==∠是ABC 的角平分线,12BCE ACB =∠FEC BCE =∠本题主要考查了平行线的性质,【变式】如图,点E 为直线AB 上一点,B ACB ∠=∠,BC 平分ACD ∠,求证:AB CD .【分析】根据平行线的判定定理求解即可.解:BC 平分ACD ∠,ACB BCD ∴∠=∠,B ACB ∠=∠,B BCD ∴∠=∠,∠AB CD ∥.【点拨】本题考查了平行线的判定,熟记“内错角相等,两直线平行”是解题的关键.10.如图,ABC 中,按要求画图:(1) BAC ∠的平分线AD ;(2) 画出ABC 中BC 边上的中线AE ;(3) 画出ABC 中AB 边上的高CF .【分析】(1)画出BAC ∠的平分线交BC 于D 即可;(2)取BC 的中点E ,连接AE ,中线AE 即为所求;(3)过点C 作CF BA ⊥交BA 的延长线于F ,CF 即为ABC 中AB 边上的高.(1)解:如图,AD 即为所求;(2)解:如图,中线AE 即为所求;(3)解:如图,高CF 即为所求.【点拨】本题考查了作三角形的角平分线、中线和高线,解决本题的关键是掌握基本作图方法.举一反三:【变式】在边长为1的正方形网格中:''';(1)画出ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C'''的重叠部分面积为多少?(2)ABC与A B C重叠部分面积为'''即可;)根据题意画出ABC沿CB个单位后的A B C)正方形的边长为,根据图形进行求解即可.'''如图所示:解:(1)ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C(2)∠正方形的边长为1,9.下列图形中哪些具有稳定性?【答案】(1)(4)(6)中的图形具有稳定性.【分析】根据三角形的稳定性可直接进行求解.解:具有三角形稳定性的有(1)(4)(6).【点拨】本题主要考查三角形的稳定性,熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键.举一反三:【变式1】(1)下列图形中具有稳定性是;(只填图形序号)(2)对不具有稳定性的图形,请适当地添加线段,使之具有稳定性.【答案】(1)∠∠∠;(2)图见分析【分析】根据三角形具有稳定性,只要图形分割成了三角形,则具有稳定性.解:(1)具有稳定性的是∠∠∠三个.(2)如图所示:【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性,因此要使一些图形具有稳定的结构,往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.【变式2】如图(1)扭动三角形木架,它的形状会改变吗?如图(2)扭动四边形木架,它的形状会改变吗?如图(3)斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗?为什么?归纳:∠三角形木架的形状______,说明三角形具有______;∠四边形木架的形状______说明四边形没有______.【答案】图(1)扭动三角形木架,它的形状不会改变,因为三角形具有稳定性;图(2)扭动四边形木架,它的形状会改变,四边形不稳定;图(3)斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变,四边形变成两个三角形,三角形具有稳定性;归纳:∠是三角形,稳定性;∠四边形,稳定性.【分析】∠根据三角形的稳定性进行解答即可;∠根据四边形的不稳定性进行解答即可.解:图(1)扭动三角形木架,它的形状不会改变,因为三角形具有稳定性;图(2)扭动四边形木架,它的形状会改变,四边形不稳定;图(3)斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变,四边形变成两个三角形,三角形具有稳定性;归纳:∠由三角形具有稳定性知,三角形木架的形状不会改变,这说明三角形具有稳定性.故答案为:是三角形,稳定性;∠四边形木架的形状是四边形,四边形具有不稳定性.故答案为:四边形,稳定性.【点拨】本题考查的是三角形的稳定性,三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题,比较简单.。
七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第一篇:七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第五章《三角形》知识点总结(北师大版七年级下)一、三角形及其有关概念1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角。
2、三角形的表示:三角形用符号“△”表示,顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系:(1)三角形的任意两边之和大于第三边。
(2)三角形的任意两边之差小于第三边。
(3)作用:①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时,可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
4、三角形的内角的关系:(1)三角形三个内角和等于180°。
(2)直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
6、三角形的分类:(1)三角形按边分类:不等边三角形三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类:直角三角形(有一个角为直角的三角形)锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
7、三角形的三种重要线段:(1)三角形的角平分线:定义:在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质:三角形的三条角平分线交于一点。
交点在三角形的内部。
(2)三角形的中线:定义:在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质:三角形的三条中线交于一点,交点在三角形的内部。
(3)三角形的高线:定义:从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。
全等三角形教学设计优秀4篇全等三角形教案篇一一、教学内容分析本节课选自北师大版《七年级数学下册》第五章第四节探索三角形全等的条件第一课时,本节课探索第一种判定方法—边边边,为了使学生更好地掌握这一部分内容,遵循启发式教学原则,用设问形式创设问题情景,设计一系列实践活动,引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维,真正把学生放到主体位置,发展学生的空间观念,体会分析问题、解决问题的方法,积累数学活动经验,为以后的证明打下基础。
二、学生学习情况分析学生的知识技能基础:学生在前几节中,已经了解了三角形的有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线),以及三角形三边之间的关系、图形的全等,对本节课要学习的三角形全等条件中的“边边边”和三角形的稳定性来说已经具备了一定的知识技能基础。
学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了一些探索图形全等的活动,通过拼图、折纸等方式解决了一些简单的现实问题,获得了一些数学活动经验的基础;同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。
三、设计思想我们所在的学校处于市区,教学设备齐全,学生学习基础较好,在这之前他们已了解了图形全等的概念及特征,掌握了全等图形的对应边、对应角的关系,这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。
另外,学生也基本具备了利用已知条件拼出三角形的能力,具备探索的热情和愿望,这使学生能主动参与本节课的操作、探究。
遵循启发式教学原则,采用引探式教学方法。
用设问形式创设问题情景,设计一系列实践活动,引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维,真正把学生放到主体位置,发展学生的空间观念,体会分析问题、解决问题的方法。
四、教学目标1.知识与技能目标:掌握三角形全等的“边边边”条件,了解三角形的稳定性。
2.过程与方法目标:在探索三角形全等的条件及其运用的过程中,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程,初步形成解决问题的基本策略。
初一数学第五章第4节探索三角形全等的条件北师大版【本讲教育信息】一、教学内容:探索三角形全等的条件(第五章第四节)1. 探索三角形全等的条件.2. 三角形的稳定性.二、教学目标1. 经历对三角形全等的条件的分析和画图验证等过程,了解两个三角形全等应有的条件.2. 掌握“三边对应相等的两个三角形全等”这一三角形全等的条件,并能用它来判定两个三角形全等.3. 了解三角形的稳定性,能用它解决实际生活中遇到的问题.4. 探索出全等三角形的条件“ASA、AAS”,并能应用它们来判定两个三角形是否全等.5. 探索全等三角形的条件之一“SAS”,并能应用它来判定两个三角形全等.三、知识要点分析1. 三角形全等的条件(这是重点)(1)边角边公理(简写成“边角边”或“SAS”)有两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
公理中,不仅要求两边对应相等,而且一定要两边的“夹角”对应相等,否则两三角形不一定全等。
△ABC和△A’B’C’中,AB=A’C’,AC=A’B’,∠B=∠C’,虽有两边及一个内角相等,但由于这个内角不是两边的夹角,所以这两个三角形并不全等。
(2)有两个内角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)推论:有两个内角及一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)以上结论告诉我们,两个三角形,只要有两个内角及一条边对应相等,那么这两个三角形一定全等。
实质上,一个三角形中若有两个内角相等,则第三个内角一定相等。
因此,上述两个结论可合记为:有两个内角及一条边对应相等的两个三角形全等。
(3)三条边对应相等的两个三角形全等。
(SSS)以上结论的出现,使我们证明三角形全等的方法丰富了许多.我们可以通过SAS,ASA,AAS或SSS来证三角形全等.但要注意,没有“边边角”(SSA)公理及“角角角”(AAA)公理。
由以上分析可知,证明两个三角形全等时,至少要知道有一条边对应相等。
若找不出相等的对应边,则两三角形全等无法证明。
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案解析(北师大版) 一、单选题1.如图在△ABC中AD是△ABC的角平分线则()A.△1=12△BAC B.△1=12△ABC C.△1=△BAC D.△1=△ABC2.两根长度分别为2 10的木棒若想钉一个三角形木架第三根木棒的长度可以是()A.13B.10C.7D.63.如图给出的三角形有一部分被遮挡则这个三角形可能是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形4.如图从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子绳子底端恰好在地面P处若旗杆的高度为13.2米则绳子AP的长度不可能是()A.13米B.13.3米C.14米D.15米5.利用直角三角板作△ABC的高线下列作法正确的是()A.B.C.D.6.若一个直角三角形其中一个锐角为40° 则该直角三角形的另一个锐角是()A.60°B.50°C.40°D.30°7.如图AD BE CF是△ABC的三条中线则下列结论正确的是()A.BC=2AD B.AB=2AF C.AD=CD D.BE=CF8.如图用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限)不计螺丝大小其中相邻两螺丝的距离依次为3 4 5 7 且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框则任意两个螺丝间的距离的最大值为()A.9B.8C.7D.69.将一个三角形纸片剪开分成两个三角形这两个三角形不可能()A.都是直角三角形B.都是钝角三角形C.都是锐角三角形D.是一个直角三角形和一个钝角三角形10.如图若△ABC的三条内角平分线相交于点I 过I作DE△AI分别交AB AC于点D E 则图中与△ICE一定相等的角(不包括它本身)有()个.A.1B.2C.3D.4二、填空题11.如图AD AE分别是△ABC的角平分线和高∠B=50°∠C=70°则∠BAD=度∠EAD=度.12.已知三角形三边长分别为2 x 13 若x为正整数则这样的三角形有个.13.已知△ABC中△A=12△B=13△C 则△ABC是三角形.14.同一平面内有A B C三点A B两点之间的距离为5cm点C到直线AB 的距离为2cm且△ABC为直角三角形则满足上述条件的点C有个.三、作图题15.用圆规和直尺作图:已知△AOB(如图)求作:△AOB的平分线OC.(要求保留作图痕迹不写作法和证明过程).四解答题16.如图AD是△BAC的平分线CE是△ADC边AD上的高若△BAC=80° △ECD=25° 求△ACB的度数.17.已知a b c是△ABC的三边长若b=2a−1c=a+5且△ABC的周长不超过20cm 求a范围.18.如图在△ABC中AD△BC 垂直为D △1=△B △C=67° 求△BAC的度数19.如图所示图中共有多少个三角形?请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角.20.如图在△ABC中CE BF是两条高若△A=70° △BCE=30° 求△EBF与△FBC的度数.21.如图求△A+△B+△C+△D+△E的大小.22.如图1 AB与CD相交于点O 若△D=38° △B=28° △DAB和△BCD的平分线AP和CP 相交于点P 并且与CD AB分别相交于M N.试求:(1)△P 的度数;(2)设△D=α △B=β △DAP= 13 △DAB △DCP= 13 △DCB 其他条件不变 如图2 试问△P 与△D △B 之间存在着怎样的数量关系(用α β表示△P ) 直接写出结论.参考答案1.【答案】A【解析】【解答】解:∵AD 是△ABC 的角平分线 ∴△1=12△BAC故答案为:A.【分析】根据角平分线的定义求解即可.2.【答案】B【解析】【解答】解:设第三边的长度为x则10−2<x <10+2 即8<x <12 则x =10符合题意 故答案为:B.【分析】设第三边的长度为x 根据三角形中任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 列出不等式组 求解可得x 的取值范围 从而一一判断即可得出答案.3.【答案】B【解析】【解答】解:由图形可得:该三角形为锐角三角形.故答案为:B.【分析】观察图形可知:图中的三角形有两个锐角 且第三个角也小于90° 据此可判断出三角形的形状.4.【答案】A【解析】【解答】解:∵旗杆的高度为AB =13.2米又∵AP >AB∴绳子AP 的长度不可能是:13米. 故答案为:A.【分析】直角三角形的性质:斜边大于直角边 据此解答即可.5.【答案】C【解析】【解答】解:由三角形的高线的定义可知:A 作法不符合题意 不符合题意;B 作法不符合题意 不符合题意;C 作法符合题意 符合题意;D 作法不符合题意 不符合题意; 故答案为:C .【分析】根据高线的定义逐项判断即可。