浙教版数学 九年级上册：二次函数的应用——利润最值问题

在九年级数学课程中，学习二次函数是一个重要的内容，而解决利润问题是二次函数的常见应用之一。

在本文中，我将从浅入深地探讨九年级上册数学二次函数利润问题的解法，并共享我的个人观点和理解。

让我们简要回顾一下二次函数的基本概念。

二次函数的一般形式可以写作f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a不等于0。

在数学上，二次函数通常以抛物线的形式呈现，因此我们可以通过二次函数的图像来更直观地理解其性质和应用。

解决利润问题通常涉及到寻找最大利润或最小成本的情况，而这正是二次函数的优势所在。

通过求解二次函数的顶点，我们可以轻松地找到最大值或最小值，从而有效地解决利润问题。

在九年级上册数学中，我们学习了如何通过二次函数的标准形式（一般式）或顶点形式来解决利润问题。

对于利润问题，我们需要理解如何将利润表示成一个二次函数，并通过求解该二次函数来找到最大利润的时机或最低成本的发生时机。

当探讨九年级上册数学二次函数利润问题解法时，我们需要从以下几个方面展开讨论：1. 利润问题基本概念：对于利润问题的基本概念和应用进行介绍，包括如何将商业活动的成本和收入表示成一个二次函数。

2. 二次函数的顶点形式：介绍如何通过二次函数的顶点形式来解决利润问题，以及理解顶点对应的意义和应用。

3. 利润问题的示例分析：通过实际的利润问题示例，演示如何利用二次函数的顶点形式来解决问题，并深入分析每一个步骤和推理过程。

4. 个人观点和理解：共享我对利润问题解法的个人看法和理解，以及对二次函数在实际应用中的优势和局限性的思考。

通过以上系统的论述，我将为您撰写一篇深入、广泛，并具有实际应用价值的九年级上册数学二次函数利润问题解法的文章。

文章将以清晰的逻辑框架和条理性的表达方式让您更深入地理解这一主题，并能够灵活地应用到实际问题中。

文章的总字数将超过3000字，以确保内容的细致和全面。

接下来，我将把重点放在准备材料和深入研究示例上，以确保文章的质量和深度。

第5讲二次函数的实际应用【知识点睛】❖利润最大化问题与二次函数模型牢记两公式：①单位利润=售价-进价；②总利润=单件利润×销量；谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数；②总利润转化为售价的二次函数；函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；❖利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤1.设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入2.用含自变量的代数式表示销售商品成本3.用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式4.根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值注意：①与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；②二次函数实际应用的问题，如果是分段函数，最后需要写成一个整体，后边分别写上对应的取值范围【类题训练】1．（2022•金安区校级开学）据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝6（1+2x）B．y＝6（1﹣x）2 C．y＝6（1+x）2D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）2【分析】根据平均每个月GDP增长的百分率为x，可得二月GDP总值为6（1+x），三月GDP总值为6（1+x）2，即可解答．【解答】解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，由题意可得：y关于x的函数表达式是：y＝6（1+x）2，故选：C．2．（2021秋•科左中旗期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝x（40﹣x）B．y＝x（18﹣x）C．y＝x（40﹣2x）D．y＝2x（40﹣2x）【分析】先用含x的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积＝长×宽列出y关于x的函数关系式．【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．依题意可得：y＝x（40﹣2x）．故选：C．3．（2022•沂南县一模）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：下列结论不正确的是（）t01234567…h08141820201814…A．足球距离地面的最大高度超过20m B．足球飞行路线的对称轴是直线t＝C．点（10，0）在该抛物线上D．足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降【分析】由题意，抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，可得h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．【解答】解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，故①正确，∴抛物线的对称轴t＝4.5，故②正确，∵t＝9时，h＝0，∴点（9，0）在该抛物线上，故③不正确，∵当t＝5时，h＝20，当t＝7时，h＝14，∴足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确．故选：C．4．（2022•镇江一模）如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1m，则花圃中的阴影部分的面积有（）A．最小值247B．最小值266C．最大值247D．最大值266【分析】根据平移的性质可得，花圃中的阴影部分可看作是长为（20﹣x）m，宽为（14﹣x）m的矩形，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：花圃中的阴影部分的面积y＝（20﹣x）（14﹣x）＝x2﹣34x+280，＝（x﹣17）2﹣9，∵0＜x≤1，∴当x＝1时，y有最小值，此时y＝（1﹣17）2﹣9＝247．故选：A．5．（2022•南山区模拟）某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（）A．2500元B．2000元C．1800元D．2200元【分析】设每件商品降价x元，每天的销售额为y元，由题意可得到y和x的二次函数关系，利用配方法可求最值．【解答】解：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．依题意有：y＝（35﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+20x+1750＝﹣2（x﹣5）2+1800，∵﹣2＜0，∴当x＝5时，y最大，最大值为1800，∴最大销售额为1800元．故选：C．6．（2022•晋中一模）板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动．如图，是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A处击出，落地前的点B处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其表达式为y ＝﹣x2+x+1，则板球运行中离地面的最大高度为（）A．1B．C．D．4【分析】将二次函数化简为y＝﹣（x﹣4）2+，即可解出y最大的值．【解答】解：将二次函数y＝﹣x2+x+1，化成y＝﹣（x﹣4）2+，当x＝4时，y有最大值，y最大值＝，因此，板球运行中离地面的最大高度为．故选：B．7．（2021秋•温岭市期末）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝8，点D、点E 分别是BC、AC边上的点，DE∥AB，则S△BDE的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【分析】由△ABC是等腰直角三角形，DE∥AB，知△DEC是等腰直角三角形，设DE＝CE＝x，则AE＝AC﹣CE＝BC﹣x＝4﹣x，可得S△BDE＝S△ABC﹣S△ABE﹣S△CDE＝×4×4﹣×（4﹣x）×4﹣x2＝﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数性质即可得到答案．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，DE∥AB，∴△DEC是等腰直角三角形，设DE＝CE＝x，则AE＝AC﹣CE＝BC﹣x＝4﹣x，∴S△BDE＝S△ABC﹣S△ABE﹣S△CDE＝×4×4﹣×（4﹣x）×4﹣x2＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣2）2+4，∵﹣＜0，∴x＝2时，S△BDE最大，最大值是4，故选：B．8．（2021秋•硚口区期末）以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝at2+bt（a＜0）．若小球在第1秒与第3秒高度相等，则下列四个时间中，小球飞行高度最高的时间是（）A．第1.9秒B．第2.2秒C．第2.8秒D．第3.2秒【分析】根据抛物线具有对称性和二次函数的性质，可以得到该抛物线对称轴及开口方向，然后根据各个选项中的数据，可以判断出当t等于多少时，高度最高．【解答】解：∵小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝at2+bt （a＜0），小球在第1秒与第3秒高度相等，∴该抛物线开口向下，对称轴是直线t＝＝2，∵|1.9﹣2|＝0.1，|2.2﹣2|＝0.2，|2.8﹣2|＝0.8，|3.2﹣2|＝1.2，∴在选项中的四个时间中，当t＝1.9时，小球飞行的高度最高，故选：A．二．填空题9．（2022•连云港一模）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB ＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的为9m．【分析】设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入求出a、k的值即可．【解答】解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，所以当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，故答案为：9．10．（2022•玉环市一模）斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为h1，第二次反弹后的最大高度为h2．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度BC＝h1，若OB＝90dm，OA＝2AB．则为．【分析】先求出OB＝60，OE＝30，设第一次反弹后的抛物线的解析式＝a（x﹣30）2+h1得h1＝﹣900a，设第二次反弹后的抛物线的解析式y＝a（x﹣m）2+h2，得，得出h2＝﹣625a即可．【解答】解：∵OB＝90，OA＝2AB，∴OA＝60，OE＝30，设第一次反弹后的抛物线解析式为y＝a（x﹣30）2+h1，∵抛物线过原点O，∴a（x﹣30）2+h1＝0，解得：h1＝﹣900a，∵每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），∴两个抛物线的a是相同的，设二次反弹后的抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2+h2，∵BC＝h1，h1＝﹣900a，∴BC＝﹣600a，∵抛物线过A，B两点，∴，解得：，∴＝＝．故答案为：．11．（2022•长春一模）圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点．已知雕塑OA高米，与OA水平距离5米处为水柱最高点，落水点C、D之间的距离为22米，则喷出水柱的最大高度为6米．【分析】设水柱所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c（x≥0），根据题意得到A（0，），D（11，0），对称轴x＝5，用待定系数法求出函数表达式，把x＝5代入，即可得到喷出水柱的最大高度．【解答】解：设水柱所在抛物线的函数表达式为v＝ax2+bx+c（x≥0），∵雕塑OA高米，∴点A的坐标是（0，）．∵落水点C、D之间的距离为22米，∴点D的坐标为（11，0），∵与OA水平距离5米处为水柱最高点，∴抛物线的对称轴为x＝5，得到，∴水柱所在抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+（x≥0）．当x＝5时，y＝﹣×52+×5+，∴喷出水柱的最大高度为6米．故答案为：6．12．（2022春•长兴县月考）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，D在y轴上，且AB＝2，在BC上方有五个台阶（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离BD＝10．从点A处向右上方沿抛物线y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是（5，7）．【分析】由题意台阶I的左边端点（4.5，7），右边端点的坐标（6，7），求出x ＝4.5，6时的y的值，即可判断．【解答】解：如图所示，由题意台阶I左边的端点坐标（4.5，7），右边的端点（6，7），对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，令y＝0，x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，∴A（﹣2，0），∴点A的横坐标为﹣2，当x＝4.5时，y＝9.75＞7，当x＝6时，y＝0＜7，当y＝7时，7＝﹣x2+4x+12，解得x＝﹣1或5，∴抛物线与台阶I有交点，设交点为（5，7）．故答案为：（5，7）．13．（2021秋•潍坊期末）某桥梁的桥洞可视为抛物线，AB＝12m，最高点C距离水面4m．以AB所在直线为x轴（向右为正向），若以A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为y＝﹣x2+x．已知点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，若以点D为原点，以平行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系时，该抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x．【分析】在y＝﹣x2+x中，令y＝3可得x D﹣x A＝9，以点D为原点，以平行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系，根据题意知此时顶点D（﹣3，1），A（﹣9，﹣3），设抛物线的表达式为y＝a（x+3）2+1，将A（﹣9，﹣3）代入即得抛物线的表达式为y＝﹣（x+3）2+1＝﹣x2﹣x．【解答】解：在y＝﹣x2+x中，令y＝3得﹣x2+x＝3，解得x＝3或x＝9，∵点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，∴x D﹣x A＝9，以点D为原点，以平行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系，如图：根据题意知此时顶点D（﹣3，1），A（﹣9，﹣3），设抛物线的表达式为y＝a（x+3）2+1，将A（﹣9，﹣3）代入得：36a+1＝﹣3，解得a＝﹣，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+3）2+1＝﹣x2﹣x，故答案为：y＝﹣x2﹣x．14．（2022•黄冈三模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为40米．【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段AB 的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，再把y＝150代入函数解析式则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长．【解答】解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图：∴A（﹣40，0），B（40，0），E（0，200），设内侧抛物线的解析式为y＝a（x+40）（x﹣40），将（0，200）代入，得：200＝a（0+40）（0﹣40），解得：a＝﹣，∴内侧抛物线的解析式为y＝﹣x2+200，将y＝150代入得：﹣x2+200＝150，解得：x＝±20，∴C（﹣20，150），D（20，150），∴CD＝40m，故答案为：40米．15．（2021秋•金湖县期末）如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为6米．（结果保留根号）【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线的解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算可得结果．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示：则抛物线顶点的坐标为（0，3），设抛物线的解析式为y＝ax2+3，将A点坐标（﹣3，0）代入，可得：0＝9a+3，解得：a＝﹣，故抛物线的解析式为y＝﹣x2+3，将y＝﹣3代入抛物线解析式得出：﹣3＝﹣x2+3，解得：x＝±3，所以水面宽度为6米，故答案为：6．16．（2021秋•丰台区期末）中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面11.25m．【分析】首先建立直角坐标系，根据所给点的坐标求出解析式，可得点B 的纵坐标．【解答】解：如图，以水面所在的直线为x轴，以跳台支柱所在的直线为y轴建立直角坐标系，由题意得：A（3，10），C（5，0），对称轴为直线x＝3.5，设解析式为y＝a（x﹣3.5）2+k，所以，解得a＝﹣5，k＝11.25，所以y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，所以B（3.5，11.25），点B距离水面11.25m．故答案为：11.25．17．（2021秋•朝阳区校级期末）如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡P A的坡度为1：2（即AC：PC），洞口A离点P的水平距离PC为12米，则小明这一杆球移动到洞口A正上方时离洞口A的距离AE为米．【分析】如图，以点P为坐标原点建立平面直角坐标系，根据已知条件得到AC＝12＝6，求得B（9，12），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣9）2+12，把P（0，0）代入得到抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣9）2+12，当x＝12时，求得CE＝，于是得到答案．【解答】解：如图，以点P为坐标原点建立平面直角坐标系，在Rt△AOC中，∵AC：PC＝1：2，PC为12米，∴AC＝12＝6，∵当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米，∴B（9，12），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣9）2+12，把P（0，0）代入得，0＝a（0﹣9）2+12，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣9）2+12，当x＝12时，y＝，即CE＝，∴AE＝CE﹣AC＝﹣6＝，故答案为：．三．解答题18．（2022•福田区二模）【综合与实践】如图1，一个横断面呈抛物线状的公路隧道，其高度PH为8米，宽度OA为16米．车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米（AB＝2米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙CD不少于米．如图2，以O 点为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，根据题中的信息回答下列问题：（1）直接写出点A的坐标是（16，0），抛物线顶点P的坐标是（8，8）；（2）求出这条抛物线的函数表达式；（3）根据题中的要求，可以确定通过隧道车辆的高度不能超过3米．【分析】（1）直接根据题意以及图形可知点A，点P的坐标．（2）根据图像假设函数表达式，进而根据待定系数法求解即可．（3）由图可知，当车高h一定时，空隙的最小值CD，在x＝14时取得，将x＝14代入函数解析式中表示出CD，进而根据“最小空隙CD不少于米“可求解出答案．【解答】解：（1）由题意可知：点A的坐标是（16，0），抛物线顶点P的坐标（8，8）；故答案为：（16，0），（8，8）．（2）∵顶点坐标（8，8）；∴设y＝a（x﹣8）2+8（a≠0）；又∵图象经过（0，0）∴0＝a（0﹣8）2+8，∴；∴这条抛物线的函数表达式为y＝（x﹣8）2+8，即y＝x2+2x；（3）通过隧道车辆的高度不能超过3米．理由：以下图为例，由图可知，当车高h一定时，空隙的最小值CD，在x＝14时取得，此时，，此时，，由题意，，所以，h≤3．所以，通过隧道车辆的高度不能超过3米．故答案为：3．19．（2022•成都模拟）某企业以A，B两种农作物为原料，开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍．若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg，生产该产品每盒需要A 原料2kg和B原料4kg，每盒还需其它成本9元．市场调查发现：该产品售价为每盒40元时，每天可卖出150盒；如果每盒的售价每涨1元（售价每盒不能高于45元），那么每天少卖10盒．设每盒涨价x元（x为非负整数），每天销售y盒．（1）求该产品每盒的成本（成本＝原料费+其它成本）；（2）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；如何定价才能使每天的利润w最大且每天销量较大？每天的最大利润是多少？【分析】（1）根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费+其他成本计算每盒产品的成本即可；（2）根据每天销量等于原来的每天销量减去减少的销量列出函数关系式即可；先列出每天的利润与涨价x元之间的函数关系式，利用函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，根据题意，得﹣＝100，解得：m＝3，经检验：m＝3是方程的解，∴1.5m＝4.5，∴A、B两原料的单价分别为4.5元，3元，∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），答：每盒产品的成本为30元；（2）根据题意，得y＝150﹣10x（0≤x≤5的整数）；设每天的利润为w元，根据题意，得w＝（x+40﹣30）（150﹣10x）＝﹣10x2+50x+1500，∵该抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝，∵x的取值范围是：0≤x≤5的整数，∴当x＝2或3时，每天利润最大，又∵每天销量最大，∴x＝2，此时每盒定价为42元，最大利润为1560元．20．（2022•浦江县模拟）小明、小林两同学在操场进行实心球训练，发现实心球的飞行路线可近似看作二次函数图象一部分，如图所示是小明同学掷的实心球运动的路线，其中（0，1.5）点是小明掷实心球时出手位置．（1）求实心球所经过路线的函数表达式．（2）实心球的落地点离小明有多远？（3）小林的个子比小明高，若小林掷实心球出手的位置点是（0，1.74），且实心球运动的抛物线形状、对称轴与小明的相同，问：小林掷的实心球位置会比小明的远吗？两者相差多少？【分析】（1）根据题意把抛物线解析式设为顶点式，再把（0，1.5）代入解析式求出即可；（2）令y＝0，解一元二次方程即可；（3）根据题意求出小林投掷实心球所过的抛物线解析式，再求出d，令y＝0，解方程即可．【解答】解：（1）由图象知，抛物线的顶点为（4，3），∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+3，把（0，1.5）代入解析式得：1.5＝a×16+3，解得：a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣4）2+3＝﹣x2+x+，∴实心球所经过路线的函数表达式为y＝﹣x2+x+；（2）令y＝0，则﹣x2+x+＝0，解得：x1＝4+4，x2＝4﹣4（不合题意，舍去），∴实心球的落地点离小明（4+4）米远；（3）两抛物线形状，对称轴相同，则可设为y＝﹣x2+x+d，把点（0，1.74）代入抛物线解析式得：d＝1.74，∴y＝﹣x2+x+1.74，令y＝0，则﹣x2+x+1.74＝0，解得：x＝4+或x＝4﹣（舍去），∵4+＞4+4，两者相差：（4+）﹣（4+4）＝﹣4≈0.22（米）．∴小林掷的实心球位置会比小明的远，两者相差约0.22米．21．（2022•上虞区模拟）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示．根据相关信息解答下列问题．飞行时间t/s012飞行高度h/m01520（1）求小球的飞行高度h（单位：m）关于飞行时间t（单位：s）的二次函数关系式．（2）小球从飞出到落地要用多少时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．【分析】（1）设该二次函数解析式为h＝at2+bt，将（1，15）、（2，20）代入求出a、b的值即可；（2）当h＝0时，0＝20t﹣5t2，解方程即可解答；（3）当h＝20.5，得方程20.5＝20t﹣5t2，解方程即可解答．【解答】解：（1）∵抛物线过原点（0，0），∴设该二次函数解析式为h＝at2+bt，将（1，15）、（2，20）代入，得：，解得，∴小球的飞行高度h关于飞行时间t的二次函数关系式为h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞出和落地时的高度都为0，令h＝0，得方程：0＝20t﹣5t2，解这个方程得：t1＝0，t2＝4，所以小球从飞出到落地要用4s．（3）令h＝20.5，得方程20.5＝20t﹣5t2，整理得：t2﹣4t+4.1＝0，因为（﹣4）2﹣4×4.1＜0，所以方程无实数根，所以小球的飞行高度不能达到20.5m；22．（2022春•丰县月考）某商场购进一种每件成本为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；（3）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过30%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？（利润率＝利润÷成本×100%）（4）疫情过后，有关部门规定每件商品的利润率不得超过50%，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠a元（10≤a≤25），捐赠后发现，该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大．请直接写出a的取值范围．【分析】（1）设与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法可求出其解析式，再求出x的取值范围即可；（2）根据利润﹣（售价﹣单价）x销售量，即可得出答案；（3）根据题意可求出的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得出答案；（4）根据题意可求出x的取值范围和W与xa的关系式，再将其配方，根据该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大，即可得出关于a的不等式，解出a的解集即可得出答案．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：，解得：．∴y＝﹣x+180，令y＝0，则﹣x+180＝0，解得：x＝180．故y与x的函数关系式为y＝﹣x+180（100＜x≤180）；（2）∵y＝﹣x+180，∴W＝（x﹣100）y＝（x﹣100）（﹣x+180），＝﹣x2+280x﹣18000，即每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式为W＝﹣x2+280x﹣18000（100＜x≤180）；（3）根据题意可得：≤30%，解得：x≤130，∴100＜x≤130，∵W＝﹣x2+280x﹣18000＝﹣（x﹣140）²+1600，∴当x＝130时，W有最大值，且Wmax＝﹣（130﹣140）2+1600＝1500（元）．故将售价定为130元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1500元．（4）根据题意可知≤50%，解得：x≤150，W＝﹣x2+280x﹣18000﹣a（﹣x+180）＝﹣[x﹣（140+）]2+﹣40a+1600，∵该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大，∴140+≥150，解得：a≥20，∵10≤a≤25，∴20＜a≤25．23．（2022•海陵区一模）2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市场对口罩的需求量仍然较大．某公司销售一种进价为12元/袋的口罩，其销售量y（万袋）与销售价格x（元/袋）的变化如表：…14161820…价格x（元/袋）…5432…销售量y（万袋）另外，销售过程中的其他开支（不含进价）总计6万元．（1）根据表中数据变化规律及学过的“一次函数、二次函数、反比例函数”知识，请判断销售量y（万袋）与价格x（元/袋）满足什么函数？并求出y与x之间的函数表达式；（2）设该公司销售这种口罩的净利润为w（万元），当销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？【分析】（1）根据数据得出y与x是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据w＝（x﹣12）y﹣6得出w与x的函数关系式，求出即可．【解答】解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，设解析式为：y＝ax+b，则，解得：a＝﹣，b＝12，故函数解析式为：y＝﹣x+12．（2）根据题意得出：w＝（x﹣12）y﹣6，＝（x﹣12）（﹣x+12）﹣6＝﹣x2+18x﹣150＝﹣（x2﹣36x）﹣150＝﹣（x﹣18）2﹣150+162＝﹣（x﹣18）2+12，故销售价格定为18元/袋时净得利润最大，最大值是12万元．21．（2022•兰溪市模拟）如图1是城市平直道路，道路限速60km/h．A路口停车线l1和B路口停车线l2之间相距S＝400m，A、B两路口各有一个红绿灯．在停车线l1后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线l1平齐．已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程S、速度v与时间t的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图2、3所示．某时刻A路口绿灯亮起，该汽车立即启动．（车身长忽略不计）（1）求该汽车从停车线l1出发加速到限速所需的时间；（2）求该汽车最快需要多少时间可以通过停车线l2；（3）若A路口绿灯亮起29s后B路口绿灯亮起，且B路口绿灯的持续时间为23s．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶．若该汽车在B路口绿灯期间能顺利通过停车线l2，求该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围．【分析】（1）先将限速单位化为m/s，根据图3求得v＝2t，代入求解即可；（2）根据（1）的结论求得加速时间，根据题意求得运算时间，分别求得两段时间内的路程，进而即可求得答案；（3）设该汽车匀速行驶过程中的速度为vm/s，根据题意根据（2）的方法求得两段路程所用时间，结合题意中绿灯等亮起期间所用时间，分别列出方程，即可该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围．【解答】解：∵限速为60km/h＝m/s，由图3可知，当t＝1时，v＝2，设v＝kt，解得k＝2，∴v＝2t，∴t＝＝×＝s．（2）由图2可知，当t＝1时，S＝1，且x＝0时，S＝0，设S＝at2，∴1＝a×12，解得a＝1，∴S＝t2（t≥0），由（1）可知汽车从停车线l1出发加速到限速所需的时间s．则S＝（）2＝m，以m/s行驶时间为：＝s，∴+＝＝28s，∴该汽车最快需要28s可以通过停车线l2；（3）设该汽车匀速行驶过程中的速度为vm/s，即求出加速到v，由（1）可得汽车加速到v所用的时间为t＝，则汽车从停车线l1出发加速到vm/s的路程为S＝（）2，匀速所用的时间为s，根据题意可得当B路口绿灯亮起时通过，则+＝29，解得v＝16或v＝100（舍），经检验v＝16是原方程的解，可得当B路口绿灯熄灭时候通过，则+＝29+23，解得v＝8或v＝200（舍），经检验v＝8是原方程的解，综上所述，该汽车匀速行驶过程中的速度v的范围为8≤v≤16．。

第一章二次函数-利润问题专项解答题1．某企业为杭州计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y 1（元）与月份x （1≤x ≤9，且x 取整数）之间的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 价格y 1（元/件）560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y 2（元）与月份x （10≤x ≤12，且x 取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y 1 与x 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y 2与x 之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p 1（万件）与月份x 满足关系式p 1=0.1x+1.1（1≤x ≤9，且x 取整数），10至12月的销售量p 2（万件）p 2=﹣0.1x+2.9（10≤x ≤12，且x 取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润．2.我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y （万件）与月份x （月）的关系为：y ={x +4(1≤x ≤8,x 为整数)−x +20(9≤x ≤12,x 为整数) ，每件产品的利润z （元）与（1）请你根据表格求出每件产品利润z （元）与月份x （月）的关系式；（2）若月利润w （万元）=当月销售量y （万件）×当月每件产品的利润z （元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？3.某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间发现销售量y（个）与销售单价x(2)若该商品的销售单价在45元∼80元之间浮动．①销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？②商店想要在这段时间内获得4550元的销售利润，销售单价应定为多少元？4.某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，商场决定降价销售，经调查，每件衬衫降价1元时，平均每天可多卖出2件．(1)设每件衬衫降价x元，商场服装部每天盈利y元，试求出y与x之间的函数关系式；(2)若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？(3)当每件衬衫降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？最大盈利是多少元？5.某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．这种许愿瓶的进价为6元/个，根据市场调查，一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)按照上述市场调查的销售规律，当利润达到1200元时，请求出许愿瓶的销售单价x；(3)请写出销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．6.某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．(1)求y关于x的函数表达式．(2)若要书店每天盈利1200元，则需降价多少元？(3)当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？7.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x 为正整数），每个月的销售利润为y元．(1)写出上涨后每件商品的利润为________元，每月能销售________件商品（用含x的代数式表示）(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？8.今年我区吉安镇柑桔喜获丰收，根据柑桔季节性及以往销售经验，销售时间不超过12y x(1)请你从所学过的一次函数和二次函数中确定哪种函数关系能表达y与x的变化规律（不需说明理由），并写出y关于x的函数关系式．(2)根据销售经验，第1周每千克售价30元时，当周可以销售1200千克水果；以后售价每降低2元，当周销售量可以增加400千克，通过计算估计最多第几周的销售金额就可以达到60800元．(3)设第9周的销售量仍满足(2)中的关系，根据销售经验，从第9周后，每周的销售量均比前一周下降900千克，而售价与时间仍满足(1)中的关系，柑桔通过前9周的销售后，只剩5000千克．现准备将这批柑桔全部批发给某水果商，那么每千克的批发价至少为多少元时，才能获得不低于依销售经验按周销售的金额？（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24，√6≈2.45，√7≈2.65）9.某商场有A、B两种商品，A商品每件售价25元，B商品每件售价30元，B商品每件的成本是20元．根据市场调查“若按上述售价销售，该商场每天可以销售B商品100件，若销售单价毎上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．(1)请写出B商品每天的销售利润y（元）与销售单价(x)元之间的函数关系？(2)当销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？10.一种进价为每件40克的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请确定该T恤涨价后每周销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？11.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示．(1)看图1回答：①当批发价为5元时，批发量m的范围是________②当批发价为4元时，批发量m的范围是________(2)写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m(kg)之间的函数关系式；在图2的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图3所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．12.2021年上半年，某种农产品受炒作的不良影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/kg与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格y元/kg与月份x呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这4个月的月平均价格分别为8元/kg、26元/kg、14元/kg和11元/kg.（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数表达式；（2）在2012年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？（3）若以12个月的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？13、某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.21·cn·jy·com(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?14．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表：同时，销售过程中的其他开支(不含造价)总计40万元．(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式；(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？(3)该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x(元/个)的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？15.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40)，请你分别用x的代数式来表示销售量y400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？参考答案及解析1.解：（1）利用表格得出函数关系是一次函数关系： 设y 1=kx+b ， ∴， 解得：，∴y 1=20x+540，利用图象得出函数关系是一次函数关系： 设y 2=ax+c ， ∴， 解得：，∴y 2=10x+630．（2）去年1至9月时，销售该配件的利润w=p 1（1000﹣50﹣30﹣y 1）， =（0.1x+1.1）（1000﹣50﹣30﹣20x ﹣540）=﹣2x 2+16x+418， =﹣2（ x ﹣4）2+450，（1≤x ≤9，且x 取整数）∵﹣2＜0，1≤x ≤9，∴当x=4时，w 最大=450（万元）； 去年10至12月时，销售该配件的利润w=p 2（1000﹣50﹣30﹣y 2） =（﹣0.1x+2.9）（1000﹣50﹣30﹣10x ﹣630）， =（ x ﹣29）2，（10≤x ≤12，且x 取整数），∵10≤x ≤12时，∴当x=10时，w 最大=361（万元），∵450＞361，∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元． 2.当1≤x ≤9时，设每件产品利润z （元）与月份x （月）的关系式为z =kx +b ， {k +b =192k +b =18 ，得{k =−1b =20， 即当1≤x ≤9时，每件产品利润z （元）与月份x （月）的关系式为z =−x +20， 当10≤x ≤12时，z =10，由上可得，z ={−x +20(1≤x ≤9,x 取整数)10(10≤x ≤12,x 取整数)；当1≤x ≤8时，w =(x +4)(−x +20)=−x 2+16x +80，当x =9时，w =(−9+20)×(−9+20)=121， 当10≤x ≤12时，w =(−x +20)×10=−10x +200，由上可得，w ={−x 2+16x +80(1≤x ≤8,x 取整数)121(x =9)−10x +200(10≤x ≤12,x 取整数)；当1≤x ≤8时，w =−x 2+16x +80=−(x −8)2+144，∴当x =8时，w 取得最大值，此时w =144； 当x =9时，w =121，当10≤x ≤12时，w =−10x +200，则当x =10时，w 取得最大值，此时w =100，由上可得，当x 为8时，月利润w 有最大值，最大值144万元．3.销售单价应定为60元．过程略4.解：(1)设每套降价x 元，商场平均每天赢利y 元，则y =(40−x)(20+2x)=−2x 2+60x +800，(2)当y =1200， 1200=−2(x −15)2+1250， 解得x 1=10，x 2=20，因为为了扩大销售，所以，应降价20元；若商场每天平均需盈利1200元，每件衬衫应降价20元；（3）y =−2x 2+60x +800， =−2(x −15)2+1250，当x =15时，y 有最大值为1250元，当每件降价15元时，商场平均每天盈利最多．5.许愿瓶的销售单价x 为10元或16元；（3）w =(x −6)(−30x +600)=−30x 2+780x −3600即w 与x 之间的函数关系式为w =−30x 2+780x −3600． 由题意得6(−30x +600)≤900，解得x ≥15，w =−30x 2+780x −3600图象对称轴为x =−7802×(−30)=13， ∵a =−30<0，∴抛物线开口向下，当x ≥15时，w 随x 增大而减小， ∴当x =15时，w 最大=1350．即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元 ．6.若每天盈利1200元，为了尽快减少库存，则应降价20元；(3)∵y =−2(x −15)2+1250=1200则当x =15时，y 取得最大值1250；即当将价15元时，该书店可获得最大利润1250元． 7.10+x210−10x 略8.解：(1)由图表数据观察可知y 与x 之间是一次函数关系， 设y =kx +b(k ≠0)， 则{30=k +b 28=2k +b，解得{k =−2b =32．故y 与x 函数关系式为y =−2x +32(0≤x ≤12)；(2)设第x 周的销售金额就可以达到60800元，根据题意得：[1200+400(x −1)][30−2(x −1)]=60800， 整理得x 2−14x +44=0，解得x 1=7−√5，x 2=7+√5（舍去），通过计算估计最多第5周的销售金额就可以达到60800元；(3)把x =9代入y =−2x +32得y =−2×9+32=14，∴第9周的销售价格为14元，9.当销售单价为35元时，B 商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元． 10.解：根据题意得y =(x −40)[300−10(x −60)] =−10x 2+1300x −36000，∵x −60≥0且300−10(x −60)≥0， ∴60≤x ≤90， ∵a =−10<0，而抛物线的对称轴为直线x =65，即当x >65时，y 随x 的增大而减小， 而60≤x ≤90，∴当x =65时，y 的值最大，即销售单价定为65元时，每周的销售利润最大．11.20≤m ≤60m >60(2)由题意得：w ={5m(20≤m ≤60)4m(m >60)，函数图象如图所示．由图可知资金金额满足240<w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果；(3)设日销售量为xkg(x >60)，日零售价为p 元， 则由图3日零售价p 满足：x =kp +b ，将(7, 40)，(6, 80)， 代入解析式得： {7k +b =406k +b =80， 解得：{k =−40b =320，∴x =320−40p ，于是p =320−x 40销售利润y =x( 320−x 40−4)=−140(x −80)2+160当x =80时，y 最大值=160，此时p =6即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/千克， 当日可获得最大利润160元． 12.解：（1）当1≤x ≤7时，设y =kx+m .将（1，8），（7，26）分别代入y=kx+m ，得k+m =8,7k +m =26. 解得m =5,k =3. ∴函数表达式为y =3x +5.当7≤x ≤12时，设y =ax 2+bx+c.将（7，26），（9，14），（12，11）分别代入y =ax 2+bx +c ，得：49a +7b+c=26,81a +9b +c =14,144a +12b +c =11. 解得a =1,b =-22,c =131. ∴函数表达式为y =x 2-22x +131.（2）当1≤x ≤7时，函数y =3x +5，y 随x 的增大而增大，∴当x=1时，y 最小值=3×1+5=8.当7≤x ≤12时，y =x 2-22x +131=（x-11）2+10≥10.∴当x =1时，y 最小值=8.∴该农产品月平均价格最低的是1月，最低为8元/kg.（3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数，∴当x=4时的月平均价格17元/kg 是前7个月的平均价格.将x =8，x =10和x =11分别代入y =x 2-22x +131，得y=19，y=11和y =10.∴后5个月的月平均价格分别为19元/kg ，14元/kg ，11元/kg ，10元/kg ，11元/kg.∴年平均价格为177191411121011⨯+++++=463≈15.3（元/kg ）.当x =3时，y=14<15.3，x =4时，y=17＞15.3,∴4，5，6，7，8这5个月的月平均价格高于年平均价格. 13、（1）根据题意，y=（60-50+x ）(200-10x),整理得，y=10x 2+100x+2000(0<x ≤12)；(2)由(1)得y=-10x 2+100x+2000=－10（x-5）2＋2250，当x=5时，最大月利润y 为2250元。

合用标准文案二次函数的实质应用——最大利润问题、面积最大 ( 小) 值问题一：最大利润问题知识要点：二次函数的一般式 y ax 2bx c ( a0 )化成极点式 ya( x b ) 24ac b 2 ，若是自变量的2a 4a取值范围是全体实数，那么函数在极点处获取最大值〔或最小值〕 ．即当 a0 时，函数有最小值，并且当 xb ， y 最小值 4ac b 2 ；2a4a当 a0 时，函数有最大值，并且当x b， y 最大值 4ac b 2 ．2a4a若是自变量的取值范围是x 1xx 2 ，若是极点在自变量的取值范围x 1 x x 2 内，那么当xb， y 最值4ac b 2 ，若是极点不在此范围内，那么需考虑函数在自变量的取值范围内的增减2a4a ax 22性；若是在此范围内 y 随 x 的增大而增大，那么当 x x 2 时， y 最大 bx 2 c ，当 x x 1 时， y最小ax 12bx 1 c ；若是在此范围内y 随 x 的增大而减小，那么当 x x 1 时， y 最大ax 12 bx 1 c ，当 xx 2 时，y最小ax 22bx 2 c ．商品定价一类利润计算公式：经常出现的数据： 商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他本钱。

总利润 =总售价 -总进价 - 其他本钱 =单位商品利润 ×总销售量－其他本钱单位商品利润 =商品定价－商品进价总售价 =商品定价 ×总销售量；总进价 =商品进价×总销售量[ 例 1]：某电子厂商投产一种新式电子厂品， 每件制造本钱为 18 元，试销过程中发现， 每个月销售量 y 〔万件〕与销售单价 x 〔元〕之间的关系能够近似地看作一次函数 y= ﹣ 2x+100 ．〔利润 = 售价﹣制造本钱〕（ 1 〕写出每个月的利润 z 〔万元〕与销售单价 x 〔元〕之间的函数关系式；（ 2 〕当销售单价为多少元时，厂商每个月能获取 3502 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每个月能获取最大利润？最大利润是多少？〔 3 〕依照相关部门规定， 这种电子产品的销售单价不能够高于 32 元，若是厂商要获取每个月不低于 350 万 元的利润，那么制造出这种产品每个月的最低制造本钱需要多少万元？ 解：〔 1 〕 z= 〔 x -18 〕 y= 〔x -18 〕〔 -2x+100 〕 = -2x 2+136x-1800 ，∴ z 与 x 之间的函数解析式为 z= -2x 2 +136x-1800；〔 2 〕由 z=350 ，得 350= -2x 2+136x -1800 ，解这个方程得 x 1=25 ，x 2 =43因此，销售单价定为 25 元或 43 元，将 z =-2x 2 +136x-1800配方，得 z=-2 〔 x-34 〕 2+512 ，因此，当销售单价为 34 元时，每个月能获取最大利润，最大利润是 512 万元；（3 〕结合〔 2 〕及函数 z=-2x 2+136x ﹣ 1800 的图象〔以以下列图〕可知，当25≤x ≤43时 z ≥350 ，优秀文档又由限价 32 元，得 25 ≤x ≤32，依照一次函数的性质，得 y=-2x+100 中 y 随 x 的增大而减小，∴当 x=32时，每个月制造本钱最低最低本钱是 18 ×〔 -2 ×32+100 〕 =648 〔万元〕， 因此，所求每个月最低制造本钱为 648 万元．[ 练习 ] ：1．某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场检查反响：每涨价 1 元，每星期 少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，商品的进价为每件 40 元，怎样定价才能使利润 最大？解：设涨价〔或降价〕为每件x 元，利润为 y 元，y 1 为涨价时的利润， y 2 为降价时的利润那么： y 1 (60 40 x)(300 10x)10( x 2 10x 600)10( x 5) 26250当 x5 ，即：定价为 65 元时， y max6250 〔元〕y 2 (60 40 x)(30020x)20( x 20)( x15)20( x 2.5) 2 6125当，即：定价为 57.5 元时， y max 6125 〔元〕综合两种情况，应定价为65 元时，利润最大．[ 例 2] ： 市 “健益 〞商场购进一批 20 元 /千克的绿色食品，若是以 30?元 /千克销售，那么每天可售出400 千克．由销售经验知，每天销售量y (千克 )?与销售单价 x (元 )( x30 〕存在以以下列图所示的一次函数关系式． ⑴试求出 y 与 x 的函数关系式；⑵设 “健益 〞商场销售该绿色食品每天获取利润 P 元，当销售单价为何值时，每天可获取最大利润？最大利润是多少？⑶依照市场检查，该绿色食品每天可获利润不高出 4480 元， ?现该商场经理要求每天利润不得低于4180 元，请你帮助该商场确定绿色食品销售单价 x 的范围 (?直接写出答案 )．解：⑴设 y=kx+b 由图象可知，30k b 400,k 2040k b 200 解之得 :1000 ，b即一次函数表达式为y20x 1000 (30 x50) ．⑵ P(x20) y ( x 20)( 20 x 1000)20 x 2 1 4 0 x0 2 0 0 0 0∵ a 200 ∴ P 有最大值．当 x140035 时， P max4500 〔元〕(2 20)〔或经过配方，P 20( x 35) 24500 ，也可求得最大值〕答：当销售单价为35 元 /千克时，每天可获取最大利润4500 元．⑶∵ 418020( x35) 2 4500 44801 ( x 35) 216∴ 31≤x ?≤34或 36≤x ≤39．练习 2．某公司投资 700 万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后， 进行这两种产品加工． 生产甲种产品每件还需本钱费 30 元，生产乙种产品每件还需本钱费 20 元．经市场调研发2合用标准文案现：甲种产品的销售单价为x〔元〕，年销售量为 y〔万件〕，当 35≤x＜50 时， y 与 x 之间的函数关系式为 y=20﹣；当 50≤x≤70 时， y 与 x 的函数关系式以以下列图，乙种产品的销售单价，在 25 元〔含〕到 45 元〔含〕之间，且年销售量牢固在10 万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90 元．〔1〕当 50≤x≤70 时，求出甲种产品的年销售量y〔万元〕与 x 〔元〕之间的函数关系式．〔2〕假设公司第一年的年销售量利润〔年销售利润=年销售收入﹣生产本钱〕为W〔万元〕，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？〔3〕第二年公司可重新对产品进行定价，在〔2〕的条件下，并要求甲种产品的销售单价x 〔元〕在 50≤x≤70 范围内，该公司希望到第二年年终，两年的总盈利〔总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资本钱〕不低于85 万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m〔元〕的范围．解：〔1〕设y与x的函数关系式为 y=kx+b〔k≠0〕，∵函数图象经过点〔 50， 10〕，〔 70， 8〕，∴，解得，因此， y=﹣0.1x+15；〔 2〕∵乙种产品的销售单价在25元〔含〕到 45元〔含〕之间，∴，解之得 45≤x≤65，①45≤x＜ 50时， W=〔x﹣30〕〔 20﹣〕+10〔90﹣x﹣20〕，=﹣0.2x2+16x+100，=﹣〔x2﹣ 80x+1600〕+320+100，=﹣〔x﹣40〕2+420，∵﹣＜0，∴ x＞ 40时， W随x的增大而减小，∴当 x=45时， W 有最大值， W最大 =﹣〔45﹣ 40〕2+420=415万元；②50≤x≤65时， W=〔x﹣30〕〔﹣ 0.1x+15〕+10〔 90﹣x﹣20〕，=﹣0.1x2+8x+250，=﹣〔x2﹣80x+1600〕 +160+250，=﹣〔x﹣40〕2+410，∵﹣＜0，∴ x＞ 40时， W随x的增大而减小，∴当 x=50时， W 有最大值， W最大 =﹣〔50﹣ 40〕2+410=400万元．综上所述，当 x=45，即甲、乙两种产品定价均为 45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是 415万元；（3〕依照题意得，W=﹣0.1x2+8x+250+415﹣700=﹣0.1x2+8x﹣35，令 W=85，那么﹣ 0.1x2+8x﹣35=85，解得 x1=20，x2=60．又由题意知， 50≤x≤65，依照函数性质解析， 50≤x≤60，即 50≤90﹣m≤60，∴ 30≤m≤40．二、面积最大〔最小〕值问题实责问题中图形面积的最值问题解析思路为：优秀文档〔1〕解析图形的成因〔 2〕鉴别图形的形状〔 3〕找出图形面积的计算方法〔4〕把计算中要用到的所有线段用未知数表示〔5〕把线段长度代入计算方法形成图形面积的函数解析式，注意自变量的取值范围〔6〕依照函数的性质以及自变量的取值范围求出头积的最值。

第2课时利用二次函数解决距离、利润最值问题知识点一求含有根号的代数式的最值1．代数式x2＋4x＋10的最小值是________．知识点二利润问题的基本等量关系利润问题的基本等量关系：总利润＝总售价－________；总利润＝__________×__________．2．某商品的进价为8元/件，若销售价格定为10元/件时，则每天可卖出20件．已知销售单价每提高1元，则每天少卖出3件．设销售单价提高x元，则每天卖出________件，此时每天的销售收入为______________元，每天的销售利润为______________元．类型一用二次函数的最值解决有关“最近距离”的问题例1 [教材例2针对练] 如图1－4－4所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC ＝12 cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动；点Q从点B开始，沿BC 边向点C以2 cm/s的速度移动，设点P，Q同时出发，问：(1)经过几秒钟，点P，Q的距离最短？(2)经过几秒钟，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？图1－4－4【归纳总结】求y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型函数的最值的方法(1)利用勾股定理建立y＝ax2＋bx＋c型的函数表达式；(2)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值；(3)将(2)中求得的最值开根号，即得y＝ax2＋bx＋c型函数的最值．类型二用二次函数的最值解决有关“最大利润”的问题例2 [教材例3针对练] 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？【归纳总结】利用二次函数求最大利润问题的步骤(1)利用利润问题的等量关系建立利润与价格之间的二次函数表达式；(2)利用配方法或公式法求出函数的最大值，即得最大利润．类型三掌握自变量的取值范围对最值的影响例3 [教材补充例题] 某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的价格售出，每天可售出6台．假设这种品牌的彩电每台降价100x(x为正整数)元，每天可多售出3x台．(注：利润＝销售价－进价)(1)设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数表达式；(2)销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？【归纳总结】解答此类题时要注意审题(比如题中会说明x为正整数)，不能放过每一个细节．用二次函数解决实际问题时，若抛物线顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，应如何解决？详解详析【学知识】 1．[答案] 6[解析] x 2＋4x ＋10＝（x 2＋4x ＋4）＋6＝（x ＋2）2＋6.∵(x＋2)2≥0， ∴(x ＋2)2＋6≥6，∴当x ＋2＝0，即x ＝－2时，x 2＋4x ＋10有最小值，为 6. 知识点二 总成本 每件商品所获利润 销售数量 2．[答案] (20－3x) (10＋x)(20－3x) (2＋x)(20－3x) 【筑方法】例1 [解析] 设经过t s ，则AP ＝t ，BQ ＝2t ，0≤t ≤6.(1)在Rt △PBQ 中，利用勾股定理，得出PQ 的长与t 之间的函数表达式，求其最小值； (2)先求△PBQ 的面积与t 之间的函数表达式，再求其最大值． 解：设运动时间为t s ，则AP ＝t cm ，BQ ＝2t cm ，0≤t ≤6. (1)在Rt △PBQ 中，PQ 2＝PB 2＋BQ 2， ∴PQ ＝PB 2＋BQ 2＝（6－t ）2＋（2t ）2＝5t 2－12t ＋36＝5（t －65）2＋1445.∵当t ＝65时，5(t －65)2＋1445有最小值1445，∴当t ＝65时，PQ 的最小值为125 5 cm.答：经过65 s ，点P ，Q 的距离最短．(2)设△PBQ 的面积为S ，则S ＝12BP·BQ＝12(6－t)·2t＝6t －t 2＝－(t －3)2＋9. ∴当t ＝3时，S 有最大值，最大值为9.答：经过3 s ，△PBQ 的面积最大，最大面积是9 cm 2. 例2 解：设降价x 元后每天获利y 元．由题意得y ＝(135－100－x)(100＋4x)＝－4x 2＋40x ＋3500＝－4(x －5)2＋3600. ∵a ＝－4<0，∴当x ＝5时，y 有最大值，最大值为3600. 答：每件降价5元，可使每天获得的利润最大．例3 解：(1)销售每台彩电获利3900－3000－100x ＝(－100x ＋900)元，每天的销售量为(6＋3x)台，所以y ＝(－100x ＋900)(6＋3x)＝－300x 2＋2100x ＋5400.(2)因为y ＝－300x 2＋2100x ＋5400＝－300(x －72)2＋9075，所以该函数图象的顶点坐标为(72，9075)．又因为x 为正整数，所以当x ＝3或x ＝4时，y 取得最大值，为9000元．所以销售该品牌彩电每天获得的最大利润是9000元．当x ＝3时，销售价为每台3600元，销售量为每天15台，营业额为3600×15＝54000(元)；当x ＝4时，销售价为每台3500元，销售量为每天18台，营业额为3500×18＝63000(元)．通过对比发现，当每台彩电的销售价为3500元时，彩电的销售量和营业额均较高．【勤反思】[小结] 每件商品利润 销售量[反思] 利用二次函数解决实际问题时，若抛物线的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，这时，要结合二次函数的图象与性质，考虑自变量有意义的区域内的最值情况．。

二次函数的应用——利润最值问题教学目标：知识目标：1.将实际问题抽象成数学问题，经历函数建模的过程；2.会用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值.能力目标：1.通过对商品涨价与降价的分析，感受函数知识在生活中的应用2.在探究活动中，学会与他人合作并能与他人交流思维过程和探究结果情感态度和价值观：通过对生活中实际问题的探究活动，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情.重点：用二次函数知识解决商品利润问题。

难点：能够正确分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并求出最大(小）值。

教学过程：二次函数由于地位的重要性,一直成为中考的必考内容之一,其中运用二次函数解决贴近实际生活的应用题在近几年各地的中考试卷中频频出现.分析这些试题可以发现,命题者除了通过文字叙述、图象、表格等方式呈现复杂信息,给学生建立函数关系式设置障碍外,更是在建立关系式以后,巧妙地设置了一些关卡,以区分不同学生灵活运用相关知识处理问题的能力，下面是我总结有关利润方面的相关问题。

例1、某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖出300件，为了促销，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件，已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件降价x元，每星期的销售量为y件。

（1）求y与x之间的函数关系式。

（2）当每件降价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润为多少元？分析：（1）根据降销售量之间的关系，建立如下表格由表可知xy30300+=（2）再根据利润=（每件售价-每件进价）×销售量，得到()()xx30w-=，展开整理得到()6750-60w+30040=x--302+5因为该件童装的成本为40元，所以降价最多只能降价20元，即x的取值范围是0≤x≤20,而由二次函数的性质可知，当x=5时，w取得最大值，并且最大为6750元。

变式一：若将此题“每降价1元，每星期可多卖30件”改为“每降价2元，每星期可多卖30件”，销售量依旧为y，那么此时y元x之间的函数关系式又将会是什么呢？若再改为“每降价3元”呢？“降价n元”呢？变式二：若将此题“设该款童装每件降价为x 元”改为“设该款童装每件售价为x 元”，销售量依旧为y ，那么此时y 元x 之间的函数关系式又将会是什么呢？将问题抛出，引导学生思考，然后提示学生按照原题列表如下由表可知销售量与售价之间的关系：()x y -⨯+=6030300,整理得210030+-=x y ，因为每件进价为40元，所以x 得取值的范围是40≤x ≤60再根据利润=（每件售价-每件进价）×销售量，得到利润()()21003040+--=x x w ，整理得()675055302+--=x w ，根据二次函数的性质可知,当x =55时，w 取得最大值，最大值为6750。