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向量的数量积和向量积

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空间向量的数量积与向量积练习题

空间向量的数量积与向量积练习题

空间向量的数量积与向量积练习题在学习空间向量的数量积与向量积时，我们需要通过练习题来提高自己的理解和运用能力。

下面，我们将给出一些关于空间向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。

练习一：计算给定向量的数量积已知向量A = (-3, 2, 1) ，向量B = (4, -1, 5)，求向量A与向量B的数量积。

解答：根据数量积的定义，向量A与向量B的数量积为：A·B = AX * BX + AY * BY + AZ * BZ。

将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A·B = (-3) * 4 + 2 * (-1) + 1 * 5 = -12 - 2 + 5 = -9。

练习二：计算给定向量的向量积已知向量A = (1, 2, -3) ，向量B = (4, -1, 2)，求向量A与向量B的向量积。

解答：根据向量积的定义，向量A与向量B的向量积为：A × B = (AY * BZ - AZ * BY , AZ * BX - AX * BZ , AX * BY - AY * BX)。

将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A ×B = (2 * 2 - (-3) * (-1) , (-3) * 4 - 1 * 2 , 1 * (-1) - 2 * 4) = (4 - 3, -12 - 2, -1 - 8) = (1, -14, -9)。

练习三：判断两个向量的数量积与向量积的关系已知向量A = (1, -2, 3) ，向量B = (2, 4, 6)，求向量A与向量B的数量积与向量积，并判断两者之间的关系。

解答：首先，计算向量A与向量B的数量积：A·B = (1) * 2 + (-2) * 4 + 3 * 6 = 2 - 8 + 18 = 12。

然后，计算向量A与向量B的向量积：A ×B = (-2 * 6 - 3 * 4, 3 * 2 - 1 * 6, 1 * 4 - (-2) * 2) = (-12 - 12, 6 - 6, 4 + 4) = (-24, 0, 8)。

数量积向量积混合积

数量积向量积混合积

数量积向量积混合积数量积、向量积和混合积是向量分析中的重要概念，它们是描述向量之间关系的数学工具。

在物理学、工程学、数学等领域，这些概念都有广泛的应用。

本文将介绍数量积、向量积和混合积的定义、性质和应用。

一、数量积数量积又称点积，是两个向量的数量乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

设有两个向量a和b，它们的数量积表示为a·b，计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示它们之间的夹角。

数量积有以下性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为零的条件：a·b = 0，当且仅当a和b垂直数量积有广泛的应用，例如，可以用来计算向量的模长、夹角、投影等。

在物理学中，数量积也可以用来计算功、能量等。

二、向量积向量积又称叉积，是两个向量的向量乘积。

设有两个向量a和b，它们的向量积表示为a×b，计算公式为：a×b = |a| |b| sinθ n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示它们之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位向量，其方向由右手定则确定。

向量积有以下性质：1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 向量积为零的条件：a×b = 0，当且仅当a和b平行或其中一个向量为零向量向量积可以用来计算向量之间的夹角、面积、体积等。

在物理学中，向量积也可以用来计算力矩、角动量等。

三、混合积混合积是三个向量的数量积与它们所在平面的法向量的向量积的乘积。

设有三个向量a、b和c，它们的混合积表示为(a×b)·c，计算公式为：(a×b)·c = a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)混合积有以下性质：1. 反交换律：a×(b×c) ≠ (a×b)×c2. 分配律：a×(b×c) = b(a·c) - c(a·b)3. 混合积为零的条件：a、b和c共面，或其中一个向量为零向量混合积可以用来计算三角形和四面体的面积和体积。

第七讲。数量积,向量积讲解

第七讲。数量积,向量积讲解

2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
9 3
3
例2 试用向量证明三角形的余弦定理.
证明 在DABC中, ∠BCA, |CB|a, |CA|b, |AB|c,
要证c2a2b22abcos .
3 运算律 （1）交换律 a •b b • a
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
由上式可推出
ห้องสมุดไป่ตู้
a// b
ax ay az
θ
A
S
B
W | F || S | cos
2 性质： （1） a·a=|a|2
i • i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
| a || b |

向量的数量积和向量积

向量的数量积和向量积

向量的数量积和向量积向量是数学中一个重要的概念，它具有大小和方向两个属性。

在向量运算中，有两种主要的运算：数量积和向量积。

一、向量的数量积数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间的一种二元运算。

它的结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角以及它们的长度之积。

设有两个向量a和b，它们的数量积可以通过以下公式计算：a·b = |a| |b| cosθ其中，a·b表示向量a和b的数量积，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角。

数量积有以下几个重要的性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数乘结合律：(λa)·b = λ(a·b)数量积有许多应用，例如用来计算向量的投影、判断两个向量是否垂直、计算力的功等。

二、向量的向量积向量积，也称为叉积或外积，是两个向量之间的一种二元运算。

它的结果是一个向量，其方向垂直于参与运算的两个向量所构成的平面，并遵循右手定则。

设有两个向量a和b，它们的向量积可以通过以下公式计算：a×b = |a| |b| sinθ n其中，a×b表示向量a和b的向量积，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角，n为单位向量，其方向垂直于向量a和b所构成的平面，并符合右手定则。

向量积有以下几个重要的性质：1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 数乘结合律：(λa)×b = λ(a×b)向量积也有许多应用，例如用来计算向量的面积、判断两个向量是否平行、计算力矩等。

综上所述，向量的数量积和向量积是两种不同的运算。

数量积的结果是一个标量，表示了夹角及长度之间的关系，而向量积的结果是一个向量，表示了向量所在平面的法向量。

矢量的乘法

矢量的乘法

矢量的乘法
矢量的乘法可以分为两种情况：数量积（又称点乘）和向量积（又称叉乘）。

1. 数量积（点乘）：
数量积是两个矢量相乘得到一个标量的运算，用符号"."表示。

对于两个矢量a和b的数量积，可以表示为a·b。

计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ
其中，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长，θ表示两个矢量之
间的夹角。

2. 向量积（叉乘）：
向量积是两个矢量相乘得到一个新矢量的运算，用符号"×"表示。

对于两个矢量a和b的向量积，可以表示为a×b。

计算公
式为：
a×b = |a| |b| sinθ n
其中，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长，θ表示两个矢量之
间的夹角，n为垂直于a和b所在的平面上的单位法向量。

矢量的乘法在物理学和工程学中有广泛的应用，例如力的乘法可以得到力矩，电场强度的乘法可以得到电场感应强度等。

数量积 向量积 混合积

数量积 向量积 混合积
其中θ为F与 的夹角. 由上例可见，这是一个由两个向量确定一个数量的运算，
关于这一类运算，在实际问题中很多，为此，给出向量数量积 的定义．
一、向量的数量积
定义1
设有两个非零向量a与b，它们正向间的夹角为 θ(0≤θ≤π)，则称|a|·|b|·cosθ为两向量a与b的数量积（又称 点积），记为a·b，即
【例1】
已知M1(0,2,－1),M2(1,0,1),M3(1,3,2),求 解 因为
所以
一、向量的数量积
【例2】
设力F={1,3,5}作用在一物体上，物体的位移是 s={2,－1,3}，求力F对物体做的功W．
解 W=F·s=1×2+3×(－1)+5×3=14．
一、向量的数量积
【例3】
已知三角形的三个顶点为 A(1,2,2),B(1,1,1),C(1,2,0),求证：△ABC为直角三角形， 并求∠A．
而M的方向（按右手系法则确定）垂直于OA和F所确定的平面． 根据此类实际问题研究的需要，我们引入向量积的定义．
二、向量的向量积
图 7-19
二、向量的向量积
定义2
设a，b为两个非零向量，我们定义向量a与b的向量积（又称叉 积）．向量积是满足下面条件的一个向量，记为a×b，它的模和方向分别为
（1）|a×b|=|a|·|b| ·sinθ(θ为a与b夹角). （2） a×b垂直于a与b所确定的平面，且a，b，a×b符合右手规则（见 图7-20），从几何上看|a×b|等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．
三、向量的混合积
事实上，由图7-21可知 ［abc］=a·(b×c)=|a|·|b×c|cosθ=±|b×c|h，其中θ为a与b×c 的夹角，h为两平行底面间的距离．显然a在b×c方向的投影为 ±h，θ为锐角时取正，θ为钝角时取负．注意到|b×c|等于以b， c为邻边的平行四边形的面积，所以|b×c|h 为以a，b，c为棱的 平行六面体的体积的值．如果a，b，c符合右手系法则，θ为锐 角，［abc］>0；否则，θ为钝角，［abc］<0．

数量积 向量积 混合积


一向量 M ，它的 模
F
|
M || OQ || F | | OP || F | sin


M 的方向垂直于OP 与F 所决
O
P
L 定的平面, 指向符合右手系.
⑵c定µÄ| c义· ½|Ïò|向a¼ÈQ量|| ´¹ba|± Ö与siÚÓnb的a £¬向(其ÖÓ量中´¹积± Ö为为ÚÓacb与£¬ab¸Ö的Ïòb夹· û角Ϻ )ÒÓ ÊÖ Ïµ .
a

b
c
a
b
平行六面体的体积.
(2)
[abc]
(a

b)

c

(b

c)

a

(c

a
)

b.
（3）三向量a
、b
、c
共面
[abc] 0.
8.2
2020年1月29日星期三
18/20
例6 已知[abc] 2，
计算[(a


[(a

c)b

c

(b

c)a

c]
(c b)[a c a c]
0
[(a

c)b

(b

c)a]c
8.2
2020年1月29日星期三
9/20
2.1、定义

⑴实例 设O 为一根杠杆L的支点，有一力F 作用于这杠杆
上P 点处．力F 与OP的夹角为 ，力F 对支点O 的力矩是

bz 2


1, 2
3 .
(3)
a

b

向量的数量积与向量积

向量的数量积与向量积向量是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。

本文将详细介绍向量的数量积和向量积的定义、性质和应用。

一、向量的数量积向量的数量积也被称为点积或内积，用符号"·"表示。

给定两个向量a和b，向量的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角。

数量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，a·b = b·a，即数量积满足交换律。

2. 对于任意向量a，a·a = |a|^2，其中|a|^2表示向量a的长度的平方。

3. 如果两个向量a和b垂直（夹角为90度），则a·b = 0，即垂直向量的数量积为零。

4. 对于任意向量a和b，有a·b = |a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。

数量积的应用非常广泛，例如在力学中，可以通过计算向量的数量积来求解两个力的合力和共线力。

在几何学中，可以利用数量积的性质来证明两个向量是否垂直或平行。

二、向量的向量积向量的向量积也被称为叉积或外积，用符号"×"表示。

给定两个向量a和b，向量的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位法向量。

向量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，a×b = -b×a，即向量积满足反交换律。

2. 对于任意向量a，a×a = 0，即向量与自身的向量积为零。

3. 对于任意向量a和b，有|a×b| = |a||b|sinθ，其中θ为向量a和b之间的夹角，|a×b|表示向量a和b的向量积的长度。

向量积在物理学、几何学和工程学等领域中被广泛应用。

空间向量的计算公式

空间向量的计算公式
空间向量是指在三维空间中的向量，可以通过坐标表示。

假设有两个空间向量a和b，它们的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，那么它们的计算公式如下：
1.向量的加法：
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
2.向量的减法：
ab=(a1b1,a2b2,a3b3)
3.向量的数乘：
k*a=(k*a1,k*a2,k*a3)，其中k为实数
4.向量的数量积（点积）：
a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b3
5.向量的向量积（叉积）：
a×b=(a2*b3a3*b2,a3*b1a1*b3,a1*b2a2*b1)
6.向量的模长（长度）：
||a||=√(a1^2+a2^2+a3^2)
这些公式可以用于求解空间向量的基本运算，通过这些公式可以计算出向量之间的加减、数乘、数量积、向量积和模长等
属性。

在实际问题中，可以应用这些公式来处理空间向量的计算和分析。

向量的三种乘法

向量的三种乘法
向量的三种乘法包括点乘（也称为内积或数量积）、叉乘（也称为向量积或外积）和外展（也称为广义的叉积）。

以下是这三种乘法的详细介绍：
点乘（Dot Product）：也叫向量的内积、数量积。

两个n维向量a和b的点积定义为：a·b = a1b1+a2b2+...+anbn。

点乘的几何意义是一个向量在另外一个向量上的投影。

点乘的结果是一个标量，表示两个向量的相似度，两个向量越“相似”，它们的点乘越大。

叉乘（Cross Product）：也叫向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积。

叉乘是两个三维向量之间的运算，其结果是一个向量，模长等于两个向量模长的乘积与它们之间夹角正弦值的乘积，方向垂直于这两个向量所在的平面，且遵守右手定则。

外展（Outer Product）：对于任意n维向量a和b，外展的结果是一个n×n的矩阵，其元素aij为ai和bj的乘积。

总的来说，点乘主要用来衡量两个向量的相似度，叉乘主要用来生成一个与已有两个向量都垂直的新向量，而外展则可以将一个向量转化为一个矩阵，这在一些数学和物理计算中非常有用。

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解：
ijk
a b 3 2 1 5i 11 j 7k
2 1 3
例4 设向量 a 2i 问a×b与c是否平行？
3
j

k,b

i

k,c

i

1 3
j

k
解：
ijk
a b 2 3 1 3i j 3k
显然
1 0 1



那么向量c称为向量a和b的向量积，记作a×b，即
C= a×b
向量积又称为叉积。
c
★向量积模的几何意义是：以 a，b为邻边的平行四边形的面积。
b θ
a
★力学意义：力矩， 如下图所示。
O为一根杠杆L的支点，
F
有一个力F作用于其上点P处， O
F与OP 的夹角为θ ，由力学
规定， 力F对支点O的力矩 是一个向量M， 它的模
第三节 向量的数量积和向量积
一、 两向量的数量积 二、 两向量的向量积
一、两向量的数量积
1 定义 两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积，
称为向量a与b的数量积，记作a·b,即
a b | a || b | cos(a, b)
数量积也称点积。
力学意义：一物体在力F的作用下， F
沿直线AB移动了S，F与AB的夹角为α,

9 3
3
例2 求证余弦定理 c2 a2 b2 2ab cos
θ 为边CA，CB的夹角。
A
证明：如图所示的△ABC，可得
AB CB CA
那么
B
θ C
2
AB
( CB CA )2
( CB CA )( CB
CA )
2
2
CB CA 2CB CA
9
（2） cos(
a
,b
)

|
a a
b || b
|

9
1
12 12 ( 4 )2 12 ( 2 )2 22
2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
ab |b|
5 向量在轴上的投影
设A为空间一点，u轴已知，如图。 过点A作与轴垂直的平面，平面与轴 A
的交点A‘称为A在轴上的投影。
对于已知向量 AB，u轴上的有向
A'
线段 AB 的模称为向量 AB 在轴u
上的投影，它是一个数量，记作
Pr ju AB
B
B'
u
那么
Pr ju AB | AB| cos
θ 为向量 AB 与轴u的夹角。
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
i
jk
a b x1 y1 z1 x2 y2 z2
此时，对于非零向量a，b，有 a // b x1 y1 z1 x2 y2 z2
约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。
例3 设向量 a 3i 2 j k,b 2i j 3k, 求a b.
cos a b
| a || b |
3 运算律 （1）交换律 a b b a
（2）分配律 (a b) c a c b c
（3）结合律 (a) b (a b) a (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
（2）a || b a b o
（3）若a≠o，b≠o，a，b的夹角为θ ，则
sin | a b |
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
4 两向量的向量积的坐标表示 设向量
则有
a b x1x2 y1 y2 z1z2
证明：
a b (x1i y1 j z1k ) (x2i y2 j z2k )
x1x2i i x1 y2i j x1z2i k y1x2 j i y1y2 j j y1z2 j k z1x2k i z1y2k j z1z2k k
故a×b//c.
例5 问向量 a = -2i+ 3j + k,b = -j + k,c = i - j - k
是否共面？ 解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个
向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。（为什么？） 由于
i jk
ab 2 3 1 4i 2 j 2k
0 1 1
如右图，则力对物体做的功为
θ
A
S
B
W | F || S | cos
2 性质： （1） a·a=|a|2
i i 1, j j 1, k k 1
（2）a b a b 0
i j 0, j k 0, k i 0
（3）θ 表示两非零向量a和b的夹角，则有
26
令 | CB | a,| CA| b,| AB| c, 所以
c2 a2 b2 2ab cos
证毕
二、两向量的向量积
1 定义 设向量c由两个向量a和b按下列规定给出：
（1）|c|=|a| |b| sinθ ，θ 为向量a和b的夹角； （2）c a, c b ，且向量a，b ， c的方向满 足右手定则，如图；
所以，
( a b ) c ( 4i 2 j 2k )( i j k )
=4-2-2=0
因而a，b，c共面。
例6 求以点A（1，2，3），B（3，4，5）和C （-1，-2，7）为顶点的三角形的面积S。
解：根据向量积模的几何意义可知，所求三角形
的面积等于
1
1
而
SABC 2 | AB|| AC | sin( AB, AC ) 2 | AB AC |
θ
P
L
Q
M OP F
| M ||OQ|| F ||OP|| F | sin
而M的方向垂直于 OP 与F所决定的平面，M的指向是
是按右手规则从 OP 以不超过π 的角的转向F来确定， 因而实际上
M OP F
2 两向量积的性质 （1）a×a=o；
ii j j kk o
x1x2 y1 y2 z1z2
则有两非零向量a和b的夹角θ 的余弦坐标表示为
cos a b
x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
x12 y12 z12 x22 y22 z22
此时，对于非零向量a，b，有
a b x1x2 y1 y2 z1z2
用e表示u轴上的单位向量，则a·e为向量a在e方向 上的投影，那么有
a e | a || e | cos | a | cos
例1 已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求： （1）a·b； （2）a与b的夹角；
（3）a在b上的投影。
解：（1）a b 11 1( 2 ) (-4) 2
AB OB OA 2i 2 j 2k, AC OC OA 2i 4 j 4k
故
i jk
AB AC 2 2 4 16i 12 j 4k
2 4 4
所以
1
1
SABC 2 | AB AC | 2
162 ( 12 )2 ( 4 )2 2