最新直线与圆题型总结

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．2、设圆满足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1 已知圆，求过点与圆相切的切线．2 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．3、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为.类型三：弦长、弧问题1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为3、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系1、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，实数m 的取值范围 2圆上到直线的距离为1的点有个？3、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是4、若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是.5、 圆上到直线的距离为的点共有（）．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个6、 过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点 类型五：圆与圆的位置关系1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系2圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条。

直线和圆的方程题型总结1. 直线的方程题型1.1 点斜式点斜式方程的形式为：y - y1 = k(x - x1)其中(x1, y1)是直线上已知的一点，k是直线的斜率。

常见的题型包括：例题：已知直线过点 A(2, 3)，斜率为 2. 求直线方程。

解答：根据点斜式方程，直线方程为y - 3 = 2(x - 2)。

1.2 截距式截距式方程的形式为：x/a + y/b = 1其中a是 x 轴截距，b是 y 轴截距。

常见的题型包括：例题：直线与 x 轴和 y 轴的截距分别为 4 和 2. 求直线方程。

解答：根据截距式方程，直线方程为x/4 + y/2 = 1。

1.3 两点式两点式方程的形式为：(y - y1)/(x - x1) = (y - y2)/(x - x2)其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上已知的两点。

常见的题型包括：例题：已知直线通过点 A(-2, 1) 和 B(3, 4). 求直线方程。

解答：根据两点式方程，直线方程为(y - 1)/(x - (-2)) = (y - 4)/(x - 3)。

2. 圆的方程题型2.1 标准式标准式方程的形式为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h, k)是圆心坐标，r是半径。

常见的题型包括：例题：圆心坐标为 (-1, 2)，半径为 3. 求圆的方程。

解答：根据标准式方程，圆的方程为(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 3^2。

2.2 一般式一般式方程的形式为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0其中D, E, F是圆心坐标和半径的函数表达式。

常见的题型包括：例题：圆心坐标为 (2, -1)，半径为 5. 求圆的方程。

解答：根据一般式方程，圆的方程为(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 - 5^2 = 0。

结语本文总结了直线和圆的常见方程题型，包括点斜式、截距式、两点式、标准式和一般式。

直线与圆题型及做题技巧
一、直线与圆题型
1、求圆与直线的位置关系，即直线是否与圆相交，相交的情况有几种；
2、求直线与圆的交点；
3、求圆与直线的切线；
4、求直线与圆的关系，即圆是否在直线内部，圆是否完全包含在直线外面；
5、求直线上一点到圆的距离；
6、求圆上一点到直线的距离；
7、求圆心到直线的距离；
8、求圆的切点；
9、求圆的外切线；
10、求圆的内切线；
二、做题技巧
1、首先应该判断出圆与直线的位置关系，其次才能确定
解题思路；
2、要分析圆的参数方程和直线的参数方程，并将它们进
行比较；
3、从圆的数学定义出发，可以把问题转化为求解二元一
次方程组；
4、可以利用圆心到直线的距离公式求解；
5、可以利用圆上一点到直线的距离公式求解；
6、可以利用圆的切点求解，如果圆与直线不相交，可以
求出两个切点；
7、可以利用圆的外切线求解，此时可以求出一条外切线；
8、可以利用圆的内切线求解，此时可以求出一条内切线；
9、可以利用圆的半径求解，如果圆与直线不相交，可以
求出直线与圆的距离；
10、可以利用三角法求解，如果圆与直线不相交，可以求出直线与圆的距离。

总之，在做直线与圆的题目时，首先要分析出圆与直线的位置关系，然后根据圆和直线的数学定义，把问题转化为求解
二元一次方程组的形式，再利用相关公式解出相应的解，最后根据题目要求，得出结果。

高中直线与圆题型归纳总结直线与圆是高中数学中的重要知识点，涉及到的题型较为广泛。

在这篇文章中，我将对高中直线与圆题型进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这些知识。

一、直线与圆的基本性质在解题过程中，掌握直线与圆的基本性质是非常重要的。

下面列举了一些常见的性质：1. 直线与圆的位置关系：a. 若直线与圆有两个交点，则该直线称为切线；b. 若直线与圆相交于两个不重合的交点，则该直线称为割线；c. 若直线与圆不相交，则该直线称为外切线或外割线；d. 若直线完全在圆内，则该直线称为内切线或内割线。

2. 判定直线与圆的位置关系的方法：可以通过直线的方程与圆的方程进行联立，进而判断位置关系。

二、直线与圆的相交性质1. 两条直线与圆的相交性质：a. 相交弧的性质：两条直线与圆相交，相交的弧度数相等；b. 垂直切线的性质：切线与半径垂直；c. 切线长度的性质：切线长的平方等于切点到圆心的距离与圆半径的乘积。

2. 直线与圆的切线性质：a. 切线定理：切线与半径垂直；b. 外切角性质：切线与半径的夹角等于其对应的弧所对圆心角的一半。

三、直线与圆的方程1. 圆的一般方程：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆半径。

2. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且不全为零。

3. 判定直线与圆的位置关系的方法：将直线方程代入圆的方程，求解该二次方程的判别式，进而判断位置关系。

四、直线与圆的应用题1. 判断两个圆的位置关系：比较两个圆的圆心距离与两个圆半径之和的大小来判断位置关系。

2. 直线与圆的垂直与切线问题：通过证明直线与半径的斜率乘积为-1，判定直线与圆的垂直关系；通过判定直线与圆的切点的情况，判定直线与圆的切线关系。

3. 直线与圆的联立方程求解问题：列出直线方程与圆方程，通过解联立方程，求解直线与圆的交点坐标。

4. 直线与圆的面积问题：求直线与圆所形成的图形的面积，可以通过计算扇形面积与三角形面积之和来完成。

直线与圆的方程一、直线的方程 1、倾斜角：，范围0≤α＜π，x l //轴或与x 轴重合时，α=00。

2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0⇔κ=0已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜02>⇔k πP 2（x 2,y 2） α=κπ⇔2不存在`⇒k=1212x x y y -- 022<⇔<<κππ当1x =2x 时，α=900，κ不存在。

当0≥κ时，α=arctank ，κ＜0时，α=π+arctank 3、截距（略）曲线过原点⇔横纵截距都为0。

几种特殊位置的直线 ①x 轴：y=0 ②y 轴：x=0 ③平行于x 轴：y=b!④平行于y 轴：x=a ⑤过原点：y=kx两个重要结论：①平面内任何一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。

②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。

5、直线系：（1）共点直线系方程：p 0（x 0,y 0）为定值，k 为参数y-y 0=k （x-x 0） '特别：y=kx+b ，表示过（0、b ）的直线系（不含y 轴）（2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。

②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 ③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C 垂直的直线系（3）过L 1,L 2交点的直线系A 1x+B 1y+C 1+入（A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含L2） 6、三点共线的判定：①AC BC AB =+，②K AB =K BC ，③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。

二、两直线的位置关系（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则12121tan k k k k •+-=θ（121-≠k k ）3、夹角：12121tan kk k k +-=θ4、点到直线距离：2200BA c By Ax d +++=（已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0）①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0⇒2221B A c c d +-=②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022=+B A d③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是0221=+++C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --'：（2）点关于线的对称：设p(a 、b)一般方法：如图：(思路1)设P 点关于L 的对称点为P 0(x 0,y 0) 则Kpp 0﹡K L =－1P , P 0中点满足L 方程:解出P 0(x 0,y 0)（思路2）写出过P ⊥L 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P 0(x 0,y 0)的坐标。

直线与圆的位置关系题型归纳引言在几何学中，直线和圆是基本的几何元素。

研究直线与圆的位置关系不仅有助于理解几何学基本原理，还可以应用到实际问题中。

本文将归纳总结几种常见的直线与圆的位置关系题型，并给出相应的解题方法。

一、直线与圆相交直线与圆相交通常有三种情况：直线与圆相切、直线穿过圆、直线既与圆相切又穿过圆。

1. 直线与圆相切当直线与圆只有一个交点时，称直线与圆相切。

这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。

求解这类问题时，可以利用以下方法： - 根据已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。

- 判断交点是否满足直线方程和圆的方程，从而确定直线与圆相切。

2. 直线穿过圆当直线与圆有两个交点时，称直线穿过圆。

这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。

求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。

- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。

3. 直线既与圆相切又穿过圆当直线与圆既有一个交点又有两个交点时，称直线既与圆相切又穿过圆。

这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。

求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。

- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。

二、直线与圆相离直线与圆相离是指直线与圆没有交点。

这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。

求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 求解直线方程和圆的方程的解集。

- 判断解集是否为空集，从而确定直线与圆相离。

三、总结与应用对于直线与圆的位置关系题型，我们可以通过确定直线方程和圆的方程，求解交点的坐标，判断交点的坐标与圆心的位置关系来确定直线与圆的位置关系。

直线与圆的位置关系一、点与圆的位置关系设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ；①P 在在圆C 外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔； ②P 在在圆C 内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔； ③P 在在圆C 上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔；二、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，位置关系的判定：判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交； (2)△=0相切； (3)△<0相离。

判定方法2：若圆心(a ，b)到直线L 的距离为d (1)d<r 相交； (2)d=r 相切；(3)d>r 相离。

利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。

三、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。

（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离2121||r r O O +>⇔；4条公切线②两圆外切2121||r r O O +=⇔；3条公切线③两圆相交212112||||r r O O r r +<<-⇔；2条公切线④两圆内切||||1221r r O O -=⇔；1条公切线⑤两圆内含||||1221r r O O -<⇔；没有公切线四、两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 补充说明：① 若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.五、圆系问题过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-） 补充：① 上述圆系不包括2C ；② 2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③ 过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=六、 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即 ⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k ，得到切线方程【一定两解】例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为 。

直线与圆、圆与圆的位置关系【重难点精讲】重点一、直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点． 重点二、几何判定法：设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离：(1)d >r ⇔圆与直线相离；(2)d ＝r ⇔圆与直线相切；(3)d <r ⇔圆与直线相交．重点三、代数判定法：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2＋y －b 2＝r 2消元，得到一元二次方程的判别式Δ，则(1)Δ>0⇔直线与圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与圆相切；(3)Δ<0⇔直线与圆相离．重点四、圆与圆的位置关系：两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)与(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)圆心距d 221212()()a a b b -+- d >r 1＋r 2⇔两圆外离；d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切；|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交；d ＝|r 1－r 2|⇔两圆内切；0<d <|r 1－r 2|⇔两圆内含，d ＝0时为同心圆．重点五、两圆的公切线条数：当两圆内切时有一条公切线；当两圆外切时有三条公切线；相交时有两条公切线；相离时有四条公切线；内含时无公切线．【典题精练】考点1、直线与圆的位置关系例1．已知直线320l x y -+=，圆22:4410C x y x y ++--=.（1）判断直线l 与圆C 的位置关系，并证明；（2）若直线l 与圆C 相交，求出圆C 被直线l 截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离.【解析】（1）相交，证明如下；可将圆的一般方程22:4410C x y x y ++--=化为：22(2)(2)9x y ++-=，可得其圆心：(2,2)-，半径为：3，由直线320l x y -+=， 可得圆心到直线l 的距离：2322313d --+==+d r ＜，可得直线l 与圆C 相交；（2）由（1）得直线l 与圆C 相交，且圆心到直线l 的距离d =故弦长为：==考点2、弦长问题例2．已知圆C 的圆心在直线1y x =+上，且圆C 经过点()3,6P 和点()5,6Q .（1）求圆C 的方程；（2）过点()3,0的直线l 截圆所得弦长为2，求直线l 的方程.【解析】（1）由题意可知，设圆心为(),1a a +，则圆C 为：22()[(1)]2x a y a -+-+=， 圆C 经过点()3,6P 和点()5,6Q ，2222(3)[6(1)]2(5)[6(1)]2a a a a ⎧-+-+=∴⎨-+-+=⎩，解得4a =，则圆C 的方程为：22(4)(5)2x y -+-=； （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()3y k x =-，即30k y k --=，∴过点()3,0的直线l 截圆所得弦长为2，1d ∴==，解得125k =， ∴直线l 的方程为125360x y --=，当直线l 的斜率不存在时，直线l 为3x =，此时弦长为2符合题意. 综上，直线l 的方程为3x =或125360x y --=.考点点睛：设直线l 的方程为ax ＋by ＋c ＝0，圆O 的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，求弦长的方法通常有以下两种：(1)几何法：由圆的性质知，过圆心O 作l 的垂线，垂足C 为线段AB 的中点．如图所示，在Rt △OCB 中，|BC |2＝r 2－d 2，则弦长|AB |＝2|BC |＝2r 2－d 2．(2)代数法：解方程组222000()()ax by c x x y y r++=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消元后可得关于x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2的关系式，则|AB |考点3、圆的切线问题例3．已知点1,2P ，点()3,1M ，圆22:124C x y(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程．【解析】由题意得：圆心()1,2C ，半径2r（1）()()22211224+-+= P ∴在圆C 上 1PC k ==-∴切线的斜率11PC k k =-= ∴过点P 的圆C 的切线方程为()21y x --=-，即10x y -+-= （2）()()22311254-+-=> M ∴在圆C 外部若过点M 的直线斜率不存在，直线方程为3x =，是圆C 的切线；若过点M 的切线斜率存在，可设切线方程为：()13y k x -=-，即310kx y k--+=∴圆心C 到切线的斜率2d ===，解得：34k = ∴切线方程为()3413y x -=-，即3450x y --= 综上所述：切线方程为3x =或3450x y --=考点点睛：求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数．(1)求过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k ，则由垂直关系得切线斜率为－1k，由点斜式方程可求得切线方程．如果k ＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0．(2)求过圆外一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，进而求出切线方程．但要注意，若求出的k 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x ＝x 0． 考点4、两圆位置关系的判断例4．已知两圆1C ：22210100x y x y +-++=和2C ：222210x y x y ++++=. （Ⅰ）判断两圆的位置关系；（Ⅱ）求两圆公共弦所在直线方程；（Ⅲ）求两圆公共弦的长度.【解析】（Ⅰ）1C ：()()221516x y -++=，()11,5C -，14r =， 2C ：()()22111x y +++=，()21,1C --，21r =，∴12C C ==121212r r C C r r <<-+，故1C 与2C 相交. （Ⅱ）因为两圆1C ：22210100x y x y +-++=和2C 222210x y x y ++++=，所以两方程相减得：4890x y --=.（Ⅲ）设1C 到4890x y --=的距离为d ，则d ==，弦长AB ==2=. 考点点睛： 判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较繁琐，另外须注意方程组有“一个”解与两圆相切不等价；二是几何法，看两圆连心线的长d ，若d ＝r 1＋r 2，两圆外切；d ＝|r 1－r 2|时，两圆内切；d >r 1＋r 2时，两圆外离；d <|r 1－r 2|时，两圆内含；|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2时，两圆相交．考点5、由圆与圆的位置关系求参数的值或取值范围例5．已知直线:0l x y m ++=与圆()()22:119C x y ++-=没有公共点，圆()()221:121O x y -++=与圆()()()2222:420O x y m m -+-=>相交，求m 的取值范围.【解析】圆()()22:119C x y ++-=的圆心()1,1C -，半径3r =，由题意可得，圆心C 到直线的距离3d =>，0m >，则m >圆()()221:121O x y -++=与圆()()()2222:420O x y m m -+-=>相交，圆心()11,2O -，圆1O 的半径11R =，圆心()24,2O ，圆2O 的半径2R m =，121212R R OO R R ∴-<<+，即11m m -<<+，解得46m <<.综上所述，实数m 的取值范围是().考点点睛： 两圆相切包括外切与内切，外切时，圆心距等于两圆半径之和，内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值．在题目没有说明是内切还是外切时，要分两种情况进行讨论．解决两圆相切问题，常用几何法．。