数学论文模n剩余类环及其应用

关于模n的剩余类环zn的注记
模n的剩余类环是数论中的重要概念，它在许多数学方面都有十分广泛的应用。

模n的剩余类环（简称zn）是一组相互不等的、分布在（0，n-1）的元素的集合，它是以模n的同余定义的，即一个数有表示如下：rn=a（mod n），其中a∈z（所有整数），r 是模n的剩余类环zn中的元素。

zn是一个环，具有加法和乘法的运算，也就是说，它是一个乘法群和一个加法群，满足群中元素的乘法、加法的结果也仍然是该群中的元素，而且对每一个元素都存在幺元，例如有幺元1，幺元0，相应的有加法逆元，乘法逆元，最后的结果就是依然是该zn环中的元素。

模n的剩余类环zn有着广泛的应用，它经常被用于求解数论中的一些难题，例如质因数分解，以及求解符号问题等，它也被用于做密码学算法，如椭圆曲线加密等。

另外，zn
也经常用于信号与系统理论中的一些应用中，例如滤波器设计、调制和解夫尔解调等。

由于模n的剩余类环zn有着广泛的应用，它也一直是数论中重要的研究课题。

因此，在近年来，学者们从不同的角度在探索和研究zn的性质，做出了大量的成果，丰富了zn的理论研究，也为实际应用提供了极大的便利。

分类号O153编号2013010130毕业论文题目模n剩余类环及其应用学院数学与统计学院专业数学与应用数学姓名苏安兵班级09数应一班学号291010130研究类型基础研究指导教师唐保祥副教授提交日期2013年5月19日原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。

学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。

除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。

本声明的法律责任由本人承担。

论文作者签名：年月日论文指导教师签名：年月日模n剩余类环及其应用苏安兵(天水师范学院数学与统计学院, 甘肃天水741001)摘要:模n剩余类环是一种比较透彻的特殊环. 本文主要从模n剩余类环的定义和性质出发,系统论述了模n剩余类环及其相关性质,并列举了模n剩余类环在纯代数证明和完全及简化剩余系的性质方面的一些应用.关键词:模n剩余类环; 模n剩余类子环; 幂等元; 理想中图分类号: O153Modulo n Residue Class Ring and Its ApplicationSU An-bing( School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University,Tianshui Gansu,741001,China )Abstract: Modulo n residue class ring is a kind of thorough special ring. In this thesis, mainly based on the definition of modulo n residue class ring and its primary property, the author first completely expounds it and its relative properties. Then, some application in the proof of pure algebraic and the simplification of the remaining coefficients is listed. Key words: Modulo n residue class ring; Modulo n residual class ring; Idempotent element; Sub-ring ideal目录1引言 (1)2 基本知识 (1)2.1 模n剩余类环的基本概念 (1)2.2 模n剩余类环的基本性质 (2)3 主要结果及其证明 (3)Z的一般性质 (3)3.1 模n剩余类环n3.2 模n剩余类子环的相关命题 (4)3.3 模n剩余类加群相关性质列举 (8)3.4 模n剩余类乘法群及其幂等元的简单求法 (9)Z的理想 (12)3.5 模n剩余类环n3.6 剩余类环的应用 (13)参考文献 (15)模n 剩余类环及其应用1引言自从1910年狄德金和克隆尼克共同创立环论以来, 学者们就对各种环进行了深入系统的研究, 开辟了许多新的研究领域, 并取得了许多有意义的研究成果. 环是两个二元运算建立在群的基础上的一个代数系统, 因此它的许多基本概念与理论与群相似, 也是对群的相应内容的推广. 模n 剩余类环就是环中研究比较透彻的一类环, 常见于各类论著之中, 同时, 它也有很重要的应用.2 基本知识在集合Z 中, 固定n (n 可以是任意形式), 规定Z 中元素间的一个关系为R , 则aRb , 当且仅当)(|b a n -. 其中, )(|b a n -表示n 能整除)(b a -. 易见, 这是一个等价关系, 记这个等价关系为模n 的同余关系, 并用)(n b a ≡来表示. 我们知道一个等价关系决定一个分类, 所以该等价关系便决定了集合Z 的一个分类, 我们将如此得来的分类就叫作模n 的剩余类.2.1 模n 剩余类环的基本概念定义 2.1.1 对n N +∀∈, 令}1,,2,1,0{-=n Z n , 任取n Z j i ∈,, 规定j i j i +=+, ij j i =⋅为n Z 的两个代数运算, 可知n Z 作成一个环, 是一个n 阶有单位元的交换环, 我们称其为以n 为模的剩余类环, 或简称模n 剩余类环.显然, 该环关于加法作成一个n 阶循环群, 从而n Z 是n 阶循环环.定义2.1.2 对∀n Z i ∈, 类i 中若有一个整数与n 互素, 则这个类中的所有整数都同n 互素, 我们就说类i 与n 互素.定义 2.1.3 对∀0≠a n Z ∈, 若存在n Z 中的元素0≠b ,使得0=b a , 则称a 为环n Z 的一个左零因子.同样可定义右零因子, 若n Z 的左零因子与右零因子相等, 称其中任意一个为n Z的零因子.定义 2.1.4 ⋅〉+〈,,n Z 中, 若n Z e ∈∃使得n Z a ∈∀, 有a e a a e ==, 则称元素e 为环⋅〉+〈,,n Z 的单位元, 记作1.定义 2.1.5 ⋅〉+〈,,n Z 中, 若n Z a ∈∀, 有n Z b ∈, 使得1==a b b a , 则称b 是a 的逆元, a 与b 互逆.定义2.1.6 对n Z a ∈∀, a (对加法)有最大的阶n , 则称n 为⋅〉+〈,,n Z 的特征. 定义2.1.7 对于⋅〉+〈,,n Z 的任一非空子集N , 若N 满足:)1(N a ∈, N b a N b ∈-⇒∈;)2(N a ∈, N a b b a N b ∈⇒∈,.则称集合N 为n Z 的一个理想子环, 简称n Z 的理想.定义 2.1.8 设R 为任意一个环, N 是R 的理想. 则N R /对陪集的加法和乘法作成一个环, 称该环为R 关于N 的商环.定义2.1.9 ⋅〉+〈,,n Z 的乘法群G (n 为素数时, n Z 中的所有非零元做成G , n 为合数时, n Z 中的所有可逆元做成G )中, 对于G a ∈∀, 若a 满足:a a =2, 则称a 为⋅〉+〈,,n Z 的一个幂等元[1].定义 2.1.10 对于∀n Z b a ∈,, 若∃n Z q ∈, 使得q a b =, 则称a 整除b , 记作|a b --,否则, a 不整除b .2.2 模n 剩余类环的基本性质性质2.2.1 对n Z b a ∈∀,, 若b a =, 则(1,0,1)a b nk k =+=- . 性质2.2.2 对n Z a ∈∀, 0==++=na a a a a n .性质2.2.3 设n Z b a ∈,, |a b ⇔(,)|a n b .在以下内容中, )(n T 表示n 的正因子的个数, )(n ϕ为Euler 函数, 表示不超过n , 与n 互素的元素的个数.3 主要结果及其证明3.1 模n 剩余类环n Z 的一般性质（1）⋅〉+〈,,n Z 是交换环.（2）⋅〉+〈,,n Z 中非零元m 是可逆元⇔1),(=n m , 且可逆元的个数为)(n ϕ个. 证明 设m 是⋅〉+〈,,n Z 的可逆元, 则∃s ∈⋅〉+〈,,n Z , 使得1==ms s m ,⇒)1(|-ms n , 即+∈∃N t , 使得nk ms =-1, ⇒1=-nk ms , ⇒1),(=n m . 反之, 若0≠m ,且1),(=n m ,则∃t s ,n Z ∈, 使1=+nt ms , ⇒t n s m +=1=+nt ms , 故s 是m 的可逆元, 故⋅〉+〈,,n Z 可逆元个数为)(n ϕ个.（3）对n Z m ∈≠∀0, 若1),(=n m , 则m 为⋅〉+〈,,n Z 的零因子, 且⋅〉+〈,,n Z 共有-n )(n ϕ1-个零因子.证明 当(,)m n d =1>时, 令ds m =, dt n =, 1t n ≤<. 易见0≠t , ⇒mt t m =ns = 0=, 故m 是⋅〉+〈,,n Z 的零因子. 又由于⋅〉+〈,,n Z 中, 对于∀0≠m , m 不是可逆元就是零因子, 故⋅〉+〈,,n Z 共有-n )(n ϕ1-个零因子.（4）⋅〉+〈,,n Z 中,其左右零因子均为零因子.（5）⋅〉+〈,,n Z 是无零因子环⇔n 为素数.（6）设⋅〉+〈,,n Z 为无零因子, 且1>n Z , 则⋅〉+〈,,n Z 中所有非零元素(对加法)的阶必相同.（7）对于p Z ,（1）p Z 是特征为p 的有单位元的可交换环;（2）环p Z 是域⇔p 为素数;（3）若p 为合数, 则环p Z 有零因子, 从而不是域.（8）n m ,+∈N , 则m n Z Z m n |~⇔.（9）除去零乘环外, 同构意义下, 循环环有且仅有整数环及其子环以及剩余类环及其子环.（10）设n s z ∈, 若1),(=n s , s t =, 则1),(=n t .（11）⋅〉+〈,,n Z 的循环子群可由n 的所有因子作为生成元生成（或可由n 与其所有因子的差作为生成元生成), 且共有)(n ϕ个.证明 设n 的所有因子为1,2;t t p p p p . 任取一个由a ),0(Z a n a ∈<<生成的循环子群><a ; 设),(n a d =; 即d 是n 的因子, 设该因子为t p , ⇒t t p k n p k a 21,==, ,,21Z k k ∈（)21k k <, 且(12,k k )1=, ⇒a 的阶为2k , 又∈a ><t p , ⇒><a =><t p , 则该循环子群可由n 的任一因子作为生成元生成, 可知这样的循环子群共有)(n ϕ个.3.2 模n 剩余类子环的相关命题命题3.2.1 环n Z 有且仅有)(n T 个子环, 且n Z 是一个n 阶循环环.证明 由于n Z ={0,1,2,1n - }对加法作成循环群, 所以n Z 为n 阶循环环; 又因为n 阶循环群有且仅有)(n T 个子群, 所以n 阶循环环有且仅有)(n T 个子环, 即⋅〉+〈,,n Z 有且仅有)(n T 个子环.命题3.2.2 ⋅〉+〈,,n Z 中任意两个不同的子环彼此不同构. 证明（1）若⋅〉+〈,,n Z 的两个子环不同阶, 成立.（2）设R 为n Z 的任意k 阶子环, 则n k |. 而>+<,Z 为n 阶循环群, 故对n 的每个正因数k , >+<,Z 有且仅有一个k 阶子群, 则n Z 有且仅有一个k 阶子环. 故n Z 的任意两个不同子环彼此不同构.命题 3.2.3 当)2(≥=s p n s , p 为素数时, n Z 的s p 阶)(s r <子环S 是含零因子无单位元的环.证明 设n Z 的s p 阶子环})1(,,,0{r s r r s p p p S ---= , 先证它是含有零因子的环.（1）当s r s ≥-22时,对0≠=∀-r s p k a , 0≠=-r s lp b , +∈N l k ,, ⇒0=ab ,故S 是有零因子的环.（2）当s r s <-22时,取0≠=-r s p a , 02≠=--r s s r p p b , ⇒0==s p ab , 故S 是有零因子的环.下证S 是无单位元的环.设S 有单位元r s pl e -=, 则对r s p k a -=∀, 1-≤≤s p k l , 有a ea =, 即有: r s r s r s kp p k p l ---=⋅,⇒s r s r s mp kp lkp +=--22, r s r rr s kp k mp l k mp lkp --+=⇒+=, 取1=k , 则r s r pp m l -+=11, 由r r s r s t s r <-⇒<-⇒<-0222, 所以r r s p m p 1|-, 而p 不整除l , 因此11+-r r s p m p 不整除, 则l 不是整数, 故S 无单位元.命题3.2.4 若pq n =, p 是素数, q 是大于1的正整数,则:(1)当1),(=q p 时, n Z 的p 阶子环S 是域; 且p Z S ≅;(2)当p q p =),(时,n Z 的p 阶子环S 是零环.证明 设n Z 的p 阶子环})1(,,0{q p q S -= ,（1）当p q p =),(时, 令q k b q k a S b a pd q 21,,,,==∈∀=对,021=⋅=pd k pd k ab ,故S 是零环.（2）当1),(=q p 时,q k k p mpq q k k q k q k 2122121|,,0⇒=⇒=⋅, 则对∈==∀q k b q k a 21, ,S 只要01≠=q k a , 21|,k p k p ⇒不整除, 由0=ab ,0,0=⇒≠b a , 即S 是无零因子环,又由于S 有限, 所以S 为域.设lq e =是S 的单位元, 则对S kq ∈∀,有kq kq lq =⋅, 即mpq kq lkq +=2, 取1=k , 得到qsp l 1+=. 因为l 为整数,只需选取适当的s 使l 为整数, 就可求得单位元. 命题3.2.5 设uv n =, u 是合数,1≠v , 则n Z 的u 阶子环是含零因子的无单位元的环.证明 u 是合数, 令st u =,n Z 的u 阶子环})1(,,2,,0{v u v v S -= , 取0≠=sv a ，0≠=lv b , 其中l s ,+∈N , ⇒0=ab , 故S 含有零因子. 设S 有单位元e , 且lv e =,对)11(-≤≤=∀v k kv a , 则有a ea =, 即k mu lkv kv lkv +=⇒=,2,⇒kvk mu l += )(*, （1) 设1),(≠=d v u 时, 在)(*式中取1=k ,vu m l 11+=, 若l 有整数解, 即方程:11=+-xv u m 中x 有整数解, 所以上述方程有整数解⇔1|),(v u , 矛盾, 所以S 无单位元.（2）设1),(=v u , 在)(*式中取11>-=u k ,⇒1)1,())1(,(=-=-u u u v u , vu u u m l k )1(1--+=, 则l 有整数解即为整系数方程:1)1(-=-+-u vx u u m k 有整数解x , 而x 有整数解⇔）（1|))1(,(--u v u u . 又由于1),(=v u , 故1))1(,(=-v u u 不整除1-u , 矛盾, 故S 无单位元.商环也是一种重要的子环, 这里我们探讨一下商环><><mn n /在什么情况下是域或者有零因子无单位元的环.命题 3.2.6 设n 是正整数, >=<n R 是由n 生成的环, 则商环><=t n R S /（t 是正整数, 且2≥t )是含零因子无单位元的环.证明 当2=t 时, 此时><>>=<<=22//n n n R S 是有限零环. 事实上,对S b a ∈∀,, 取n k a 1=,n k b 2=, ⇒0221==n k k ab ; 当2>t 时,})1(,,,0{1n n n S t -=- , 取0≠=n a ,02≠=-n n b t ,⇒0==t n ab , 所以S 是含零因子的环.设S 有单位元l e =n , 则对S kn a ∈=∀, 有a ea =, 即t mn kn lkn kn lkn +=⇒=22,, ⇒kn k mn l t +=-1, 取1=k ,⇒n n m l t 111+=-, 因为11|t n m n -,n 不整除1,n 不整除)1(11+-t n m , 故不存在整数l , 即S 无单位元.命题 3.2.7 设n 是正整数,p 为素数,>=<n R 是由n 生成的环, 则商环><=pn R S /,（1）当1),(=n p 时是域, 且p Z S ≅;（2）当p n p =),(时,S 是零环.证明 设})1(,2,,0{/n p n n pn n S ->=<>=< ,（1）当1),(=n p 时, 对S b a ∈∀,, 取n k a 1=,n k b 2=, 若,022121===n k k n nk k ab ⇒n k k p n k k pn 21221|,|⇒, 又1),(=n p , 所以21|k k p , 当01≠=n k a 时,,1k p 不整除⇒2|k p , 亦即0=b , 所以S 是无零因子的环, 则S 中消去率成立, 又因为S 有限, 所以S 是域.设e 是S 的单位元, 对p Z a ∈∀,有a 对应于a 、e , 即可得S Z p ≅.（2）当p n p =),(时, 令pd n =,对S b a ∈∀,, 有n k a 1=,0,2212==⇒=n k k ab n k b ,所以S 是零环.命题3.2.8设m n ,是正整数,且m 是合数,1≠n ,>=<n R 是由n 生成的环,则商环><=mn R S /是含零因子无单位元的环.证明设})1(,,,0{/n m n mn n S ->=<>=< 是m 阶环.设uv m =,u <1,m v <,取un a =,vn b =,则02==uvn ab ,所以S 是有零因子的环.设S 有单位元l e =n ,则对S kn a ∈=∀,有a ea =，即:l tmn kn lkn kn kn n +=⇒=⋅2,所以kn k tm l /)(+= )(*, 那么 当1),(≠=d n m 时, 在)(*式中取 1-=m k , 则有n m m t l k )1/()]1([--+=,/)1(n m -)]1([-+m m t k ,即可找到正整数y ,使得1)1(-=--m m t ny m k ,y 有整数解的充要条件是）（1|),)1((--m m n m ,而1),1(),)1((=-=-m m m n m ,与假设矛盾,所以S 无单位元.3.3 模n 剩余类加群相关性质列举定理 2.1>+<,n z 中元素m 是>+<,n z 的生成元的充分必要条件是1),(=n m ,且生成元的个数为)(n ϕ个.证明若1),(=n m , 则存在整数,,t s 使1=+nt ms , 于是便有:1=nt ms +=nt ms + =s m ms t ms ==+0∈><m ,所以>+<,n z >=<m ,且m 是>+<,n z 的生成元. 反过来,若m 是>+<,n z 的生成元，则>∈<m 1,⇒m s =1,而0=n ,所以,n t m s m s +==1，即1),(=n m .故>+<,n z 的生成元个数为)(n ϕ个. 定理2.2>+<,n z 有()n T 个子群.证明只需证明对n 的每个正因数k ,>+<,n z 有且只有一个k 阶子群. 易知>+<,n z 为n 阶循环群,令>=<m z n , 则n m =,设n k |,令kq n =,则k m q =,故><m q 是>+<,n z 的一个k 阶子群,令H m p >=<,则H 是循环群,且k m p =,但m p 的阶为),(n p n ,从而k n p n =),(,),(n k p n =,又由于kq n =,得到),(n p q =,且p q |,于是m p ∈><m q ,则><m p ⊆><m q ,但><m p ,><m q 的阶均为k ,故><m p =><m q ,换句话说>+<,n z 的k 阶子群唯一.由上述知：剩余类加群>+<,n z 的子群个数为()n T . 定理2.3>+<,n z 自同构的个数为)(n ϕ个.证明设g 为>+<,n z 的任一自同构,并设)(a g =b =a m ,a a s g =)(,则 a m a sm g =)(,由于g 是自同构,故b s a m s a ==)(,从而有,>>=<>=<<)(a g b a ,即在同构映射g 下生成元的象仍为生成元.反之, 设b a ,是>+<,n z >=<a 的两个生成元,易知,>>→<<a a g :,b S a S → 是><a 的一个自同构,所以><a 的生成元完全决定了><a 的自同构,即><a 有多少个生成元,它就有多少个自同构,而由定理 3.1知 >+<,n z 有)(n ϕ个生成元,故>+<,n z 有)(n ϕ个自同构.3.4 模n 剩余类乘法群及其幂等元的简单求法设n Z 是一个模n 剩余类环,考察环n Z 中的乘法群G （当n 为素数时,n Z 中非零元作成乘法群;当n 为合数时,n Z 中可逆的元作成乘法群）.由定义2.1.8知,群G 中的单位元e 是G 的一个幂等元, 且有===32e e e , 反之,若g 是环n Z 的一个幂等元,则g 必然是n Z 的一个乘法群的单位元;例如g 是一元群][g 的单位元.在一个低阶的模n 的剩余类环,例如18Z 中,不难通过测试的方法来确定其幂等元;一般地,在模n 剩余类环n Z 中可如下考虑:设e 是环n Z 中的一个幂等元, 那么,我们有)(mod e 2n e ≡）（1, 则≡-)1(e e ）（n mod 0 )2(, 即e 和1-e 是互素且相邻的整数;若n 为整数, 则有）（或n mod 10e ≡;若n 为合数,不妨设n =21n n , 不考虑）（或n mod 10e ≡的幂等元（换句话说e 既非环n Z 的零元也非n Z 单位元）,e 或)1(-e 将分别是n 的因子21n n 和的倍数;此时便可考虑取用该因子的倍数判断是否为环的幂等元.例2.1 设9218⨯==n ,于是在18Z 中若是取9=e ,首先我们有)19(9-⨯≡0)(mod n 或）（n mod 992≡, 即9=e 是18Z 中的一个幂等元;其次,由于9和8)19(=-互素,故11819=⨯-⨯在上式两端分别加上98-89⨯⨯, 则可推算出163-6479-88==⨯⨯, 并得到适合)2(式的两个相邻整数64和63, 则由）（modn 1064≡,）（modn 10102≡又可得到18Z 中的另一个幂等元10.对于上述18Z 中的两个幂等元9和10, 容易看出它们具有如下的性质:910+≡1（18mod ），910⨯≡0(18mod ), 从而, 我们有以下命题: 命题设R 是一个有单位元的环,e 是R 的非零非单位元的幂等元, 则e f -=1也是R 的幂等元, 并且具有性质:0,1==+ef f e .证明事实上，由e e e e e e -=+-=+-=-12121)1(22知:e f -=1是R 的一个幂等元;又1)1(=-+=+e e f e , 0)1(2=-=-=e e e e ef .故得证.运用该命题, 我们可以容易地从n Z 中的一个非零非单位元幂等元求出另外一个幂等元f .例2.2 已知e 13=是26Z 的一个幂等元,则由)(mod14121311n e f ≡-=-=-=知:f 14=也是26Z 的一个幂等元.由该命题, 我们还可以得出关于n Z 中的幂等元与n Z 元素之间另一关系如下:设=n 21n n , 且幂等元e 是1n 或1n 倍数,则n Z 中每一个元素k 均可表成n Z 中幂等元e 和f 的唯一组合:)(mod n f y e x k ⋅+⋅≡)(**, 其中)(mod 2n k x ≡, )(mod 1n k y ≡. 例2.3 在上述26Z 中, n 13226⨯==,幂等元e =13;任取k 17=, 则由)(**有:)26(mod 000f e +≡)26(mod 69144134117≡⨯+≡+≡f e)26(mod 18114121312125≡⨯+≡+≡f e其中)2(mod 117≡≡x , 而)13(mod 417≡≡y .以上讨论了模n 剩余类环n Z 中幂等元的存在和求法.那么,对于给定的一个整 数ε,ε可以是哪一个模n 剩余类环n Z 的幂等元呢? 若要ε为n Z 的幂等元,则应有:)1(|)(mod 0)1()(mod 2-⇔≡-⇔≡εεεεεεn n n ,于是对任意给定的一个整数ε,取定一个)1(-εε的因子n ,便可在模n 的最小非负剩余系中确定以ε为幂等元的包含于n Z 的群.为此,对ε,令)})1(,,2,,1{(εεε-≡n R )(***,则:)1(n Z 中以幂等元ε为单位元的乘法群R G ⊆;)2(R 中属于G 的元必须是一个关于R 和G 共同单位元ε的有逆元的元.为此,令:},|{)(111ε==∈∃∈=---rr r r R r R r R G 使得,则()G R 是一个满足要求的,由R 的可逆元作成的,包含幂等元ε的乘法群.例2.4 设ε=25，则n 是6002425)1(=⨯=-εε的一个因子,不妨设n =30,则有)30(mod 25252≡，而又由)(***式得=-=)}25)(130(,),25(2),25(1,0{ R 15,10,5,0{ }25,20)30(mod ,不难判断R 中关于单位元ε25=的可逆元为25,5,因此)30}(mod 25,5{)(30=Z G 为所求30Z 中包含幂等元ε25=的乘法群.至此,上面我们对模n 剩余类环n Z 及其乘法群的进行了一些讨论,阐述了群与环的部分关系;由群的单位元导出了其幂等元,并且给出了如何在n Z 中去确定其幂等元;反之,对于给定的任一整数,也可以确定以其为幂等元的环n Z 及其所构成的乘法群.3.5 模n 剩余类环n Z 的理想定理3.5.1模n 剩余类环n Z 的所有理想都是主理想.证明对循环子群(对加法), i ∀,根据理想的定义,>∈<∈∀i c b Z a n ,,有:（1）>∈<-=-i c b c b ;（2）>∈<++==i b b b ab b a a个. 同理：>∈<i a b ; 所以><i 作为一个理想,显然><i 是主理想.由定理及上叙定理的证明过程可以看出:循环子群(对加法)加上乘法是模n 剩余类环n Z 的主理想.定理3.5.2模n 剩余类环的子加群,子环,理想是一致的.定理3.5.3设n Z 是模n 剩余类环,则:（1）n 是素数,n Z 是域,则n Z 只有零理想和单位理想;（2）n Z 是域充分必要条件是(n )是Z 的极大理想.证明(1)显然成立.（2）由上述定理6知n Z 是域的充分必要条件是n 为素数. 因此只需要证明><n 是Z 的极大理想的充分必要条件是n 为素数.由于n Z 是有单位元的交换环,设主理想}|{Z k nk n ∈>=<,若><n 为极大理想,如果n 不是素数,则必有,,1,2121n n n n n n <<=,于是>∈<1n n ,但>∉<n n 1, 则><1n 是n Z 的真包含><n 的理想.由><n 为极大理想知n Z n >=<1.但>∉<11n , 矛盾,所以n 是素数.反之,设n 是素数,A 是n Z 的理想,且A n Z A n n >≠<⊆>⊆<,,则存在>∉<∈n a A a ,. 因为n 是素数, 所以n 与a 互素,则存在Z v u ∈,,使1=+nv ua ,由A a n ∈,可知Z A A vn ua =∈+=则,1.因为Z n n >≠<±≠,1, 所以><n 是极大理想.3.6 剩余类环的应用在此我们主要给出剩余类环对Euler 函数关系式, Eisenstei n 判别法, 整系数多项式无整数根,Euler 定理及Fermat 小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明.并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质.例2.5 (Euler 函数关系式)ϕ为Euler 函数,当1),(=n m 时,)()()(n m mn ϕϕϕ=.证明当1),(=n m 时,)/()/()/(><⨯><=><n Z U m Z U mn Z U , 而)/(><mn Z U = )(mn ϕ,)()/(n n Z U ϕ=><,)()/(m n Z U ϕ=><,所以)()()(n m mn ϕϕϕ=.注:为方便起见下面出现的函数ϕ,都是Euler 函数.例2.6 (Eisenstei n 判别法)设011)(a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式,如果有一个素数p ,使得p 满足条件: )1(p 不整除n a ;)2( p |i a (1,1,0-=n i );)3( 2p 不整除0a .那么)(x f 在][x Z 中不可约.证明首先,令])[/()(0x p Z x a x f n i i i ∈=∑=,其中a 表示a 的模p 剩余类.假设f 在][x Z 中可约,令gh f =, 其中0111b x b x b x b g s s s s ++++=-- ,0111c x c x c x c h m m m m ++++=-- ,n s m <,n s m =+.于是h g f =,而另一方面011)(a x a x a x f n n n n +++=-- .因为p |i a (10-≤≤n i ),p 不整除n a ,故n n x a f =, 令s x g α=,m x h β=, 即g 的常数项00=b ,h 的常数项00=c ,那么p |0b , 且p |0c ,则2p |000a c b =, 这与2p 不整除0a 矛盾,故)(x f 不可约.例 2.7 (整系数多项式无整数根)设01)(a x a x a x f k k +++= 是整系数多项式,且0a 和∑=k i i a0都是奇数,则)(x f 无整数根.证明令∑=><∈=ki i i x Z x a x f 0][2/)(,其中i a 表示i a 的模2剩余类,假设)(x f 有一整数根n ,而0=n 或1=n ,若0=n , 则有0)0()(0===a f n f ,故有2|0a 矛盾.若1=n ,则有0)1()(0===∑=k i i a f n f , 故2|∑=ki k a 0, 矛盾.故假设不成立,即)(x f 无整数根. 例2.8 (Euler 定理)设n 是大于1的整数,1),(=n a , 则)(mod 1)(n a x ≡ϕ.证明因为1),(=n a ,))/((n Z U a ∈,但单位群))/((n Z U 的阶为)(n ϕ,所以1)(=n a ϕ,即1)(=n a ϕ, 所以)(mod 1)(n a n ≡ϕ).例2.9 (Fermat 小定理)若p 是素数,则)(mod p a a p ≡.证明若1),(=p a ,由Euler 定理及1)(-=p p ϕ得)(mod 11p a p ≡-,所以)(m o d p a a p =,若0),(≠p a ,则a p |,故)(mod p a a p ≡.下面从代数的角度来观察完全及简化剩余性质例2.10设110,,,,1),(-=n a a a n a 为模n 的完全剩余系, 则110,,,-n aa aa aa 也是模n 的完全剩余系.证明由题设知)/(},,,{110n Z a a a n =- ,由1),(=n a 知a 可逆,故有)/(},,,{110n Z aa aa aa n =- , 所以110,,,-n aa aa aa 也是模n 的完全剩余系.例 2.11 设1)(10,,,,1),(-=n a a a n a ϕ 为模n 的简化剩余系, 则1)(10,,,-n aa aa aa ϕ 也是模n 的简化剩余系.证明由题设知))/((},,,{1)(10n Z U a a a n =-ϕ ,由1),(=n a ,知a 可逆,故))/((},,,{1)(10n Z U aa aa aa n =-ϕ , 所以1)(10,,,-n aa aa aa ϕ 是模n 的简化剩余系.参考文献[1] 杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社,2003,175-200.[2] 吴品三.近世代数[M].北京:人民教育出版社,1979,143-153.[3] 张禾瑞.近世代数基础[M].北京:人民教育出版社,1978,157-163.[4] 单桂华,张琴,叶涛.模n 的剩余类><n Z /的几点应用[ J ].湖南大学学报(自然科学版), 1999,10(1):23-24.[5] 杨树生.模n 的剩余类加群>+<,n z 及模n 剩余类环>+<,.,n Z 的若干性质[ J ].河套大学学报,2004,17(1):72-74.[6] 李伯葓.模n 的剩余类环的子环[ J ].南京师大学报(自然科学版),1992,(3):61-62.[7] 唐再良.论模n 剩余类环n Z 的性质与扩张[ J ].绵阳师范学院学报,2008,27(8):125-127.[8] 潘庆年.剩余类环及若干数论问题[ J ].阜阳师范学院学报(自然科学版),1999,16(1):51-52.致谢论文完成之际，谨向所有曾给予我帮助和指导的老师、同学和朋友们致以衷心的感谢！首先，我要感谢唐老师,从选题到开题报告,从写作提纲到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，循循善诱,在此我表示衷心感谢.感谢在天水师范学院学习的这四年来，给我授课的各位老师,是你们用渊博的知识教育了我,正是你们的教育,数学与统计学院2013届毕业论文我才能顺利完成这篇文章.在此,让我向你们表示深深的谢意.借此机会,我也向一直默默支持和关心我的父母和好友们表示感谢,祝他们身体健康.17。

Zn[i]的单位群结构唐高华;苏华东;易忠【摘要】1801年,高斯给出了模n剩余类环Zn的单位群U(Zn)的结构定理,并在复平面上建立了高斯整数环Z[i]={a+bi|a,b∈z,i2=-1),解决了数论中的两平方和问题,但模n高斯整数环Zn[i]={a+bi|a,b∈Zn}的单位群结构一直没解决.本文通过数论、组合和代数相结合的方法,给出了模n高斯整数环Zn[i]的单位群U(Zn[i])的结构定理.【期刊名称】《广西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(028)002【总页数】4页(P38-41)【关键词】模n高斯整数环;单位群;循环群【作者】唐高华;苏华东;易忠【作者单位】广西师范学院数学科学学院,广西,南宁,530023;广西师范学院数学科学学院,广西,南宁,530023;广西师范大学数学科学学院,广西,桂林,541004【正文语种】中文【中图分类】O153.3设n是大于1的整数，模n剩余类环为Zn＝｛0，1，…，n－1｝，高斯整数环为Z［i］＝｛a＋b i|a，b∈Z，i2＝－1｝以及模n高斯整数环为Zn［i］＝｛a＋b i|a，b∈Zn｝。

1801年高斯就得到了模n剩余类环Zn的单位群U（Zn）的结构，即：U（Z2）＝｛1｝，U（Z4）≅Z2，U（Z2n）≅Z2n－2⊕Z2，（∀n≥3）和U（Zpn）≅Zpn－p n－1，p是奇素数。

文献［1-2］研究了模n高斯整数环Zn［i］的素谱和零因子图，文献［3-4］研究了高斯整数环的商环的一些性质，本文进一步研究Zn［i］的单位群，给出模n高斯整数环Zn［i］的单位群U（Zn［i］）的结构定理。

文中未特别说明的符号和术语与文献［5-7］一致。

引理1设ct是多项式（1＋2mx）N展开式中xt的系数，其中m≥1。

如果2a|N，则2a＋m|c1，c2，且2a＋m＋1|ct，t≥3，特别地，2a＋（2k＋1）m|c2k＋1，k≥1。

证明类似文献［5］引理6.2.4的证明，可设N＝2a，这样就有c1＝2a＋m，c2＝2a－1＋2m（2a－1）。

矩阵环中的理想张姗梅;刘耀军【摘要】讨论环R上的全矩阵环,上三角形矩阵环以及对角矩阵环的理想,建立环R 的理想与这些环的理想之间的对应关系.并给出模n的剩余类环Zn上的全矩阵环,上三角形矩阵环以及对角矩阵环的所有理想.【期刊名称】《太原师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(012)001【总页数】4页(P17-20)【关键词】理想;环;商环;矩阵环;模n的剩余类环【作者】张姗梅;刘耀军【作者单位】太原师范学院数学系,山西太原030012;太原师范学院计算机系,山西太原030012【正文语种】中文【中图分类】O153.3利用一个环的理想，可以构造出新的环——商环.并且一个环R的商环穷尽了R的满同态像:商环是满同态像，满同态像就是商环[1].这样，一个环R和其他环的关系在一定意义下归结为R与其商环的关系，即环R与外部世界的关系归结为环R自身的内部结构.商环在一定程度上继承了原环的一些性质，同时也产生了一些新的特点.如果对环的理想添加一些不同的限制，就有可能构造出具有不同性质的环来.当然，首要问题是，弄清楚环的所有理想.本文就常见的矩阵环讨论了这个问题.设R是一个环，n是正整数.则R上全体n阶矩阵，全体n阶上三角形矩阵以及全体n阶对角矩阵，对于矩阵的普通加法和乘法分别作成环Mn（R），MΔn（R），Mdn（R）.分别称Mn（R），MΔn（R），Mdn（R）为环R上的全矩阵环，上三角形矩阵环[2]和对角矩阵环.定义[3] 设R是一个环，I是R的非空子集，如果I满足1）对任意的r1，r2∈I，r1－r2∈I；2）对任意的r∈I，s∈R，rs，sr∈I.则称I为环R的一个理想.引理1[4] 设R 是一个环，I是R 的理想.则 Mn（I）是 Mn（R）的理想.引理2[4] 设R 是一个环，M 是Mn（R）的理想.令则I是R的理想.引理3 设R是一个有单位元的环，M是Mn（R）的理想.则存在R的理想I，使M＝Mn（I）证明由引理2，I＝｛a∈R｜存在A＝（aij）∈M，a11＝a｝是R 的理想.下证 M ＝Mn（I）.记Eij为（i，j）元素是单位元1，其余元素全为零元0的n阶方阵.任取A＝（aij）∈M，则E1iAEj1∈M，且E1iAEj1的（1，1）元素为aij，由I的构造知ai j∈I，从而A＝（aij）∈Mn（I），因此 M⊆Mn（I）.另一方面，任取X＝（xij）∈Mn（I），则xij∈I，因而存在Y＝（yij）∈M，使得y11＝xij，于是xijEij＝Ei1YE1j∈M，从而X＝（xij）＝∑xijEij∈M，故Mn（I）⊆M.因此 M＝Mn（I）.由引理1，引理3可得定理1 设R是一个有单位元的环，则Mn（R）的全部理想为Mn（I），这里I是环R的理想.注若R没有单位元，则如上结论不成立.例:设R是偶数环，I是由所有整数4r（r是整数）所作成的R的理想.则引理4 设Iij（1≤i≤j≤n）是环R的理想，且对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij.则是R上的上三角形矩阵环（R）的理想.证明任取A＝（aij），B＝（bij）∈M，则i＞j时aij＝0，bij＝0，1≤i≤j≤n时aij，bij∈Iij.于是i＞j时aij－bij＝0，1≤i≤j≤n时aij－bij∈Iij，从而A－B＝（aij －bij）∈M.再任取K＝（rij）∈（R），则k＞j时rkj＝0.从而有i＞j时1≤i≤j≤n时，由aij∈Iij及对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij知于是AK＝（cij）∈M，KA＝）∈M.因此M是（R）的理想.引理5 设R是一个有单位元的环，M是（R）的理想.则存在R的理想Iij（1≤i≤j≤n）使对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij且证明令Iij＝｛a∈R｜存在A＝（aij）∈M 使a＝aij｝（1≤i≤j≤n）.若a，b∈Iij，则存在A＝（aij），B＝（bij）∈M使a＝aij，b＝bij.于是A－B＝（aij－bij）∈M，a－b＝aij－bij因此a－b∈Iij.任取r∈R，则rE∈MΔn（R）.于是因ra＝raij，ar＝aijr，所以ra，ar∈Iij.从而Iij是R 的理想.又对任意i≤m≤l≤j，设c∈Iml，则存在A＝（aij）∈M使aml＝c.于是由Eim，Elj∈（R）知故c∈Iij.从而Iml⊆Iij.下证（1）成立，用M′表示（1）右端的集合.任取A＝（aij）∈M，则aij∈Iij（1≤i≤j≤n）.于是A∈M′，M⊆M′.另一方面，若A＝（aij）∈M′，则aij∈Iij（1≤i≤j≤n），因此存在相应矩阵Y＝（yij）∈M，使得yij＝aij，于是aijEij＝yijEij＝EiiYEjj∈M，从而，故M′⊆M.因此M ＝M′.由引理4，引理5可得定理2 设R是一个有单位元的环，则Mn（R）的全部理想为其中Iij是R的理想，且满足对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij.类似引理4，引理5的证明，可得:引理6 设R 是一个环，Ii（i＝1，2，…，n）是R 的理想.则是R上对角矩阵环（R）的理想.反之，设M 是（R）的理想，则存在R的理想Ii，i＝1，2，…，n使M＝由引理6可得:定理3 设R是一个环，则（R）的全部理想为其中Ii是R的理想.定理4 令dZn＝｛dr｜r∈Zn｝[5]，则模n的剩余类环Zn 的所有理想为dZn，其中d＝0或d｜n，1≤d＜n.证明先证dZn 是Zn 的理想.任取a，b∈dZn，r∈Zn，则a＝dr1，b＝dr2（r1，r2∈Zn）.于是a－b＝dr1－dr2＝d（r1－r2）∈dZn；ra＝ar＝（dr1）r＝d（r1r）∈dZn.dZn 是Zn 的理想.又设I是Zn 的任一理想，则[0]∈I.如果I＝｛[0]｝，则取d＝0，有I＝dZn.如果I≠｛[0]｝，令d是使得[d]∈I的最小正整数，则1≤d＜n且对任意[q]∈Zn 有d[q]＝[dq]＝[d][q]∈I.因此dZn⊆I.另一方面，若[b]∈I，设b＝dq＋r（0≤r＜d），则r＝b－dq，从而[r]＝[b－dq]＝[b]－[dq]＝[b]－[d][q]∈I.但d是使得[d]∈I的最小正整数，故r＝0.这样b＝dq（因此d｜b），从而[b]＝[dq]＝d[q]∈dZn，因此I⊆dZn.故I＝dZn.并且由上证明知若[b]∈I，则d｜b.因此由[n]＝[0]∈I得d｜n.定理5 设Zn是模n的剩余类环，则1）Mm（Zn）的全部理想为Mm（dZn），其中d＝0或d｜n，1≤d＜n.2（Zn）的全部理想为其中dij＝0或dij｜n，1≤dij＜n且对任意i≤m≤l≤j有dij｜dml.3）（Zn）的全部理想为｝，其中di＝0或di｜n，1≤di＜n.证明根据定理1，定理2，定理3，由定理4可得.例模2的剩余类环Z2上的上三角矩阵环MΔ3（Z2）的全部理想为参考文献:[1]刘绍学.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社，1999[2]吴毅清.矩阵环的理想[J].怀化学院学报，2004，23（2）:1－3[3]韩士安，林磊.近世代数[M].北京:科学出版社，2004[4]苏忍锁.环R 上的矩阵环Mn（R）的理想[J].宝鸡文理学院学报（自然科学版），2002，22（2）:115－117[5]张翔.例说剩余类的理想求法以及剩余类方程的解法[J].遵义师范学院学报，2009，11（1）:70－72。

第31卷　第2期　吉首大学学报(自然科学版)Vol.31　No.2 2010年3月J ournal of J is ho u Uni ver s i t y (Nat ural Sci ence Editio n)Mar.2010 文章编号:100722985(2010)022*******无零因子环的刻画及各种环的例子3陈祥恩(西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州　730070)摘　要:总结了刻画一个环是无零因子环的若干等价条件.给出了各种环的例子,以期更好地理解各种环之间的关系.关键词:环;无零因子环;刻画中图分类号:O175 文献标识码:A环是近世代数中的一个很基本的概念,对环的教学也显得尤为重要.根据笔者的教学实践,首先总结了刻画一个环是无零因子环的若干等价条件,然后给出了各种环的例子,以期更好地理解各种环之间的关系.所用术语如无特别说明请参看文献[1].1　无零因子环的刻画设R 是一个环,a 是R 中的一个非零元.如果存在R 中非零元b 使得ab =0,那么称a 为R 的一个左零因子.同理可定义右零因子.如果一个环没有左零因子,那么称它为无零因子环.先给出刻画一个环是无零因子环的若干充要条件.定理1　设R 是一个环.下述几条彼此等价:1)R 中左消去律成立,即Πa ,b ,c ∈R,一旦ab =ac ,a ≠0,就有b =c;2)R 是无零因子环;3)R 中没有“既是左零因子又是右零因子”的元;4)R 中没有右零因子;5)R 中右消去律成立,即Πa ,b ,c ∈R,一旦ba =ca ,a ≠0,就有b =c;6)R 中任意2个非零元的乘积还是非零元;7)Πa ,b ∈R,一旦ab =0,就有a =0或者b =0.2　各种环的例子图1　各种环的关系先用文氏图给出环、交换环、有单位元的环、无零因子环、整环、除环以及域之间的关系.如图1所示,方框的内部表示所有环的集合.包含数字2,5,6,7,8的圆的内部表示所有交换环的集合.包含数字4,6,7,8,9,10的圆的内部表示所有含单位元的环的集合.包含数字3,5,7,8,9,10的圆的内部表示所有无零因子环的集合.虚线的内部表示所有除环的集合.3收稿日期:2009211206基金项目:国家自然科学基金资助项目(10771091);西北师范大学数学与应用数学专业代数课程(校级及省级)教学团队经费资助()作者简介陈祥恩(652),男,甘肃天水人,西北师范大学数学与信息科学学院教授,主要从事代数与图证研究2009-07:19.为了更好地理解环、交换环、有单位元的环、无零因子环、整环、除环以及域之间的关系,下面给出各种环的例子.用E表示所有能够被2整除的整数所组成的集合,用Z表示整数集.例1　令R1={a bc d|a,b,c,d∈E}.R1关于矩阵的加法、乘法作成环.R1不是交换环,不是有单位元的环,也不是无零因子环.例2　设(Z,+)是整数加群.对Πa,b∈Z,令a.b=0,则(Z,+,.,)是交换环,但不是有单位元的环,也不是无零因子环.例3　令R2={a+b i c+d i-c+d i a-b i|a,b,c,d∈E}.R2关于矩阵的加法、乘法作成环.R2不是交换环,不是有单位元的环,但它是无零因子环.例4　设M n(F)表示数域F上全体n(>1)阶方阵所构成的集合.M n(F)关于矩阵的加法、乘法作成环.M n(F)是有单位元的环,但它不是交换环,不是无零因子环.例5　E关于整数的加法、乘法构成一个环.它是交换环、无零因子环,但它不是有单位元的环.例6　设n(>1)是合数,则模n的剩余类环Z n是交换环、有单位元的环,但它不是无零因子环.例7　设整数环Z是整环,但它不是域.例8　设p(>1)是素数,则模p的剩余类环Z p是域.例9　四元数除环是除环,但不是域[1].例10　令R3={a+b i c+d i-c+d i a-b i|a,b,c,d∈Z}.R3关于矩阵的加法、乘法作成环.R3是有单位元的环、无零因子环,但它不是交换环,不是除环.参考文献:[1]　张禾瑞.近世代数基础[M].第1版.北京:高等教育出版社,1978.Char acter iza tion f or Rings Without Zer o Divisor andExa mples of V ar ious RingsC H EN X ia ng2en(College of Mathematics a nd Infor mation Science,Nort hwest Normal Univer sity,La nzhou730070,China)Abstract:The equivalence condi tions for charact erizing ri ngs wit hout zero divi sor are summarized a nd t he exa mple s of va rious rings are gi ven i n t hi s paper.K ey w or ds:ri ng;ri ng wit hout zero di vi sor;charact erizat io n(责任编辑　向阳洁) 2吉首大学学报(自然科学版)第31卷。