近世代数课件环的概念
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近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
近世代数课件全 4 2 主理想整环欧式环 优质课件
1 ( f ( x), g( x)) g( x) x[ f ( x) g( x)x]
xf ( x) ( x2 1)g( x)
2019/12/11
例5
在 Z[i] 中, a 8 38i, b 11 7i ,求
s, t 使得(a, b) as bt.
因为 (r1 ) (r2 ) , 故最后必有某个
(不妨设为 rn1 )为零.从而有
(a, b) (b, r1) (r1, r2 ) (rn1, rn ) (rn, 0) rn
2019/12/11
而且 rn rn2 rn1qn rn2 (rn3 rn2qn1 )qn
2019/12/11
做成一个欧氏环.
例1 Z 是欧氏环.
证明： ( x) | x |, x Z
a, b Z, b 0, q, r Z, st. a bq r
且 0 r | b | r 0, 或者 (r) | r | (b) | b | .
Z 是欧氏环.
2019/12/11
近世代数
第四章 整环里的因子分解 §2 主理想整环、欧式环
2019/12/11
一、主理想整环 定义1：如果整环R的每一个理想都是一个
主理想， 称其为主理想环. 引理1：假定R是一个主理想环，若在序列
a1,a2,a3,…,(ai∈R)里每一个元是前面一个的 真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.
引理2：假定R是一个主理想环，那么I的 一个不可约元P生成一个最大理想.
，令q a bi, r [( x a) ( y b)i] ,则 q Z[i] ,且 r q Z[i] ,而
xf ( x) ( x2 1)g( x)
2019/12/11
例5
在 Z[i] 中, a 8 38i, b 11 7i ,求
s, t 使得(a, b) as bt.
因为 (r1 ) (r2 ) , 故最后必有某个
(不妨设为 rn1 )为零.从而有
(a, b) (b, r1) (r1, r2 ) (rn1, rn ) (rn, 0) rn
2019/12/11
而且 rn rn2 rn1qn rn2 (rn3 rn2qn1 )qn
2019/12/11
做成一个欧氏环.
例1 Z 是欧氏环.
证明： ( x) | x |, x Z
a, b Z, b 0, q, r Z, st. a bq r
且 0 r | b | r 0, 或者 (r) | r | (b) | b | .
Z 是欧氏环.
2019/12/11
近世代数
第四章 整环里的因子分解 §2 主理想整环、欧式环
2019/12/11
一、主理想整环 定义1：如果整环R的每一个理想都是一个
主理想， 称其为主理想环. 引理1：假定R是一个主理想环，若在序列
a1,a2,a3,…,(ai∈R)里每一个元是前面一个的 真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.
引理2：假定R是一个主理想环，那么I的 一个不可约元P生成一个最大理想.
，令q a bi, r [( x a) ( y b)i] ,则 q Z[i] ,且 r q Z[i] ,而
近世代数课件环的概念
§1 环的概念
例 3 设 n 是一个正整数.我们已经知道,集合 Ζn {[0], [1], [2], , [n 1]}
关于模 n 剩余类的加法构成一个交换群.下面进一步考察集 合Ζ n . 假 设 [a], [a1], [b], [b1] Z n , 并 且 [a] [a1] , [b] [b1] . 于
§1 环的概念
(4)根据(2),我们有 a(b c) a(b (c)) ab a(c) ab ((ac)) ab ac .
同理可证, (b c)a ba ca .
(5-7)的证明留作练习.□
作业 p36,第 1-3 题;第 5-7 题.
谢谢！
§1 环的概念
容易验证, Z[x] , Q [x], R[x] 和 C[x] 关于多项式的加法和 乘法分别构成环,依次称为整系数一元多项式环,有理系 数一元多项式环,实系数一元多项式环和复系数一元多项 式环,也可以依次称为 Z 上的一元多项式环,Q 上的一元 多项式环,R 上的一元多项式环和 C 上的一元多项式环.
命题 1.3 设 R 是一个环.那么, (1) 0a a0 0 ; (2) (a)b a(b) ab ; (3) (a)(b) ab; (4) a(b c) ab ac , (b c)a ba ca ;
§1 环的概念
(5)
m i 1
ai
n
bj
j 1
m i 1
n j 1
例 5 设 (R, ) 是一个交换群.定义 R 上的乘法“ ” 如下:
ab 0 , a, b R . 则 (R, , ) 是一个环.这样的环称为零乘环.
§1 环的概念
定义 1.2 设 (R, , ) 是一个环. (1)若“ ”适合交换律,则称 R 是交换环;否则,称 R 是 非交换环. (2)若存在 e R ,使得 ea ae a , a R ,则称 e 为环 R 的单位元,并称 R 是有单位元(的)环.
近世代数第四章-环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以与集M的幂集环．2．环中元素的运算规那么和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环〞)．但不能记为R，·，十)．因为这涉与对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·〞作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．假设环R 无零因子且阶大于1，那么R 中所有非零元素对加法有一样的阶．而且这个一样的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，那么R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，那么它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．那么易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
近世代数课件 第11节 子环与理想
11/27
近世 代数
理想子环的实例
前面的例1已经证明：对任意给定的自然数n, nZ={nz|z∈Z}
是整数环Z的子环。 于是有： 2Z ={2z|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环. 3Z ={3z|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环.
…… nZ={nz|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环.
22/27
近世 代数
极大理想
由(交换)环得到域的方法之一：利用极大理想的方法
定义1 环R的理想H称为R的极大理想，如果H是R的真 理想，且R不存在真理想N使得H N.
定义1’ 环R的一个不等于R的理想H称为R的极大理 想，如果除了R同H自己以外，没有包含H的理想.
定义1” 环R的真理想H称为R的极大理想，如果N是R
4/27
近世 代数
子环的判定
定理1 (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。 S是R的子环的充要条件是
(1) a, b∈S, a–b∈S； (2) a, b∈S, ab∈S.
定理1’ (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。 S是R的子环的充要条件是
(1) a, b∈S, a+b∈S； (2) a∈S, -a∈S; (3) a, b∈S, ab∈S.
的特征数，简称为特征，记为ChR.
定理2 若无零因子环R的特征数为正整数p，则p为素
数.
推论2 整环、体和域的特征数或是无穷大，或是
一个素数.
问题：若 p不为素数，则Zp肯定不是域.
2/27
近世 代数
第11节 子环与理想
主要内容:
子环 理想(子环) 环的同态基本定理 极大理想
3/27
近世 代数
定理1’’ (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。
近世代数课件多项式环
(d0 , d1, d2 , , di , ) , 其中, (a0 , a1, a2 , , ai , ) 和 (b0 , b1, b2 , , ai , ) 为 R 上的任意 一元多项式;对于每一个非负整数 i ,
ci ai bi , di a jbk . jk i
§2 多项式环
(1) R 上的每一个一元多项式都可以表示成如下形式:
n
a0 x0 a1x1 a2 x2 an xn (或 ai xi ), i0
其中 n 是某个非负整数,所有的 ai R .特别地,当 f (x) 是 n 次多 项式时, an 0 .反过来,每一个这种形式的表达式都表示 R 上的 唯一的一个一元多项式.
n
a0 y0 a1 y1 a2 y2 an yn (或 ai yi ). i0
§2 多项式环
定义 2.3 设 R 是一个有单位元1的环.对于一切的正整数
n ,我们递推地定义 R 上的 n 元多项式环 R[x1, x2, xn ] 如下: 当 n 1 时, R[x1] (其中 x1 为 R 上的不定元)是 R 上的一元
项式,则
i0
j0
mn
f (x) g(x)
aibj xk .
k 0 i jk
当然,我们也可以用其它记号作为 R 上的不定元,例
如, y, z, x1, x2 ,等等.例如,我们也可以将 R 上的所有一元多项 式构成的集合记作 R[ y] ;这时 R 上的每一个一元多项式都可
以表示成如下形式:
(2)若 R 是交换环,则 R[x] 也是交换环. 证明 根据定义直接验证.□
§2 多项式环
到此为止,我们已经介绍了有单位元 1 的环 R 上的一元多项 式环的概念.下面介绍表示环 R 上的一元多项式的常用方法.
ci ai bi , di a jbk . jk i
§2 多项式环
(1) R 上的每一个一元多项式都可以表示成如下形式:
n
a0 x0 a1x1 a2 x2 an xn (或 ai xi ), i0
其中 n 是某个非负整数,所有的 ai R .特别地,当 f (x) 是 n 次多 项式时, an 0 .反过来,每一个这种形式的表达式都表示 R 上的 唯一的一个一元多项式.
n
a0 y0 a1 y1 a2 y2 an yn (或 ai yi ). i0
§2 多项式环
定义 2.3 设 R 是一个有单位元1的环.对于一切的正整数
n ,我们递推地定义 R 上的 n 元多项式环 R[x1, x2, xn ] 如下: 当 n 1 时, R[x1] (其中 x1 为 R 上的不定元)是 R 上的一元
项式,则
i0
j0
mn
f (x) g(x)
aibj xk .
k 0 i jk
当然,我们也可以用其它记号作为 R 上的不定元,例
如, y, z, x1, x2 ,等等.例如,我们也可以将 R 上的所有一元多项 式构成的集合记作 R[ y] ;这时 R 上的每一个一元多项式都可
以表示成如下形式:
(2)若 R 是交换环,则 R[x] 也是交换环. 证明 根据定义直接验证.□
§2 多项式环
到此为止,我们已经介绍了有单位元 1 的环 R 上的一元多项 式环的概念.下面介绍表示环 R 上的一元多项式的常用方法.
近世代数课件-3.1. 加群、环的定义
近世代数课件-3.1. 加群、环的 定义
欢迎大家来到本次近世代数课程，今天我们将学习加群和环的基本定义和性 质。
什么是加群
群的定义和性质
群是一个集合，具有封闭性、 结合律、单位元素和逆元素。
加法运算的封闭性
加法运算在集合内是封闭的， 即两个元素的和仍然属于该 集合。
加法运算的结合律
对于三个元素进行连续加法 运算时，结果与加法运算的 顺序无关。
加法运算的存在单位元素
加群中存在一个特殊元素，称为单位元素，它 与任何元素相加不改变元素的值。
加法运算的存在逆元素
加群中的每个元素都有一个对应的逆元素，使 得它们相加的结果等于单位元素。
什么是环
1
环的定义和性质
环是一个集合，具有加法运算和乘法运算，
加法运算和乘法运算的关系
2
ห้องสมุดไป่ตู้
同时满足封闭性、结合律和分配律。
加法运算是环的基本结构，而乘法运算是
在此基础上进一步定义的。
3
乘法运算的封闭性
乘法运算在集合内是封闭的，即两个元素
乘法运算的结合律
4
的乘积仍然属于该集合。
对于三个元素进行连续乘法运算时，结果
与乘法运算的顺序无关。
5
乘法运算的分配律
乘法运算在加法运算上满足分配律，即对 于任意三个元素的运算，结果在加法和乘 法之间保持一致。
欢迎大家来到本次近世代数课程，今天我们将学习加群和环的基本定义和性 质。
什么是加群
群的定义和性质
群是一个集合，具有封闭性、 结合律、单位元素和逆元素。
加法运算的封闭性
加法运算在集合内是封闭的， 即两个元素的和仍然属于该 集合。
加法运算的结合律
对于三个元素进行连续加法 运算时，结果与加法运算的 顺序无关。
加法运算的存在单位元素
加群中存在一个特殊元素，称为单位元素，它 与任何元素相加不改变元素的值。
加法运算的存在逆元素
加群中的每个元素都有一个对应的逆元素，使 得它们相加的结果等于单位元素。
什么是环
1
环的定义和性质
环是一个集合，具有加法运算和乘法运算，
加法运算和乘法运算的关系
2
ห้องสมุดไป่ตู้
同时满足封闭性、结合律和分配律。
加法运算是环的基本结构，而乘法运算是
在此基础上进一步定义的。
3
乘法运算的封闭性
乘法运算在集合内是封闭的，即两个元素
乘法运算的结合律
4
的乘积仍然属于该集合。
对于三个元素进行连续乘法运算时，结果
与乘法运算的顺序无关。
5
乘法运算的分配律
乘法运算在加法运算上满足分配律，即对 于任意三个元素的运算，结果在加法和乘 法之间保持一致。
近世代数第四章-环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R无零因子且阶大于1，则R中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数．有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子．二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛1就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(Qyxyx∈∀⎪⎪⎭⎫⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
2020/9/27
三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
3.除环和域
定义 8 设 R 为有单位元 1R 的环,
a( 0) R ,如果存在 b R ,使得
,则称
a
为
ab ba 1R R 的可逆元,并称
b
为
a
的逆元.
•若a 可逆, 则 a 的逆元唯一, 且 a 的逆元也可逆.可逆元 a 的唯一的
逆元记作 a1 ,且 (a1 )1 a.
2020/9/27
两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2020/9/27
2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2020/9/27
2020/9/27
不是左零因子也不是右零因子的元素， 叫做正则元.
2020/9/27
例5
设 M M2(R),
A
1 0
1 0
,
B
1 1
1
1
都是 M 的非零元,而 AB 0 ,所以 A, B
分别为 M 的左右零因子.
近世代数课件(全)--3-2 环的定义—思考、解答、结论
2012-9-19
结论6 域： 交换的除环 结论6：域是环、交换环、有单位元环、 整环、除环.
2012-9-19
环的特征 定义：若环的元素对加法有最大阶n，则 称n为环的特征；若环的元素对加法没有最大 阶，则称环的特征是无限（或零）. 记作charR. 定理1：有限环的特征是有限. (因为有限群的阶有限，所以最大阶有限)
b a ab a
1 1
0 0， 故 a 不 是 左 零 因 子 ,
同理也不是右零因子.
结论2：可逆元一定不是零因子， 零因子
一定不是可逆元；除环是无零因子环.
2012-9-19
思考题5、6 结论3 5．除环的非零元对于乘法构成群吗？ 答：构成. 两个非零元的乘积是非零元， 结合律成立，有单位元，每个非零元有逆元. 6．若 R 关于加法构成交换群，所有非 零元关于乘法构成乘群，问 R 一定构成除环 吗？ 答：不一定. 分配律未必保证. 结论3：环 R ，则 R 是除环
charR n
2012-9-19
2012-9-19
思考题4、结论2 除环：有单位元环 R ,且 1 R 0 （ R 1 ） ，每个非零元都可逆. 4．有人说:一个环 R 的零因子一定不是环 R 的可逆元.你认为他的论断对吗?为什么? 答：对. a 0, 且 a 是 可 逆 元 ， 若 有 b , 使 得 ab 0，
( k a )( m a ) n a 0
2
与无零因子环矛盾，故假设不成立.
无零因子环的特征或者无限，或者为素数.
2012-9-19
定理4： 有单位元的环，单位元在加群中的阶 就是环的特征.
证明：若1的阶无限，则特征无限；
若1的阶是n,则 a 0 ,有
结论6 域： 交换的除环 结论6：域是环、交换环、有单位元环、 整环、除环.
2012-9-19
环的特征 定义：若环的元素对加法有最大阶n，则 称n为环的特征；若环的元素对加法没有最大 阶，则称环的特征是无限（或零）. 记作charR. 定理1：有限环的特征是有限. (因为有限群的阶有限，所以最大阶有限)
b a ab a
1 1
0 0， 故 a 不 是 左 零 因 子 ,
同理也不是右零因子.
结论2：可逆元一定不是零因子， 零因子
一定不是可逆元；除环是无零因子环.
2012-9-19
思考题5、6 结论3 5．除环的非零元对于乘法构成群吗？ 答：构成. 两个非零元的乘积是非零元， 结合律成立，有单位元，每个非零元有逆元. 6．若 R 关于加法构成交换群，所有非 零元关于乘法构成乘群，问 R 一定构成除环 吗？ 答：不一定. 分配律未必保证. 结论3：环 R ，则 R 是除环
charR n
2012-9-19
2012-9-19
思考题4、结论2 除环：有单位元环 R ,且 1 R 0 （ R 1 ） ，每个非零元都可逆. 4．有人说:一个环 R 的零因子一定不是环 R 的可逆元.你认为他的论断对吗?为什么? 答：对. a 0, 且 a 是 可 逆 元 ， 若 有 b , 使 得 ab 0，
( k a )( m a ) n a 0
2
与无零因子环矛盾，故假设不成立.
无零因子环的特征或者无限，或者为素数.
2012-9-19
定理4： 有单位元的环，单位元在加群中的阶 就是环的特征.
证明：若1的阶无限，则特征无限；
若1的阶是n,则 a 0 ,有
近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质
两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2024/7/18
2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2024/7/18
例7
Z 的可逆元仅有1, -1;
2Z 由于没有单位元,所以它没有可逆元.
例 8 A Mn( K ) 可逆当且仅当 | A | 0. 例 9 试求高斯整环 Z[i] 的可逆元. 解 可逆元只有 1, 1, i, i
2024/7/18
定义9
设 R 是有单位元的环,且 1R 0 .如果 R 中每个非零元都可逆,则称 R 为除环.
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
2024/7/18
三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
同样,有理数集,实数集,复数集关 于数的加法与乘法构成有单位元 的交换环
2024/7/18
定理1
设 R 是一个环,如果 R 有单位元,则
单位元是唯一的.
R 的单位元常记作 1R .
2024/7/18
二、环的性质 性质1. 规定减法:
a b a (b),a, b R
，则有移项法则:
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
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2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
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例7
Z 的可逆元仅有1, -1;
2Z 由于没有单位元,所以它没有可逆元.
例 8 A Mn( K ) 可逆当且仅当 | A | 0. 例 9 试求高斯整环 Z[i] 的可逆元. 解 可逆元只有 1, 1, i, i
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定义9
设 R 是有单位元的环,且 1R 0 .如果 R 中每个非零元都可逆,则称 R 为除环.
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
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三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
同样,有理数集,实数集,复数集关 于数的加法与乘法构成有单位元 的交换环
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定理1
设 R 是一个环,如果 R 有单位元,则
单位元是唯一的.
R 的单位元常记作 1R .
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二、环的性质 性质1. 规定减法:
a b a (b),a, b R
，则有移项法则:
近世代数课件-理想与商环
作业 p40,第 1-4 题;第 5,6 题.
2021/3/4
19
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此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
2021/3/4
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§3 理想与商环
定义 3.6 我们将如上定义的环 (R / I, , ) 称为环 R 关于理想 I 的商环.
注意 我们已经约定,将环 R 的零元记作 0 .为了 避免记号上的混淆,我们将环 (R / I, , ) 的零元记作 0 . 根据环 (R / I, , ) 的零元的定义, 0 就是加群 (R / I, ) 的零元 I ,即 0 I .此外,如果环 R 有单位元1,那么 1 I 就是环 (R / I, , ) 的单位元.我们将环 (R / I, , ) 的单位元记作1.于是1 1 I .
为 R 的一个有限生成的理想;不致混淆时,可将 ({a1, a2 , , an}) 简记作 (a1, a2 , , an ) .
(3) 设 I 是 环 R 的 一 个 理 想 . 若 存 在 aI , 使 得 I (a) ,则称 I 为环 R 的主理想,并称 a 为理想 I 的一个
生成元.
2021/3/4
Ⅰ. a b I , a, b I ; Ⅱ. ra, ar I , r R , aI .□
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§3 理想与商环
命题 3.4 设 R 是一个环. (1)若 {Iα}αΑ 是环 R 的一族理想,则 αΑ Iα 也是环 R 的理想. (2)若 I 和 J 都是环 R 的理想,则
ab a'b' a(b b') (a a')b' I , 因此 ab I a'b'I .这样一来,我们可以定义 R / I 上的 乘法“ ”如下:
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§3 理想与商环
定义 3.6 我们将如上定义的环 (R / I, , ) 称为环 R 关于理想 I 的商环.
注意 我们已经约定,将环 R 的零元记作 0 .为了 避免记号上的混淆,我们将环 (R / I, , ) 的零元记作 0 . 根据环 (R / I, , ) 的零元的定义, 0 就是加群 (R / I, ) 的零元 I ,即 0 I .此外,如果环 R 有单位元1,那么 1 I 就是环 (R / I, , ) 的单位元.我们将环 (R / I, , ) 的单位元记作1.于是1 1 I .
为 R 的一个有限生成的理想;不致混淆时,可将 ({a1, a2 , , an}) 简记作 (a1, a2 , , an ) .
(3) 设 I 是 环 R 的 一 个 理 想 . 若 存 在 aI , 使 得 I (a) ,则称 I 为环 R 的主理想,并称 a 为理想 I 的一个
生成元.
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Ⅰ. a b I , a, b I ; Ⅱ. ra, ar I , r R , aI .□
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§3 理想与商环
命题 3.4 设 R 是一个环. (1)若 {Iα}αΑ 是环 R 的一族理想,则 αΑ Iα 也是环 R 的理想. (2)若 I 和 J 都是环 R 的理想,则
ab a'b' a(b b') (a a')b' I , 因此 ab I a'b'I .这样一来,我们可以定义 R / I 上的 乘法“ ”如下:
近世代数课件--3.1. 加群、环的定义
(14)
a m a n a mn ( a m ) n a mn
这里:正整数m，n
1.3 一批例子
数集中的环 M (F ) 全矩阵环: 它一些子集也可以构成环 多项式环: F [ x]
n
F [ x]
它一些子集也可以构成环 • 剩余类环: Zn {[0],[1],[2]
[n 1]}
1.1 加群及符号的转换
( m+n)a=?? n(a+b)=?? n(ma)=?? 加群的一个非空子集S作成一个子群的充分必要 条件是 : ??
1.2 环的定义及基本性质
定义： 一个集合R叫做一个环，假如 1．R是一个加群，换一句话说，R对于一个叫做加法的 代数运算来说作成一个交换群； 2．R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的； 3． 这个乘法适合结合律：
§1. 加群、环的定义
内容提要: 1.1 加群及符号的转换 1.2 环的定义及基本性质 1.3 一批例子 重点: 加群的符号转换引起的运算律的不同表达. 理解和熟记环的定义. 使用定义验证.
1.1 加群及符号的转换
在环的定义里要用到加群这个概念。我们先把 这个概念说明一下。抽象群的代数运算到现在为 止我们都用乘法的符号来表示。但我们知道，一 个代数运算用什么符号来表示是没有关系的。一 个交换群的代数运算，在某种场合之下，用加法 的符号来表示为方便。
(10)
(a)(b) ab
1.2 环的定义及基本性质
(11)
a(b1 b2 bn ) ab1 ab2 abn
(b1 b2
(12)
(a1
a1b1
bn )a b1a b2a
bm )
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设 (G, ) 是一个交换群.我们定义 G 上的减法如下: a b a (b) , a, b G .
显而易见,对于任意的 a, b, c G ,我们有 ab c cb a.
因此我们称减法是加法的逆运算.
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§1 环的概念
定义 1.1 设 R 是一个非空集合,加法“”和乘法 “ ”是 R 上的两个代数运算.若“”和“ ”满足条件:
是, n | (a a1) , n | (b b1) .由等式 ab a1b1 a(b b1) (a a1)b1
可知, n | (ab a1b1) ,从而, [ab] [a1b1] .这样一来,我们可以定义 Ζ n 上的 乘法“ ”(称为模 n 剩余类的乘法)如下:
[a][b] [ab] , a, b Z .
(1) (R, ) 是一个交换群; (2)“ ”适合结合律; (3)“ ”对“”适合分配律,即
a (b c) (a b) (a c) , (b c) a (b a) (c a) , a, b, c R , 则称 (R, , ) 是一个环;不致混淆时,简称 R 是一个环.
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§1 环的概念
当 (R, , ) 是一个环时,我们就称 R 关于“” 和“ ”构成一个环;群 (R, ) 称为环 R 的加群,其 零元又称为环 R 的零元,不致混淆时记作 0 .
当 0 是环 R 的零元时,我们当然有 n0 0 , nZ ;特别地,我们有 00 0 ,其中第一 个 0 表示整数零,后两个 0 表示环 R 的零元
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第二章 环 论
2021/3/9
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1
目录
§1 环的概念
§2 多项式环
§3 理想与商环
§4 环的同态
§5 交换环
§6 整环的因子分解
§7 唯一分解环上的多项式环
2021/3/9
2
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§1 环的概念
本章简略地介绍一下环论.
在正式表述环的定义时,我们要用到交换群的概念.
这里先就交换群作一点补充说明.
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§1 环的概念
一般地说,凡是数(无论是实数还是复数)集关于 数的加法和乘法构成的环都称为数环.
显而易见,凡是数环都以数 0 为其零元.
例 2 设 n 是正整数.令 P nn 表示某个数域 P 上的 全体 n 阶方阵构成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法 和矩阵的乘法构成环(称为 P 上的 n 阶全阵环),其零 元为零矩阵.
设 (G, ) 是一个交换群.我们定义 G 上的除法如下: a ab1, a, b G . b
显而易见,对于任意的 a, b, c G ,我们有 a c cb a . b
因此我们称除法是乘法的逆运算.
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§1 环的概念
如果将一个交换群的代数运算叫做加法,并记作“”, 那么习惯上要对术语和记号作相应调整:
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§1 环的概念
以下,如无具体说明,凡是提到“环 R ”,总是指“环 (R, , ) ”,其零元记作 0 .在对环 R 中的元素施行乘法运 算的过程中,常常略去乘号“ ”;与对待数的加法和乘法一 样,我们有“先乘后加”的约定,例如,等式 a (b c) (a b) (a c) 可以写成
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§1 环的概念
例 3 设 n 是一个正整数.我们已经知道,集合 Ζn {[0], [1], [2], , [n 1]}
关于模 n 剩余类的加法构成一个交换群.下面进一步考察集 合Ζ n . 假 设 [a], [a1], [b], [b1] Z n , 并 且 [a] [a1] , [b] [b1] . 于
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§1 环的概念
容易验证, Z[x] , Q [x], R[x] 和 C[x] 关于多项式的加法和 乘法分别构成环,依次称为整系数一元多项式环,有理系
数一元多项式环,实系数一元多项式环和复系数一元多项
式环,也可以依次称为 Z 上的一元多项式环,Q 上的一元 多项式环,R 上的一元多项式环和 C 上的一元多项式环.
a(b c) ab ac ; 对于任意的 a, b R ,将 (ab) 简写成 ab .此外,由于环 R 的乘法适合结合律,因此对于任意的 aR 和任意的正整 数 n , an 有意义(参看第一章§1).
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§1 环的概念
例 1 容易验证,整数集 Z 关于整数的加法和乘法 构成一个环(称为整数环).类似地,有理数集 Q 关于有 理数的加法和乘法构成一个环(称为有理数环);实数集 R 关于有理数的加法和乘法构成一个环(称为实数环); 复数集C 关于有理数的加法和乘法构成一个环(称为复 数环).此外,若令 R 表示全体偶数构成的集合,则 R 关 于偶数的加法和乘法构成一个环(称为偶数环).
例 5 设 (R, ) 是一个交换群.定义 R 上的乘法“ ” 如下:
ab 0 , a, b R . 则 (R, , ) 是一个环.这样的环称为零乘环.
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§1 环的概念
定义 1.2 设 (R, , ) 是一个环. (1)若“ ”适合交换律,则称 R 是交换环;否则,称 R 是 非交换环. (2)若存在 e R ,使得 ea ae a , a R ,则称 e 为环 R 的单位元,并称 R 是有单位元(的)环.
显而易见,若环 R 有单位元,则环 R 只有一个单位元. 我们约定,不致混淆时,将环 R 的单位元记作1.
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§1 环的概念
容易验证,模 n 剩余类的乘法“ ”适 合 结 合 律 , 并 且对 模 n 剩余类的加法“”适 合 分 配 律 . 所 以 (Z n , , ) 是 一 个 环(称为模 n 剩余类环).
我们约定，今后凡是提到“环Ζ n ”，总是指模 n 剩余类环.
例 4 令 Z[x], Q [x], R[x] 和 C[x] 依次表示全体整系 数一元多项式,全体有理系数一元多项式,全体实系数一 元多项式和全体复系数一元多项式分别构成的集合.
显而易见,对于任意的 a, b, c G ,我们有 ab c cb a.
因此我们称减法是加法的逆运算.
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§1 环的概念
定义 1.1 设 R 是一个非空集合,加法“”和乘法 “ ”是 R 上的两个代数运算.若“”和“ ”满足条件:
是, n | (a a1) , n | (b b1) .由等式 ab a1b1 a(b b1) (a a1)b1
可知, n | (ab a1b1) ,从而, [ab] [a1b1] .这样一来,我们可以定义 Ζ n 上的 乘法“ ”(称为模 n 剩余类的乘法)如下:
[a][b] [ab] , a, b Z .
(1) (R, ) 是一个交换群; (2)“ ”适合结合律; (3)“ ”对“”适合分配律,即
a (b c) (a b) (a c) , (b c) a (b a) (c a) , a, b, c R , 则称 (R, , ) 是一个环;不致混淆时,简称 R 是一个环.
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§1 环的概念
当 (R, , ) 是一个环时,我们就称 R 关于“” 和“ ”构成一个环;群 (R, ) 称为环 R 的加群,其 零元又称为环 R 的零元,不致混淆时记作 0 .
当 0 是环 R 的零元时,我们当然有 n0 0 , nZ ;特别地,我们有 00 0 ,其中第一 个 0 表示整数零,后两个 0 表示环 R 的零元
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第二章 环 论
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目录
§1 环的概念
§2 多项式环
§3 理想与商环
§4 环的同态
§5 交换环
§6 整环的因子分解
§7 唯一分解环上的多项式环
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§1 环的概念
本章简略地介绍一下环论.
在正式表述环的定义时,我们要用到交换群的概念.
这里先就交换群作一点补充说明.
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§1 环的概念
一般地说,凡是数(无论是实数还是复数)集关于 数的加法和乘法构成的环都称为数环.
显而易见,凡是数环都以数 0 为其零元.
例 2 设 n 是正整数.令 P nn 表示某个数域 P 上的 全体 n 阶方阵构成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法 和矩阵的乘法构成环(称为 P 上的 n 阶全阵环),其零 元为零矩阵.
设 (G, ) 是一个交换群.我们定义 G 上的除法如下: a ab1, a, b G . b
显而易见,对于任意的 a, b, c G ,我们有 a c cb a . b
因此我们称除法是乘法的逆运算.
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§1 环的概念
如果将一个交换群的代数运算叫做加法,并记作“”, 那么习惯上要对术语和记号作相应调整:
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§1 环的概念
以下,如无具体说明,凡是提到“环 R ”,总是指“环 (R, , ) ”,其零元记作 0 .在对环 R 中的元素施行乘法运 算的过程中,常常略去乘号“ ”;与对待数的加法和乘法一 样,我们有“先乘后加”的约定,例如,等式 a (b c) (a b) (a c) 可以写成
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§1 环的概念
例 3 设 n 是一个正整数.我们已经知道,集合 Ζn {[0], [1], [2], , [n 1]}
关于模 n 剩余类的加法构成一个交换群.下面进一步考察集 合Ζ n . 假 设 [a], [a1], [b], [b1] Z n , 并 且 [a] [a1] , [b] [b1] . 于
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§1 环的概念
容易验证, Z[x] , Q [x], R[x] 和 C[x] 关于多项式的加法和 乘法分别构成环,依次称为整系数一元多项式环,有理系
数一元多项式环,实系数一元多项式环和复系数一元多项
式环,也可以依次称为 Z 上的一元多项式环,Q 上的一元 多项式环,R 上的一元多项式环和 C 上的一元多项式环.
a(b c) ab ac ; 对于任意的 a, b R ,将 (ab) 简写成 ab .此外,由于环 R 的乘法适合结合律,因此对于任意的 aR 和任意的正整 数 n , an 有意义(参看第一章§1).
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§1 环的概念
例 1 容易验证,整数集 Z 关于整数的加法和乘法 构成一个环(称为整数环).类似地,有理数集 Q 关于有 理数的加法和乘法构成一个环(称为有理数环);实数集 R 关于有理数的加法和乘法构成一个环(称为实数环); 复数集C 关于有理数的加法和乘法构成一个环(称为复 数环).此外,若令 R 表示全体偶数构成的集合,则 R 关 于偶数的加法和乘法构成一个环(称为偶数环).
例 5 设 (R, ) 是一个交换群.定义 R 上的乘法“ ” 如下:
ab 0 , a, b R . 则 (R, , ) 是一个环.这样的环称为零乘环.
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§1 环的概念
定义 1.2 设 (R, , ) 是一个环. (1)若“ ”适合交换律,则称 R 是交换环;否则,称 R 是 非交换环. (2)若存在 e R ,使得 ea ae a , a R ,则称 e 为环 R 的单位元,并称 R 是有单位元(的)环.
显而易见,若环 R 有单位元,则环 R 只有一个单位元. 我们约定,不致混淆时,将环 R 的单位元记作1.
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§1 环的概念
容易验证,模 n 剩余类的乘法“ ”适 合 结 合 律 , 并 且对 模 n 剩余类的加法“”适 合 分 配 律 . 所 以 (Z n , , ) 是 一 个 环(称为模 n 剩余类环).
我们约定，今后凡是提到“环Ζ n ”，总是指模 n 剩余类环.
例 4 令 Z[x], Q [x], R[x] 和 C[x] 依次表示全体整系 数一元多项式,全体有理系数一元多项式,全体实系数一 元多项式和全体复系数一元多项式分别构成的集合.