垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 人教版

五、教学方法自主学习，合作探究六、教学准备1、教师使用多媒体教学课件。

2、直尺，圆规。

七、教学过程教学内容教师活动学生活动1、复习引入2、探索新知活动1：圆具有旋转不变性活动2：探究圆心角的概念。

圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？活动1：圆具有旋转不变性问：圆还有其它旋转性质吗?观察多媒体，圆的旋转过程，你有什么收获？活动2：探究圆心角的概念。

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．巩固练习：判别下列各图中的角是不是圆心角？观察思考作答；带着问题进入学习。

观察圆的旋转并思考作答。

（圆具有旋转不变性。

）教师引导，学生自学圆心角,学生完成巩固练习活动3：探究圆心角、弧、弦之间的关系1()2()3()4()活动3：探究圆心角、弧、弦之间的关系操作：将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置。

B'BAA'O问题1：在旋转过程中你能发现哪些等量关系？为什么？问题2：如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=600，请问上述结论还成立吗？为什么?问题3：由上面的现象你能猜想出什么结论？综上所述，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．问题4：分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？问题5：定理拓展：○1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分别相等吗？○2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所学生观察图形，结合圆的旋转不变性和相关知识进行思考，尝试得出关系定理，再进行几何证明.学生思考，明白该前提条件的不可缺性，师生分析，进一步理解定理.教师引导学生类比定理独立用类似的方法进行探究，得到推论3、应用新知4、例题探究5、应用提高对的圆心角，•所对的弧也分别相等吗？综上得到在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等．综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．应用新知1、判断下列说法是否正确：（1）相等的圆心角所对的弧相等。

第11讲垂径定理知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。

本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。

希望同学们认真学习，为后面圆的其他内容理解奠定良好基础。

知识梳理讲解用时：15分钟垂径定理及其推论（1）垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。

（2）相关推论①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧；①如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；①如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。

总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。

课堂精讲精练【例题1】下列判断中，正确的是（）。

A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等【答案】C【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误；任意两条直径互相平分，故B错误；同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误。

讲解用时：3分钟解题思路：根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

人教版初中数学垂径定理知识点总结一、垂径定理的定义垂径定理是关于直径和过该直径的直线（或圆）交于圆内两点之间的线段长度和关系的重要定理。

如果一个直径和一条过该直径的直线交于圆内两点，那么这条直径平分过这两点的线段，并且这条直径垂直于过这两点的直线。

二、垂径定理的表述1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

2.垂直于弦的直径平分弦（不是直径），并且平分弦所对的两条弧。

3.垂直于弦的直径平分过弦的两条直线，并且平分弦所对的两条弧。

三、垂径定理的应用垂径定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与圆和直径相关的问题时。

例如，可以利用垂径定理来证明圆的性质，如圆的对称性、圆的周长和面积等。

此外，垂径定理还可以用于解决与圆和直线相关的问题，如求圆的半径、确定圆的中心等。

四、垂径定理的推论1.从圆心到弦的垂线是弦的中垂线。

2.圆内一条弦的两端到圆心的距离相等。

3.圆内一条过圆心的弦最短，其长度为圆的直径。

4.圆内一条不过圆心的弦最短，其长度等于从圆心到弦中点的线段长。

五、垂径定理的证明垂径定理可以通过以下两种方法证明：1.直接证明法：通过作图和推理，直接证明垂径定理。

这种方法比较直观和简洁，但需要一定的几何知识和推理能力。

2.代数法：利用圆的性质和代数运算，证明垂径定理。

这种方法比较抽象，但具有普适性，可以用于证明其他类似的定理。

六、注意事项1.在使用垂径定理时，要注意区分直径和其他弦的区别，避免混淆。

2.在作图时，要确保所作的线段是垂直于弦的直径，否则将无法使用垂径定理。

3.在解决实际问题时，要根据具体情况选择合适的方法来应用垂径定理。

七、垂径定理的应用场景1.确定圆的形状和大小：垂径定理可以用于确定圆的形状和大小。

例如，通过测量圆的直径或半径，可以确定圆的大小；通过观察垂径定理的各种表现，可以判断圆的状态和形状。

2.计算圆的周长和面积：垂径定理可以用于计算圆的周长和面积。

例如，通过已知的直径或半径，可以计算出圆的周长和面积。

2013—2014学年九年级数学（上）周末辅导资料（10）理想文化教育培训中心 学生姓名：_______ 得分： _____一、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图,在⊙O 中，直径C D 垂直弦AB 于E 点，则有 AE ＝_____,AD＝________,C A=_________。

垂径定理小结：⑴ 垂直弦；⑵平分弦；⑶平分弧;只要有一个结论成立，其他两个都成立。

例1：（1）如图（1）,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为（ ） A 、10 B 、8 C 、6 D 、4（2）如图（2），已知⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ） A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.5（3）高速公路的隧道和桥梁最多．图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ．375 D ．377（4）（2013•广安）如图4，已知半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C ，若AB=8cm ，CD=3cm ，则圆O 的半径为（ ）（5）如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为A 为弦BC 所对优弧上任意一点（B ，C 两点除外）。

⑴求∠BAC 的度数； ⑵求△ABC 面积的最大值.二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系：定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．图（2）图3推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

例2：（1）（2013•常州）如图1，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC ，BD 为⊙O 的直径，AD=6，则DC= ．（2）（2013•内江）如图2，半圆O 的直径AB=10cm ，弦AC=6cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为（ ） ． cm cm cm(3) （2013•宜昌）如图，DC 是⊙O 直径，弦AB ⊥CD 于F ，连接BC ，DB ，则下列结论错误的是（ ） ．图1 图2 图3 图4 （4）（2013•苏州）如图4，AB 是半圆的直径，点D 是AC 的中点，∠ABC=50°，则∠DAB 等于（ ）三、圆周角定理圆周角定理: 一条弧所对的周角等于它所对圆心角的一半。

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等弧、弦、弦心距之间的关系：圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

考点分析：在上述两个定理中，都有四组量，两个圆心角，两条弧、两条弦或两条弦的弦心距，只要其中的任一组量相等，那么其余三组量也分别相等，简记为“知一推三”。

基础练习1.⊙O的直径AB垂直于弦CD，AB、C D相交于，∠COD=100°，则∠COE、∠DOE的度数分别为：。

2.AB是⊙O的直径，弦C D⊥AB，BC=1cm,AD=4cm,3.则BD=cm,AC=cm，⊙O的周长为cm4.下列说法中正确的有：（）个（1）垂直平分弦的直线经过圆心；（2）平分弦的直径一定垂直与弦；（3）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧；（4）垂直于弦的直径必平分弦；（5）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。

（6）A、1 B、2 C、3 D、45.下列命题中，正确的命题是（）6.A、平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦B、平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧7.C、在⊙O中，AB、CD是弦，若，则AB∥CD8.D、圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径9.⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD=120°，（1）O E=3cm,则OD=cm10.在半径为12 cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为（）cm（1）A、33B、27 C、123D、6311.已知AB是⊙O的弦，O C⊥A B，C为垂足，若OA=2，O C=1（1）则AB的长为（）（2）A、5B、25C、3、2312.在⊙O中，AB、A C是互相垂直的两条弦，O D⊥A B于D，O E⊥AC于E，且AB=8 cm，A C=6 cm，求⊙O的半径OA长已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。

初中圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

4、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。

如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。

8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长。

9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

13、定理：把圆分成n（n≥3），依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

18、(d是圆心距，R、r是半径)①两圆外离d>R+r；②两圆外切d=R+r；③两圆相交R-r<dr；④两圆内切d=R-r （R>r）；⑤两圆内含dr。

24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教学目标：1、理解圆心角的概念．2、掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系．教学重难点：圆的性质的综合应用．知识点一：圆的旋转不变性圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．例题：如图所示的图形绕圆心旋转多少度后能与自身重合？【考点】B4：旋转．【专题】463：图形与变换．【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．【解答】解：把图形中的每个阴影部分与相邻的一个部分当作一个部分，因而整个圆周被分成9个完全相同的部分，每个部分对应的圆心角是=45度，因而最少旋转的度数是45度．答：如图所示的图形绕圆心旋转45度后能与自身重合．【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．变式．如图，△ABC是△O的内接三角形，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，若，则△B的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】先根据得出==，，最后根据△A=△B=△C即可得出△B的度数．【解答】解：△，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，△==，△，△△A=△B=△C=60°．故选D．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系和旋转的性质，解题的关键是根据等弧所对的圆周角相等进行解答．知识点二：圆心角定义：角的顶点在圆心的角例题．如图，MN为△O的弦，△M=50°，则△MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°【分析】先运用了等腰三角形的性质求出△N，再根据三角形的内角和是180°即可得．【解答】解：△OM=ON，△△N=△M=50°．再根据三角形的内角和是180°，得：△MON=180°﹣50°×2=80°．故选D．【点评】运用了等腰三角形的性质：等边对等角；考查了三角形的内角和定理．变式1．如图，已知：AB是△O的直径，C、D是上的三等分点，△AOE=60°，则△COE是（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】先求出△BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．【解答】解：△△AOE=60°，△△BOE=180°﹣△AOE=120°，△的度数是120°，△C、D是上的三等分点，△弧CD与弧ED的度数都是40度，△△COE=80°．故选C．【点评】本题利用了邻补角的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．变式2．已知弦AB把圆周分成2：3的两部分，则弧所对圆心角的度数是（）A．72°B．72°或144°C．144°D．144°或216°【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的．【解答】解：△弦AB把圆周分成2：3的两部分，△弦AB所对的圆心角的度数=×360°=144°．故选D【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，△圆心角相等，△所对的弧相等，△所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．例题1．如图，在△O中=，△AOB=40°，则△COD的度数（）A．20°B．40°C．50°D．60°【分析】首先得到=，进而得到△AOB=△COD，即可选择正确选项．【解答】解：△=，△=，△△AOB=△COD，△△AOB=40°，△△COD=40°，故选B．【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．例题2．如图，在△O中，已知=，则AC与BD的关系是（）A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定【分析】由=，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．【解答】解：△=，△，△，△AC=BD．故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，正确的理解圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．例题3．如图，AB是半圆的直径，△BAC=20°，D是的中点，则△DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得△C=90°，继而求得△ABC 的度数，然后由D是的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．【解答】解：连接BC，△AB是半圆的直径，△△C=90°，△△BAC=20°，△△B=90°﹣△BAC=70°，△D是的中点，△△DAC=△ABC=35°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．变式1．如图所示，在△O中，，△A=30°，则△B=（）A．150°B．75°C．60°D．15°【分析】先根据等弧所对的弦相等求得AB=AC，从而判定△ABC是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角相等得出△B=△C；最后由三角形的内角和定理求角B的度数即可．【解答】解：△在△O中，，△△ABC是等腰三角形，△△B=△C；又△A=30°，△△B==75°（三角形内角和定理）．故选B．【点评】本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．解题的关键是根据等弧对等弦推知△ABC是等腰三角形．变式2．如图，==，已知AB是△O的直径，△BOC=40°，那么△AOE=（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】由==，△BOC=40°，根据等弧所对的圆周角相等，可求得△EOD与△COD的度数，继而求得答案．【解答】解：△==，△BOC=40°，△△EOD=△COD=△BOC=40°，△AB是△O的直径，△△AOE=180°﹣△EOD﹣△COD﹣△BOC=60°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式3．如图，已知△O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是△O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（）A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．16 cm【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系．【解答】解：如图，连接OD、OC．△（已知），△△AOD=△DOC=△COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；△AB是直径，△△AOD+△DOC+△COB=180°，△△AOD=△DOC=△COB=60°；△OA=OD（△O的半径），△△AOD是等边三角形，△AD=OD=OA；同理，得OC=OD=CD，OC=OB=BC，△AD=CD=BC=OA，△四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB=5OA=5×2cm=10cm；故选B．【点评】本题考查了心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等．拓展点一：利用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算或证明例题1．如图所示，△ABC的三个顶点在△O上，D是上的点，E是上的点，若△BAC=50°．则△D+△E=（）A．220°B．230°C．240°D．250°°【分析】连接OA、OB、OC，由圆心角、弧、弦的关系定理得出△BOC=100°，得出△AOB+△AOC=260°，由圆周角定理得出△D=（△BOC+△AOC），△E=（△BOC+△AOB），即可得出结果．【解答】解：连接OA、OB、OC，如图所示：△△BAC=50°，△△BOC=2△BAC=100°，△△AOB+△AOC=360°﹣100°=260°，△△D=（△BOC+△AOC），△E=（△BOC+△AOB），△△D+△E=（△BOC+△AOC+△BOC+△AOB）=（260°+100°+100°）=230°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，由圆周角定理得出角之间的关系是解决问题的关键．例题2．如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E、F在半圆上，AC=CD=DE=EF=FB，则△COF=（）A．90°B．100°C．108°D．120°【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理得出=，得出△COF=×180°=108°即可．【解答】解：△AC=CD=DE=EF=FB，△=，△△COF=×180°=108°；故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，由弦相等得出弧相等是解决问题的关键．例题3．如图，AB是△O的直径，若△COA=△DOB=60°，等于线段AO长的线段有（）A．3条B．4条C．5条D．6条【分析】易知：△AOC=△COD=△BOD=60°，则△AOC、△COD、△BOD均为等边三角形，可据此判断出与OA相等的线段有几条．【解答】解：△△COA=△DOB=60°，△△AOC=△COD=△BOD=60°；又△OA=OC=OD=OB，△△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形；△OA=AC=OC=CD=OD=BD=OB；因此与OA相等的线段由6条，故选D．【点评】能够发现△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形是解答此题的关键．变式1．如图，AB是△O的直径，==，△COD=34°，则△AEO的度数是51°．【分析】由==，可求得△BOC=△EOD=△COD=34°，继而可求得△AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求△AEO的度数．【解答】解：如图，△==，△COD=34°，△△BOC=△EOD=△COD=34°，△△AOE=180°﹣△EOD﹣△COD﹣△BOC=78°．又△OA=OE，△△AEO=△OAE，△△AEO=×（180°﹣78°）=51°．故答案为：51°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．变式2．如图，AB是△O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若△O的半径为2，则PC+PD的最小值是2．【分析】作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则DP+CP最小，根据解直角三角形求出CE，根据轴对称求出DP′+CP′=CE即可．【解答】解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则根据垂径定理得：E在△O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP最小，△C是半圆上的一个三等分点，△△AOC=×180°=60°，△D是的中点，△△AOE=△AOC=30°，△△COE=90°，△CE=OC=2，即DP+CP=2，故答案为2．【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．变式3．如图，AB是△O的直径，点C在△O上，△AOC=40°，D是BC弧的中点，则△ACD=125°．【分析】连接OD，由△AOC=40°，可得出△BOC，再由D是BC弧的中点，可得出△COD，从而得出△ACD 即可．【解答】解：连接OD，△AB是△O的直径，△AOC=40°，△△BOC=140°，△ACO=70°，△D是BC弧的中点，△△COD=70°，△△OCD=55°，△△ACD=△ACO+△OCD=70°+55°=125°，故答案为125°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．变式4．如图，已知AB是△O的直径，PA=PB，△P=60°，则弧CD所对的圆心角等于60度．【分析】先利用PA=PB，△P=60°得出△PAB是等边三角形再求出△COA，△DOB也是等边三角形得出△COA=△DOB=60°可求△COD．【解答】解：连接OC，OD，△PA=PB，△P=60°，△△PAB是等边三角形，有△A=△B=60°，△OA=OC=OD=OB，△△COA，△DOB也是等边三角形，△△COA=△DOB=60°，△△COD=180°﹣△COA﹣△DOB=60度．【点评】本题利用了：有一角等于60度的等腰三角形是等边三角形的判定方法和等边三角形的性质求解．例题4．如图，在△O中，=，CD△OA于D，CE△OB于E，求证：AD=BE．【分析】连接OC，先根据=得出△AOC=△BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD△△COE，由此可得出结论．【解答】证明：连接OC，△=，△△AOC=△BOC．△CD△OA于D，CE△OB于E，△△CDO=△CEO=90°在△COD与△COE中，△，△△COD△△COE（AAS），△OD=OE，△AO=BO，△AD=BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．例题5．已知如图所示，OA、OB、OC是△O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB 的中点．求证：MC=NC．【分析】根据弧与圆心角的关系，可得△AOC=△BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM=ON，利用SAS判定△MOC△△NOC，继而证得结论．【解答】证明：△弧AC和弧BC相等，△△AOC=△BOC，又△OA=OB M、N分别是OA、OB的中点△OM=ON，在△MOC和△NOC中，，△△MOC△△NOC（SAS），△MC=NC．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．变式1．如图，AB，CD是△O的两条直径，过点A作AE△CD交△O于点E，连接BD，DE，求证：BD=DE．【分析】连接OE，可得△A=△OEA，再由AE△CD得△BOD=△A，△DOE=△OEA，从而得出△BOD=△DOE，则BD=DE．【解答】证明：连接OE，如图，△OA=OE，△△A=△OEA，△AE△CD，△△BOD=△A，△DOE=△OEA，△△BOD=△DOE，△BD=DE．【点评】此题主要考查了平行线的性质，在同圆中，等弦所对的圆心角相等．变式2．如图，AB是△O的直径，C，E是△O上的两点，CD△AB于D，交BE于F，=．求证：BF=CF．【分析】延长CD交△O于点G，连接BC，根据垂径定理证明即可．【解答】证明：延长CD交△O于点G，连接BC，△AB是△O的直径，CD△AB于D△=，△=△=△△BCF=△CBF，△BF=CF．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理等知识点的应用，解此题的关键是作辅助线后根据定理求出△CBE=△BCE，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好．拓展点二：垂径定理与圆心角、弧、弦之间关系的综合应用例题1．如图，在△O中，若点C是的中点，△A=50°，则△BOC=（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出△AOB，根据垂径定理求出AD=BD，根据等腰三角形性质得出△BOC=△AOB，代入求出即可．【解答】解：△△A=50°，OA=OB，△△OBA=△OAB=50°，△△AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，△点C是的中点，△△BOC=△AOB=40°，故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．例题2．如图，AB、AC是△O的弦，直径AD平分△BAC，给出下列结论：△AB=AC；△=；△AD△BC；△AB△AC．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由AB、AC是△O的弦，直径AD平分△BAC，可得=，即可得AD△BC，继而求得：△AB=AC；△=．【解答】解：△AB、AC是△O的弦，直径AD平分△BAC，△=，△AD△BC，故△正确；△=，故△正确；△AB=AC，故△正确．无法判定AB△AC，故错误．故选C．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及弧与弦的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式1．如图，在△O中，直径CD△弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AD=AB B．△D+△BOC=90°C．△BOC=2△D D．△D=△B【分析】根据垂径定理得出弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，根据以上结论判断即可．【解答】解：A、根据垂径定理不能推出AD=AB，故A选项错误；B、△直径CD△弦AB，△，△对的圆周角是△ADC，对的圆心角是△BOC，△△BOC=2△D，不能推出△D+△BOC=90°，故B选项错误；C、△，△△BOC=2△D，△C选项正确；D、根据已知不能推出△DAB=△BOC，不能推出△D=△B，故D选项错误；故选：B．【点评】本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．变式2．如图，AB是△O的直径，点C、D是△O上的点，若△CAB=25°，则△ADC的度数为（）A．65°B．55°C．60°D．75°【分析】由AB为△O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得△ACB=90°，又由△CAB=25°，得出△B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得△ADC的度数．【解答】解：△AB为△O的直径，△△ACB=90°，△△CAB=25°，△△ABC=90°﹣△CAB=65°，△△ADC=△ABC=65°．故选A．【点评】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式3．如图是小明完成的．作法是：取△O的直径AB，在△O上任取一点C引弦CD△AB．当C点在半圆上移动时（C点不与A、B重合），△OCD的平分线与△O的交点必（）A．平分弧AB B．三等分弧ABC．到点D和直径AB的距离相等D．到点B和点C的距离相等【分析】先求出△DCE=△ECO，再利用内错角相等，两直线平行的OE△CD，再利用角的平分线的性质可解．【解答】解：设△OCD的平分线与△O的交点为E，连接OE，△OE=OC，△△E=△ECO，△△DCE=△ECO，△OE△CD，△CD△AB，△OE△AB，△有弧AE=弧BE，所以点E是弧AB的中点．故选A．【点评】本题利用了：1、等边对等角，2、内错角相等，两直线平行，3、角的平分线的性质求解．易错点：误认为同圆中弧及弧所对的弦有相同的倍数关系例题．如图，△O中，如果△AOB=2△COD，那么（）A．AB=DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC【分析】过点O作OE△AB交△O于点E，连接AE、BE，可得△AOE=△BOE=△AOB，根据△COD=△AOB，知△AOE=△BOE=△COD，即CD=AE=BE，在△ABE中，由AE+BE＞AB可得2CD＞AB．【解答】解：如图，过点O作OE△AB交△O于点E，连接AE、BE，△△AOE=△BOE=△AOB，又△△COD=△AOB，△△AOE=△BOE=△COD，△CD=AE=BE，△在△ABE中，AE+BE＞AB，△2CD＞AB，故选：C．【点评】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据△AOB=2△COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键．变式1．在同圆中，若AB=2CD，则与的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．不能确定【分析】先根据题意画出图形，找出两相同的弦CD、DE，根据三角形的三边关系得到CE与CD+DE的关系，再比较出AB与CE的长，利用圆心角、弧、弦的关系进行解答即可．【解答】解：如图所示，CD=DE，AB=2CD，在△CDE中，△CD=DE，△CE＜CD+DE，即CE＜2CD=AB，△CE＜AB，△＜．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形的三边关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．变式2．如图，已知点A，B，C均在△O上，并且四边形OABC是菱形，那么△AOC与2△OAB之间的关系是（）A．△AOC＞2△OAB B．△AOC=2△OAB C．△AOC＜2△OAB D．不能确定【分析】连接OB易证△OAB和△OBC是等边三角形，据此即可判断．【解答】解：连接OB．△四边形OABC是菱形，△OA=AB，又△OA=OB，△△OAB是等边三角形．同理△OBC是等边三角形．△△A=△AOB=△BOC=60°，△△AOC=2△OAB．【点评】本题考查了菱形性质以及等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键．。

九年级数学圆心角、弧、弦、弦心距的关系人教四年制【本讲教育信息】一. 教学内容：圆心角、弧、弦、弦心距的关系二. 重点、难点：1. 等弧对等角、对等弦、对等弦心距。

2. 在同圆或等圆中，等角、等弦、等弦心距对等弧。

∴ 点A 、B 到DC 距离相等 ∴ AB ∥CD[例3] ABC ∆中，A ∠为直角，⊙O 与三边交于P 、Q 、R 、S 、K 、L ，若PQ=RS=KL ，求BOC ∠大小。

由勾股定理，2222)47(1)47(--=-x x 整理得02742=--x x 21=x ，412-=x （舍） ∴42==x AB[例6] 如图，C 、D 在以AB 为直径的半圆上，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，DH ⊥OC 于H ，若AE=2cm ，EO=3cm ，求HF 长。

解：作出⊙延长DH ∴ HF=NK 21∵ CM ∥DK ∴⋂⋂⋂==CN MK CD∴⋂⋂=NK CM ∴ CM=NK ∴HF CM CE ==21又 ∵ OC=OA=5cm OE=3cm ∴ CE=4cm ∴ HF=4cm【模拟试题】（答题时间：45分钟）4. 如图3，在半径为2cm 的⊙O 内有长为cm 32的弦AB ，则此弦所对的圆心角AOB ∠为（ ）A. ︒60B. ︒90C. ︒120D. ︒1507. 过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4cm ，最短的弦长为2cm ，则OM 的长为（ ） A. cm 3 B. cm 2 C. cm 1 D. cm 38. 已知⊙O 的弦AB 长为8cm ，⊙O的半径为5cm ，则弦心距为（ ） A. 3cm B. 6cm C. 39cm D. 392cm9. 如图6，在两半径不同的同心圆中，︒=''∠=∠60B O A AOB ，则（ ） ︒=60AOB ；正确的是（ ）A. ①②③④⑤B. ①②④⑤C. ①②D. ②④⑤二. 填空题：11. 在圆中︒80的弧所对的圆心角的度数是。

垂径定理一、错题回顾1、已知抛物线过A（-4，m）和B（8，m），求对称轴的直线方程。

2、已知抛物线与x轴的一个交点为（-3，0），对称轴为直线x=1，求抛物线与x轴的另一个交点坐标。

3、某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少买10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x 元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。

（1）求与的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围。

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是多少元。

4、要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请队参加。

课题：垂径定理圆中相关概念的结构示意图 圆()()⎩⎨⎧⇒⇒ 等圆大小半径同心圆位置圆心相关概念⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒圆周角圆心角等弧半圆、优弧、劣弧弧直径弦例1、如图，圆中弦的条数为（ ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条 例2、判断题（1）直径是弦 （ ） （2）弦是直径 （ ） （3）半圆是弧 （ ） （4）弧是半圆 （ ） （5）长度相等的两段弧是等弧（ ） （6）等弧的长度相等 （ ）知识点一：垂径定理圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。

垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。

）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。

）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543 符号语言：⎩⎨⎧⊥ AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BDAD BC AC BEAE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。

［知识要点归纳］1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度， 都能够与原来的图形重合。

2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦 心距相等。

4.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组 量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。

(1) 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等， 但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。

如图，同心圆，虽然 ZAOB ZCOD ，但 AB=CD ，而且 AB = CD ，弦心距也不相切。

(2) 要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对” 一词的含义, 从而正确运用上述关系。

下面举四个错例：c c若O O 中，AC = DB ，则 CE = FD , CEA =/DFBCE FD 不是弦，/ CEA / BFD 不是圆心角，就不可以用圆心角定理推论证明。

其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。

(4)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对 的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。

5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做 1 °的弧。

一般地，n °的圆心角对着 n °的弧，n °的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的 度数和它所对的弧的度数相等。

圆心弧弦 弦心距之间的关系这两个结论都是错误，首先 (3)同一条弦对应两条弧, 注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。

而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“ .AOB 二AB ”之类的错误。

《弧、弦、圆心角》知识全解
课标要求
理解弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；理解圆心角、弧、弦之间关系定理.
知识结构
本小节从圆的旋转不变性出发，推出了弧、弦、圆心角之间的相等关系.通过本小节的学习要掌握圆的旋转不变性，掌握圆心角的概念及弧、弦、圆心角之间的相等关系，产能运用这些关系解决有关圆的证明、计算问题.弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆中等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据，这个关系是本节的重要内容.
内容解析
本节先探索一个圆心角旋转后，有哪些等量关系.要首先明确圆是中心对称图形，即圆绕其圆心旋转180°后与原来的图形重合，进而指出圆绕其中心旋转任意角度都能与原来的图形重合，这样就把圆与一般的中心对称图形区别开来.学习时首先明确圆心角、圆心角所对的弧、圆心角所对的弦的概念.对于弦相等，可用全等三角形的性质，但不能证明弧相等，可用定义，证明两弧重合.
重点难点
重点是弧、弦、圆心角之间的相等关系以及运用定理进行证明.
教法导引
抓住圆旋转任意角度都与原图形重合，制作一个教具，用实物的旋转来证明定理.
学法建议
结合图形，理解定理，用心体会圆的旋转过程，体会知识的发生过程.。