高一数学向量的加法导学案

第 组 姓名向量的加法及其几何意义导学案高一数学 主备人：吴伟强 审核：高一数学组 第九大周1、 理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和，问题1、利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为 ，从景点A 到景点B 的位移为，那么经过这两次位移 后游艇的合位移是（如图）这里，向量，，三者之间有什么关系？ 1、向量加法的定义_____________ ______ 2、向量加法的三角形法则 具体步骤：（1）把两个向量平移后，使两个向量的一个起点与另一个起点相连。

（2）将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量为两个向量的和。

简记为“首尾相连，首是首，尾是尾”3、 向量加法的平行四边形法_____________________________________ 4、 _4、对于零向量和任一向量a有a a a =+=+00，对于相反向量有()()0=+-=-+a a a a5、向量加法的运算律交换律____________________________ 结合律______________________________ 6、如果平面内有n 个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n 个向量的和是什么？二、课堂展示例1、分别用平行四边形法则和三角形法则作出下列向量的和：例2、如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心， （1）+ =______ _OBAabbba a(1)(2)(3)CO a abb（2）+ =______ _ （3）+ =______ _例3、如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。

三、合作探究1、化简 =++++FA BC CD DF AB __________1、已知正方形的边长为1，,,,c BC b AC a AB===则=++c b a ______ _2、在平行四边形ABCD 中，++等于3、当b a ,________时，b a b a +=+；当b a ,________时，b a +平分b a ,之间的夹角。

向量加法运算及其几何意义导学案
年级：高一科目：数学试讲：杨丽军
课题：2.2.1向量加法运算及其几何意义课型：新授课课时: 一课时
【三维目标】
●知识与技能：1、理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作
出两个向量的和；
2、掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算；
3、初步学会用向量方法解决几何问题及实际问题。

●过程与方法：通过观察物理学中的位移合成和力的合成实例，类比数的运算及运算规律，
归纳向量的加法运算及其运算律，体验数学知识发生、发展的过程，培
养数学类比、迁移、分类、归纳等能力。

●情感态度与价值观：从位移的合成、力的合成实例中得到向量加法运算法则,之后用来解
决实际问题（如例2）,让学生体验数学源于生活,又用于生活的道理。

经
历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣。

【学习重点】向量加法的定义与法则的概念建构；以及向量加法的运算律。

【学习难点】数的加法对向量加法的负迁移，造成向量加法的意义的理解困难。

对于零向量与任一向量我们规定： + + =
【归纳小结】：
通过本节课的学习你有哪些收获？
从知识点和数学思想方法俩个方面总结。

【作业】：（1）P84：第2题要求用两种方法做。

（2）选做题：能否在平面内构造三个非零向量,,a b c 使0a b c ++=
【教学后记】:。

隆回二中高一数学备课组 必修4导学案主编：陈楚基 审定：廖信山 使用时间：2013年4月班 级 组 号 姓 名 小组评价 教师评价§2.2.1向量的加法运算及其几何意义【学习目标】1. 通过实际例子，掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则及几何意义。

2. 灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求和运算。

【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：周三大清洁时，两个同学抬着回收箱去卖废品，请同学们做出回收箱的受力图，并思考拉力和重力满足什么条件便可将回收箱抬起.（二）自主探究：（预习教材P80—P84） 探究一：向量加法——三角形法则和平行四边形法则问题1：在复习中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢？1、向量加法的三角形法则 ：已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作==,AB a BC b ，则向量__________叫做 a 与b 的和，记作_____________， 即+a b =_______=__________。

这个法则就叫做向量求和的三角形法则。

2、向量加法的平行四边形法则：以同起点O 两个向量 a ， b （==,OA a OB B ）为邻边作四边形OACB ，则以O 为起点对角线___________，就是 a 与 b 的和。

这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。

问题2：想想两个法则有没有共同的地方？3、对于零向量与任意向量 a ，我们规定 a +o =___________=_______. 探究二：向量加法的交换律和结合律问题3：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？4、对于任意向量 a ，b ，向量加法的交换律是：_____________；结合律是：_____________。

二、合作探究1、已知向量a 、b ，求作向量a b + .小结1：在三角形法则中 “首尾相接”，是第二个向量的 与第一个向量的 重合.小结2：当a ，b 不共线时， ； 当a ，b 同向时， ；当a ，b 反向时， （或 ）.2、一架飞机向北飞行400km ，然后改变方向向东飞行300km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.三、目标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 在平行四边形ABCD 中，++BC CD DA 等于（ ）A ．B D B ． AC C ． A BD ． BA2. 下列等式不正确的是（ ）. A.0a a += B.a b b a +=+ C.()()a b c a b c ++≠++ D.A C D C A B B D =++3. 在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( )A ．AB→＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA → C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD → D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →4. A B B C C D ++= ； ++++ ()()AB MB BO BC OM = .B 组：1、在矩形ABCD ，== ||4,||2AB BC ，则向量++AB AD AC 的长度等于（ ）A ．B ．C ．12D ．62、已知|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是3、若E ，F ，M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA的中点，求证：EF →＝NM →四、课后作业五、课后反思。

2.2.1 向量加法运算及其几何意义问题导学一、向量加法运算活动与探究1(1)化简：①BC＋AB；②DB＋CD＋BC；③AB＋DF＋CD＋BC＋FA．(2)已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：①OA＋OE；②AO＋AB；③AE＋AB．迁移与应用化简：(1)CD＋BC＋AB；(2)四边形ABCD是边长为1的正方形，AB＝a，BC＝b，AC＝c，求作向量a＋b＋c，并求|a＋b＋c|．解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0．二、利用向量知识证明几何问题活动与探究2用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．迁移与应用在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，分别取点F，E，使BE=DF(如图)，用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形．1．用向量法证明几何问题的一般步骤：(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量．(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．(3)还原成几何问题．2．注意以下两个问题：(1)法则的灵活应用．(2)要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且线段的长度相等．三、向量加法的实际应用活动与探究3在四川汶川“5·12”大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．迁移与应用在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2 3 km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．向量应用题要首先画出图形．解决的步骤是：(1)将应用问题中的量抽象成向量；(2)化归为向量问题，进行向量运算；(3)将向量问题还原为实际问题．当堂检测1．在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，则( )A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四边形2．AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝( )A．0 B．0C．2AD D．－2AD3．下列等式不成立的是( )A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋aC．AB＋BA＝2BA D．AB＋BC＝AC4．化简(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM＝__________．5．若a＝“向北走8 km”，b＝“向东走8 km”，则|a＋b|＝__________；a＋b的方向是__________．答案：课前预习导学【预习导引】1．两个向量和2．和a＋b a＋b AC三角形法则3．平行四边形法则4．b＋a(a＋b)＋c a＋(b＋c)预习交流1提示：a＋0＝a．预习交流2提示：不一定，当两向量共线时不能用平行四边形法则，只能用三角形法则．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．解：(1)①BC＋AB＝AB＋BC＝AC；②DB＋CD＋BC＝BC＋CD＋DB＝BD＋DB＝0；③AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝(AB＋BC)＋(CD＋DF)＋FA＝AC＋CF＋FA＝AF＋FA＝0．(2)①由题图知，OAFE为平行四边形，∴OA＋OE＝OF；②由题图知，OABC为平行四边形，∴AO＋AB＝AC；③由题图知，AEDB为平行四边形，∴AE＋AB＝AD．迁移与应用解：(1)CD＋BC＋AB＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD＝AD．(2)如下图，延长AC到E，使AC=CE，则CE=AC，∴a+b+c=AB+BC+CE=AE，即AE为所求作的向量．∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴|AC|AE|=2|AC|=故|a+b+c|=活动与探究2思路分析：要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等．根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可．此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述．证明：根据向量加法的三角形法则有AB=AO+OB，DC=DO+OC．又AO=OC，DO=OB，∴AO+OB=DO+OC．∴AB=DC．∴AB∥DC且AB=D C，即AB与DC平行且相等．∴四边形ABCD是平行四边形．迁移与应用证明：AE=AB+BE，FC=FD+DC，又AB=DC，BE=FD，∴AE=FC，即AE，FC平行且相等．故四边形AECF是平行四边形．活动与探究3思路分析：利用向量加法的三角形法则，知AC＝AB＋BC，|AC|是线段AC的长度．解：如图所示，设AB，BC分别是直升飞机的两次位移，则AC表示两次位移的合位移，即AC＝AB＋BC．在Rt△ABD中，|DB|＝20 km，|AD|20 3 km．在Rt△ACD中，|AC|40 3 km，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 3 km处．迁移与应用解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2．依题意作出平行四边形，如图．在Rt△ABC中，|BC|＝|v1|＝23，|AB |＝|v 2|＝2，∴|AC |＝|v |＝22＋(23)2＝4，tan θ＝||||BC AB ＝232＝3．∴θ＝60°．∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h ，方向为东偏北60°． 【当堂检测】1．D 解析：由AC ＝AB ＋AD 知由A ，B ，C ，D 构成的四边形一定是平行四边形． 2．B 解析：由向量加法的运算法则可知AB ＋BC ＋CD ＋DE ＋EF ＋FA ＝0． 3．C 解析：对于C ，∵AB 与BA 是相反向量，∴AB ＋BA ＝0．4．AC 解析：原式＝(AB ＋BO )＋(OM ＋MB )＋BC ＝AO ＋OB ＋BC ＝AB ＋BC ＝AC ．5．8 2 km 东北方向 解析：由向量加法的平行四边形法则，知|a ＋b |＝82，方向为东北方向．。

6.2.1 向量的加法运算学习目标1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点)2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点)3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)知识梳理1、思考：某人从A 地飞到B 地，再从B 地飞到c 地，他的位移如何表示？2、向量加法的定义：3、和向量的作法：（要求写出作法）（一）三角形法则：（二）平行四边形法则：思考1：向量加法的三角形法则与平行四边形法则一致吗？思考2：你能用自己的语言概括一下向量加法的三角形法则与平行四边形法则吗？在使用法则进行运算时，需要注意什么？思考3：向量的加法运算结果是什么？思考4：零向量的与任一向量相加结果是什么？探究思考1（1）如果向量b 与a 共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能做 出向量b a 吗？（一）方向相同时：（二）方向相反时：（2）思考： 之间的大小关系如何？ 探究思考2数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢。

以下式子是否成立？如何证明？活动： 以小组为单位，通过画图进行验证，然后由小组派代表进行发言。

23|||,||,|b a b a +例题巩固例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。

2、求下列向量的和3、（多选题）下列命题中正确的命题是( )A.如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么(a ＋b )∥a ；B.在平行四边形ABCD 中，必有BC →＝AD →；C.若BC →＝AD →，则A ，B ，C ，D 为平行四边形的四个顶点；D.若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |≤|a |＋|b |.4、如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：（1）CB EA DG ++(2)EB DA CG EG +++ 课堂小结：1、向量的加法法则2、向量加法的运算律3、 之间的大小关系作业布置：1、教材第十页练习3,4,52、对应课时作业。

2.1.2向量的加法教学目标：1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学思路：一、设置情景：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、 情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+（4）船速为，水速为，则两速度和：=+二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.A B C A B C A B C２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=， 规定： a + →0= →0 + a３．例1、已知向量、，求作向量+练习：已知向量a 、b ，求作向量a +b（1）a（2）（3）abA BC a +b a +baa bb a ｂ ｂａa ab探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么不同？（2）当向量与不共线时，|+|<||+||；什么时候|+|=||+||，什么时候|+|=||－||，当向量a与b不共线时，a，b，a+b的方向不同，且|a+b|<|a|+|b|；当向量与共线时，①当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，②当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|a+b|=|b|-|a|.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加４．加法的交换律和平行四边形法则已知向量、，求作向量+，+问题：上题中+的结果与+是否相同？从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：+=+５．你能证明：向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 吗？6．由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例2、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。

《6.2.1 向量的加法运算》教案【教材分析】本节通过数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算规律掌握向量加法运算的交换律和结合律.【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.数学学科素养1.数学抽象：向量加法概念；2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题；3.直观想象：向量加法运算；4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【教学重点和难点】重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；难点：理解向量加法的定义.【教学过程】一、情景导入数有加减乘除运算，那么向量有没有加减乘除运算，如果有，该怎么运算呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本7-10页，思考并完成以下问题1.向量加法是如何定义的？2.运用什么法则进行向量加法运算？3.向量加法满足哪些运算律？4.和向量和已知向量有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则和平行四边形法则 (1)三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即a ＋ｂ， 规定： a + 0= 0 + a(2)平行四边形法则如图所示：AC →＝AB →＋BC →(三角形法则) ，又因为BC →＝AD →，所以AC →＝AB →＋AD →(平行四边形法则)，注意：在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．3.向量a +b 与非零向量a ，b 的模及方向的关系(1)当a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不相同，且|a ＋b |＜|a |＋|b |. (2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |≥|b |，则a ＋b 与a 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |. 若|a |＜|b |，则a ＋b 与b 的方向相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |.A AB BC AC AC BC AB =+=ABCa +b+baa bbaｂｂ ＋aa4．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 四、典例分析、举一反三题型一 向量的三角形法则和平行四边形法则例1 如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a 与b 的和．【答案】见解析【解析】如下图中(1)、(2)所示，首先作OA →＝a ，然后作AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ． 解题技巧（应用三角形和平行四边形法则的步骤） (1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合． ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点． ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． 跟踪训练一1、如图，已知a ，b ，求作a ＋b ；【答案】见解析． 【解析】如图所示．．题型二 向量的加法运算例2 如图，在△ABC 中，O 为重心，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，化简下列三式：【答案】 (1) BA →. (2) OB →. (3) AC →..(1)BC →＋CE →＋EA →； (2)OE →＋AB →＋EA →； (3)AB →＋FE →＋DC →.【解析】 (1)BC →＋CE →＋EA →＝BE →＋EA →＝BA →. (2)OE →＋AB →＋EA →＝(OE →＋EA →)＋AB →＝OA →＋AB →＝OB →. (3)AB →＋FE →＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →. 解题技巧： (向量加法运算注意事项)(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.跟踪训练二 1、化简或计算： (1)CD →＋BC →＋AB →；(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.【答案】(1)AD →. (2) 0.【解析】(1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋FA →＝AC →＋CF →＋FA →＝AF →＋FA →＝0.题型三 利用向量加法证明几何问题例3已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD 是平行四边形． 【答案】见解析.【解析】证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →， 又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →， ∴AB ＝DC 且AB ∥DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．解题技巧（用向量加法证明集合问题的基本思路）用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．跟踪训练三1．如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的反向延长线及延长线上取点E ，F ，使BE ＝DF ，求证：四边形AECF 是平行四边形．【答案】见解析．【解析】证明 ∵AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →， 又AB →＝DC →，FD →＝BE →， ∴AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等． ∴四边形AECF 是平行四边形． 题型四 向量加法的实际应用例4 在水流速度为向东10 km/h 的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10 3 km/h ，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．【答案】 船行驶速度为20 km/h ，方向与水流方向的夹角为120°.【解析】 如图所示，OA →表示水速，OB →表示船实际航行的速度，OC →表示船速，由OB →＝OC →＋OA →易知|BC →|＝|OA →|＝10，又∠OBC ＝90°，所以|OC →|＝20， 所以∠BOC ＝30°，所以∠AOC ＝120°，即船行驶速度为20 km/h ， 方向与水流方向的夹角为120°.解题技巧： (向量加法解决实际问题的步骤)跟踪训练四1、在某地抗震救灾中，一救护车从A 地按北偏东35°的方向行驶800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向行驶800 km 送往C 地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．【答案】救护车行驶的路程是1600 km ，两次行驶的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.【解析】如图所示，设AB →，BC →分别表示救护车从A 地按北偏东35°方向行驶800 km ，从B 地按南偏东55°的方向行驶800 km.则救护车行驶的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次行驶的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →.依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°.所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而救护车行驶的路程是1600 km ，两次行驶的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本10页练习，22页习题6.2的1，2题. 【教学反思】本节课重点是向量加法的定义，三角形法则和平行四边形法则，同时还涉猎到向量加法交换律和结合律。

《向量的加法》导学案【学习目标】知识与技能：理解向量加法的含义，会用向量加法的平行四边形法则和三角形法则作两个向量的和，并能进行简单的纯式计算；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算；过程与方法：由实际问题引入向量加法，了解将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力；情感态度与价值观：感受数学来源于生活，数学服务于生活的思想，体验探索、发现的乐趣。

【学习重点】向量加法的平行四边形法则和三角形法则的应用【学习难点】向量加法法则的灵活选用及实际应用【学法指导】向量的加法、减法是进一步研究向量的基础，其运算主要依据平行四边形法则和三角形法则，关键在于数形结合的理解、应用，做到两个法则的灵活选用。

【导学过程】一、什么是向量的加法？二、向量的加法如何进行运算？三、平行四边形法则具体怎么操作呢？如下图，已知向量a，b，求作ba一般步骤：四、通过上述作图，我发现平行四边形法则的关键是：①②③五、你能将平行四边形法则进行简化吗——三角形法则一般步骤：六、通过上述作图，我发现三角形法则的关键是：①②③七、例题详解与巩固练习例1、已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，求作： OCOA +)1(EF CD +)2(解：例2、计算=+OM MN )1(=+BA AB )2(=++++EF DE CD BC AB )3(例3、在小船过河时，小船沿垂直河岸方向行驶的速度h km v /31=，河水流动的速度h km v /12=，试求小船过河的实际航行速度。

解：练1、小明向正东方向行走km 1，再向正北方向行走km 1，求小明行走的位移。

解：规律：练2、计算：=+BC CD )1(=+⋯⋯+++-n n A A A A A A A A 1433221)2(规律：练3、如图，甲、乙两人分别用与竖直方向成45°大小为10N 的力一起提一桶重20N 的水，问，他们能提起这桶水吗？ 解： 规律：八、课堂小结课堂三问：①我学会什么问题 ②这类问题用什么方法③这类问题有哪些需要注意的地方 九、专题测试1、(基础)平行四边形ABCD 中，AB a = ，AD b = ，则AC BA +等于（ ）A.aB.bC.0D.a b +2、(基础)平行四边形ABCD 中，BC DC BA ++等于（ ）A.BCB.DAC.ABD.AC3、(基础)AB BC CD ++=4、(基础)小明将杯子以s m v /80=的初速度从10米的楼层水平抛出，求杯子落地时的速度。

必修四第二章平面向量2．1. 2向量的加法使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评．“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评．“巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评．“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题．“能力展示”5分钟，教师作出总结性点评．通过本节学习应达到如下目标：1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。

2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣．学习重点：向量加法的定义及几何意义。

学习难点：向量加法的定义及几何意义学习过程一．自学目标向量的有关概念⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．⑶且的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足 律和 律．二.合作探讨如何理解向量加法的定义及几何意义巩固练习1．设O 为原点，(3,1),(1,2),,,OA OB OC OB BC OA ==-⊥试求满足OD OA OC +=的OD 的坐标．2．设1e 和2e 是两个单位向量，夹角是60°，试求向量122a e e =+和1232b e e =-+的夹角．3．已知|| 5.6,|| 4.2,AC BC AC ==与AB 的夹角为40°，求AC AB -与CB 的夹角||BC AC -（长度保留四位有效数字，角度精确到′）．个人收获与问题知识：方法：我的问题：答案：巩固练习1.(11,6)OD 坐标为2.θ＝120°．3. ||BC AC =6.453。

9.2.1向量的加法（导学案）班级 姓名学习目标：1. 通过实际例子掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则及其几何意义；2.灵活运用三角形法则和平行四边形法则进行向量求和运算。

学习重点：运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。

一、课前预习：（自主学习普高课本P9-11）导向探究一：三角形法则（1）问题：小明从A 地出发向东行走5千米到达B 地，再向北走了5千米到达C 地， 那么小明实际行走的效果如何？方向？距离？ 分析：根据题意，画出示意图.结论：向量 为向量 与向量 的和向量.（2）向量的加法 规定：（3）向量加法的三角形法则: （尝试用口诀概括）导向探究二：平行四边形法则（１）问题：如题，计算合力的值。

（２）向量加法的平行四边形法则: （尝试用口诀概括）导向探究三：向量加法的运算律（1）向量加法满足交换律，即： . （2）向量加法满足结合律，即： .OF 1F二、预习自测：1.如图，已知□ABCD，设，试用表示下列向量：（1），（2）2.=+BCAB；三、课堂探究例1如图，已知向量,分别运用三角形法则和平行四边形法则作出和向量。

跟踪训练1∶分别运用三角形法则和平行四边形法则作出和向量.跟踪训练2: 运用三角形法则作出和向量.（1）（2）例2化简：（1）;（2）;baaba bA BCD（3）.例3长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。

一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h,同时江水的速度为向东6km/h.（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度以及与江水速度夹角的正切值。

巩固练习一：如图，O为正六边形的中心，作出下列向量:（1）；（2）; （3）;（4）巩固练习二：如图，已知ba与，求作（只有画图表示，不必写作法）.四、课后探究1、下列判断正确的是（）．A.没有方向B.C.若，则D.若，则E DCBAFab b aab2、若是非零向量，则下列等式正确的是 （ ）．A.B.C.D.3、化简：（1） ;（2） ;（3） .4、已知矩形ABCD ，设则.5、如图，已知向量，求作（只要求画图表示，不必写作法）.（1）,（2）,6、如图，点B 、D 在□AECF 的对角线EF 上，且EB =DF .设.（1）填空： ，.（2）求作：bacAECF BD。