高三第一轮复习 简单的三角恒等变换.ppt

第六节 简单的三角恒等变换
1.
的值等于
(
)
解析： tan150 tan(75 75 )
2 tan 75 , 1 tan 75
答案：D
2.如果α∈( (α＋ ) ＝
， )且
，那么sin(α＋
)＋cos ( )
解析：∵sinα＝ <α<π，∴cosα＝ sin( ) cos( ) 2 sin( )
所以 tan( )
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
又0

2
,0

2
, 故0 2
3 , 2
从而由tan(α＋2β)＝－1得
3 2 . 4
1 13 , 且0 , 2.已知cos ,cos( ) 7 14 2
求证: tan 2 x
观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左
证到右”，则“切化弦”的方法势在必行；若选择
“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式.
【证明】法一：左边
法二：右边
=左边.
3.求证：
证明：左边
=右边. 故原等式成立
从近几年高考试题来看，本节内容主要灵活运用公 式，利用恒等变换进行三角函数的化简与求值，其考查
或具有某种关系.
3.“给值求角”：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变 角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值 结合该函数的单调区间求得角.
(2008· 江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆 交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为 (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值.

π π π (2)∵cos 2α＝sin( ＋2α)＝2sin(α＋ )cos(α＋ )， 2 4 4 cos 2α π π ∴ ＝2cos(α＋ )＝2sin( －α)， 4 4 π sin（ ＋α） 4 π π 12 又0＜α＜ 且cos( －α)＝ ， 4 4 13 π ∴sin( －α)＝ 4 5 ＝ ， 13 π 1－cos （ －α）＝ 4
α cos sin 2 【尝试解答】 原式＝( － α sin cos 2 2α 2α cos －sin 2 2 sin α ＝ · α α cos α sin ·cos 2 2 2cos α sin α ＝ · ＝2. sin α cos α
α 2sin2α 2 )· α 2sin αcos α 2
π π π 当2x＋ ＝－ ，即x＝－ 时，f(x)有最小值－1. 4 4 4 π π ∴f(x)在区间[－ ， ]上的最大值、最小值分别是 2 4 4 和－1.
易错提示：(1)化简解析式时出错，导致错误答案． π (2)求最值时，误把x的范围当成2x＋ 的范围，导致错 4 误答案． 防范措施：(1)化简解析式，把函数式转化为Asin(ωx＋ φ)的形式是解答本题的关键，因此求解时应力求准确，必 要时应进行检验，看化简结果是否正确． (2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值或值域时，可令t＝ωx ＋φ，然后根据x的范围确定t的范围，最后可根据y＝sin t的 图象，确定函数的最值或值域．
x x 已知sin －2cos ＝0. 2 2 (1)求tan x的值； cos 2x (2)求 的值． π 2cos（ ＋x）· x sin 4 x x x 【解】 (1)由sin －2cos ＝0，得tan ＝2， 2 2 2
2×2 4 ∴tan x＝ ＝ ＝－ . x 1－22 3 2 1－tan 2 x 2tan 2

)
A．π 3
B．5π 12
C．π6
D．π4
解析 ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π，由 cosα＝17，sin(α＋β)＝5143，得 sinα＝473，
cos(α＋β)＝±1114.若 cos(α＋β)＝1114，则 sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋
解析
sinα －
3
cosα
＝
2
12sinα－
3
2
cosα
＝
2sin
α－π3
＝
m
－
1
，
因
为
－
1≤sinα－π3≤1，所以－2≤2sinα－π3≤2，所以－2≤m－1≤2，解得－1≤m≤3，
则 m 的取值范围是[－1，3]．
课堂小结（1分钟）
【通性通法】 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通常是 把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化 后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将 y＝asinx＋bcosx 转化为 y＝ Asin(x＋φ)或 y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质，解题时注意观察角、函 数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
因为 x∈π4，32π，所以 x－71π2∈－π3，1112π，
所以 sinx－71π2∈－ 23，1，
所以－ 22sinx－71π2∈－ 22， 46，
即函数
f(x)在区间π4，32π上的最大值为
46，最小值为－
2 2.
(2)因为 cosθ＝45，θ∈32π，2π， 所以 sinθ＝－35，所以 sin2θ＝2sinθcosθ＝－2245， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝1265－295＝275， 所以 f2θ＋π3＝－ 22sin2θ＋π3－71π2 ＝－ 22sin2θ－π4＝－12(sin2θ－cos2θ) ＝12(cos2θ－sin2θ)＝12×275＋2245＝3510.

2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，

用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2

2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos

2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos

2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

2

2

2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2

因为由二倍角公式可知:cos
因为tan




1+cos
2
2
θ=2cos -1,所以cos =
,因此(3)错误;
2
2

2


sin 2 2sin 2 cos 2
sin
sin 2 2sin 2 cos 2 1−cos
= =
,tan = =
,所以(4)正确.
=
=
2
2
2 cos
π
提醒:以上变换,结合二倍角公式可将2x的三角函数与 ±x的三角函数联系在一起.
4
角度3
给值求角
[例4](1)已知α为锐角,且sin α·( 3-tan 10°)=1,则α= 40°
【解析】由已知得sin α=
=
cos10°
=
sin80°
2sin50° 2sin50°
1
3−tan10°
2sin40°cos40°
考向
高考命题常以角为载体,考查二倍角公式、升幂降幂公式、半角公
考法
式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测
高考可能单独考查,也可能与三角函数的图象与性质、向量等知识
综合考查,选择题、填空题、解答题中均有可能出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
−
(2cos2 −1)2
cos2 2
=
=
π
π
π
4sin( 4 −)cos( 4 −) 2sin( 2 −2)
cos2 2 1
=
= cos
2cos2 2

又 α∈(0，π)，所以－π4＜α－π4＜34π.
所以 α－π4＝π2.故 α＝34π.
因此，tan
α＋π3＝tan
34π＋π3＝1t－anta3n4π＋34πttaann
π 3π＝－11＋＋
3
3＝ 3
2－ 3.
【反思感悟】三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)将 f(x)化为 a sin x＋b cos x 的形式.
(2)构造 f(x)＝
a2＋b2
a a2＋b2·sin
x＋
b a2＋b2·cos
x.
(3)和角公式逆用，得 f(x)＝ a2＋b2sin (x＋φ)(其中 φ 为辅助
角).
(4)利用 f(x)＝ a2＋b2sin (x＋φ)研究三角函数的性质.
(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.
【高分训练】
(2)用辅助角公式变形三角函数式时： ①遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组； ②遇高次时，要先降幂； ③熟记以下常用结论：
sin α±cos α＝ 2sin α±π4； 3sin α±cos α＝2sin α±π6； sin α± 3cos α＝2sin α±π3.
2.半角公式
(1)sin α2＝±
【题后反思】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求 角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一 般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一 个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β， β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等.
答案：B

8 = 5
2 2 1 2 +2× × 5 5 5 4 4 + 5 5 8 . 5
1 5
2 5
=
=
关闭
解析
答案
知识梳理 知识梳理 双基自测
-9-
1
2
3
4
5
5.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为
.
关闭
∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)
=sin [(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ=sin [(x+φ)-φ]=sin x. ∴f(x)max=1. 1
(2)当 α 是第一象限角时,sin =
������ 2
1-cos������ . 2
(
)
(3)在斜三角形ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. ( ) (4)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得 来的. ( ) (5)公式asin x+bcos x= ������2 + ������2 sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无 关. ( )
sin ������
π + 4
+cos ������
3 2 . 5
π + 4
关闭
2cos α=-
解析
答案
知识梳理 知识梳理 双基自测

5
5
∵α∈
,
2
,
0
∴sin α=- 3 ,∴tan α=3- ,
5
4
∴tan 2α= 2 =ta n α
2
=-
3
.4
24
1 tan 2α
1
3 4
2
7
精品
10
5.已知α∈
2
,,sin α=
,则3 tan
5
α=
4
.
答案
1 7
解析 由已知得cos α=-4 ,∴tan α=3- ,
5
4.函数f(α)=acos α+bsin α(a,b∈R),可以化为f(α)=⑥ sain2 (αb+2φ1)
或f(α)=⑦ ac2osb(α2 -φ2) ,其中φ1、φ2可由a、b的值唯一确定. 5.在两角和的三角函数公式Sα+β,Cα+β,Tα+β中,当α=β时就得到二倍角的三角 函数公式:sin 2α=⑧ 2sin αcos α ,cos 2α=⑨ cos2α-sin2α ,tan 2α=⑩
A.- 3
2
答案
B.- 1
C1 .
D3.
2
2
2
C 原式=sin 45°·cos 15°-cos 45°·sin 15°=sin 1230°=
,故选C.
精品
7
2.sin 15°+cos 15°的值为 ( )
A. 1
2
答案
B. 6
C. 6
D3. 2
4
2
2
C sin 15°+cos 15°=2 sin(15°+45°)2= sin 60°2 6=

1
4
1
4
即cos cos + sin sin = .故cos − = .
故选C.
D.−
)
7
8
【点拨】和、差、倍角公式的综合应用，关键在于把握式子的结构特点，灵活应用
整体思想求解，尤其是对于含两个不相关联角的问题.
变式3（1） （2023年新课标Ⅰ卷）已知sin − =
5
π
(0， )，tan
2
2 =
C.
5
3
cos
，则tan
2−sin
=(
D.
)
15
3
cos
sin 2
2sin cos
cos
π
解：因为tan 2 =
,所以tan 2 =
=
=
.因为 ∈ (0， )，
2−sin
cos 2
1−2sin2
2−sin
2
2sin
1
cos 45∘ =
2
，D不符合.故选AC.
2
【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用中要注意观察角之
间的和、差、倍、互补、互余等关系.
变式1 【多选题】下列化简正确的是(
√
tan 48 +tan 72
C.
√1−tan 48 tan 72
A.cos 82∘ sin 52∘ − sin 82∘ cos 52∘ = −
tan 48∘ +tan 72∘
对于C，
1−tan 48∘ tan 72∘
1
sin
2
∘
15 cos 15 =
1
sin
4

教材素材变式
2. cos2-cos2=A. B. C. D.
教材素材变式
归纳总结
本题的出题意图是让同学们灵活运用三角恒等变换知识进行求值,考查同学们的运算求解能力. 一般地,应熟记以下次特殊角的三角函数值:sin 15°=cos 75°=,sin 75°=cos 15°=,tan 15°=2-,tan 75°=2+.
教材素材变式
方法技巧应用和、差、倍角公式化简求值的策略
（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘，符号反”;
（2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用;
（3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
教材素材变式
6. 已知对任意的角α,β,满足(sin α+sin β)=sin·cos,(cos α+cos β)=cos·cos.则当sin α+sin β=,cos α+cos β=时,tan= ;若tan=1,则sin α+sin β cos α+cos β(填“>”“<”或“=”).
知识点39：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
规律总结1.两角和与差的正切公式的变形 <m></m> ; <m></m> .2.降幂公式： <m></m> ; <m></m> ; <m></m> 3.升幂公式： <m></m> ; <m></m> ; <m></m> .4.其他常用变式 <m></m> ; <m></m> ; <m></m> .