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《简单的三角恒等变换》_三角函数PPT优秀课件

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省级教学竞赛获奖课件(人教版)5.5.2简单的三角恒等变换课件(人教版)

省级教学竞赛获奖课件(人教版)5.5.2简单的三角恒等变换课件(人教版)

2
2
2
将(1)(2)两个等式的左右两边分别相除，可得tan2 α 1 cosα . 2 1 cosα
简单的三角恒等变换
例7的结果还可以表示为：
cosα 1 2sin2 α 2
降角升幂
cosα 2cos2 α 1 2
sin2 α 1 cosα
2
2
降幂升角
cos2 α 1 cosα 22
因此，函数y sin x 3 cos x周期为2，最大值为2，最小值 2.
【解析】(2)原式 5(3 sin x 4 cosx)
5
5
5(cos sin x sin cosx) 5sin(x ) (其中tan 4)
3
因此，函数y 3sin x 4cos x的周期为2，最大值为5，最小值 5.
a
简单的三角恒等变换
【例9】求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1) y sin x 3 cos x； (2) y 3sin x 4cosx.
【解析】(1)原式 （2 1 sin x 3 cos x) （2 cos sin x sin cosx) 2sin(x )
2
2
3
3
3
2
（3） 3sin15 cos15;
【解析】原式 2(sin 15 3 cos15 1 ) 2(sin 15 cos30 cos15 sin 30 )
2
2
2sin(15 30 ) 2sin 45 2.
简单的三角恒等变换
【例6】把下列各式化成Asin(ωx φ)的形式.
（1）sinx cosx;
简单的三角恒等变换
【例10】如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上

第四章§4.3第2课时 简单的三角恒等变换课件(共张86PPT)

第四章§4.3第2课时 简单的三角恒等变换课件(共张86PPT)

1－－232＝
5 3.
2.(2020·江苏改编)已知 sin2π4＋α＝23，则 sin 2α 的值是
√ A.－13
1 B.3
C.－23
2 Dห้องสมุดไป่ตู้3
解析 ∵sin2π4＋α＝23， ∴1－cos2π2＋2α＝23， 即1＋s2in 2α＝23，
∴sin 2α＝13.
3.(2019·全国Ⅱ)已知 α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则 sin α 等于
解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannββ＝1＋12－12×71 71＝13>0， ∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×13132＝34>0， ∴0<2α<π2，
∴tan(2α－β)＝1t＋ant2aαn－2αttaannββ＝1－34＋34×71 71＝1. ∵tan β＝－17<0， ∴π2<β<π，－π<2α－β<0，
思维升华
(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻 找转化方法. (2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角.
跟踪训练 1 (1)cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于
6 A. 2
√ 3
5
B.2
C.4
D.1＋
3 4
解析 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54.
2·1ta－n2tαa＋n2α1＋
2 2
＝ 22×9＋6 1＋ 2×11－＋99＋ 22＝0.

5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)

5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)

2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，

用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2

2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos

2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos

2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

2

2

2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2

简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)

简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)

思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��

5.5.2 简单的三角恒等变换(课件)

5.5.2 简单的三角恒等变换(课件)

第五章 三角函数
课堂互动探究
探究一 降幂、半角公式的应用 设 π<θ<2π，cos2θ＝a，求：
(1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin24θ的值．
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
解 (1)∵π<θ<2π，∴π2<2θ<π.又∵cos2θ＝a， ∴sin2θ＝ 1－cos22θ＝ 1－a2. ∴sin θ＝2sin2θcos2θ＝2a 1－a2. (2)cos θ＝2cos22θ－1＝2a2－1. (3)sin24θ＝1－2cos2θ＝1－2 a.
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
第五章 三角函数
课程标准
能用两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式进行简单 的恒等变换(包括推导出积化和 差、和差化积、半角公式，这三 组公式不要求记忆).
核心素养
通过对简单的三角恒等变换 的学习，提升“逻辑推 理”、“数学运算”的核心 素养.
2＋1 4.
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
2．若 cos α＝13，且 α∈(0，π)，则 sinα2＝________.
解析 ∵α∈(0，π)，∴α2∈0，π2.∴sinα2>0.
又 cos α＝1－2sin2α2＝13，∴sinα2＝
1－cos 2
α＝
3 3.
答案
3 3
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
(2)由 x∈－π4，π4得 2x－π3∈－56π， π6，
则 sin2x－π3∈－1，12，
即函数 f(x)＝12sin

简单的三角恒等变换课件

简单的三角恒等变换课件

【例 3】
求证：sins2inα＋α β－2cos
(α＋β)＝ssiinn
β α.
[思路探索] 式中涉及角 α、β、α＋β，2α＋β，因此可以把 2α＋
β 化为(α＋β)＋α，再进行证明．
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
题型四 三角函数的实际应用 【例 4】 点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形 ABTP 面积最 大？ 审题指导 先画图 ――用―α―→ 表示出四边形 ABTP 的面积 ―三―利角―用公――式→ 求最值 ――得―出――→ α值
α2＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs α，
cos 2 cos 2ห้องสมุดไป่ตู้2sin 2
αα
α
sin α＝2sin
α 2cos
α2＝s2isni2nα2＋2ccooss22α2＝12＋tatnan22α2.
cos α＝cos2α2－sin2α2，
＝ccooss22αα22－ ＋ssiinn22αα22＝11－ ＋ttaann22αα22.
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以
sin
α，得sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α
规律方法 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征， 通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方 法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为 整式来证．

人教a版必修四第三章3.2简单的三角恒等变换(函数综合)(共18张PPT)

人教a版必修四第三章3.2简单的三角恒等变换(函数综合)(共18张PPT)

Q
设矩形ABCD的面积为S，则
D
C
S AB BC (cos 3 sin )sin
3
sin cos 3 sin2
O αA B P
3
1 sin 2 3 (1 cos 2 ) 1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
2
6
6
1 ( 3 sin 2 1 cos 2 ) 3 1 sin(2 ) 3
于是OA 3 DA 3 BC 3 sin O α A
BP
3
3
3
AB OB OA cos 3 sin
3
一、例题分析
例3、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的
扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接形。
∠COP=α，求当α取何值时，矩形ABCD的面积最大？
并求出这个最大面积.
分析：考虑式子中是关于cosx和sinx的二次式，故可 考虑降幂升角，容易得
f ( x) sin 2x cos 2x 2
2 sin(2x ) 2
4
结合三角函数的图像和性质可求得结果
例2、已知a (5 3 cos x, cos x)，b (sin x, 2cos x)，
函数f
(x)
a
所以函数f ( x)的最小正周期是T
例2、已知a (5 3 cos x, cos x)，b (sin x, 2cos x)，
函数f
(x)
a
b
2
b
5sin(2x ) 7
62
(2)当 x 时，求函数f ( x)的值域。
6
2
解：(2)当 x 时， 2x ( , 7 )
函sin数(26f x( x)的6 )值2域(为12(,11,)1，7)故。6f

5．5.2简单的三角恒等变换(共44张PPT)

5．5.2简单的三角恒等变换(共44张PPT)

【(2解)求】f(x)f在(x)π6＝，(－23πc上os的x)·单(－调s递in 增x)－区间3．·1＋c2os
2x＋
3 2
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x＝sin2x－π3.
(1)f(x)的最小正周期为 π，最大值为 1.
(2)令 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)， 即 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，所以 f(x)在π6，51π2上单调递增，即 f(x)在 π6，23π上的单调递增区间是π6，51π2.
A．
6 3
B．－
6 3
C．±
6 3
D．±
3 3
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
()
A．－
10 10
B．
10 10
C．3103
D．－35
答案：B
4．已知 cos θ＝－35，且 180°＜θ＜270°，则 tan θ2＝________．
答案：－2
探究点 1 应用半角公式求值
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
1．若 sin(π－α)＝－ 35且 α∈π，32π，则 sinπ2＋α2等于
A．－
6 3
B．－
6 6
C．
6 6
D．
6 3
4．化简：
1＋cos（23π－θ）32π<θ<2π＝________．
解析：原式＝
1－cos 2
θ＝sinθ2，
因为32π<θ<2π，所以34π<θ2<π，

《简单的三角恒等变换》人教版数学高一年级下册PPT课件

《简单的三角恒等变换》人教版数学高一年级下册PPT课件
(2)将(1)中得到的式子利用 asinα＋bcosα＝ a2＋b2· sin(α＋φ)化为 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)＋m 的形式．
应用半角公式求值时错用公式
典例 4 设 3π<α<4π，cos2α＝m，那么 cos4α等于(
)
m＋1
A．
2
B．－
m＋1
2
C．－
1－m
2
1－m
D．
2
[错解] 选 A 或选 C
3 ∴cosθ＝－ 1－sin2θ＝－5.
∵54π<2θ<32π，
∴sin2θ＝－ cos2θ＝－
1－cosθ 2 5 2 ＝－ 5 ，
1＋cosθ 2 ＝－
55，ta n 2θ＝csoins2θ2θ＝2.
第三章 三角恒等变换
『规律总结』 已知 θ 的某个三角函数值，求2θ的三角函数值的步骤是：(1) 利用同角三角函数基本关系式求得 θ 的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算 即可．
1 cosαcosβ＝2[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，
1 sinαsinβ＝－2[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
第三章 三角恒等变换
(2)和差化积公式(不要求记忆和应用)
x＋y x－y sinx＋siny＝2sin 2 cos 2 ，
x＋y x－y sinx－siny＝2cos 2 sin 2 ，
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用
sin2
α＝ 2
1－cosα 2
和
cos2α＝1＋cosα. 22
第三章 三角恒等变换
[拓展](1)积化和差公式(不要求记忆和应用)
1 sinαcosβ＝2[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，

第四节 简单的三角恒等变换 课件(共106张PPT)

第四节 简单的三角恒等变换 课件(共106张PPT)

2．给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值． 解题关键：把“所求角”用“已知角”表示． (1)当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差 的形式或者和或差的二倍形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或 倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．
(2)cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.
[解析]
解法一：cos
20°cos
40°·cos
80°＝sin
20°cos
20°cos 40°cos sin 20°
80°
1
＝2sin
40°cos 40°cos sin 20°
80°
＝14sins8in0°2c0o°s 80°
θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos2θ>0，∴原式＝－cos θ.
2．证明：cos θ－cos φ＝－2sin
θ＋φ 2 sin
θ－φ 2.
[证明] 因为θ＝θ＋2 φ＋θ－2 φ，φ＝θ＋2 φ－θ－2 φ，
所以cos θ－cos φ
＝cosθ＋2 φ＋θ－2 φ－cosθ＋2 φ－θ－2 φ
第四章 三角函数 解三角形
第四节 简单的三角恒等变换
[复习要点] 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、 余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但 对这三组公式不要求记忆)．
理清教材•巩固基础
知识点 半角公式(不要求记忆)
1－cos α 1．sin α2＝_±_______2____；

三角恒等变换简单的三角恒等变换ppt

三角恒等变换简单的三角恒等变换ppt
电磁学
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。

人教版高中数学必修1《简单的三角恒等变换》PPT课件

人教版高中数学必修1《简单的三角恒等变换》PPT课件

α2，cos
α2，tan
α 2
的值；
1－sin (2)化简：
α－2c－os2αcossiαnα2＋cosα2(－π<α<0)．
[解] (1)∵sin α＝－187，π＜α＜32π，∴cos α＝－1157.
∵cos2α＝1－2sin2α2＝2cos2α2－1，又π2＜α2＜34π，
∴sin α2＝
1－cos 2
6 A. 3
B．－
6 3
C．±
6 3
解析：∵cos θ＝13，且 θ∈(0，π)，
D．±
3 3
∴θ2∈0，π2，∴cosθ2＞0，
∴cos θ2＝
cos2θ2＝
1＋cos 2
θ＝
1＋2 13＝ 36.
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
A．－
10 10
10 B. 10
【学透用活】
[典例 2] (1)求证：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2；
(2)求证：
sin
x＋cos
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x .
[证明] (1)左边＝1＋2cos2θ－cos 2θ＝1＋2×1＋c2os 2θ－cos 2θ＝2＝右边，
所以原等式成立．
• (一)教材梳理填空 • 1．半角公式：
半角公式
正弦 sinα2＝ ±
1－cos α 2
余弦 cosα2＝ ±
1＋cos α 2
续表
正切 tan α2＝±
1－cos 1＋cos
αα，tanα2＝1＋sincoαs
＝ α

简单的三角恒等变换课件

简单的三角恒等变换课件

2x＋(sin
x－cos
x)(sin
x＋cos
x)
＝12cos
2x＋
3 2 sin
2x＋sin2x－cos2x
＝12cos
2x＋
3 2 sin
2x－cos
2x＝sin2x－π6，
∴最小正周期 T＝22π＝π.
∵2x－π6＝kπ＋π2，k∈Z， ∴x＝k2π＋π3，k∈Z. ∴图象的对称轴方程为 x＝k2π＋π3，k∈Z. (2)∵x∈－1π2，π2， ∴2x－π6∈－π3，56π.
由αα＋－ββ＝＝2－3ππ4，
得αβ＝＝15221π44π
故当 α＝52π4，β＝1214π时，ymax＝ 42－12.
【正确解答】y＝
1＋cos α
2α α
－1＋cos2π2－2β
cosα2－
sin2 α
sin2 cos2
＝sincαocsoαs2 α－12－12sin 2β＝12sin 2α－12sin 2β－12. 2 分
(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)求函数 f(x)在区间－1π2，π2上的值域．
• 【思路点拨】将已知函数通过三角函数恒等变换转化为y＝Asin(ωx＋φ) 的形式，再研究其性质．
解：(1)∵f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4
＝12cos
2x＋
3 2 sin
• 解：如图，连接PB.
• ∵AB为直径，∴∠APB＝90°. • ∵∠PAB＝α，AB＝1， • ∴PB＝sin α，PA＝cos α. • 又PT切圆于P点， • 则∠TPB＝∠PAB＝α. • ∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝12PA·PB＋12PT·PB·sin α ＝12cos α·sin α＋12sin2 α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝ 42sin2α－π4＋14. ∵0＜α＜π2，－π4＜2α－π4＜34π， ∴当 2α－π4＝π2，即 α＝38π 时，四边形 ABTP 的面积最大．
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课前篇
自主预习
一
二
三
3.做一做
计算:(1)sin 52.5°cos 7.5°=
(2)sin αsin 3α=
.
答案:(1)
3+ 2
4
1
(2) cos
2
1
2α- cos
2
;
4α
4.判断正误
(1)sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ.(
(2)cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ.(
《简单的三角恒等变换》_三角函数PP T优秀 课件
三角函数
5.5.2 简单的三角恒等变换
-1《简单的三角恒等变换》_三角函数PP T优秀 课件
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课标阐释
思维脉络
1.能用二倍角公式推导半角的
正弦、余弦、正切公式.
2.理解半角的正弦、余弦和正
切公式.
3.会用倍角公式和半角公式进
行三角函数的求值、化简和证
2

1-cosα
(1)sin 2=±
(2)cos 2=±

符号由 2 角所在的象限决定 ;

符号由 2 角所在的象限决定 ;
sin
1-cos
(3)tan 2=± 1+cosα = 1+cos = sin

符号由 2 角所在的象限决定 .
课前篇
自主预习
一
二
三
3.做一做
已知 cos

=
2
1
α=5,且
25
4
所以 cos θ=
1-cos
=2
故 sin 2=
1+cos
=2
cos 2=tan

50°,2sin 20°- 2 cos 20°=sin 20°cos 60°-cos 20°sin
2
2
60°=sin(20°-60°)=-sin 40°,sin x-cos x= 2 sin· 2
2
cos·
= 2sin -
π
4
.
课前篇
自主预习
一
二
三
2.填空

辅助角公式 asin x+bcos x= 2 + 2 sin(x+φ),其中 tan φ= ,φ 所在
π
4
.
(2)f(x)=sin x+2cos x= 12 + 22 sin(x+φ)= 5sin(x+φ),故其最大值
为 5.
答案:(1)C (2)B
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
半角公式的应用
角度1 用半角公式解决求值问题
5π
24




例 1 已知 2 <θ<3π,且 sin θ=25,求 sin 2,cos 2,tan 2,cos 4的值.
1.式子 sin 20°cos 30°+cos 20°sin 30°可化简为什么形式?
1
式子 sin
2
3
20°- cos
2
20°能否化简为只含有一个三角函数的形式?
式子 sin x-cos x 呢?
提示:sin 20°cos 30°+cos 20°sin 30°=sin(20°+30°)=sin
1
3

的象限由 a,b 的符号决定.
3.做一做
(1)2sin θ+2cos θ=(
)
A.sin +
π
4
B.2 2sin +
π
C.2 2sin + 4
π
3π
4
D. 2sin + 4
(2)函数 f(x)=sin x+2cos x 的最大值为(
A.5
B. 5
C.3 D.1
2
2
)
2
2
解析:(1)2sin θ+2cos θ=2 2 sin· +cos θ· =2 2sin +
分析:先由 sin θ 的值求出 cos θ 的值,再套用半角公式求出 sin





,cos
,tan
的值,再将
视为
的一半,继续利用半角公式求出
2
2
2
4
2
的值.

cos 4
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
5π
解:因为 <θ<3π,且
2
24
sin θ= ,
25
7
5π
1-sin2 =- .于是
明.
4.理解三角函数的积化和差与
和差化积公式的推导过程.
5.能利用积化和差与和差化积
公式进行简单的三角函数式的
化简、求值和证明.
6.学会初步运用“辅助角”公式
来化简三角函数式,进而研究函
数图象和性质,并能明确辅助角
公式的使用条件.
课前篇
自主预习
一
二
三
一、半角公式
1.二倍角公式是用单角α的三角函数来表示倍角2α的三角函数,
.
解析:∵α∈
∴sin

2

2
=
cos
α 为锐角,则 sin=10Fra bibliotek答案: 5
π
0, 2

,∴2
1-cos
2
1+cos
2
15
5
∈
2
5
=
=
π
0, 4
3
5
=
=
,
10
,
5
15
.
5

=
2
,cos
课前篇
自主预习
一
二
三
二、积化和差、和差化积公式
1.(1)积化和差公式有何特点?
提示:积化和差公式中:同名三角函数之积化为两角和与差余弦

根据倍角关系的相对性,能否用单角α的三角函数来表示 2 的三角
函数呢?
2
1-cos
2
,cos 2
2
提示:由倍角公式可得 sin 2 =


到 sin ,cos 用 cos α 来表示的表达式.
2
2
=
1+cos
,开方即可得
2
课前篇
自主预习
一
二
三
2.填空
(半角公式)

1-cosα
2

1+cosα
2
1
cos αsin β=2[sin(α+β)-sin(α-β)].
+
-
(2)sin x+sin y=2sin 2 cos 2 ;
+ -
sin x-sin y=2cos 2 sin 2 ;
+
-
cos x+cos y=2cos 2 cos 2 ;
+ -
cos x-cos y=-2sin 2 sin 2 .
和(差)的一半,异名三角函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一
半,等式左边为单角α,β,等式右边为它们的和与差.
1
2
(2)积化和差公式右侧系数都为 吗?
1
2
提示:否.如 sin αsin β=- [cos(α+β)-cos(α-β)].
(3)和差化积公式有何特点?
提示:余弦的和或差化为同名三角函数之积;正弦的和或差化为
1
(3)sin 3θ-sin 5θ=-2cos 4θcos θ. (
(4)sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ. (
1
)
)
)
)
(5)sin xsin y= [cos(x-y)-cos(x+y)]. (
)
2
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
课前篇
自主预习
一
二
三
三、辅助角公式
+ -
异名三角函数之积;等式左边为单角x与y,等式右边为 2 与 2 的形
式.
课前篇
自主预习
一
二
2.填空
三
1
(1)cos αcos β=2[cos(α+β)+cos(α-β)];
1
sin αsin β=-2[cos(α+β)-cos(α-β)];
1
sin αcos β= [sin(α+β)+sin(α-β)];