2016_2017学年高中物理第3章动能的变化与机械功章末分层突破教师用书沪科版必修2

第3章 动能的变化与机械功[自我校对]①12mv 2 ②E k2 ③E k1 ④动能 ⑤比值 ⑥快慢 ⑦Fv作用力与反作用力做功的特点作用力和反作用力有等大、反向的关系，但是它们分别作用在两个不同的物体上，两个力的作用点所产生的位移的大小并不一定相同，因此两个力所做的功并不一定相同，功的正负也不确定．会出现多种情况且作用力和反作用力做功的代数和可以为零，也可以为正，也可以为负．现总结如下：M静止，m沿粗糙斜面下滑，摩擦力m无初速放在匀速转动的皮带左端，m、M向相反的方向运动，此过程中，M固定，m静止在M上，摩擦力对m、光滑绝缘水平面上两个带同种电荷光滑绝缘平面上，两个带同种电荷中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为s，木块对子弹的摩擦力大小为f，求：图3­1(1)木块对子弹的摩擦力做的功；(2)子弹对木块的摩擦力做的功．【解析】(1)木块对子弹的摩擦力f与子弹位移的方向相反，是阻力，位移大小s1＝s ＋d.所以木块对子弹的摩擦力做功为：W1＝fs1cos θ＝f(s＋d)cos 180°＝－f(s＋d)．(2)由牛顿第三定律，子弹对木块的摩擦力大小也等于f，其方向与木块的位移方向相同，位移大小s2＝s，则子弹对木块的摩擦力所做的功为：W2＝fs cos 0°＝fs.【答案】(1)－f(s＋d) (2)fs动能定理与图像结合的问题不同的图像，图像的纵坐标、横坐标所对应的物理量不同，图像的斜率、截距、图线的交点、图线下的面积所表示的物理意义也不相同，动能定理与图像相结合的问题中，要注意从图像中分析得出所需的信息．(1)v­t图：由公式s＝vt可知，v­t图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移．(2)a­t图：由公式Δv＝at可知，a­t图线与坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量．(3)F­s图：由公式W＝Fs可知，F­s图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功．(4)P­t图：由公式W＝Pt可知，P­t图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功．如图3­2甲所示，长为4 m的水平轨道AB与半径为R＝0.6 m的竖直半圆弧轨道BC在B处相连接，有一质量为1 kg的滑块(大小不计)，从A处由静止开始受水平向右的力F作用，F的大小随位移变化的关系如图乙所示，滑块与AB间的动摩擦因数为μ＝0.25，与BC间的动摩擦因数未知，g取10 m/s2，求：甲乙图3­2(1)滑块到达B处时的速度大小；(2)滑块在水平轨道AB 上运动前2 m 过程所用的时间；(3)若到达B 点时撤去力F ，滑块沿半圆弧轨道内侧上滑，并恰好能到达最高点C ，则滑块在半圆弧轨道上克服摩擦力所做的功是多少？【解析】 (1)对滑块从A 到B 的过程， 由动能定理得F 1s 1－F 3s 3－μmgs ＝12mv 2B得v B ＝210 m/s.(2)在前2 m 内，有F 1－μmg ＝ma ， 且s 1＝12at 21，解得t 1＝835s. (3)当滑块恰好能到达最高点C 时，有mg ＝m v 2cR对滑块从B 到C 的过程，由动能定理得：W －mg ×2R ＝12mv 2C －12mv 2B代入数值得W ＝－5 J ， 即克服摩擦力做的功为5 J. 【答案】 (1)210 m/s (2)835s (3)5 J求解动力学问题的两条思路首先考虑是否可用动能定理处理；然后再考虑用牛顿运动定律和运动学公式处理．1.(多选)(2016·全国丙卷)如图3­3所示，一固定容器的内壁是半径为R 的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m 的质点P .它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W .重力加速度大小为g .设质点P 在最低点时，向心加速度的大小为a ，容器对它的支持力大小为N ，则( )图3­3A ．a ＝mgR －WmRB ．a ＝2mgR －W mRC ．N ＝3mgR －2WRD ．N ＝mgR －WR【解析】 质点P 下滑到最低点的过程中，由动能定理得mgR －W ＝12mv 2，则速度v ＝mgR －W m ，最低点的向心加速度a ＝v 2R ＝mgR －WmR ，选项A 正确，选项B 错误；在最低点时，由牛顿第二定律得N －mg ＝ma ，N ＝3mgR －2WR，选项C 正确，选项D 错误．【答案】 AC2．(2015·全国卷Ⅰ)如图3­4所示，一半径为R 、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ 水平．一质量为m 的质点自P 点上方高度R 处由静止开始下落，恰好从P 点进入轨道，质点滑到轨道最低点N 时，对轨道的压力为4mg ，g 为重力加速度的大小．用W 表示质点从P 点运动到N 点的过程中克服摩擦力所做的功．则( )图3­4A ．W ＝12mgR ，质点恰好可以到达Q 点B ．W >12mgR ，质点不能到达Q 点C ．W ＝12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离D ．W <12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离【解析】 设质点到达N 点的速度为v N ，在N 点质点受到轨道的弹力为F N ，则F N －mg＝mv 2N R ，已知F N ＝F ′N ＝4mg ，则质点到达N 点的动能为E k N ＝12mv 2N ＝32mgR .质点由开始至N 点的过程，由动能定理得mg ·2R ＋W f ＝E k N －0，解得摩擦力做的功为W f ＝－12mgR ，即克服摩擦力做的功为W ＝－W f ＝12mgR .设从N 到Q 的过程中克服摩擦力做功为W ′，则W ′＜W .从N 到Q的过程，由动能定理得－mgR －W ′＝12mv 2Q －12mv 2N ，即12mgR －W ′＝12mv 2Q ，故质点到达Q 点后速度不为0，质点继续上升一段距离．选项C 正确．【答案】 C3．(2016·浙江高考)如图3­4所示为一滑草场．某条滑道由上下两段高均为h ，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ.质量为m 的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．则( )图3­4A ．动摩擦因数μ＝67B ．载人滑草车最大速度为2gh 7C ．载人滑草车克服摩擦力做功为mghD ．载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为35g【解析】 由题意知，上、下两段斜坡的长分别为s 1＝h sin 45°、s 2＝hsin 37°由动能定理(或功能关系)知：2mgh ＝μmgs 1cos 45°＋μmgs 2cos 37° 解得动摩擦因数μ＝67，选项A 正确；下落h 时的速度最大，由动能定理知：mgh －μmgs 1cos 45°＝12mv 2解得v ＝2gh7，选项B 正确； 载人滑草车克服摩擦力做的功与重力做功相等，即W ＝2mgh ，选项C 错误；滑草车在下段滑道上的加速度大小为a ＝μg cos 37°－g sin 37°＝335g ，选项D 错误．【答案】 AB我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

3.2.1 研究功与功率(一)[学习目标] 1.理解功的概念，知道做功的两个因素.2.明确功是标量，会用功的公式进行计算.3.理解正功、负功的含义.4.会计算变力的功，会计算多个力的总功.一、功1.功的定义：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功.2.功的公式：W ＝Fs cos α，其中F 、s 、α分别为力的大小、位移的大小、力与位移方向的夹角.3.单位：国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J. 二、正功和负功1.力对物体做正功和负功的条件 由W ＝Fs cos α可知(1)当0≤α<π2时，W >0，力对物体做正功；(2)当π2<α≤π时，W <0，力对物体做负功，或称物体克服这个力做功；(3)当α＝π2时，W ＝0，力对物体不做功.2.总功的计算几个力对一个物体做功的代数和，等于这几个力的合力对这个物体所做的功. [即学即用]1.判断下列说法的正误.(1)公式W ＝Fs cos α中的s 是物体运动的路程.(×) (2)物体只要受力且运动，该力就一定做功.(×) (3)功有正负之分，所以功是矢量.(×)(4)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动.(√)2.如图1所示，静止在光滑水平面上的物体，在与水平方向成60°角斜向上的力F 作用下运动10 m ，已知F ＝10 N ，则拉力F 所做的功是 J.图1答案50一、对功的理解[导学探究]1.观察图2，分析图中的哪个人对物体做了功？图2答案小川拉重物上升的过程，小川对重物做了功，其他三人都没有做功.2.如图3所示，物体在与水平方向夹角为α的力F的作用下前进了s，则力F对物体做的功如何表示？图3答案如图把力F沿水平方向和竖直方向进行正交分解，物体在竖直方向上没有发生位移，竖直方向的分力没有对物体做功，水平方向的分力F cos α所做的功为Fs cos α，所以力F 对物体所做的功为Fs cos α.[知识深化] 对公式W＝Fs cos α的理解1.力F对物体做的功，只与s、α有关，与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力等因素无关.2.计算力F的功时要特别注意，F与s必须具有同时性，即s必须是力F作用过程中物体发生的位移.3.功是标量，没有方向，但是有正负.4.公式W＝Fs cos α适用于计算恒力做功，若是变力，此公式不再适用.例1如图4所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F 作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，则雪橇受到的( )图4A.支持力做功为mglB.重力做功为mglC.拉力做功为Fl cos θD.滑动摩擦力做功为－μmgl答案 C解析 支持力和重力与位移垂直，不做功，A 、B 错误；拉力和摩擦力做功分别为W 1＝Fl cos θ，W 2＝－μ(mg －F sin θ)l ，C 正确，D 错误.二、正负功的判断 [导学探究]某物体在力F 作用下水平向右运动的位移为s ，拉力的方向分别如图5甲、乙所示，分别求两种情况下拉力对物体做的功.图5答案32Fs －32Fs [知识深化] 1.正、负功的意义功是标量，只有正、负，没有方向，功的正负不表示大小，只表示能量转移或转化的方向，即：动力对物体做正功，使物体获得能量，阻力对物体做负功，使物体失去能量. 2.判断力是否做功及做功正负的方法(1)根据力F 的方向与位移s 的方向间的夹角α——常用于恒力做功的情形. (2)根据力F 的方向与速度v 的方向间的夹角α——常用于曲线运动的情形. 若α为锐角则做正功，若α为直角则不做功，若α为钝角则做负功.例2 (多选)质量为m 的物体，静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离s ，如图6所示.物体相对斜面静止，则下列说法正确的是( )图6A.重力对物体m 做正功B.合力对物体m 做功为零C.摩擦力对物体m做负功D.支持力对物体m做正功答案BCD解析物体的受力和位移如图所示.支持力N与位移s的夹角α<90°，故支持力做正功，D选项正确；重力与位移垂直，故重力不做功，A选项错误；摩擦力f与位移s的夹角大于90°，故摩擦力做负功，C选项正确；物体做匀速运动，所受合力为零，合力不做功，故B选项正确.三、总功的求解思路例3如图7所示，一个质量为m＝2 kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的力F ＝10 N作用，在水平地面上从静止开始向右移动的距离为s＝2 m，已知物体和地面间的动摩擦因数为0.3，g取10 m/s2，求外力对物体所做的总功.(cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6)图7答案7.6 J解析物体受到的摩擦力为：f＝μN＝μ(mg－F sin 37°)＝0.3×(2×10－10×0.6)N＝4.2 N解法1：先求各力的功，再求总功.拉力F对物体所做的功为：W1＝Fs cos 37°＝10×2×0.8 J＝16 J摩擦力f对物体所做的功为：W2＝fs cos 180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J由于重力、支持力对物体不做功，故外力对物体所做的总功W等于W1和W2的代数和，即W＝W1＋W2＝7.6 J.解法2：先求合力，再求总功.物体受到的合力为：F合＝F cos 37°－f＝3.8 N，所以W＝F合s＝3.8×2 J＝7.6 J.几个力对物体做功的计算当物体在多个力的共同作用下发生一段位移时，合力对物体所做的功等于各分力对物体做功的代数和.故计算合力的功有以下两种方法.(1)先由W＝Fs cos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3……然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋….(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合s cos α计算总功，此时α为F合的方向与s的方向间的夹角.注意当在一个过程中，几个力作用的位移不相同时，只能用方法(1).针对训练如图8所示，平行于斜面向上的拉力F使质量为m的物体匀加速地沿着长为L、倾角为α的斜面的一端向上滑到另一端，物体与斜面间的动摩擦因数为μ.求作用在物体上的各力对物体所做的总功.图8答案FL－mgL sin α－μmgL cos α解析选物体为研究对象，其受力如图所示：解法一：拉力F对物体所做的功为：W F＝FL.重力mg对物体所做的功为：W G＝mgL cos(90°＋α)＝－mgL sin α.摩擦力对物体所做的功为：W f＝fL cos 180°＝－fL＝－μmgL cos α.弹力N对物体所做的功为：W N＝NL cos 90°＝0.故各力的总功为：W＝W F＋W G＋W f＋W N＝FL－mgL sin α－μmgL cos α解法二：物体受到的合力为：F合＝F－mg sin α－f＝F－mg sin α－μmg cos α所以合力做的功为：W＝F合L＝FL－mgL sin α－μmgL cos α.四、变力做功问题分析例4新中国成立前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用，如图9所示，假设驴拉磨的平均作用力为F，运动的半径为R，那么怎样求驴拉磨转动一周所做的功？图9答案 2πRF解析 把圆周分成无数段小微元段，每一小段可近似看成直线，从而拉力在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公式计算，然后各段累加起来，便可求得结果.如图所示，把圆周分成s 1、s 2、s 3、…、s n 微元段，拉力在每一段上为恒力，则在每一段上做的功W 1＝Fs 1，W 2＝Fs 2，W 3＝Fs 3，…，W n ＝Fs n ，拉力在一个圆周内所做的功W ＝W 1＋W 2＋W 3＋…＋W n ＝F (s 1＋s 2＋s 3＋…＋s n )＝F ·2πR .所以驴拉磨转动一周，拉力做功为2πRF .例5 如图10所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m 的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k ，弹簧处于自然状态，用水平力F 缓慢拉木块，使木块前进l ，求这一过程中拉力对木块做了多少功.图10答案 12kl 2解析 解法一 缓慢拉动木块，可认为木块处于平衡状态，故拉力大小等于弹力大小，即F ＝ks .因该力与位移成正比，故可用平均力F ＝ks2求功.当s ＝l 时，W ＝F ·l ＝12kl 2解法二 画出力F 随位移s 的变化图像.当位移为l 时，F ＝kl ，由于力F 做功的大小与图像中阴影的面积相等， 则W ＝12(kl )·l ＝12kl 21.平均值法：若力的方向不变，大小随位移均匀变化，则可用力的平均值乘以位移.2.图像法：如图11所示，变力做的功W 可用 F －s 图线与s 轴所围成的面积表示.s 轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，s 轴下方的面积表示力对物体做负功的多少.图113.分段法(或微元法)：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可，力做的总功W ＝Fs 路或W ＝－Fs 路.空气阻力和滑动摩擦力做功可以写成力与路程的乘积就是这个原理.4.等效替代法：若某一变力做的功与某一恒力做的功相等，则可以用求得的恒力做的功来替代变力做的功.比如：通过滑轮拉动物体时，可将人做的功转化为绳的拉力对物体做的功，或者将绳的拉力对物体所做的功转换为人的拉力对绳做的功.1.(对功的理解)(多选)下列说法中正确的是( ) A.功是矢量，正负表示其方向B.功是标量，正负表示的是外力对物体做功还是物体克服外力做功C.力对物体做正功还是做负功取决于力和位移的方向关系D.力对物体做的功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量 答案 BCD解析 功是标量，正负表示的是外力对物体做功还是物体克服外力做功，A 错误，B 正确；力对物体做正功还是做负功取决于力和位移的方向关系，故C 正确；有力作用在物体上，物体在力的方向上移动了距离，力对物体做的功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量，故D 正确.2.(正负功的判断)如图12所示，重物P 放在一长木板OA 上，将长木板绕O 端转过一个小角度的过程中，重物P 相对于木板始终保持静止，关于木板对重物P 的摩擦力和支持力做功的情况是( )图12A.摩擦力对重物做正功B.摩擦力对重物做负功C.支持力对重物不做功D.支持力对重物做正功 答案 D解析 重物受到的摩擦力方向始终与速度方向垂直，故不做功，支持力方向始终与速度方向相同，故做正功.3.(变力做功的计算)如图13甲所示，静止在光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 的作用下，沿x 轴方向运动，拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线为半圆弧，则小物块运动到x 0处拉力做的功为( )图13A.0B.12F 0x 0C.π6F 0x 0D.π4F 0x 0答案 D解析 图像与位移轴(x 轴)围成的面积即为F 做的功，由图线可知，半圆的半径为：R ＝F 0＝x 02，则W ＝S ＝πR 22＝π2×F 0×x 02＝π4F 0x 0，则D 项正确，A 、B 、C 错误. 课时作业一、选择题(1～7题为单选题，8～11题为多选题)1.下列选项所示的四幅图是小华提包回家的情景，其中小华提包的力不做功的是( )答案 B2.如图所示，力F大小相等，A、B、C、D选项中物体运动的位移s也相同，哪种情况F做功最少( )答案 D解析A选项中，拉力做功W＝Fs；B选项中，拉力做功W＝Fs cos 30°＝32Fs；C选项中，拉力做功W＝Fs cos 30°＝32Fs；D选项中，拉力做功W＝Fs cos 60°＝12Fs，故D选项中拉力F做功最少.3.如图1所示，人站在超市自动扶梯的斜面上，与扶梯一起沿斜面匀速上升.在这个过程中，人脚所受的静摩擦力( )图1A.等于零，对人不做功B.沿斜面向上，对人不做功C.沿斜面向上，对人做负功D.沿斜面向上，对人做正功答案 D解析 人脚受到的静摩擦力沿斜面向上，位移沿斜面向上，故摩擦力做正功，故D 正确. 4.一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则电梯对人的支持力的做功情况是( )A.加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功B.加速时做正功，匀速和减速时做负功C.加速和匀速时做正功，减速时做负功D.始终做正功 答案 D解析 在加速、匀速、减速的过程中，支持力与人的位移方向始终相同，所以支持力始终对人做正功，故D 正确.5.如图2所示，质量为m 的物体A 静止在倾角为θ的斜面体B 上，斜面体B 的质量为M .现对该斜面体B 施加一个水平向左的推力F ，使物体A 随斜面体B 一起沿水平方向向左匀速运动，当移动的距离为l 时，斜面体B 对物体A 所做的功为( )图2A.FlB.mgl sin θ·cos θC.mgl sin θD.0答案 D解析 对物体A 进行受力分析，其受到重力mg 、支持力N 、静摩擦力f ，如图所示，由于物体A 做匀速运动，所以支持力N 与静摩擦力f 的合力即斜面体B 对物体A 的作用力竖直向上，而位移方向水平向左，所以斜面体B 对物体A 的作用力的方向与位移方向垂直，斜面体B 对物体A 所做的功为0，D 正确.6.起重机以1 m/s 2的加速度将质量为1 000 kg 的货物匀加速地向上提升，若g 取10 m/s 2，则在第1 s 内起重机对货物所做的功是( ) A.500 J B.4 500 J C.6 000 J D.5 500 J 答案 D解析 对货物受力分析，由于是匀加速上升，根据牛顿第二定律F －mg ＝ma ，可计算出起重机对货物的拉力F ＝11 000 N ，位移s ＝12at 2＝0.5 m.则在第1 s 内起重机对货物所做的功W＝Fs cos α＝11 000×0.5×1 J＝5 500 J，D正确.7.如图3所示，同一物体分别沿斜面AD和BD自顶点由静止开始下滑，该物体与两斜面间的动摩擦因数相同.在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为W A和W B，则( )图3A.W A>W BB.W A＝W BC.W A<W BD.无法确定答案 B解析设斜面AD、BD与水平面CD所成夹角分别为α、β，根据功的公式，得W A＝μmg cos α·l AD＝μmgl CD，W B＝μmg cos β·l BD＝μmgl CD，所以B正确.8.下面关于功的计算式W＝Fs cos α的说法正确的是( )A.F必须是恒力B.s是路程C.s是位移D.α是力与位移两矢量间的夹角答案ACD9.一物体在两个力F1、F2的共同作用下发生了一段位移，力F1、F2做功分别为W1＝6 J、W2＝－6 J，下列说法正确的是( )A.这两个力一定大小相等、方向相反B.F1是动力，F2是阻力C.这两个力做的总功为0D.F1比F2做的功多答案BC解析由力F1、F2做功的正负可以确定力F1、F2与位移的夹角分别为小于90°、大于90°，但这两个力不一定大小相等、方向相反，A错；F1做正功一定是动力，F2做负功一定是阻力，但正负不表示功的大小，B对，D错；两个力做的总功等于这两个力所做功的代数和，C对.10.以一定的初速度竖直向上抛出质量为m的小球，它上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为f.则从抛出点回到原出发点的过程中，各力做功的情况正确的是( )A.重力做的功为零B.空气阻力做的功为－2fhC.空气阻力做的功为2fhD.物体克服重力做的功为－mgh答案 AB解析 根据功的计算公式得：W G ＝0W f ＝f ·2h ·cos 180°＝－2fh所以选项A 、B 正确.11.如图4所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P 匀速送到皮带顶端，在这个过程中，下列说法中正确的是( )图4A.摩擦力对物体P 做正功B.物体P 克服摩擦力做功C.皮带克服摩擦力做功D.摩擦力对皮带不做功答案 AC解析 物体相对于皮带有向下运动的趋势，故受斜向上的静摩擦力，摩擦力的方向与物体运动方向相同，故摩擦力对P 做正功，A 正确，B 错误；物体受斜向上的静摩擦力，根据牛顿第三定律，物体对皮带的摩擦力斜向下，而皮带向上运动，故摩擦力对皮带做负功，C 正确，D 错误.二、非选择题12.一物体放在水平地面上，如图5甲所示，已知物体所受水平拉力F 随时间t 的变化关系如图乙所示，物体相应的速度v 随时间t 的变化关系如图丙所示.求：图5(1)0～6 s 时间内物体的位移大小；(2)0～10 s 时间内物体克服摩擦力所做的功.答案 (1)6 m (2)30 J解析 (1)由题图丙可知0～6 s 时间内物体的位移为：s ＝6－22×3 m＝6 m. (2)由题图丙可知，在6～8 s 时间内，物体做匀速运动，于是有摩擦力f ＝2 N.0～10 s 时间内物体的总位移为：s ′＝(8－6)＋(10－2)2×3 m＝15 m. 物体克服摩擦力所做的功：W ＝fs ′＝2×15 J＝30 J.13.如图6所示，用沿斜面向上、大小为800 N 的力F ，将质量为100 kg 的物体沿倾角为37°的固定斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L ＝5 m ，物体与斜面间的动摩擦因数为0.25.求这一过程中：(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)图6(1)物体的重力所做的功；(2)摩擦力所做的功；(3)物体所受各力的合力所做的功.答案 (1)－3 000 J (2)－1 000 J (3)0解析 物体受力情况如图所示(1)W G ＝－mgL sin θ＝－3 000 J(2)f ＝μN ＝μmg cos θW f ＝－fL ＝－μmg cos θ·L ＝－1 000 J(3)解法一 W F ＝FL ＝4 000 JW ＝W F ＋W G ＋W f ＝0解法二 物体做匀速运动，F 合＝0故W ＝0.。

3．3 动能定理的应用动能定理的应用[先填空]1．应用动能定理解题的优越性应用动能定理分析问题，只需考虑物体初、末状态的动能与所做的功，而不必考虑物体的加速度和时间，因而往往比用牛顿定律和运动学规律更简捷．2．合力做功与动能变化方法一：错误!方法二：{①分析物体的受力情况，求出合外力②求出合外力做的功.3．由动能定理计算变力做功当变力对物体做功时，很难根据功的公式W＝Fs求出功，但根据做功与动能变化的关系就可以方便地求出功．[再判断]1．物体的动能不变化，则运动物体所受合外力为零．(×)2．如果物体所受合外力为零，则其动能一定不变化．(√)3．合外力做正功时，物体的动能一定增大．(√)[后思考]英国传统跑车的代表品牌莲花以机器排量小，整车质量轻而著称，某型号汽车排量只有1.8 L，重量为675 kg，却可以经过5.9 s加速到百公里时速．该跑车从静止到加速到100 km/h，外力需对它做多少功？【提示】外力对它做的功等于跑车动能的增加量，故W＝12mv2＝12×675×⎝⎛⎭⎪⎫1003.62 J＝2.6×105 J.[合作探讨]探讨1：物体下落时，随着速度的增大，所受空气阻力也逐渐增大，该过程动能定理还适用吗？【提示】 适用．动能定理对恒力做功、变力做功都适用．探讨2：将某物体斜向上抛出，若忽略空气阻力，它的速度大小怎么变化？【提示】 物体只受重力作用，上升和下降过程中合力分别做负功和正功，故物体的速度先减小后增大．[核心点击]1．应用动能定理解题的步骤：(1)确定研究对象和研究过程(研究对象一般为单个物体或相对静止的物体组成的系统)．(2)对研究对象进行受力分析(注意哪些力做功或不做功)． (3)确定合外力对物体做的功(注意功的正负)．(4)确定物体的初、末动能(注意动能增量是末动能减初动能)． (5)根据动能定理列式、求解．2．动能定理与牛顿运动定律运动学公式结合法解题的比较：简单，不易出错．3．应用技巧：(1)做变加速运动或曲线运动的物体常用动能定理研究．(2)当不涉及加速度、时间的计算时，做匀变速直线运动的物体也常用动能定理研究．1.(2014·大纲全国卷)一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动．当物块的初速度为v 时，上升的最大高度为H ，如图3­3­1所示；当物块的初速度为v2时，上升的最大高度记为h .重力加速度大小为g .物块与斜坡间的动摩擦因数和h 分别为( )图3­3­1A ．tan θ和H2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫v 22gH －1tan θ和H 2 C ．tan θ和H4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫v 22gH －1tan θ和H 4 【解析】 由动能定理有 －mgH －μmg cos θH sin θ＝0－12mv 2－mgh －μmg cos θhsin θ＝0－12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫v 22解得μ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫v 22gH －1tan θ，h ＝H 4，故D 正确．【答案】 D2．篮球比赛中一运动员在某次投蓝过程中对篮球做功为W ，出手高度为h 1，篮筐距地面高度为h 2，球的质量为m ，不计空气阻力，则篮球进筐时的动能为( )A ．W ＋mgh 1－mgh 2B ．mgh 2－mgh 1－WC ．mgh 1＋mgh 2－WD ．W ＋mgh 2－mgh 1【解析】 投篮过程中，篮球上升的高度h ＝h 2－h 1，根据动能定理得W －mgh ＝E k －0，故篮球进筐时的动能E k ＝W －mg (h 2－h 1)＝W ＋mgh 1－mgh 2，A 正确．【答案】 A3．如图3­3­2所示，一根长为l 1的橡皮条和一根长为l 2的绳子(l 1＜l 2)悬于同一点，橡皮条的另一端系一A 球，绳子的另一端系一B 球，两球质量相等，现从悬线水平位置(绳拉直，橡皮条保持原长)将两球由静止释放，当两球摆至最低点时，橡皮条的长度与绳子长度相等，此时两球速度的大小为( )图3­3­2A ．B 球速度较大 B ．A 球速度较大C ．两球速度相等D ．不能确定【解析】 根据动能定理得，对A 和橡皮条系统：mgl 2－W ＝12mv 2A ，其中W 为橡皮条对A做的功．对B ：mgl 2＝12mv 2B .显然v A ＜v B ，故A 正确．【答案】 A解决动力学问题的技巧动能定理与牛顿运动定律运动学公式结合法是解决力学问题的两种重要方法，有的问题既能用牛顿运动定律运动学公式结合法解决，也能用动能定理解决．(1)通常情况下，某问题若涉及时间或过程的细节，要用牛顿运动定律运动学公式结合法去解决；(2)某问题若不考虑具体细节、状态或时间，一般要用动能定理去解决．动 能 定 理 在 复 杂 过 程 中 的 应 用[合作探讨]如图3­3­3所示，AB 为14圆弧轨道，BC 为水平直轨道，圆弧的半径为R ，BC 的长度也是R .一质量为m 的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A 从静止开始下落时，恰好运动到C 处停止．图3­3­3探讨：那么要求解物体在AB 段克服摩擦力所做的功的大小，应选哪个过程应用功能定理，求解更简便？其大小为多少？【提示】 应选物体，由A 到C 的全程应用动能定理求解更简便，即mgR －W f －μmgR ＝0可得W f ＝(1－μ)mgR .[核心点击]1．对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理．(1)分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解．(2)全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力的做功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解．2．由两个或多个物体组成的连接体是物理命题中常见的物理情景，这类问题若不涉及时间问题，应用动能定理形式求解将呈现事半功倍的效果．4．(2016·吉林高一检测)如图3­3­4所示，质量为m 的钢珠从高出地面h 处由静止自由下落，落到地面进入沙坑h10停止，则图3­3­4(1)钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？(2)若让钢珠进入沙坑h8，则钢珠在h 处的动能应为多少？设钢珠在沙坑中所受平均阻力大小不随深度改变．【解析】 (1)取钢珠为研究对象，对它的整个运动过程，由动能定理得W ＝W f ＋W G ＝ΔE k＝0.取钢珠停止处所在水平面为重力势能的零参考平面，则重力的功W G ＝1110mgh ，阻力的功W f ＝－110fh ，代入得1110mgh －110fh ＝0，故有fmg＝11，即所求倍数为11.(2)设钢珠在h 处的动能为E k ，则对钢珠的整个运动过程，由动能定理得W ＝W f ＋W G ＝ΔE k ， 即9mgh 8－fh 8＝－E k ，得E k ＝mgh 4. 【答案】 (1)11 (2)mgh45．如图3­3­5所示，质量为m ＝1 kg 的木块静止在高h ＝1.2 m 的平台上，木块与平台间的动摩擦因数μ＝0.2，用水平推力F ＝20 N 使木块产生位移l 1＝3 m 时撤去力F ，木块又滑行l 2＝1 m 时飞出平台，求木块落地时速度的大小．(g 取10 m/s 2)图3­3­5【解析】 可按以下流程对本题进行解答【答案】 11.3 m/s6.如图3­3­6所示，在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮K ，一条不可伸长的轻绳绕过K 分别与物块A 、B 相连，A 、B 的质量分别为m A 、m B ，开始时系统处于静止状态．现有一水平恒力F 拉物块A ，使物块B 上升．已知当B 上升距离为h 时，B 的速度为v .求此过程中物块A 克服摩擦力所做的功．(重力加速度为g )图3­3­6【解析】 研究对象为A 、B 组成的系统，当B 的速度为v 时，A 的速度大小也为v ，对系统由动能定理得，W F －W f －W G B ＝12(m A ＋m B )v 2－0，即Fh －W f －m B gh ＝12(m A ＋m B )v 2，此过程中物块A 克服摩擦力所做的功为W f ＝Fh －m B gh －12(m A ＋m B )v 2.【答案】 Fh －m B gh －12(m A ＋m B )v 2对多过程的问题应用动能定理时，要注意分析各个过程中各个力做功的情况，有的力参与了全过程，有的力只参与了部分过程，正确求出各个力所做的功是解题的关键.。

第3章 动能的变化与机械功章末总结一、功和功率的计算1.功的计算方法(1)利用W ＝Fs cos α求功，此时F 是恒力.(2)利用动能定理或功能关系求功.(3)利用W ＝Pt 求功.2.功率的计算方法(1)P ＝W t ：此式是功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，但常用于求解某段时间内的平均功率.(2)P ＝Fv cos α：此式一般计算瞬时功率，但当速度为平均速度时，功率为平均功率. 例1 质量为m ＝20 kg 的物体，在大小恒定的水平外力F 的作用下，沿水平面做直线运动.0～2 s 内F 与运动方向相反，2～4 s 内F 与运动方向相同，物体的v －t 图像如图1所示，g 取10 m/s 2，则( )图1A.拉力F 的大小为100 NB.物体在4 s 时拉力的瞬时功率为120 WC.4 s 内拉力所做的功为480 JD.4 s 内物体克服摩擦力做的功为320 J答案 B解析 由图像可得：0～2 s 内物体做匀减速直线运动，加速度大小为：a 1＝Δv Δt ＝102 m/s 2＝5 m/s 2，匀减速过程有F ＋f ＝ma 1.匀加速过程加速度大小为a 2＝Δv ′Δt ′＝22m/s 2＝1 m/s 2，有F －f ＝ma 2，解得f ＝40 N ，F ＝60 N ，故A 错误.物体在4 s 时拉力的瞬时功率为P ＝Fv＝60×2 W＝120 W ，故B 正确.4 s 内物体通过的位移为s ＝(12×2×10－12×2×2)m＝8 m ，拉力做功为W ＝－Fs ＝－480 J ，故C 错误.4 s 内物体通过的路程为x ＝(12×2×10＋12×2×2)m ＝12 m ，摩擦力做功为W f ＝－fx ＝－40×12 J＝－480 J ，故D 错误.针对训练 1 如图2所示，两个完全相同的小球A 、B ，在同一高度处以相同大小的初速度v 0分别水平抛出和竖直向上抛出，不计空气阻力，则( )图2A.两小球落地时速度相同B.两小球落地时重力的功率相等C.从开始运动至落地，重力对两小球做功相同D.从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相等答案 C解析 由机械能守恒定律可得两球落地时速度大小相等，但落地时的速度方向不相同，故速度不相同，A 项错误.重力在落地时的瞬时功率P ＝mgv cos α，α为重力与速度方向的夹角，由于α不相等，故两小球落地时重力的功率不相等，B 项错误.重力做功取决于下降的高度h ，从开始运动至落地h 相等，故重力对两小球做功相同，C 项正确.重力做功的平均功率P ＝W t ，两球运动的时间不相等，故重力对两小球做功的平均功率不相等，D 项错误.针对训练2 (多选)如图3所示，一质量为1.2 kg 的物体从倾角为30°、长度为10 m 的光滑斜面顶端由静止开始下滑.g ＝10 m/s 2，则( )图3A.物体滑到斜面底端时重力做功的瞬时功率是60 WB.物体滑到斜面底端时重力做功的瞬时功率是120 WC.整个过程中重力做功的平均功率是30 WD.整个过程中重力做功的平均功率是60 W答案 AC解析 由动能定理得mgs sin 30°＝12mv 2，所以物体滑到斜面底端时的速度为10 m/s ，此时重力做功的瞬时功率为P ＝mgv cos α＝mgv cos 60°＝1.2×10×10×12W ＝60 W ，故A 对，B 错.物体下滑时做匀加速直线运动，其受力情况如图所示.由牛顿第二定律得物体的加速度a ＝mg sin 30°m ＝10×12 m/s 2＝5 m/s 2；物体下滑的时间t ＝v a ＝105s ＝2 s ；物体下滑过程中重力做的功为W ＝mgs ·sin θ＝mgs ·sin 30°＝1.2×10×10×12J ＝60 J ；重力做功的平均功率P ＝W t ＝602W ＝30 W.故C 对，D 错. 二、对动能定理的理解及在多过程问题中的应用动能定理一般应用于单个物体，研究过程可以是直线运动，也可以是曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功；既适用于各个力同时作用在物体上，也适用于不同的力分阶段作用在物体上，凡涉及力对物体做功过程中动能的变化问题几乎都可以使用，但使用时应注意以下几点：1.明确研究对象和研究过程，确定初、末状态的速度情况.2.对物体进行正确的受力分析(包括重力、弹力等)，弄清各力做功大小及功的正、负情况.3.有些力在运动过程中不是始终存在，物体运动状态、受力等情况均发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待，正确表示出总功.4.若物体运动过程中包含几个不同的子过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一个整体过程考虑，列出动能定理方程求解.例2 一列火车由机车牵引沿水平轨道行驶，经过时间t ，其速度由0增大到v .已知列车总质量为M ，机车功率P 保持不变，列车所受阻力f 为恒力.求这段时间内列车通过的路程.答案 Pt －12Mv 2f解析 以列车为研究对象，列车水平方向受牵引力和阻力.设列车通过的路程为x .据动能定理W F －W f ＝12Mv 2－0，因为列车功率一定，据P ＝W t 可知牵引力的功W F ＝Pt ，Pt －fx ＝12Mv 2，解得x ＝Pt －12Mv 2f .针对训练3 如图4所示，光滑斜面AB 的倾角θ＝53°，BC 为水平面，BC 长度l BC ＝1.1 m ，CD 为光滑的14圆弧，半径R ＝0.6 m.一个质量m ＝2 kg 的物体，从斜面上A 点由静止开始下滑，物体与水平面BC 间的动摩擦因数μ＝0.2，轨道在B 、C 两点光滑连接.当物体到达D 点时，继续竖直向上运动，最高点距离D 点的高度h ＝0.2 m.sin 53°＝0.8，c os 53°＝0.6.g 取10 m/s 2.求：图4(1)物体运动到C 点时的速度大小v C ；(2)A 点距离水平面的高度H ；(3)物体最终停止的位置到C 点的距离x .答案 (1)4 m/s (2)1.02 m (3)0.4 m解析 (1)物体由C 点运动到最高点，根据动能定理得：－mg (h ＋R )＝0－12mv 2C 代入数据解得：v C ＝4 m/s(2)物体由A 点运动到C 点，根据动能定理得：mgH －μmgl BC ＝12mv 2C －0 代入数据解得：H ＝1.02 m(3)从物体开始下滑到停下，根据动能定理得：mgH －μmgx 1＝0代入数据，解得x 1＝5.1 m由于x 1＝4l BC ＋0.7 m所以，物体最终停止的位置到C 点的距离为：x ＝0.4 m.例3 滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来.如图5是滑板运动的轨道，BC 和DE 是两段光滑圆弧形轨道，BC 段的圆心为O 点，圆心角为60°，半径OC 与水平轨道CD 垂直，水平轨道CD 段粗糙且长8 m.某运动员从轨道上的A 点以3 m/s 的速度水平滑出，在B 点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道BC ，经CD 轨道后冲上DE 轨道，到达E 点时速度减为零，然后返回.已知运动员和滑板的总质量为60 kg ，B 、E 两点到水平轨道CD 的竖直高度分别为h 和H ，且h ＝2 m ，H ＝2.8 m ，g 取10 m/s 2.求：图5(1)运动员从A 点运动到达B 点时的速度大小v B ；(2)轨道CD 段的动摩擦因数μ；(3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B 点？如能，请求出回到B 点时速度的大小；如不能，则最后停在何处？答案 (1)6 m/s (2)0.125 (3)不能回到B 处，最后停在D 点左侧6.4 m 处或C 点右侧1.6 m 处解析 (1)由题意可知：v B ＝v 0cos 60° 解得：v B ＝6 m/s.(2)从B 点到E 点，由动能定理可得：mgh －μmgx CD －mgH ＝0－12mv 2B 代入数据可得：μ＝0.125.(3)设运动员能到达左侧的最大高度为h ′，从B 到第一次返回左侧最高处，根据动能定理得：mgh －mgh ′－μmg ·2x CD ＝0－12mv 2B 解得h ′＝1.8 m<h ＝2 m所以第一次返回时，运动员不能回到B 点设运动员从B 点运动到停止，在CD 段的总路程为x ，由动能定理可得：mgh －μmgx ＝0－12mv 2B ④解得：x ＝30.4 m因为x ＝3x CD ＋6.4 m ，所以运动员最后停在D 点左侧6.4 m 处或C 点右侧1.6 m 处.三、动能定理与平抛运动、圆周运动的结合动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量. (2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：①有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为v min ＝0. ②没有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为v min ＝gR . 例4 如图6所示，一可以看成质点的质量m ＝2 kg 的小球以初速度v 0沿光滑的水平桌面飞出后，恰好从A 点沿切线方向进入圆弧轨道，其中B 为轨道的最低点，C 为最高点且与水平桌面等高，圆弧AB 对应的圆心角θ＝53°，轨道半径R ＝0.5 m.已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，g 取10 m/s 2.图6(1)求小球的初速度v 0的大小；(2)若小球恰好能通过最高点C ，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功.答案 (1)3 m/s (2)－4 J解析 (1)在A 点由平抛运动规律得： v A ＝v 0cos 53°＝53v 0. ①小球由桌面到A 点的过程中，由动能定理得mg (R ＋R cos θ)＝12mv 2A －12mv 20 ②由①②得：v 0＝3 m/s.(2)在最高点C 处有mg ＝mv 2C R ，小球从桌面到C 点，由动能定理得W f ＝12mv 2C －12mv 20，代入数据解得W f ＝－4 J.针对训练4 如图7所示，在某电视台的“冲关大挑战”节目中，参赛选手沿固定的倾斜滑道AB 下滑，通过光滑圆弧轨道BC 后从C 点飞出，落到水池中的水平浮台DE 上才可以进入下一关.某次比赛中，选手从A 点由静止开始下滑，恰好落在浮台左端点D .已知滑道AB 与圆弧BC 在B 点相切，C 点切线水平，AB 长L ＝5 m ，圆弧半径R ＝2 m ，∠BOC ＝37°，C 点距浮台面的竖直高度h ＝2.45 m ，水平距离L 1＝2.8 m ，浮台宽L 2＝2.1 m ，选手质量m ＝50 kg ，不计空气阻力.求：图7(1)选手运动到C 点时的速度大小；(2)在圆弧C 点，选手对轨道压力大小；(3)若要进入下一关，选手在A 点沿滑道下滑的初速度最大是多少？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)答案 见解析解析 (1)选手从C 点飞出后做平抛运动，所以：h ＝12gt 2L 1＝v C t代入数据得：v C ＝4 m/s(2)设在C 点选手受到的支持力大小为N ，则在C 点：N －mg ＝m v 2C R 代入数据得：N ＝900 N根据牛顿第三定律，在C 点，选手对轨道的压力大小为900 N.(3)由功能关系，选手从A 运动到C 过程中，满足：mg (L sin 37°＋R －R cos 37°)－W f ＝12mv 2C 若要进入下一关，选手最远运动到E 点，设此时选手运动到达C 点时的速度大小为v C ′，根据题目条件得：v C ′＝7 m/s设最大初速度为v m ，根据功能关系得：mg (L sin 37°＋R －R cos 37°)－W f ＝12mv C ′2－12mv 2m 联立表达式，代入数据得：v m ＝33 m/s。