中山大学岭南(大学)学院七月夏令营推免数学试题

广州市岭南中学2025届高考数学必刷试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）A．6 B ．13 C．3 D ．12．已知关于xsin 2x x m π⎛⎫+-=⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．[)1,2 C ．[)0,1 D ．[]0,13．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45- B ．45C ．35D ．35 4．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ） A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤ 5．已知π3π,22α⎛⎫∈⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）． A ．15± B ．15- C ．15 D ．75- 6．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ） A ．92 B．2 C ．13 D7．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=- 8．函数1()1xx e f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A ． B ． C ．D ． 9．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．710．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．1611．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,0)2- B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)2 12．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年师华师启航夏令营数学A卷解答一、选择题1、答：B2、答：C3、答：A4、答：D5、答：C6、答：B7、答：A8、答：D9、答：A10、答：C二、填空题1、答：162、答：0.253、答：454、答：645、答：6三、解答题1、解：题目所求是一个等差数列的和，首先求得等差数列的公差为3，然后利用等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2，其中n为项数，a1为首项，an为末项。

代入公式得：S10=10(2+29)/2=10*31/2=155答：1552、解：根据题意可知7个球从7个不同的箱子中进行放置，那么第一个球有7种放法，第二个球有6种放法，第三个球有5种放法，以此类推，第七个球只有一种放法，所以总共的放法数为7*6*5*4*3*2*1=5040答：50403、解：设学生数为x，班级数为y，根据题意可列出方程组：x-y=12x+y=38解得：x=25，y=13答：25，134、解：根据勾股定理可知，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。

已知a+b=17，a²+b²=145，代入勾股定理方程组中解得a=8，b=9 答：8,95、解：根据题意可知等边三角形的外接圆半径为边长的3/2倍，那么外接圆的半径为10*3/2=15答：15本次数学A卷解答完整，仅供参考。

接下来我们将继续扩写上面的解答内容，为您详细解析数学A卷中的各道选择题、填空题和解答题。

四、解析选择题1. 题目：已知正整数n满足n^2-5n+6=0，则n的取值范围是？解析：对于这道选择题，我们可以利用一元二次方程ax^2+bx+c=0的求解方法。

计算出Δ=b^2-4ac，根据Δ的情况分类讨论：若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程无实数根。

根据题目所给的n^2-5n+6=0，计算Δ=(-5)^2-4*1*6=25-24=1>0，因此这道题的解为两个不相等的实数根。

复旦数院夏令营笔试题【引言】今年七月，我参加了复旦大学数学科学学院的夏令营。

这是一场充满挑战和激动的旅程，我深刻感受到了数学的魅力和复旦的学术氛围。

以下是夏令营的笔试题，虽然不算难度很高，但能够反映出夏令营学生的整体水平和能力。

【第一部分：思维能力】1. 100个石头问题有100个石头，两人轮流拿，第一个人可以拿1-5个，第二个可以拿1-5个，以此类推，拿到最后一个石头的人胜利，你是先手，请问你怎么选才能保证必胜。

2. 夹生鸡蛋问题有一盒鸡蛋，已知其中一个蛋夹生了，现在要分成两份，如何快速确定哪个是夹生蛋。

【第二部分：数学应用】1. 羽毛球比赛问题某地区约有600名羽毛球爱好者，要求组成300个女双比赛组和225个男单比赛组，每组选手数量相同，且不重复。

请问，最多可以组成多少个这样的比赛组？2. 狗肉炒香干问题你正在做一道狗肉炒香干的菜，需要按以下比例配料：- 狗肉 : 香干 = 3 : 5- 狗肉 : 辣椒 = 2 : 1已知有800克狗肉和200克辣椒，问需要多少克香干才能按比例配料？【第三部分：计算机应用】1. JAVA程序设计问题请写出一个JAVA程序，输入一个整数N，输出一个N阶的杨辉三角形。

2. PYTHON程序设计问题请写出一个PYTHON程序，从一个文本文件中读取1000个浮点数，并计算它们的平均值和标准差，将结果输出到另一个文本文件中。

通过这些题目的训练，我们不仅能够提高自己的思维能力和创造力，更能够拓宽自己的知识面和学术视野。

希望大家在这次夏令营中都能够有所收获，也期待着大家在未来的数学学习和研究中取得更加出色的成绩。

中山大学考研数学三真题概述考研数学是中山大学研究生入学考试的一门重要科目之一。

作为数学科目的一部分，数学三主要涵盖了高等数学理论、数学方程、概率论等内容。

为了帮助考生更好地备考，在本文档中，我们将提供一些中山大学考研数学三真题，并对这些题目进行解析和讨论。

真题一1. 设函数 f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1，计算 f(-1)。

分析：根据给定的函数 f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1，我们只需要将 x 替换为 -1，并按照计算规则进行计算。

具体计算步骤如下：f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1= -1 + 3 + (-3) + 1= 0解析：根据计算结果，f(-1) = 0。

这意味着在 x = -1 时，函数 f(x) 的取值为零。

真题二2. 已知有三个事件 A、B、C，其概率分别为 P(A) = 0.4，P(B) = 0.8，P(C) = 0.2，且事件 A、B 相互独立，事件 A、C 不相互独立。

求事件 A 与 (B ∪ C) 的概率。

分析：根据题目要求，我们需要求事件 A 与 (B ∪ C) 的概率。

根据概率的计算公式，我们可以将其转化为 P(A ∩ (B ∪ C)) 的计算。

由于事件 A、B 相互独立，我们可以得到 P(A) · P(B ∪ C) = P(A) · (P(B) + P(C) - P(B) · P(C))。

解析：根据已知的概率值和计算公式，我们可以进行具体计算。

根据题目给定的数据，我们可以得到 P(B ∪ C) = P(B) + P(C) - P(B) · P(C) = 0.8 + 0.2 - 0.8 · 0.2 = 0.96。

然后将此结果带入到 P(A ∩ (B ∪ C))的计算公式中，我们可以得到 P(A) · P(B ∪ C) = 0.4 · 0.96 = 0.384。

中山大学岭南学院2016年夏令营免试生复试指引一、2016年8月24日报到1.报到时间：9:00—15:002.报到地点：中山大学岭南学院岭南堂一楼大厅3.报到时携带：身份证、学生证原件4.在公布栏查看笔试座位安排表二、2016年8月25日笔试1.科目：数学（含微积分、线性代数、概率论与数理统计）。

时间：19：00——21：00地点：叶葆定堂和黄传经堂课室，具体课室请于报到当天查看公布栏笔试安排表。

2.笔试成绩计入复试总成绩。

3.笔试为闭卷考试。

请考生提前15分钟进考场，对号入座。

4.将学生证和身份证放在桌面右上角，以备查验；不允许自带草稿纸；关闭手机等通讯设备;与所有和考试无关的物品集中放在课室前方；作弊者，笔试成绩以零分计。

5.在答题纸上写明复试专业、姓名、营员ID号。

6.考试完毕后将试题纸、答题纸、草稿纸一并上交。

三、2016年8月27日-28日上午面试（一）免试硕士生1.面试内容外语运用能力：含听力及口语的测试业务能力考核：含专业和综合素质2.面试方法：面试小组对参加面试的考生逐个进行面试，由面试小组提问，考生当场回答的方式进行。

（二）直博生第一轮面试1.面试内容外语运用能力：含听力及口语的测试。

业务能力考核：包括专业基础和研究计划。

1)专业基础：重点考核考生综合运用所学知识的能力，本学科前沿知识及最新研究动态的掌握情况、是否具备作为博士培养的潜能和综合素质等相关内容；2)研究计划（PPT陈述及答辩）。

2.面试方法：面试小组对参加面试的考生逐个进行面试，由面试小组提问，考生当场回答的方式进行。

（三）面试安排注：1.面试顺序及分组在面试前随机抽号来决定。

2.面试当天7：30凭身份证和学生证入场，入场后在岭南堂三楼讲学厅等待，7:50抽取面试分组和面试序号。

等待面试的过程中请保持安静，面试结束后请离开岭南堂，勿在附近逗留。

四、2016年8月29日上午直博生第二轮面试注：1.第一轮复试成绩合格（不低于60分）的营员方能参加第二轮面试。

2023年中山大学强基计划测试数学试题共4道解答题，考试时间2023年7月1日，时长为45分钟1.已知*n N ∈，求1022k nk k n +=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑的值.2.已知*n N ∈，求证：7不整除12n +.3.解方程：222cos cos 2cos 31x x x ++=4.解不等式：229x <+2023年中山大学强基计划测试数学试题解析1.已知*n N ∈，求1022k nk k n +=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑的值.分析：中学求和无非是等比数列类型或裂项类型的，本体不是等差等比数列，所以尝试裂项求和.解：显然1121222k k k n n ++⎡⎤+⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦根据取整等号的性质有：[]122x x x +⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以111121222222k k k k k n n n n n ++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以得：110100222222k n n k k k n k k n n n n n n +++==⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑2.已知*n N ∈，求证：7不整除12n +.分析：同余性质解：3321(mod 7)21(mod 7)k ≡∴≡ 易知313222(mod 7),24(mod 7)k k ++≡≡，总之21(mod 7)n≠-，所以原命题成立.3.解方程：222cos cos 2cos 31x x x ++=分析：降幂，和差化积.解：21cos 1cos 42cos 32x x x ++++=，和差化积得：22cos cos32cos 30x x x +=再次和差化积cos cos 2cos30x x x =所以cos 0cos 20cos30x x x ===或或当且仅当22()2436k x k k k ππππππ=±±±∈ 或或4.解不等式：229x <+分析：分母有理化解：易知120,1x +≥≠12x ≥-且0x ≠，22229291)29LHS x x x =<+⎡⎤<++<+所以化简得：457,8x <<综上可得：145,0(0,28x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦。

中山大学岭南（大学）学院七月夏令营推免数学试题
一、微积分部分
1（10分）.求极值：1220lim 1a a a dx x a +→++⎰
2（15分）.在点A （1，-2）邻域内对f(x,y)=2x2-xy-y2-6x-3y+5进行Taylor 展开
3（15分）.应用一阶导数求最值的经济应用题，是个分段函数，还是很简单的，纸片实在太小，所以没写下来
二、线性代数部分
4（10分）.求f(x 1,x 2,x 3)=x 1+x 2-e x1-e x2+2e x3-23x e 的极值
5（10分）.若A 2=A ，而A 不是单位矩阵，证明A 必定是奇异矩阵。

6（10分）.若 21121214x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，求X
三、概率论部分
7（10分）.X 具有对称的密度函数p(x),即p(x)=p(-x),则对于F(x),a>0证明：
（1）F(-a)=1-F(a)= 0
1()2a p x dx -⎰ （2）p{lxl<a}=2F(a)-1
（3）p{lxl>a}=2-2F(a)
8（20分）.设（X,Y ）二维连续，具有密度函数p(x,y)
（1）令Z=X-Y,证明Z 的密度函数是f(z)= (,)p x x z dx +∞-∞-⎰
（2）设g(·)是奇函数，证明若X ，Y 独立同分布，则E[g(x-y)]=0。

数学保研面试真题答案解析数学保研面试是每个数学研究生考生迈入研究领域的一个重要关卡。

无论是哪个学校的保研面试，都会涉及数学的基础知识和各个分支的深入理解。

下面，我们将对一道典型的数学保研面试题进行解析，帮助大家更好地了解面试的考察点和解题技巧。

问题：给定一个正方形OABC，取一点P在其内部，连接OP、OA、OB、OC，并且有以下关系式成立：OP²=OA²+OB²+OC²。

求证：P点在正方形的内部的充分必要条件是，以P为圆心，以PA、PB、PC为半径的3个圆相交于同一点。

解析：首先，我们先来理解一下题目中的关系式。

这个关系式其实就是要求点P到三边的距离的平方等于点P到三个顶点的距离的平方之和。

这个关系式在几何问题中经常被使用到，类似于勾股定理。

我们先来证明P点在正方形内部的充分必要条件是以P为圆心，以PA、PB、PC为半径的3个圆相交于同一点。

证明：充分性：假设以P为圆心，以PA、PB、PC为半径的3个圆相交于同一点，我们要证明P点在正方形内部。

设三个圆的交点为Q，由于Q点在圆PA上，所以PQ=PA。

同理，我们可以得到PQ=PB=PC。

根据三角不等式，可以得到PA+PB>AB，PB+PC>BC，PC+PA>AC。

由于正方形的特性，AB=BC=AC。

所以，PA+PB>AB=BC=AC=PC+PA，即PA>PC，PB>PC。

假设P点在正方形外部，则可以得到PA>AB，PB>BC，PC>AC。

将PA、PB、PC代入关系式OP²=OA²+OB²+OC²，我们可以得到：(PA+PB)²=OA²+OB²+OC²+(AB+BC)²(PA+PB)²>(AB+BC)²但是，这与PA+PB=AB+BC相矛盾。

所以，我们可以推断P点在正方形外部是不成立的。