【精品】第八章灰色线性规划

●农村经济灰色线性规划方法在土地资源利用结构优化中的应用张广慧土地资源利用结构配置的优化是土地规划编制的核心，土地利用规划结构决定了未来土地利用的基本框架，它的合理与否将直接影响国民经济各部门的发展，从而影响社会的进步。

土地利用是一个非常复杂的系统，用系统化的方法来优化土地利用结构，使未来土地利用更合理。

但由于任何模型都是现实系统的近似描述，所得最优解对现实系统也必然是近似的结果，鉴于此，本论文试图构建在若干条件的干预、支持与制约下实现社会效益、经济效益和生态效益的最优以及三者之间的协调统一下的多目标灰色线性规划方法，提供多种环境津地区土地资源利用结构的优化方案，供有关部门作土地规划时参考。

一、灰色线性规划方法线性规划是运筹学的一个重要分支，它是一种在具有确定目标又有一定约束限制条件下，从所有可能的选择方案中找出最优方案的数学方法，也是目前研究多变量复杂系统常用的一种最优化方法。

但是，一般的线性规划存在问题为：①静态规划不能反映约束条件随时间变化的情况；②当规划模型或约束条件中出现灰数时不便处理；③从理论上讲，定义在凸集上的凸函数是有解的，而实际计算中往往因技巧、技术问题使求解过程难以进行下去。

利用灰色系统的思想和建模方法，使上述问题得到了一定程度的解决。

灰色线性规划弥补了一般线性规划的不足，它不要求目标函数中的效益系数、约束条件中的技术系数、资源量及其他限制量等都被固定下来，而允许技术系数是可变的灰数，约束值是发展的情况下进行，是一种动态的线性规划。

灰色线性规划中的约束条件系数，是灰区间数，既可按下限规划，又可按上限规划，还可按区间内的任何一白化值进行规划。

在区间内，只要可以得到一组白化值，便可得到一组优化方案，从而使规划灵活多变，有众多的调整余地，适应情况的发展变化，避免了常规线性规划使许多具体问题得不到可行解的结论，或解过于死板，无调整余地的缺点。

关于数学模型的求解，除由于灰色线性规划模型中效益系数、技术系数及约束系数是区间灰数外，为体现土地资源利用效益最高、费用最低、土地资源配置最佳的原则，取效益系数的上限、技术系数的下限、约束参数的上限，可得到土地资源利用结构的理论最优方案。

第十章 灰色规划规划实质上属于决策范畴，主要研究在一定约束条件下，如何使目标达到最优. 规划理论所研究的问题，概括起来主要有以下几种：（1）生产安排问题. 在有限资源条件下，确定生产产品的品种、数量，使产值或利润最大；（2）科研管理问题. 在经费一定的条件下，如何分配各类课题的经费额度，各个课题应由哪些人员承担，使科研效率、效益最高；（3）军事指挥问题. 有限的作战部队，如何布置，才能最有效地打击、消灭敌人，取得战争的胜利；（4）农业区划问题. 对于不同的土壤、气候、资源条件，如何选择不同的经济模式，确定各种作物的种植面积，使总的效益最大；（5）工业布局、城市规划问题. 工业如何分布，城市如何发展，对整个国民经济最为有利；（6）运输问题. 在物资调配网点中，如何决定产地和销地之间的运输量，既满足需要，又使运费最小；（7）库存问题. 在一定库存条件下，确定存储物资的品种、数量、期限，使存储效益最高；或在一定的生产或市场需求条件下,如何计划库存,使成本最小；（8）配料问题. 在既定工艺、质量等指标下，确定各种原料的用量，使成本最小； （9）落料问题. 整材下料时，如何使废料最少、材料利用率最高或配套数最大；（10）其他问题. 如怎样分配广告投资，确定宣传手段，使宣传效果最佳；在一定要求下，如何安排各班次值班人数，用人最少等等.在上述问题中，如果约束条件与目标函数都是线性的，就称该问题为线性规划问题.当目标函数或约束条件为任意非线性函数时，相应的问题则称为非线性规划问题.如果是解决某件事“做”还是“不做”或是约束条件中出现“或者这样、或者那样”之类的条件，我们将“做” 、“或者这样”记为1，将“不做”、 “或者那样”记为0，则此类问题中仅出现0和1两个变量，故称为0-1规划.其中线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用较广、方法较为成熟的一个重要分支.但是，普通的线性规划、非线性规划和0-1规划都存在如下的问题：（1）均是静态规划，不能反映约束条件随时间变化的情况； （2）当规划模型或约束条件中出现灰数时，处理不便；（3）从理论上讲定义在凸集上的凸函数是有解的，而实际计算中往往因技巧、技术问题使求解过程难以进行下去.灰色系统的思想和建模方法，可使上述问题得到一定程度的解决.本章主要研究灰参数线性规划、灰色0-1规划、灰色多目标规划和灰色非线性规划.10.1 灰参数线性规划定义10.1.1 设),,2,1;,,2,1(,,n j m i c b a j i ij ==均为常数，),,2,1(n j x j =为未知变量，称n n x c x c x c S +++= 2211max(min) (10.1.1)s.t ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥=≤+++≥=≤+++≥=≤+++0,0,0),(),(),(2122112222212111212111n mn mn m m n n n n x x x bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (10.1.2)为线性规划问题的一般模型，其中式(10.1.1)称为目标函数，式(10.1.2)称为约束条件.定义10.1.2 称CX S =maxs.t ⎩⎨⎧≥=0X bAX为线性规划问题的标准形式，其中],,,[21n c c c C =,[]Tn x x x X ,,,21 =[]m i b b b b b i Tm ,,2,1;0,,,,21 =≥=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211 定义10.1.3 设[]Tn x x x X ,,,21 =[])(,),(),()(21⊗⊗⊗=⊗n c c c C ,[]Tm b b b b )(,),(),()(21⊗⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗)()()()()()()()()()(212222111211mn m m n n a a a a a a a a a A其中,n j c c c c j j j j ,,2,1,0],,[)( =≥∈⊗；m i b b b b i i i i ,,2,1,0],,[)( =≥∈⊗；.,,2,1,,2,10],,[)(n j m i a a a a ij ij ij ij ==≥∈⊗；；则称X C S )(max ⊗=s.t ⎩⎨⎧≥⊗≤⊗0)()(X b X A （10.1.3）为灰参数线性规划(LPGP)问题，并称)(⊗C 为灰色价格向量，)(⊗A 为灰色消耗矩阵，)(⊗b 为灰色资源约束向量，X 为决策向量.实际上，X 也是一个灰向量.定义10.1.4 设.,,2,1;,,2,1],1,0[,,n j m i ij i j ==∈δβρ令灰参数的白化值分别为n j c c c jj j j j ,,2,1;)1()(~ =-+=⊗ρρ m i b b b i i i i i ,,2,1;)1()(~=-+=⊗ββn j m i a a a ijij ij ij ij ,,2,1;,,2,1;)1()(~ ==δ-+δ=⊗ 同时分别用)(~⊗C ，)(~⊗b ，)(~⊗A 表示价格白化向量、资源约束白化向量和消耗白化矩阵.则称X C S )(~max ⊗=s.t ⎩⎨⎧≥⊗≤⊗0)(~)(~X b X A (10.1.4)为LPGP 的定位规划，称),,2,1(n j j =ρ为价格定位系数，),,2,1(m i i =β为资源约束定位系数，),,2,1;,,2,1(n j m i ij ==δ为消耗定位系数.j ρ是j 产品的价格灰数预期波动情况的反映，可通过市场分析确定，较小的j ρ表明j产品的预期价格较低，较大的j ρ表明j 产品的预期价格较高.i β反映了第i 种资源的预期供应状况，i β小表示资源供应偏少，i β大表示资源供应形势较好.同样地，ij δ小表示生产单位j 产品对i 资源的消耗低，ij δ大表示生产单位j 产品对i 资源的消耗高.命题10.1.1 对于给定的灰参数线性规划问题，其定位规划的最优值maxS 是关于),,2,1;,,2,1(,,n j m i ij i j ==δβρ的mn n m ++元函数.因此，定位规划最优值可记为),,2,1;,,2,1),,((max n j m i f S ij i j ===δβρ类似地，可将定位规划记为LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i ij i j ==δβρ为讨论方便，先作以下假定： 假设10.1.1 rank n m A <=⊗))(~(.假设10.1.2 LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i ij i j ==δβρ的可行解集非空.假设10.1.3 向量集}0),(~)(~{≥⊗≤⊗X b X A X 有界.同时，将定位规划LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i ij i j ==δβρ改写为以下形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⊗=N B N B X X C C S )](~),(~[maxs.t ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥⊗≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⊗0,0)(~)](~),(~[N BN B X X b X X N B （10.1.5） 即消耗白化矩阵)(~⊗A 的前m 列为基阵)(~⊗B ，后n -m 列为非基阵)(~⊗N .与)(~⊗B ，)(~⊗N 相对应的基向量和非基向量分别记为N B X X ,，目标函数中与N B X X ,对应的价格白化向量分别记为)(~⊗B C ，)(~⊗N C .由假设10.1.3，并注意到0=N X ，易得[]T T N B b B X X X 0),(~)(~],[1⊗⊗==-)(~)(~)(~1⊗⊗⊗=-b B C S B检验行向量)(~)(~)(~)(~1⊗⊗⊗-⊗=-A B C C r B .命题10.1.2 设式(10.1.4)中的定位规划满足上述假设10.1.1，10.1.2，10.1.3，且[]Tn x x x X ,,,21 =为定位规划式(10.1.5)的基本解，则},,2,1{n j x j =有界.命题10.1.3 满足上述假设10.1.1，10.1.2，10.1.3的定位规划LP ),,2,1,,2,1),,((n j m i ij i j ==；δβρ至少有一个基本可行解.10.2 灰色预测型线性规划定义10.2.1 对于定义10.1.3中的灰色线性规划问题，将其中的)(⊗C ，)(⊗A 先行白化，设)~,,~,~(~21n c c c C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n na aa a aa a a a A ~~~~~~~~~~212222111211 并根据),,2,1)((m i b i =⊗的历史资料))(,),2(),1((s b b b i i i建立GM(1,1)模型，求出其在s +k 时的预测值m i k s b i,,2,1)(ˆ =+；.记 ))(ˆ,),(ˆ),(ˆ(ˆ21k s b k s b k s b b m+++= 称X C S ~max =s.t ⎩⎨⎧≥=0ˆ~X b X A为灰色预测型线性规划问题.对于灰色预测型线性规划问题，可以按照一般线性规划方法进行求解.例10.2.1 某厂生产甲、乙两种产品.甲产品每件需用2.5~3.5个劳动日，耗电3~5千瓦时，煤7~11吨；乙产品每件需用8~12个劳动日，耗电3.5~6.5千瓦时，煤3~5吨.甲产品每件可获利润600~800元，乙产品每件可获利润900~1500元.该厂有可调配劳动力300人，日供煤计划360吨，日供电数据如下表所示：表10.2.1日供电数据问2003年、2004年应如何安排甲、乙两种产品的日产量，使利润最大？解 设甲、乙两种产品的日产量分别为1x ，x 2，则灰色线性规划问题如下：2211)()(max x c x c S ⊗+⊗=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=≤⊗+⊗=≤⊗+⊗⊗≤⊗+⊗0,0300360)(21323213122221211212111x x b x x b x x b x x其中，]800,600[)(1∈⊗c ，]1500,900[)(2∈⊗c ，]5,3[11∈⊗，]5.6,5.3[12∈⊗，]11,7[21∈⊗，]5,3[22∈⊗，]5.3,5.2[31∈⊗，]12,8[32∈⊗.将目标函数和约束条件中的灰元作均值白化，得)1200,700()~,~(~21==c c C ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1034954~~~~~~~323122211211a a a a a a A 由)(1⊗b 的时间序列)190,180,174,168())4(),3(),2(),1((1111=b b b b得GM(1,1)时间响应式为⎪⎩⎪⎨⎧-+=+-=+)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ125.3661125.3829)1(ˆ)1(1)1(110442.0)1(1k b k b k b e k b k 于是得预测值198)5(ˆ1≈b (2003年)， 207)6(ˆ1≈b (2004年) 从而可写出2003年的规划模型211200700max x x S +=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0300103360491985421212121x x x x x x x x此为两个变量的线性规划问题，可用图解法求其最优解.该问题的可行域如图10.2.1所示.目标函数所代表的具有相同斜率的平行 直线族与可行域右上方的最后一个交点为B ， 此即最优点，联立下述方程：⎩⎨⎧=+=+300103198542121x x x x 解得x 1=19.2，x 2=24.24，即为最优解.因此， 图10.2.12003年应安排甲产品日产19.2件，乙产品日 产24.24件，利润最大，其最大利润为max S =700×19.2 +1200×24.24 = 42528 (元)年利润为1552.272万元.此问题亦可以通过引进松弛变量化成标准形式，利用单纯形法求解. 2004年的规划模型为max S = 700x 1 +1200x 2s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0300103360492075421212121x x x x x x x x同前，可求出最优解x 1=22.8，x 2=23.16，最大利润为max S = 700×22.8 +1200×23.16 = 43 752 (元)年利润为1596.948万元.2004年规划与2003年规划相比，日供电量增加9千瓦时，每天利润可增加1224元，而供煤则有一定富裕.2003年日耗煤量为9×19.2 + 4×24.24 = 296.76 (吨)比供应计划少用90.24吨；2004年日耗煤量为9×22.8 + 4×23.16 = 297.84 (吨)比供应计划少用62.16吨.如果不打算进一步增加人力和电力，供煤计划可以适当核减.10.3 灰色漂移型线性规划一、 漂移定理灰色漂移型线性规划也称为灰参数线性规划，其实，一个灰参数线性规划问题是由有限个或无限个一般线性规划问题构成的集合.在以下的证明中，我们假定式(10.1.5)中的白化值和白化矩阵保持其非负性. 定理10.3.1 对于LPGP 的定位规划，当价格定位系数满足j j ρρ'≤；n j ， ,2,1=时，有),,2,1;,,2,1),,((max n j m i f S ij i j ===δβρ S n j m i f ij i j '==='≤max ),,2,1;,,2,1),,(( δβρ证明 因j j ρρ'≤，n j ， ,2,1=，相应有)(~)(~⊗'≤⊗C C .设)(~)(~)(~⊗∆+⊗=⊗'C C C 且0)(~≥⊗∆C .下面分两种情形讨论.不失一般性，假定)(~⊗B 为LP m i ij i j ,,2,1),,(( =δβρ;),,2,1n j =的最优基.10 0)(~)(~)(~)(~1≤⊗⊗⊗'-⊗'-A B C C B此时，定位规划的最优基)(~⊗B 不变，最优解T b B X ]0),(~)(~[1⊗⊗=-亦不变.显然定位规划的最优值满足)(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~max 111⊗⊗⊗∆+⊗⊗⊗=⊗⊗⊗'='---b B C b B C b B C S B B BS max ≥200)(~)(~)(~)(~1>⊗⊗⊗'-⊗'-A B C C B设检验数0)(>⊗'k r ，因此)(~⊗B 不是定位规划LP m i ij i j ,,2,1),,(( =δβρ;),,2,1n j =的最优基，进一步作单纯形迭代，求出其最优基)(~1⊗B 和最优解T b B ]0),(~)(~[11⊗⊗-注意到T b B ]0),(~)(~[1⊗⊗-为定位规划),,2,1;,,2,1),,((n j m i LP ij i j =='δβρ的基可行解，易得Sb B C b B C b B C C b B C b B C S B B B B Bmax )(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~)](~)(~[)(~)(~)(~)(~)(~)(~max 1111111≥⊗⊗⊗∆+⊗⊗⊗=⊗⊗⊗∆+⊗=⊗⊗⊗'≥⊗⊗⊗'='----- 定理10.3.2 对于LPGP 的定位规划，当资源约束定位系数满足i i ββ'≤，m i ,,2,1 =时，有),,2,1;,,2,1),,((max n j m i f S ij i j ===δβρS n j m i f ij i j '==='≤max ),,2,1;,,2,1),,(( δβρ证明 由i i ββ'≤，m i ,,2,1 =，可知)(~)(~⊗'≤⊗b b .设)(~)()(~⊗∆+⊗=⊗'b b b ，0)(~≥⊗∆b ，则有)(~)(~)(~)(~)(~)(~111⊗∆⊗+⊗⊗=⊗'⊗---b B b B b B .10 设0)(~)(~1≥⊗∆⊗-b B ，则0)(~)(~)(~)(~)(~)(~111≥⊗∆⊗+⊗⊗=⊗'⊗---b B b B b B故)(~⊗B 仍为定位规划LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i ij i j =='δβρ的最优基，因此Sb B C S b B C b B C b B C S B B B B max )(~)(~)(~max )(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~max 1111≥⊗∆⊗⊗+=⊗∆⊗⊗+⊗⊗⊗=⊗'⊗⊗='----20若0)(~)(~1<⊗∆⊗-b B ，存在k ，0<∆k x .以下分两种情形讨论：①0≥∆+='k k kx x x .)(~⊗B 仍为定位规划LP m i ij i j ,,2,1),,(( ='δβρ；),,2,1n j =的最优基，由LP ),,2,1,,2,1),,((n j m i ij i j ==；δβρ的最优解为LP ),,2,1,,2,1),,((n j m i ij i j =='；δβρ的可行解,易知S b B C S B '≤⊗⊗⊗=-max )(~)(~)(~max 1②0<∆+='k k kx x x .此时T b B ]0),(~)(~[1⊗⊗-不是LP m i ij i j ,,2,1),,(( ='δβρ；),,2,1n j =的基可行解.但)(~⊗B 为正则解，应用对偶单纯形方法求出),,2,1;,,2,1),,((n j m i LP ij j j ==δβρ的最优基)(~1⊗B 和最优解T b B X ]0),(~)(~[11⊗'⊗='-.因LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i ij i j ==δβρ的最优解为LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i ij i j =='δβρ的可行解,故有S b B C S B '≤⊗⊗⊗=-max )(~)(~)(~max 1定理10.3.3 对于LPGP 的定位规划，当消耗定位系数满足ijij δδ'≥， n j m i ,,2,1,,2,1 ==；时，有),,2,1;,,2,1),,((max n j m i f S ij i j ===δβρS n j m i f ij i j '==='≤max ),,2,1;,,2,1),,(( δβρ证明 由ijij δδ'≥，n j m i ,,2,1;,,2,1 ==，相应地，有消耗白化矩阵 0)(~)(~≥⊗'≥⊗A A设消耗白化矩阵的第k 列为)(~)(~⊗'≥⊗k k P P10 )(~⊗k P 不是基向量当)(~⊗k P 换为)(~⊗'k P 时，基)(~⊗B 不变，但检验数)(~~)(~)(~1⊗'⊗+⊗='-k B k k P B C C r可能改变.①若0≤'k r ，),,2,1;,,2,1),,((n j m i LP ij i j ==δβρ的最优解仍为LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i iji j =='δβρ的最优解，此时最优值不变，故 S S '=max max②若0>'k r ，则与)(~⊗'k P 对应的kx '将变为基变量，应用单纯形迭代求出LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i iji j =='δβρ的最优解T b B X ]0),(~)(~[11⊗⊗='-注意到T b B ]0),(~)(~[1⊗⊗-为LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i iji j =='δβρ的可行解，故有 S b B C b B C S B B '=⊗⊗⊗≤⊗⊗⊗=--max )(~)(~)(~)(~)(~)(~max 111120 )(~⊗k P 是基向量当)(~⊗k P 换为)(~⊗'k P 时，现行的基可能不再成为基，即使)(~⊗k P 换为)(~⊗'k P 后仍为基，其最优性亦不能保证.应用单纯形迭代求出LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i iji j =='δβρ的最优基)(~1⊗B 和最优解T b B X ]0),(~)(~[11⊗⊗='-. 其余讨论如(1)之②.由定理10.3.1，10.3.2，10.3.3可知，定位规划的最优值是价格定位系数),,2,1(n j j =ρ和约束定位系数),,2,1(m i i =β的增函数，是消耗定位系数m i ij ,,2,1( =δ；),,2,1n j =的减函数.定义10.3.1 设对m i ,,2,1 =∀和n j ,,2,1 =有ρρ=j ，ββ=j ，δδ=ij则称相应的定位规划为),,(δβρ定位规划，记为LP ),,(δβρ.其最优值称为),,(δβρ定位最优值，记为),,(max δβρS .定理10.3.4 对于LPGP 的定位规划),,(δβρLP ，当 10 2100,,δδββρρ≤==时，),,(max ),,(max 200100δβρδβρS S ≥ 20 0021,,δδββρρ==≤时，),,(max ),,(max 002001δβρδβρS S ≤ 300210,,δδββρρ=≤=时，),,(max ),,(max 020010δβρδβρS S ≤ρ反映了n 种产品的综合价格水平，β反映了m 种资源的总的供应状况，δ则是生产过程中工艺技术水平、劳动力素质和管理水平的集中体现.。

灰色线性方法在水土资源优化配置的应用刘晓嫚;刘喜峰【摘要】针对现行水土资源匹配程度的不足,拟应用灰色线性规划模型对水土资源进行合理的优化配置.在分析吉林市水土资源利用现状的基础上,结合本地经济发展、相应政策和相关控制指标设计出规划方案,最终找出适合吉林市“社会、经济、生态可持续发展”的水土资源优化配置方案.【期刊名称】《产业与科技论坛》【年(卷),期】2016(015)013【总页数】3页(P88-90)【关键词】水资源;灰色线性规划;土地资源;优化配置【作者】刘晓嫚;刘喜峰【作者单位】吉林农业科技学院水利与土木工程学院;吉林农业科技学院水利与土木工程学院【正文语种】中文水土资源是人类生产与生活最基本的物质条件，也是农业发展和粮食安全的保障。

合理开发和使用水土资源，已经成为“多快好省地建设社会主义”这一政策的基础和前提。

随着我国社会经济的迅速发展和人口的不断增加，水土资源的供需与资源本身的稀缺性、有限性之间的矛盾日益突出，诸多水土资源环境问题也呈现出不断恶化的趋势。

在以往的相关研究工作中，经常将水土资源分开来研究，而将水土资源结合在一起进行优化配置的研究工作还很少见。

因此，开展水土资源配置的优化，不仅成为水土资源利用领域前沿的重要课题,同时也是转变水土匹配管理方式和实现水土资源集约与可持续利用的一项十分迫切的任务。

线性规划是为受线性不等式约束的线性函数提供最优解的方法。

一般的线性规划问题是描述静态问题,较难适应事物的发展变化,且常常由于参数过于死板、无调整余地而使规划问题求解困难或无解。

灰色线性规划考虑到约束条件的约束值可能是变动的，同时认为约束条件和目标函数中的技术参数是灰数,即灰区间数，求解时可取区间中的任一值,这样只要给定判断系数合理,则可使规划问题求得可解[1]。

目标函数为：f(x)=cx→max(min)约束函数为：⊗(A)x≤b;x≥0式中x=[x1 x2…xm]T;c=[c1 c2…cn],其中，cj(j=1,2,…,n)可以是灰数；约束条件的系数矩阵⊗(A)为：⊗⊗(A)的白化矩阵A为：约束量b=[b1 b2…bn]T，它可通过GM(1,1)模型求得。