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投资收益和风险[问题提出]随着经济的发展，人们的生活水平越来越高，于是就有了剩余的资金，为了让剩余的资金获得更多的利润，所以人们就把剩余的资金进行投资，市场上有n种资产s i进行投资，某公司有一大笔资金M 进行投资，于是公司财务人员对市场上这n种资产进行评估，估算出在这一时期内购买S i的平均收益率为，并预测出购买S i的风险损失率为。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司规定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的S i中最大的一个风险来度量。
购买S i要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。
另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险（=5%）。
于是公司要求设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
[问题分析]由题目可得，该公司财务人员对这n种资产进行评估投资，使得净收益最大，总体风险最小，于是就得到投资模型[变量定义]M=总投资金额Si=第i种资产（i=1,2,3……n）r i=购买S i的平均收益率q i=购买S i的风险率p i=购买S i的交易费率r0=银行存款利率M i=购买S i的金额D i=所需交易费y=净收益U i=S i的交易定额=衡量资产优劣的指标[模型假设]1.投资数额M足够大，设为1，假设购买额Si都大于u i，；2.各种资产不相互影响，相互独立的，且不受外界因素影响；3.投资方不会中途撤离或追加资金；4.投资越分散，总的风险越小。
5.总体风险可用投资S i的中最大的一个风险来度量。
6.净收益和总体风险不受意外因素的影响。
[模型建立]1.总体风险可用投资S i的中最大的一个风险来度量，即Max{M i q i/i=1,2,……n}2.各项投资净收益可表示为：1ni iiM r=∑-1ni iiM p=∑（M i>u I）y= 0 (M i=0)1ni iiM r=∑-1ni iiM u=∑（M i<=u i）3.为使净收益最大，投资风险最小，可得出一个目标函数：MAX{1ni iiM r=∑-1ni iiM p=∑}MIN{ Max(M i q i/i=1,2,……n)}约束条件：1(1)niii p MM=+=∑M i ≥0;i=0,1,2……,n4.从3中可以看出，要同时满足净收益最大，投资风险最小，得到的是一个多目标规划。
解决组合投资收益最优问题一、 摘要本论文主要讨论并解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的有关问题。
分别在不考虑投资项目之间的影响和考虑投资项目之间的影响以及不考虑风险和考虑风险的情况下，建立相应的数学模型，来使得投获得的总利润达到最大。
模型一应用多目标决策方法建立模型，以投资效益没目标，对投资问题建立个一个优化模型，不同的投资方式具有不同的风险和效益，该模型根据优化模型的原理，提出了两个准则，并从众多的投资方案中选出若干个，使在投资额一定的条件下，经济效益尽可能大，风险尽可能小。
模型二给出了组合投资方案设计的一个线性规划模型，主要思想是通过线性加权综合两个设计目标：假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化，通过决策变量化解风险函数的非线性。
二、 关键字：经济效益 线性规划模型 有效投资方案 线性加权三、 问题重述市场上有n 种资产（如储蓄、保险、国债、股票、基金、期货、外汇、房地产、珠宝、邮票、古玩字画、钱币及拍卖品等）S i ( i=1,…n) 供投资者选择，将数额1000万的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
现对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si 的平均收益率为i r 并预测出购买Si 的风险损失率为i q 。
考虑到投资越分散，总的风险越小，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险用所投资的S i 中最大的一个风险来度量。
购买S i 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易按购买i u 计算（不买当然无须付费）。
另外，假定同期银行存款利率是0r , 且既无交易费又无风险。
（0r =5%） (%) (或存银行生 息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
资产(%)的盈亏数据，以及一般情况的讨论。
这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。
公司投资问题的数学模型摘要本文要研究的是公司在未来5年内如何利用20亿投资金额来投资使得第五年年末时所得利润最大的问题。
对此，我们综合利用了线性规划、灰色预测、灵敏度分析、残差检验等方法对题中所给问题逐一解决。
对于问题一：问题一是典型的线性规划问题，我们建立了在不考虑风险的情况下以第五年末最大利润为目标的单目标最优化模型。
首先，每一年年初投资的金额不能大于可用投资金额，可列出第一个约束条件。
其次，每一个项目在其运行期再进行投资时不能超过其投资上限，可列出第二个约束条件。
第五年年末的利润即为第五年年末的本利与20亿投资金额之差，可列出目标函数。
然后通过建立的最优化模型求得第五年年末的最大利润为153254.4万元。
每个项目每年的投资金额见问题一求解的表二。
最后对所建模型进行灵敏度分析。
对于问题二：首先，对题中表二和表三所给数据利用公式（到期利润率=到期利润/投资总金额）对数据进行处理，求出其对应的利润率（见附录二）。
然后利用灰色系统理论中的GM（1,1）预测模型分别对独立投资和同时投资两种方案的到期利润率进行预测。
再以负利润率的期望作为衡量风险损失率的指标，即风险损失率等于负利润率的期望，最后得到到期利润率和风险损失率的预测值（预测结果见问题二的求解）。
对于问题三：在前两问的基础上，考虑同时投资时项目间的相互影响，利用问题二中所求得的到期利润率建立以第五年年末最大利润为目标的单目标最优化模型。
最后求得第五年年末的最大利润为248511.3万元。
每个项目每年的投资金额见问题三求解的表二。
对于问题四：问题四考虑了投资风险，利用问题二中得到的风险损失率，在问题三的基础上，建立以总风险最小和第五年年末利润最大为目标的多目标优化模型。
最后求得最大利润为267314.3万元。
每个项目每年的投资金额见问题四求解的表一。
对于问题五：问题五同样考虑了投资风险，多加了向银行贷款存款这一条件，把银行存款当做投资，贷款的钱用于其它项目的投资，类比问题四，建立多目标优化模型，通过LINGO软件包求得，当风险度a为0.13时，得到最大利润为277858.3万元。
《数学建模》课程设计学号：201317201姓名：马雪摘要根据投资项目分析，本题主要研究最优投资组合问题，要以合理的方案，计算每种项目获得的最大利润，使资金安排最优化，同时也是一个线性规划问题。
按照求最大值的要求，以五年后拥有的资金总额为目标函数，以资金的金额限制为约束条件，建立线性模型，运用Matlab软件对模型进行求解，得到比较理想的结果：（1）第一年年初对项目A投资61.5163万元，对项目D投资38.4837万元，第二年年初对项目A投资10.7927万元，对项目C投资30.0000万元，第三年年初对项目A投资16.8370万元，对项目B投资40.0000万元，对项目D 投资13.9068万元，第四年年初对项目A投资27.1528万元，第五年年初对项目D投资19.3626万元。
（2）第一年年初对项目A投资63.0712万元，对项目D投资36.9288万元，第二年年初对项目A投资9.1446万元，对项目C投资30.0000万元，第三年年初对项目A投资13.5076万元，对项目B投资40.0000万元，对项目D 投资11.0242万元，第四年年初对项目A投资22.2019万元，第五年年初对项目D投资15.5337万元。
问题重述：A组1、生产计划高校现有一笔资金100万元，现有4个投资项目可供投资。
项目A：从第一年到底四年年初需要投资，并于次年年末回收本利115%。
项目B：从第三年年初需要投资，并于第5年末才回收本利135%，但是规定最大投资总额不超过40万元。
项目C：从第二年年初需要投资，并于第5年末才回收本利145%，但是规定最大投资总额不超过30万元。
项目D：五年内每年年初可以买公债，并于当年年末归还，并可获得6%的利息。
(1)试为该校确定投资方案，使得第5年末他拥有的资金本利总额最大。
（2）该校在第3年有个校庆，学校准备拿出8万元来筹办，又应该如何安排投资方案，使得第5年末他拥有的资金本利总额最大。
数学建模简单的投资问题建模论文—— 2011114114 覃婧资金投资问题摘要: 投资公司对现有资金进行投资，采取在无风险情况下，周期投资规律以及周期回收的资金的情况下，求取在一定时期内所掌握的的最大资金，建立相关线性规划公式，运用matlab或者lingo软件进行相关求解，得出最好的投资方式以盈利最大。
此类问题适用于金融投资、证券投资等相关行业。
关键词: matlab 目标函数设计变量目标变量新投资最大值正文一、问题重述:某投资公司有资金200万元，现想投资一个项目，每年的投资方案如下“假设第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的50%，那么第三年就可回收第一年投入资金的一倍的金额。
”请给该公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。
二、问题分析:该问题作为线性规划问题，题目中给定的投资方案可以理解为每年投资金额，两年作为一个投资周期，三年作为一个资金回收周期，即第三年回收资金，每一个投资周期中偶数年的投资额与前一年是有关的，而且从第三年开始，每一年的回收金额是前两年投资金额的两倍，故以此类推，我们可以得到每年所掌握的资金，以求得第n年所掌握的最大金额。
所以该模型的目标变量为每年所掌握的资金，而设计变量为每年所进行的新投资。
设表示第i年所进行新投资的的资金，表示第i年所掌握的资金，xyii(i=1,2,3,...n)则有:y,200,x第一年 113xx11200200y,,x,,x,,,x第二年: 212222xx312y,200,,x,,x，2x第三年: 323122xx3112y,200，,,x,x,x，2x第四年: 43342222xx3112y,200，，,x,x,x，2x,x 第五年: 534435222213xxx1252002y,，，，x,x，x,,x 第六年: 6344622222以此类推:xxx3n12,4y,200，，，...，,x，2x第n-1年: n,1n,3n,32222xxx3n12,3y,200，，，...，,x，2x第n年: nn,2n,22222三、模型假设: 1(该投资模型实在稳定的经济条件下进行，没有任何风险; 2(每年的投资项目固定不变，不会有资金的额外转移; 3(每年所回收的资金都是依据题目条件固定的纯收益; 4. 每年的资金投资是连续的，是可以进行零投资的; 5. 新的投资不影响旧的投资。
摘要经过分析可知，这是一个最优投资问题。
本文主要探讨投资最优化问题。
根据分析，建立数学模型，使投资获得的利润最大。
这是典型的线性规划问题，本文在已有的A、B、C、D四种方案的基础上进行分析，结合数学建模的知识，对问题进行合理分析。
因此我们要使用合理的方法、有效的手段，正确地计算出每种项目获得的最大利润，才能使资金安排得到优化，并结合有关的数学知识，建立数学模型，利用LINGO软件对模型进行求解，并分析其优缺点。
针对此问题，按照要求可归为求效益、利润最大化的优化方案对问题进行建模，首先建立起单目标的数学模型，以五年后拥有的资金总数为目标函数,以资金的金额限制为约束条件，再运用LINGO软件对模型进行求解，得到比较理想的结果：第1年年初对项目A投资71698.11元，对项目D投资28301.89元第2年年初对项目Ｃ投资30000元第3年年初对项目Ｂ投资82452.83元第4年年初和第5年年初不投资第5年年末该投资者收回本利共145066元，净赚金额为45066元，即盈利45.066%。
此外，本文在最后对模型的优缺进行了综合理解及简要分析，使投资者充分了解，以使利润最大化。
关键词：投资线性规划利润最大化 LINGO软件背景分析随着中国经济的增长，国民财富的积累，中国市场经济的发展和金融产业的进一步发展，金融业综合经营步伐日渐加快。
金融理财服务成为性质迥异的各类金融机构一致推出的服务概念，正逐步普及普通民众。
投资者以何种方式投资、何种规模、如何得到运用决定了投资者获益的情况。
如何将有限的资源配置到市场需求的无限投资中去，满足项目投资配置的要求并取得最大的经济效益，是每个投资者必须要解决的问题，懂得投资的投资者一定是有效运用资本，获得利润最大化；而有效运用资本首先就面临着如何对资金的投资安排。
问题重述某投资者有基金10万元，考虑在今后5年内对下列4个项目进行投资，已知：项目 A 从第1年到第4年每年年初需要投资，并与次年年末回收本利115%项目B 从第3年初需要投资，并于第5年年末回收本利125%项目C 从第2年初需要投资，并于第5年年末回收本利140%，但按照规定此项投资不能超过3万元项目D 5年内每年年初可购买公债，当年年末回收本利106%应如何安排资金，可使第5年年末的资金总额最大？模型假设市场复杂多变，因此进行模型假设是很重要的。
B.开放式基的金投资问题摘要本文针对某开放式基金现有总额一定的问题，就四种不同的情况，建立了四个投资的线性或非线性规划模型，并对非线性问题进行了成功的线性化处理，通过运用lingo 软件并利用穷举法得出结果，求的最大的利润和相应的投资方案。
在问题1中，我们建立了标准的线性规划模型，应用lingo 软件得：项目12345678,,,,,,,A A A A A A A A 的投资次数分别为6、2、0、5、6、2、6、6次，最大利润为44149万元问题2(1)，考虑8个项目中每个都可重复投资，但每个项目投资总额有个上限，且具体对这些项目投资时，会出现项目之间的相互利润影响。
在问题一基础上，建立非线性规划模型，经过分类讨论，对非线性问题进行了成功的线性化处理，通过lingo 软件，运用穷举法得出7种方案，比较7种方案的结果为项目12345678,,,,,,,A A A A A A A A 的投资次数分别为1,0,7,5,6,5,6,6次，最大利润为42975.50万元。
问题2(2)，在问题二的基础上，建立双目标非线性规划模型，可以将此模型转化为以风险度的变化作为约束条件，以最大利润为目标函数的单目标的线性规划模型。
通过Lingo 可以得出不同风险度上最大利润的最优解的数据，并用Matlab 可以作出图像，再根据图表的分析，可以得出最优方案；12345678,,,,,,,A A A A A A A A 的投资次数分别为0,4,7,1,6,6,6,6次在问题2(3)中，要保留一部分基金，考虑到保留资金对投资的影响，因此引入资金保留比例系数，在问题三是上通过修改投资总额，调用问题三的程序可以得出在不同资金保留比例系数下的最优方案，把这些方案用Lingo 软件作出图表，通过对图表的分析得出最优解为：项目12345678,,,,,,,A A A A A A A A 的投资次数分别为0,5,3,0,2,1,6,6。
数学建模解决风险投资组合优化问题随着金融市场的发展和全球化的趋势，风险投资在各个领域中发挥着重要的作用。
风险投资经常涉及到投资组合优化问题，即如何合理配置资金以最大化回报并降低风险。
在这个过程中，数学建模成为了一种重要的工具，可以帮助投资者做出理性的决策。
一、风险投资组合优化问题的定义风险投资组合优化问题是指在给定一系列投资标的和相应的风险收益数据的情况下，如何选择和分配资金以最大化投资收益的同时降低风险。
数学建模可以帮助我们分析每个资产的风险和收益，并通过数学模型来找到最优的投资组合。
二、数学建模解决风险投资组合优化问题的方法1. 均值方差模型均值方差模型是风险投资组合优化问题中最常用的方法之一。
该方法通过计算各个投资标的的平均收益和标准差，并构建合适的数学模型来寻找最优的投资组合。
该模型的优点是简单易懂，计算速度快，但是忽略了资产收益的非正态性和相关性。
2. 马科维茨模型马科维茨模型是一种基于均值方差模型的改进方法，考虑了资产收益的非正态性和相关性。
该模型通过构建协方差矩阵来衡量投资标的之间的相关性，并利用数学方法来求解最优的投资组合。
马科维茨模型可以有效地提高投资组合的回报率，并降低风险，但是计算复杂度较高。
3. 整数规划模型整数规划模型是一种更为精确的方法，它考虑了投资组合中的交易规则和限制条件。
该模型可以将投资组合优化问题转化为一个整数规划问题，并利用数学方法来求解最优的投资组合。
整数规划模型在实际应用中具有较高的精度，但是计算复杂度更高，需要更多的计算资源支持。
三、数学建模在风险投资组合优化中的应用案例1. 资本资产定价模型（CAPM）资本资产定价模型是一种经典的数学建模方法，可以帮助投资者确定每个资产的预期收益率。
该模型通过将资产的预期收益率与市场整体风险相关联，进而计算出每个资产的风险调整后的预期收益率。
CAPM模型可以帮助投资者选择具有适当风险和回报的资产，构建最优的投资组合。
基于数学建模的投资选择问题理财顾问需要帮助客户选择股票投资。
客户希望购买总值为10万元的6支不同股票。
以下是各国期望收益率：日本：5.3%，英国：6.2%，法国 5.1%，美国：4.9%，德国：6.5%，法国：3.4%。
（1）客户不希望向顾问所给出的的每支股票都投资。
如果购买了一个公司的股票，则至少要投资5000元，否则将完全不购买此股票。
如何投资回报最高？（2）如果购买第i支股票的风险损失率为，各支股票的风险损失率如下：股票编号1：1.5%,2: 1.9%,3: 1.1%,4: 0.9%,5: 1.2%,6: 0.5%如何分配此资金，使投资回报尽量高，总体风险最小？2问题一模型建立与求解2.1问题一的模型建立根据题目要求我们设置0 1变量Yi，要使回报最高，则目标函数为:此外还要求将一半的资金投入到欧洲的股票中，并且至多30%的资金用于购买技术股。
则应有约束条件：那么投资最大回报率可通过以下模型来计算：2.2问题一的求解结果得出结果最高回报即投资股票编码(1)40000元和股票编码(2) 10000元和股票编码(3) 0元和股票编码(4) 10000元和股票编码(5) 40000元和股票编码(6)0元得到最高回报5830元。
3问题二模型建立与求解3.1 问题二分析我们建立三个模型对应三种情况。
（1）不同风险偏好对应不同组合。
（2）固定收益。
（3）固定最高风险率。
在此基础上求出组合和最高回报。
3.2问题二的模型建立根据题目要求我们设置风险偏好为50%，要使回报Z最高，则要使得A最小。
则目标函数为:则约束条件为:那么投资最大回报率可通过以下模型来计算：3.3问题二的模型求解结果得出结果最高回报即投资 (1)1000元和 (2) 10000元和 (3)0元和 (4) 40000元和 (5) 40000元和(6) 0元得到最高回报5710元.3.4问题二的模型二建立根据题目要求我们固定为5000元，要使回报Z最高，则要使得A最小。
投资项目组合选择摘要投资项目组合问题，是现实世界中普遍存在的一个问题。
首先，我们通过认真分析问题，把它转化为了一个线性规划问题，利用数学知识找出其决策变量、约束条件、目标函数，并建立了相应的数学模型（模型一）。
其次，我们分别利用MATLAB软件、LINGO 软件编写了相应的MATLAB程序、LINGO程序，并发现利用两个软件所求得的目标函数值相同，但最优解并不相同。
再次，为了验证结果的正确性，我们建立了另一个模型——模型二，并利用MATLAB软件和LINGO软件分别对它求解，发现模型一和模型二的LINGO求解的最优解相同，而MATLAB求解的最优解仍不相同。
通过对问题和模型的分析，我们得出两个模型均正确的结论，另外，利用运筹学的知识知问题有无穷多个最优解。
最后，我们对实验结果进行了分析，对模型的灵敏度（即鲁棒性）进行了分析，还对模型进行了评价和推广。
关键词：投资组合；线性规划；MATLAB；LINGO；鲁棒性(灵敏度)THE CHOOSES OF PORTFOLIO PROJECTABSTRACTInvestment binatorial problems in the real world, is a widespread problem. First, we through careful analysis problem, convert it to a linear programming problem, using mathematical knowledge to find its decision variables and constraints,the objective function, and establishes the mathematical model (model one). Secondly, we were using the software MATLAB, software LINGO writted the corresponding MATLAB program, the corresponding LINGO program, and found the two results for the objective function values are the same, but the optimal solution is not the same. Again, in order to verify the correctness of the results, we establish another model(model two), and using software MATLAB and LINGO the two softwares to solve it, respectively.And the optimal solution calculated by LINGO software of two models is same,but the optimal solution calculated by MATLAB software of two models is not the same. Through the analysis of the problem and models, we draw two models are correct conclusion. In addition, using knowledge of operation research know that the problem has multiple optimal solutions. Finally, we analyses experimental results of model, the sensitivity (robustness), and analyses the model evaluation and promotion.Key words: Portfolioformation; Linear program; The software of MATLAB; The software of LINGO; robustness (sensitiveness)目录1 问题的提出 (1)2 问题的分析 (1)3 问题假设 (3)4 符号说明 (3)5 建立模型一 (4)6 模型一的求解 (4)7 模型验证 (7)7.1模型一的LINGO求解验证 . (7)7.2 建立模型二 (9)7.3 模型二的求解 (9)7.4 对比结果并分析 (11)8 结果分析 (12)8．1灵敏度分析 (13)8．2结果分析 (14)9 模型的推广与改进.. (14) (16)附录 (17)1 问题的提出某投资者有50万元可用于长期投资，可供选择的投资项目包括购买国库券、购买公司债券等。
科院7组：蔡光达、王奇、鲁成组合投资问题摘要本文讨论了投资的风险和收益问题，建立了投资的单目标和多目标决策模型，并将多目标决策问题转化为单目标的决策模型，采用线性规划问题求解以解决公司的投资组合问题。
利用线性规划和灰色预测模型对公司五年投资过程中的投资的收益和风险分别进行了评估预测，求出了在不同的投资环境下第五年末的最大利润数值。
针对问题一：本文以第五年所得总金额为目标函数，应用线性规划理论建立了单目标优化模型，并运用Lingo软件求得第五年所得总金额的最大值：374140.5万，则第五年的最大利润：174140.5万。
针对问题二：本文分别对独立投资和同时投资这两种情况进行分析，对题中表2和表3进行了处理，算出来各项目每一年的到期利润率，分别以到期利润率的时间响应函数和标准差为目标函数建立了模型，运用灰色系统理论对上述两种投资方式近五年的各项目到期利润率进行预测，通过Matlab软件求得了两种不同投资方式的近五年各项目到期利润率预测结果（具体数据见表7.2和表7.3）和各项目标准差（具体数据见表7.5和7.6），并对预测结果进行了级比偏差检验，检验结果显示此时预测结果精度较高。
针对问题三：本文综合考虑了独立投资和同时投资这两种情况，同样以第五年的所得总金额为目标函数，并建立了单目标优化模型，通过Lingo软件求得第五年所得总金额的最优值：558422.0万，则第五年的最大利润358422.0万。
针对问题四：以题三中标准差最大值表示投资最大风险损失率，为此分别以第五年最大总金额和最小风险损失费为目标函数建立了多目标线性优化目标函数，比运用Lingo软件求得：当8.0s时，可得第五年总金额最大值：569975万,=则第五年的最大利润369975万。
针对问题五：假设一部分资金存入银行获取利息，并向银行贷款进行其他项目投资，然后根据题四方法和思想，运用Lingo软件求得：当3.0s时，可得第=五年总金额最大值：79582.4万,则第五年的最大利润59582.4万。
关键词：多目标线性规划；灰色系统理论；LINGO ；MATLAB1.问题重述1.1问题的提出某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。
其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。
1.2需要解决的问题问题1：试根据附表1中表1给出的数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？问题2：8个项目独立投资的往年数据见附表2。
实际还会某些出现项目之间相互影响，同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见附表3(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)。
试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。
问题3：未来5年的投资计划中，对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资；项目5的投资额固定，为500万，可重复投资；各投资项目的投资上限见附表1中表4。
在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？问题4：如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？问题5：为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又该如何对5年的投资进行决策？2.问题分析根据题意信息，本文投资可分为风险投资和无风险投资，在无风险投资情况下，不考虑风险损失费，公司只需要有策略的对项目进行投资获取最大利润；在有风险情况下，公司需要考虑风险损失费，为了降低风险损失费，公司可以把部分资金存入银行获取利息，还可以向银行贷款用于其他项目投资，从而在此情况下尽可能的获得最大利润。
2.1问题一的分析这是一个公司在一定资金和在一段时期（5年）内对若干个项目进行投资决策的问题。
本问要求给该公司设计一种投资方案，确定在这段时期（5年）内各个时间段（一年）在各个项目上投入资金，从而使得这段时期末（第5年末）获得预期最高利润，由题中表一知所有项目的到期利润率都大于零，所以此时投资为无风险投资。
显然次问为明显的线性规划问题，我可以建立现行优化目标函数，运用Lingo软件进行求解，可得到最优解和最优投资策略。
2.2问题二的分析问题二考虑到投资时项目之间的相互影响等情况，通过对题中表二与表三进行数据处理，算出近二十年中各项目到期利润率（详细数据见附表一），对比发现独立投资和同时投资时的各项利润率有很大的不同，并且独立投资时项目一至项目四的到期利润率为正数，即对项目一至项目四投资可以认为是没有风险损失率的；而项目五至八的到期利润率都有负数出现，说明对项目五至八独立投资是有风险损失率的。
同时投资时，若项目五和项目六同时投资，两个项目到期利润率都有负数出现，说明此时两个项目都有风险损失率，同理，若项目五、项目六和项目八同时投资，各项目也都风险损失率。
根据题目要求，要对预测后五年各项目独立投资和项目之间相互影响下到期利润率和风向损失率，则此题可以运用灰色系统理论分析法进行预测。
2.3问题三的分析问题三在问题一基础上增加了一项捐赠资金，并且对项目五的投资为固定额500万，可重复投资，即对项目五的投资为500万的倍数，同时我们考虑到对各项的投资是独立投资还是同时投资，不同类型的投资其利润率不同，从而所获得的最大利润不同，涉及到这种情况，我们需对这两种情况进行了综合讨论，最终运用线性规划求出最优解2.4问题四的分析问题四在问题三是基础上考虑了投资风险，则投资时就有风险损失费，所以公司投资时应该综合考虑投资利润和风险损失费，而且应当使投资利润尽可能的大，风险损失费尽可能的少，但此时还是属于线性规划问题，并且是多目标线性规划问题。
为此我们分别以第五年最大总金额和最小损失费为目标函数建立了目标函数2.5问题五的分析问题五在前面基础上增了一项资金处理渠道，即公司为了降低投资风险，可以把一本分资金存入银行获取更多的利润，公司还可以向银行贷款投资，在此种情况下，同样考虑风险，但是在风险小的时候可以在银行贷款进行投资获取最大利润，风险大时可以不投资将钱存入银行获取利息公司对资金的处理更加灵活，所获得的利润较第四问必定会增加，我们同样运用线性规划求得最优解。
3.模型假设3.1假设存银行投资为第0种投资，到期利润率为常量（因银行利息不变），风险损失率为,其值为0；3.2 假设投资不需要交易费，或者交易费很少，远远少与投资额；3.3 假设投资各个项目的到期利润率，风险损失率均为数学期望，且在这段时期（5年）内都不变；3.4 假设当用这笔资金投资若干个项目时，总体风险可用各年风险损失总和来衡量；3.5 假设题目表3中给出的一些同时投资项目才有互相影响，其他项目则没有相互影响，且不同时间投资的项目也没有互相影响；3.6 项目可以重复投资，且不影响之前的投资；3.7 假设银行利息小于其他投资的利润率。
4.符号约定5.问题一的解答针对问题一我们建立了模型一。
5.1模型一的建立 5.1.1确定目标函数在没有风险情况下，给定投资额20亿元、各项目的到期利润率和投资上限，算出第5年末的最大总资金即目标函数：∑∑==+=518105i j j ij p x z z Max5.1.2 确定约束条件 第i 年初的总投资资金：∑==81i ij i x x第i ()61<<i 年初的总资金：ii i i y x z z +-=-1要使五年末的利润最大，也就是说五年末的总资金最大，即：∑∑==+=518105i j jij p x z z根据题意知，每年对每个项目的投资额不能超过对应项目的投资上限，即：iij c x <=每年的投资总额不能超过每年初的总资金，即：1-<=i i z x5.1.3 综上所述，得到问题一的最优化模型5z Max =()()()()585011178.0,1,3,4,50,1,2,4,50,4,5;5,60,5;3,4ij ji j ij i i i i i ijij z z x p x c x z s tx i x i x i j x i j ==-⎧=+⎪⎪⎪<=⎪<=⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪===⎪⎪===⎪⎩∑∑ 5.2 模型一的求解根据上述建立的模型和确定约束条件，我们运用Lingo 软件运行得到第五年末的最大总资金：37=z 5727.3万；则第五年的最大利润为3.175727=L Max 万。
各项的具体点投资方案如下表：我们对结果的灵敏度分析如下表：金成正相关关系，即当原有资金减少时，第五年末总资金减少；当原有总资金增加时，第五年末总资金也增加，所以在市场空间范围内，投资得越多，收益也越多。
6.问题二的解答针对问题二我们建立了两个模型。
6.1模型二的建立 6.1.1确立目标函数为了预测未来五年各种项目的利润率和风险损失率，我们通过灰色系统理论建立了预测各项未来五年利润率的时间响应函数，并用各项利润率的标准差代表风险损失率，则我们建立的目标函数为：()()⎪⎩⎪⎨⎧+D K X 116.1.2数据检验与处理（1）级比检验：建立各项目的利润率的数据序列如下()()()()8,2,10000X X X X Λ=注：具体数据见附表一；（2）求级比()K λ：()()()K X K X K 001-=λ（3）计算级比的可容覆盖：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-)12()12ex p(n e n （4）级比判断：如果所有()203,2,)12exp()12exp(Λ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈K n n K λ则数列可以作为预测，否则，要对数列进行平移变换处理，使其落入可容覆盖内，（5）平移变换：()()82,1,00Λ=+=K N K X K Y ；此时得到新的数据序列())8()2(),1(0000Y Y Y Y Λ=6.1.3建立)1,1(GM 模型目标函数为：()()()()A B e A B X K X AK +⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-1101 各项利润率的标准差为：()()∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛-=8112111h ki K i iE h X KD6.1.3综上所述，得到问题二的最优化模型()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∑∑∑===-81121101111h k i Ki i AK E h X K D A B e A B X K X6.2问题二模型一的求解 6.2.1及比检验首先求出各项目的到期利润率，建立各项目的利润率的数据序列（具体数据见附表一），我们通过MATLAB 程序（具体程序见附录二）求解各项目的级比()K λ及其可容覆盖并且判断个项目中的的数据是否在可容覆盖内。
