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（2000.全国）过抛物线 y ax(a 0) 的焦点F 作一条直线
Q 交抛物线于 P ， 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别为p, q ， 1 1 则 等于（ C ）
p q
2
A. 2a
B.
1 2a
2
C. 4a
4 D. a
2
分析：抛物线 y ax(a 0)的标准方程为 x 1 焦点为 F (0, ). 4a 取特殊情况，即直线PQ 平行与 x 轴， 1 1 则 p q ，如图。 PF PM , p 4a 4a 1 1 1 1 2 4a 故 p q p p p
1 y ax (a 0) x y a
2 2
1 2 p a
当a>0时与当a<0时，结论都为：
1 1 焦点（0， )准线y=4a 4a
y y=ax2
y=ax2+c y=ax2+bx+c
o
x
例1
（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它 的焦点坐标及准线方程 焦点F ( 3 , 0 ) 准线：x =－
2 3 2
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求 抛物线的标准方程 x 2 =－8 y 看图 （3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物 y 2 =－4 x 线的标准方程 看图 （4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程 2= 4 x或 x2= 9 y 看图 y 2 3
课堂练习： 1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
提出问题：
L 如图，点 F 是定点， 是不经过点 F 的定直线。 是 L 上 H 任意一点，过点 F 作MH L ，线段FH的垂直平分线m交 MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M 满足的几何条件吗？
L
H
M
几何画板观察
F
问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
x
返回
1 y ，其 a
y
P
F
O
Q
x
N
M
y
l
o
F（0,－2）
x
解：（2）因为焦点在 y 轴的负半轴上， p 并且 2 = 2，p = 4 ，所以所求抛物线的 标准方程是 x2 =－8y .
返回
y
l
x
X=1
F
o
解：（3）因为准线方程是 x = 1，所以 p =2 ，且焦点在 x 轴的负半轴上，所以 所求抛物线的标准方程是 y2 =－4x .
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-1
2.4.1《抛物线及其标准方程》
教学目标
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图
形，能够求出抛物线的方程，能够解决 简单的实际问题. 教学重点：求出抛物线的方程. 教学难点：抛物线标准方程的推导过程.
2.4.1抛物线及其 标准方程
喷泉
球在空中运动的 轨迹是抛物线规律, 那么抛物线它有怎样 的几何特征呢? 二 次 函 数 y ax2 bx c(a 0) 又到底是一条怎样的 抛物线?
复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条 定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上) (1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e＞1时，是双曲线;
l
l
M M
l
F ·
F
·
e＞1
·
M
· F
0＜e ＜1
e=1
那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？
（1）焦点是F（3，0）； 1 （2）准线方程 是x = ； 4 （3）焦点到准线的距离是2。
1 y 2
y2 =12x y2 =x
y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2 = 20x
(1)
(2)x2=
(3)2y2 +5x =0
x2 y2 x p
化简得：
y
2
2 px
p ( p 0)
2
二、标准方程的推导 解法三：以过F且垂直于 l 的直 y
M(x,y)
K o F 线为x轴,垂足为K.以F,K的中点 O为坐标原点建立直角坐标系xoy. x 设 M ( x, y ) , FK p , p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x 2 2 依题意得
p 2 p 2 ( x ) y | x | 2 2
2
l
两边平方,整理得
y 2 px( p 0)
这就是所求的轨迹方程.
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x 2 2 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也 会使抛物线方程的形式简单 ？
H
d
M
·
C
·
F
焦 点
准线
l e=1
直线l 叫抛物线的准线
d 为 M 到 l 的距离
MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d 那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简 单,其标准方程形式怎样?
二、标准方程的推导 解法一：以 L为 y 轴，过点 F 垂直于L 的直线为 x 轴建
立直角坐标系（如下图所示）,则定点F ( p, o) 设动点 点 M ( x, y) ，由抛物线定义得：
返回
解：（4）因为(3，2) 点在第一象限，所以 抛物线的开口方向只 能是向右或向上，故 设抛物线的标准方程 是 y2 = 2px（p>0）， 或 x2 = 2py（p>0）， 将（3，2）点的坐标 分别代入上述方程可 得抛物线的标准方程 2= 4 x或 x2= 9 y 为y 2 3
y
(3,2)
o
p P的意义:抛物 x 2 线的焦点到准
线的距离
y
F
x
y
F
O
l
x
p 方程的特点: y 2 (1)左边是二次 p y 2
y
l
O F
x
p x2=-2py (0， ) (p>0) 2
式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置.
P66思考：
二次函数 y ax 2 (a 0) 么是抛物线？ 的图像为什
2
学习小结:
1.抛物线的定义:
2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:
每一对焦点和准线对应一种形式.
3.p的几何意义是:
焦点到准线的距离
4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．
选做作业: 1.抛物线 y 16 x 2 的焦点坐标是( D ) 1 1 (C )( , 0) (D) (0, ) (A) (4, 0) ( B )(0, 4) 64 64 2.平面上到定点 A(1,1) 和到定直线 l : x 2 y 3 距离相等的点的轨迹为( A ) (A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆 1 2 ( 2,1) 3.抛物线 y x x 1 的焦点坐标为_______. 4
y
A
o
.F
B
x
解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直 角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与 原点重合。
设抛物线的标准方程是 y 2 px( p 0) ，由已知条件 可得，点A的坐标是(0.5, 2.4)，代入方程，得 即 p 5.76
2
2.4
2
2 p 0.5
所以，所求抛物线的标准方程是 y 11.52x ， 焦点的坐标是 (2.88, 0)
探 究 ？
M
H
·
C
·
F
l e=1
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
一、抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,
﹒ ﹒ ﹒﹒
y y y y
o
x
o
x
o
o
x
x
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
图 l y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
l
O
x
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)
p ( ,0 ) 2 p ( ,0) 2 p (0， ) 2
四．四种 p 抛物线的 x 2 对比
准线方程
(4)x2 +8y =0
焦点坐标
(2)
(3) (4)
x=-5 （5，0） 1 1 y= - — （0，—） 8 5 8 5 （- —，0） x= — 8 8 （0，-2） y=2
例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线， 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径） 为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线 的标准方程和焦点坐标。
( x p) y x
2 2
y
. M(X,y)
化简得：y 2 px
2
p
2
( p 0)
O
.
l
F
x
二、标准方程的推导
解法二：以定点 F 为原点，过点 F 垂直于 L 的直线为x 轴建 L 立直角坐标系（如下图所示），则定点F (0, 0) ， 的方程 为x p
