宁夏银川市第一中学2020届高三上学期第三次月考数学(理)试卷

绝密★启用前宁夏银川市第一中学2020届高三上学期第五次月考数学（理）试卷学校：___________一、选择题1.已知全集R U =，集合{}1,2,3,4,5,A =，{}2B x x =≥，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22.在复平面内与复数2i1iz =+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A. 1i +B. 1i -C. 1i --D. 1i -+3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．3213log 2+B ．2log 3C ．4D ．24.阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的焦点在x轴上，且椭圆C ，面积为12π，则椭圆C 的方程为( ) A. 22341x y +=B. 229116x y +=C. 22341x y +=D. 221691x y +=5.已知()(1)(2)2f k k k k k =+++++⋯+（k *∈N ），则（ ） A ．(1)()22f k f k k +-=+ B ．(1)()33f k f k k +-=+ C ．(1)()42f k f k k +-=+D ．(1)()43f k f k k +-=+6.已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则5tan()3π⋅=（ ）A ．BC ．D ．7.设抛物线24y x =-的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF，那么PF =( ) A.23B.43C.73D.48.若4sin cos 3θθ-=，且3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)cos(π)θθ---=（ ）A ．3-B ．3C ．43-D ．439.已知三棱锥A BCD -中，2,AB CD AC BD AD BC =====同一个球面上，则此球的体积为( )A ．3π2B ．24πCD ．6π10.在Rt ABC ∆中，已知90,3,4,C CA CB P ∠===为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为（ ）A ．76B ．712 C ．712+ D ．76+ 11.已知函数()y f x =是(-1,1)上的偶函数,且在区间(-1,0)上是单调递增的, ,,A B C 是锐角三角形ABC ∆的三个内角,则下列不等式中一定成立的是（ ）A. (sin )(sin )f A f B >B. ()()sin cos f A f B >C. ()()cos sin f C f B >D. ()()sin cos f C f B >12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()e x f x <的解集为（ ）A ． (,0)-∞B ．(0,)+∞C ．()4 ,e -∞D ．()4e ,+∞二、填空题13.已知椭圆()222104x y a a +=>与双曲线22193x y -=有相同的焦点，则a 的值为__________. 14.已知实数x ，y 满足不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，且2z x y =-的最大值为a ，则1e a dxx⎰=__________.15.已知点()2,0A -，()0,4B ，点P 在圆()()22:345C x y -+-=上，则使90APB ∠=︒ 的点P 的个数为__________. 16.已知函数()()⎩⎨⎧>-≤<=2,320,log 22x x x x x f ，若方程()f x a =有4个不同的实数根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则434123x x x x x x ++ 的取值范围是_________. 三、解答题17.已知等差数列{}n a 满足：4107,19a a ==，其前n 项和为n S ． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18.已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-. (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若π()2,C ,24f A c ===，求ABC ∆的面积.19.如图,在四边形ABCD 中, //AB CD ,23BCD π∠=,四边形ACFE 为矩形,且CF ⊥平面ABCD ,AD CD BC CF ===.（1）求证: EF ⊥平面BCF ;（2）点M 在线段EF 上运动,当点M 在什么位置时,平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.20.已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O为坐标原点，且OM =求AOB ∆面积的最大值.21.已知函数()n )l f x x x a R =+-∈有两个极值点12,x x ，且12x x <. (1)若5a =，求曲线()y f x =在点()()4,4f 处的切线方程； (2)记()()()12g a f x f x =-，求a 的取值范围，使得()1504ln24g a <≤- 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为[)()cos 0,2π3sin x y θθθ=⎧∈⎨=⎩，曲线2C 的参数方程为1222x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线1C ，2C 的普通方程；（2）求曲线1C 上一点P 到曲线2C 距离的取值范围 23.已知()()2f x x a x x x a =-+-- 1.当1a =时，求不等式()0f x <的解集；2.若)1(x ∈-∞，时()0f x <，求a 的取值范围.参考答案1.答案：A 解析：2.答案：B 解析：3.答案：D解析： 由已知程序框图知：初始条件为3,1S i ==, 运行第1次 判断3i ≤？是，22173log 3log 322S =+=+=+=，112i =+=； 运行第2次 判断3i ≤？是，()22227711log 3log log 313log 32222S =+=+=+-=+，213i =+=；运行第3次 判断3i ≤？是，222113log 3log 3log 4422S =++=+=，314i =+=； 运行第4次 判断3i ≤？否，2log 42S ==，输出2，结束. 4.答案：D解析：由题意可得：222π12πab c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得4,3a b ==， 因为椭圆的焦点坐标在y 轴上，所以椭圆方程为：221169y x +=. 故选：D. 5.答案：B解析：∵数列{}n a 为等比数列,且2234764a a a a =-=-， ∴374,8a a =-=-∴5a ==-∴58ππtan tan tan 3π333π⎛⎫⎛⋅=-=-+⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ πtan 36.答案：B解析：∵数列{}n a 为等比数列,且2234764a a a a =-=-，。

银川一中2020届高三年级第三次月考理 科 数 学命题人： 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数()34z i i =--在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知U R =，{|ln(1)}A x y x ==-，2{|20}B x x x =--<，则()U B C A =IA ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|02}x x <≤D ．{|1}x x ≤ 3．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =u u u r u u u r ，则ED =u u u rA ．1233AD AB -u u ur u u u rB ．2133AD AB +u u ur u u u rC ．2133AD AB -u u ur u u u rD ．1233AD AB +u u ur u u u r4．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11=A ．58B ．88C ．143D ． 1765．已知平面向量a r 、b r ，满足||||1a b ==r r ，若(2)0a b b -⋅=r r r ，则向量a r 、b r的夹角为A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒6．已知点A （-1,0），B （1,3），向量)2,12(-=k a ，若a AB ⊥则实数k 的值为 A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 7．若1cos()=42πθ-，则sin 2=θ A ．21-B ．23-C ．21D ．238．函数)3lny x x =+的图象大致为A B C D9．已知数列}{n a 为等差数列，若1910-<a a ，且其前n 项和S n 有最大值，则使得0>n s 的最大n 为 A ．16B ．17C ．18D ．1910．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c A A c C A a 31cos sin cos sin =+，552cos =B ，2=b ，则△ABC 的面积为 A ．23B ．2C ．25D ．5 11．若将函数y ＝sin()4y x πω=+(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后，与函数cos()4y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为A ．1B ．23C ．2D ．312．已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设(0)a f =，2(ln 2)b f =，(1)c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是 A ．c b a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分, 13．=-⎰-11 21 dx x ．14．若向量2(1,2),(1,log )a b x =-=r r ，且a r //b r,则x 的值为 ．15．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知310S =，630S =，则12S = ．16．对正整数n ，设曲线)1(x x y n-=在2=x 处的切线与Y 轴交点的纵坐标为n a ，则}1n {+na 的前n 项和＝ ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

高三数学（理）试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集为R ，集合{}2xA y y ==，{}240B x x =∈-≤Z ，则下列结论正确的是（ ）． A. {}0,1,2A B =B. [)1,A B ∞=+C.()(],1RA B =-∞ D.(){}2,1,0RA B =--【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合,A B 再判断即可. 【详解】{}{}21xA y y y y ===≥,{}{}2402,1,0,1,2B x x =∈-≤=--Z .故{}1,2AB =,A 错误.{}[)2,1,01,A B =-∞-+,B 错误.()(]{},12RA B =-∞.C 错误.(){}2,1,0RA B =--.D 正确.故选：D【点睛】本题主要考查了集合间的基本运算,属于基础题型. 2.设a ，b ∈R ，那么“＞1”是“a ＞b ＞0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：a ＞b ＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b ＞0，由充要条件的定义可得答案．解：由不等式的性质，a ＞b ＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a ＞b ＞0． 故是a ＞b ＞0的必要不充分条件．故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．3.已知,x y ∈R ，i 为虚数单位，且()2i 15i x y +-=+，则()1i x y+-=（ ）． A. 2- B. 2i - C. 2D. 2i【答案】B 【解析】 【分析】根据复数相等的性质求解,x y 再计算()1i x y+-即可.【详解】因为()2i 15i x y +-=+,故25,1x y +=-=解得3,1x y .故()()21i 1i 2x yi +-=-=-.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题型. 4..若log 2log 20a b <<，则（ ） A. 01a b <<< B. 01b a <<< C. 1a b >> D. 1b a >>【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的性质求解．【详解】∵log 2lo 1g 20log a b a <<=，∴0＜a ＜1，0＜b ＜1，∵2＞1，要使log b 2＜0 ∴0＜b ＜1，∵log 2log 20a b <<，∴a ＞b ，且0＜a ＜1，∴01b a <<<． 故选B ．【点睛】本题考查两个数的大小的比较，注意对数函数的性质的合理运用，属于基础题．5.在ABC 中，3AB =，4AC =，BC =AC 边上的高为（ ）．A.2C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求解A 的大小,再利用AC 边上的高sin h AB A =⋅即可.【详解】易得222916131cos 2242AB AC BC A AB AC +-+-===⋅,又()0,A π∈.故3A π=.故AC 边上的高sin 2h AB A =⋅=. 故选：B【点睛】本题主要考查了解三角形的运用,需要根据题意选取合适的公式求解即可.属于基础题型.6.若()()21ln 22f x x b x =-++在()0,∞+上是减函数，则b 的取值范围是（ ）．A. ()1,-+∞B. ()0,∞+C. (],1-∞-D. (],0-∞【答案】D 【解析】 【分析】根据减函数的导函数值在区间上小于等于0求解即可. 【详解】()'2bf x x x =-++,由题02b x x -+≤+在()0,∞+上恒成立.又20x +>故()2b x x ≤+在()0,∞+上恒成立.又()2y x x =+对称轴1x =-.故()2y x x =+在()0,∞+单调递增.故()20y x x =+>,故0b ≤. 故选：D【点睛】本题主要考查了利用导函数解决单调性的问题,同时也考查了恒成立问题的参变分离方法,属于基础题型.7.设a ，b 均为单位向量，且它们的夹角为2π3，当a kb -取最小值时，实数k 的值为（ ）． A. 12- B. 1- C.12D. 1【答案】A 【解析】 【分析】将a kb -平方再分析最值即可. 【详解】()222221a kb a ka b kbk k -=-⋅+=++.故当12k =-时, a kb -取最小值.故选：A【点睛】本题主要考查了平行向量的模长运用,常用平方再分析的方法,属于基础题型. 8.已知函数()2cos2f x x x =+，则下列结论正确的是（ ）． A. ()f x 的图像关于直线π12x =对称 B. ()f x 的图像向左平移π6个单位后为偶函数图像C. ()f x 的图像关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. ()f x 的最小正周期为π，且在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简再分析即可.详解】()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+.对A,代入π12x =有2=1263πππ⨯+,不为正弦函数对称轴.故A 错误. 对B, ()f x 的图像向左平移π6个单位后为()2sin 22sin 22cos 2662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数,故B 正确.对C,代入5π6x =有52sin(2)066ππ⨯+≠,故C 错误. 对D,()f x 最小正周期为π,在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦不为单调递增区间.故D 错误. 故选：B【点睛】本题主要考查了辅助角公式的运用以及三角函数图像的性质判定,属于基础题型. 9.函数f(x)＝log 2|x|，g(x)＝－x 2＋2，则f(x)·g(x)的图象只可能是( ) A. B. C. D.【答案】C 【解析】因为函数f(x)，g(x)都为偶函数， 所以f(x)·g(x)也为偶函数， 所以图象关于y 轴对称，排除A ，D ； f(x)·g(x)＝(－x 2＋2)log 2|x|，当0<x<1时，f(x)·g(x)<0，排除B ，故选C. 10.已知数列{}n a ，若点()(),n n a n +∈N 均在直线()83y k x =-+上，则{}na 的前15项和等于（ ）． A. 42 B. 45C. 48D. 51【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列性质求解即可.【详解】{}n a 的前15项和15815S a =,又()88833a k =-+=,故1581545S a ==.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的的性质及求和公式,属于基础题型. 11.已知函数()2n y a xn +=∈N 的图像在1x =处的切线斜率为1n a+，且当1n =时，此切线过点()2,3，则7a 的值为（ ）． A. 8 B. 16 C. 32 D. 64【答案】D 【解析】 【分析】求导后利用导函数的几何意义求解数列的递推公式,再推导出{}n a 为等比数列,求通项公式再求7a 即可.【详解】由题'2n y a x =,故12n n a a +=.又当1n =时,此切线过点()2,3,此时斜率1'2y a =,故切线方程为()1322y a x -=-,且与21y a x =相切.联立方程得()22111113222430a x a x a x a x a +-=⇒-+-=.显然10a ≠.故判别式()()21111244301a a a a --=⇒=. 故{}n a 是以11a =为首项,公比为2的等比数列.故12n n a .故67264a ==.故选：D【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及数列的递推公式求解通项公式的方法.需要根据导数的几何意义求解对应的切线方程,再利用与二次函数相切则联立方程判别式为0的方法等.属于中等题型.12.已知奇函数()f x 满足()()()2f x f x x -=-∈R ，且[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则关于x 的方程()()001f x m m -=<<在区间[]4,8-上的所有根之和是（ ）． A. 10 B. 8 C. 6 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的性质,且已知[]0,1x ∈时,()()2log 1f x x =+,可画出对应的函数图像,再分析()()001f x m m -=<<在区间[]4,8-上的所有根之和即可.【详解】由题,()()()2f x f x x -=-∈R ,则()()()24f x f x f x =-+=+,故()f x 周期为4.又奇函数()f x 关于()0,0对称,且()()2()f x f x f x -=-=-,故()f x 关于1x =-对称, 又[]0,1x ∈时,()()2log 1f x x =+则可画出区间[]4,8-上对应的函数图像.易得()()001f x m m -=<<即()()01f x m m =<<在区间[]4,8-上的根分别关于-3,1,5对称,故零点之和为()23156⨯-++=⎡⎤⎣⎦. 故选：C【点睛】本题主要考查了根据函数的关系推导函数性质以及函数图像的问题.需要先根据[]0,1x ∈时,()()2log 1f x x =+,画出[]0,1x ∈的图像,再根据函数性质补全图像.再利用图像求得零点之和.属于中等题型.二、填空题13.已知π3cos()6x -=，则πcos cos()3x x +-=__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】注意观察角x 、36x x ππ--、的关系可发现x 、3x π-均能用已知角和特殊角6π表示出来，再用和差角公式展开即可求得结果． 【详解】πcos cos()3x x +-=][cos cos 6666x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 332cos cos 216632x ππ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为-1．【点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 14.设向量1e ，2e 分别为单位向量，且夹角为π3，若122a e e =-，122b e e =+，则⋅=a b ______．【答案】32【解析】 【分析】根据平面向量的数量积运算即可.【详解】()()221212112233222322222e e e e a e e e e b -+=+⋅-=+-=⋅=⋅. 故答案为：32【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算,属于基础题型. 15.已知向量()2,3a =，()1,2b =-，若ma nb +与2a b -共线，则nm=______． 【答案】2- 【解析】 【分析】根据向量共线的方法分析系数关系即可.【详解】因为ma nb +与2a b -共线,故()()()220ma nb a b m a n b λλλ+=-⇒-++=, 又()2,3a =,()1,2b =-不共线,根据平面向量基本定理得0,20m n λλ-=+=. 故22n m λλ-==-. 故答案为：2-【点睛】本题主要考查了平行向量的性质与用法,直接根据平面向量基本定理判定即可.属于基础题型.16.已知数列{}n a 与{}n b 满足()1111nn n n n a b b a +++=+-，()312nnb +-=，且12a =，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则64S =______．【答案】560- 【解析】 【分析】分n 为奇数和偶数两种情况讨论即可.【详解】由()312nnb +-=,故当n 为偶数时,2n b =；当n 为奇数时,1n b =.又()1111nn n n n a b b a +++=+-,12a =故12121220204a b b a a a a +=⇒+=⇒=-. 故当n 为偶数时, 122n n a a ++=；当n 为奇数时, 120n n a a ++=.所以当n 为偶数时, 111122120n n n n n n a a a a a a ++--+=⎧⇒-=⎨+=⎩,即奇数项为公差为1的等差数列. 当n 为奇数时, 111120222n n n n n n a a a a a a ++--+=⎧⇒-=-⎨+=⎩即偶数项为公差为-2的等差数列. 又12a =,故641234636413632464...(...)(...)S a a a a a a a a a a a a =++++++=+++++++13632464(...)(...)(23...33)(4...66)a a a a a a =+++++++=+++-++32(233)32(466)16(35)56022⨯+⨯+=-=⨯-=-.故答案为：560-【点睛】本题主要考查了奇偶数列的求和问题,需要根据n 为奇数和偶数两种情况进行分类讨论,求和的时候再直接写出各项进行计算分析即可.属于中等题型.三、解答题17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()()2222sin sin 0bc A b a C -+-=．（1）求证：a ，b ，c 成等比数列； （2）若π3B =，试判断ABC 的形状． 【答案】（1）证明见解析（2）等边三角形【解析】 【分析】(1)利用正弦定理以及因式分解的方法证明20b ac -=即可. (2)利用余弦定理以及(1)中的2b ac =化简求得a c =即可. 【详解】（1）由已知应用正弦定理得()()22220b c a ba c -+-=,即()()20b aca c -+=,由于0a c +>,则20b ac -= 故a ,b ,c 成等比数列． （2）若π3B =,则222222cos b a c ac B a c ac ++-=+-, 由（1）知2b ac =,则2220+-=a c ac ,即a c =, 所以a b c ==,故ABC 为等边三角形．【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题目信息选择合适的定理进行化简分析,属于中等题型.18.设向量()sin 2,2a x =，()1,sin b x =，()f x a b =⋅，角A ，B ，C 分别为ABC 的三个内角，若()f x 在x A =处取得极值．（1）试求A 与()f A 的值；（2）当1AB AC ⋅=，求ABC 的最小外接圆半径． 【答案】（1）π3A =，()f A =2（2）3【解析】 【分析】(1)化简()f x a b =⋅再求导根据在x A =处取得极值可得π3A =,再算得()f A 即可.(2)化简1AB AC ⋅=,再利用余弦定理与基本不等式可得2BC ≥再利用正弦定理求外接圆的半径满足的关系式即可.【详解】（1）由()sin 2,2a x =,()1,sin b x =得()sin 22sin f x a b x x =⋅=+,则()()()22cos22cos 4cos 2cos 222cos 1cos 1f x x x x x x x '=+=+-=-+,由于()f x 在x A =处取得极值,那么()()()22cos 1cos 10f A A A '=-+=, 解得1cos 2A =或cos 1A =-． 又0πA <<,则π3A =,()2ππsin 2sin 332f A =+=． （2）若1AB AC ⋅=,即πcos 13AB AC ⋅=,则2AB AC ⋅=,所以222π2cos 23BC AB AC AB AC AB AC =+-⋅≥⋅=,即2BC ≥ 则2sin sin 3BCR A =≥=故ABC ． 【点睛】本题主要考查了解三角形与向量、导数以及基本不等式的综合运用,需要根据题意选择合适的公式进行化简,同时注意观察余弦定理中的结构找到基本不等式的用法即可.属于中等题型.19.已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足21b a =，423b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）()21n a n n +=+∈N（2）()3212n -或()1212n ⎡⎤--⎣⎦ 【解析】【分析】(1)分1,2n n =≥两种情况,利用通项公式与前n 项和的关系求解即可.(2)利用基本量法求解等比数列{}n b 的首项与公比,再利用求和公式求解即可.【详解】（1）由22n S n n =+得13a =,且2n ≥时,()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+,显然13a =满足21n a n =+,故()21n a n n +=+∈N．（2）若等比数列{}n b 满足21b a =,423b a a =+,则由（1）得21341312b b q b b q ==⎧⎨==⎩,解得1322b q ⎧=⎪⎨⎪=⎩,或1322b q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． 所以()()()1312132211122n nn n b q T q --===---或()()3121221122n n n T ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤==--⎣⎦+ 【点睛】本题主要考查了根据前n 项和与求通项公式的方法,同时也考查了等比数列的基本量求法即求和的问题,属于中等题型.20.在数列{}n a 中，123a =，若函数()31f x x =+在点()()1,1f 处的切线过点()1,n n a a +． （1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式与前n 项和公式n S ．【答案】（1）证明见解析（2）()113234n n ++- 【解析】【分析】 (1)求导后求导切线方程,代入()1,n n a a +求得131n n a a +=-,再构造数列证明即可.(2)根据(1)中构造的等比数列求出()1312n n a =+,再分组求和即可. 【详解】（1）由()31f x x =+得()23f x x '=,()12f =,()13f '=,则()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()()111y f f x '-=-,即31y x =-．又此切线过点()1,n n a a +,则131n n a a +=-,即111322n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 故12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为3的等比数列． （2）又12a =,由（1）知1111133222n n n a a -⎛⎫-=-⋅=⋅ ⎪⎝⎭,则()1312n n a =+,()()1313113232134n n n S n n +⎡⎤-⎢⎥=+=+--⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及构造数列求通项公式的方法,同时也考查了分组求和以及等比数列求和公式等.属于中等题型.21.已知()()2x f x ax e =+，()242g x x x =-++． 对于函数()f x 、()g x ，若存在常数k ，b ，使得x ∀∈R ，不等式()()f x kx b g x ≥+≥都成立，则称直线是y kx b =+函数()f x 与()g x 的分界线．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2a =时，试探究函数()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在说明理由．【答案】（1）见解析（2）2a =时，()f x 与()g x 存在“分界线42y x =+”，理由见解析【解析】【分析】(1)求导后分0a =,0a >与0a <三种情况讨论即可.(2)由题意,代入0x =时,有2b =,再根据二次函数的恒成立问题求得4k =,再证明()()()()()21220x h x f x kx b x e x =-+=+-+≥即可.【详解】（1）由()()2x f x ax e =+得()()2xf x ax a e '=++, 若0a =时,有()20xf x e '=>,则()f x 在R 上单调递增； 若0a ≠时,由()0f x '=解得21x a =--, 若0a >时,对于2,1x a ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭,有()0f x '<；21,x a ⎛⎫∈--+∞ ⎪⎝⎭,有()0f x '>, 则()f x 在2,1a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭上单调递减,在21,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若0a <时,对于2,1x a ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭,有()0f x '>；21,x a ⎛⎫∈--+∞ ⎪⎝⎭,有()0f x '<,则()f x 在2,1a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭上单调递增,在21,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （2）当2a =时,()()21x f x x e =+,()242g x x x =-++,若()()f x kx b g x ≥+≥对x ∀∈R 都成立,即()22142x x e kx b x x +≥+≥-++对x ∀∈R 都成立． 则0x =时,有22b ≥≥；且242kx b x x +≥-++,对x ∀∈R 都成立,即2b =,()2420x k x b +-+-≥对x ∀∈R 都成立． 所以2b = ,4k =．此时,令()()()()()2122xh x f x kx b x e x =-+=+-+, 则()()224xh x x e '=+-, 令()()224()x h x x e t x '=+-=，在(,2]-∞-上()()224()0xh x x e t x '=+-=<恒成立， 又在()2,-+∞上()()230xt x x e '=+>， ∴()()224x h x x e '=+-在()2,-+∞单增且()()0020240h e '=+-=， 从而有0x ≥时,()0h x '≥；20x -<<时,()0h x '<,即在(),0-∞()0h x '<所以()h x 在(),0-∞上递减,在()0,∞+上递增．因此()()00h x h ≥=,即()42f x x ≥+．故2a =时,()f x 与()g x 存在“分界线42y x =+”．【点睛】本题主要考查了含参数的单调性讨论以及新定义的函数问题.主要是根据题意,代入特殊值找到对应的参数,再利用恒成立问题求解即可.属于难题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩（ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若点P 为1C 上任意一点，求点P 到2C 的距离的取值范围．【答案】（1）()2224x y ++=，20x y --=（2）[]0,2 【解析】【分析】(1)易得2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩表示圆,再利用极坐标中的公式化简πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (2)设曲线1C 上的任意一点()2cos ,2sin 2P ϕϕ-,求出P 到曲线2C 的距离公式,再利用三角函数的值域求解即可.【详解】（1）由2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩消去参数ϕ,得()2224x y ++=, 则曲线1C 的普通方程为()2224x y ++=．由πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得cos sin 22ρθρθ-=即2x y -=． 则曲线2C 的直角坐标方程为20x y --=．（2）曲线1C 上的任意一点()2cos ,2sin 2P ϕϕ-到曲线2C 的距离为π2cos 4d ϕ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭, 故点P 到曲线2C 的距离的取值范围为[]0,2．【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标的互化,同时也考查了利用参数方程求距离最值的问题,属于中等题型.。

()R A B ð=（D ．(2,2)-是虚数单位，则|a +3D 所在平面内一点，3BC CD =，则（．1433AD AB AC =-+ ．1433AD AB AC =-．4133AD AB AC =+ ．4133AD AB AC =-．函数πsin(2)y x =-在区间的简图是（ ）A ．B ．C ．D ．．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ==，则对任意的正实数1ta b c ++，的最小值是D ．4122)(2)x x -的取值范围是（(9,21) 分．x v x()（1）求曲线C 的极坐标方程（2）若直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ+=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【选修4—5：不等式选讲】23．已知函数|(|)f x x a =-，不等式()3f x ≤的解集为[]1,5-．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．S=ABC∴3135a a -=-⎧⎨+=⎩，解得：2a =； （Ⅱ）∵|(()(5)2||3||3)|2)(5f x f x x x x x ++=-++≥---=．又()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，∴5m ≤．宁夏银川一中高三上学期第三次月考数学（理科）试卷解析1．【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义进行运算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣4＜0}={x|﹣2＜x＜2}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁R B={x|x≤﹣1或x＞5}，∴A∩（∁R B）={x|﹣2＜x≤﹣1}=（﹣2，﹣1]．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵，∴由，得﹣a﹣2i=1+bi，∴，则a=﹣1，b=﹣2．∴|a+bi|=|﹣2﹣i|=．3．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，4．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；5．【分析】根据函数解析式可得当x=﹣时，y=sin[（2×﹣]＞0，故排除A，D；当x=时，y=sin0=0，故排除C，从而得解．【解答】解：当x=﹣时，y=sin[（2×﹣]=﹣sin（）=sin=＞0，故排除A，D；当x=时，y=sin（2×﹣）=sin0=0，故排除C；6．【分析】先利用正弦定理化简得c=2b，再由可得a2=7b2 ，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由及正弦定理可得c=2b，再由可得a2=7b2 ．再由余弦定理可得cosA===，故A=30°，7．【分析】由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a ＞0.【解答】解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0.8．【分析】直接利用奇函数的性质求出列出方程，然后求解即可．【解答】解：f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+2﹣x，f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）3+22=﹣4．即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣4．9．【分析】依题意，可求得{a n}是以3为周期的数列，且S3=2+﹣1=，从而可求得S2017的值．【解答】解：∵a1=2，a n+1=1﹣，∴a2=1﹣=；∴a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2，…，∴数列{a n}是以3为周期的数列，又S3=2+﹣1=，2017=3×672+1，∴S2017=672×+2=1010．10．【分析】根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f'（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数令g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，因为f（x）＞f'（x），所以g′（x）＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，所以g（﹣2016）＞g（0）＞g＜=e2016f（﹣2016），e2016f（0）＞f已知，是两个互相垂直的单位向量，且•=•=1，则对任意的正实数t，|+t+|的最小值是（）11．【分析】利用=0，，．建立如图所示的直角坐标系，取，．设，可得（x，y）•（1，0）=（x，y）•（0，1）=1．即可得到．再利用数量积的性质、基本不等式即可得出．【解答】解：∵=0，，．建立如图所示的直角坐标系，取，．设，∴（x，y）•（1，0）=（x，y）•（0，1）=1．∴x=y=1．∴．∴．∵t＞0.∴===，当且仅当t=1时取等号．12．【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范围．【解答】解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10∴的取值范围是（0，12）．13．【分析】根据诱导公式求得sinα=﹣，结合α的取值范围易得cosα=，将其代入求值即可．【解答】解：∵，∴sinα=﹣，∴cosα==，∴==﹣．14．【分析】由题意结合函数的单调性可得，函数的图象和y轴的交点在y轴的非正半轴上，故有+m ≤0，由此解得m的范围．【解答】解：由于函数y=+m 在R上是减函数，图象不经过第一象限，故函数的图象和y轴的交点在y轴的非正半轴上，故有+m≤0，解得m≤﹣2，．【分析】根据三角形三边长成公比为的等比数列，根据等比数列的性质设出三角形的三边为a，a ，2a ，根据2a 为最大边，利用大边对大角可得出2a所对的角最大，设为θ，利用余弦定理表示出cosθ，将设出的三边长代入，即可求出cosθ的值．【解答】解：根据题意设三角形的三边长分别为a，a，2a，∵2a＞a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，则根据余弦定理得：cosθ==﹣．【解答】解：∵T[]﹣T[]组成的数列为：1000010000100001…（2）由（1）知b n==32n﹣1=，再利用等比数列的定义及其通项公式、求和公式即可得出．a q{}【分析】（1）由已知利用三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理可得=，结合sinC≠0，可得cosA=，进而可求A．方法二：选择①③，可求C=，由正弦定理可求c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．A ctan2【分析】（1）由已知条件得S n=n2（S n﹣S n﹣1）﹣n（n﹣1），从而=+1，由此能证明数列{S n}是首项为1，公差为1的等差数列，从而得到S n=n×=．（2）由b n====，利用裂项求和法能证明b1+b2+…+b n＜．1（3）利用（2）的结论，令x0=，则e x＞x2＞x，即x＜ce x．即得结论成立．。