等比数列的前n 项和2-高中数学经典好题教学内容：等比数列的前n 项和教学过程：学习了等比数列的前n 项和公式⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,1,1)1(11q na q q q a S n n (错位相减法)一．题目训练1.求下列数列的前n 项和(1)2,22,222,2222,...(2) ，，3222221221,21,2++++++(3)nn n S ----⋅+++⋅+⋅+⋅=2)2(252423321 (4){}项和的前求n a n a n n n ,232-+=(5)=+⨯+++⨯+⨯+⨯)43(11037241n n ）（求 (6)=+⨯++⨯+⨯+⨯)22(21861641421n n (7)=+-++⨯+⨯+⨯)12)(12(27565343122222n n n ）（求和 (8)项和前数列n n n ⎭⎬⎫⎩⎨⎧++11(9)构造差值求和nn n n n n n a n n a 2)(2))1((,2)52(1⋅+-⋅++=⋅+=+μλμλ方法：项和求其前(10)已知数列项和求其前n n a n n ,22⋅=方法：也是构造差值求和nn n q pn n q n p n a 2)(2))1()1((212⋅++-⋅++++=+λλ方法：观察法、倒序相加法、错位相减法、从通项入手、裂项相消法、分母有理化、拆开重新组合、叠加法、公式法二．课后思考1.{})1(,2,11n ++==+n n S na a S n a n n n 若项和为的前已知数列231.,2.,)()(,2)2(,1≥>≤>=+m ii n i m m T n ii T T n i S T a n n n n n n n 的范围则总有若对一切正整数为何整数时，当）求（,2)5(,2)4(,2)3(1)2(,1)1(:,)()(.2=====∈*f f f f f N n n n f 如的整数为最接近记的值为则正整数若m m f f f f ,4034)(1)3(1)2(1)1(1=++++ 20192018.,20182017.,2017.,20172016.2⨯⨯⨯D C B A 解答：C3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，414S =，数列{}n b 满足14b =，132n n b b +=-．(1)求{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足1222,1,n n n n na n a a c nb ++⎧⎪⋅⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，若{}nc 的前n 项和为n T ，证明：2316n T <．【答案】(1)31n n b =+(2)证明见解析【分析】（1）先证明{}1-n b 为等比数列，然后求解出{}1-n b 的通项公式即可求解出{}n b 的通项公式；（2）根据12a =和414S =先求解出{}n a 的通项公式，然后采用裂项相消法、公式法、放缩法完成证明.【详解】（1）因为132n n b b +=-，所以()()1131n n b b +-=-，且1130b -=≠，所以{}1-n b 是首项为3，公比为3的等比数列，所以13n n b -=，所以31n n b =+，所以{}n b 的通项公式为31n n b =+；（2）设{}n a 的公差为d ，因为12a =，414S =，所以14614a d +=，所以1d =，所以()2111n a n n =+-⨯=+，所以()()222,131,31n n n n n n c n +⎧⎪++⎪=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数，所以()()22111,4131,31n n n n n c n ⎧⎛⎫⎪ ⎪- ⎪⎪++⎝⎭=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数，所以()()2222222426211111111111............4244631313131222n n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-+-++-+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()222246222111991111111111 (1)42333342222219n n n T n n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭<-++++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++⎝⎭⎝⎭-，所以()()22211113111116891689422422n n n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-=--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++⎝⎭，又因为()21110,089422n n ⎛⎫>⋅> ⎪⎝⎭+，所以2316n T <.。
