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2016-2017学年高中数学人教B版选修4-5章末综合测评 第3章 含答案 精品

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章末综合测评(三) 数学归纳法与贝努利不等式(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设S(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A.S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝12＋13B.S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝12＋13＋14C.S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝12＋13＋14D.S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝12＋13＋14【解析】S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝12＋13＋14.【答案】 D2.数列{a n}中，已知a1＝1，当n≥2时，a n－a n－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A.3n－2B.n2C.3n－1D.4n－3【解析】计算知a1＝1，a2＝4, a3＝9，a4＝16，∴可猜想a n＝n2.【答案】 B3.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋成立，则a，b，c的值为()A.a＝12，b＝c＝14 B.a＝b＝c＝14C.a＝0，b＝c＝14 D.不存在这样的a，b，c【解析】∵等式对任意n∈N＋都成立，∴当n ＝1,2,3时也成立.即⎩⎨⎧1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝c ＝14.【答案】 A4.下列代数式，n ∈N ＋，能被13整除的是( ) A.n 3＋5n B.34n ＋1＋52n ＋1 C.62n －1＋1D.42n ＋1＋3n ＋2【解析】 当n ＝1时，n 3＋5n ＝6,34n ＋1＋52n ＋1＝368,62n －1＋1＝7,42n ＋1＋3n ＋2＝91.只有91能被13整除. 【答案】 D5.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n22，则当n ＝k ＋1时左端应在n＝k 的基础上加上( )A.k 2B.(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D.(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2【解析】 当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2. 故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2. 【答案】 D6.用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N ＋)能被8整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1可变形为( )A.56·3(4k ＋1)＋25(34k ＋1＋52k ＋1)B.34·34k＋1＋52·52kC.34k＋1＋52k＋1D.25(34k＋1＋52k＋1)【解析】34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1变形中必须出现n＝k时归纳假设，故变形为56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1).【答案】 A7.用数学归纳法证明不等式1＋123＋133＋…＋1n3<2－1n(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式()A.1＋123<2－12 B.1＋123＋133<2－13C.1＋123<2－13 D.1＋123＋133<2－14【解析】∵n≥2，第一步应是n＝2时，1＋123<2－12.【答案】 A8.设n∈N＋，则4n与3n的大小关系是()A.4n>3nB.4n＝3nC.4n<3nD.不确定【解析】4n＝(1＋3)n.根据贝努利不等式，有(1＋3)n≥1＋n×3＝1＋3n>3n，即4n>3n.【答案】 A9.若k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱有对角面的个数为()A.2f(k)B.k－1＋f(k)C.f(k)＋kD.f(k)＋2【解析】由n＝k到n＝k＋1时增加的对角面的个数与底面上由n＝k到n ＝k＋1时增加的对角线的条数一样，设底面为A1A2…A k，n＝k＋1时底面为A1A2A3…A k A k＋1，增加的对角线为A2A k＋1，A3A k＋1，A4A k＋1，…，A k－1A k＋1，A1A k，共有k－1条，因此，对角面也增加了k－1个.【答案】 B10.用数学归纳法证明12＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝sin2n ＋12α·cos 2n －12αsin α(α≠k π，k ∈Z ，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，左边计算所得的项是( )A.12B.12＋cos α C.12＋cos α＋cos 3α D.12＋cos α＋cos 2α＋cos 3α【解析】 首项为12，末项为cos(2×1－1)α＝cos α. 【答案】 B11.如果命题P (n )对于n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋2亦成立，又若P (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )A.P (n )对所有自然数n 成立B.P (n )对所有偶自然数n 成立C.P (n )对所有正自然数n 成立D.P (n )对所有比1大的自然数n 成立【解析】 因为n ＝2时，由n ＝k ＋2的“递推”关系，可得到n ＝4成立，再得到n ＝6成立，依次类推，因此，命题P (n )对所有的偶自然数n 成立.【答案】 B12.在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )【导学号：38000065】A.1(n －1)(n ＋1)B.12n (2n ＋1)C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)【解析】 ∵a 1＝13，由S n ＝n (2n －1)a n 得，a 1＋a 2＝2(2×2－1)a 2， 解得a 2＝115＝13×5，a 1＋a 2＋a 3＝3×(2×3－1)a 3， 解得a 3＝135＝15×7，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4(2×4－1)a 4， 解得a 4＝163＝17×9.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上)13.从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出：1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.【解析】 等式的左边符号正负间隔出现，先正后负，所以最后一项系数应为(－1)n ＋1，和的绝对值是前n 个自然数的和为n (n ＋1)2.【答案】 (－1)n ＋1·n (n ＋1)214.设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2，用数学归纳法证明a n ＝4×2n －1－2的第二步中，设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时结论成立，即a k ＝4×2k －1－2，那么当n ＝k ＋1时，需证明a k ＋1＝________.【解析】 当n ＝k ＋1时，把a k 代入，要将4×2k －2变形为4×2(k ＋1)－1－2的形式.【答案】 4×2(k ＋1)－1－215.证明1＋12＋13＋14＋…＋12n －1>n2(n ∈N ＋)，假设n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，左边增加的项数是________.【解析】 左边增加的项数为2k ＋1－1－2k ＋1＝2k . 【答案】 2k16.在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B＋1C＋1D≥162π成立；在五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立.猜想在n边形A1A2…A n中，其不等式为________.【解析】9π＝32π，162π＝422π，253π＝523π，所以在n边形A1A2…A n中，1A1＋1A2＋…＋1A n≥n2(n－2)π.【答案】1A1＋1A2＋1A3＋…＋1A n≥n2(n－2)π三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝13n(4n2－1).【证明】(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立.(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N＋)，命题成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝13k(4k2－1).那么当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋[2(k＋1)－1]2＝13k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝13k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2＝13(2k＋1)(2k＋3)(k＋1)＝13(k＋1)[4(k＋1)2－1].∴当n＝k＋1时，命题也成立.由(1)(2)得，对于任意n∈N＋，等式都成立.18.(本小题满分12分)求证：62n＋3n＋2＋3n是11的倍数(n∈N＋). 【证明】(1)当n＝1时，62×1＋31＋2＋31＝66，是11的倍数. (2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，命题成立，即62k＋3k＋2＋3k是11的倍数.则当n＝k＋1时，62(k ＋1)＋3k ＋3＋3k ＋1＝62k ＋2＋3k ＋3＋3k ＋1 ＝36·62k ＋3·3k ＋2＋3·3k ＝33·62k ＋3·62k ＋3·3k ＋2＋3·3k ＝33·62k ＋3(62k ＋3k ＋2＋3k ).由假设可知3(62k ＋3k ＋2＋3k )是11的倍数，而33·62k 也是11的倍数，即n ＝k ＋1时，原命题正确.由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋原命题成立.19.(本小题满分12分)已知a ，b 为正数，且1a ＋1b ＝1，试证：对每一个n ∈N＋，(a ＋b )n －a n －b n ≥22n －2n ＋1.【证明】 (1)n ＝1时，左边＝0，右边＝0， ∴左边＝右边，命题成立.(2)假设n ＝k (k ≥1)时，命题成立，即(a ＋b )k －a k －b k ≥22k －2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，∵a k ＋1＋b k ＋1＝(a ＋b )·(a k ＋b k )－a k b －ab k ， ∴左边＝(a ＋b )k ＋1－a k ＋1－b k ＋1 ＝(a ＋b )·[(a ＋b )k －a k －b k ]＋a k b ＋ab k . 又∵1a ＋1b ＝1， ∴ab ＝a ＋b .∵(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4， ∴a ＋b ≥4，∴ab ＝a ＋b ≥4. 由a k b ＋ab k ≥2a k ·b k ·ab ＝2(ab )k ·ab ≥2·2k ＋1＝2k ＋2. a k ＋b k ≥2(ab )k ≥2k ＋1.故左边≥4·(22k －2k ＋1)＋2k ＋2＝22k ＋2－2k ＋2 ＝22(k ＋1)－2(k ＋1)＋1＝右边. ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋不等式成立.20.(本小题满分12分)是否存在常数a ，b ，c 使得等式1·22＋2·32＋…＋n (n＋1)2＝n(n＋1)12(an2＋bn＋c)对一切n∈N＋都成立？并证明你的结论.【解】假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n(n＋1)12(an2＋bn＋c)中，令n＝1，得4＝16(a＋b＋c)，①令n＝2，得22＝12(4a＋b＋c)，②令n＝3，得70＝9a＋3b＋c. ③由①②③解得a＝3，b＝11，c＝10，于是，对于n＝1,2,3，都有1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n(n＋1)12(3n2＋11n＋10)(*)成立.下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，(*)式都成立.假设n＝k时，(*)成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝k(k＋1)12(3k2＋11k＋10)，那么1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝k(k＋1)12(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝(k＋1)(k＋2)12(3k2＋5k＋12k＋24)＝(k＋1)(k＋2)12[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，由此可知，当n＝k＋1时，(*)式也成立.综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时题设的等式对于一切n∈N＋都成立.21.(本小题满分12分)如果数列{a n}满足条件：a1＝－4，a n＋1＝－1＋3a n 2－a n(n＝1,2，…)，证明：对任何自然数n，都有a n＋1>a n且a n<0.【证明】(1)由于a1＝－4，a 2＝－1＋3a 12－a 1＝－1－122＋4＝－136>a 1.且a 1<0，因此，当n ＝1时不等式成立. (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ＋1>a k 且a k <0. 那么a k ＋1＝－1＋3a k2－a k<0.当n ＝k ＋1时，有a k ＋2＝－1＋3a k ＋12－a k ＋1，∴a k ＋2－a k ＋1＝－1＋3a k ＋12－a k ＋1－－1＋3a k2－a k＝5(a k ＋1－a k )(2－a k ＋1)(2－a k )>0. 因此a k ＋2>a k ＋1且a k ＋1<0.这就是说，当n ＝k ＋1时不等式也成立， 根据(1)(2)，不等式对任何自然数n 都成立. 因此，对任何自然数n ，都有a n ＋1>a n 且a n <0.22.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n 的等差中项为1.(1)写出a 1，a 2，a 3；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明.【解】 (1)由题意S n ＋a n ＝2，可得a 1＝1，a 2＝12， a 3＝14.(2)猜想a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n-1.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n-1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，等式成立.②假设当n ＝k 时，等式成立，即a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k-1，则当n ＝k ＋1时，由S k ＋1＋a k ＋1＝2，S k ＋a k ＝2，得(S k＋1－S k)＋a k＋1－a k＝0，即2a k＋1＝a k，∴a k＋1＝12a k＝⎝⎛⎭⎪⎫12·⎝⎛⎭⎪⎫12k-1＝⎝⎛⎭⎪⎫12(k+1)-1，即当n＝k＋1时，等式成立.由①②可知，对n∈N＋，a n＝⎝⎛⎭⎪⎫12n-1.。

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2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5：阶段质量检测

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阶段质量检测(四) 模块综合检测 (时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b2．t ，s ∈R ＋，A ＝t ＋s 7＋s ＋t ，B ＝s 7＋s ＋t 7＋t ，则A 与B 的关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．不确定3．已知函数f (x )、g (x )，设不等式|f (x )|＋|g (x )|<a (a >0)的解集是M ，不等式|f (x )＋g (x )|<a (a >0)的解集为N ，则集合M 与N 的关系是( )A ．N MB ．M ＝NC ．M ⊆ND ．M N4．已知θ∈R ，则42＋sin 2θ＋2cos θ的最大值是( ) A ．23 B ．3 6 C.63D. 65．不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为( ) A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[3，＋∞) D ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)6．已知θ为锐角，a ，b 均为正实数．则下列不等式成立的是( ) A ．(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θB ．(a ＋b )2≥a 2cos 2θ＋b 2sin 2θC ．a 2＋b 2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θD ．(a ＋b )2<a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ7．(安徽高考)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或88．当x >1时，不等式a ≤x ＋1x －1恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]9．若实数x 、y 满足1x 2＋1y 2＝1，则x 2＋2y 2有( )A ．最大值3＋22B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值610．若x >1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为( )A ．16B ．8C ．4D ．非上述情况二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)11．若x ，y ，z 是正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，则(x ＋y )·(y ＋z )的最小值为________． 12．(广东高考)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________________．13．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________________．14．设正数a ，b ，c 的乘积abc ＝1，1a 2(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )的最小值为________．三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)已知a ，b 是不相等的正实数． 求证：(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2.16．(本小题满分12分)若a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n ，求证：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b nn ≥a 1＋a 2＋…＋a n n ·b 1＋b 2＋…＋b n n.17．(本小题满分12分)(新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．18.(本小题满分14分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N ＋)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n . (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．答 案1．选C A 项中a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )， 由a <b 知a －b <0.但a ＋b 的符号不确定，故A 项错误． B 项中，ab 2－a 2b ＝ab (b －a )， 由a <b 知b －a >0，但ab 的符号不确定，故B 项错误． C 项中，1ab 2－1a 2b ＝1ab ⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝a －ba 2b 2，由a <b 知a －b <0，又已知a ，b 为非零实数， ∴1ab 2－1a 2b <0，即1ab 2<1a 2b. D 项中，b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab，由于a ＋bab的符号不确定，故D 项错误．2．选B B ＝s 7＋s ＋t 7＋t >s 7＋s ＋t ＋t7＋t ＋s ＝s ＋t 7＋s ＋t ＝A .3．选C 由绝对值不等式的性质知|f (x )＋g (x )|≤|f (x )|＋|g (x )|， ∴集合N 与集合M 成M ⊆N 关系．4．选B 由42＋sin 2θ＋2cos θ≤42＋(2)2·()2＋sin 2θ2＋cos 2θ＝3 6.当且仅当4cos θ＝2(2＋sin 2θ)，即sin θ＝±63，cos θ＝33时，等号成立，故选B.5．选D 由题意不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的几何意义为数轴上到1，－2两个点的距离之和大于等于5的点组成的集合，而－2,1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2,1的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．6．选A 设m ＝⎝⎛⎭⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)， 则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ ≤⎝⎛⎭⎫a cos θ2＋⎝⎛⎭⎫b sin θ2·1＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ， 所以(a ＋b )2≤a 2cos 2＋b 2sin 2.7．选D 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a 2，如图1可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1 ＝3，可得a ＝8；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a 2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，当x ＝－a 2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，答案为D.8．选D a ≤x ＋1x －1，由x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥3，即x ＋1x －1的最小值为3.9．选B 由题知，x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)·⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＝3＋2y 2x 2＋x 2y 2≥3＋22，当且仅当x 2y 2＝2y 2x2时，等号成立．10．选B y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x ＋1x ＋16x ＋1x ≥216＝8，当且仅当x ＝2＋3时等号成立．11．解析：(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋y 2＋yz ＋zx ＝y (x ＋y ＋z )＋zx ≥2y (x ＋y ＋z )zx ＝2. 答案：212．解析：当x <－2时，原不等式即1－x －x －2≥5⇒x ≤－3，此时得到x ≤－3；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋x ＋2≥5，此时无解；当x >1时，原不等式即x －1＋x ＋2≥5⇒x ≥2，此时得到x ≥2.于是原不等式的解集为{x ≤－3或x ≥2}．答案：{x |x ≤－3或x ≥2}13．解析：由题得|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|a －2|，∴|a －2|≥1，解得a ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)14．解析：设a ＝1x ，b ＝1y ，c ＝1z ，则xyz ＝1，则1a 2(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )可化为xy ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ，不妨设x ≥y ≥z ，则1y ＋z ≥1z ＋x ≥1x ＋y ， 据排序不等式得x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ≥z ·1y ＋z ＋x ·1z ＋x ＋y ·1x ＋y ， x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ≥y ·1y ＋z ＋z ·1z ＋x ＋x ·1x ＋y ， 两式相加并化简可得2⎝⎛⎭⎫x y ＋z ＋y z ＋x ＋zx ＋y ≥3.即x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ≥32. 即1a 2(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )≥32.所以1a 2(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )的最小值为32.答案：3215．证明：因为a ，b 是正实数， 所以a 2b ＋a ＋b 2≥33a 2b ·a ·b 2＝3ab >0，当且仅当a 2b ＝a ＝b 2，即a ＝b ＝1时，等号成立；同理：ab 2＋a 2＋b ≥33ab 2·a 2·b ＝3ab >0， 当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )≥9a 2b 2， 当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．因为a ≠b ，所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2.16．证明：由题设和排序不等式，可知有以下n 组式子成立： a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ， a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1， ……a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1.将上述n 个不等式叠加后，两边同除以n 2，即得欲证的不等式．17．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2.当且仅当“a ＝1”时等号成立．所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.18．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，所以a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，所以a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，所以a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， 所以a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N ＋)．(2)当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．假设n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N ＋)时， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1. 所以2a k ＋1＝2＋a k ，所以a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立， 综上可得a n ＝2n －12n －1(n ∈N ＋)．。

2017高中数学选修4-5：综合质量评估含答案

2017高中数学选修4-5：综合质量评估含答案

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关闭Word 文档返回原板块.综合质量评估 （第一至第四讲) （90分钟 120分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1。

（2016·唐山高二检测）设函数f （x ）={(x +1)2(x <1)4−|x −1|(x ≥1),则使f （x ）≥1的自变量x 的取值范围是 （ ) A.（—∞,-2］∪ B 。

(-∞,-2]∪ C 。

(—∞，-2]∪ D.∪ 【解析】选A 。

当x<1时， 由(x+1)2≥1得x ≤—2或0≤x<1;当x ≥1时,由4-｜x-1｜≥1得1≤x ≤4.综合上述,使f(x ）≥1的自变量x 的取值范围是 （-∞，—2］∪。

2.（2016·北京高二检测）设a ，b ∈R ，下面的不等式能成立的是 ( ） A.a 2+3ab>b 2B.ab+a 〉b+abC 。

a b 〈a +1b+1 D.a 2+b 2≥2(a —b-1）【解析】选D 。

取a=0，b=1,验证排除A ，B ，再取a=4，b=3时，可排除C.【一题多解】选D 。

a 2+b 2-2(a —b —1)=a 2-2a+1+b 2—2b+1=(a —1）2+(b—1）2≥0,故选D 。

【补偿训练】若a ，b ，c ，d ∈R,且ab>0,—c a 〈-d b ，则下列各式恒成立的是 ( )A 。

bc<ad B.bc>adC. a c 〉b d D 。

a c <b d【解析】选B.对—c a <-d b 两边同乘以-ab,由-ab 〈0,得bc 〉ad 。

3。

（2016·聊城高二检测）“a 〉0且b>0”是“a +b 2≥√a b ”成立的 ( ）A 。

充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。

2016-2017学年高中数学人教B版选修4-1章末综合测评第2章 含答案 精品

2016-2017学年高中数学人教B版选修4-1章末综合测评第2章 含答案 精品

学业分层测评(十)第二章(建议用时：40分钟)[学业达标]一、选择题(每小题5分，共20分)1.梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在平面α内，则它在α内的正射影是()A.平行四边形B.梯形C.一条线段D.一条线段或梯形【解析】当梯形所在的平面平行于投影线时，梯形在α上的正射影是一条线段.当梯形所在的平面与投影线不平行时，梯形在α上的正射影是一个梯形.【答案】 D2.如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形，则下列结论正确的是()A.内心的平行射影还是内心B.重心的平行射影还是重心C.垂心的平行射影还是垂心D.外心的平行射影还是外心【解析】三角形的平行射影仍是三角形，但三角形的形状通常会发生变化，此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化，其中重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，射影前后相对的位置关系不变.【答案】 A3.圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】由已知α＝50°2＝25°，β＝30°，∴β>α.故截线是椭圆，故选B.【答案】 B4.设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )A.12B.22C.33D.32【解析】 Dandelin 双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，由题意知，2b ＝2c .∴e ＝c a ＝c b 2＋c2＝c 2c ＝22. 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为________.【导学号：61650026】【解析】 ∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以母线与轴线的夹角α＝45°；又截面与轴线的夹角β＝30°，即β<α，∴截线是双曲线，其离心率e ＝cos βcos α＝cos 30°cos 45°＝32＝62. 【答案】 626.一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面内切球的半径为________.【解析】 由2a ＝6，得a ＝3，又e ＝cos 45°＝22，∴c ＝e ·a ＝22×3＝322. ∴b ＝a 2－c 2＝32－92＝322. ∴圆柱面内切球的半径r ＝322.【答案】 322三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图2-1-7，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、D 1C 1的中点，G 是正方形BCC 1B 1的中心，画出空间四边形AEFG 在该正方体的面DCC 1D 1上的正投影.图2-1-7【解】 如图(1)，点A 落在D 点上，点G 落在CC 1的中点G ′上，点F 在面DCC 1D 1上的正射影仍为点F ，点E 落在DD 1的中点E ′上，擦去命名点，其图形如图(2)所示.8.已知点A (1，2)在椭圆x 216＋y 212＝1内，F 的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P ，使|P A |＋2|PF |最小.【解】 如图所示，∵a 2＝16，b 2＝12，∴c 2＝4，c ＝2.∴F 为椭圆的右焦点，并且离心率为24＝12.设P 到右准线的距离为d ，则|PF |＝12d ，d ＝2|PF |.∴|P A |＋2|PF |＝|P A |＋d .由几何性质可知，当P 点的纵坐标(横坐标大于零)与A 点的纵坐标相同时，|P A |＋d 最小.把y ＝2代入x 216＋y 212＝1，得x ＝463(x ＝－463舍去).即点P (463，2)为所求.[能力提升]9.在空间中，取直线l 为轴.直线l ′与l 相交于O 点，夹角为α.l ′绕l 旋转得到以O 为顶点，l ′为母线的圆锥面.任取平面π，若它与轴l 的交角为β.试用Dandelin 双球证明：当β＝α时，平面π与圆锥的交线为抛物线.【证明】 如图：设Dandelin 球与圆锥面的交线为圆S .记圆所在的平面为π′，π与π′的交线为m .在平面π与圆锥面的交线上任取一点P ，设平面π与Dandelin 球的切点为F ，连PF .在平面π中过P 作m 的垂线，垂足为A ，过P 作π′的垂线，垂足为B ，连AB ，则AB 为P A 在平面π′上的射影.显然，m ⊥AB ，故∠P AB 是平面π与平面π′所成的二面角的平面角.在Rt △APB 中，∠APB ＝β.则PB ＝P A ·cos β ①又设过点P 的母线交圆S 于点Q ，则PQ ＝PF .在Rt △PBQ 中，PB ＝PQ ·cos α∴PB ＝PF ·cos α ② 由①，②得PF P A ＝PB cos α×cos βPB ＝cos βcos α. 因为α＝β，所以PF P A ＝1.即曲线任一点P 到定点F 的距离恒等于P 到定直线m 的距离.故点P 的轨迹为抛物线.。

2017-2018学年高中数学人教B版 选修4-5学业分层测评：

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学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1.应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论.A.①②B.①②④C.①②③D.②③【解析】由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等.【答案】 C2.用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容是( )A.3a＝3b B.3a＜3bC.3a＝3b且3a＞3b D.3a＝3b或3a＜3b【解析】应假设3a≤3b，即3a＝3b或3a＜3b.【答案】 D3.已知p＝a＋1a－2，q＝－a2＋4a(a＞2)，则( ) A.p＞q B.p＜qC.p≥qD.p≤q【解析】∵p＝(a－2)＋1a－2＋2，又a－2＞0，∴p≥2＋2＝4，而q＝－(a－2)2＋4，由a＞2，可得q＜4，∴p＞q.【答案】 A4.设M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A.M＝1B.M＜1C.M ＞1D.M 与1大小关系不定【解析】 ∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＜1210＋1210＋…＋1210＝1. 210个 【答案】 B5.设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( )【导学号：38000027】A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立，∴a ，b ，c 三者中至少有一个不小于2. 【答案】 C 二、填空题6.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误.②所以一个三角形不能有两个直角.③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________.【解析】 由反证法的步骤可知，正确顺序为③①②. 【答案】 ③①② 7.给出下列两种说法：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |＜1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以上两种说法正确的是________.【解析】 反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q ＞2，所以①错误；对于②，其假设正确.【答案】 ② 8.已知a 为正数，则12a，12a ＋1，1a ＋a ＋1从大到小的顺序为________.【解析】 ∵a ＋a ＋1＞a ＋a ＝2a ，a ＋a ＋1＜a ＋1＋a ＋1＝2a ＋1，∴2a ＜a ＋a ＋1＜2a ＋1， ∴12a＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1.【答案】12a＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1三、解答题9.设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1.【证明】 由2n ≥n ＋k >n (k ＝1,2，…，n )， 得12n ≤1n ＋k <1n. 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n.∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1， 即原不等式成立.10.已知0＜a ＜3,0＜b ＜3,0＜c ＜3.求证：a (3－b )，b (3－c )，c (3－a )不可能都大于92.【证明】 假设a (3－b )＞92，b (3－c )＞92，c (3－a )＞92.∵a ，b ，c 均为小于3的正数， ∴a－b ＞92，b －c＞92，c －a＞92， 从而有a －b ＋b －c ＋c－a＞922. ①但是a －b ＋b －c ＋c －a≤a ＋－b 2＋b ＋－c 2＋c ＋－a2＝9＋a ＋b ＋c －a ＋b ＋c2＝92. ② 显然②与①相矛盾，假设不成立，故命题得证.1.当n ＞2时，log n (n －1)·log n (n ＋1)与1的大小关系是( ) A.log n (n －1)·log n (n ＋1)＞1 B.log n (n －1)·log n (n ＋1)＜1 C.log n (n －1)·log n (n ＋1)≤1 D.不能确定【解析】 log n (n －1)·log n (n ＋1)＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤log n n －＋log n n ＋22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log n n 2－22＜⎝ ⎛⎭⎪⎫log n n 222＝1. 【答案】 B9.x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( )【导学号：38000028】A.最小值34，而无最大值B.最小值1，而无最大值C.最小值12和最大值1D.最大值1和最小值34【解析】 可设x ＝cos θ，y ＝sin θ， 则(1－xy )(1＋xy )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12sin 2θ ＝1－14sin 22θ.∵－1≤sin 2θ≤1， ∴0≤sin 22θ≤1，∴sin 2θ＝0时，取得最大值为1，sin 2θ＝±1时，取得最小值为34.【答案】 D3.用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为________.【解析】 对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”.【答案】 直径的数目至少为n ＋1条 4.用反证法证明：已知|a |＜1，|b |＜1，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ＜1.【证明】 假设⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ≥1，则|a ＋b |≥|1＋ab |，∴(a ＋b )2≥(1＋ab )2， ∴(a 2－1)(1－b 2)≥0，即a 2和b 2一个比1大，一个比1小.从而|a |和|b |一个比1大，一个比1小，这与已知条件矛盾，故假设错误，∴原不等式成立.。