九年级(上)培优讲义第6讲与圆有关的位置关系

内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题1．理解圆及相关概念，了解弧、弦、圆心角的关系； 2．探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系； 3．能够利用垂径定理解决相关问题．祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人．他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家．祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算．秦汉以前，人们以"径一周三"做为圆周率，这就是"古率"．后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少，意见不一．直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆内接96边形， 求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确．祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反中考要求重难点课前预习圆的基本性质复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间．并得出了π分数形式的近似值，取为约率，取为密率，其中取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数．祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查．若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲之计算得出的密率，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了．为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率"．祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》，开辟了历法史的新纪元．祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算．他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异．"意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理"．例题精讲模版一圆的概念与性质一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作»AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8） 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 3. 圆心角和圆周角（1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2） 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1. 旋转对称性（1） 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2） 圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． 2. 轴对称性（1） 圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴． （2） 圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1. 垂径定理D（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．【例1】 如图，点A B 、是O e 上两点，AB =10，点P 是O e 上的动点（P 与A B 、不重合），连接AP BP 、，过点O 分别做OE AP ⊥于E ，OF PB ⊥于F ，则EF = ．PFE O BA【例2】 如图，AB 是O e 的直径，CD 是弦，若10AB =，8CD =，那么A B 、两点到直线CD 的距离之和为 ．【巩固】如图，AB 是O e 的直径，CD 是弦，AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，BF 交O e 于G ，下面的结论成立：①EC DF =；②AE BF AB +=；③AE GF =；④FG FB EC ED ⋅=⋅．其中正确的结论有 ．【例3】 如图，一量角器放置在AOB ∠上，角的一边OA 与量角器交于点C 、D ，且点C 处的度数是20︒，点D 处的度数为110°，则AOB ∠的度数是（ ）A 、20°B 、25°C 、45°D 、55°【巩固】如图，弦CD 垂直于O e 的直径AB，垂足为H ,且CD=BD =则AB 的长为 ．D【巩固】如图，半径为5的P e 与y 轴交于点M （0，-4）,N （0，-10）,函数ky x=()0x <的图像上过点P ,则k = ．【例4】（1）如图，多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形和正方形BDEC组成，Oe过A、D、E 三点，则Oe的半径等于．A【巩固】如图，正方形ABCD内接于Oe,E为DC的中点，直线BE交Oe于点F,如果Oe则点O到BE的距离为OM=．【例5】如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在»BC的中点A'上，若5BC=,则折痕在ABC△内的部分DE长为．A'C【巩固】如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC OP⊥，PC交Oe于C．若8AP=,2PB=,则PC的长为．C【例6】如图甲，Oe的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE AB⊥，在»BC上取一点D，分别做直径CD ED、，交直线AB于点F M，．（1）求COA∠和FDM∠的度数；（2）求证：FDM COM△∽△．A【例7】已知AD是Oe的直径，AB AC、是弦，且AB AC=．（1）如图1，求证：直径AD平分BAC∠；（2）如图2，若弦BC经过半径OA的中点E，F是»CD的中点，G是»FB的中点，Oe的半径为1，求弦长FG的长（3）如图3，在（2）中若弦BC经过半径OA的中点E，P为劣弧»AF上一动点，连结PA PB PD PF、、、，求证：PA PFPB PD++为定值．ADA【巩固】如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴的正半轴上，Me交x轴于A B、两点，交y轴于C D、两点，E是Me上一点，»»AC CE=,AE交y轴于G点．已知点A的坐标为()20，,8AE=．（1）求点C的坐标；（2）连结MG BC∥，，求证:MG BC模版二圆中角1.圆周角定理（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（2）推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．A（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．【例8】 如图，AB 为O e 的直径，AC 交O e 于E 点，BC 交O e 于D 点，CD BD =,70C ∠=︒．现给出以下四个结论：①45A ∠=︒；②AC AB =；③»»AE BE=；④22CE AB BD ⋅=其中正确的结论的序号是 ．AR【巩固】如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，则AD的长为 ．【例9】 如图，BC 为半圆O 的直径，A D、为半圆O 上两点，AB =,2BC =，则D ∠的度数为 ．【巩固】如图，PQR △是O e 的内接正三角形，四边形ABCD 是O e 的内接正方形，BC QR ∥，则AOQ ∠的度数为 ．【例10】 已知：如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若45BAD ∠=︒，CD 则AB 的长等于 ．【巩固】如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点P ，AB BD =，且0.6PC =，则四边形ABCD 的周长为 ．CC【例11】 在同圆中，»CD的度数小于180︒，且»»2AB CD =，那么弦AB 和弦CD 的大小关系为（ ） A ．AB CD > B ．AB CD = C ．AB CD < D ．无法确定(C)A (C)(C)【巩固】如图所示在O ⊙中，2AB CD =，那么（ ）»»A.2AB CD > »»B.2AB CD< »»C.2AB CD = »D.AB 与»2CD的大小关系不能确定【例12】 如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是»BC上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、． （1） 求证：ACH AFC ∆∆∽；（2）猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； （3）探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．【巩固】如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．E DC BAG654321A BCDE模版三 点与圆的位置关系 一、点与圆的位置关系4. 确定圆的条件（5） 圆心(定点)，确定圆的位置； （6） 半径(定长)，确定圆的大小．注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 5. 点与圆的位置关系（7） 点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．（8） 设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <.如下表所示：二、过已知点的圆1.过已知点的圆（1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．（2）经过两点A B、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数个．（3）过三点的圆：若这三点A B C、、三点不共线时，圆心、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．（4）过n()4n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．2.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；（2）“确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．三、三角形的外接圆及外心1.三角形的外接圆（1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．（2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.2.三角形外心的性质（1）三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；（2）三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.【例1】已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( ) A．2 B．6 C．12 D．7【巩固】一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm ，最小距离为1cm ，则此圆的半径为______．【巩固】定义：定点A 与O ⊙上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与O ⊙之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，14cm 12cm AB BC ==，，K ⊙与矩形的边AB BC CD 、、分别相切于点E F G 、、，则点A 与K ⊙的距离为______________．GF EK DCB A1.如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．ODCA2.已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧»AE 是劣弧»DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是 ．OECBA1．通过本堂课你学会了 ．课堂检测总结复习2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．② ．③ ．1.如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则AOD ∠=___________．OD CBA2.如图，已知ACB ∠是O e 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ） A ．40︒ B ．50︒ C ．80︒ D ．100︒OCBA3.如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧»CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒ B .60︒ C.75︒ D.90︒PO D C BA4.如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．OEDCBA5.如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =． （1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．课后作业PEC B A。

专题23 圆与圆的位置关系【阅读与思考】两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质.解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有： 1.相交两圆作公共弦或连心线；2.相切两圆作过切点的公切线或连心线；3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形. 熟悉以下基本图形和以上基本结论.【例题与求解】【例1】 如图，大圆⊙O 的直径a AB cm ，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形3241O O O O 的面积为________cm 2. （全国初中数学竞赛试题）解题思路：易证四边形3241O O O O 为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长.BA【例2】 如图，圆心为A ，B ，C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切.若⊙A ，⊙B ， ⊙C 的半径分别为a ，b ，c （b a c <<<0），则a ，b ，c 一定满足的关系式为（ ） A .c a b +=2 B .c a b +=2C .b ac 111+= D .ba c 111+= （天津市竞赛试题） 解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线.【例3】 如图，已知两圆内切于点P ，大圆的弦AB 切小圆于点C ，PC 的延长线交大圆于点D .求证： （1）∠APD =∠BPD ；（2）CB AC PC PB PA •+=•2. （天津市中考试题） 解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从AC ·BC =PC ·CD 入手.PBCDA【例4】 如图⊙O 1和⊙O 2相交于点A 及B 处，⊙O 1的圆心落在⊙O 2的圆周上，⊙O 1的弦AC 与⊙O 2交于点D .求证：O 1D ⊥BC .（全俄中学生九年级竞赛试题）解题思路：连接AB ，O 1B ，O 1C ，显然△O 1BC 为等腰三角形，若证O 1D ⊥BC ，只需证明O 1D 平分∠B O 1C .充分运用与圆相关的角.【例5】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =1,AB =2，DC =22，点P 在边BC 上运动（与B ，C 不重合）.设PC =x ，四边形ABPD 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若以D 为圆心，21为半径作⊙D ，以P 为圆心，以PC 的长为半径作⊙P ，当x 为何值时，⊙D 与⊙P 相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD 的面积. （河南省中考题）解题思路：对于（2），⊙P 与⊙D 既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆的性质建立关于x 的方程.DCPBA【例6】 如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，求NCBN的值. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：AB 为两圆的公切线，BC 为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想象，可生成解题策略与方法.N PB A CD【能力与训练】A 级1.如图，⊙A ，⊙B 的圆心A ，B 在直线l 上，两圆的半径都为1cm .开始时圆心距AB ＝4cm ，现⊙A ，⊙B 同时沿直线l 以每秒2cm 的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A 运动的时间为_______秒.（宁波市中考试题）2.如图，O 2是⊙O 1上任意一点，⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，E 为优弧AB 上的一点，EO 2及延长线交⊙O 2于C ，D ，交AB 于F ，且CF ＝1，EC ＝2，那么⊙O 2的半径为_______.（四川省中考试题）（第1题图） （第2题图） （第3题图）3.如图，半圆O 的直径AB ＝4,与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M .设⊙O 1的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x的函数关系是_________________.（要求写出自变量x 的取值范围）（昆明市中考试题）4.已知直径分别为151+和315-的两个圆，它们的圆心距为115-，这两圆的公切线的条数是__________.5.如图，⊙O 1和⊙O 2相交于点A ，B ，且⊙O 2的圆心O 2在圆⊙O 1的圆上，P 是⊙O 2上一点.已知∠A O 1B ＝60°，那么∠APB 的度数是（ ）A .60°B .65°C .70°D .75°（甘肃省中考试题）6.如图，两圆相交于A 、B 两点，过点B 的直线与两圆分别交于C ，D 两点.若⊙O 1半径为5，⊙O 2的半径为2，则AC ：AD 为（ ）A .52:3B .3:52C .1:52D .2:5 E（第5题图） （第6题图） （第7题图）7.如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点T ，它们的半径之比为3:2，AB 是它们的外公切线，A ，B 是切点，AB ＝64，那么⊙O 1和⊙O 2的圆心距是（ ）A .65B .10C .610D .1339208.已知两圆的半径分别为R 和r （r R >），圆心距为d .若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（ ）A .外切B .内切C .外离D .外切或内切（连云港市中考试题）9.如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，点O 1在⊙O 2上，点C 为⊙O 1中优弧AB ⌒上任意一点，直线CB 交⊙O 2于D ，连接O 1D .（1）证明：DO 1⊥AC ；（2）若点C 在劣弧AB ⌒上，（1）中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论. （大连市中考试题）图1 图210.如图，已知⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AB 过点P 且分别交⊙O 1和⊙O 2于点A ，B ，BH 切⊙O 2于点B ，交⊙O 1于点C ，H .（1）求证：△BCP ∽△HAP ；（2）若AP :PB ＝3：2，且C 为HB 的中点，求HA :BC .11.如图，已知⊙B ，⊙C 的半径不等，且外切于点A ，不过点A 的一条公切线切⊙B 于点D ，切⊙C 于点E ，直线AF ⊥DE ，且与BC 的垂直平分线交于点F .求证：BC ＝2AF .（英国数学奥林匹克试题）12.如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点.正方形DEFG 的一边DG 在直径AB 上，另一边DE 过△ABC 得内切圆圆心O ，且点E 在半圆弧上.（1）若正方形的顶点F 也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比；（2）若正方形DEFG 的面积为100，且△ABC 的内切圆半径4 r ，求半圆的直径AB .（杭州市中考试题）B 级1.相交两圆的半径分别为5cm 和4cm ，公共弦长为6cm ，这两圆的圆心距为_______.2.如图，⊙O 过M 点，⊙M 交⊙O 于A ，延长⊙O 的直径AB 交⊙M 于C .若AB ＝8，BC ＝1，则AM ＝_______.（第2题图） （第3题图） （第4题图）3.已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm .4.如图，已知PQ ＝10，以PQ 为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P .正方形ABCD 的顶点A ，B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q .若AB ＝n m +，其中m ，n 为整数，则=+n m ___________.（美国中学生数学邀请赛试题） 5.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点M ，且分正方形为4个三角形，⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3，⊙O 4，分别为△AMB ，△BMC ，△CMD ，△DMA 的内切圆.已知AB ＝1.则⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3，⊙O 4所夹的中心（阴影）部分的面积为（ ）A.(4)(316π-- B. (34π-CD . 416π-DA（第5题图） （第6题图） （第7题图）6.如图，⊙O 1与⊙O 2内切于点E ，⊙O 1的弦AB 过⊙O 2的圆心O 2，交⊙O 2于点C ，D .若AC ：CD :BD ＝2:4:3，则⊙O 2与⊙O 1的半径之比为（ ）A .2:3B .2:5C .1:3D .1:47.如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，两圆的一条外公切线与⊙O 1相切于点B ，若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O 1与⊙O 2的半径之比为（ ）A .2:5B .1:2C .1:3D .2:3QD C B A P（全国初中数学联赛试题）8.如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线，交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .（1）求证：PA PE PC PD •=•（2）当AD 与⊙O 2相切且P A ＝6，PC ＝2，PD ＝12时，求AD 的长. （黄冈市中考试题）9.如图，已知⊙O 1和⊙O 2外切于A ，BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线，切点为B ，C .连接BA 并延长交⊙O 1于D ，过D 点作CB 的平行线交⊙O 2于E ，F .（1）求证：CD 是⊙O 1的直径；（2）试判断线段BC ，BE ，BF 的大小关系，并证明你的结论. （四川省中考试题）10.如图，两个同心圆的圆心是O ，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD 是大圆的直径，大圆的弦AB ，BE 分别与小圆相切于点C ，F ，AD ，BE 相交于点G ，连接BD .（1）求BD 的长；（2）求2ABE D ∠+∠的度数；（3）求BGAG的值. （淄博市中考试题）11.如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙O 1与△BCH 的外接圆⊙O 2相交于点D ，延长AD 交CH 于点P .求证：P 为CH 的中点. （“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）12.如图，已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C，以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD 的中点为M.求证：MP分别与⊙A，⊙B相切. （“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）B。

精品-O C与圆有关的位置关系（讲义）知识点睛1. 点与圆的位置关系d 表示的距离，r 表示．①点在圆外 ； A②点在圆上 ； ③点在圆内．三点定圆定理：．B注：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．2. 直线与圆的位置关系d 表示的距离，r 表示．①直线与圆相交 ； ②直线与圆相切 ； ③直线与圆相离．切线的判定定理：； 切线的性质定理： ． *切线长定理：． 注：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． *3.圆与圆的位置关系d 表示的距离，R 表示，r 表示 ．①圆与圆外离 ； ②圆与圆外切 ； ③圆与圆内切 ； ④圆与圆内含 ； ⑤圆与圆相交．4.圆内接正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的 .正多边形的中心：；O OOO 1 O 2O 1O 2O 1 O 2O 1O 2O 2O 1与圆有关的位置关系，关键是找 d ．和 ．r ． 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形．5 正多边形的半径： ； 正多边形的中心角： ； 正多边形的边心距： ．精讲精练1. 矩形ABC D 中，AB =8，BC 3，点P 在AB 边上，且BP =3AP ，如果圆 P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A ．点B ，C 均在圆 P 外B ．点 B 在圆 P 外、点C 在圆 P 内C ．点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外D ．点 B ，C 均在圆P 内2. 如图，在 5×5 的正方形网格中，一条圆弧经过 A ，B ，C 三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是点．第 2 题图第 3 题图3. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示， 为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块A4. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，BC =4 cm ，以点 C 为圆心，以 3 cm 长为半径作圆，则⊙C 与 A B 的位置关系是．CB5. 在 R t △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4．以 C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边 A B 有且只有一个公共点，则 R 的取值范围是 ． 6. 在△ABC 中，∠C =90°，AC =3 cm ，BC =4 cm ．若⊙A ，⊙B 的半径分别为 1 cm ，4 c m ，则⊙A ，⊙B 的位置关系是．A BC P Q R M②① ③④O7. 若有两圆相交于两点，且圆心距为 13 cm ，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径（ ）A ．25 cm ，40 cmB ．20 cm ，30 cmC ．1 cm ，10 cmD ．5 cm ，7 cm8. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠CDB =20°， 过点 C 作⊙O 的切线，交 A B 的延长线于点 E ，则∠E =．AP第 8 题图第 9 题图9. 如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点 C 是劣弧 AB 上的一个动点，若∠P =40°，则∠ACB =．10. 如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是 ⊙O 上两点，如果∠E =46°，∠DCF =32°，那么∠A =．AE DF ECFBC第 10 题图第 11 题图1. 如图，O 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，⊙O 与边 AB ，BC 都相切，点 E ，F 分别在边 AD ，DC 上．现将△DEF 沿着 EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE =2，则正方形 A BCD 的边长是 ．12. 如图，在⊙O 中，FC 为直径，长为 8．分别以 F ，C 为圆心， 以⊙O 的半径 R 为半径作弧，与⊙O 相交于点 E ，A 和 D ，B ， 则 A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，顺次连接 AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA ． 过点 O 作 O G ⊥BC ，垂足为 G ，则 O G长为．3 3 AF O MCD，， ， 13. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，半径为 4，则这个正 ︵六边形的边心距 O M 和BC 的长分别为（）A ． 23 B ． 2 3 ，C ． 2 3D ． 2 4BE314. 如图，⊙O 的直径为 AB ，点 C 在圆周上（异于 A ，B ）， A D ⊥CD ．（1）若 BC =3，AB =5，求 AC 的长；（2）若 A C 是∠DAB 的平分线，求证：直线 CD 是⊙O 的切线．DCAOB15. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径的⊙O 交 A B 于点 D ，BD 的垂直平分线交 BC 于点 E ，交 BD 于点 F ，连接 DE ． （1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC =6，BC =8，OA =2，求线段 DE 的长．CEO ADFB【参考答案】知识点睛1.点到圆心；圆的半径；d r ；d r ；d r ．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2.圆心O 到直线l；圆的半径；d r ；d r ；d r ．经过半径的外端且垂直于该半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3.圆心之间；大圆半径；小圆半径．d R r ；d R r ；d R r ；0≤d R r ；R r d R r ．4.顶点都在同一圆上的正多边形；外接圆．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．精讲精练1.C2.Q3.B4.相交5. 3 R ≤4或R 12 56.外切7.B8. 50°9. 110°10. 99°11. 212. 2 313. D14. （1）AC=4；（2）证明略15. （1）直线DE与⊙O相切，理由略；（2）D E 1942。

COA BP第6讲： 与圆有关的位置关系一、建构新知1.判别直线是圆的切线有两种方法，如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心，证这条线段垂直于直线即可；如果直线与圆没有直接的联系，则过圆心作直线的垂线段，证垂线段等于圆的半径即可。

2.求线段的长度有以下常用的方法：（1）用勾股定理，适用于已知两边的直角三角形中； （2）用相似三角形，适用于有相似三角形的图形中； （3）面积法，适用于有直角三角形的图形中有高的存在。

3.圆的切线性质、判定，与圆有关的基本性质，直角三角形相关知识等.在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”．4.圆的切线垂直于过切点的半径，可以把直线和圆的位置关系问题转化为直角三角形的问题解决；根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题．5. 从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法. 二、经典例题例1. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 为⊙O 外一点，且OP ∥BC ，∠P ＝∠BAC ．（1）求证：P A 为⊙O 的切线；（2）若OB =5，OP =错误！未找到引用源。

，求AC 的长．例2. 如图AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°.(1)求证：DP是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积.例3.如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC.（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF =错误！未找到引用源。

，求DE的长.例4．如图，点C 是半⊙O 的半径OB 上的动点，作PC AB ⊥于C ．点D 是半圆上位于PC 左侧的点，连结BD 交线段PC 于E ，且PD PE =．（1）求证：PD 是⊙O 的切线．（2）若⊙O 的半径为43，83PC =，设2OC x PD y ==，．①求y 关于x 的函数关系式． ②当3x =时，求tan B 的值三、基础演练1. 下列说法正确的是 ( )A . 垂直于半径的直线是圆的切线B . 经过三点一定可以作圆C . 圆的切线垂直于圆的半径D . 每个三角形都有一个内切圆2. 同一平面内两圆的半径是R 和r ，圆心距是d ，若以R 、r 、d 为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．相切C ．相交D ．内含 3．在一个V 字形支架上摆放了两种口径不同的试管，如图 是它的轴截面，已知⊙O 1 的半径是1，⊙O 2的半径是3，则 图中阴影部分的面积是（ ）A ．π61134-B ．π438-C ．π31138- D ．π234-4． ⊙O 的圆心O 到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，当d ，R 是方程x 2－4x +m =0的根，且l 与⊙O 相切时，m 的值为_________．5．在△ABC 中，∠A ＝70°，若O 为△ABC 的外心，∠BOC =_________ ；若O 为内心，∠BOC =_________．O CBE PDABCAP6．如图，AB 是半圆的直径，直线MN 切半圆于C ，同AM ⊥MN ，BN ⊥MN ，如果AM ＝a ，BN ＝b ，那么半圆的直径是____________． 7．如图，求作一个⊙O ，使它与已知∠ABC 的边AB ，BC 都 相切，并经过另一边BC 上的一点P ．（利用尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）8．如图，△ABC 中，∠BCA =90°，∠A =30°，以AB 为直径画⊙O ，延长AB 到D ，使BD 等于⊙O 的半径．求证：CD 是⊙O 的切线．9. 如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点A ，直线BD 切 ⊙O 1于点B ，交⊙O 2于点 C 、D ，直线 DA 交⊙O 1于点 E ．求证：（1）∠BAC =∠ABC +∠D ；（2）AB 2=AC ·AE ．10. 在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，O 是边AC 上的一个动点，以点O 为圆心作半圆，与边AB 相切于点D ，交线段OC 于点E ，作EP ⊥ED ，交射线AB 于点P ，交射线CB 于点F .（1）如图，求证：△ADE ∽△AEP ；（2）设OA ＝x ，AP ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）当BF ＝1时，求线段AP 的长.四、直击中考1．（2013白银）如图1，⊙O 的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O 与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S 关于⊙O 的半径r （r ＞0）变化的函数图象大致是（ ）2．（2013山东）如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为（ ） A ．4B ．C ．6D ．3．（2013江苏）如图，AB ，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点O 1，O 2，O 3，O 4分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，若⊙O 的半径为2，则阴影部分的面积为（ ） A ．8B ．4C ．4π＋4D ．4π－44. （2013杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（ ）A ．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直A ．B ．C ．D ．l(第16题图)BAOPAOBCM NB ．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C ．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D ．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径5.（2013江苏）如图，⊙O 的半径为4cm ，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，AB =43cm ，P 为直线l 上一动点，以1cm 为半径的，⊙P 与⊙O 没有公共点，设PO =dcm ，则d 的范围是 .6．（2013湖北省）如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =3，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为 ． 7．（2013湖南）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，BC 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，若∠MAB =30°．则∠B = 度．8．（2013江西）如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为2的圆与y 轴交于点A ，点P （4，2）是⊙O 外一点，连接AP ，直线PB 与⊙O 相切于点B ，交x 轴于点C ．（1）证明P A 是⊙O 的切线；（2）求点B 的坐标； （3）求直线AB 的解析式．第24题图CEOBAD9．（2013山东）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以对角线BD 为直径作⊙O ，分别于BC 、AD 相交于点E 、F ．（1）求证四边形BEDF 为矩形．（2）若BC BE BD ⋅=2试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．10.（2013四川）如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且CDA CBD ∠=∠．（1）求证：2CD CA CB =⋅； （2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ， 若BC ＝12，tan CDA ∠＝23，求BE 的长．_D _P _O _A _B _ C五、挑战竞赛1. 如图，P A 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.2.已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，P A 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM //BC ，求抛物线的解析式.六、 每周一练1．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）．A ．B ．4C ．D ． 4.52．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD = DC . 分别延长BA ，CD ，交点为E . 作BF ⊥EC ，并与EC 的延长线交于点F . 若AE = AO ，BC = 6，则CF 的长为 .3.已知二次函数，当时，恒有；关于x 的方程的两个实数根的倒数和小于109．求的取值范围．。