第二章-直线与圆的位置关系单元提升培优测试题(含答案)

初三数学培优之直线与圆的位置关系（2）阅读与思考和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，和四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆. 运用与切线相关的知识，可以得到圆的外切三角形、圆的外切四边形的许多重要结论，这些结论在解与切线相关问题时有广泛的应用.1．如图1，以⊙I 为△ABC 的内切圆，则有：（1）AE =AF =a s -，BF =BD =b s -，CD =CE =c s -； （2）∠B +∠DIF =∠C +∠DIE =∠A +∠EIF =180°.这里BC =a ，CA =b ，AB =c ，s =12（a +b +c ）.2．如图2，设⊙I 为Rt △ABC 的内切圆，则有： （1）四边形IDCE 是正方形； （2）内切圆半径r =AC +BC －AB2.3．如图3，设⊙O 为四边形ABCD 的内切圆，则有；AB +CD =AD +BC .CB图1 图2 图3例题与求解【例1】 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，又PE ⊥AB 于E 点.若BC =2，AC =3，则A E ·EB = .（全国初中数学联赛试题）解题思路：P 为Rt △ABC 内切圆的圆心，利用直角三角形内切圆的性质来解.P E BCAOEDC例1题图 例2题图【例2】如图，以正方形ABCD 的边BC 为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则三角形ADE 和直角梯形EBCD 周长之比为（ ）A ．3∶ 4B ．4∶ 5C ．5∶ 6D ．6∶ 7（杭州市中考试题）解题思路：本例综合了切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，为求出周长，需要引入字母或赋值.【例3】如图，已知∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB 于F.求证：F是△CDE的内心.（全国初中数学联赛试题）解题思路：即要证F为△CDE角平分线的交点，将问题转化为角相等问题的证明，充分运用与圆相关的角的性质.ADFBC E【例4】如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI.求证：AB+AC=2BC.（四川省竞赛试题）解题思路：从外心、内心出发，添加辅助线，充分运用圆的性质，由角的关系导出线段的关系.【例5】如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC、△ACD、△BCD 角平分线的交点.求证：（1）O1O⊥CO2；（2）OC=O1O2.（武汉市选拔赛试题）解题思路：在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等.故通过证交角等于90°的方法得两线垂直，再用全等三角形证两线段相等.B【例6】如图，已知直径与等边三角形ABC 的高相等的圆与AB 和BC 边相切于点D 和E ，与AC 边相交于点F 和G . 求∠DEF 的度数.（浙江省竞赛试题）解题思路：若要运用切线的性质，则需确定圆心，这是解本例的关键.GFA BEDC能力训练A 级1．如图，⊙I 是Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，若AF 、BE 的长是方程x 2－13x +30=0的两根，则S △ABC 的值是 . （泰州市中考试题）F（第1题图） （第2题图） （第3题图）2．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =5，⊙O 内切Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 于D 、E 、F ，半径r =2，则AC = . （杭州市中考试题） 3．如图，已知直线6+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为x 轴上可以移动的点，且点P 在点A 的左侧，PM ⊥x 轴，交直线6+-=x y 于点M . 有一个动圆O ′，它与x 轴、直线PM 和直线6+-=x y 都相切，且在x 轴上方.当⊙O ′与y 轴也相切时，点P 的坐标是 .（青岛市中考试题）4．如图，已知△ABC 的内切圆O 与各边相切于D 、E 、F ，那么点O 是△DEF 的（ ） A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点（四川省中考题）CC（第4题图） （第5题图）5．如图，AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 过点A 且和BC 相切于点D ，和AB 、AC 分别交于点E 、F .若BD =AE ，且BE =a ，CF =b ，则AF 的长为（ ）A ．1+52 aB ．1+32 aC ．1+52bD ．1+32b6.若0°＜α＜90°，那么以sin α、cos α、tan α·cot α为三边的△ABC 的内切圆半径r 与外接圆半径R 之和是（ ） （安徽省竞赛试题）A ．sin α+cos α2B ．tan α+cot α2C ．2sin αcos αD ．1sin α+cos α7．如图，设AD 是△ABC 的中线，△ABD 、△ADC 的外心分别为E 、F ，直线BE 与CF 交于点G . 若DG =12BC ，求证：∠ADG =2∠ACG .（“我爱数学”夏令营竞赛试题）8．如图，BC 是⊙O 的直径，AB 、AD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、P .过C 点的切线与AD 交于点D .连结AO 、DO .（1）求证：△ABO ∽△OCD ；（2）若AB 、CD 是关于x 的方程x 2－52（m －1）x +（m －1）2=0的两个实数根，且S △ABO +S △OCD =20，求m 的值.OBDCPA（第7题图） （第8题图） （第9题图）9．如图，以坐标原点O 为圆心，6为半径的圆交y 轴于A 、B 两点，AM 、BN 为⊙O 的切线，D 为切线AM 上的一点（D 与A 不重合），DE 切⊙O 于点E ，与BN 交于点C ，且AD ＜BC . 设AD =m ，BC =n .（1）求m ·n 的值；（2）若m ，n 是方程2t 2－30t +k =0的两根，求：①△COD 的面积；②CD 所在直线的解析式；③切点E 的坐标.（辽宁省中考题）10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，其中⊙O1，⊙O2，…，⊙O n为n个（n≥2）相等的圆，⊙O1与⊙O2相外切，⊙O2与⊙O3相外切，…，⊙O n－1与⊙O n相外切，⊙O1，⊙O2，…，⊙O n都与AB相切，且⊙O1与AC相切，⊙O n与BC相切.求这些等圆的半径r（用n表示）.（河北省竞赛试题）AF G（第10题图）（第11题图）11．如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3、△A2A3A4、△A3A4A1的内心分别是I1、I2、I3.求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3=90°.（四川省竞赛试题）B级1．如图，AC⊥BC，BC=a，AC=b，⊙O的半径为r，那么满足关系式r=aba+b的图形是.（把正确的所有图形的序号填在横线上）BACAB①②③④2．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD为AB上的高. O1、O2分别为△ACD、△BCD的内心，则O1O2= .（太原市竞赛试题）3．如图，半圆与两直角边相切，且圆心O在直角三角形ABC的斜边AB上.若直角三角形面积为S，斜边长为c，则半圆的半径r= .（五城市联赛试题）4．已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O 的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连接ON、NP．下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP；③DP·PC为定值；④P A为∠NPD的平分线．其中一定成立的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①④BBC（第3题图） （第4题图） （第5题图） （第6题图）5．如图，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC 、CD 、DA 相切，若BC =2，DA =3，则AB 的长（ ）A ．等于4B ．等于5C ．等于6D ．不能确定（全国初中数学联赛试题）6．如图，在矩形ABCD 中，连结AC .如果O 为△ABC 的内心，过O 作OE ⊥AD 于点E ，作OF ⊥CD 于F ，则矩形OFDE 的面积与矩形ABCD 的面积的比值为（ ）A ．12B ．23C ．34 D ．不能确定，与AB 、BC 的长度有关（《学习报》公开赛试题） 7．一条直线DE 平分△ABC 的周长，同时直线DE 又平分了△ABC 的面积. 求证：直线DE 经过△ABC 的内切圆圆心O .（全国初中数学联赛试题）8．如图，AB 、BC 、CD 分别与圆相切于E 、F 、G ，AB =BC =CD . 连结AC 与BD 相交于点P ，连结PF. 求证：PF ⊥BC . （江苏省竞赛试题）BD BFPG A E C（第8题图） （第9题图）9．如图，在△ABC 中，CH 为高，R 、S 分别为△ACH 和△BCH 的内切圆与CH 的切点.若AB =1995，AC =1994，BC =1993，则RS 可表示成mn，其中m ，n 是互质的正整数.求m +n 的值.（美国中学生数学邀请赛试题）10．如图，△ABC 的三边满足关系式BC =12（AB +AC ），O 、I 分别为△ABC 的外心、内心.∠BAC 的外角平分线交⊙O 于E ，AI 的延长线交⊙O 于D ，DE 交BC 于H .求证：（1）AI =BD ；（2）OI =12AE.（湖北省选拔赛试题）KC（第10题图） （第11题图） （第12题图）11．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为A （－2，0）、B （8，0）.以AB 为直径的半圆P 与y 轴交于点M ，以AB 为一边作正方形ABCD .（1）求C 、M 两点的坐标；（2）连接CM ，试判断直线CM 是否与⊙P 相切？说明你的理由；（3）在x 轴上是否存在一点Q ，使得△QMC 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（南宁市中考试题）12．如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，与AB 、AC 两边分别切于D 、E 两点，连结DE . 点P 是劣弧 ⌒DE 上的一个动点（不与D 、E 重合），过点P 作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，PK ⊥BC 于K ，PK 交DE 于L 点.求证：（1）PL 2=PM ·PN ；（2）PK =PM +PN .（黄石二中理科实验班自主招生考试试题）。

人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系培优训练一、选择题（本大题共8道小题）1. 已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．无法确定2. 2019·武汉江岸区期中点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是()A．1 B．2 C．3 D．43. 2020·武汉模拟在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为()A．0 B．1 C．2 D．不能确定4. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中7×4方格中的格点相连，连线能够与该圆弧相切的格点有()A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PD C＝60°，则∠OBC等于( )A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°6. 如图，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为()A. 2B. 3 C．2 D．37. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为()A．5 B．4 2 C．4.75 D．4.88. 一把直尺、含60°角的三角尺和光盘如图所示摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是()A．3 B．3 3 C．6 D．6 3二、填空题（本大题共8道小题）9. 直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为.10. 如图，P A，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=.11. 设⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 至少有一个公共点，则d 的取值范围是________．12. 如图，AB是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，要使DE是⊙O 的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．13. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm.14. 已知l 1∥l 2，l 1，l 2之间的距离是3 cm ，圆心O 到直线l 1的距离是1 cm ，如果圆O 与直线l 1，l 2有三个公共点，那么圆O 的半径为________cm.15. 如图，AB 是⊙O的直径，OA ＝1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D.若BD ＝2－1，则∠ACD ＝________°.16. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，CE ⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE ，CB 于点P ，Q ，连接AC ，有下列结论：①∠BAD ＝∠ABC ；②GP ＝GD ；③点P 是△ACQ 的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．三、解答题（本大题共4道小题）17. 在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC 的位置关系，并说明理由．18. 如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.(1)求∠BAC的度数；(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．19. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠BAF＝∠DAE.20. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O 交于点F ，连接DF ，DC.已知OA ＝OB ，CA ＝CB. (1)求证：直线AB 是⊙O 的切线； (2)求证：∠CDF ＝∠EDC ；(3)若DE ＝10，DF ＝8，求CD 的长．人教版 九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】B2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】C[解析] 如图，连接AB ，BC ，作AB ，BC 的垂直平分线，可得点A ，B ，C 所在的圆的圆心为O ′(2，0)．只有当∠O ′BF ＝∠O ′BD ＋∠DBF ＝90°时，BF 与圆相切， 此时△BO ′D ≌△FBE ，EF ＝DB ＝2， 此时点F 的坐标为(5，1)．作过点B ，F 的直线，直线BF 经过格点(1，3)，(7，0)，此两点亦符合要求． 即与点B 的连线，能够与该圆弧相切的格点是(5，1)或(1，3)或(7，0)，共3个．5.【答案】B 【解析】连接OP ，如解图，则OP ⊥AP .∵∠D ＝60°，∴∠C OP ＝120°，∵∠A ＝20°，∠APO ＝90°，∴∠AOP ＝70°，∴∠AOC ＝50°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝180°－50°2＝65°.解图6. 【答案】C[解析] 在Rt△BCM中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，∴∠BMC＝30°，∴BC＝12MC，即MC＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB＝2 3，∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC＝2.∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，∴BC为⊙O 的切线．又∵CD也为⊙O的切线，∴CD＝BC＝2.7. 【答案】D[解析] 如图，设PQ的中点为F，⊙F与AB的切点为D，连接FD，FC，CD.∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴∠ACB＝90°，∴PQ为⊙F的直径．∵⊙F与AB相切，∴FD⊥AB，FC＋FD＝PQ，而FC＋FD≥CD，∴当CD为Rt△ABC的斜边AB上的高且点F在CD上时，PQ有最小值，为CD 的长，即CD为⊙F的直径．∵S△ABC ＝12BC·AC＝12CD·AB，∴CD＝4.8.故PQ的最小值为4.8.8. 【答案】D[解析] 设光盘的圆心为O，连接OA，OB，则OB⊥AB，∠OAB＝12×(180°－60°)＝60°.∵AB＝3，∴OA＝6，OB＝3 3，∴光盘的直径是6 3.故选 D.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】2[解析]直角三角形的斜边==13，所以它的内切圆半径==2.10. 【答案】219°[解析]连接AB ，∵P A ，PB 是☉O 的切线， ∴P A=PB. ∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°. ∵∠DAB +∠C=180°，∴∠P AD +∠C=∠P AB +∠DAB +∠C=180°+39°=219°.11. 【答案】0≤d≤312. 【答案】BD ＝CD或AB ＝AC (答案不唯一)[解析] (1)连接OD .要使DE 是⊙O 的切线，结合DE ⊥AC ，只需OD ∥AC ，根据O 是AB 的中点，只需BD ＝CD 即可；(2)根据(1)中探求的条件，要使BD ＝CD ，则连接AD ，由于∠ADB ＝90°，只需AB ＝AC ，根据等腰三角形的三线合一即可．13. 【答案】10 33 如图，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片是△ABC 的外接圆⊙O.连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝120°.过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则∠BOD ＝12∠BOC ＝60°.∴∠OBD ＝30°，∴OB ＝2OD.由垂径定理，得BD ＝12BC ＝52 cm ，在Rt △BOD 中，由勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(2OD)2＝OD2＋(52)2，解得OD ＝56 3 cm.∴OB ＝5 33cm ，∴能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是10 33 cm.14. 【答案】2或4 [解析] 设圆O 的半径为r cm 如图①所示，r －1＝3，得r ＝4；如图②所示，r ＋1＝3，得r ＝2.15. 【答案】112.5[解析] 如图，连接OC.∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD.∵BD＝2－1，OA ＝OB ＝OC ＝1，∴OD ＝2，∴CD ＝OD2－OC2＝（2）2－12＝1，∴OC ＝CD ，∴∠DOC ＝45°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OCA ＝12∠DOC ＝22.5°，∴∠ACD ＝∠OCA ＋∠OCD ＝22.5°＋90°＝112.5°.16. 【答案】②③[解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误． 如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°，∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确． 补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F .∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵. 又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵， ∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP . ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°， ∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点， ∴点P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：⊙A 与直线BC 相交． 理由：过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则BD ＝CD ＝8. ∵AB ＝AC ＝10， ∴AD ＝6. ∵6＜7，∴⊙A 与直线BC 相交．18. 【答案】解：(1)∵PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，∴PA ＝PB ，∠PAC ＝90°. ∵∠APB ＝60°，∴△APB 是等边三角形，∴∠BAP ＝60°， ∴∠BAC ＝90°－∠BAP ＝30°.(2)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，如图所示，则AD ＝BD ＝12AB.由(1)得△APB 是等边三角形，∴AB＝PA＝1，∴AD＝1 2.在Rt△AOD中，∵∠BAC＝30°，∴OD＝12OA.由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即(2OD)2＝OD2＋(1 2)2，∴OD＝36，即点O到弦AB的距离为36.19. 【答案】证明：(1)如图①，连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l.又∵AD⊥l，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB.(2)如图②，连接BF.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°－∠B.∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋∠DAE，又由圆内接四边形的性质，得∠AEF＋∠B＝180°，∴90°＋∠DAE＋∠B＝180°，∴∠DAE＝90°－∠B，∴∠BAF＝∠DAE.20. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB.又∵点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC.∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.∵∠AOB＝∠ODF＋∠OFD＝∠AOC＋∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDF＝∠EDC.(3)如图，过点O作ON⊥DF于点N，延长DF交AB于点M. ∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4.在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴ON＝OD2－DN2＝3.由(2)知OC∥DF，∴∠OCM＋∠CMN＝180°.由(1)知∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°＝∠OCM＝∠MNO，∴四边形OCMN是矩形，∴CM＝ON＝3，MN＝OC＝5.在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN＋MN＝9，∴CD＝DM2＋CM2＝92＋32＝310.。

第19课 直线和圆的位置关系3.6培优第一阶——基础过关练一、单选题1．在Rt ABC △中，90C Ð=°，3cm AC =，4cm BC =，以点C 为圆心，2cm 长为半径的圆与AB 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定2．下列直线是圆的切线的是（ ）A ．与圆有公共点的直线B ．到圆心的距离等于半径的直线C ．垂直于圆的半径的直线D ．过圆直径外端点的直线【答案】B【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．【解析】解：A 、割线与圆也有公共点但不是切线，故不正确；B 、符合切线的判定，故正确；C 、应为垂直于圆的半径的且过半径外端点的直线，故不正确；D 、应为过圆的直径外端点并与该直径垂直的直线，故不正确；故选B ．课后培优练【点睛】本题考查了切线的判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键.3．在平面直角坐标系中有点A(3，4)，以点A为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y=－x与⊙A 的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能【答案】C【分析】可作出图形，根据勾股定理可得AO=5，联系直角三角形斜边与直角边的大小关系可得到点A到直线的距离与圆的半径的大小关系，从而判断出直线和圆的位置关系.【解析】如图，∵A(3,4)，∴AO=5，∵点A到直线y=−x的距离为AB的长小于圆的半径r，即AB<AO，∴直线y=−x与A的位置关系是相交.故选:C.【点睛】考查本题考查了直线与圆，当圆心到直线的距离d＞圆的半径r，直线与圆相离；当圆心到直线的距离d＜圆的半径r，直线与圆相交；当圆心到直线的距离d=圆的半径r，直线与圆相切；4．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点【答案】B【分析】根据三角形的内切圆得出点O到三边的距离相等，即可得出结论．【解析】解：O Qe 是ABC D 的内切圆，则点O 到三边的距离相等，\点O 是ABC D 的三条角平分线的交点；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解题的关键是熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质．5．已知⊙O 的半径为3 cm ，点P 是直线l 上一点，OP 长为5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交、相切、相离都有可能【答案】D【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d ＜r ，则直线与圆相交；若d=r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离．【解析】因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5.此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切、相离都有可能.故答案为相切，相交或相离.【点睛】考查直线和圆的位置关系，需要求出圆心到直线的距离，与半径进行比较即可得出结论.6．如图，已知O e 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过点C 的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，5PC =，则O e 的半径为（ ）A B 6C ．10D ．5【答案】A【分析】本题可通过构建直角三角形求解．连接OC ，在Rt △POC 中，根据圆周角定理，可求得∠POC=2∠A=60°，已知PC 的长，即可求出OC 的值，也就是半径的长．【解析】连接OC ，则OC ⊥PC ，7．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．40°【点睛】此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；以及圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半．8．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，DE AC ^于点E ，下列说法不正确的是（ ）A ．若DE DO =，则DE 是⊙O 的切线B ．若AB AC =，则DE 是⊙O 的切线C ．若CD DB =，则DE 是⊙O 的切线D ．若DE 是⊙O 的切线，则AB AC=【答案】A 【分析】根据AB =AC ，连接AD ，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D 是BC 的中点，OD 是△ABC 的中位线，OD ∥AC ，然后由DE ⊥AC ，得到∠ODE =90°，可以证明DE 是⊙O 的切线，可判断B 选项正确；若DE 是⊙O 的切线，同上法倒推可证明AB =AC ，可判断D 选项正确；根据CD =BD ，AO =BO ，得到OD 是△ABC 的中位线，同上可以证明DE 是⊙O 的切线，可判断C 选项正确；若DE DO =，没有理由可证明DE 是⊙O 的切线．【解析】解：当AB =AC 时，如图：连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，∴CD =BD ，∵AO =BO ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位线，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，所以D选项正确；当CD=BD时，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．=，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．若DE DO故选：A．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是( )A ．11x -££B ．x ££C ．x D ．0x ££故选：B ．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键．10．如图，C e 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C e 上的动点，则PQ 的最小值是（ ）A1B1C D【点睛】此题主要考查与圆相关的动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用、点到直线的距离的性质．二、填空题11．在△ABO中，若OA＝OB＝2，⊙O的半径为1，当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相切；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相交；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相离．　(1)当AB与⊙O相切时，有OC＝ ∴120°＜∠AOB＜180°． (3)当AB与⊙O相离时，有OC＞r， 在Rt△AOC中cos∠AOC＝OC：OA， ∴0°＜∠AOC＜60°， ∴0°＜∠AOB＜120°．故答案为(1). ∠AOB＝120°(2). 120°＜∠AOB＜180°(3). 0°＜∠AOB＜120°【点睛】若圆心O到直线l的距离为d，圆O的半径为r，当直线和圆相交时，d＜r；当直线和圆相切时，d＝r；当直线和圆相离时，d＞r.这三个命题的逆命题也是正确的，即由d与r的大小关系也可以得到圆和直线的关系.12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.若以A为圆心、R为半径所作的圆与线段BC只有一个公共点，则R的取值范围是________.根据图形可知当R的长度为OP=cm，以r为半径作⊙P，若r=cm，则⊙P与OB的位13．已知30Ð=°，P是OA上的一点，4AOB置关系是_____，若⊙P与OB相离，则r满足的条件是_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.动点O在边CA上移动，且⊙O的半径为2. (1)若圆心O与点C重合，则⊙O与直线AB________; (2)当OC等于________时，⊙O与直线AB相切.【解析】15．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，30AOC Ð=°，圆P 的半径为1cm ，动点P 在直线AB 上从点O 左侧且距离O 点6cm 处，以1cm/s 的速度向右运动，当圆P 与直线CD 相切时，圆心P 的运动时间为 _____s ．【答案】4或8##8或4【分析】求得当⊙P 位于点O 的左边与CD 相切时t 的值和⊙P 位于点O 的右边与CD 相切时t 的值即∴PE＝1cm，∵∠AOC＝30°∴OP＝2PE＝2cm∴PF＝1cm∵∠AOC＝∠DOB＝30°∴OP＝2PF＝2cm16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为_____；若⊙C与AB边只有一个有公共点，则r的取值范围为_____．x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标17．如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y＝12为__________________．【答案】（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）【解析】当⊙P与x轴相切时可求得P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．18．如图，AB 为O e 的直径，C 、E 为O e 上的点，连接AC 、BC 、CE 、BE ，D 为AB 延长线上一点，连接CD ，且BCD E Ð=Ð，AB CD =．若O e 的半径为A 到CD 的距离为________．【答案】2##2+【分析】连接OC ，证明CD ⊥OC ；运用勾股定理求出OD =10，过点A 作AF ⊥DC ，交DC 延长线于点F ，过点C 作CG ⊥AD 于点G ，在Rt △OCD 中运用等积关系求出CD ，同理，在△ACD 中运用等积关系可求出AF【解析】解：连接OC ，三、解答题19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，D为AB上的一点，OD＝OC，以O 为圆心，OB的长为半径作⊙O．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若AB＝6，BD＝2，求线段AC的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）过O作OE⊥AC于E，先证Rt△ABO≌Rt△AEO，OB＝OE，即OE为圆的半径，即可求证；（2）利用切线的性质可得AB=AE，再证Rt△BOD≌Rt△COE，即有BD＝CE＝2，则AC可求．（1）证明：过O作OE⊥AC于E．∵AO平分∠BAC，且∠ABC＝90°，OE⊥AC，∴OB＝OE，即OE为圆的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）∵∠ABC＝90°，OB为⊙O半径，∴AB是⊙O的切线，又由（1）AC是⊙O的切线，∴AB＝AE＝6，在Rt△BOD和Rt△COE中，OB OE OD OC =ìí=î，∴Rt △BOD ≌Rt △COE ，∴BD ＝CE ＝2，∴AC ＝AE +CE ＝8【点睛】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质定理，在OE ⊥AC 的条件下证得OE 为圆的半径是解答本题的关键．20．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 于点E ．(1)试判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O 的半径为5，BC =16，求DE 的长．21．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，以AC 为直径作O e ，交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点E ．e的切线；(1)求证：DF是Oe的半径．(2)若2CF=，4DF=，求O【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．（1）解：如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDB=90°，即△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD 2+DF 2=OF 2，即r 2+42=（r +2）2，解得：r =3，∴⊙O 的半径为3．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等等，熟知圆切线的性质与判定是解题的关键．22．如图，以线段AB 为直径作O e ，交射线AC 于点C ，AD 平分CAB Ð交O e 于点D ，过点D 作直线DE AC ^于点E ，交AB 的延长线于点F ．连接BD 并延长交AC 于点M ．(1)求证：直线DE 是O e 的切线；(2)求证：AB AM =；(3)若1ME =，30F Ð=°，求BF 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2BF =【分析】（1）连接OD ，由∠ODA ＝∠OAD ＝∠DAC 证明OD P AC ，得∠ODF ＝∠AED ＝90°，即可证明直线DE 是⊙O 的切线；（2）由线段AB 是⊙O 的直径证明∠ADB ＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M ＝∠ABM ，则AB ＝AM ；（3）由∠AEF ＝90°，∠F ＝30°证明∠BAM ＝60°，则△ABM 是等边三角形，所以∠M ＝60°，则∠EDM ＝30°，所以BD ＝MD ＝2ME ＝2，再证明∠BDF ＝∠F ，得BF ＝BD ＝2．（1）证明：连接OD ，则OD ＝OA ，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD P AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．（2）证明：Q线段AB是O e的直径，\Ð=°，90ADB∴∠ADM＝180°－∠ADB＝90°，∴∠M＋∠DAM＝90°，∠ABM＋∠DAB＝90°，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等边三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM ＝30°，∴MD ＝2ME ＝2，∴BD ＝MD ＝2，∵∠BDF ＝∠EDM ＝30°，∴∠BDF ＝∠F ，∴BF ＝BD ＝2．【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．已知10cm 6cm ABC AB BC ==V ，，，以点B 为圆心，以BC 为半径画圆B e ，以点A 为圆心，半径为r ，画圆A e ．已知A e 与B e 外离，则r 的取值范围为（ ）A ．04r <£B ．04r ££C ．04r <<D ．04r £<2．如图，PA 切O e 于点A ，连接OP 交O e 于点B ，10P Ð=°，点C 在O e 上（点B ，C 在直径AO 同侧），连接OC ，AC ，AB ，当OC AB ∥时，∠BAC 等于（ ）A．20°B．25°C．30°D．50°3．如图，已知点A（－8，0），B（2，0），点C在直线334y x=-+上，则使ABCV是直角三角形的点C的个数为（）A．4B．3C．2D．14．如图，ABC D 中，AB 是O e 的直径，AC 交O e 于点E ，BC 交O e 于点D ，点D 是BC 中点，O e 的切线DF 交AC 于点F ，则下列结论中①A ABE Ð=Ð；②BD DE =；③AB AC =；④F 是EC 中点，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】连接连接OD ，AD 、DE ，根据直径所对的圆周角是直角以及等腰三角形的性质可判断结论③；根据同圆或等圆中，同弧所对的弦相等可得结论②；根据切线的性质以及三角形中位线定理可得结论④；因为只有ABEV是等腰直角三角形时，才能满足结论①．【解析】解：连接OD，AD、DE．e的直径，Q是OABADB\Ð=°（直径所对的圆周角是直角），90\^，AD BCQ点D是BC中点，=，故③正确；\Ð=Ð，AB ACBAD CAD\=，BD DE\=，故②正确；BD DEe的切线，Q是ODF\^，OD DF=Q，BD DCAO BO=，\，OD AC//\^，DF AF\，//DF BE∵点D是BC的中点，\点F是EC的中点，故④正确；只有当ABEV是等腰直角三角形时，45Ð=Ð=°，BAC ABE故①错误，正确的有②③④共3个，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆切线的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理的应用，题目难度适中，熟练掌握相关图形的性质定理是解本题的关键．5．如图，AB 是⊙O 的切线，点A 为切点，BO 交⊙O 于点C ，BO 的延长线交⊙O 于点D ，点E 在优弧CDA 上，连接AD 、AE 、CE ，若∠BAD ＝122°，则∠CEA 的度数为（ ）A ．26°B ．32°C ．64°D ．128°【答案】B 【分析】连接OA ，求出2903212Ð=°-°=°OAD ，利用OA OD =，证明32а=ODA ，再利用=ÐÐCEA ODA ，即可求出32Ð=°CEA ．【解析】解：连接OA ，∵AB 是⊙O 的切线，∴90BAO Ð=°，∵122=аBAD ，∴2903212Ð=°-°=°OAD ，∵OA OD =，∴32а=ODA ，∵=ÐÐCEA ODA ，∴32Ð=°CEA ，故选：B【点睛】本题考查切线的性质，在同一个圆中，等弧所对的圆周角相等，等边对等角，解题的关键是求出2903212Ð=°-°=°OAD ．6．如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB =8，30CBA Ð=°，点D 在线段AB 上运动，点E 与点D 关于AC 对称，DF ^DE 于点D ，并交EC 的延长线于点F ，下列结论：①CE =CF ；②线段EF 的最小值为③当AD =2时，EF 与半圆相切；④若点F 恰好落在弧BC 上，则AD =（）．A．①③B．②③C．①②③D．①②③④【答案】A【分析】①连接DC，根据题意可得：CE=CD，从而可得∠E=∠CDE，再利用等角的余角相等可得∠F=∠CDF，进而可得CD=CF，即可判断；②由①可得EF=2CD，所以当CD最小时，则EF最小，所以当CD⊥AB时，先在RtΔABC中求出AC，再在RtΔACD中求出CD，即可判断；③连接OC，先证明ΔAOC是等边三角形，从而可得∠ACO=60°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∴∠ACD=30°，进而可得∠ECA=30°，然后再证∠OCE=90°，即可判断；④连接AF、BF，根据题意可得DE⊥AC，从而可得DE//BC，进而可得FH=DH，∠BHD=90°，从而证明BC 是DF的垂直平分线，然后再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠FBA=60°，最后在RtΔAFB中求出BF，,即可求出BD，即可判断．【解析】连接DC，∵点E与点D关于AC对称，∴CE=CD，∴∠E=∠CDE，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴∠E+∠F=90°，二、填空题7．在平面直角坐标系中，以点A(﹣2，3)为圆心、r为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，那么r的值为_____．8．如图，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ=90°，则线段CQ的取值范围是____．9．如图，把Rt OAB △置于平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(3,0)，点P 是Rt OAB △内切圆的圆心．将Rt OAB △沿x 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x 轴重合，第一次滚动后圆心为1P ，第二次滚动后圆心为2P ，…，依此规律，第2019次滚动后，Rt OAB △内切圆的圆心2019P 的坐标是________．故答案为：（8077，1）．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理、坐标类规律探索等知识；根据题意得出规律是解题的关键．10．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为AD 上一点，且2AE =，F 为BC 边上的动点，以为EF 直径作O e ，当O e 与矩形的边相切时，BF 的长为______．11．如图，在Rt ABC V 中，90A Ð=°，22.5B Ð=°．点P 为线段BC 上一动点，当点P 运动到某一位置时，它到点A ，B 的距离都等于a ，到点P 的距离等于a 的所有点组成的图形为W ，点D 为线段BC 延长线上一点，且点D 到点A 的距离也等于a ．则直线DA 与图形W 有______个公共点．【答案】1【分析】连接AP ，根据圆周角定理得到∠APD ＝45°，求得DA ＝AP ＝a ，得到∠D ＝∠APD ＝45°，推出D A ⊥PA ，于是得到结论．【解析】解：直线DA 与图形W 的公共点的个数为1个；∵点P 到点A ，B 的距离都等于a ，∴点P 为AB 的中垂线与BC 的交点，∵到点P 的距离等于a 的所有点组成图形W ，∴图形W 是以点P 为圆心，a 为半径的圆，根据题意补全图形如图所示，连接AP ，∵∠B ＝22.5°，∴∠APD ＝45°，∵点D 到点A 的距离也等于a ，∴DA ＝AP ＝a ，∴∠D ＝∠APD ＝45°，∴∠PAD ＝90°，∴DA ⊥PA ，∴DA 为⊙P 的切线，∴直线DA 与图形W 的公共点的个数为1个．故答案为：1．【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟知圆周角定理是解答本题的关键所在.12．在ABC D 中，10AB =，86AC BC ==，，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P Q ，分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是__________．【答案】9【分析】如图，设O 与AC 相切于点E ，连接OE ，作OP 1⊥BC 垂足为P 1交O 于Q 1，此时垂线段OP 1最短，P 1Q 1最小为OP 1-OQ 1，当Q 2在AB 边上时，P 2与B 重合时，P 2Q 2最大，即可得出答案．【解析】如图所示：设O 与AC 相切于点E ，连接OE ，作OP 1⊥BC 垂足为P 1交 O 于Q 1，此时垂线段OP 1最短，最小值为OP 1-OQ 1，∵10AB =，86AC BC ==，，∴222AB AC BC =+，三、解答题13．如图，在ABC V 中，以AC 为直径作O e 交BC 于点D ，交AB 于点G ，且D 是BC 中点，DE AB ^，垂足为E ，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：直线EF 是O e 的切线；（2）5CF =，2cos 5A Ð=，求BE 的长．14．数学活动——旋转变换(1)如图①，在ABC V 中，130ABC Ð=°，将ABC V 绕点C 逆时针旋转50°得到A B C ¢¢¢V ，连接BB ¢，求A B B ¢¢Ð的大小；(2)如图②，在ABC V 中，150ABC Ð=°，3AB =，5BC =，将ABC V 绕点C 逆时针旋转60°得到A B C ¢¢△，连接BB ¢，以A ¢为圆心，A B ¢¢长为半径作圆．①猜想：直线BB ¢与A ¢e 的位置关系，并证明你的结论；②连接A B ¢，线段A B ¢的长度为______．15．如图，AB是半圆形量角器的直径，点O为半圆的圆心，DA与半圆O相切于点A，点P在半圆上，且点P对应的示数为120°（60°），点C是 PB上一点（不与点P重合）．连接DO交半圆O于点E，点E对应的示数为60°（120°）．(1)连接PC，AC，求∠PCA的度数；(2)连接AP，PB，求证：△DAO≌△APB；(3)若直径AB上存在一点M，使得EM＋PM的值最小，已知半圆O的半径是2，直接写出EM＋PM的最小值．∵AO = OB ，∴AO= BP ，∵AB 是直径，∴∠APB = 90°，∵AD 是OO 的切线，∴∠OAD = 90°，∴∠OAD =∠APB ，在ΔDAO 和ΔAPB 中OAD APB AO BPAOD ABP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()DAO APB ASA @V V ；（3）作点E 关于直线AB 对称的对称点E '，连接E 'O ，PO ，根据对称性可知EO =E 'O =2，根据题意可知∠AOE = 60°，∵AO = EO ，∴ΔΑΕΟ是等边三角形，∴∠AEO = 60°，∵ΕΕ'⊥AO ，∴∠ΟEE '= ∠AEO = 30°，∴∠EE 'O =∠OEE '= 30°，∴∠E ΟE '= 120°，∵∠AOE =∠BOP = 60°，∴∠EOP = 180°-∠AOE -∠BOP =60°，∴∠EOP + ∠EOE '=180°，∴E '、O 、P 在同一条直线上，∴当点M 与点O 重合时，EM +PM 为最小值，此时EM +PM = E 'P = 2+ 2 = 4．【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，以及对称线段之和最短问题，关键是熟练掌握切线的性并能灵活应用．16．如图，ABC D 内接于O e ，CBG A Ð=Ð，CD 为直径，OC 与AB 相交于点E ，过点E 作EF BC ^，垂足为F ，延长CD 交GB 的延长线于点P ，连接BD ．（1）求证：PG 与O e 相切：（2）若58EF AC =，求BE OC 的值；（3）在（2）的条件下，若O e 的半径为4，PD OD =，求EC 的长．^（2）解：过点O作OM AC17．在平面坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M 、N 的“最近距离”，记为()d M N ，．特别地，若图形M 、N 有公共点，规定值为0．(1)如图1，O e 的半径为2，①点()0,1A ，则()d A O =e ，_________．②记反比例函数()40y x x=>的图像为1G ，则()1d G O =e ，_________．(2)如图2，点()20B ，，B e 的半径为1，直线1l ：3y kx =+，若()1135d l B =e ，，求k 的值．(3)如图3，直线2l ：4y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，边长为2的正方形EFHK 的中心为O ，将正方形EFHK 沿着x 轴的正半轴向右平移m 个单位，记正方形EFHK 为图形2G ，若线段CD 与正方形EFHK 的“最近距离”满足()2102d CD G ££，，请直接写出m 的取值范围．∴(22) D，，∴3(0)(03)A C -，，，，。

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1﹒如图，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为33的圆与OB的位置关系是（）A﹒相离B﹒相切C﹒相交D﹒以上三种情况均有可能第1题图第2题图第3题图第4题图2﹒如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE 于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）A﹒20°B﹒40°C﹒50°D﹒60°3﹒如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D 作⊙O的切线DM，交BC于M，切点为N，则DM的长为（）A﹒133B﹒92C﹒433D﹒254﹒如图，两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm和3cm，大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长为（）A﹒2πB﹒4πC﹒6πD﹒8π5﹒如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径.若∠P＝40°，则∠BAC的度数为（）A﹒20°B﹒25°C﹒30°D﹒40°第5题图第6题图第7题图第8题图6﹒如图，如果等边△ABC的内切圆⊙O的半径为2，那么△ABC的面积为（）A﹒43B﹒63C﹒83D﹒1237﹒如图，以半圆O中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若ADDB＝23，且AB＝10，则CB的长为（）A﹒45B﹒43C﹒42D﹒48﹒如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于点E，D为AC的中点，连结DO，DE.则下列结论中不一定正确的是（）A﹒DO∥AB B﹒△ADE是等腰三角形C﹒DE⊥AC D﹒DE是⊙O的切线9﹒如图，在△ABC中，∠BCA＝60°，∠A＝40°，AC＝26，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是（）A﹒3B﹒23C﹒22D﹒610.如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连结AE.给出以下结论：①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③BD＝AD；④AE为⊙O的切线，其中正确的结论是（）A﹒①②B﹒①②③C﹒①④D﹒①②④二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）第10题图第9题图要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，0），⊙A的半径为1，若直线y＝mx－m（m≠0）与⊙A相切，则m的值为_______________.12.已知：在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点O和M分别为Rt ABC的外心和内心，则线段OM的长为_____________.13.如图，AB是⊙O的直径，OA＝1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D.若BD－1，则∠ACD＝__________.第13题图第14题图第16题图14.如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是CF的中点，弦CF交AB于点E.若⊙O的半径为2，则CF＝__________.15.已知：点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝1，AB是⊙O的弦，AB，连结PB，则PB＝_______________.16.如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD的中点，BP与半圆相交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ＝1；②PQBQ ＝32；③S△PDQ＝18；④cos∠ADQ＝35，其中正确结论是_________________.（只填写序号）三、解答题（本题有7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17.(6分)如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连结BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连结AC.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD＝OB＝4，求弦AE的长.18.(8分)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B.（1）当AD是多少时，四边形BCOE是平行四边形？（2）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由.19.(8分)如图，已知直线y+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P是反比例函数y（x＜0）图象上的一动点，PH⊥x轴于点H，若以点P为圆心，PH为半径作⊙O，当⊙O与直线AB恰好相切时，求此时OH的长.20.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以BC边上一点O为圆心的半圆与AB切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝23.（1）求⊙O的半径OD长；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图两部分阴影面积的和.21.(10分)已知，AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP＝OB＝2，点Q在⊙O上，连结PQ.（1）如图1，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；（2）如图2，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC＝CQ，连结OQ，交AC于点D.①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；②求线段PQ的长.图1图222.(12分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH EA；（3）若⊙O的半径为5，sin A＝35，求BH的长.23.(12分)如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y＝34x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B.（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离.参考答案Ⅰ﹒答案部分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B A B A D A C A D二、填空题11.±33.12.5.13.112.5°.14.23.15.1或5.16.①②④．三、解答题17.解答：（1）证明：连结OE，∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD，∴∠CEO＝90°，∵BE∥OC，∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠AOC＝∠COE，又∵OA＝OE，OC＝OC，∴△AOC≌△EOC（SAS），∴∠CAO＝∠CEO＝90°，即AC⊥OA，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△DEO中，BD＝OB，∴BE＝12OD＝OB＝4，∵OB＝OE，∴△BOE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE＝BE tan60°＝43.18.解答：（1）如图，连结BD，∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°，假设四边形BCOE是平行四边形，则BC∥OE，BC＝OE＝1，在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC＝12AD＝1，∴AD＝2，∴当AD＝2时，四边形BCOE为平行四边形；（2）BC与⊙O相切，理由如下：连结OB，∵BC∥OD，BC＝OD，∴四边形BCDO为平行四边形，∵AD切⊙O于点D，∴OD⊥AD，∴平行四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，19.解答：作PC⊥AB于C，连结AP，∵直线y＝﹣3x+3分别与x轴、y轴交于A、B，当y＝0时，x＝3，当x＝0时，y＝3，∴A（3，0），B（0，3），∵∠AOB＝90°，tan∠OAB＝3＝3，∴∠OAB＝60°，∵以P为圆心，PH为半径的圆与直线AB相切，∴PH＝PC，∴AP平分∠OAB，∴∠PAH＝12∠OAB＝30°，设OH＝x，则AH＝x+3，∵PH⊥x轴，∴∠PHA＝90°，∴tan∠PAH＝PH AH，∴PH＝AH tan30°＝3（x+3），∵点P是y＝﹣3（x＜0）的图象上一点，∴PH OH＝3，即33(x+3)x＝3，解得：x＝153-（负值舍去），∴OH＝153-.20.解答：（1）∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD＝BDOD＝23，∴OD＝3；（2）连结OE，∵AE ＝OD ＝3，AE ∥OD ，∴四边形AEOD 为平行四边形， ∴AD ∥EO ，∵DA ⊥AE ，∴OE ⊥AC ， 又∵OE 为⊙O 的半径， ∴AE 为⊙O 的切线； （3）∵OD ∥AC ， ∴BD AB ＝OD AC ，即223+＝3AC，∴AC ＝7.5，∴EC ＝AC ﹣AE ＝7.5﹣3＝4.5，∴S 阴影＝S △BDO +S △OEC ﹣S 扇形FOD ﹣S 扇形EOG＝12×2×3+12×3×4.5﹣2903360π⨯＝3+274﹣94π＝3994π-．21.解答：（1）如图1，连结OQ ， ∵PQ 切⊙O 于点Q ，∴OQ ⊥PQ ， 又∵BP ＝OB ＝OQ ＝2，∴PQ ＝22OP OQ -＝2242-＝23； （2）OQ ⊥AC ，理由如下：如图②，连结BC ， ∵BP ＝OB ，∴点B 是OP 的中点， 又∵PC ＝CQ ，∴BC 是△PQO 的中位线， ∴BC ∥OQ ，又∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ， ∴OQ ⊥AC ；（3）如图②，连结AQ ，∵四边形ABCQ 内接于⊙O ，∴∠PCB ＝∠PAQ ， 又∵∠P ＝∠P ，∴△PCB ∽△PAQ ， ∴PC PA＝PB PQ ，即PC PQ ＝PB PA ， ∴12PQ 2＝2×6，解得PQ ＝26．22.解答：（1）证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ，∴∠ODB ＝∠ABC ，∵OF ⊥BC ，∴∠BFD ＝90°， ∴∠ODB +∠DBF ＝90°，∴∠ABC +∠DBF ＝90°，即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ，∴BD 是⊙O 的切线；（2）证明：连结AC ，∵OF ⊥BC ， ∴BE ＝CE ， ∴∠CAE ＝∠ECB ， ∵∠CEA ＝∠HEC ， ∴△CEH ∽△AEC ， ∴CE EH ＝EACE，∴CE 2＝EH EA ； （3）解：连结BE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， ∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35， ∴AB ＝10，BE ＝AB sin ∠BAE ＝10×35＝6， ∴EA ＝22AB BE -＝22106-＝8， ∵BE ＝CE ， ∴BE ＝CE ＝6， ∵CE 2＝EHEA ，∴EH ＝268＝92，在Rt △BEH 中，BH ＝22BH EH +＝2296()2+＝152． 23.解答：（1）如图，连结AE ，由已知得：AE ＝CE ＝5，OE ＝3， 在Rt △AOE 中，由勾股定理得：OA ＝22AE OE -＝2253-＝4， ∵OC ⊥AB ，∴由垂径定理得：OB ＝OA ＝4， ∴OC ＝OE +CE ＝3+5＝8， ∴A （0，4），B （0，－4），C （8，0）， ∵抛物线的顶点为C ，设抛物线的解析式为：y ＝a (x －8)2，将点B 的坐标代入上解析式得：64a ＝－4，解得a ＝－116，∴y ＝－116(x －8)2， ∴抛物线的解析式为y ＝－116x 2+x －4；（2）在直线l 的解析式y ＝34x +4中，令y ＝0，则34x +4＝0，解得x ＝－163，∴点D 的坐标为（－163，0），∴OD ＝163，当x ＝0时，y ＝4，∴点A 在直线l 上，在Rt △AOE 和Rt △DOA 中，∵OE OA ＝34，OAOD＝34， ∴OE OA ＝OAOD，∵∠AOE＝∠DOA＝90°，∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO＝∠DOA，∵∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠DAO+∠EAO＝90°，即∠DAE＝90°，∴直线l与⊙O相切于A.（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作PM⊥x轴，交直线l于点M，设M(m，34m+4)，P(m，－116x2+x－4)，则PM＝34m+4－(－116x2+x－4)＝116(m－2)2+314，当m＝2时，PM取得最小值314，此时，P（2，－94），对于△PQM，∵PM⊥x轴，∴∠QMP＝∠DAO＝∠AEO，又∠PQM＝90°，∴△PQM的三个内角固定不变，∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，∴PQ最小值＝PM最小值sin∠QMP＝PM sin∠AEO＝314×45＝315，∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，－94）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为315.Ⅱ﹒解答部分：1﹒如图，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为33的圆与OB的位置关系是（）A﹒相离B﹒相切C﹒相交D﹒以上三种情况均有可能解答：过点O作OC⊥PB于点C，∵∠APB＝30°，∴OC＝12PO＝3，∵3＜33，∴半径为33的圆与OB的位置关系是相交，故选：C.2﹒如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE 于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）A﹒20°B﹒40°C﹒50°D﹒60°解答：∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，∴∠BAD＝90°，∵∠B＝12∠AOC＝40°，∴∠ADB＝90°﹣∠B＝50°，故选：B．3﹒如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D 作⊙O的切线DM，交BC于M，切点为N，则DM的长为（）A﹒133B﹒92C﹒433D﹒25解答：连接OE ，OF ，ON ，OG ，在矩形ABCD 中，∵∠A ＝∠B ＝90°，CD ＝AB ＝4， ∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点， ∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°， ∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形， ∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2，∴DE ＝3， ∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG ， ∴CM ＝5﹣2﹣MN ＝3﹣MN ， 在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2+CM 2， 即(3+NM )2＝(3﹣NM )2+42， 解得：NM ＝43，∴DM ＝3+43＝133， 故选：A ．4﹒如图，两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm 和3cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，则劣弧AB 的长为（） A ﹒2πB ﹒4πC ﹒6πD ﹒8π 解答：如图所示，连结OA ，OC ， ∵弦AB 切小圆于点C ，∴OC ⊥AB ，∵OA ＝6，OC ＝3，∴OC ＝12OA ，∴∠A ＝30°， ∴∠AOC ＝60°，同理，∠BOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°，∴劣弧AB 的长＝1206180π⨯＝4π，故选：B .5﹒如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径.若∠P ＝40°，则∠BAC 的度数为（）A ﹒20°B ﹒25°C ﹒30°D ﹒40° 解答：连结BC ，OB ，∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点， ∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°， 又∠P ＝40°，∴∠AOB ＝180°－∠P ＝140°， ∴∠BOC ＝40°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝20°，故选：A .6﹒如图，如果等边△ABC 的内切圆⊙O 的半径为2，那么△ABC 的面积为（） A ﹒43B ﹒63C ﹒83D ﹒123 解答：连结OB ，OD ，OA ， ∵⊙O 是等边△ABC 的内切圆， ∴∠OBD ＝30°，∠BDO ＝90°， ∴OB ＝2OD ＝4，由勾股定理得：BD＝22OB OD-＝23，同理，CD＝23，∴BC＝BD+CD＝43，∵△ABC是等边三角形，A，O，D三点共线，∴AD＝6，∴S△ABC＝12BC AD＝123，故选：D.7﹒如图，以半圆O中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若ADDB＝23，且AB＝10，则CB的长为（）A﹒45B﹒43C﹒42D﹒4解答：如图，∵ADDB＝23，且AB＝10，∴AD＝4，BD＝6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB＝A′B，∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．而A′C A′A＝A′D′A′B，即2A′C2＝4×10＝40．则A′C2＝20，又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，∴20＝100﹣CB2，∴CB＝45，故选：A．8﹒如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于点E，D为AC的中点，连结DO，DE.则下列结论中不一定正确的是（）A﹒DO∥AB B﹒△ADE是等腰三角形C﹒DE⊥AC D﹒DE是⊙O的切线解答：连接OE，∵D为AC的中点，O为BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴DO∥AB，故选项A正确；∴∠COD＝∠B，∠DOE＝∠OEB，∠CDO＝∠A，∠EDO＝∠DEA，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B，∴∠COD＝∠DOE，在△COD和△EOD中，OC OECOD EOD OD OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD≌△EOD（SAS），∴∠OED＝∠OCD＝90°，∠CDO＝∠EDO，∴DE为⊙O的切线，故选项D正确；∵∠A＝∠DEA，∴△AED为等腰三角形，故选项B正确，则不一定正确的为DE⊥AC．故选：C.9﹒如图，在△ABC中，∠BCA＝60°，∠A＝40°，AC＝26，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是（）A﹒3B﹒23C﹒22D﹒6解答：如图，作CF⊥AB于点F，以CF为直径作⊙O，与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN 的长最小，∵⊙O的直径是点C到AB距离最小的，此时∠MON为定值，∴线段MN此时长最小，∴∠CFA＝90°，∵∠A＝45°，AC＝26，∴CF＝2＝23，即⊙O的半径为3，作OE⊥MN于点E，连结OM，ON，则∠MOE＝12∠MON，∵∠BCA＝60°，∴∠MON＝120°，∴∠MOE＝60°，∴ME＝OM sin60°＝3 2∴MN＝2ME＝3，故选：A.10.如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连结AE.给出以下结论：①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③BD＝AD；④AE为⊙O的切线，其中正确的结论是（）A﹒①②B﹒①②③C﹒①④D﹒①②④解答：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，而AB＝CB，∴AD＝DC，故①正确；∵AB＝CB，∴∠1＝∠2，而CD＝ED，∴∠3＝∠4，∵CF∥AB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴△CBA∽△CDE，故②正确；∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠1不能确定等于45°，∴BD与AD不能确定相等，故③错误；∵DA＝DC＝DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC＝90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，故④正确，故选：D．二、填空题11.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，0），⊙A的半径为1，若直线y＝mx－m（m≠0）与⊙A相切，则m的值为_______________.解答：如图所示，设直线y＝mx－m（m≠0）与x轴相交于点C，与y轴交于点D，令y＝0，则mx－m＝0，解得：x＝1，令x＝0，则y＝－m，故B（0，－m），C（1，0），∴OB＝m-＝m，∵直线y＝mx－m与⊙A相切，∴易得△ACD∽△BCO，∴DC：OC＝AD：OB，即3：1＝1：m，解得：m＝±3，故答案为：±33.12.已知：在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点O和M分别为Rt ABC的外心和内心，则线段OM的长为_____________.解答：如图，作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝22AC BC+＝10，∵点O为外接圆的外心，∴AO＝12AB＝5，设⊙M的半径为R，则MD＝ME＝R，又∵∠MDC＝∠MEC＝∠C＝90°，∴四边形MECD是正方形，∴CE＝CD＝R，AE＝AN＝6－R，BD＝BN＝8－R，∵AB＝10，∴8－R+6－R＝10，解得：R＝2，∴MN＝R＝2，AN＝6－R＝4，在Rt△OMN中，∵∠MNO＝90°，ON＝AO－AN＝1，∴OM＝22MN ON+＝5，故答案为：5.13.如图，AB是⊙O的直径，OA＝1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D.若BD＝2－1，则∠ACD＝__________.解答：如图，连结OC，∵OC是⊙O的切线，∴OC⊥DC，∵BD＝2－1，OA＝OB＝OC＝1，∴OD＝2，∴CD＝22OD OC-＝1，∴OC＝OD，∴∠DOC＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝12∠DOC＝22.5°，∴∠ACD＝∠OCA+∠OCD＝22.5+90°＝112.5°，故答案为：112.5°.14.如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是CF的中点，弦CF交AB于点E.若⊙O的半径为2，则CF＝__________.解答：连结OC，∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°，∵BD＝OB，∴OB＝12 OD，∵OC＝OB，∴OC＝12 OD，∴∠D＝30°，∴∠COD＝60°，∵AB为⊙O的直径，点B是CF的中点，∴CF⊥OB，CE＝EF，∴CE＝OC sin60°＝2×32＝3，∴CF＝23，故答案为：23.15.已知：点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝1，AB是⊙O的弦，AB＝2，连结PB，则PB＝_______________.解答：分两种情况：（1）如图1，连结OA，∵PA＝AO＝1，OA＝OB，PA是⊙O的切线，∴∠AOP＝45°，∵OA＝OB，∴∠BOP＝∠AOP＝45°，又∵OP＝OP，∴△POA≌△POB（SAS），∴PB＝PA＝1；（2）如图2，连结OA，与PB交于点C，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，而PA＝PO＝1，∴OP＝2，∵AB＝2，而OA＝OB＝1，∴AO⊥BO，∴四边形PABO是平行四边形，∴PB与AO互相平分，设AO交PB于点C，则OC＝12OA＝12，∴BC＝52，∴PB＝5，故答案为：1或5.16.如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD的中点，BP与半圆相交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ＝1；②PQBQ ＝32；③S△PDQ＝18；④cos∠ADQ＝35，其中正确结论是_________________.（只填写序号）解答：①连结OQ，OD，如图1所示，易证四边形DOBP是平行四边形，∴DO∥BP．∵OQ＝OB，∴∠AOD＝∠QOD，∴△AOD≌△QOD，∴DQ＝DA＝1．故①正确；②连接AQ，如图2．则CP＝12，BP＝2211()2+＝5，易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求得BQ＝5，则PQ＝52﹣55＝3510，∴PQBQ ＝32．故②正确；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求得QH＝35，∴S△DPQ ＝12DP QH＝12×12×35＝320，故③错误；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得DNAN＝PQBQ＝32，则有1DNDN-＝32，解得：DN＝35．由DQ＝1，得cos∠ADQ＝DNDQ＝35，故④正确．综上所述：正确结论是①②④．故答案为：①②④．三、解答题17.如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连结BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连结AC.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD＝OB＝4，求弦AE的长.解答：（1）证明：连结OE，∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD，∴∠CEO＝90°，∵BE∥OC，∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠AOC＝∠COE，又∵OA＝OE，OC＝OC，∴△AOC≌△EOC（SAS），∴∠CAO＝∠CEO＝90°，即AC⊥OA，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△DEO中，BD＝OB，∴BE＝12OD＝OB＝4，∵OB＝OE，∴△BOE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE＝BE tan60°＝43.18.(8分)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B.（1）当AD是多少时，四边形BCOE是平行四边形？（2）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由.解答：（1）如图，连结BD，∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°，假设四边形BCOE是平行四边形，则BC∥OE，BC＝OE＝1，在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC＝12AD＝1，∴AD＝2，∴当AD＝2时，四边形BCOE为平行四边形；（2）BC与⊙O相切，理由如下：连结OB，∵BC∥OD，BC＝OD，∴四边形BCDO为平行四边形，∵AD切⊙O于点D，∴OD⊥AD，∴平行四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线.19.(8分)如图，已知直线y＝－3x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P是反比例函数y＝3（x＜0）图象上的一动点，PH⊥x轴于点H，若以点P为圆心，PH为半径作⊙O，当⊙O与直线AB恰好相切时，求此时OH的长.解答：作PC⊥AB于C，连结AP，∵直线y＝﹣3x+3分别与x轴、y轴交于A、B，当y＝0时，x＝3，当x＝0时，y＝3；∴A（3，0），B（0，3）；∵∠AOB＝90°，tan∠OAB＝3＝3，∴∠OAB＝60°，∵以P为圆心，PH为半径的圆与直线AB相切，∴PH＝PC，∴AP平分∠OAB，∴∠PAH＝12∠OAB＝30°，设OH＝x，则AH＝x+3，∵PH⊥x轴，∴∠PHA＝90°，∴tan∠PAH＝PH AH，∴PH＝AH tan30°＝3（x+3），∵点P是y＝﹣3（x＜0）的图象上一点，∴PH OH＝3，即3(x+3)x＝3，解得：x＝153-（负值舍去），∴OH＝153 2-.20.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以BC边上一点O为圆心的半圆与AB切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝23.（1）求⊙O的半径OD长；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图两部分阴影面积的和.解答：（1）∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD＝BDOD＝23，∴OD＝3；（2）连结OE，∵AE＝OD＝3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为⊙O的半径，∴AE为⊙O的切线；（3）∵OD∥AC，∴BDAB＝ODAC，即223+＝3AC，∴AC＝7.5，∴EC＝AC﹣AE＝7.5﹣3＝4.5，∴S阴影＝S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG＝12×2×3+12×3×4.5﹣2903360π⨯＝3+274﹣94π＝3994π-．21.(10分)已知，AB 是⊙O 的直径，点P 在线段AB 的延长线上，BP ＝OB ＝2，点Q 在⊙O 上，连结PQ .（1）如图1，线段PQ 所在的直线与⊙O 相切，求线段PQ 的长；（2）如图2，线段PQ 与⊙O 还有一个公共点C ，且PC ＝CQ ，连结OQ ，交AC 于点D .①判断OQ 与AC 的位置关系，并说明理由；②求线段PQ 的长.解答：（1）如图1，连结OQ ，∵PQ 切⊙O 于点Q ，∴OQ ⊥PQ ，又∵BP ＝OB ＝OQ ＝2，∴PQ ＝22OP OQ -＝2242-＝23；（2）OQ ⊥AC ，理由如下：如图②，连结BC ，∵BP ＝OB ，∴点B 是OP 的中点，又∵PC ＝CQ ，∴BC 是△PQO 的中位线，∴BC ∥OQ ，又∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，∴OQ ⊥AC ；（3）如图②，连结AQ ，∵四边形ABCQ 内接于⊙O ，∴∠PCB ＝∠PAQ ，又∵∠P ＝∠P ，∴△PCB ∽△PAQ ，∴PC PA＝PB PQ ，即PC PQ ＝PB PA ， ∴12PQ 2＝2×6，解得PQ ＝26．22.(12分)如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，OF ⊥BC 于点F ，交⊙O 于点E ，AE与BC 交于点H ，点D 为OE 的延长线上一点，且∠ODB ＝∠AEC .（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求证：CE 2＝EH EA ；（3）若⊙O 的半径为5，sin A ＝35，求BH 的长.解答：（1）证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ，∴∠ODB ＝∠ABC ，∵OF ⊥BC ，∴∠BFD ＝90°，∴∠ODB +∠DBF ＝90°，∴∠ABC +∠DBF ＝90°，即∠OBD ＝90°，∴BD ⊥OB ，∴BD 是⊙O 的切线；（2）证明：连结AC ，∵OF ⊥BC ，∴BE ＝CE ，∴∠CAE ＝∠ECB ，∵∠CEA ＝∠HEC ，∴△CEH ∽△AEC ，∴CE EH ＝EA CE ，∴CE 2＝EH EA ； （3）解：连结BE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35，∴AB ＝10，BE ＝AB sin ∠BAE ＝10×35＝6，∴EA ＝22AB BE -＝22106-＝8，∵BE ＝CE ，∴BE ＝CE ＝6，∵CE 2＝EH EA ，∴EH ＝268＝92， 在Rt △BEH 中，BH ＝22BH EH +＝2296()2+＝152． 23.(12分)如图，⊙E 的圆心E （3，0），半径为5，⊙E 与y 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），与y 轴的正半轴交于点C ，直线l 的解析式为y ＝34x +4，与x 轴相交于点D ，以点C 为顶点的抛物线过点B .（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l 与⊙E 的位置关系，并说明理由；（3）动点P 在抛物线上，当点P 到直线l 的距离最小时，求出点P 的坐标及最小距离. 解答：（1）如图，连结AE ，由已知得：AE ＝CE ＝5，OE ＝3，在Rt △AOE 中，由勾股定理得：OA ＝22AE OE -＝2253-＝4，∵OC ⊥AB ，∴由垂径定理得：OB ＝OA ＝4，∴OC ＝OE +CE ＝3+5＝8，∴A （0，4），B （0，－4），C （8，0），∵抛物线的顶点为C ，设抛物线的解析式为：y ＝a (x －8)2，将点B 的坐标代入上解析式得：64a ＝－4，解得a ＝－116，∴y ＝－116(x －8)2， ∴抛物线的解析式为y ＝－116x 2+x －4； （2）在直线l 的解析式y ＝34x +4中，令y ＝0，则34x +4＝0，解得x ＝－163， ∴点D 的坐标为（－163，0），∴OD ＝163， 当x ＝0时，y ＝4，∴点A 在直线l 上，在Rt △AOE 和Rt △DOA 中，∵OE OA ＝34，OA OD＝34，∴OEOA＝OAOD，∵∠AOE＝∠DOA＝90°，∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO＝∠DOA，∵∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠DAO+∠EAO＝90°，即∠DAE＝90°，∴直线l与⊙O相切于A.（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作PM⊥x轴，交直线l于点M，设M(m，34m+4)，P(m，－116x2+x－4)，则PM＝34m+4－(－116x2+x－4)＝116(m－2)2+314，当m＝2时，PM取得最小值314，此时，P（2，－94），对于△PQM，∵PM⊥x轴，∴∠QMP＝∠DAO＝∠AEO，又∠PQM＝90°，∴△PQM的三个内角固定不变，∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，∴PQ最小值＝PM最小值sin∠QMP＝PM sin∠AEO＝314×45＝315，∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，－94）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为315.,。

第2章直线与圆的位置关系单元测试(A卷基础篇）【浙教版】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：120分考试时间：100分钟题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019秋•新昌县期末）已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是（）A．d＝3 B．d＞3 C．0≤d＜3 D．d＜32．（3分）（2019秋•海曙区期末）平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P 与y轴的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．以上都不是3．（3分）（2020•嘉定区一模）下列四个选项中的表述，正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线4．（3分）（2020•思明区校级二模）如图，P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB ＝50°，则∠APB等于（）A．50°B．120°C．100°D．80°5．（3分）（2019秋•宁阳县期末）如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC等于（）A．130°B．125°C．120°D．115°6．（3分）（2020春•绍兴月考）如图，直线P A，PB，MN分别与⊙O相切于点A，B，D，P A＝PB＝8cm，则△PMN的周长为（）A．8cm B．8cm C．16cm D．16cm7．（3分）（2020•滨湖区模拟）已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（）A．32 B．34 C．27 D．288．（3分）（2020•延边州模拟）如图，AB与⊙O切于点B，OB＝3，C是OB上一点，连接AC并延长与⊙O 交于点D，连接OD，∠A＝40°，∠D＝30°，则的长为（）A．B．πC．D．9．（3分）（2019秋•巴彦县期末）如图所示，点A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为（）A．2 B．2C．3 D．10．（3分）（2019秋•洛宁县期末）如图，点A的坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小值时，点P的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣2，0）C．（﹣4，0）或（﹣2，0）D．（﹣3，0）第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019秋•江城区期中）⊙O的半径r＝5cm，圆心到直线l的距离OM＝4cm，在直线l上有一点P，且PM＝3cm，则点P在⊙O．12．（4分）（2020•青海）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝．13．（4分）（2020•浙江自主招生）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，则其内心和外心之间的距离是．14．（4分）（2020•鹿城区校级二模）如图，AD切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BD交⊙O于点C．已知AD＝2，AB＝4，则弦BC的长为．15．（4分）（2020•铜山区二模）如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI＝°．16．（4分）（2020•余姚市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为．评卷人得分三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（﹣3，4），以半径r在坐标平面内作圆，（1）当r时，圆O与坐标轴有1个交点；（2）当r满足时，圆O与坐标轴有2个交点；（3）当r时，圆O与坐标轴有3个交点；（4）当r时，圆O与坐标轴有4个交点．18．（8分）（2019秋•海曙区期末）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM 交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝8cm，AE＝4cm，求⊙O的半径．19．（8分）（2020•玉林）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．20．（10分）（2019秋•拱墅区校级期末）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm，腰长为50cm．（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm？21．（10分）（2020•义乌市校级模拟）如图1，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．（1）求证：∠CPB＝2∠ABC；（2）延长BA、PC相交于点D（如图2），设⊙O的半径为2，sin∠PDB＝，求PC的长．22．（12分）（2020•浙江自主招生）射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），求t值（单位：秒）．23．（12分）（2020•江都区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若CE＝2，AC＝8，求阴影部分的面积．。

第二章直线与圆的位置关系 复习、选择题（共20小题）1.已知圆的半径是£，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.内含2.如图，一中，■八 ，：=1，—「•'•，点和在■•上，以「为直径作-与厂相切于点上-，贝」二的长为4.设-的半径为丄，圆心门到直线的距离「' -小，且亠使得关于、的方 程有实数根，则直线•与-的位置关系为：■A.相离或相切B.相切或相交C.相离或相交D.无法确定5. 已知-的半径为=直线，上有一点满足，则直线：与 的位 置关系是 A.相切B.相离C.相离或相切D.相切或相交6. 已知•的半径「一，设圆心卩到一条直线的距离为』，圆上到这条直线 的距离为：的点的个数为-,给出下列命题： ① 若、，则却“；②若” --,则儿■1 ;③若|」…，则-;④若丿:，则小；;⑤若八】，则川-.其中正确命题的个数是A 「B. 1C. 'D.-D.；3.在平面直角坐标系中，半径为 位置关系是A.相离B.相交的圆的圆心在C.相切「計，则这个圆与■■轴的D.无法确定n7.如图，在 .中，为直径，&为弦，「：为切线，连接厂心◎,贝S f ■-的度数为A. B.C.；D. ioo fl8.如图，点厂在 ■夕卜,分别与 相切于-,两点，•B. 150*C. I9.如图，■是的切线，K 为切点，：的延长线交 •于＜■丿,连接A.B. f10. 如图，在矩形“中，以4,…一：分别与 …三点，过点小作'的切线交1于点•'「，切点为、:, 长为相切于 则八「的—.注等于.A.-B.：C.11. 如图，正六边形 …A …:丁内接于 ，若直线「与•相切于点"，则与小圆相交，则弦长：二的取值范围是13.如图，」为-的直径，-■■■■切■于点「，过点交••于点"，连接.若"，贝S■-的度数是■■■ ■.■ - ；_ :，则」等于A. B. C.-12.如图，以点门为圆心的两个同心圆，半径分别为 三和1■，若大圆的弦' R 作U r 于点Is ,A. C.D. 14.如图, ?与 相切于点曲，―的延长线交■于点「连接 ,若LPAB = DB. A.0 > SA. ■■■B.C.-15. 在矩形中，.；-：• ,「：• ——4 ,有一个半径为1的硬币与边.：.? , 相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边：「・，「：，「•:滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是.:.A. \圈B.：圈C. 圈D. 4圈16. 在等腰直角三角形小：中，、-■ --1 ，点门为丁的中点，以心为圆心作oo 交-■■于点二，与相切，切点分别为八，止，则C.:，--的半径和me 的度数分别为17. 在平面直角坐标系中，以点「为圆心，］为半径的圆必定•：•A.与-轴相离、与：轴相切B.与■•轴、|轴都相离C.与■轴相切、与■轴相离D.与、轴、；轴都相切18. 已知门的半径一设圆心门到一条直线的距离为圆上到这条直线的距离为"的点的个数为小，给出下列命题：①若J '，则小* i ；②若S则| ；③若「—，则"「；④若"L，则“ -】；⑤若- 1，则"：1 . 其中正确命题的个数是A. 1B.-19. 如图，在矩形 心:川中m — 4，以—为直径作半圆"，过点.1 作半圆卩的切线交于点切点为I 贝y …的长为、填空题（共10小题）21. ____________________________________ 如图，•「是「的直径，点「在；、的延长线上，宀 与••相切，切点 为门.如果一一:,那么「等于 .22.已知：如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在■轴的正半轴上并与直线' —■相切，设半圆I 、半圆L 、半圆㈡的半径分别是\ ,A. \20. 如图，半径为-的“内有一点C.D."i，-- ■■ 点屮在。

浙教版八年级下册第2章一元二次方程2．3一元二次方程的应用几何图形问题专题练习题1．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的长方形空地，则原正方形空地的边长是( )A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m2．小明将一幅画装裱在如图长方形宣传牌上，使四周空余部分(图中阴影部分)的面积占整个宣传牌面积的13，且上、下、左、右的宽都相等，已知宣传牌长为24 cm，宽为20 cm，则空余部分的宽为( )A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm3．用一根长为24 cm的铁丝围成一个长方形，如果长方形的面积是35 cm2，那么这个长方形的长与宽分别是( )A．9 cm，3 cm B．8 cm，4 cm C．7 cm，5 cm D．6 cm，6 cm4．以正方形木板的一条边长为边，在正方形的木板上锯掉一个2 m宽的长方形木条，若剩余木板的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( )A．100 m2B．64 m2C．121 m2D．144 m25．如图，某小区规划在一个长为30 m、宽为20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少？设通道的宽为x m，由题意列得方程_________________________________________．6．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的长方形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？7．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过____秒后，P，Q两点之间相距25 cm.8．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝65，∠B＝90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，1秒后点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，求点Q从点B开始出发经过多少秒后，△PBQ的面积等于6 cm2.9．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( )A. 12x(x＋1)＝28 B .12x(x－1)＝28 C．x(x＋1)＝28 D．x(x－1)＝2810．如图，在宽为20米、长为32米的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽应为( )A．5米B．3米C．2米D．2米或5米11．用6 m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框．若窗框的面积为1.5 m2，则窗框的长AB为____m.12．如图，AO＝BO＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由点A以2 cm/s的速度向点B爬行，同时另一只蚂蚁由点O以 3 cm/s的速度沿OC方向爬行，则经过_______________________秒后，两只蚂蚁与点O组成的三角形的面积为450 cm2.答案：1---4 ACCB5. (30－2x)(20－x)＝6×786. 解：设AB的长度为x，则BC的长度为(100－4x)米，根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去．即AB＝20，BC＝20.答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米7. 108. 解：设点Q从点B开始出发x秒后，△PBQ的面积等于6 cm2，依题意，得AC2＝AB2＋BC2，∴BC＝AC2－AB2＝（65）2－62＝12，又∵S△PBQ＝6，BP＝6－(x＋1)＝5－x，BQ＝2x，∴12×2x×(5－x)＝6，解得x1＝2，x2＝3，故点Q从点B开始出发2秒或3秒后，△PBQ的面积等于6 cm29. B10. C11. 3 212. 10，15或30。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.6直线与圆的位置关系》优生辅导测试（附答案）一．选择题（共5小题）1．如图，直线y＝x+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为（1，0），圆P 与y轴相切于点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（）A．2B．3C．4D．52．行驶在水平路面上的汽车，若把路面看成直线，则此时车轮与地面的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定3．若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d为（）A．d＜6B．d＝6C．d＞6D．d≤64．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（3，4），半径为5，那么y轴与⊙P的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．以上都不是5．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣2，0）C．（﹣4，0）或（﹣2，0）D．（﹣3，0）二．填空题（共8小题）6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为．7．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA 上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P 的运动时间t（秒）满足条件时，⊙P与直线CD相交．8．如图，⊙A的圆心坐标为（0，4），若⊙A的半径为3，则直线y＝x与⊙A的位置关系是．9．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．10．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（6，0），半径是的⊙P与直线y＝x的位置关系是．11．已知⊙O的半径为cm，圆心O到直线l的距离为1.4cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为．12．（北师大版）两个圆都以O为圆心，大圆的半径为1，小圆的半径为，在大圆上取三点A、B、C，使∠ACB＝30°，则直线AB与小圆的位置关系为．13．⊙O的圆心到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、r是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两根，且直线l与⊙O相切时，则m的值为．三．解答题（共7小题）14．在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；（2）若直线l经过点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的位置关系．15．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．16．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠DAE＝∠BAF．17．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A；（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO＝8：5，BC＝2，求BD的长．18．如图直角坐标系中，已知A（﹣8，0），B（0，6），点M在线段AB上．（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．19．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．20．已知等边三角形ABC，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF ⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；（2）求FG的长．参考答案一．选择题（共5小题）1．解：∵直线y＝x+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为（1，0），∴A点的坐标为：（﹣2，0），B点的坐标为：（0，2），∴AB＝2，将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C1时，P1C1＝1，根据△AP1C1∽△ABO，∴＝＝，∴AP1＝，∴P1的坐标为：（﹣2+，0），将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C2时，P2C2＝1，根据△AP2C2∽△ABO，∴＝＝，∴AP2＝，P2的坐标为：（﹣2﹣，0），从﹣2﹣到﹣2+，整数点有﹣1，﹣2，﹣3，故横坐标为整数的点P的个数是，3个．故选：B．2．解：因为行驶在水平路面上的汽车，若把路面看成直线，则此时转动的车轮与地面的位置关系是相切，故选：B．3．解：∵⊙O的半径为6，直线L与⊙O相交，∴圆心到直线的距离小于圆的半径，即0≤d＜6．故选：A．4．解：∵⊙P的圆心坐标为（3，4），∴⊙P到y轴的距离d为3∵d＝3＜r＝5∴y轴与⊙P相交故选：C．5．解：连接AQ，AP．根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；要使PQ最小，只需AP最小，则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；此时P点的坐标是（﹣3，0）．故选：D．二．填空题（共8小题）6．解：如图，连接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K．∵OH⊥MN，∴MH＝HN，∴MN＝2MH＝2，∵∠DCE＝90°，OD＝OE，∴OC＝OD＝OE＝OM＝，∴欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可，∵OC＝，∴点O的运动轨迹是以C为圆心为半径的圆，在Rt△ACB中，∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，∵•AB•CK＝•AC•BC，∴CK＝，当C，O，H共线，且与CK重合时，OH的值最小，∴OH的最小值为﹣＝，∴MN的最大值＝2＝，故答案为．7．解：∵OP＝6cm，∴当点P在OA上圆P与CD相切时，需要运动（6﹣2）÷1＝4秒，∵⊙P的圆心在射线OA上，∴t≤6，那么当⊙P的运动时间t（秒）满足条件4＜t≤6时，⊙P与直线CD相交．∴4＜t≤6．8．解：作AB垂直于直线y＝x于B．在等腰直角三角形AOB中，根据勾股定理得AB＝OB＝2＜3，所以直线和圆相交．9．解：依题意，可设P（x，2）或P（x，﹣2）．①当P的坐标是（x，2）时，将其代入y＝x2﹣1，得2＝x2﹣1，解得x＝±，此时P（，2）或（﹣，2）；②当P的坐标是（x，﹣2）时，将其代入y＝x2﹣1，得﹣2＝x2﹣1，即﹣1＝x2无解．综上所述，符合条件的点P的坐标是（，2）或（﹣，2）；故答案是：（，2）或（﹣，2）．10．解：作PD⊥直线y＝x于D．则△OPD是等腰直角三角形，得PD＝3＜2．则直线和圆相交．11．解：∵圆心到直线的距离是1.4＜圆的半径，∴直线和圆相交，即有2个公共点．12．解：如图，过O作OD⊥AB于D，连接OA．则∠AOD＝∠AOB，又∵∠AOB＝2∠ACB，∴在Rt△AOD中，OA＝1，∠AOD＝∠ACB＝30°，∴OD＝．∴AB与小圆相离．13．解：∵直线和圆相切，∴d＝r，∴Δ＝16﹣4m＝0，∴m＝4．三．解答题（共7小题）14．解：（1）如图所示：△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上；（2）方法一：连接PD，设过点P、D的直线解析式为y＝kx+b，∵P（﹣1，0）、D（﹣2，﹣2），∴，解得，∴此直线的解析式为y＝2x+2；设过点D、E的直线解析式为y＝ax+c，∵D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），∴，解得，∴此直线的解析式为y＝﹣x﹣3，∵2×（﹣）＝﹣1，∴PD⊥DE，∵点D在⊙P上，∴直线l与⊙P相切．方法二：连接PE，PD，∵直线l过点D（﹣2，﹣2 ），E（0，﹣3 ），∴PE2＝12+32＝10，PD2＝5，DE2＝5，∴PE2＝PD2+DE2．∴△PDE是直角三角形，且∠PDE＝90°．∴PD⊥DE．∵点D在⊙P上，∴直线l与⊙P相切．15．解：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°'，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∠DAB＝∠DCB＝45°，∴△ADB是等腰直角三角形，∵AB＝10，∴AD＝BD＝＝5，在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，∴AC＝＝5，答：AC＝5，AD＝5；（2）直线PC与⊙O相切，理由是：连接OC，在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，∴∠BAC＝30°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠COB＝60°，∵∠ACD＝45°，∴∠OCD＝45°﹣30°＝15°，∴∠CEP＝∠COB+∠OCD＝15°+60°＝75°，∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠CEP＝75°，∴∠OCP＝∠OCD+∠ECP＝15°+75°＝90°，∴直线PC与⊙O相切．16．解：（1）连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD；又∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO；又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°﹣∠B，∴∠AEF＝∠ADE+∠DAE，在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B＝180°，∴∠BAF＝∠DAE．17．解：（1）直线BD与⊙O相切．（1分）证明：如图，连接OD．∵OA＝OD∴∠A＝∠ADO∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠CDB＝90°又∵∠CBD＝∠A∴∠ADO+∠CDB＝90°∴∠ODB＝90°∴直线BD与⊙O相切．（2分）（2）解法一：如图，连接DE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°∵AD：AO＝8：5∴cos A＝AD：AE＝4：5（3分）∵∠C＝90°，∠CBD＝∠Acos∠CBD＝BC：BD＝4：5（4分）∵BC＝2，BD＝；解法二：如图，过点O作OH⊥AD于点H．∴AH＝DH＝AD∵AD：AO＝8：5∴cos A＝AH：AO＝4：5（3分）∵∠C＝90°，∠CBD＝∠A∴cos∠CBD＝BC：BD＝4：5，∵BC＝2，∴BD＝．18．解：（1）直线OB与⊙M相切，理由：设线段OB的中点为D，连接MD，如图1，∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD＝4．∴∠AOB＝∠MDB＝90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上，又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；，（2）解：连接ME，MF，如图2，∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y＝kx+b，∴，解得：k＝，b＝6，即直线AB的函数关系式是y＝x+6，∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME＝MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x＝a，y＝﹣a代入y＝x+6，得﹣a＝a+6，得a＝﹣，∴点M的坐标为（﹣，）．19．解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO并延长到圆上一点N，交BC于点F，∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠DAC，∴＝，∴DF⊥BC，∵DE∥BC，∴∠EDO＝90°，∴DE与⊙O相切；（2）连接AO并延长到圆上一点M，连接BM，∵BC∥DE，∴∠ACB＝∠E＝60°，∴∠M＝60°，∵⊙O的半径为5，∴AM＝10，∴BM＝5，则AB＝＝5．20．（1）证明：连接OD，∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，∴∠B＝∠C＝∠ODB＝60°，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，即OD⊥DF，∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，∴DF是圆O的切线；（2）∵OB＝OD＝AB＝6，且∠B＝60°，∴BD＝OB＝OD＝6，∴CD＝BC﹣BD＝AB﹣BD＝12﹣6＝6，∵在Rt△CFD中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝×6＝3，∴AF＝AC﹣CF＝12﹣3＝9，∵FG⊥AB，∴∠FGA＝90°，∵∠F AG＝60°，∴FG＝AF sin60°＝．。

浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系自主学习优生提升测试卷A卷（附答案详解）1．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（）A．30°B．45°C．60°D．67.5°2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．120°B．80°C．100°D．60°3．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿y轴的正方向作无滑动滚动．使它的三边依次与x轴重合．第一次滚动后，圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2…依次规律，第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是（）A．（673，1）B．（674，1）C．（8076，1）D．（8077，1）4．在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必定（）A．与x轴相切、与y轴相离B．与x轴、y轴都相离C．与x轴相离、与y轴相切D．与x轴、y轴都相切5．如图，已知PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于C，交O于D，连接OA、OB，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（）A．1，2 B．2，2 C．2，6 D．1，66．如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中AD=180°，且AB=BD，BC=CD．若阿超在AB上取一点P，在BD上取一点Q，使得∠APQ=130°，则下列叙述何者正确（）A．Q点在BC上，且BQ>QC B．Q点在BC上，且BQ<QCC．Q点在CD上，且CQ>QD D．Q点在CD上，且CQ<QD7．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，若∠BCD＝25°，则∠B等于（）A．25°B．65°C．75°D．90°8．如图，已知A（﹣2，0），以B（0，1）为圆心，OB长为半径作⊙B，N是⊙B上一个动点，直线AN交y轴于M点，则△AOM面积的最大值是（）A．2 B．83C．4 D．1639．如图AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．65°和115°D．130°和50°10．如图，AB 为圆O 的半径，,AD BC 分别切O 于,A B 两点，CD 切O 于点E ，AD 与CD 相交于D ，BD 与CD 相交于C ，连接16,,3,3OD OC AD BC ==，则四边形ABCD 的周长为（ ）A ．253B ．503C ．623D ．74311．如图，半径为且坐标原点为圆心的圆交轴、轴于点、、、，过圆上的一动点（不与重合）作，且（在右侧） （1）连结，当时，则点的横坐标是______． （2）连结，设线段的长为，则的取值范围是____．12．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O 到水平直线l 的距离为d ，即OM ＝d ．我们把圆上到直线1的距离等于1的点的个数记为m ．如d ＝0时，l 为经过圆心O 的一条直线，此时圆上有四个到直线的距离等于1的点，即m ＝4，由此可知，当d ＝3时，m ＝_____．13．ABC 中，ACB 90∠=，AB 4=，C 的半径长是2，当A 30∠=时，C与直线AB 的位置关系是________；当A 45∠=时，C 与直线AB 的位置关系是________．14．一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm ，∠MPN ＝60︒，则OP ＝________.15．如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，∠APC的平分线交AC 于点D．若∠APC＝40°，则∠CDP＝_____．16．已知⊙O的直径是4，直线l与⊙O相切，则点O到直线l的距离为_____．17．如图1，直线a与圆相切于A，B是直线a上另一点，C、D在圆上，那么∠CBD<∠CAD.如图2，是人看广告牌的情景.如图3，广告牌的杆子高BD=9.6米，广告牌画面高CD=10米，人自高1.6米，为了使人看广告牌的视角最大，人站立的地方距离广告牌的水平距离应为_______米.18．如图，⊙O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB＝2，OA＝4，将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C，则OC＝_____．19．如图，大圆O的半径OC是小圆O1的直径，且有OC垂直于圆O的直径AB．圆O1的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D．已知圆O1的半径为r，则AO1＝_____，DE＝_____．20．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是_____°．21．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB＝CD，且AB与小圆相切．求证：CD与小圆也相切．22．如图，已知⊙A的半径为4，EC是圆的直径，点B是⊙A的切线CB上的一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF平行于AB，连接DF，AF．（1）求证：△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB=__________时，四边形ADFE为菱形；（3）当AB=__________时，四边形ACBF为正方形．23．如图，AB为⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，连接AC，BF，且BF∥CD．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若⊙O的半径为17，AF＝2，求CD的长度．24．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O 于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠F＝30°，EB＝8，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）25．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED 与AB的延长线相交于点F．（1）求证：DE为⊙O的切线．（2）求证：DF2＝BF•AF．26．如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．（1）求∠AOG的度数；（2）若AB＝2，求CD的长．27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC，AB于点E，F，若AC＝6，AB＝10，求⊙O的半径；28．如图，已知等边△ABC，AB＝2，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D 作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)求FG的长．参考答案1．D【解析】【分析】利用圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质即可得出．【详解】解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，在Rt△OCD中，又CD=OC，∴∠COD=45°．∵OC=OA，∴∠OCA＝12×45°=22.5°．∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．故选：D．【点睛】本题考查切线的性质定理,熟练掌握圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质是解题的关键．2．A【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答.【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°－∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故答案选A.【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.3．D【解析】【分析】由勾股定理得出AB=5，得出Rt△OAB内切圆的半径=1，因此P的坐标为（1，1），由题意得出P3的坐标（3+5+4+1，1），得出规律为每滚动3次一个循环，由2019÷3=673，即可得出答案．【详解】∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴=5，∴Rt△OAB内切圆的半径＝12（3+4﹣5）＝1，∴P的坐标为（1，1），∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，∴P3（3+5+4+1，1），即（13，1），每滚动3次一个循环，∵2019÷3＝673，∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×（3+5+4）+1，即P2019的横坐标是8077，∴P2019的坐标是（8077，1）；故选：D．【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理、坐标与图形性质，根据题意得出规律是解题的关键．4．A【解析】【分析】先求出点（2，1）到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，再根据直线与圆的位置关系的内容得出即可．【详解】∵点（2，1）到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，∴在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必定与x轴相切，与y轴相离，故选：A．【点睛】此题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握，即可解题.5．C【解析】【分析】根据切线长定理及半径相等得，△APB为等腰三角形，△AOB为等腰三角形，共两个；根据切线长定理和等腰三角形三线合一的性质，直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．【详解】解：因为OA、OB为圆O的半径，所以OA＝OB，所以△AOB为等腰三角形，根据切线长定理，PA＝PB，故△APB为等腰三角形，共两个，根据切线长定理，PA＝PB，∠APC＝∠BPC，PC＝PC，所以△PAC≌△PBC，故AB⊥PE，根据切线的性质定理∠OAP＝∠OBP＝90°，所以直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．故选：C．【点睛】此题综合考查了切线的性质和切线长定理及等腰三角形的判定，有利于培养同学们良好的思维品质．6．B【解析】【分析】连接AD，OB，OC，根据题意得到∠BOC=∠DOC=45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，由圆周角定理得到∠E=12∠AOC=67.5°，求得∠ABC=122.5°＜130°，取BC的中点F，连接OF，得到∠ABF=123.25°＜130°，于是得到结论．【详解】如图，连接AD，OB，OC，∵AD=180°，且AB=BD，BC=CD，∴∠BOC=∠DOC=45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，∴∠E=12∠AOC=67.5°，∴∠ABC=122.5°<130°，取BC的中点F，连接OF，则∠AOF=67.5°，∴∠ABF=123.25°<130°，∴Q点在BC上，且BQ<QC，故选B．【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，圆内接四边形的性质，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．7．B【解析】【分析】连接OC，根据切线的性质得OC⊥CD，利用互余得到∠OCB=65°，然后根据等腰三角形的性质得到∠B的度数．【详解】连接OC，如图，∵CD 切⊙O 于点C ，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠OCB=90°-∠BCD=90°-25°=65°，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB=65°．故选：B ．【点睛】本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．8．B【解析】【分析】当直线AN 与⊙B 相切时，△AOM 面积的最大．设BM=x ，由切割线定理表示出MN ，可证明△BNM ∽△AOM ，根据相似三角形的性质可求得x ，然后求得△AOM 面积．【详解】解：当直线AN 与⊙B 相切时，△AOM 面积的最大．连接AB 、BN ，在Rt △AOB 和Rt △ANB 中0B BN AB AB =⎧⎨=⎩∴Rt △AOB ≌Rt △ANB ，∴AN ＝AO ＝2，设BM ＝x ，∴MN 2＝（BM ﹣1）（BM +1），∴MN∵∠AOM ＝∠BNM ＝90°，∠AMO ＝∠BMN ，∴△BNM ∽△AOM ， ∴BN OA ＝MN OM， 即12解得x ＝53， S △AOM ＝2OA OM ⋅＝52132⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭＝83． 故选：B ．【点睛】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AN 与⊙B 相切时，△AOM 面积的最大．9．C【解析】【分析】连接OC,OB ，分点P 在优弧BC 上与劣弧BC 上两种情况讨论即可.【详解】连接OC,OB ，则∠ACO=∠ABO=90°，∠BOC=360°-90°-90°-50°130°，分两种情况：①当P 在优弧BC 上，∠P=12BOC ∠=65°， ②当P 在劣弧BC 上，∠BPC=180°-65°=115°. 故选C.【点睛】此题主要考查切线的性质及圆周角定理，解题的关键是根据图形分两种情况讨论. 10．D【解析】【分析】过点D 作DF BC ⊥于点F,连接OE,根据切线的性质求出25,3CD DE EC =+= 证明四边形ABFD 是矩形,得到3,DA BF ==根据勾股定理求出DF,即可求解.【详解】过点D 作DF BC ⊥于点F,连接OE,,AD BC 分别切O 于,A B 两点，CD 切O 于点E ,90,DAO OED OBC ∴∠=∠=∠=又,OA OE OB ==163,,3DA DE EC CB ∴====25,3CD DE EC ∴=+= 90,DAB ABC DFC ∴∠=∠=∠=四边形ABFD 是矩形,3,DA BF ∴==1673,33CF BC BF ∴=-=-= 22222578.33DF AB CD CF ⎛⎫⎛⎫∴==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四边形ABCD 周长：16257483.333AB BC CD DA +++=+++= 故选：D【点睛】 考查切线的性质以及勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.11．±； 4-4≤x≤4+4.【解析】【分析】（1）作PF ⊥AC 于点F ，证明△PCF ∽△ACP ，可求得CF 长，在Rt △PFC 中求得PF 的长，进而得出点P 的坐标；（2）连结OP ，OE ，AB ，BE ，AE ，证明△OAP ∽△BAE ，可得BE=，根据BE-OB≤OE≤BE+OB ，即可得出OE 的取值范围【详解】解：（1）如图，作PF ⊥AC 于点F ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠CFP=∠CPA=90，∵∠PCF=∠ACP ，∴△PCF ∽△ACP ，∴P点的横坐标为．（2）如图，连结OP，OE，AB，BE，AE，∵△AOB，△APE都为等腰直角三角形，∴∠OAB=∠PAE=45°，，∴∠OAP=∠BAE，∴△OAP∽△BAE，，∴BE= ，∵BE-OB≤OE≤BE+OB，故答案为【点睛】本题是圆的一个综合题，主要考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质．构造相似三角形是两小题的突破口．第（2）难度较大．12．1．【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案．【详解】当d＝3时，∵3＞2，即d＞r，∴直线与圆相离，则m＝1，故答案为1.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系．13．相交相切【解析】【分析】据题意画出相应的图形，然后过C作CD与AB垂直，垂足为D，在直角三角形ACD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边AB的长和面积定值求出CD的长，即为圆心到直线的距离，小于圆C的半径，可得圆C与直线AB相交；当∠A=45°时，求出CD的长和圆的半径2比较大小即可．【详解】根据题意画出图形，如图所示：当∠A=30°，过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ACD中，∵AB=4，∠A=30°，∴BC=12AB=2，∴22AB BC3∴CD=123，又∵圆C的半径为23＜2，∴CD＜R，∴则⊙C与AB的位置关系是相交，故答案为：相交；当∠A=45°时，过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ACD中，∵AB=4，∠A=45°，∴AB=AC，∴CD=12AB=2，又∵圆C的半径为2，则CD=R，∴则⊙C与AB的位置关系是相切．故答案为：相切．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，以及直角三角形的性质，直线与圆的位置关系有三种，分别为相切，相交，相离，可以利用d与r比较大小来决定，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当0≤d＜r时，直线与圆相交．14．50cm【解析】【分析】钢管放在V形架内，则钢管所在的圆与V形架的两边相切，根据切线的性质可知△OMP是直角三角形，且∠OPM=∠OPN=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边长度等于斜边的一半，求出OP的长．【详解】∵圆与V形架的两边相切，∴△OMP是直角三角形，∠OPN=12∠MPN=30 ，∴OP=2ON=50cm.故答案为50 cm.【点睛】本题考查切线的性质, 含30度角的直角三角形. 15．45°【解析】【分析】由PC为圆的切线，利用切线的性质得到PC与OC垂直，得到三角形OPC为直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余列出等式，根据OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，利用外角性质得到∠A为∠COP的一半，由PD为角平分线得到∠APD为∠CPO的一半，利用外角性质及等式的性质即可求出∠CDP的度数．【详解】如图，连接OC，∵PC为圆O的切线，∴PC⊥OC，即∠PCO=90°，∴∠CPO+∠COP=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=12∠COP，∵PD为∠APC的平分线，∴∠APD=∠CPD=12∠CPO，∴∠CDP=∠APD+∠A=12（∠CPO+∠COP）=45°．故答案为：45°．【点睛】此题考查了切线的性质，外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．16．2【解析】【分析】根据圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于圆的半径，求出圆的半径即可．【详解】∵⊙O的直径是4，∴⊙O的半径是2．∵经过⊙O上一点的直线L与⊙O相切，∴点O到直线L的距离等于圆的半径2．故答案为：2．【点睛】本题考查了对切线的性质和直线与圆的位置关系的理解和运用，关键是理解圆的切线的定义．17．12【解析】【分析】令NH=1.6，作HG∥a交CB于点G，作CD的中垂线交CD于点F，在中垂线上取一点O 使OC=GF，然后以O为圆心，OC为半径作圆，然后过O作OE⊥a，交GH与点M，则知GH与圆相切与点M，则站在E点处看广告牌的视角最大，算出BE长即可．【详解】令NH=1.6，作HG∥a交CB于点G，作CD的中垂线交CD于点F，在中垂线上取一点O 使OC=GF，然后以O为圆心，OC为半径作圆，然后过O作OE⊥a，交GH与点M，则知GH与圆相切与点M，则站在E点处看广告牌的视角最大，∵BD=9.6米，CD=10米，人高NH=1.6米，∴FG=9.6+10-10÷2-1.6=13（米），即OC=13（米），∴BE=OF=2213512（米）．【点睛】本题是对圆实际运用的考查，熟练掌握圆的知识作出示意图是解决本题的关键，难度较大．18．2．【解析】【分析】在直角△ABO中，利用正弦三角函数的定义求得∠OAB=60°，然后由旋转的角度、图中角与角间的和差关系知∠OAC=30°；最后由切线的性质推知△AOC是直角三角形，在直角三角形中由“30°角所对的直角边是斜边的一半”即可求得OC．【详解】解：∵OB⊥AB，OB=2，OA=4，∴在直角△ABO中，sin∠OAB=＝，则∠OAB=60°；又∵∠CAB=30°，∴∠OAC=∠OAB-∠CAB=30°；∵直线l2刚好与⊙O相切于点C，∴∠ACO=90°，∴在直角△AOC中，OC=OA=2（30°角所对的直角边是斜边的一半）．故答案是：2．【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转的性质、切线的性质等知识点．切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．195；43r．【解析】【分析】连接O1D，由切线的性质知O1D⊥AE，由题意知，CO=AO=2r，O1D=O1C=r，进而由切线长定理知，AD=AO=2r；再根据勾股定理得AE2＝AO2+OE2，O1E2＝O1D2+DE2，然后即可得到关于DE，CE，的方程组，解之即可得到DE=43r．【详解】如图，连接O1D．∵圆O1的切线AD交OC的延长线于点E，∴O1D⊥AE，由题意知，CO＝AO＝2r，O1D＝O1C＝r，由切线长定理知，AD＝AO＝2r，∴AO1＝5r，由勾股定理得，AE2＝AO2+OE2，即（2r+DE）2＝（2r）2+（2r+EC）2，①O1E2＝O1D2+DE2，即（r+EC）2＝r2+DE2，②由①②解得，DE＝43r．故填空答案：5r；43r．【点睛】本题考查切线长定理、切线的性质和勾股定理，解题的关键是掌握切线长定理、切线的性质和勾股定理.20．70°【解析】【分析】直接利用切线的性质定理结合全等三角形的判定和性质得出∠2+∠3=∠DOC=70°．【详解】如图所示：连接圆心与各切点．在Rt△DEO和Rt△DFO中，∵DO DO DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1=∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3=∠4，∠5=∠7，∠6=∠8，∴∠5+∠6=∠7+∠8=110°，∴2∠2+2∠3=360°﹣2×110°，∴∠2+∠3=∠DOC=70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查了切线的性质定理、全等三角形的判定和性质，正确应用切线的性质定理是解题的关键．21．证明见解析.【解析】【分析】过点O分别作AB，CD的垂线段OE，OF.设小圆的半径为r.根据同圆等弦的弦心距相等可知OE＝OF＝r.【详解】证明：过点O分别作AB，CD的垂线段OE，OF.设小圆的半径为r.∵AB与小圆相切，∴OE＝r，∵AB＝CD，且AB，CD为大圆的弦，∴OE＝OF，∴OF＝r，∴CD与小圆也相切．【点睛】本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;解决问题的关键是同圆等弦的弦心距相等.22．(1)见解析；(2) 60°；(3)【解析】【分析】(1)利用平行线的性质分别得到∠AEF ＝∠CAB ，∠AFE ＝∠FAB ，再根据圆的半径相等即可证明△ABC ≌△ABF （SAS ）；（2）连接CF ，利用菱形四边相等这一性质证明△CFE 中∠ECF ＝30°，∠CEF ＝60°，再由平行线的性质即可证明∠CAB ＝60°；（3）利用正方形的对角线将正方形分成两个等腰直角三角形,再利用勾股定理即可解题.【详解】（1）证明：∵EF ∥AB∴∠AEF ＝∠CAB ，∠AFE ＝∠FAB ，又∵AE ＝AF ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴∠FAB ＝∠CAB ，在△ABC 和△ABF 中，AF AC FAB CAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ABF （SAS ）；（2）连接CF ，如图所示，若四边形ADFE 为菱形，则AE ＝EF ＝FD ＝DA ，又∵CE ＝2AE ，CE 是圆A 的直径，∴CE ＝2EF ，∠CFE ＝90°，∴∠ECF ＝30°，∴∠CEF ＝60°，∵EF ∥AB ，∴∠AEF ＝∠CAB ，∴∠CAB ＝60°，故答案为60°；（3）若四边形ACBF为正方形，则AC＝CB＝BF＝FA，AB是正方形ACBF的对角线，∵AC＝4，∴AB2242AC CB+=故答案为2．【点睛】本题考查了圆的性质,切线的性质,平行线的性质,三角形全等的判定,特殊的直角三角形,特殊的平行四边形的判定,综合性强,难度较大,熟悉特殊平行四边形的性质是解题关键. 23．(1)证明见解析；(2)4.【解析】【分析】（1）连接OC，交BF于点H，由ED切⊙O于点C，可得OC⊥DE，因为AB为⊙O的直径，可得BF⊥AD，由BF∥CD，可得ED⊥AD，进而得出OC∥AD，即可推出AC平分∠BAD；（2）在Rt△ABF中，⊙O17，AF＝2，可求得BF的长，再证明四边形HFDC为矩形，可得CD＝HF＝12BF，即可得出CD的长．【详解】(1)如图，连接OC，交BF于点H，∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∵AB为⊙O的直径，∴BF⊥AD，∵BF∥CD，∴ED⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠CAD，∵OC ＝OA ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∴∠OAC ＝∠CAD ，∴AC 平分∠BAD ；(2)∵⊙O 的半径为17，AF ＝2，∠AFB ＝90°，∴()222221728,BF AB AF =-=-=由(1)知，∠D ＝∠HFD ＝∠OCD ＝90°，∴四边形HFDC 为矩形，∴OC ⊥BF ，∴CD ＝HF ＝12BF ＝4．【点睛】本题考查圆的切线的性质，平行线的性质，圆的基本性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质．24．（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD ，如图，根据平行四边形的性质得OC ∥BE ，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠1＝∠2，则可根据“SAS ”判断△ODC ≌△OAC ，从而得到∠ODC ＝∠OAC ＝90°，然后根据切线的判定定理得CF 是⊙O 的切线；（2）利用∠F ＝30°得到∠FOD ＝60°，则∠1＝∠2＝60°，再根据平行四边形的性质得OC ＝BE ＝8，接着在Rt △AOC 中计算出OA ＝4，AC ＝4，然后利用扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S 四边形AODC ﹣S 扇形AOD 进行计算．【详解】（1）证明：连接OD，如图，∵四边形EBOC是平行四边形，∴OC∥BE，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵OB＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，在△ODC和△OAC中,∴△ODC≌△OAC，∴∠ODC＝∠OAC＝90°，∴OD⊥CD，∴CF是⊙O的切线；（2）解：∵∠F＝30°，∴∠FOD＝60°，∴∠1＝∠2＝60°，∵四边形EBOC是平行四边形，∴OC＝BE＝8，在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，AC＝OA＝4, ∴图中阴影部分的面积＝S四边形AODC﹣S扇形AOD＝2××4×4﹣＝16﹣π．【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了平行四边形的性质和圆周角定理．25．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）连AD，OD，则∠ADB＝∠ADC＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质得：EA＝ED，∠EDA＝∠EAD，由等腰三角形的性质得：∠ODA＝∠OAD，证得∠EDO＝∠EAO，即可得出结论；（2）证明：由切线的性质得：∠ODF＝∠FDB＋∠ODB＝∠FAD＋∠OBD＝90°，证出∠FDB ＝∠FAD，∠F为公共角，得出△FDB∽△FAD，由对应边成比例即可得出结论．【详解】（1）证明：连AD，OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠EDO＝∠EAO，∵AB⊥AC，∴∠EAO＝90°，∴∠EDO＝90°，∴DE为⊙O的切线；（2）证明：∵DE为⊙O的切线，∴∠ODF＝∠FDB+∠ODB＝∠FAD+∠OBD＝90°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠FDB＝∠FAD，又∵∠F为公共角，∴△FDB∽△FAD，∴DFAF＝BFDF，∴DF2＝BF•AF．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．26．（1）60，（2）【解析】【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得到，根据圆周角定理计算，得到答案；（2）根据直角三角形的性质求出OE，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理计算即可．【详解】解：（1）连接OD，∵AB⊥CD，∴，∴∠BOC＝∠BOD，由圆周角定理得，∠A＝∠BOD，∴∠A＝∠BOD，∵∠AOG＝∠BOD，∴∠A＝∠AOG，∵∠OF A＝90°，∴∠AOG＝60°；（2）∵∠AOG＝60°，∴∠COE＝60°，∴∠C＝30°，∴OE＝OC＝，∴CE＝，∵AB⊥CD，∴CD＝2CE＝．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质，掌握垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题的关键．27．15 4【解析】【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，可证出△BOD∽△BAC，则根据该相似三角形的对应边成比例得到OD OBAC AB=，从而求得该圆的半径r．【详解】连结OD，设⊙O的半径为r，∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC，∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC，∴OD OBAC AB= .即r6=10r10-，解得r＝15.4，∴⊙O的半径为15.4【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握切线的性质和相似三角形性质是解题的关键.28．(1)证明见解析；(2)FG＝.【解析】【分析】（1）连结OD，根据等边三角形的性质得∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB，所以∠ODB ＝60°＝∠C，于是可判断OD∥AC，又DF⊥AC，则OD⊥DF，根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线；（2）先证明OD为△ABC的中位线，得到BD＝CD＝4．在Rt△CDF中，由∠C＝60°，得∠CDF ＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF＝CD＝2，所以AF＝AC﹣CF＝6，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长．【详解】(1)连结OD，如图，∵△ABC为等边三角形∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；(2)解：∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴BD＝CD＝1在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝，∴AF＝AC﹣CF＝2﹣＝，在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF×sin A＝；【点睛】考查了切线的性质，等边三角形的性质以及解直角三角形等知识，连接圆心与切点的半径是解决问题的常用方法．。

点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定；会画三角形的外接圆，熟识相关概念.2. 理解直线与圆的各种位置关系, 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的为位置关系 1.已知⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线l 的距离d ＝OD ＝3cm ，在直线l 上有P 、Q 、R 三点，且有PD ＝4cm ，QD ＞4cm ，RD ＜4cm ，P 、Q 、R 三点与⊙O 位置关系各是怎样的?【答案与解析】依题意画出图形(如图所示)，计算出P 、Q 、R 三点到圆心的距离与圆的半径比较大小．连接PO ，QO ，RO ．∵ PD ＝4cm ，OD ＝3cm ，∴ PO ＝2222435PD OD r +=+==．∴ 点P 在⊙O 上． 222223435QO QD OD QD r =+=+>+==，∴ 点Q 在⊙O 外．2222223435RO RD OD RD r =+=+<+==，∴ 点R 在⊙O 内．【总结升华】判断点与圆的位置关系，关键是计算出点与圆心的距离，再与圆的半径比较大小，即可得出结论．类型二、直线与圆的位置关系2.（•武汉模拟）如图，以O 为原点建立平面直角坐标系，每一小格为一个单位，圆心为A （3，0）的⊙A 被y 轴截得的弦长BC=8，如图，解答下列问题：（1）⊙A 的直径为 ；（2）请在图中将⊙A 先向上平移6个单位，再向左平移花8个单位得到⊙D ，观察你所画的图形，则⊙D 的圆心D 的坐标为 ；⊙D 与x 轴的位置关系是 ，⊙D 与y 轴的位置关系是 ，⊙D 与⊙A 的位置关系是 ；【答案与解析】解：（1）半径==5，所以直径为10.（2）（﹣5，6）；相离；相切；外切；【总结升华】本题主要考查了平移作图即图形平移变换的知识，注意图形的平移，变化的是位置，不变的是形状．举一反三：【变式】（•甘南州）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是多少？【答案】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，可得OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD=BD，在Rt△ADO中，OD=3，OA=5，∴AD=4，∴AB=2AD=8；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB=10，所以AB的取值范围是8＜AB≤10．故答案为：8＜AB≤10.3.（·中山月考）如图所示，已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=12cm,以r为半径作⊙P．(1)当r=7cm时，试判断⊙P与OB位置关系；(2)若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件.【思路点拨】（1）过点P作PC⊥OB于点C，根据直角三角形的性质求出PC的长，再比较出PC与r的大小即可；（2）根据⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件.【答案与解析】解（1）过点P作PC⊥OB于点C，∵∠AOB=30°，∴11126()7.22PC OP cm cm ==⨯=＜∵PC＜r,∴⊙P与OB相交；（2）∵⊙P与OB相离，∴0＜r＜PC,∴0cm ＜r＜6cm.【总结升华】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键. 类型三、三角形的外接圆4.如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E，F分别是边AC和BC上的中点，试判断四边形CEDF的形状，并加以证明.【思路点拨】由垂径定理知，点D为AB中点，且AC=BC；再由中位线定义知，DE 12BC，DF12AC，从而可得四边形CEDF 为菱形.【答案与解析】四边形CEDF 为菱形.证明：∵AB 为弦，CD 为直径所在的直线，且AB ⊥CD ，∴AD=BD ，∠ADC=∠CDB ，在△ADC 和△BDC 中，==AD BD ADC BDC CD CD ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠，∴△ADC ≌△BDC （SAS ）∴AC=BC.又∵E ，F 分别为AC ，BC 的中点，D 为AB 中点， DF=CE=12AC ，DE=CF=12BC ， ∴DE=DF=CE=CF ，∴四边形CEDF 为菱形.【总结升华】本题主要考查外接圆与其他知识的综合.举一反三：【变式】如图，已知，在△ABC 中，AB=10，∠A=70°，∠B=50°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径.【答案】如图，连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接DB.由三角形内角和得，∠C=180°－70°－50°=60°.又∵∠D=∠C=60°且∠ABD=90°，在Rt △ABD 中，∠DAB=30°，AB=10， 由勾股定理得，AD=3 ∴半径AO=3即△ABC 外接圆⊙O 的半径为3O BACD类型四、圆与圆的位置关系5. 如图所示，⊙O 的半径为5，点P 为⊙O 外一点，OP ＝8．求：(1)以P 为圆心作⊙P 与⊙O相切，则⊙P 的半径为多少?(2)当⊙P 与⊙O 相交时，⊙P 的半径的取值范围为多少?【答案与解析】(1)当⊙P 与⊙O 外切时，则有5+r ＝8，∴ r ＝3．当⊙P 与⊙O 内切时，则有r -5＝8，∴ r ＝13．∴ 当r ＝3或13时，⊙O 与⊙P 相切．(2)当⊙P 与⊙O 相交时，则有| r -5|＜8＜r+5，解得3＜r ＜13，即当3＜r ＜13时，⊙P 与⊙O 相交．【总结升华】两圆相切包含两圆外切与两圆内切，两圆外切和内切的对应关系分别为d ＝R+r 和d ＝R -r (R ＞r )，它们起着分界作用，分别是外离与相交，相交与内含的分界点．可用图表示为：举一反三：【变式】已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，则O 1O 2的长是( )A ．1cmB ．5cmC ．1cm 或5cmD ．0.5cm 或2.5cm【答案】C提示：两圆相切包括外切和内切，当⊙O 1与⊙O 2外切时，d ＝O 1O 2＝R+r ＝3+2＝5(cm)；当⊙O 1与⊙O 2内切时，d ＝O 1O 2＝R-r ＝3-2＝1(cm)．故选C.点、直线、圆与圆的位置关系—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 ( ).A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交2.（•集美区一模）⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A．5 B．6 C．7 D．83.一个点与定圆上最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则此圆的半径是( ).A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.13cm或5cm4．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．A．5个圆B．8个圆C．10个圆D．12个圆5．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d=0有实根，则点P( )．A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．在⊙O上或⊙O的内部6．（•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题7．已知Rt△ABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程x2-7 x+12=0的两根，则此Rt△ABC的外接圆的半径为_________．8.（•杭州模拟）已知线段QP，AP=AQ，以QP为直径作圆，点A与此圆的位置关系是_____．9.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，以点C为圆心，作半径为R的圆，则当_____时，⊙O和直线AB相交.10．如图，OA=OB，点A的坐标是(-2,0),OB与x轴正方向夹角为60°，则过A，O, B三点的圆的圆心坐标是____________.11．（秋•榆阳区校级期末）已知点P到圆的最大距离为11，最小距离为7，则此圆的半径为 . 12．（•临清市二模）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB 上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm∕s的速度，沿由A向B的方向移动，那么秒种后⊙P与直线CD相切．三、解答题13. （•齐齐哈尔模拟）已知圆O的直径AB=4，半径OC⊥AB，在射线OB上有一点D，且点D与圆O上各点所连接线段最短为1，则CD的长为多少？14．（秋•集美区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，求AP的最小值．15．（秋•滨州期末）如图直角坐标系中，已知A（﹣8，0），B（0，6），点M在线段AB上．（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】如图，过C作CD⊥AB于点D，在Rt△CBD中，BC＝4cm，∠B＝30°，∴1142(cm)22CD BC==⨯=，又⊙C的半径为2cm，即d＝r，∴直线AB与⊙C相切．2．【答案】A；【解析】∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，∴OP＜6．故选A．3．【答案】A；【解析】如图，定点P与定圆⊙O的位置关系有两种：内部与外部.当P在圆内时，直径为9+4=13cm，半径为6.5cm;当P在圆外时，直径为9-4=5cm，半径为2.5cm.4．【答案】C；【解析】任意不在同一直线的三点确定一个圆，五个点中任取三个点,共有10种情况.5.【答案】B；【解析】因为方程有实根，所以△=b2-4ac=4-4d≥0，即d≤1，所以有d≤r，所以点在圆上或圆内. 6．【答案】B；【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．二、填空题7．【答案】2.5；【解析】解：解方程x2-7x+12=0，得：x1=3，x2=4，即两直角边AC、BC是3或4，根据勾股定理得：斜边长为：5，也就是Rt△ABC的外接圆直径为5，∴Rt△ABC的外接圆的半径为2.5．8．【答案】不能确定；【解析】设以QP为直径的圆为⊙O，则⊙O的半径为QP，如果OA＞QP，那么点A在圆O外；如果OA=QP，那么点A在圆O上；如果OA＜QP，那么点A在圆O内；∵题目没有告诉OA与QP的大小关系，∴以上三种情况都有可能，所以不能确定点A与圆的位置关系.9．【答案】R＞4.8 ；【解析】利用三角形的面积不变性，先求出斜边上的高，再求相交时的半径满足的要求即可. 10．【答案】(-1,3 )；【解析】如图，11.【答案】2或9.【解析】如图，分为两种情况：①当点P在圆内时，最近点的距离为7，最大距离为11，则直径是18，因而半径是9；②当点P在圆外时，最近点的距离为7，最大距离为11，则直径是4，因而半径是2．故此圆的半径为2或9．12．【答案】4或8；【解析】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E，∴PE=1cm，∵∠AOC=30°，∴OP=2PE=2cm，∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切，∴⊙P移动所用的时间==4（秒）；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F，∴PF=1cm，∵∠AOC=∠DOB=30°，∴OP=2PF=2cm，∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切，∴⊙P移动所用的时间==8（秒）．故答案为4或8．三、解答题13. 【答案与解析】解：如图，∵直径AB=4，∴OB=2，∵OC⊥AB，∴∠COB=90°，∵点D与圆O上各点所连接线段最短为1，∴BD=1，当点在⊙O外，OD=OB+BD=2+1=3，在Rt△COD中，CD==；当点在⊙O内，OD′=OB﹣BD′=2﹣1=1，在Rt△COD中，CD′==，∴CD的长为或．故答案为或．14. 【答案与解析】解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，∵AE==，P2E=1，∴AP2=﹣1．15. 【答案与解析】解：（1）直线OB与⊙M相切，理由：设线段OB的中点为D，连结MD，如图1，∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4．∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上，又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；（2）解：连接ME，MF，如图2，∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴，解得：k=，b=6，即直线AB的函数关系式是y=x+6，∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=x+6，得﹣a=a+6，得a=﹣，∴点M的坐标为（﹣，）．。