【2021版 九年级数学培优讲义】专题23 圆与圆的位置关系

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O C与圆有关的位置关系（讲义)知识点睛1. 点与圆的位置关系d 表示 的距离，r 表示．①点在圆外 ；A②点在圆上 ; ③点在圆内 ．三点定圆定理：．B注：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．2. 直线与圆的位置关系d 表示的距离,r 表示．①直线与圆相交 ; ②直线与圆相切 ; ③直线与圆相离 ．切线的判定定理:； 切线的性质定理： ．*切线长定理：． 注：与三角形各边都相切的圆叫做三角＊3. 圆与圆的位置关系d 表示 的距离，R 表示 ，r 表示 ．①圆与圆外离 ; ②圆与圆外切 ； ③圆与圆内切 ; ④圆与圆内含 ； ⑤圆与圆相交 ． 4. 圆内接正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的 . 正多边形的中心：；OOOO 1 O 2O 1O2O 1O 2O 1O 2O 2O 1 与圆有关的位置关系,关键是找 d ．和 ．r ． 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形．5 正多边形的半径： ; 正多边形的中心角: ; 正多边形的边心距：．精讲精练1. 矩形ABC D 中,AB =8，BC3，点P 在AB 边上，且BP =3AP ,如果圆 P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的圆,那么下列判断正确的是（ )A ．点B ，C 均在圆 P 外B ．点 B 在圆 P 外、点C 在圆 P 内C ．点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外D ．点 B ，C 均在圆 P 内 2. 如图，在 5×5 的正方形网格中，一条圆弧经过 A ，B ，C 三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是点 ．第 2 题图 第 3 题图3. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示， 为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ) A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块 D ．第④块A4. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°， ∠A =60°,BC =4 cm,以点 C 为圆心,以 3 cm 长为半径作圆，则⊙C 与 AB 的位置关系是 ． CB5. 在 Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =3，BC =4．以 C 为圆心,R 为半径所作的圆与斜边 AB 有且只有一个公共点，则 R 的取值范围是 ． 6. 在△ABC 中，∠C =90°，AC =3 cm,BC =4 cm ．若⊙A ，⊙B 的半径分别为 1 cm,4 cm,则⊙A ，⊙B 的位置关系是 ．ABCP Q R M②① ③④O7. 若有两圆相交于两点，且圆心距为 13 cm ，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径( ） A ．25 cm ，40 cm B ．20 cm ，30 cm C ．1 cm,10 cm D ．5 cm ，7 cm8. 如图,AB 是⊙O 的直径,C ，D 是⊙O 上的两点，∠CDB =20°， 过点 C 作⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 E ，则∠E = ．AP第 8 题图 第 9 题图9. 如图,PA ，PB 是⊙O 的切线,A ,B 是切点，点 C 是劣弧 AB 上的一个动点，若∠P =40°，则∠ACB = ．10. 如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是 ⊙O 上两点，如果∠E =46°，∠DCF =32°，那么∠A = ．AE DF EC FBC第 10 题图 第 11 题图1. 如图,O 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，⊙O 与边 AB ， BC 都相切，点 E ,F 分别在边 AD ，DC 上．现将△DEF 沿着 EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切,此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE =2,则正方形 ABCD 的边长是 ．12. 如图，在⊙O 中，FC 为直径，长为 8．分别以 F ，C 为圆心, 以⊙O 的半径 R 为半径作弧，与⊙O 相交于点 E ，A 和 D ，B , 则 A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O顺次连接 AB ,BC ，CD ,DE ，EF ，FA ． 过点 O 作 OG ⊥BC ,垂足为 G ，则 OG 长为 ．AB3 3 A F O M CD ， , , 13. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，半径为 4，则这个正︵六边形的边心距 OM 和BC 的长分别为（ )A ． 23 B ． 2 3 ，C ．2 3 D ． 2 4 B E 314. 如图，⊙O 的直径为 AB ，点 C 在圆周上（异于 A ,B ），AD ⊥CD ．（1)若 BC =3，AB =5,求 AC 的长；（2）若 AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线 CD 是⊙O 的切线．DCAOB15. 如图，在△ABC 中,∠C =90°，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径的⊙O 交 AB 于点 D ，BD 的垂直平分线交 BC 于点 E ，交 BD 于点 F ，连接 DE ．（1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC =6，BC =8，OA =2，求线段 DE 的长．EO ADFB【参考答案】知识点睛1.点到圆心;圆的半径; d r ;d r ；d r ．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2.圆心O 到直线l；圆的半径；d r ；d r ；d r ．经过半径的外端且垂直于该半径的直线是圆的切线; 圆的切线垂直于过切点的半径．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3.圆心之间；大圆半径;小圆半径．d R r ; d R r ；d R r ；0 ≤d R r ;R r d R r ．4.顶点都在同一圆上的正多边形；外接圆．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心; 外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角; 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．精讲精练1.C2.Q3.B4.相交5. 3 R ≤4 或R 1256.外切7.B8. 50°9. 110°10. 99°11. 212。

初三数学圆和圆的位置关系知识精讲圆和圆的位置关系1. 基本概念（1）两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义；（2）两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义； （3）两圆的连心线、圆心距、公共弦。

两圆的位置 圆心距d 与两圆的半径R 、r 的关系 外公切线条数内公切线条数公切线条数外离 d R r >+ 2 2 4 外切 d R r =+2 13 相交 R r d R r R r -<<+≥()2 0 2 内切 d R r R r =->()1 0 1 内含d R r R r <->()说明：（1）两圆的位置关系和半径，圆心距的数量关系是互相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系，知道数量关系也可以确定位置关系；（2）如果遇到“相离”或“相切”问题时，都要分两种情况来解决。

3. 相交两圆的性质相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

4. 相切两圆的性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。

5. 两圆中常引用的辅助线（1）相切：过切点引公切线，引连心线。

（2）相交：引连心线、公共弦（将两圆半径、圆心距、公共弦的一半集中在一个三角形中） （3）遇两条内公切线或外公切线：引过切点的半径，构造直角三角形（将半径、圆心距、例：（1997某某）如图，已知：两圆内切于点A，P是两圆公切线上的一点过P作小圆的割线PBC，连结AB、AC，并延长分别交大圆于D、E，求证：PCPBAEAD=22。

证明：连结DEPA是两圆的公切线，∴∠=∠=∠PAD PCA E∴∴=BC DEAEADACAB//PA是⊙O1的切线，PBC是⊙O1的割线∴=⋅PA PB PC2又 ∠=∠∠=∠PCA PAB CPA APB，∴∴=∆∆PAB PCAACABPCPA~∴=∴==⋅=AEADPCPAAEADPCPAPCPB PCPCPB22222即PCPBAEAD=22说明：相切两圆中公切线是联系两圆中角的最有利条件，利用两圆的公切线，构造两圆的弦切角来进行角的转化。

九年级数学圆与圆的位置关系在我们学习数学的过程中，有些知识总是能让人拍案叫绝，比如说圆与圆之间的位置关系。

你想啊，两个圆就像两个好朋友，有时候紧紧相拥，有时候则是形同陌路。

今天咱们就来聊聊这些圆的“社交”动态，保准让你听了哈哈大笑，边学边乐。

首先呢，咱们得知道圆和圆之间的基本关系。

两个圆如果能够相交，形成两个交点，那就叫做“相交”。

这就好比是两位朋友在某个聚会上聊得火热，结果发现两个人的兴趣爱好还真是有那么一点点相似，嘿嘿，意外的发现吧。

如果这两个圆的距离刚刚好，让它们只轻轻碰了一下，那就叫做“相切”。

就像两个朋友在街上偶遇，点头致意一下，心照不宣，继续各自的旅程，既亲密又有些距离。

哦，对了，记得咱们的圆心距离和半径的关系。

圆心距小于半径之和，那就能相交；等于半径之和，那就相切；大于半径之和，嘿，那就各自飞了。

咱们得聊聊“相离”这种情况。

两圆如果完全不相交，远得像两个恋人各自生活在两个城市，联系得少之又少，那就是“相离”。

你想啊，两个圆心的距离大于半径之和，真是远得像是天涯海角，不同的生活方式，不同的爱好，没啥交集，生活就这么各自精彩。

想象一下，两个圆在画纸上悄悄地待着，互不干扰，彼此就是那种“风马牛不相及”的感觉。

再来看看特殊的情况。

比如，当两个圆的圆心重合，但半径不同，那就有点意思了。

想象一下，有个圆在外面转来转去，另一个圆在它的“肚子”里悄悄待着。

这个时候，内圆完全被外圆包裹住了，像极了朋友间的包容。

总有那么一个人，给你无条件的支持，虽然不总是被看到，但心里永远有那么一个位置。

可惜，这种情况可不是每个人都能理解的。

说到这里，咱们再来琢磨一下这些圆之间的关系的意义。

生活中，朋友之间的关系也好，爱人之间的互动也罢，都是那么复杂又简单。

有人总是希望彼此相交，有人则想要独立。

相交的朋友就像是在一起打游戏，总是能碰撞出各种火花，而相切的朋友则是在适当的时候给予彼此空间，既能相互支持，又能保留个人的独特性。

圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）◎圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）的定义圆和圆的位置关系：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

◎圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）的知识扩展1、圆和圆的位置关系：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离d>R+r两圆外切d=R+r两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）两圆内切d=R-r（R>r）两圆内含d<R-r（R>r）4、两圆相切的性质：（1）连心线：两圆圆心的连线。

（2）两圆相切的性质：相切两圆的连心线必过切点，即两圆圆心、切点三点在一条直线上。

◎圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）的特性圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离d>R+r（没有交点）两圆外切d=R+r （有一个交点，叫切点）两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）(有两个交点)两圆内切d=R-r（R>r） (有一个交点,叫切点)两圆内含d<R-r（R>r）(没有交点)两圆相切的性质：（1）连心线：两圆圆心的连线。

（2）两圆相切的性质：相切两圆的连心线必过切点，即两圆圆心、切点三点在一条直线上。

◎圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）的教学目标1、掌握圆和圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法并能解决简单的问题。