培优训练之《直线与圆的位置关系、切线》专题

24.2.2 直线和圆的位置关系(切线的判定与性质专题训练切线的判定定理：，几何语言：已知：结论：切线的性质定理:几何语言：已知：结论:针对性练习1．(2014 年天津市，第7 题3 分)如图，AB 是⊙O的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心．若∠B=25°，则∠C 的大小等于（）A．20°B．25 C．40°D．50°2. （2014•益阳，第8 题，4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2 的⊙P 的圆心P 的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．1 或5 C．3 D．53.（2014 年ft东泰安，第18 题3 分）如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C，点D 是⊙上一点，连接P D．已知PC=PD=B C．下列结论：（1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形PCBD 是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为（）A．4 个B．3 C . 2 个D． 1 个4．（2014•四川自贡，第14 题4 分）一个边长为4cm 的等边三角形ABC 与⊙O 等高，如图放置，⊙O 与BC 相切于点C，⊙O 与AC 相交于点E，则CE 的长为cm．5. （2014•湘潭，第14 题，3 分）如图，⊙O 的半径为3，P 是CB 延长线上一点，PO=5，PA 切⊙O 于A 点，则PA= ．6．（2014•新疆，第21 题10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点F，C 是⊙O 上两点，且==，连接AC，AF，过点C 作CD⊥AF 交AF 延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若CD=2，求⊙O 的半径．7.（2014•毕节地区，第26 题14 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D，连接C D．（1）求证：∠A=∠BCD；D1O E（2）若M 为线段BC 上一点，试问当点M 在什么位置时，8．（2014·云南昆明，第22 题8 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，D 是边AC 上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E 是BC 上的一点，以BE 为直径的⊙O 经过点D.直线DM 与⊙O 相切？并说明理由．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；AB C图 22图图9.（2014•滨州，第21 题8 分）如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；10．（2014•德州，第22 题10 分）如图，⊙O 的直径AB 为10cm，弦BC 为5cm，D、E 分别是∠ACB 的平分线与⊙O，AB 的交点，P 为AB 延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD 的长；（2）试判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．2 311.（2014•菏泽，第 18 题 10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，连接 BC ，AC ，作 OD ∥BC 与过点 A 的切线交于点 D ，连接 DC 并延长交 AB 的延长线于点 E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；达标测试1（2011 四川眉ft ，11，3 分）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，∠P=50°，则∠BOC 的度数为（ ）考查了圆的切线的性质 A ．50° B ．25° C ．40° D ．60° 2. （2011 成都，10，3 分）已知⊙O 的面积为 9πcm 2，若点 0 到直线 l 的距离为 πcm ，则直线 l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定 3. 如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C ，交 AB 的延长线于 D ， 且 CO=CD ，则∠PCA=（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、67.5° 4. （2011 黑龙江大庆，10，3 分）已知⊙O 的半径为 1，圆心 O 到直线 l的距离为 2，过 l 上任一点 A 作⊙O 的切线，切点为 B ，则线段 AB 长度的最小值为（）A 、1B 、C 、D 、25. （2011 贵州遵义，9，3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点 D ，DE⊥AC 于点 E ，要使 DE 是⊙O 的切线，还需补充一个条件， 则补充的条件不正确的是（ ） A. DE ＝DO B. AB ＝AC C. CD ＝DBD. AC∥OD6. （2014•无锡，第 8 题 3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为 D ，CD 与 AB 的延长线交于点 C ，∠A =30°，给出下面 3 个结论：①AD =CD ；②BD =BC ；③AB =2BC ，其中正确结论的个数是（ ）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 07.（2014•黑龙江哈尔滨,第 7 题 3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接OC 交⊙O 于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD 的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°8．（2014•青岛，第12 题3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，BD，CD 分别是过⊙O 上点B，C 的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A 的度数是°．9．（2014•四川成都,第14 题4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点D，连接A D．若∠A=25°，则∠C= 度．10. （2014•随州，第22 题8 分）如图，⊙O 中，点C 为的中点，∠ACB=120°，OC 的延长线与AD 交于点D，且∠D=∠B．（1）求证：AD 与⊙O 相切；11、（2014•宁夏，第23 题8 分）在等边△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 与AB 交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE 为⊙O 的切线；12．（2014•攀枝花，第21 题8 分）如图，△ABC 的边AB 为⊙O 的直径，BC 与圆交于点D，D 为BC 的中点，过D 作DE⊥AC 于E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE 为⊙O 的切线；。

直线与圆的位置关系知识点及例题Prepared on 22 November 2020直线与圆的位置关系一、知识点梳理1、直线与圆的位置关系：图形名称相离相切相交判定d>r d=r d<r交点个数无1个2个例1、下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．A．①②③ B．①② C．②③ D．③例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．例4、下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线例5．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切2、切线的判定：（1）根据切线的定义判定：即与圆有一个公共点的直线是圆的切线.（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定切线时常用的辅助线作法：（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直.（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.例6、判断下列命题是否正确（1）经过半径的外端的直线是圆的切线（2）垂直于半径的直线是圆的切线；（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．3、切线的性质：1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第三个作为结论4、切线长定理：切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．例12、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。

第19讲 直线与圆的位置关系1．了解直线和圆的三种位置关系，了解圆的切线的概念，掌握直线与圆相切的判定及性质，会判断一条直线是否为圆的切线，会过圆上的点画圆的切线，会切线性质的简单应用．2．理解两圆相切的概念，掌握两圆相切的性质及应用，了解两圆的位置关系及其判定，会进行涉及两圆位置关系的简单计算，掌握两圆连心线垂直平分公共弦这一性质．3．和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形，三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，三角形的内心是三角形的三个内角平分线的交点，它到三角形的三边距离相等，学会作一个三角形的内切圆，会进行有关三角形内切圆的计算和论证．1．直线与圆的位置关系中出现的问题，具有较高的综合性，因此在分析和解决问题时，需要较强的空间想象能力和逻辑推理能力，充分注意挖掘题中的基本图形，化繁为简．2．圆中常见的辅助线：遇到直径，一般要引直径所对的圆周角；遇到切线，一般要引过切点的半径；遇到两圆相切，一般要引两圆的公切线（内公切线或外公切线）；遇到两圆相交，一般要引两圆的公共弦或连心线．3．掌握直角三角形内切圆半径的两种表示形式： ⋅-+=2)1(c b a r(2)[ab r Rt ABC a b c =∆++的各边长分别为a ，b ，c （斜边）]．例1 如图，⊙0是以数轴原点0为圆心、半径为1的圆，=∠AOB ,45 点P 在x 轴上运动，过点P 且与OB平行的直线与⊙O 有公共点，则OP 的取值范围是____．【方法归纳】 直线与圆有三种位置关系：相交、相切与相离，当圆心到直线的距离d<r(r 为圆半径)时，直线与圆相交；当d=r 时，直线与圆相切；当d>r 时，直线与圆相离．【误区提醒】本题考查直线与圆的位置关系．解答本题的关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP 的值．例2 如图1，已知CD 是△.ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙0分别交CA ，CB 于点E ，F ，G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙0的切线，图1【方法归纳】切线的判定有两种情况：(1)直线与圆的公共点已知，常连接过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径．(2)直线与圆的公共点未知，常过圆心作直线的垂线段，然后证明这条垂线段等于圆的半径．切线的性质：①切线与圆只有一个公共点；②切线到圆的距离等于半径；③切线垂直于经过切点的半径，【误区提醒】切线的判定与性质容易混淆，在解题时要注意条件，例3 如图1，已知△ABC 内接于⊙0，AB 是⊙0的直径，点F 在⊙0上，且C 是BF 的中点，过点C 作⊙0的切线交AB 的延长线于点D ，交AF 的延长线于点E.(1)求证：.DE AE ⊥(2)若,4,60==∠AF BAF求CE 的长，图1【方法归纳】本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，本题同时也考查圆周角定理．【误区提醒】利用切线的性质通常是连切点与圆心得到与切线垂直的半径，但要注意这是已知切点的情况，若切点未知，往往是先作与切线垂直的半径，得到切点，例4 阅读材料：如图1，△ABC的周长为L，内切圆⊙0的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形，S△ABC表示△ABC的面积．图1 图2【方法归纳】 本题是近几年中考中的热点问题——阅读理解问题，这类问题往往由三部分组成，分别是“理解与应用”“类比与推理”“拓展与延伸”，在解题时要充分理解题意，找出题中的关键语句，也可带着问题去看题目，要充分注意题目中的思想方法．【误区提醒】三角形的内切圆这部分知识涉及切线长定理、方程思想，在解题过程中要注意合理运用，例5 如图1，在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的⊙0交BC 边于点D ，交AC 边于点E.过点D 作⊙0的切线，交AC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，连接DE.(1)求证：BD=CD.(2)若,40=∠G 求∠AED 的度数．(3)若,2,6==CF BG 求⊙0的半径．图1【方法归纳】本题考查切线的性质、圆内接四边形的性质、相似三角形的性质和判定、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，能综合运用知识点进行推理是解题的关键，【误区提醒】圆的相关问题通常都是转化为三角形问题解决，直角三角形的勾股定理、相似三角形的比例关系都是常用的等量关系，方程思想是常用的思想方法，解题时要认真分析题意、研究图形，得到正确的数量关系，例【黔南州】如图1，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于点A，交x轴于点B，C（点B在点C的左侧），已知点A的坐标为(O，3)．(1)求此抛物线的表达式．(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，切点为E，请判断抛物线的对称轴Z与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．(3)已知P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时点P的坐标和△PAC的最大面积，图1【方法归纳】本题涉及的知识点较多，要求学生全面掌握基础知识、熟练运用常用的知识和方法．从难度上看，本题难度并不高，因此区分度也不高；从题目的形式上看，本题属于经典的压轴题，立意明确、中规中矩，针对性很强，但是缺乏变化和新意．1．如图，,30o O =∠C 为OB 上一点，且6,oc =以点C 为圆心、3为半径的圆与OA 的位置关系是( )．A ．相离B ．相交 C.相切 D ．以上三种情况均有可能2．【深圳】如图，一把直尺、有一角为 60的直角三角板和光盘按如图摆放，A 为 60角与直尺的交点，AB=3，则光盘的直径是 ( )．3.A 33.B 6.C 36.D3．如图，AB 是⊙0的直径，C 是AB 延长线上一点，CE OB BC ,=是⊙0的切线，切点为D ，过点A 作,CE AE ⊥ 垂足为E ，则DE CD :的值是( )．21.A 1.B2.C3.D4．【泰安】如图，圆内接四边形ABCD 的边AB 过圆心0，过点C 的切线与边AD 所在的直线垂直于点M ．若,55 =∠ABC 则∠ACD 等于( )．o A 20. 35.B 40.C 55.D5．已知BC AC ⊥于点,,,,c AB b CA a BC C ===下列各图中⊙0的半径为ba ab +的是( )．6．已知,90 =∠BAC 半径为r(r 为常数)的⊙0与两条直角边AB ，AC 都相切，设),(r a a AB >=BE 与⊙0相切于点E ，当150=∠ABE 时，BE 的长为( )． r A 23. r B 33. r C 215.- r D )32.(-7．【安徽】如图，菱形ABOC 的边AB ，AC 分别与⊙0相切于点D ，E ．若D 是AB 的中点，则∠DOE =_________.（第7题） （第8题）8．【宁波】如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连接PM ，以点P 为圆心、PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时,BP 的长为_________.9．如图，P AB AC AB DB AB CA ,6,2,,==⊥⊥为射线BD 上一动点，以CP 为直径作⊙0，点P 运动时，若⊙0与线段AB 有公共点，则BP 的最大值为_________．（第9题） （第10题）10．如图，已知△ABC 中，O C BC AC .90,6 =∠==是 AB 的中点，⊙0与AC ，BC 分别相切于点D 与点E.F 是⊙O 与AB 的一个交点，连接DF 并延长交CB 的延长线于点G ，则CG=_________11.如图，AB 为⊙0的直径，AC 是⊙0的弦，AD 垂直于过点C 的直线CD ，垂足为D ，且AC 平分∠BAD.(1)求证：CD 是⊙0的切线．(2)若,5,1==AB AD 求AC 的长．12.如图，⊙0的圆心0在Rt△.ABC 的直角边AC 上，⊙0经过C ，D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO ，ED ，有BO∥ED，作弦AC EF ⊥于点G ，连接DF ．(1)求证：AB 为⊙0的切线．(2)若⊙0的半径为,53sin ,5=∠DFE 求EF 的长．13．如图，AB ，CD 为⊙0的直径，弦AE∥CD，连接BE 交CD 于点F ，过点E 作直线EP 与CD 的延长线交于点P ，使∠PED=∠C.(1)求证：PE 是⊙0的切线．(2)求证：ED 平分∠BEP.(3)若⊙0的半径为5，CF=2EF ，求PD 的长，14．【深圳】如图，△ABC 内接于⊙0，,,2AC AB BC ==D 为 AC 上的动点，且⋅=1010cos B (1)求AB 的长度．(2)在点D 的运动过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，AD ．AE 的值是否变化？若不变，请求出AD ．AE 的值；若变化，请说明理由．(3)在点D 的运动过程中，过点A 作,BD AH ⊥求证：.DH CD BH +=1．【眉山】如图，AB 是⊙0的直径，PA 切⊙0于点A ，线段PO 交⊙0于点C ．连接BC.若=∠P ,36 则∠B 等于( )．27.A 32.B 36.C 54.D2．【重庆】如图，已知AB 是⊙0的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与⊙0相切于点D ，过点B 作PD 的垂线 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为,6,4=BC 则PA 的长为( )．4.A 32.B 3.C5.2.D（第2题） （第3题）3．【无锡】如图，在矩形ABCD 中，G 是BC 的中点，过A ，D ，G 三点的⊙0与边AB ，CD 分别交于点E ，F ，给出下列说法：①AC 与BD 的交点是⊙0的圆心；②AF 与DE 的交点是⊙0的圆心；③BC 与⊙O 相切．其中正确说法的个数是( )．0.A 1.B 2.C 3.D4．【无锡】如图，菱形ABCD 的边,20=AB 面积为,320,90<∠BAD ⊙0与边AB ，AD 都相切，,10=AO 则⊙0的半径长等于( )． 5.A 6.B 52.C 23.D（第4题） （第5题）5．【台州】如图，在△ ABC 中，,6,8,10===BC AC AB 以边AB 的中点0为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )．6.A 1132.+B 9.C 332.D6．【长沙】如图，点A ，B ，D 在⊙0上，20,A BC ∠=是⊙0的切线，B 为切点，OD 的延长线交BC 于点C ，则 OCB ∠=（第6题） （第7题）7．【威海】如图，在扇形CAB 中，,AB CD ⊥垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为____．8．【大庆】已知直线)0(=/=k kx y 经过点(12，-5)，将直线向上平移)0(>m m 个单位，若平移后得到的直线与 半径为6的⊙0相交(O 为坐标原点)，则m 的取值范围是__________.9．【南京】如图，在矩形ABCD 中，,4,5==BC AB 以CD 为直径作⊙O.将矩形ABCD 绕点C 旋转，使所得矩形///A B CD的边//A B 与⊙0相切，切点为E ，边/CD 与⊙O 相交于点F ，则CF 的长为_________.（第9题） （第10题）10.【泰州】如图，在△ABC 中，,135sin ,90==∠A ACB ,12=AC 将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转 90得到 //,A B C P ∆为线段//A B 上的动点，以P 为圆心、/PA 长为半径作⊙P ，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为11．【北京】如图，AB 是⊙0的直径，过⊙0外一点P 作⊙O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ．CD ．(1)求证：.CD OP ⊥(2)连接AD ，BC ，若OA CBA DAB ,70,50=∠=∠,2=求OP 的长．12．【黔西南州】如图，已知AB 为⊙0的直径，D 是BC 的中点，AC DE ⊥交AC 的延长线于点E ，⊙0的切线 交AD 的延长线于点F ．(1)求证：直线DE 与⊙0相切．(2)已知AB DG ⊥且,4=DE ⊙O 的半径为5，求F ∠tan 的值．13.【德阳】如图，在直角三角形ABC 中，H ACB ,90 =∠是△ABC 的内心，AH 的延长线和△ABC 的外接圆⊙O 相交于点D ，连接DB.(1)求证：.DB DH =(2)过点D 作BC 的平行线，分别交AC ，AB 的延长线于点E ，F ，已知,1=CE ⊙0的直径为5．①求证：EF 为⊙O 的切线．②求DF 的长．14.【广西】如图，△ABC 内接于⊙0，∠CBG=∠A，CD 为直径，OC 与AB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥ BC，垂足为F ，延长CD 交GB 的延长线于点P ，连接BD.(1)求证：PG 与⊙0相切．(2)若,85=AC EF 求BE OC的值． (3)在(2)的条件下，若⊙0的半径为,,8OD PD =求OE 的长．1．【全国初中数学联合竞赛】如图，已知AB 是⊙0的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，若D AC CE DE ,58,43==为EF 的中点，则=AB _______.（第1题） （第2题）2．如图，正方形ABCD 的边长为4，以AB 为直径向正方形内作半圆，CM 与DN 是半圆的切线，M ，N 为切点，若CM与DN 交于正方形内一点P ，则△PMN 的面积是______．3．【无锡】如图，菱形ABCD 的边长为=∠DAB cm ,2.60 点P 从点A 出发，以s cm /3的速度，沿AC 向点C 做匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以1 cm/s 的速度，沿射线AB 做匀速运动，当点P 运动到点C 时，点P ，Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t(s)．(1)当点P 异于点A ，C 时，请说明PQ∥BC.(2)以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，在整个运动过程中，t 为何值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？4．【扬州】如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点0在坐标原点，顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正 半轴上，且2,1,OA OC ==矩形对角线AC ，OB 相交于点E ，过点E 的直线与边OA ，BC 分别相交于点G,H ．图1 图2(1)①直接写出点E 的坐标：_______．②求证：AG=CH.(2)如图2，以0为圆心、OC 为半径的圆弧交OA 于点D ，若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F ，求直线GH 的函数表达式．(3)在(2)的结论下，梯形ABHG 的内部有一点P ，当⊙P 与HG ，GA ，AB 都相切时，求⊙P 的半径.答案。

直线与圆的地位关系——切线成绩【引例】.13)3,2(23,2)1(,1)3(22求切线长的最小值为切点，，的切线作圆上一动点，过点为直线）若（的圆的切线段长；）求过点（方程；）作圆的切线，求切线（点过：已知圆A PA C P x y P P P y x C +==+-【变式训练】.,,1)3(1122最大为何值时，为切点，则当，的切线：作圆上一动点，过点点为直线：已知变式APB PC B A PB PA y x C P x y P ∠=+-+=_____,1)3(1222面积的最小值为为切点，则四边形、，的切线：作圆上一动点，过点为直线：已知变式PACB B A PB PA y x C P x y P =+-+=______2,,1)3()0(1322的值为，则长的最小值为为切点，若弦，的切线：作圆上一动点，过点为直线：已知点变式k AB B A PB PA y x C P k kx y P =+->+=_____,,1)3(1422的最小值为为切点，则，的切线：作圆上一动点，过点点为直线：已知变式PB PA B A PB PA y x C P x y P ⋅=+-+=【拓展延伸】）的取值范围是（上运动时，：）在圆（当的面积为记四边形的切线，切点为作圆外一点，过点：）是圆（已知)(4)3()1(,),(,,1)3(,22002200P f y x D y x P P f PACB B A C P y x C y x P =+++=+-A.B.C.D.【归纳小结】这节课的播种【巩固训练】_____________0424)2,3(.122的切线方程是的圆过点=+-++y x y x M ___________,),1,2(032.),,0()2019.(2==--=+-r m A C y x r m C 则相切于点圆与若直线半径长是的圆心坐标是已知圆浙江 _______,,1)3,1()2015.(322=⋅=+PB PA B A y x P 则为的两条切线，切点分别作圆过点山东 ______90,,01421.422=∠=+-++-=k APB B A y y x x C P kx y l 则实数，的最大值为若切点分别为的两条切线，：作圆上一点：过直线 _____022)1,2(.5222的值为时作切线，当切线长最短向圆从点m m y mx y x P =+--+-。

2422直线和圆的位置关系切线的判定和性质教学目标: 知识与技能:使学生掌握圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力。

过程与方法:培养学生的观察能力、研究问题的能力、数学思维能力以及创新意识，充分领会数学转化思想。

情感、态度与价值观:通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐，养成动手、动脑的习惯，并养成实事求是的科学态度。

学情分析:学生已经掌握了与圆有关的性质，切线的定义等，九年级学生经过两年多的学习，已经积累了动手操作，探究问题的经验，也具备了探究问题，合作交流、逻辑推理能力等。

教学重难点: 重点：探索圆的切线的判定方法，并能运用圆的切线的判定和性质解决问题。

难点：能运用圆的切线的判定和性质解决问题。

四、教法与学法分析: 教法：本节课注重直观，注重动手，注重探索能力的培养，根据本节课的内容和学生的认知水平，主要采用“教师引导，学生探究、发现”的教学方法。

学法：使用探究式的学习方法，尽量让学生在动口说、动脑想、动手操作中获得更多的参与机会，从中学会分析、解决问题的方法。

教学过程: 活动1复习引入1复习点与圆的位置关系、直线和圆的位置关系。

2、练习：圆的直径是13 cm,如果直线和圆心的距离分别是①4.5 cm；②6.5 cm；③8 cm,那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？3、目前能说明直线是圆的切线的方法有哪些?利用切线的定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

利用d 与r 的关系作判断：当d = r 时直线是圆的切线。

活动2：共同探讨、发现定理动手操作：在纸上画O 0,在O O 上任取一点A ，连结0A ，过A 点作直线I 丄0A 于点A 。

问题1直线I 是否与O 0相切呢?启发学生得出结论：由于圆心 0到直线I 的距离等于半径，即d=r ，因此直线I 一定与圆 相切。

轧东卡州北占业市传业学校2．1 直线与圆的位置关系切线的性质第一卷〔选择题〕一、选择题〔共10小题，3*10=30〕1.如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝20°，那么∠C的度数是〔〕A．25° B．65° C．50° D．75°2. 如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.∠A＝30°，那么∠C的大小是( )A．30° B．45° C．60° D．40°3. 如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，那么PB的长为〔〕A．5 B．4 C．3 D．24.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连结OC交⊙O于点D，连结BD，∠C＝40°，那么∠ABD 的度数是( )A．30° B．25° C．20° D．15°5.如图，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，假设∠PAB=40°，那么∠AOB=〔〕A．80°B．60°C．40°D．20°6. 如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一点，那么∠ACB等于〔〕A．80°B．50°或130°C．100°D．40°7. 如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，假设∠APB=60°，那么∠COD的度数〔〕A ．50°B ．60°C ．70°D ．75°8．如图，AB 为⊙O 的直径，PC 切⊙O 于C 交AB 的延长线于点P ，∠CAP=35°，那么∠CPO 的度数等于〔 〕A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°9. 如图，在同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，AB=8，那么圆环的面积是〔 〕A ．8B ．16C ．16πD ．8π10. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，∠A=35°，过C 点的切线与OB 的延长线交于点D ，那么∠D 的度数为〔 〕A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°第二卷〔非选择题〕二．填空题〔共8小题，3*8=24〕11．如图，直线PA 切⊙O 于点A ，OP ＝2，AP ＝3，弦AB ⊥OP 于点C ，那么AC ＝ ． 12．如图，⊙O 的半径为3，P 是CB 延长线上一点，PO ＝5，PA 切⊙O 于A 点，那么PA ＝____．13.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点D.假设∠A ＝30°，AD ＝2，那么BC 的为________．14.如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF 且EF ∥MN ，那么cos ∠E ＝____．15.如图，⊙O 的半径为1，圆心O 在正三角形ABC 的边AB 上沿图示方向移动，当⊙O 移动到与AC 边相切时，OA 的长为_______．16. 如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 交于点C ，假设∠BAO=40°，那么∠OCB 的度数为 ．17.．如图，在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝32，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ (点Q 为切点)，那么切线PQ 的最小值为_______.18.如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC ，CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，假设⊙O 的半径为52，CD ＝4，那么弦AC 的长为______．三．解答题〔共7小题， 46分〕19.(6分) 如图，半径OA ⊥OB ，P 是OB 延长线上一点，PA 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交PO 于C 点，求证：PC=CD ．20．(6分) 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，以AB 上一点O 为圆心，OA 长为半径的圆与BC 相切于点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ，假设AC ＝6，AB ＝10，求⊙O 的半径；21. (6分)如图，OA 、OB 是⊙O 的半径，OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线，点D 是切点，连接AD 交OB 于点E ．求证：CD=CE ．22．(6分) 如图，⊙O 的半径为4，B 为⊙O 外一点，连结OB ，且OB ＝6.过点B 作⊙O 的切线BD ，切点为点D ，延长BO 交⊙O 于点A ，过点A 作切线BD 的垂线，垂足为点C.(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)求AC 的长．23.(6分) 如图，AB 是⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，P 是AB 延长线上一点，PD 切⊙O 于点D ，CD 交AB 于点E ，判断△PDE 的形状，并说明理由．24．(8分) 如图，△ABC 内接于⊙O ，OH ⊥AC 于点H ，过A 点的切线与OC 的延长线交于点D ，∠B ＝30°，OH ＝53，请求出：(1)∠AOC 的度数；(2)劣弧AC ︵的长；(结果保存π)(3)线段AD 的长．(结果保存根号)25. (8分) 如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 均为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径．求证： 〔1〕∠APB=2∠ABC ；〔2〕AC ∥OP ．参考答案1-5 CABBA6-10 BBBCA 11.12. 4 13. 14. 15.16. 65° 17. 218.19. 解：∵CD 为⊙O 的切线，∴∠ODC=90°，∴∠ADO+∠PDC=90°，而OA=OD ，∴∠ADO=∠A ，∴∠A+∠PDC=90°，∵OA ⊥OB ，∴∠A+∠P=90°，∴∠PDC=∠P ，∴PC=CD ．20.解：连结OD ，设⊙O 的半径为r ，∵BC 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥BC ，∵∠C ＝90°，∴OD ∥AC ，∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC ＝OB AB .即r 6＝10－r 10，解得r ＝154，∴⊙O 的半径为15421.解：连接OD ，∵OA ⊥OB ，CD 切⊙O 于D ，∴∠AOE=∠ODC=90°，∴∠A+∠AEO=90°，∠ODA+∠CDE=90°，∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA ，∴∠AEO=∠EDC ，∵∠AEO=∠CED ，∴∠CED=∠EDC ，∴CD=CE ．22. 解：连结OD ，∵BD 是⊙O 的切线，D 为切点，∴OD ⊥BC ，又∵AC ⊥BD ，∴OD ∥AC ，∴∠ODA ＝∠DAC ，又∵OD ＝OA ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠OAD ＝∠DAC ，∴AD 平分∠BAC (2)∵OD ∥AC ，∴△BOD ∽△BAC ，∴OD AC＝BOBA，∴4AC＝610，∴AC＝20323. 解：△PDE是等腰三角形．理由是：连接OD，∵OC⊥AB，∴∠CEO+∠OCE=90°，∵OC=OD，∴∠OCE=∠ODE，∵PD切⊙O，∴∠ODE+∠PDE=90°，∵∠OEC=∠PED，∴∠PDE=∠PED，∴PD=PE，∴△PDE是等腰三角形．24. 解：(1)∠AOC＝2∠B＝60°(2)在△AOC中，OH⊥AC，∴OA＝OHcos30°＝10，∴劣弧AC︵的长＝nπr180＝60π×10180＝103π(3)∵AD是⊙O的切线，∴AD⊥OA.在Rt△AOD中，∠AOC＝60°，AO＝10，∴AD＝OA·tan60°＝103 25.解：〔1〕连接AO，∵PA、PB均为⊙O的切线，A和B是切点，∴∠APO=∠BPO，OA⊥AP，PA=PB，∴∠APB=2∠APO，∠OAP=90°，PO⊥AB，∴∠OAB+∠BAP=90°，∠BAP+∠APB=90°，∴∠OAB=∠APB，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∴∠OBA=∠APO，∴∠APB=2∠ABC；〔2〕设AB交OP于F，∵PA，PB是圆的切线，∴PA=PB，∵OA=OB∴PO垂直平分AB．∴∠OFB=90°．∵BC是直径，∴∠CAB=90°．∴∠CAB=∠OFB．∴AC∥OP．。

2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练28：直线与圆的位置关系（含答案）一、知识要点：直线和圆的位置关系直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。

这条直线叫做圆的割线。

直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。

这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

二、课标要求：1、知道三角形的内心。

2、了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。

三、常见考点：1、直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系。

2、切线的性质及判定。

四、专题训练：1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cos A＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定2．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（）A．0≤b＜2B．﹣2 C．﹣22D．﹣2＜b＜2 3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1 B．2 C．D．4．如图，在平行四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点E，点F是AD与⊙O 的交点，已知AB＝12，∠C＝60°，则弧FE的长等于（）A．6πB．3πC．2πD．π5．如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC＝DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正确的结论有（）A．3个B．2个C．1个D．0个6．如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（）A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定7．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）A．4 B．6.25 C．7.5 D．98．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．29．如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为何？（）A．174 B．176 C．178 D．18010．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°11．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为．12．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m＝0的两根，当直线l 与⊙O相切时，m的值为．13．如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB＝3，BC＝4，P是BC边上的动点，设BP＝x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP＝90°，则x的取值范围是．15．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为．16．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C ＝40°，则∠B的度数是°．17．如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为．18．如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为．19．如图，点A、B、D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝．21．如图，⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，已知∠C＝90°，⊙O半径长为3cm，AC＝10cm，则AD长度为cm．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为°．23．边长为1的正三角形的内切圆半径为．24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．25．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．26．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．（1）求证：∠A＝∠DOB；（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．27．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O 相切于点A，与BC延长线相交于点F．（1）求证：AE＝AF．（2）若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半径．28．如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE．（1）求证：AB＝BM；（2）若AB＝3，AD＝，求⊙O的半径．29．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2a，∠ABC＝60°，过点B的⊙O与边AB，BC分别交于E，F两点．OG⊥BC，垂足为G，OG＝a．连接OB，OE，OF．（1）若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；（2）若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A．31．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB＝4，求FH的长（结果保留根号）．32．如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．33．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE 于点D．（1）求证：直线DE是⊙O的切线．（2）如果BE＝2，CE＝4，求线段AD的长．34．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E是的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．35．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若tan∠PAC＝，AC＝12，求直径AB的长．36．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB ⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．参考答案1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cos A＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定分析：根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cos A＝，∴＝＝，∴AC＝4，∴BC＝＝3，∵r＝3，∴BC＝r＝3，∴⊙B与AC的位置关系是相切，故选：B．点评：本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．2．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（）A．0≤b＜2B．﹣2 C．﹣22D．﹣2＜b＜2分析：求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是（0，b），当y＝0时，x＝b，则A的交点是（b，0），则OA＝OB，即△OAB是等腰直角三角形．连接圆心O和切点C．则OC＝2．则OB＝OC＝2．即b＝2；同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝﹣2．则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2＜b＜2．故选：D．点评：本题考查了切线的性质，正确证得直线y＝﹣x+b与圆相切时，可得△OAB是等腰直角三角形是关键．3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1 B．2 C．D．分析：连接OB，根据菱形的性质得到OA＝AB，求得∠AOB＝60°，根据切线的性质得到∠DBO ＝90°，解直角三角形即可得到结论．解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝AB＝OB，∴∠AOB＝60°，∵BD是⊙O的切线，∴∠DBO＝90°，∵OB＝1，∴BD＝OB＝，故选：D．点评：本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练正确切线的性质定理是解题的关键．4．如图，在平行四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点E，点F是AD与⊙O 的交点，已知AB＝12，∠C＝60°，则弧FE的长等于（）A．6πB．3πC．2πD．π分析：首先求出圆心角∠EOF的度数，再根据弧长公式l＝，即可解决问题．解：如图，连接OE、OF，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝60°，∴∠A＝∠C＝60°，∠D＝120°，∵OA＝OF，∴∠A＝∠OFA＝60°，∴∠DFO＝120°，∴∠EOF＝360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO＝30°，∵AB＝12，∴OA＝6，∴的长为：．故选：D．点评：本题考查切线的性质、平行四边形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是求出圆心角的度数，熟记弧长公式．5．如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC＝DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正确的结论有（）A．3个B．2个C．1个D．0个分析：根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案．解：∵DC＝DP，∴∠DPC＝∠DCP，∵∠DPC＝∠APE，∴∠DCP＝∠APE，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA；∵∠OAC+∠APE＝90°，∴∠OCA+∠DCP＝90°，∴CD为⊙O的切线（①正确）；②不一定；连接CO，∵CD是⊙O的切线，∴∠DCP＝∠AOC．∵∠DCP＝（180°﹣2∠A），又∵∠DCP＝（180°﹣∠CDP），∴180°﹣2∠A＝180°﹣∠CDP，∴∠CDP＝2∠A，③正确．故选：B．点评：本题主要考查了切线的判定的理解及运用．6．如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（）A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定分析：连接BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根据圆周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断DI＝DB．解：连接BI，如图，∵△ABC内心为I，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2，∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，即∠4＝∠DBI，∴DI＝DB．故选：A．点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．7．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）A．4 B．6.25 C．7.5 D．9分析：利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠A＝90°，再利用切线的性质得到OF⊥AB，OE⊥AC，所以四边形OFAE为正方形，设OE＝AE＝AF＝r，利用切线长定理得到BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，所以5﹣r+12﹣r＝13，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形AEOF）的面积．解：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，∴AB2+CA2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F∴OF⊥AB，OE⊥AC，∴四边形OFAE为正方形，设OE＝r，则AE＝AF＝r，∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，∴5﹣r+12﹣r＝13，∴r＝＝2，∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积是2×2＝4．故选：A．点评：本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质．8．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2分析：连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD＝DI，同理BE＝EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长．解：连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI＝∠BAI，由平移得：AC∥DI，∴∠CAI＝∠AID，∴∠BAI＝∠AID，∴AD＝DI，同理可得：BE＝EI，∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝4，即图中阴影部分的周长为4，故选：B．点评：本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．9．如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为何？（）A．174 B．176 C．178 D．180分析：连接CI，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由I点为△ABC的内心，可得出∠CAI、∠ACI、∠DCI的度数，利用三角形内角和定理可得出∠AIC、∠CID的度数，再由∠AID＝∠AIC+∠CID即可求出∠AID的度数．解：连接CI，如图所示．在△ABC中，∠B＝44°，∠ACB＝56°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°．∵I点为△ABC的内心，∴∠CAI＝∠BAC＝40°，∠ACI＝∠DCI＝∠ACB＝28°，∴∠AIC＝180°﹣∠CAI﹣∠ACI＝112°，又ID⊥BC，∴∠CID＝90°﹣∠DCI＝62°，∴∠AID＝∠AIC+∠CID＝112°+62°＝174°．故选：A．点评：本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出∠AIC、∠CID的度数是解题的关键．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°分析：由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）＝68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，故选：C．点评：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．11．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为2﹣2或2+2．．分析：根据直线l：y＝﹣x+1由x轴的交点坐标A（0，1），B（2，0），得到OA＝1，OB ＝2，求出AB＝；设⊙M与AB相切与C，连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，通过△BMC∽△BAO，即可得到结果．解：在y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝2，∴A（0，1），B（2，0），∴AB＝；如图，设⊙M与AB相切与C，连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，∵∠MCB＝∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBM，∴△BMC～△BAO，∴，即，∴BM＝2，∴OM＝2﹣2，或OM＝2+2．∴m＝2﹣2或m＝2+2．故答案为：2﹣2，2+2．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，注意分类讨论是解题的关键．12．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m＝0的两根，当直线l 与⊙O相切时，m的值为 4 ．分析：先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据△＝0即可求出m的值．解：∵d、R是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d＝R，∴方程有两个相等的实根，∴△＝16﹣4m＝0，解得，m＝4，故答案为：4．点评：本题考查的是切线的性质及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键．13．如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是﹣≤x≤且x≠0 ．分析：由题意得x有两个极值点，过点P与⊙O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可．解：将OA平移至P'D的位置，使P'D与圆相切，连接OD，由题意得，OD＝1，∠DOP'＝45°，∠ODP'＝90°，故可得OP'＝，即x的极大值为，同理当点P在y轴左边时也有一个极值点，此时x取得极小值，x＝﹣，综上可得x的范围为：﹣≤x≤．又∵DP'与OA平行，∴x≠0，故答案为：﹣≤x≤且x≠0．点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，分别得出两圆与圆相切时求出OP的长是解决问题的关键，难度一般，注意两个极值点的寻找．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB＝3，BC＝4，P是BC边上的动点，设BP＝x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP＝90°，则x的取值范围是3≤x≤4 ．分析：根据已知首先找出BP取最小值时QO⊥AC，进而求出△ABC∽△OQC，再求出x的最小值，进而求出PB的取值范围即可．解：取BP中点O，以BP为直径作⊙O，连接QO，当QO⊥AC时，QO最短，即BP最短，∵∠OQC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△OQC，∴＝，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∵BP＝x，∴QO＝x，CO＝4﹣x，∴＝，解得：x＝3，当P与C重合时，BP＝4，∴BP＝x的取值范围是：3≤x≤4，故答案为：3≤x≤4．点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及三角形的相似的性质与判定和勾股定理等知识，找出当QO⊥AC时，QO最短即BP最短，进而利用相似求出是解决问题的关键．15．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为55°．分析：由直径所对的圆周角为直角得∠AED＝90°，由切线的性质可得∠ADC＝90°，然后由同角的余角相等可得∠C＝∠ADE＝55°．解：∵AD为⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠ADE+∠DAE＝90°；∵⊙O与BC相切，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠DAE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∵∠ADE＝55°，∴∠C＝55°．故答案为：55°．点评：本题考查了切线的性质、圆的相关概念及性质及互余关系等知识点，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．16．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C ＝40°，则∠B的度数是25 °．分析：先根据切线的性质得∠OAC＝90°，再利用互余计算出∠AOC＝90°﹣∠C＝50°，由于∠OBD＝∠ODB，利用三角形的外角性质得∠OBD＝∠AOC＝25°．解：∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，而∠AOC＝∠OBD+∠ODB，∴∠OBD＝∠AOC＝25°，即∠ABD的度数为25°，故答案为：25．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．17．如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为2﹣π．分析：连接OD，根据菱形的性质得到OA＝AB，得到△OAB为等边三角形，根据切线的性质得到OD⊥AB，根据余弦的定义求出OD，根据菱形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．解：连接OD，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠A＝∠AOB＝60°，∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴OD＝OA•sin A＝，同理可知，△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴图中阴影部分的面积＝2×﹣＝2﹣π，故答案为：2﹣π．点评：本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、扇形面积公式是解题的关键．18．如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为．分析：连接OG，QG，证明△DOG∽△DFC，得出，设OG＝OF＝x，则，求出圆的半径为，证明△OFQ为等边三角形，求出CQ，CG，则可由三角形的面积公式求出答案．解：连接OG，QG，∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，∴∠FDC＝30°，∴∠DFC＝60°，∵⊙O与CD相切于点G，∴OG⊥CD，∵BC⊥CD，∴OG∥BC，∴△DOG∽△DFC，∴，设OG＝OF＝x，则，解得：x＝，即⊙O的半径是．连接OQ，作OH⊥FQ，∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，∴△OFQ为等边三角形；同理△OGQ为等边三角形；∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH＝OQ＝，∴QH＝＝，∴CQ＝∵四边形OHCG为矩形，∴OH＝CG＝，∴S阴影＝S△CGQ＝＝＝．故答案为：．点评：本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，翻折变换，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．19．如图，点A、B、D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为相切．分析：先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出∠BOC＝2∠A＝50°，再求，∠OBC＝180°﹣50°﹣40°＝90°，可得结论．解：∵∠BOC＝2∠A＝50°，∠OCB＝40°，∴在△OBC中，∠OBC＝180°﹣50°﹣40°＝90度．∴直线BC与⊙O相切．点评：此题主要考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的判定．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝ 1 ．分析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理可得AB＝5，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，可得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，再根据切线长定理可得CE＝CF，所以矩形EOFC是正方形，可得CE＝CF＝r，所以AF＝AD＝3﹣r，BE＝BD＝4﹣r，进而可得△ABC的内切圆半径r的值．解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理，得AB＝5，如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠C＝90°，∴四边形EOFC是矩形，根据切线长定理，得CE＝CF，∴矩形EOFC是正方形，∴CE＝CF＝r，∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，∵AD+BD＝AB，∴3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1．则△ABC的内切圆半径r＝1．故答案为：1．点评：本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．21．如图，⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，已知∠C＝90°，⊙O半径长为3cm，AC＝10cm，则AD长度为7 cm．分析：连接OD、OE、OF，如图，根据内切圆的定义和切线的性质得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，接着证明四边形OECF为正方形，则CE＝OE＝3，所以AF＝AC﹣CF＝7，然后根据切线长定理求AD．解：连接OD、OE、OF，如图，设⊙O的半径为r，∵⊙O为△ABC内切圆，与三边分别相切于D、E、F，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴四边形OECF为矩形而OF＝OE，∴四边形OECF为正方形，∴CE＝OE＝3，∵AC＝10，∴AF＝AC﹣CF＝7，∴AD＝AF＝7（cm）．故答案为7．点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线的性质与切线长定理．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为75 °．分析：连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA＝∠OFA＝90°，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数．解：连接DO，FO，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°∴∠A＝30°，∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∴∠ODA＝∠OFA＝90°，∴∠DOF＝150°，∴∠DEF的度数为75°．故答案为：75．点评：此题主要考查了圆周角定理以及切线的性质和四边形内角和定理等知识，得出∠DOF ＝150°是解题关键．23．边长为1的正三角形的内切圆半径为．分析：根据等边三角形的三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可．解：∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，则∠OBD＝30°，BD＝，∴tan∠OBD＝＝，∴内切圆半径OD＝＝．故答案为：．点评：此题主要考查了三角形的内切圆，注意：根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30°的直角三角形．24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．分析：（1）连接OA、AD，可求得∠ACE＝∠AEC＝30°，可证明△AOD为等边三角形，可求得∠EAO＝90°，可证明AE为⊙O的切线；（2）结合（1）可得到OA＝2，AE＝6，再根据圆的面积公式和扇形面积公式即可求解．（1）证明：连接OA、AD，如图，∵CD为⊙O的直径，∴∠DAC＝90°，又∵∠ADC＝∠B＝60°，∴∠ACE＝30°，又∵AE＝AC，OA＝OD，∴△ADO为等边三角形，∴∠AEC＝30°，∠ADO＝∠DAO＝60°，∴∠EAD＝30°，∴∠EAD+∠DAO＝90°，∴∠EAO＝90°，即OA⊥AE，∴AE为⊙O的切线；（2）解：由（1）可知△AEO为直角三角形，且∠E＝30°，∴OA＝2，AE＝6，∴阴影部分的面积为×6×2﹣＝6﹣2π．故阴影部分的面积为6﹣2π．点评：本题主要考查切线的判定和性质，掌握切线的证明方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点证明垂直，没有切点时，作垂直证明距离等于半径．注意这类问题的常用辅助线的作法．25．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．分析：（1）连接OD，只需证明∠ODC＝90°即可；（2）由（1）中的结论可得∠ODB＝30°，可求得弧AD的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可．解：（1）相切．理由如下：连接OD，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥CB，∴∠ODC＝∠C＝90°，∴CD与⊙O相切；（2）若∠CDB＝60°，可得∠ODB＝30°，∴∠AOD＝60°，又∵AB＝6，∴AO＝3，∴的长＝＝π．点评：此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用．一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．26．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．（1）求证：∠A＝∠DOB；（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．分析：（1）连接OC，由D为的中点，得到＝，根据圆周角定理即可得到结论；（2）根据平行线的判定定理得到AE∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到结论．（1）证明：连接OC，∵D为的中点，∴＝，∴∠BOD＝BOC，∵∠BAC＝BOC，∴∠A＝∠DOB；（2）解：DE与⊙O相切，理由：∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．27．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．（1）求证：AE＝AF．（2）若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半径．分析：（1）由切线的性质得出∠FAB＝90°，由圆周角定理得出∠CAE＝∠D，∠D＝∠B，证得∠F＝∠CEA，则可得出结论；（2）由锐角三角函数的定义得出，求出AE＝10，由勾股定理求出AC，则可求出AB的长．（1）证明：∵AF与⊙O相切于点A，∴FA⊥AB，∴∠FAB＝90°，∴∠F+∠B＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠CEA＝90°，∵＝，∴∠CAE＝∠D，∴∠D+∠CEA＝90°，∵∠D＝∠B，∴∠B+∠CEA＝90°，∴∠F＝∠CEA，∴AE＝AF．（2）解：∵AE＝AF，∠ACB＝90°，∴CF＝CE＝EF＝6，∵∠ABF＝∠D＝∠CAE，∴sin∠ABF＝sin∠CAE＝，∴，∴AE＝10，∴AC＝＝＝8，∵sin∠ABC＝＝＝，∴AB＝，∴OA＝AB＝．即⊙O的半径为．点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．28．如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE．（1）求证：AB＝BM；（2）若AB＝3，AD＝，求⊙O的半径．分析：（1）根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可求出答案．（2）连接BC，先求出EM与AE的长度，再证明△MAE∽△CBA，根据相似三角形的性质即可求出答案．解：（1）∵AP为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，∴AP⊥AC，∴∠CAB+∠PAB＝90°，∴∠AMD+∠AEB＝90°，∵AB＝BE，∴∠AEB＝∠CAB，∴∠AMD＝∠PAB，∴AB＝BM．（2）连接BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠CAB＝90°，∵∠CAB+∠PAB＝90°∴∠C＝∠PAB，∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D，∴∠AMD＝∠D＝∠C，∴AM＝AD＝，∵AB＝3，AB＝BM＝BE，∴EM＝6，∴由勾股定理可知：AE＝＝，∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°，∴△MAE∽△CBA，∴＝，∴，∴CA＝5，∴⊙O的半径为2.5．点评：本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理以及等腰三角形的性质．29．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．分析：（1）连接AD、OD．先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证明∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD+∠EDA ＝90°，由三角形的内角和定理可知∠DEA＝90°，于是可得到DE⊥AC．（2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．（1）证明：连接AD、OD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠ADO+∠ODB＝90°．∵DE是圆O的切线，∴OD⊥DE．∴∠EDA+∠ADO＝90°．∴∠EDA＝∠ODB．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∴∠EDA＝∠OBD．∵AC＝AB，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD．∵∠DBA+∠DAB＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°．∴∠DEA＝90°．∴DE⊥AC．（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，∴BD＝CD，∵⊙O的半径为5，BC＝16，∴AC＝10，CD＝8，∴AD＝＝6，∵S△ADC＝AC•DE，∴DE＝＝＝．点评：本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的性质是解题的关键．30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2a，∠ABC＝60°，过点B的⊙O与边AB，BC分别交于E，F两点．OG⊥BC，垂足为G，OG＝a．连接OB，OE，OF．（1）若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；（2）若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A．分析：（1）由垂径定理得到BG＝FG＝a，则BG＝OG，FG＝OG，所以△BOG和△OFG都是等腰直角三角形，则∠BOF＝90°，从而可判断△BOF为等腰直角三角形．（2）连接EF，如图，先证明△BEF为等边三角形，再证明点E、O、G共线，即EG⊥BF，接着计算出BE＝2BG＝2a＝AB，则可判断点A与点E重合，然后证明AG⊥AD，从而得到⊙O 与AD相切于点A．（1）解：△BOF为等腰直角三角形．理由如下：∵OG⊥BC，∴BG＝FG＝BF＝a，∵OG＝a，∴BG＝OG，FG＝OG，∴△BOG和△OFG都是等腰直角三角形，∴∠BOG＝∠FOG＝45°，∴∠BOF＝90°，而OB＝OF，∴△BOF为等腰直角三角形．（2）证明：连接EF，如图，∵∠EBF＝60°，BF＝BE，∴△BEF为等边三角形，∴EB＝EF，∵OG垂直平分BF，∴点E、O、G共线，即EG⊥BF，∵OG＝a，∠OBG＝30°，∴BG＝OG＝a，∴BE＝2BG＝2a，而AB＝2a，∴点A与点E重合，。

教学内容正多边形与圆教学目标掌握正多边形与圆的相关知识点重点正多边形与圆难点正多边形与圆教学过程§ 2.5 直线与圆的位置关系一、温故知新1.点到直线的距离：从直线外一点向这条直线画垂线，这______________________的长度，叫做点到直线的距离.2.点与圆的位置关系：若点于圆的距离为d,圆的半径为r。

（1）_______________⇔__________；（2）_______________⇔__________；（3）_______________⇔__________.二、概念知识点1 直线与圆的位置关系的性质和判定（重点）如果O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么（1）直线l与O相交⇔d r<；（2）直线l与O相切⇔d r=；（3）直线l与O相离⇔d r>.(1) (2) (3)例 1 直线l为半径r的O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是_____________.知识点2 切线的判定（难点）★经过半径的外端并且______________________直线是圆的切线.★判定直线是圆的切线有如下三种方法：（1）定义：_______________________________________________；（2）数量关系：___________________________________________；例2 如图，已知∆ADC内接于O，AB是O的直径，且∠CAE=∠ADC.求证：AE是O的切线.例3 如图，点C是O的直径AB的延长线上一点，点D是O上一点，且AD=CD，∠C=30º，试说明DC是O的切线.知识点4 切线的性质（重点）★圆的切线垂直于经过切点的半径.★直线与圆相切的相关性质：（1）定义：________________________________________________;（2）数量关系：____________________________________________;（3）性质定理：____________________________________________.例4 如图，点P为O外一点，PA为O的切线，切点为点A，OP交O于点B，点C为优弧AMB上一点.若∠P=28º，求∠ACB的度数.知识点5 三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形________,这个三角形叫做圆的外切三角形.例5 如图，有一块三角形铁片，工人师傅想利用这块三角形铁片剪一个面积最大的圆，你能帮他设计剪裁方法吗？说出你的做法.知识点6 切线长定理（难点）★在经过圆外一点圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.★切线长定理：_______________________________________.★基本图形包含的性质：如图，PA,PB是O的切线，切点分别为A,B，直线OP交O于点D，E,交AB于点C，这是一个常见的基本图形，它有许多性质.如：（1）它是__________图形，直线OP是它的对称轴；（2）___________是等腰三角形，PC AB,AC=BC,弧AD=弧BD，体现了“等腰三角形的顶角平分线、底边中线，底边上的高互相重合”的性质，体现垂径定理；（3）图中的直角三角形有_______________________________________________。

第05讲 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质1. 了解直线与圆的三种位置关系；2. 了解圆的切线的概念；3. 掌握直线与圆位置关系的性质。

知识点1 直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；知识点2 切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

知识点3 切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =；PO 平分BPA ∠知识点4 三角形的内切圆和内心1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

注意：内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c ，则内切圆的半径r=2c b a -+ 。

（3）S △ABC =)(21c b a r ++，其中a ，b ，c 是边长，r 是内切圆的半径。

（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。

如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC=∠D 。

C【题型1 直线与圆的位置关系的判定】【典例1】（2023•滨江区二模）已知⊙O 的直径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定【变式1-1】（2022秋•江汉区校级期末）已知⊙O 半径为4cm ，若直线上一点P 与圆心O 距离为4cm ，那么直线与圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【变式1-2】（2022秋•洪山区校级期末）圆的半径是6.5cm ，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm ，那么该直线和圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切P BAO B O A D【变式1-3】（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0B．1C．2D．无法确定【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】【典例2】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O 上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD 的长为（）A．2B．4C．D．【变式2-1】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O 上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD 的长为（）A．2B．4C．D．【变式2-2】（2023•九龙坡区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为（）A．2B．2C．3D．3【变式2-3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，，则线段AB的长是（）A．B．C．3D．6【典例3】（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C 的度数为（）A．42°B．45°C．46°D．48°【变式3-1】（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【变式3-2】（2023•浙江二模）如图，AC与⊙O相切于点A，B为⊙O上一点，BC经过圆心O，若∠B＝25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．40°C．25°D．50°【变式3-3】（2023•泰安三模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠E＝40°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠CDB等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°【题型3切线的判定】【典例4】（2023•东莞市校级模拟）如图，∠AOB＝60°，以OB为半径的⊙O 交OA于点C，且OC＝CA，求证：AB是⊙O的切线．【变式4-1】（新疆期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB为直径的⊙O与BC相交于点E．在AC上取一点D，使得DE＝AD．求证：DE是⊙O的切线．【变式4-2】（昭通期末）如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD ＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【变式4-3】（大名县期末）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．求证：CD是⊙O的切线．【题型4 切线的性质与判定的综合运用】【典例5】（2023•牧野区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O 的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．【变式5-1】（2023•广西）如图，PO平分∠APD，P A与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求P A的长．【变式5-2】（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．【变式5-3】（2023•德庆县二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且BC＝BE．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）若AE＝24，BE＝15，求⊙O的半径．【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】【典例6】（2022秋•金东区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7B．8C．9D．16【变式6-1】（2022秋•凤台县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cmC．6cm D．随直线MN的变化而变化【变式6-2】（2022秋•林州市期中）如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，CD 切⊙O于点E，且分别交P A，PB于点C，D，若P A＝6，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．12D．10【变式6-3】2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝8，则△PCD 的周长为（）A．8B．12C．16D．20【题型6 三角形的内切圆与内心】【典例7-1】（2023•炎陵县模拟）如图，已知圆O是△ABC的内切圆，且∠A ＝70°，则∠BOC的度数是（）A．140°B．135°C．125°D．110°【典例7-2】（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（）A．3步B．5步C．6步D．8步【变式7-1】（2023•娄底一模）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（）A．36°B．53°C．74°D．128°【变式7-2】（2022秋•丰宁县校级期末）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C ＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（）（结果保留π）A．πB．2πC．3πD．4π【变式7-3】（2022秋•南开区校级期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，则⊙O的半径是（）A．1B．C．2D．21．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（）A．25°B．35°C．40°D．45°2．（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，P A与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交P A于点P，则∠P的度数是（）A．25°B．35°C．40°D．50°4．（2023•滨州）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为．5．（2023•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为．6．（2023•浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是．7．（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．（1）求证：四边形ABOH为矩形．（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．8．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．9．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC 交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．1．（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0B．1C．2D．无法确定2．（2022秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A 为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（）A．点B在⊙A内B．直线BC与⊙A相离C．点C在⊙A上D．直线BC与⊙A相切3．（2023•绿园区校级模拟）将一个含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆放，一个顶点O与⊙O的圆心重合，一条直角边AB与⊙O相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．则∠OCB为（）A．60°B．65°C．85°D．90°4．（2023•船营区一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC＝PC，则∠P的度数是（）A．15°B．20°C．30°D．45°5．（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC ＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（）A．2B．3C．4D．无法判断6．（2022秋•聊城期末）如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100°B．160°C．80°D．130°7．（2023•婺城区模拟）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC ＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．13cm B．8cmC．6.5cm D．随直线MN的变化而变化8．（2022秋•南沙区校级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为．9．（2022•南安市一模）如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于．10．（2022秋•越秀区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．求证：DE是⊙O的切线．11．（2022秋•魏都区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC边于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线．12．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．13．（2023•零陵区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上，BE平分∠ABC，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝4，求⊙O的半径长．14．（2023•新抚区模拟）如图，AC为⊙O的直径，CB是⊙O的切线，CB＞AC，D为AB的中点，E在BC上，CE＜BE，连接DE，DE＝BC．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若CE＝2，EB＝8，求⊙O的半径．。

专题05 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质（6个考点六大类型）【题型1 直线与圆的位置关系的判定】【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】【题型3切线的判定】【题型4 切线的性质与判定的综合运用】【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】【题型6 三角形的内切圆与内心】【题型1 直线与圆的位置关系的判定】1.（2023•淮阴区一模）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是（）2.（2023春•市南区校级月考）如果一个圆的直径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不能确定3.（2022秋•青山湖区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（）A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离4．（2022秋•顺平县期末）如图，若圆O的半径为3，点O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（）A．l1B．l2C．l3D．l4 5．（2023春•青山区校级月考）已知⊙O的直径为12，点O到直线l上一点的距离为，则直线l与⊙O的位置关系（）A．相交B．相切C．相离D．不确定6．（2022秋•宜兴市期末）已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定7．（2022秋•高邑县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC ＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相离8．（2023春•宁远县期中）已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．无法确定9．（2022秋•莱州市期末）若∠OAB＝30°，OA＝10cm，则以O为圆心，4cm 为半径的圆与直线AB的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定10．（2022秋•海珠区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，2）为圆心，3为半径的圆与y轴的位置关系为相切．11．（2023•前郭县二模）如图，平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P 的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是．【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】12．（2023•松原四模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO与⊙O相交于点C，若AB＝8，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．4B．5C．6D．8 13．（2023•重庆模拟）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，AC⊥AB交⊙O于点C，连接OC、BC，若∠OCB＝60°，OC＝6，则AC等于（）A．3B．2C．D．14．（2023•北碚区自主招生）如图，线段AC经过圆心O，交⊙O于点A、B，CD是⊙O的切线，点D为切点．若∠ACD＝30°，CD＝2，则线段BC 的长度是（）A．1B．2C．3D．15．（2023•西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，若BC＝1，，则AC的长为（）A．3B．2C．D．116.（2023•平房区三模）如图，PE、PG为⊙O的两条切线，E、G为切点，点F为⊙O上一点．连接OE、OG、EF、FG，若∠EFG＝52°，则∠P的度数为（）A．52°B．56°C．66°D．76°17.（2023•邵阳模拟）如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过点C的切线与AB的延长线交于点P，则∠P的度数是（）A．24°B．25°C．28°D．31°18.（2023•原平市模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E．若∠E＝40°，则∠ABC的度数为（）A．110°B．115°C．120°D．125°19．（2023•宽城区二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AD垂直于过点C 的切线，垂足为点D．若∠CAD＝37°，则∠CAB的大小为（）A．37°B．53°C．63°D．74°20．（2023•通榆县模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD＝48°则∠AOC的度数为（）A．42°B．48°C．84°D．106°21．（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C的度数为（）A．42°B．45°C．46°D．48°【题型3切线的判定】22.（2022秋•自贡期末）如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的直线DE⊥AD于点D，AC平分∠DAB．求证：CE是⊙O的切线．23.（2022秋•黄埔区期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线．24.（2022秋•宽城区校级期末）如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且点E是的中点．求证：AC是⊙O的切线．25．（2022秋•长乐区期中）如图，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的半径为3．求证：AB是⊙O的切线．26．（2022秋•云龙区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．求证：DP是⊙O的切线．27．（2022秋•平潭县校级期中）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O．求证：AC是⊙O的切线．【题型4 切线的性质与判定的综合运用】28.（2022秋•任城区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．29.（2023•龙游县校级一模）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．30.（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；31．（2023•枣庄二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB 的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB 的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径．32．（2023•官渡区二模）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB＝13，AC＝5，求CE的长．33．（2023•兰州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；34．（2023•开江县二模）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，求线段CF的长．35．（2023•碑林区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，半径为2，⊙O交BC 于点D，且D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若∠C＝30°，求BC的长．36.（2023•庐阳区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】37．（2023•西城区校级三模）如图，P A、PB切⊙O于A、B，若∠APB＝60°，⊙O的半径为3，则线段PO的长度为（）A．B．6C．8D．10 38．（2023•平房区三模）如图，PE、PG为⊙O的两条切线，E、G为切点，点F为⊙O上一点．连接OE、OG、EF、FG，若∠EFG＝52°，则∠P的度数为（）A．52°B．56°C．66°D．76°39．（2023•大同模拟）如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，点C在AB上，若四边形ACBO为菱形，则∠APB为（）A．30°B．45°C．60°D．90°40．（2023•阳谷县二模）已知P A、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C 为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（）A．125°B．120°或60°C．125°或55°D．130°41．（2023•蒙阴县二模）如图，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠P＝80°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数是（）A．110°B．120°C．125°D．130°42．（2023•新华区校级二模）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则瞬间与空竹接触的细绳的长为（）A．4πcm B．4cm C．2πcm D．2cm43.（2022秋•新会区校级期末）如图所示，P是⊙O外一点，P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交P A，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则P A的长为（）A．12B．6C．8D．444.（2022秋•东莞市校级期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（）A．2.5B．2C．1.5D．145.（2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝8，则△PCD的周长为（）A．8B．12C．16D．2046．（沧州期末）如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9B．7C．11D．8 47．（2022秋•仙居县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O 是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，则圆心O到顶点A的距离是（）A．B．3C．D．48．（2022秋•路北区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD •DB＝24，则AB的长（）A．11B．10C．9D．8 49．（2022秋•平泉市校级期末）如图所示，P是⊙O外一点，P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交P A，PB 于D，E．（1）若△PDE的周长为10，则P A的长为；（2）连接CA、CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数为度．50．（2023•青海一模）如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为．51．（2021秋•原州区期末）如图，P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE 分别交P A，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为．【题型6 三角形的内切圆与内心】52.（2022秋•绵阳期末）如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC＝90°，CM＝2，AM＝3，则⊙O的半径为（）A．B．C．1D．253.（2023•龙川县校级开学）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝50°，则∠A的度数是（）A．50°B．100°C．90°D．80°54.（2023•恩施市模拟）如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝125°，则∠C等于（）A．65°B．70°C．75°D．80°55．（2022秋•辛集市期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（）A．5步B．6步C．8步D．10步。

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【教材回扣】1．直线与圆的位置关系设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：相离相切相交Δ______0Δ______0Δ______0若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2(r＞0)上，则以P为切点的切线方程为F7______________.3．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：相离外切相交内切内含____________________________________【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．() 2．若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．()3．若两圆相切，则有且只有一条公切线．()4．从两圆的方程中消掉二次项后得到二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()题组二教材改编1．直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长为()A.102B.10C.265D.22652．已知直线4x＋3y－35＝0与圆心在原点的圆C相切，则圆C的方程为() A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝5C．x2＋y2＝7 D．x2＋y2＝493．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．题组三易错自纠1．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是()A．[－2，2] B．[－22，22]C．[－2－1，2－1] D．[－22－1,22－1]2．(多选题)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．0＜m＜1 B．－1＜m＜0C．m＜1 D．－3＜m＜13．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为________．题型一直线与圆的位置关系的判断[例1](1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．(2＋1，＋∞) B．(2－1，2＋1)C．(0，2－1) D．(0，2＋1)[听课记录]类题通法判断直线与圆的位置关系的一般方法1．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．2．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系.巩固训练1：(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为________．题型二圆的切线与弦长问题高频考点角度|圆的切线问题[例2](1)[2020·浙江卷](一题两空)已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________，b＝________.(2)从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________．[听课记录]类题通法1.求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k，由点斜式可写出切线方程．2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法(1)几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程．(2)当斜率存在时，设为k，则切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．[提醒]当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况.巩固训练2：(1)(多选题)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线的方程为()A．x＝－2 B．x＝2C．4x－3y＋4＝0 D．4x＋3y－4＝0(2)直线l是圆x2＋y2＝4在(－1，3)处的切线，点P是圆x2－4x＋y2＋3＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于________．角度|圆的弦长问题[例3](1)(多选题)[2021·山东德州模拟]直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为()A．6 B．8C．12 D．16(2)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．5 2 B．102C．15 2 D．202(3)[2020·天津卷]已知直线x－3y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点，若|AB|＝6，则r的值为________．[听课记录]类题通法有关弦长问题的2种求法1．几何法：直线被圆截得的半弦长l2，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝(l2)2＋d2.2．代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·(y1＋y2)2－4y1y2.巩固训练3：(1)[2020·全国卷Ⅰ]已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4(2)(多选题)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．4x－3y＋9＝0 B．x＝0C．3x＋4y－12＝0 D．3x＋4y＋12＝0(3)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.题型三圆与圆的位置关系[例4]已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．[听课记录]类题通法(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．(3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.巩固训练4：(1)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0，圆C2：x2＋y2＋4x－3y－36＝0，则圆C1和圆C2的位置关系为()A．相切B．内含C．外离D．相交(2)[2021·山东潍坊模拟]已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋3)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围是________．(3)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为23，则a＝________.[预测1] 核心素养——直观现象 过点P(x 0，y 0)作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1的切线，切点分别为A ，B.若|PA|＝|PB|，则x 20＋y 20的最小值为( )A .52B .54C .54 D ．5 [预测2] 新题型——多选题已知圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M 被x 轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是( )A ．圆M 的圆心在定直线x －y －2＝0上B ．圆M 的面积的最大值为50πC ．圆M 的半径的最小值为1D ．满足条件的所有圆M 的半径之积为10第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 课前基础巩固[教材回扣]＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜x 0x ＋y 0y ＝r 2 d ＞R ＋r d ＝R ＋r R －r ＜d ＜R ＋r d ＝R －r 0≤d ＜R －r [题组练透] 题组一1．× 2.√ 3.× 4.× 题组二1．解析：由已知可知圆C 的圆心为(1,2)，半径为5，圆心到直线的距离为d ＝|3×1－2－6|32＋12＝102.∴|AB |＝2r 2－d 2＝252－⎝⎛⎭⎫1022＝10. 故选B. 答案：B2．解析：由题意知：圆心到直线4x ＋3y －35＝0的距离d 等于半径r .即d ＝3542＋32＝7＝r ，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝49. 故选D.答案：D3．解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0， 得x －y ＋2＝0.已知圆x 2＋y 2－4＝0的圆心(0,0)，半径r 为2，且圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝22＝2， 则公共弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.答案：22 题组三1．解析：已知圆的圆心坐标为(2,1)，半径r ＝2. 则圆心到直线l 的距离为d ＝|2－1＋m |2≤r ＝2. 解得－22－1≤m ≤22－1. 故选D. 答案：D2．解析：已知圆的圆心坐标为(1,0)，半径r ＝2， 则圆心到直线的距离d ＝|1＋m |2＜2，解得－3＜m ＜1，则－3＜m ＜1的一个充分不必要条件是0＜m ＜1或－1＜m ＜0. 故选AB. 答案：AB3．解析：由题意知P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k ，所以切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，所以|k ×0－0＋1－3k |k 2＋1＝3，解得k ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.综上，切线方程为x ＝3或4x ＋3y －15＝0.答案：x ＝3或4x ＋3y －15＝0课堂题型讲解题型一例1 解析：(1)法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y 得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0. 因为Δ＝16m 2＋20＞0， 所以直线l 与圆相交．法二 (几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1＜1＜5，故直线l 与圆相交．法三 易得直线l 过定点(1,1)．把点(1,1)代入圆的方程有1＋0＜ 5.∴点(1,1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交．(2)计算得圆心到直线l 的距离为22＝2＞1，如图，直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.故选A.答案：(1)A (2)A巩固训练1 解析：(1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1.所以直线与圆相交．故选B.(2)∵x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆， ∴8－4b ＞0，即b ＜2.∵直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)， ∴点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部， ∴6＋b ＜0，解得b ＜－6，∴b 的取值范围是(－∞，－6)． 答案：(1)B (2)(－∞，－6) 题型二例2 解析：(1)解法一 因为直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以|b |1＋k 2＝|4k ＋b |1＋k 2＝1，得k ＝33，b ＝－233. 解法二 因为直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以直线y ＝kx ＋b 必过两圆心连线的中点(2,0)，所以2k ＋b ＝0.设直线y ＝kx ＋b 的倾斜角为θ，则sin θ＝12，又k ＞0，所以θ＝π6，所以k ＝tan π6＝33，b ＝－2k ＝－233. (2)如图：圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0的标准方程为：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1.圆心C (－2，－2)，半径r ＝1.∴圆心到直线l ：x ＋y －1＝0的距离|CP |＝|－2－2－1|2＝522，则切线长的最小值为：|CP |2－|CQ |2＝252－1＝462.答案：(1)33 －233 (2)462巩固训练2 解析：(1)根据题意，圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径r ＝1.过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，若切线的斜率不存在，此时切线的方程为x ＝2，符合题意；若切线的斜率存在，设此时切线的斜率为k ，则其方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0，则有|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线的方程为4x －3y ＋4＝0.综上可得，切线的方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.故选BC.(2)圆x 2＋y 2＝4在点(－1，3)处的切线为l ：－x ＋3y ＝4，即l ：x －3y ＋4＝0，点P 是圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，圆心(2,0)到直线l ：x －3y ＋4＝0的距离d ＝|2－0＋4|1＋3＝3，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于d －1＝3－1＝2.答案：(1)BC (2)2例3 解析：(1)圆C 的圆心坐标为(－3,3)，半径为6，所以弦长AB 的最大值为圆C 的直径12.又直线y ＝kx －1过点P (0，－1)，当直线CP 与直线y ＝kx －1垂直时，弦长AB 最短，此时|AB |＝262－|CP |2＝262－52＝211，所以211≤|AB |≤12，故选BC.(2)圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1,3)，半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.故选B.(3)由题意得，圆心(0,0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝82＝4，因此r 2＝d 2＋|AB |22＝25，又r ＞0，∴r ＝5.答案：(1)BC (2)B (3)5巩固训练3 解析：(1)将圆的方程x 2＋y 2－6x ＝0化为标准方程(x －3)2＋y 2＝9，设圆心为C ，则C (3,0)，半径r ＝3.设点(1,2)为点A ，过点A (1,2)的直线为l ，因为(1－3)2＋22＜9，所以点A (1,2)在圆C 的内部，则直线l 与圆C 必相交，设交点分别为B ，D .易知当直线l ⊥AC 时，直线l 被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C 到直线l 的距离为d ，则d ＝|AC |＝(3－1)2＋(0－2)2＝22，所以|BD |min ＝2r 2－d 2＝232－(22)2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.(2)将圆的方程化为标准形式为：(x －1)2＋(y －1)2＝4，所以圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，圆心到直线l 的距离为d ＝1，所以|AB |＝24－1＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，易知圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，因为d 2＋|AB |22＝r 2，所以(k ＋2)2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3.即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0，故选BC.(3)记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，由圆心C 到y 轴的距离为1，|CA |＝|CB |＝2可知，圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.答案：(1)B (2)BC (3)±5 题型三例4 解析：两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)， 半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时， (5－1)2＋(6－3)2 ＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m －11＝5.解得m ＝25－1011.因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有43×1＋3－b 432＋1＝11.解得b ＝133±5113.容易验证，当b ＝133＋5113，直线与后一圆相交，舍去．故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，得公共弦的长为 2×(11)2－|4＋3×3－23|42＋322＝27.巩固训练4 解析：(1)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋1＝0，即(x ＋1)2＋y ＋322＝94，∴C 1－1，－32，圆C 1的半径r 1＝32.圆C 2：x 2＋y 2＋4x －3y －36＝0，即(x ＋2)2＋y －322＝1694， ∴C 2－2，32，圆C 2的半径r 2＝132.∴两圆的圆心距|C 1C 2|＝(－2＋1)2＋32＋322＝10.又∵r 1＋r 2＝32＋132＝8，r 2－r 1＝132－32＝5，∴|C 1C 2|＝10＜r 2－r 1＝5，故两圆内含．故选B.(2)由题意易得∠APO ＝12∠APB ＝30°，|OP |＝|OA |sin ∠APO ＝1sin 30°＝2，∴点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上，∴此圆与圆M 有公共点，∴2－1≤|OM |≤2＋1，即1≤|OM |2≤9.∵|OM |2＝a 2＋(a －3)2＝2a 2－6a ＋9，∴1≤2a 2－6a ＋9≤9，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－6a ＋8≥0，2a 2－6a ≤0，解得0≤a ≤3，∴a 的取值范围是[0,3]． (3)两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝6a－a .∵公共弦长为2 3.∴a 2＝(3)2＋6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.答案：(1)B (2)[0,3] (3)±2高考命题预测预测1 解析：如图所示，由圆的切线的性质，得|P A |2＝|PC 1|2－1，|PB |2＝|PC 2|2－1.又|P A |＝|PB |，所以|PC 1|＝|PC 2|，所以点P 在线段C 1C 2的垂直平分线上．因为C 1C 2的垂直平分线为y ＝－21(x －1)＋12，即y ＝－2x ＋52，点P (x 0，y 0)在y ＝－2x ＋52上，所以点P 的坐标满足y 0＝－2x 0＋52，所以x 20＋y 20＝x 20＋－2x 0＋522＝5(x 0－1)2＋54≥54，所以x 20＋y 20的最小值为54.故选B. 答案：B预测2 解析：∵圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A (0，－2)，∴直线AM 与直线x ＋y ＋2＝0垂直，∴直线AM 的斜率为1，则点M 在直线y ＝x －2，即x －y －2＝0上，A 正确；设M (a ，a －2)，∴圆M 的半径r ＝|AM |＝a 2＋(a －2＋2)2＝2|a |，∴圆M 被x 轴截得的弦长为2r 2－(a －2)2＝2a 2＋4a －4＝2，解得a ＝－5或a ＝1，当a ＝－5时，圆M 的面积最大，为πr 2＝50π，B 正确；当a ＝1时，圆M 的半径最小，为2，C 错误；满足条件的所有圆M 的半径之积为52×2＝10，D 正确．故选ABD.答案：ABD。

圆的切线的性质及判定定理练习1下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的是( )A ．①② B．②③ C．③④ D．①④2如图所示，AB 与O 切于点B ，AO ＝6 cm ，AB ＝4 cm ，则O 的半径r 等于( )A ．．C ．3如图，A ，B 是O 上两点，AC 为O 的切线，∠OBA ＝75°，O 的半径为1，则OC的长等于( )A ．2 B ．2C ．3D4如图，PB 与O 相切于点B ，OP 交O 于A ，BC ⊥OP 于C ，OA ＝3，OP ＝4，则AC 等于( )A ．34 B ．43C ．D ．不确定5如图所示，AC 与O 相切于点D ，AO 的延长线交O 于B ，且BC 与O 相切于B ，AD＝DC ，则AOOB等于( )A．2 B．1 C．12D．436如图，在半径分别为5 cm和3 cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为______cm.7在Rt△ABC中，AC⊥CB，AB＝12，AC＝6，以C为圆心，作与AB相切的圆C，则C 的半径r＝__________.8如图，已知PA与圆O相切于A，半径OC⊥OP，AC交PO于B，OC＝1，OP＝2，则PB ＝__________.9如图所示，D是O的直径AB的延长线上一点，PD是O的切线，P是切点，∠D＝30°.求证：PA＝P D．10(能力拔高题)某海域直径为30海里的暗礁区中心A处有一哨所，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进了15海里到达C处才收到此哨所第二次发出的紧急危险信号．(1)若轮船收到第一次危险信号后，为避免触礁，航向改变角度至少应为东偏北多少度？(精确到度)(2)当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船航向改变的角度至少应为东偏南多少度？(精确到度)参考答案1答案：C 与圆有公共点的直线，可能是切线，也可能与圆相交，则①不正确；②不符合切线判定定理的条件，缺少过半径外端的条件，则②不正确；很明显③④正确.2答案：B 如图，连接OB ，则OB ＝r 且OB ⊥AB ，故OB ＝r=3 答案：C ∵OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝75°.∴∠AOB ＝180°－2∠OBA ＝30°. ∵AC 为O 的切线，∴OA ⊥AC . 又∵OA ＝1，∴在Rt△OAC中，cos30OA OC ===︒. 4 答案：A 如图，连OB ，则OB ⊥PB ，OB ＝OA ＝3.又BC ⊥OP ，∴在Rt△OBP 中，有OB 2＝OC ·OP .∴294OB OC OP ==. ∴AC ＝OA －OC ＝3－94＝34.5 答案：A 如图所示，连接OD ，OC.∵AC ，BC 是切线， ∴OD ⊥AC ，OB ⊥BC .又AD ＝DC ，∴△OAC 是等腰三角形. ∴OA ＝OC ，∴∠A ＝∠OCD .又OC ＝OC ，OD ＝OB ，∴△OBC ≌△ODC . ∴∠OCD ＝∠OCB .∴∠BCA ＝2∠A .∴∠A ＋∠BCA ＝3∠A ＝90°， ∴∠A ＝30°.∴12sin30AO AO OB OD ===︒. 6答案：8 如图，连接OA ，OC ，OB ，则OC ⊥AC . 又∵OA ＝OB ，∴△OAB 是等腰三角形. ∴AC ＝CB .由题意知，OA ＝5，OC ＝3，∴AC 4. ∴AB ＝2AC ＝8(cm).7答案：如图，设切点为D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，CD ＝r .∵AC ⊥CB ，∴CD 2＝AD ·BD .又AB ＝12，AC ＝6，AC 2＝AD ·AB ，∴AD ＝22612AC AB =＝3. ∴BD ＝AB －AD ＝12－3＝9.∴CD 2＝3×9＝27，∴CD ＝8如图所示，连接OA ，则OA ⊥PA .在△OAP 中，∠PAO ＝90°，OP ＝2，OA ＝1，则PA P ＝30°，∠POA ＝60°.故∠AOC ＝∠AOP ＋∠BOP ＝60°＋90°＝150°. 又OA ＝OC ，则∠BAO ＝15°.所以∠PBA ＝∠BAO ＋∠AOP ＝15°＋60°＝75°.在△PAB 中，则∠PAB ＝180°－∠P －∠ABP ＝180°－30°－75°＝75°. 所以∠PBA ＝∠PAB ，故PA ＝PB ，所以PB 9答案：分析：欲证PA ＝PD ，只要证明∠A ＝∠D ＝30°即可.证明：如图，连接OP ，∵PD 是O 的切线，P 为切点. ∴PO ⊥PD . ∵∠D ＝30°， ∴∠POD ＝60°.又∵OA ＝OP ，∴∠A ＝∠APO .∴∠A ＝30°.∴∠A ＝∠D .∴PA ＝PD .10答案：分析：如图所示，轮船是否有触礁危险，在于轮船航行所在的直线与以A 点为圆心、以15海里为半径的圆的位置关系，此题应从直线与圆相切这一特殊位置关系入手.解：(1)过点B 作A 的切线BD ，D 为切点，连接DA ，则∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，151sin 453AD AB α===， 则α≈19.47°.故为避免触礁，航向改变角度至少应为东偏北20°. (2)过点C 作A 的切线CE ，E 为切点，连接AE ， 则∠AEC ＝90°.在Rt△ACE 中，AC ＝45－15＝30， sin∠ACE ＝151302AE AC ==，则∠ACE ＝30°. 故为避免触礁，轮船航向改变的角度至少应为东偏南30°.。