(新课程)高中数学2.3等差数列的前n项和第1课时评估训练 新人教A版必修5

等差数列的前n 项和[新知初探]1．数列的前n 项和对于数列{a n }，一般地称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .2．等差数列的前n 项和公式 [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和( ) (2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)化简后关于n 与a n 的函数式即为数列{a n }的通项公式( ) (3)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1( ) 解析：(1)正确．由前n 项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{a n }中，S n ＝n 2＋2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又∵a 1＝S 1＝3，∴a 1不满足a n ＝S n －S n －1＝2n －1，故命题错误． (3)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd . 答案：(1)√ (2)× (3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20， 即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.答案：12[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5， 解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4， 但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [答案] (1)C (2)10 (3)53[活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ， 所以S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ， 解得d ＝－2， [法一 公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． 答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＝22，5a 3＝45，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________． 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14， 又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。

课时作业10 等差数列的前n 项和时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48解析：S 10＝a 1＋a 102＝5(a 1＋a 10)＝120，∴a 1＋a 10＝24. 答案：B2．等差数列{a n }中，a 5＝10，S 3＝3，则( ) A ．a 1＝－2，d ＝3 B ．a 1＝2，d ＝－3 C ．a 1＝－3，d ＝2 D ．a 1＝3，d ＝－2 解析：∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝3，∴a 2＝1. 又a 5＝10， ∴d ＝a 5－a 25－2＝10－13＝3.∴a 1＝a 2－d ＝1－3＝－2. 答案：A3．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( ) A ．－23B ．－13C.13D.23解析：由S 10＝70，可以得到a 1＋a 10＝14，即a 1＝4. 所以d ＝a 10－a 19＝23.故选D. 答案：D4．若一个等差数列{a n }的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180， 所以3(a 1＋a n )＝180，即a 1＋a n ＝60. 由S n ＝390，知n a 1＋a n2＝390.所以n ×602＝390，解得n ＝13.故选A.答案：A5．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝20，则数列前15项的和S 15的值为( ) A ．60 B ．22 C ．20D ．－8解析：∵a 1＋3a 8＋a 15＝20，∴5a 8＝20， ∴a 8＝4. ∴S 15＝a 1＋a 152＝15a 8＝15×4＝60.答案：A6．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( ) A ．445 B ．765 C ．1080D ．1305 解析：∵a n ＋1＝a n ＋3，∴a n ＋1－a n ＝3为常数，故{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63∴a n ＝0时，n ＝21；a n >0时，n >21；a n <0时，n <21 ∴S 30′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.故选B. 答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知{a n }是等差数列， a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝________. 解析：a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6. ①S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10. ②由①②得a 1＝1，d ＝12.答案：128．已知数列{a n }前n 项和S n ＝－2n 2＋3n ，则a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2＋3＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n 2＋3n ＋2(n －1)2－3(n －1)＝－4n ＋5. 又当n ＝1时，－4×1＋5＝1， 故n ＝1时满足a n ＝－4n ＋5. ∴a n ＝－4n ＋5. 答案：－4n ＋59．等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d＝________. 解析：∵S 12＝8S 4，∴12a 1＋12×112d ＝8(4a 1＋4×32d )．∴20a 1＝18d .∴a 1d ＝1820＝910. 答案：910三、解答题(共计40分)10．(10分)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 3＝11，S 9＝153，求{a n }的通项公式．解：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝11，9a 1＋9×82d ＝153，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝5.∴{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋2.11．(15分)甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解：(1)设n 分钟后第一次相遇，依题意， 得2n ＋n n －2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0， 解得n ＝7，n ＝－20(舍去)．甲、乙第一次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第二次相遇，依题意，得 2n ＋n n －2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －6×70＝0， 解得n ＝15，n ＝－28(舍去)．甲、乙第二次相遇是在开始运动后15分钟．12．(15分)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)，求a n .解：当n ≥2时，将S n －S n －1＝a n 代入式子a n ＝2S 2n2S n －1，得S n －S n －1＝2S 2n2S n －1.整理，得S n －1－S n ＝2S n ·S n －1.两边同除S n ·S n －1得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴数列{1S n}是以2为公差的等差数列．则1S n ＝1S 1＋2(n －1)＝2n －1.∴S n ＝12n －1(S 1＝a 1＝1也适合此式)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n －n －.当n ＝1时，a 1＝1不适合上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n －n －，n ≥2.。

第2课时 等差数列前n项和的应用双基达标 限时20分钟1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝35，则a 4等于( )． A ．8 B ．7 C ．6 D ．5解析 S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S 7＝7a 4＝35，∴a 4＝5.答案 D2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于 ( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D.12解析 S 9S 5＝92a 1＋a952a 1＋a5＝92·2a 552·2a 3＝9a 55a 3＝95·a 5a 3＝1. 答案 A 3．已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为( )． A ．5 B ．－5 C ．－2.5 D ．2.5 解析 由题意知S 奇＋S 偶＝75，又S 偶＝25，∴S 奇＝50，由等差数列奇数项与偶数项的性质得S 偶－S 奇＝10d ，即25－50＝10d ，∴d ＝－2.5.答案 C4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 解析 ∵{a n }是等差数列，由S 9＝72，得S 9＝9a 5，a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝(a 2＋a 9)＋a 4＝(a 5＋a 6)＋a 4＝3a 5＝24.答案 245．在等差数列{a n }中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝________.解析 由已知，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝93，即a 1＋a n ＝31.由S n ＝n a 1＋a n 2＝31n 2＝155，得n ＝10.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ，∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 12>0a 1＋a 13<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＋a 7>0a 7<0.∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负．∴数列前6项和最大．综合提高 限时25分钟7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于 ( )． A.310 B.13 C.18 D.19 解析 由等差数列的求和公式可得S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，可得a 1＝2d 且d ≠0，所以S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝27d 90d ＝310，故选A. 答案 A 8．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( )． A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13 解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2，∴数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n n －2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大，故选D.9．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________．解析 法一 在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210. 法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m 3m 成等差数列， ∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m 3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. 答案 21010．在等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，a 5＝3a 7，前n 项和为S n ，若S n 取得最大值，则n ＝________.解析 在等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0， ∵a 5＝3a 7，∴a 1＋4d ＝3(a 1＋6d )，∴a 1＝－7d ，∴S n ＝n (－7d )＋n n －2d ＝d 2(n 2－15n )， ∴n ＝7或8时，S n 取得最大值．答案 7或811．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， ∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n n －2×12＝14n 2－94n . 12．(创新拓展)若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)，满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n －i ＋1(i 是正整数，且1≤i ≤n )，就称该数列为“对称数列”．(1)已知数列{b n }是项数为7的对称数列，且b 1，b 2，b 3，b 4成等差数列，b 1＝2，b 4＝11，试写出{b n }的每一项；(2)已知{c n }是项数为2k －1(k ≥1)的对称数列，且c k ，c k ＋1，…，c 2k －1构成首项为50，公差为－4的等差数列，数列{c n }的前2k －1项和为S 2k －1，则当k 为何值时，S 2k －1取到最大值？最大值为多少？解 (1)设{b n }的公差为d ，则b 4＝b 1＋3d ＝2＋3d ＝11， 解得d ＝3，∴数列{b n }为2,5,8,11,8,5,2.(2)S 2k －1＝c 1＋c 2＋…＋c k －1＋c k ＋c k ＋1＋…＋c 2k －1 ＝2(c k ＋c k ＋1＋…＋c 2k －1)－c k＝2(－2k 2＋52k )－50＝－4(k 2－26k )－50＝－4(k －13)2＋4×132－50，∴当k ＝13时，S 2k －1取得最大值．S 2k －1的最大值为626.。

2.3 等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和公式基础过关练题组一等差数列前n项和的有关计算1.在等差数列{a n}中,已知a1=10,d=2,S n=580,则n=( )A.10B.15C.20D.302.已知一个等差数列共n项,且其前四项之和为21,末四项之和为67,前n项之和为286,则项数n为( )A.24B.26C.25D.283.设{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和.若S10=S11,则a1=( )A.18B.20C.22D.244.(2019福建福州长乐高中、城关中学、文笔中学高二期末)等差数列{a n}的前n 项和为S n,且S5=6,a2=1,则公差d等于( )A.15B.35C.65D.25.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a6=S3=12,则{a n}的通项公式a n= . 题组二数列的前n项和S n与a n的关系6.已知数列{a n}的前n项和S n=n2,则a n=( )A.nB.n2C.2n+1D.2n-17.在各项均大于零的数列{a n}中,首项a1=1,前n项和S n满足S n√S n-1-S n-1√S n=2√S n S n-1(n∈N*且n≥2),则a81=( )A.638B.639C.640D.6418.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1,则a6+a7+…+a10的值为.9.(1)已知数列{a n}的前n项和为S n=2n2+n+3,求数列{a n}的通项公式;(2)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n=14(a n+1)2,求a n.题组三裂项相消法求和10.已知数列{a n}的通项公式为a n=1n(n+1),则其前10项和为( )A.910B.911C.1112D.101111.已知数列{a n}的通项公式为a n=√n+1+√n,则其前n项和S n= .12.已知数列{a n}的通项公式为a n=lg n+1n,则其前n项和S n= .13.已知等差数列{a n}满足a3=7,a5+a7=26,{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n;(2)令b n=1a n2-1(n∈N*),求数列{b n}的前n项和T n.能力提升练一、选择题1.(2020吉林省实验中学高一期末,★★☆)记等差数列{a n}的前n项和为S n.若a5=3,S13=91,则a1+a11=( )A.7B.8C.9D.102.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二期末联考,★★☆)已知数列{a n}满足2a n=a n-1+a n+1,S n是其前n项和,若a2,a2 019是函数f(x)=x2-6x+5的两个零点,则S2 020的值为( )A.6B.12C.2 020D.6 0603.(2018云南玉溪第一中学高三月考,★★☆)已知数列{a n}的首项a1=1,对于任意m,n∈N*,有a n+m=a n+3m,则数列{a n}前5项的和S5=( )A.121B.25C.31D.354.(2020山东日照高二月考,★★☆)已知数列{a n}的前n项和S n=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|等于( )A.66B.65C.61D.565.(★★☆)设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4=2(a2+a3),则S7S4=( )A.74B.145C.7D.146.(2019广东佛山一中期末,★★☆)某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n(n∈N*)年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于( )A.4B.5C.6D.77.(★★☆)已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,S n为其前n项和,则S60=( )A.3 690B.1 830C.1 845D.3 660二、填空题8.(2019江苏南京高三上学情调研,★★☆)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a m=10,S2m-1=110,则m的值为.9.(2020广东深圳宝安高二期末,★★☆)若等差数列{a n}满足a5=11,a12=-3,且{a n}的前n项和S n的最大值为M,则lg M= .10.(2020吉林松原扶余一中高一期末,★★☆)已知单调递减数列{a n}的前n项和为S n,a1≠0,且4S n=2a n-a n2(n∈N*),则a5= .三、解答题11.(2020湖北荆门高二期末,★★☆)已知数列{a n}的前n项和为S n,且(a n+1-a n)2+2=3(a n+1-a n),a50=1,求S100的最小值.12.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末,★★☆)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=8,a3+a8=2a5+2.(1)求a n ;(2)设数列{1S n}的前n 项和为T n ,求证:T n <34.13.(★★☆)已知函数f(x)=14x +m(m>0),当x 1,x 2∈R 且x 1+x 2=1时,总有f(x 1)+f(x 2)=12.(1)求m 的值;(2)设数列{a n }满足a n =f(0)+f (1n )+f (2n )+…+f (n -1n)+f(1),求数列{a n }的前n 项和S n .14.(2019山东济宁一中月考,★★☆)数列{a n }中,a 1=1,当n≥2时,其前n 项和S n满足S n 2=a n ·(S n -12).(1)求S n的表达式;(2)设b n=S n,求数列{b n}的前n项和T n.2n+115.(2018黑龙江哈尔滨第六中学高三下考前押题卷,★★★)数列{a n}中,S n为其前n项和,且2S n=na n+n(n∈N*).(1)求证:{a n}是等差数列;(2)若a2=2,b n=n+2,T n是{b n}的前n项和,求T n.a n a n+12n第2课时等差数列前n项和的性质及应用基础过关练题组一 等差数列前n 项和的性质1.已知等差数列{a n }中,S n 是其前n 项和,a 1=-11,S 1010-S 88=2,则S 11=( )A.-11 B .11 C.10 D.-102.一个等差数列共有10项,其奇数项之和是12.5,偶数项之和是15,则它的首项与公差分别是( ) A.12,12B.12,1 C.1,12D.12,23.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 7a 5=913,则S 13S 9= .4.已知等差数列{a n }的前10项和为30,前30项的和为10,则前40项的和为 .题组二 等差数列前n 项和的函数属性5.已知数列{a n }中,a 1=10,a n+1=a n -12,则它的前n 项和S n 的最大值为 . 6.在等差数列{a n }中,a 1>0,公差d<0,a 5=3a 7,且其前n 项和为S n ,则S n 取最大值时,n= .7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d. (1)若S 2 016>0,S 2 017<0,且S k 最大,则整数k= ; (2)若a 1=25,S 9=S 17<0,且S k 最大,则整数k= . 8.已知{a n }是等差数列,且a 2=1,a 5=-5. (1)求{a n }的通项公式a n ;(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值.题组三等差数列的综合问题9.数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列,且b n=a n+1-a n(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8=( )A.0B.3C.8D.1110.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为( )A.0B.1C.2D.1或211.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题:把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两份之和,则最小一份的量为( )A.52B.54C.53D.5612.(2019湖南长沙一中高二期末)已知等差数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,且满足a1+a5=27a32,S7=63.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b1=a1,且b n+1-b n=a n+1,求数列{1b n}的前n项和T n.能力提升练一、选择题1.(2020浙江高三期末,★★☆)已知公差不为零的等差数列{a n}满足a32=a1a4,S n为数列{a n}的前n项和,则S3S1的值为( )A.94B.-94C.32D.-322.(2019山东招远一中高二月考,★★☆)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为( )A.9B.12C.16D.173.(2020浙江丽水高一期末,★★★)设等差数列{a n}的前n项和为S n,公差为d,已知a1≠0,S5=S17,则( )A.da11>0B.da12>0C.a1a12>0D.a1a11<04.(2020广东第二师范学院番禺附属中学高二期末,★★★)若等差数列{a n}的前n 项和S n有最大值,且a11a10<-1,则S n取正值时,项数n的最大值为( )A.15B.17C.19D.215.(2020江苏徐州高二期末,★★★)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1>0,公差d≠0,则下列结论不正确的是( )A.若S5=S9,则S14=0B.若S5=S9,则S7最大C.若S6>S7,则S7>S8D.若S6>S7,则S5>S6二、填空题6.(2019河北衡水中学高考猜题卷,★★☆)设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S13>0,S14<0,若a k·a k+1<0,则k= .7.(2018湖北黄石二中高二期中,★★☆)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S m= -2,S m+1=0,S m+2=3,则m= .8.(2019河北沧州一中高二期中,★★★)在等差数列{a n}中,前m(m为奇数)项和为135,其中偶数项之和为63,且a m-a1=14,则a100的值为.9.(★★★)无穷等差数列{a n}的前n项和为S n,若首项a1=32,公差d=1,则满足S k2=(S k)2的正整数k的值为.三、解答题10.(2020湖南怀化高二期末,★★☆)已知数列{a n}满足1a1+1a2+1a3+…+1a n=n2(n∈N*),且b n=a n a n+1.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)若S n为数列{b n}的前n项和,对任意的正整数n,不等式S n>λ-12恒成立,求实数λ的取值范围.11.(★★☆)已知数列{a n}为等差数列,a1=1,a n>0,其前n项和为S n,且数列{√S n}也为等差数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n =a n+1S n ·S n+1,求数列{b n }的前n 项和.答案全解全析第1课时 等差数列的前n 项和公式基础过关练1.C 因为S n =na 1+12n(n-1)d=10n+12n·(n -1)×2=n 2+9n,所以n 2+9n=580,解得n=20或n=-29(舍).2.B 设该等差数列为{a n },由题意,得a 1+a 2+a 3+a 4=21,a n +a n-1+a n-2+a n-3=67. 又∵a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=a 4+a n-3, ∴4(a 1+a n )=21+67=88,∴a 1+a n =22. ∴S n =n (a 1+a n )2=11n=286,∴n=26.3.B 由S 10=S 11,得a 11=S 11-S 10=0,所以a 1=a 11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.4.A ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 5=6,a 2=1, ∴{S 5=5a 1+5×42d =6,a 2=a 1+d =1,解得{a 1=45,d =15.故选A. 5.答案 2n解析 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由已知得{a 1+5d =12,3a 1+3d =12,解得{a 1=2,d =2,故a n =2n. 6.D 当n=1时,a 1=S 1=1;当n≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1. ∵当n=1时,此等式也成立,∴a n =2n-1(n∈N *),故选D.7.C 由已知S n √S n -1-S n-1√S n =2·√S n S n -1可得,√S n -√S n -1=2(n≥2),又a 1=1,∴√S 1=1,∴{√S n }是以1为首项,2为公差的等差数列,故√S n =2n-1,∴S n =(2n-1)2,∴a 81=S 81-S 80=1612-1592=640. 8.答案 80解析 由题意得,a 6+a 7+…+a 10=S 10-S 5=111-31=80.9.解析 (1)∵S n =2n 2+n+3,∴当n=1时,a 1=S 1=2×12+1+3=6;当n≥2时,a n =S n - S n-1=2n 2+n+3-[2(n-1)2+(n-1)+3]=4n-1.当n=1时,a 1不符合上式, ∴a n ={6(n =1),4n -1(n ≥2).(2)当n=1时,a 1=S 1=14(a 1+1)2,解得a 1=1;当n≥2时,a n =S n -S n-1=14(a n +1)2-14·(a n-1+1)2,即4a n =a n 2+2a n +1-(a n -12+2a n-1+1),∴a n 2-a n -12-2(a n +a n-1)=0,∴(a n +a n-1)(a n -a n-1-2)=0.∵数列{a n }的各项均为正数,∴a n +a n-1>0,∴a n -a n-1-2=0,即a n -a n-1=2, ∴数列{a n }是公差为2,首项为1的等差数列, ∴a n =1+2(n-1)=2n-1.10.D 设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n =1n (n+1)=1n -1n+1得,S n =(1-12)+(12-13)+…+1n -1n+1=1-1n+1,所以S 10=1-111=1011.11.答案 √n +1-1 解析 由已知得, a n =√n+1+√n=√n +1-√n ,所以S n =a 1+a 2+…+a n =(√2-1)+(√3-√2)+…+(√n +1-√n )=√n +1-1. 12.答案 lg(n+1)解析 由已知得a n =lg(n+1)-lg n,所以S n =a 1+a 2+…+a n =(lg 2-lg 1)+(lg 3-lg 2)+…+[lg(n+1)-lg n]=lg(n+1). 13.解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d. 因为a 3=7,a 5+a 7=26, 所以{a 1+2d =7,2a 1+10d =26,解得{a 1=3,d =2.所以a n =3+2(n-1)=2n+1,S n =3n+n (n -1)2×2=n 2+2n.(2)由(1)知a n =2n+1, 所以b n =1a n 2-1=1(2n+1)2-1=14·1n (n+1)=14·(1n-1n+1),所以T n =14(1-12+12-13+ (1)-1n +1)=14(1-1n+1)=n4(n+1),即数列{b n }的前n 项和T n =n4(n+1). 能力提升练一、选择题1.D 由S 13=13a 7=91,可得a 7=7,所以a 5+a 7=10,从而a 1+a 11=a 5+a 7=10.2.D 由题意,得数列{a n }为等差数列.a 2,a 2 019是函数f(x)=x 2-6x+5的两个零点,等价于a 2,a 2 019是方程x 2-6x+5=0的两个根,∴a 2+a 2 019=6, ∴S 2 020=(a 1+a 2 020)·2 0202=(a 2+a 2 019)·2 0202=6 060,故选D.3.D 令m=1,有a n+1=a n +3,即a n+1-a n =3,又已知a 1=1,∴{a n }是首项为1,公差为3的等差数列,∴a n =1+3(n-1)=3n-2, ∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5×(3×3-2)=35.4.A 当n≥2,n∈N *时,a n =S n -S n-1=n 2-4n+2-[(n-1)2-4(n-1)+2] =n 2-4n+2-(n 2-6n+7) =n 2-4n+2-n 2+6n-7=2n-5, 当n=1时,a 1=S 1=-1,不满足上式, ∴a n ={-1,n =1,2n -5,n ≥2,n ∈N *.∴|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=1+1+1+3+5+…+15=2+(1+15)×82=2+64=66.5.C 解法一:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.根据等差数列的性质及a 4=2(a 2+a 3),得a 1+3d=2(a 1+d+a 1+2d),化简得a 1=-d,所以S 7S 4=7a 1+7×62d 4a 1+4×32d =14d 2d=7.解法二:由已知及等差数列的性质,得a 4=2(a 2+a 3)=2(a 1+a 4),又S 7S 4=7(a 1+a 7)24(a 1+a 4)2=7a 42(a 1+a 4),所以S7S 4=7.6.B 设该设备第n(n∈N *)年的运营费用为a n 万元,则数列{a n }是以2为首项,2为公差的等差数列,则a n =2n,则该设备到第n(n∈N *)年的运营费用总和为a 1+a 2+…+a n =2+4+…+2n=n (2+2n )2=(n 2+n)万元.设第n(n∈N *)年的盈利总额为S n 万元,则S n =11n-(n 2+n)-9=-n 2+10n-9=-(n-5)2+16,因此,当S n 取最大值时,n=5,故选B. 7.B 由题意得,当n 为奇数时,a n+1-a n =2n-1,n+1为偶数,所以a n+2+a n+1=2n+1,两式相减得a n+2+a n =2;当n 为偶数时,a n+1+a n =2n-1,n+1为奇数,所以a n+2-a n+1=2n+1,两式相加得a n+2+a n =4n. 故S 60=a 1+a 3+a 5+…+a 59+(a 2+a 4+a 6+…+a 60)=2×15+(4×2+4×6+…+4×58)=30+4×450=1 830.故选B. 二、填空题 8.答案 6解析 ∵{a n }是等差数列,且a m =10, ∴S 2m-1=a 2m -1+a 12×(2m -1)=(2m-1)a m =10(2m-1)=110,解得m=6.9.答案 2解析 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.∵a 5=11,a 12=-3,∴{a 1+4d =11,a 1+11d =-3,解得{d =-2,a 1=19.∴a n =19-2(n-1)=21-2n.令a n ≥0,解得n≤212.因此当n=10时,{a n }的前n 项和S n 取得最大值,且最大值M=10×19+10×92×(-2)=190-90=100,∴lg M=2. 10.答案 -10解析 当n=1时,4S 1=2a 1-a 12,∴a 1=-2. 当n≥2时,4S n =2a n -a n 2,① 4S n-1=2a n-1-a n -12,②①-②,得4a n =2a n -2a n-1-(a n 2-a n -12),化简,得a n -a n-1=-2或a n +a n-1=0,∵数列{a n }是递减数列,且a 1=-2,∴a n +a n-1=0舍去. ∴数列{a n }是首项为-2,公差为-2的等差数列,故a 5=-2+(5-1)×(-2)=-10. 三、解答题11.解析 由题意,得a n+1-a n =2或a n+1-a n =1.由a 50=1知,当n≤49时,a n ≤0;当n≥51时,a n >0.故当数列{a n }的前50项的公差为2,后50项的公差为1时,数列的前100项和最小. 所以(S 100)min =50×1+50×492×(-2)+50×2+50×492=-1 075.12.解析 (1)设数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由题意得{2a 1+d =8,2a 1+9d =2a 1+8d +2,解得{a 1=3,d =2.所以a n =2n+1. (2)证明:由(1)知a n =2n+1,所以S n =n2(3+2n+1)=n 2+2n.所以1S n=1n (n+2)=12(1n -1n+2).所以T n =12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+… +(1n -1-1n +1)+(1n-1n +2)]=12(1+12-1n+1-1n+2)<34. 13.解析 (1)令x 1=x 2=12,得f (12)=14=12+m,解得m=2.(2)由a n =f(0)+f (1n )+f (2n )+…+f (n -1n )+f(1),得a n =f(1)+f (n -1n )+…+f (1n )+f(0),两式相加,得2a n =[f(0)+f(1)]+[f (1n )+f (n -1n )]+…+[f(1)+f(0)]=12(n+1),即a n =14(n+1),显然数列{a n }是等差数列, 当n=1时,a 1=12,所以S n =n [12+14(n+1)]2=18n 2+38n.14.解析 (1)由a n =S n -S n-1(n≥2)得,S n 2=(S n -S n-1)(S n -12)=S n 2-12S n -S n-1S n +12S n-1,即S n-1-S n =2S n S n-1(n≥2), ∴1S n -1S n -1=2(n≥2),又1S 1=1a 1=1,∴{1S n}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴1S n=2n-1,即S n =12n -1(n∈N *).(2)由(1)得b n =1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1), ∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n=12(1-13)+(13-15)+(15-17)+…+(12n -1-12n+1) =12(1-12n+1) =n 2n+1.15.解析 (1)证明:由2S n =na n +n(n∈N *)①,得2S n-1=(n-1)a n-1+(n-1)(n≥2)②, ①-②得,2a n =na n +n-(n-1)a n-1-(n-1), ∴(n -2)a n =(n-1)a n-1-1(n≥2)③, ∴(n -1)a n+1=na n -1(n∈N *)④,④-③得,(n-1)a n+1-(n-2)a n =na n -(n-1)a n-1,∴2(n -1)a n =(n-1)a n-1+(n-1)a n+1(n≥2),∴2a n =a n-1+a n+1, ∴{a n }是等差数列.(2)设等差数列{a n }的公差为d. 由题意得2S 1=a 1+1,∴a 1=1,又∵a 2=2,且由(1)知{a n }是等差数列, ∴d=a 2-a 1=1,∴a n =n, ∴b n =n+2n (n+1)·2n=12n -1·n -12n (n+1),∴T n =(1-14)+(14-112)+…+[12n -1·n -12n (n+1)]=1-12n (n+1).第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用基础过关练1.A 因为{a n }为等差数列,所以{Sn n }也为等差数列,且首项S11=a 1=-11.设{Sn n }的公差为d,则S1010-S88=2d=2,所以d=1,所以S 1111=-11+10d=-1,所以S 11=-11.2.A 设等差数列为{a n },首项为a 1,公差为d,由S 偶-S 奇=5d=15-12.5=2.5,得d=0.5.再由S 10=10a 1+10×92×12=15+12.5,得a 1=0.5.3.答案 1解析 由等差数列前n 项和的性质得S13S 9=13a 79a 5=139×913=1.4.答案 -40解析 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .解法一:由题易知数列S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30成等差数列.设其公差为d, 则前3项和为3S 10+3×22d=S 30=10,即S 10+d=103,又S 10=30,所以d=-803,所以S 40-S 30=S 10+3d=30+3×(-803)=-50,所以S 40=-50+S 30=-40.解法二:因为数列{a n }是等差数列,所以数列{S n n }也是等差数列,所以点(n ,S nn )在一条直线上,即(10,S 1010),(30,S 3030),(40,S4040)三点共线,于是S 3030-S 101030-10=S 4040-S 101040-10,将S 10=30,S 30=10代入,解得S 40=-40.5.答案 105解析 由题意得a n+1-a n =-12,∴数列{a n }是公差为-12的等差数列,又a 1=10,∴a n =-n 2+212(n∈N *).∵a 1=10>0,-12<0,∴设从第n 项起为负数,则-n 2+212<0(n∈N *), ∴n>21,∴前21项的和最大,最大值为S 21=105. 6.答案 7或8解析 由a 5=3a 7,得a 1+4d=3(a 1+6d),即a 1=-7d,所以a n =a 1+(n-1)d=-7d+(n-1)d=(n-8)d. 又因为a 1>0,d<0,所以当{a n ≥0,a n+1≤0时,S n 取得最大值,即{(n -8)d ≥0,(n -7)d ≤0,解得7≤n≤8.所以当S n 取最大值时,n=7或8. 7.答案 (1)1 008 (2)13解析 (1)由等差数列的性质可知,S 2 017=2 017a 1 009<0,所以a 1 009<0, 又S 2 016=2 016(a 1 008+a 1 009)2>0,即a 1 008+a 1 009>0,所以结合a 1 009<0可得a 1 008>0,因此S 1 008最大,故k=1 008. (2)解法一:由{a 1=25,S 9=S 17,可得{a 1=25,9a 1+9×4d =17a 1+17×8d ,解得d=-2,则S n =25n+n (n -1)2×(-2)=-(n-13)2+169,显然S 13最大,故k=13.解法二:同解法一得d=-2, 故a n =25+(-2)×(n -1)=27-2n,显然对于n∈N *,当n≤13时,a n >0;当n≥14时,a n <0.故S 13最大,k=13. 8.解析 (1)设{a n }的公差为d,则由a 2=1, a 5=-5,得d=a 5-a 25-2=-5-13=-2,∴a 1=a 2-d=3,∴a n =-2n+5. (2)由(1)得,S n =3n+n (n -1)2×(-2)=-n 2+4n=-(n-2)2+4,∴当n=2时,S n 取得最大值4.9.B 设数列{b n }的首项为b 1,公差为d,则由b 3=-2,b 10=12,得{b 1+2d =-2,b 1+9d =12,解得{b 1=-6,d =2,∴b n =-6+(n-1)×2=2n -8,∴a n+1-a n =2n-8,又a 1=3, ∴a 2-a 1=2×1-8, a 3-a 2=2×2-8,a 4-a 3=2×3-8, …… a 8-a 7=2×7-8,以上各式相加得,a 8-a 1=2×(1+2+3+…+7)-8×7=0,∴a 8=a 1=3.10.D 由a,b,c 成等差数列得2b=a+c,Δ=(-2b)2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2, 当a=c 时,Δ=0,有一个交点; 当a≠c 时,Δ>0,有两个交点.11.C 由题意可得中间的那份为20个面包.设最小的一份为a 1,公差为d,由题意可得[20+(a 1+3d)+(a 1+4d)]×17=a 1+(a 1+d),解得a 1=53,故选C.12.解析 (1)解法一:设等差数列{a n }的公差为d,由题意,得a n >0,且{a 1+a 1+4d =27(a 1+2d )2,7a 1+21d =63,∴{a 1=3,d =2.∴a n =2n+1.解法二:∵{a n }是等差数列,且a 1+a 5=27a 32,∴2a 3=27a 32.又a n >0,∴a 3=7. ∵S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=63,∴a 4=9,∴d=a 4-a 1=2, ∴a n =a 3+(n-3)d=2n+1. (2)∵b n+1-b n =a n+1,且a n =2n+1, ∴b n+1-b n =2n+3. ∴当n≥2时,b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1=(2n+1)+(2n-1)+…+5+3 =n(n+2),当n=1时,b 1=3满足上式, ∴b n =n(n+2). ∴1b n =1n (n+2)=12(1n -1n+2), ∴T n =1b 1+1b 2+…+1b n -1+1b n=12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+ …+(1n -1-1n +1)+(1n-1n +2)]=12(1+12-1n+1-1n+2) =34-2n+32(n+1)(n+2).能力提升练一、选择题1.A 设数列{a n }的公差为d(d≠0),由a 32=a 1a 4得(a 1+2d)2=a 1(a 1+3d),整理,得a 1d+4d 2=0,因为d≠0,所以a 1=-4d,所以S 3=3a 1+3d=-9d,所以S 3S 1=-9d -4d =94,故选A.2.A 由等差数列前n 项和的性质得, S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,…成等差数列. 由S 4=1,S 8=4可得,其公差为2, 所以S 36=S 4+(S 8-S 4)+…+(S 36-S 32)=9×1+9×82×2=81.又因为S 36=36×(a 1+a 36)2,所以a 1+a 36=8118=92,所以a 17+a 18+a 19+a 20=2(a 17+a 20)=2(a 1+a 36)=9. 3.B 由a 1≠0,S 5=S 17,得5a 1+5×42d=17a 1+17×162d,化简,得2a 1+21d=0,即a 11+a 12=0.因为a 1≠0,所以d≠0,所以a 11,a 12符号相反.若d>0,则a 11<0,a 12>0,a 1<0,所以da 11<0,da 12>0,a 1a 12<0,a 1a 11>0;若d<0,则a 11>0,a 12<0,a 1>0,所以da 11<0,da 12>0,a 1a 12<0,a 1a 11>0.综上,选B. 4.C 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.由S n 有最大值,得d<0.由a11a 10<-1,得a 11<0<a 10,且a 11+a 10<0.由a 10>0,得2a 10=a 1+a 19>0,所以S 19>0.由a 10+a 11<0,得a 1+a 20=a 10+a 11<0,所以S 20<0.所以S n 取正值时,n 的最大值为19. 5.D 由S 5=S 9得a 6+a 7+a 8+a 9=0,即a 1+a 14=0,所以S 14=14×(a 1+a 14)2=0,故A 中结论正确.由S 5=S 9得5a 1+10d=9a 1+36d,即d=-213a 1.因为a 1>0,所以d<0. 再由S n 对应的二次函数的图象知,对称轴为n=5+92=7,所以S 7最大,故B 中结论正确. 由S 6>S 7得a 7<0.又a 1>0,所以d<0,所以a 8<0,所以S 7>S 8.但a 6的符号不确定,所以S 5与S 6的大小无法比较,故C 中结论正确,D 中结论错误.故选D. 二、填空题 6.答案 7解析 因为S 13>0,S 14<0,所以{13(a 1+a 13)2>0,14(a 1+a 14)2<0,即{a 1+a 13>0,a 1+a 14<0, ∴{a 1+a 13=2a 7>0,a 1+a 14=a 7+a 8<0,∴{a 7>0,a 8<0, 又a k ·a k+1<0,∴k=7. 7.答案 4解析 因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和,所以数列{Sn n}是等差数列,所以S m m+S m+2m+2=2S m+1m+1,即-2m +3m+2=0,解得m=4.8.答案 101解析 ∵在前m 项中偶数项之和为S 偶=63,∴奇数项之和为S 奇=135-63=72.设等差数列{a n }的公差为d,则S 奇-S 偶=2a 1+(m -1)d2=72-63=9.∵a m =a 1+d(m-1),∴a 1+a m2=9.由题意得m (a 1+a m )2=135,∴m=15,又∵a m -a 1=14, ∴a 1=2,d=14m -1=1,∴a 100=a 1+99d=101.9.答案 4解析 解法一:由题意,得S n =32n+n (n -1)2×1=12n 2+n,则S k 2=12k 4+k 2,(S k )2=(12k 2+k)2,∴12k 4+k 2=(12k 2+k)2,即14k 4-k 3=0,解得k=0或k=4.∵k∈N *,∴k=4.解法二:∵数列{a n }为等差数列,∴不妨设S n =An 2+Bn,其中A=d2,B=a 1-d2,则S k 2=A(k 2)2+Bk 2,S k =Ak 2+Bk.由S k 2=(S k )2,得k 2(Ak 2+B)=k 2(Ak+B)2.∵k∈N *,∴Ak 2+B=(Ak+B)2,即(A 2-A)·k 2+2ABk+B 2-B=0,又A=d 2=12,B=a 1-d2=1,∴14k 2-k=0,解得k=0(舍去)或k=4.三、解答题10.解析 (1)∵1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n=n 2(n∈N *)①,∴当n≥2时,1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n -1=(n-1)2②.①-②,得1a n=2n-1(n≥2),经检验,1a 1=1满足上式,∴1a n=2n-1(n∈N *),∴a n =12n -1.∴b n =1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1).(2)由(1)及已知得S n =12·(1-13+13-15+…+12n -1-12n+1)=n2n+1. 又S n =n 2n+1=12-14n+2,n∈N *,∴S n ∈[13,12),∴不等式S n >λ-12恒成立等价于13>λ-12,∴λ<56.故实数λ的取值范围为(-∞,56).11.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d(d≥0),则S 1=a 1=1,S 2=2+d,S 3=3+3d. ∵数列{√S n }为等差数列, ∴2√2+d =1+√3+3d ,解得d=2. ∴a n =1+2(n-1)=2n-1. (2)由(1)得a n+1=2n+1, S n =n+n (n -1)2×2=n 2, ∴b n =a n+1S n ·S n+1=2n+1n 2·(n+1)2=1n2-1(n+1)2.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =b 1+b 2+…+b n =(112-122)+(122-132)+…+[1n 2-1(n+1)2]=1-1(n+1)2=n 2+2n(n+1)2.。

[A 组 学业达标]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝a n －1，a 1＝4，则S 5等于( ) A ．25 B ．20 C ．15D ．10解析：依题意a n ＋1－a n ＝－1，故数列{a n }是等差数列，故S 5＝5×4＋5×42×(－1)＝10. 答案：D2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 9＝24，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144D ．70解析：由等差数列的性质得，a 2＋a 4＋a 9＝3a 1＋12d ＝24，则a 5＝a 1＋4d ＝8.S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝72. 答案：B3．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等差数列，若S 4＝32，a 2∶a 3＝1∶3，则公差d 为( ) A ．8 B ．16 C ．4D ．0解析：∵S 4＝32，∴2(a 2＋a 3)＝32， ∴a 2＋a 3＝16.又a 2a 3＝13，即a 3＝3a 2，∴a 2＝4，a 3＝12，∴d ＝a 3－a 2＝8.故选A. 答案：A4．设a 1，a 2，…和b 1，b 2，…都是等差数列，其中a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }前100项之和为( ) A ．0 B ．100 C ．10 000D ．50 500解析：易知数列{a n ＋b n }为常数列，且各项均为100，故S 100＝100＋1002×100＝10000.故选C. 答案：C5．在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝18－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．66 B ．99 C ．198D ．297解析：∵a 3＋a 9＝18－a 6，∴3a 6＝18，∴a 6＝6. ∴S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝11×6＝66，故选A. 答案：A6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 解析：数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，所以S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27. 答案：277．在等差数列{a n }中，若S 9＝18，S n ＝240，a n －4＝30，则n ＝________. 解析：因为S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝18，所以a 5＝2，又S n＝n (a 5＋a n －4)2＝n (2＋30)2＝240，所以n ＝15. 答案：158．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 解析：S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10＝19×10＝190.答案：1909．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9. 解析：设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎨⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围； (2)数列{a n }的前几项的和最大？解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d ＞0，13a 1＋13×122d ＜0，a 1＋2d ＝12，整理得⎩⎨⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，a 1＋2d ＝12，解得－247＜d ＜－3.(2)由(1)知d ＜0，∴a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13＞…. ∵S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＜0，∴a 7＜0.∵S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)＞0，∴a 7＜0，a 6＞0，故数列{a n }的前6项和S 6最大．[B 组 能力提升]11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( ) A ．27 B ．36 C ．45D ．54解析：∵在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11， ∴a 5＝6，故S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝54.故选D.答案：D12．已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＋2a 2＝S 5，下列结论中错误的是( ) A ．S 9＝0 B ．S 5最小 C ．S 3＝S 6D ．a 5＝0解析：由题意知a 1＋2(a 1＋d )＝5a 1＋5×42d ，则a 5＝0，∴a 4＋a 6＝0，∴S 3＝S 6，且S 9＝9a 5＝0，故选B. 答案：B13．等差数列{a n }满足a n －1＋a n ＋a n ＋1＝3n (n ≥2)，函数f (x )＝2x ，b n ＝log 2f (a n )，则函数{b n }的前n 项和为________．解析：∵等差数列{a n }满足a n －1＋a n ＋a n ＋1＝3n (n ≥2)， ∴3a n ＝3n ，即a n ＝n ， ∵函数f (x )＝2x ，∴f (a n )＝2n ，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝log 2[f (a 1)·f (a 2)·…·f (a n )]＝log 2(2×22×…×2n )＝log 221＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 答案：n (n ＋1)214．等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d ＞0，则其前n 项和取最小值时n 的值为________．解析：由d ＞0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2＜0，a 9＝d2＞0，所以前8项和为前n 项和的最小值． 答案：815．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0.解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7为所求结果．16．已知{a n }是各项为正数的等差数列，S n 为其前n 项和，且4S n ＝(a n ＋1)2. (1)求a 1，a 2的值及{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n －72a n 的最小值．解析：(1)因为4S n ＝(a n ＋1)2，所以当n ＝1时，4a 1＝(a 1＋1)2，解得a 1＝1， 当n ＝2时，4(1＋a 2)＝(a 2＋1)2， 解得a 2＝－1或a 2＝3，因为{a n }是各项为正数的等差数列， 所以a 2＝3，所以{a n }的公差d ＝a 2－a 1＝2，所以{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)因为4S n ＝(a n ＋1)2， 所以S n ＝(2n －1＋1)24＝n 2，所以S n －72a n ＝n 2－72(2n －1)＝n 2－7n ＋72＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－354，所以当n ＝3或n ＝4时，S n －72a n 取得最小值为－172.。

第11课时 等差数列的前n 项和知识点一 等差数列前n 项和公式的简单应用1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 答案 B 解析 ∵d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，又a 2＝a 1＋d ＝7，∴a 1＝3．∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×3＋45×4＝210．故选B ．2．在等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9＝( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B 解析 ∵S 10＝10a 1＋a 102＝5(a 2＋a 9)＝120，∴a 2＋a 9＝24．3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝35，则a 4＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 答案 D 解析 ∵S 7＝a 1＋a 72×7＝35，∴a 1＋a 7＝10，∴a 4＝a 1＋a 72＝5．知识点二 “知三求二”问题4．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 B解析 a 1＝1，a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝14，∴d ＝2，∴S n ＝n ＋n n －12×2＝100．∴n ＝10．5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________． 答案 2n解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.故a n ＝2n ．知识点三 a n 与S n 的关系6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2 B ．－32n 2－n2C ．32n 2＋n 2D ．32n 2－n 2 答案 A解析 易知{a n }是等差数列且a 1＝－1，所以S n ＝n a 1＋a n2＝n 1－3n2＝－32n 2＋n2．故选A ．7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则过P (1，a 1)，Q (2，a 2)两点的直线的斜率是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵S n ＝n 2＋n ，∴a 1＝S 1＝2，a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4．∴过P ，Q 两点直线的斜率k ＝a 2－a 12－1＝4－21＝2．8．已知{a n }的前n 项之和S n ＝2n＋1，则此数列的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n －1n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2＋1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－(2n －1＋1)＝2n －1，又21－1＝1≠3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n －1n ≥2.易错点一 等差数列的特点考虑不周全9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋2，判断{a n }是否为等差数列．易错分析 本题容易产生如下错解：∵a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2．a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)＋2]－(2n ＋2)＝2(常数)，∴数列{a n }是等差数列．需注意：a n ＝S n －S n －1是在n ≥2的条件下得到的，a 1是否满足需另外计算验证． 解 a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n ＝1，2n ＋2n ≥2，显然a 2－a 1＝6－6＝0，a 3－a 2＝2，∴{a n }不是等差数列．易错点二 忽略对项数的讨论10．已知等差数列{a n }的第10项为－9，前11项和为－11，求数列{|a n |}的前n 项和T n ． 易错分析 对于特殊数列求和，往往要注意项数的影响，要对部分特殊项进行研究，否则计算易错．解 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝－9，11a 1＋11×102d ＝－11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以a n ＝9－2(n －1)＝11－2n ． 由a n ＞0，得n ＜112，则从第6项开始数列各项均为负数，那么 ①当n ≤5时，数列{a n }的各项均为正数，T n ＝n a 1＋a n 2＝n 9＋11－2n 2＝n (10－n )；②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝－S n ＋2S 5＝n 2－10n ＋2×(10×5－52)＝n 2－10n ＋50．所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 10－n ，1≤n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.一、选择题1．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A解析 ∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)．又a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，∴2a n－a 2n ＝0．∵a n ≠0，∴a n ＝2，∴S 2n －1－4n ＝(2n －1)×2－4n ＝－2．故选A ．2．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是( )A ．14斤B ．15斤C ．16斤D ．18斤 答案 B解析 由题意可知等差数列中a 1＝4，a 5＝2，则S 5＝a 1＋a 5×52＝4＋2×52＝15， ∴金杖重15斤．故选B ．3．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝na 1＋n n －12×2d ＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n＝na 2＋n n －12×2d ＝72，得nd ＝－18．又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3．4．一同学在电脑中打出如下图案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此图案依此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 C解析 S ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋n ＝n n ＋12＋n ≤120，∴n (n ＋3)≤240，∴n ＝14．故选C ．5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7，2＋(n －1)×7＜100，∴n ＜15．∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665．二、填空题6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a 1＋a 5＝________． 答案 11解析 由S n ＝n 2＋1，得a 1＝12＋1＝2，a 5＝S 5－S 4＝(52＋1)－(42＋1)＝9．∴a 1＋a 5＝2＋9＝11．7．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝________．答案 35解析 ∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S n S 2n ＝n ＋14n ＋2， ∴S 1S 2＝a 1a 1＋a 1＋d ＝26＝13，∴3a 1＝2a 1＋d ，∴a 1＝d ，∴a 3a 5＝a 1＋2d a 1＋4d ＝3d 5d ＝35．8．在等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n ＜0，则S 10＝________． 答案 －15解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9， ∵a n ＜0，∴a 3＋a 8＝－3． ∴S 10＝10a 1＋a 102＝10a 3＋a 82＝10×－32＝－15． 三、解答题9．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n ．解 设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n n －12×12＝14n 2－94n ． 10．已知{a n }是等差数列，公差为d ，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，令c n ＝(－1)nS n (n ∈N *)，{c n }的前20项和T 20＝330．数列{b n }满足b n ＝2(a －2)dn －2＋2n －1，a ∈R ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＋1≤b n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解 (1)设等差数列的公差为d ，因为c n ＝(－1)nS n ，所以T 20＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4＋…＋S 20＝330， 则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝330，则10(3＋d )＋10×92×2d ＝330，解得d ＝3，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n ． (2)由(1)知b n ＝2(a －2)3n －2＋2n －1，b n ＋1－b n＝2(a －2)3n －1＋2n－[2(a －2)3n －2＋2n －1]＝4(a －2)3n －2＋2n －1＝4·3n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，由b n ＋1≤b n ⇔(a －2)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2≤0⇔a ≤2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，因为2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2随着n 的增大而增大，所以n ＝1时，2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2最小值为54，所以a ≤54．。