函数的图象2答案导学案 (1)

函数的图象导学案导学目标： 1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．自主梳理一．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等．二、作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.1、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(__________、__________、__________)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)； 最后：描点，连线． 2、利用基本函数的图象作图 1．平移变换(1)水平平移：y ＝f (x ±a )(a >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向____ (＋)或向____ (－)平移____个单位而得到．（可简记为“左加右减”）(2)竖直平移：y ＝f (x )±b (b >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向____ (＋)或向____ (－)平移____个单位而得到．（可简记为“上加下减”）2．伸缩变换(1)y ＝Af (x )(A >0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的纵坐标变为原来的____倍，________不变而得到．(2)y ＝f (ax )(a >0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的____倍，________不变而得到．3．对称变换（1）奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于____轴对称； (2)y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于____对称． (3)y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于____对称． (4)y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于____对称．（5）f (x )与f (2a －x )的图象关于直线________对称；(01)01)x y a a a x a a =>≠>≠a （6）函数且的图象与函数y=log （且的图象关于直线________对称。

4.翻折变换：（1）要得到y ＝|f (x )|的图象，可将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分以_____为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．(2)要得到y ＝f (|x |)的图象，可将y ＝f (x )，x ≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于_____的对称性，作出x ＜0时的图象．【自我检测】1．(2009·北京)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 2．函数y ＝x |x |的图象大致是()3．函数f (x )＝1x－x 的图象关于 ( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称4．(教材习题改编)在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x 的图象可能是下列四个图象中的()5.(21)y f(2x)A 111122y f x B C D =-=函数的图象可由的图象（）、向右平移个单位而得到； 、向左平移个单位而得到；、向右平移个单位而得到； 、向左平移个单位而得到；6．(2012·北京海淀二模)为了得到函数y ＝12log 2(x －1)的图象，可将函数y ＝log 2x 的图象上所有的点的( )A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 7．(教材习题改编)为了得到函数y ＝2x－3的图象，只需把函数y ＝2x 的图象上所有的点向______平移______个单位长度．题型一 作函数图象【例1】►分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1； (4)y ＝x ＋2x －1.【小结】画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．【变式1】 作出下列函数的图象：(1)y ＝2x ＋1－1； (2)y ＝|x －x 2|； (3)y ＝|log 2(x ＋1)|.题型二 函数图象的识辨例2 (1)函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象如图，则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能是( )(2)已知y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (1－x )的图象为 ( )【变式2】（1）(2012·东城模拟)已知函数对任意的x ∈R 有f (x )＋f (－x )＝0，且当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的图象大致为( )（2）．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的图象大致是( )题型三 函数图象的应用【例3】►已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．例4．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．【方法小结】1．利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．2．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )图象与x 轴的交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象的交点的横坐标．一、选择题1．(2010·重庆)函数f (x )＝4x ＋12x 的图象 ( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 2．(2010·湖南)用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小值．若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t 的值为 ( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 3．(2011·北京海淀区模拟)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是 ( )4．(2011·深圳模拟)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )二、填空题5．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x 的图象向________平移________个单位长度．6．(2011·黄山月考)函数f (x )＝2x －1x ＋1的图象对称中心是________．三、解答题7．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．9． (2011·三明模拟)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围．答案 自主梳理2．③奇偶性 单调性 周期性 3.(1)左 右 |a| 上 下 |a| (2)a>1 a>1 0<a<1 a (3)①原点 y ②y ③x ④原点 ⑤x ＝a ⑥(a ，b) ⑦上方 ⑧右方自我检测1．C [A 项y ＝lg(x ＋3)＋1＝lg[10(x ＋3)]， B 项y ＝lg(x －3)＋1＝lg[10(x －3)]，C 项y ＝lg(x ＋3)－1＝lg x ＋310，D 项y ＝lg(x －3)－1＝lg x －310.]2．C3．C [∵f (－x )＝－1x＋x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，即f(x)的图象关于原点对称．]4．A [作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象知满足条件的x ∈(－1,0)．]5．B [由f (4)·g (－4)<0得a 2·log a 4<0，∴0<a <1.] 课堂活动区例1 解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2， 0≤x ≤1，－(x －x 2)，x >1或x <0， 即y ＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，0≤x ≤1，⎝⎛⎭⎫x －122－14， x >1或x <0，其图象如图所示．(2)y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －122－14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x ＋122－14，x <0，其图象如图所示．(3)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x>0的部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x|的图象．变式迁移1 解 定义域是{x|x ∈R 且x ≠±1}，且函数是偶函数．又当x ≥0且x ≠1时，y ＝1x －1.先作函数y ＝1x 的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y ＝1x －1(x ≥0且x ≠1)的图象(如图(a)所示)．又函数是偶函数，作关于y 轴对称图象，得y ＝1|x |－1的图象(如图(b)所示)．例2 解题导引 对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（1）A [从f (x )、g (x )的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f (x )·g (x )是奇函数，排除B.又x <0时，g (x )为增函数且为正值,f (x )也是增函数，故f (x )·g (x )为增函数，且正负取决于f(x)的正负，注意到x →-0（从小于0趋向于0），f (x )·g (x )→+∞，可排除C 、D.］（2）A ［因为f (1-x )=f （-(x -1)）,故y =f (1-x )的图象可以由y =f (x )的图象按照如下变换得到：先将y =f (x )的图象关于y 轴翻折，得y =f (-x )的图象，然后将y =f (-x )一个单位，即得y =f (-x +1)的图象.］变式迁移2 (1)A [考查函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象可知： 当x <0时，方程2x －x 2＝0仅有一个零点，且22x x-→－∞；当x >0时，方程2x －x 2＝0有两个零点2和4， 且22x x-→＋∞.](2)C [由图象知f (x )为奇函数，排除D ；又0，±π2，±32π为方程f (x )＝0的根，故选C.]例3 解题导引 原方程重新整理为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a 的取值范围．方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．解 原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝|x 2－4x ＋3|，y ＝x ＋a ，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a y ＝－x 2＋4x －3，得，x 2－3x ＋a ＋3＝0， 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个根．变式迁移3 (1，54)解析 y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎨⎧(x －12)2＋a －14， x ≥0，(x ＋12)2＋a －14， x <0.当其图象如图所示时满足题意．由图知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －14<1，解得1<a <54.课后练习区1．D [f (x )＝2x ＋2－x ，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )图象关于y 轴对称．]2.D [令y ＝|x |，y ＝|x ＋t |，在同一坐标系中作出其图象， 如图，所以t ＝1.]3．D [选项A 、B 、C 中直线方程中的a 的范围与对数函数中的a 的范围矛盾．] 4．C [函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝－f (x )关于x 轴对称，函数y ＝－f (x )的图象向左平移1个单位即得到函数y ＝－f (x ＋1)的图象．]5．B [∵b >0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y轴右边，∴－b2a>0，∴a <0，又∵图象过原点，∴a 2－1＝0，∴a ＝－1.]6．右 1解析 ∵y ＝3×(13)x ＝(13)x －1，∴y ＝(13)x 向右平移1个单位便得到y ＝(13)x －1.7．(－1,2)解析 ∵f (x )＝2x －1x ＋1＝2(x ＋1)－3x ＋1＝2－3x ＋1，∴函数f (x )图象的对称中心为(－1,2)． 8．(1)A (2)D (3)B (4)C9．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.…………………………………………(2分)(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4， x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4， x <4.………………………………………………(4分)f (x )的图象如右图所示．(3)由图可知，f (x )的减区间是[2,4]．……………………………………………………(8分) (4)由图象可知f (x )>0的解集为 {x |0<x <4或x >4}．………………………………………………………………………(10分) (5)∵f (5)＝5>4，由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………(12分) 10.解 设f 1(x )＝(x －1)2， f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，由图象知显然不成立．……………………………………………………(4分)文科数学一轮复习导学案11当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，……………………………………………………………(10分)∴1<a ≤2.………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)方法一 ∵x >0，∴g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，……………………………………………………………(4分) 因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有根．…………………………………………………(6分) 方法二 作出g (x )＝x ＋e 2x的图象如图：……………………………………………………………………………………………(4分)可知若使g (x )＝m 有根，则只需m ≥2e.………………………………………………(6分) 方法三 解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0Δ＝m 2－4e 2≥0……………………………………………(4分)等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e (6)) (2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的图象． ∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.……………………………………………………………………(10分) 故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．……………………………………………(14分)。