2011走向高考,贾凤山,高中总复习,第6篇3-3

第六篇 第3章 第三讲一、选择题1．5项不同的工程由3个工程队承包，每队至少承包一项，不同的承包方案有( )A ．420种B ．240种C ．150种D ．90种 [答案] C[解析] ①有一个队承包其中3项工程，有承包方案C 35A 33＝60种．②有两个队各承包两项工程，另一个队承包一项工程，有承包方案12C 15·C 24·A 33＝90种．∴选C.2．8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有 ( )A ．C 38B ．2C 38C ．C 38A 38 D ．3C 38 [答案] B[解析] 第一步从8个人中选3个人，共有C 38种方法，第二步3个人交换位置，由于每个人都要交换位置，故只有两种交换方法，所以共有2C 38种交换方式．故选B.3．(09·全国Ⅱ)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 ( )A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种 [答案] C[解析] 间接法：C 24·C 24－C 24＝6×6－6＝30.4．在1、2、3、4、5的排列a 1、a 2、a 3、a 4、a 5中，满足a 1>a 2，a 2<a 3，a 3>a 4，a 4<a 5的排列个数是 ( )A ．10B ．12C ．14D ．16 [答案] D[分析] 由条件知，1必须排在a 2、a 4位置；4、5必须排在a 1、a 3、a 5位置，故只须考虑2、3排位即可．[解析] ①1、2在a 2、a 4的位置上排列，其余的三个数在a 1、a 3、a 5的三个位置上全排列，排列个数A 22A 33＝12.②1、3在a 2、a 4位置上排列排法有：(2,1,4,3,5)，(2,1,5,3,4)，(4,3,5,1,2)，(5,3,4,1,2)共4种．∴不同排列个数为12＋4＝16种．5．(09·浙江)在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5 [答案] B[解析] T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )(－x －1)r ＝(－1)r C r 5·x 10－3r (r ＝0,1，…，5)，由10－3r ＝4得r ＝2. ∴含x 4的项为T 3，其系数为C 25＝10，故选B.6．(09·陕西)若(1－2x )2009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x 2009(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 200922009的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2 [答案] C[解析] 令x ＝0，则a 0＝1.令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝0，∴a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝－1，故选C.7．已知xy <0，且x ＋y ＝1，而(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，那么x 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，15B.⎣⎡⎭⎫45，＋∞ C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－45 [答案] B[解析] 由题设条件知，C 19x 8y ≤C 29x 7y 2， ∵xy <0，∴x ≥4y ，∵x ＋y ＝1，∴x ≥4(1－x )，∴x ≥45.8．在(x －1)(x ＋1)8的展开式中x 5的系数是 ( ) A ．－14 B ．14 C ．－28 D ．28 [答案] B[解析] (x －1)(x ＋1)8＝x (x ＋1)8－(x ＋1)8，含x 5的项为(C 48－C 58)·x 5＝14x 5，故选B. 9．已知集合A ＝{9}，B ＝{0,1}，C ＝{0,3,5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 ( )A ．33B ．34C ．35D ．36 [答案] A[解析] ①所得空间坐标系中的点的坐标中不含0的有C 12·A 33＝12个；②所得空间坐标系中的点的坐标中含有1个0的有C 12·A 33＋A 33＝18个；③所得空间坐标系中的点的坐标中含有2个0的有C 13＝3个． ∴共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个．10．已知a 、b 为常数，b >a >0，且a 、－32、b 成等比数列，(a ＋bx )6的展开式中所有项的系数和为64，则a 等于 ( )A ．－12 B.12C ．－1 D.32[答案] B[解析] 由a 、－32、b 成等比数列得ab ＝34，由(a ＋bx )6展开式中所有项的系数和为64得 (a ＋b )6＝64，∴⎩⎪⎨⎪⎧b >a >0ab ＝34(a ＋b )6＝64，∴⎩⎨⎧34a >a >0a ＋34a ＝2，∴a ＝12.二、填空题11．甲、乙两个自然数的最大公约数为396，则甲、乙两个数的公约数有________个． [答案] 18[解析] 两数的公约数一定是最大公约数396的约数，∵396＝22×32×11，故得到甲、乙两数的一个公约数需分三步．第一步，确定有几个2，共3种方法；第二步，确定有几个3，共3种方法；第三步，确定有无11，共2种方法，当2,3,11都不取时，公约数为1，故共有公约数3×3×2＝18个．12．从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中任取三条，取出的三条线段为边可组成钝角三角形的概率为______．[答案] 15[解析] 从五条线段中任取3条，不同取法共有C 35＝10种．其中能构成三角形的有：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中22＋32<42,23＋42<52，∴钝角三角形有2个．∴所求概率p ＝210＝15.13．如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是________．[答案] 115[解析] 6个数任意填入6个小正方形中有6！＝720种方法；将6个数分三组(1,6)，(2,5)，(3,4)，每组中的两个数填入一对面中，共有不同填法6×2×2×2＝48种，故所求概率P ＝48720＝115. 14．(09·湖南)在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)．[答案] 7[解析] C 13＋C 23＋C 33＝23－1＝7. 三、解答题15．集合P ＝{a ，b ，c }是M ＝{1,2,3，…，24}的子集，且a ＋b ＋c 是3的倍数，这样的集合P 有多少个？[解析] 设A ＝{x |x ＝3k }，B ＝{x |x ＝3k －1}，C ＝{x |x ＝3k －2}，其中k ＝1,2,3，…，8. (1)当a 、b 、c ∈A (或B 、或C )时，a ＋b ＋c 是3的倍数，有3C 38＝168个．(2)当a 、b 、c 一个在A 中，一个在B 中，一个在C 中时，a ＋b ＋c 是3的倍数． 有8×8×8＝512个，∴共有168＋512＝680个．16．已知(3x －1)7＝a 0x 7＋a 1x 6＋…＋a 6x ＋a 7， (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7的值； (2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|的值； (3)求a 0＋a 2＋a 4＋a 6的值．[解析] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 7＝27.(2)将所求式子视为(3x ＋1)7的展开式的各项系数和即可，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝47.(3)令x ＝1得，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝27①令x ＝－1得，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 7＝(－4)7② ①－②得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝8256.17．一排有7个座位，安排4女3男共七个学生入座． (1)男生相邻的坐法有多少种？ (2)男生不相邻的坐法有多少种？(3)每个男生两边都有女生的坐法有多少种？[解析] (1)3个男生看作一个整体，与4个女生一起排列，共有A 33·A 55＝720种不同坐法．(2)男生插空，先排女生有A 44种，形成5个空位选3个排男生有A 44·A 35＝1440种．(3)男生插空，先排女生有A 44种，且男生只能在女生形成的3个空档中排，∴有A 44·A 33＝144种．18．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992，求⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n 的展开式中． (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．[解析] 由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，∴2n ＝32，解得n ＝5.(1)由二项式系数的性质知，⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大． ∴T 6＝C 510(2x )5⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－8064.(2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大，∵T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 10·210－r ·x 10－2r ， T r ＝C r －110(2x )11－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r －1＝(－1)r －1C r －110·211－r ·x 12－2r，三 T r ＋2＝C r ＋110(2x )9－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＋1 ＝(－1)r ＋1C r ＋110·29－r ·x 8－2r，∴⎩⎪⎨⎪⎧C r 10·210－r ≥C r －110·211－rC r 10·210－r ≥C r ＋110·29－r， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10≥2C r －1102C r 10≥C r ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r2(r ＋1)≥10－r， 解得83≤r ≤113，∵r ∈Z ，∴r ＝3，故系数的绝对值最大的是第4项， T 4＝－C 310·27·x 4＝－15360x 4.。