广东省韶关市2019-2020学年数学高二下期末复习检测试题含解析

高二下学期期末数学试卷一、选择题： DABCC AADCB二、解答题：11．本题考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、古典概型及其概率和运算求解能力，考查了解独立性检验(2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．满分12分． 解：(Ⅰ)∵从评分等级(4，5]的20人中随机选取2人，共有190220=C 种结果，……2分其中恰有1人为男性的共有9618112=C C 种结果，……4分 故所求概率954819096==P ……6分 (Ⅱ)假设0H ：是否满意该商品与买家的性别之间无关 则841.3769.548525050)18203032(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ……11分 因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为满意该商品与性别有关．……12分12．本题考查利用函数导数与函数的极值的关系，求闭区间上函数的最大值、最小值．考查运算求解能力，考查函数与方程与整合思想、数形结合思想及化归与转化思想．满分12分． 解：(Ⅰ)由12)(23+++=bx ax x x f ，得b ax x x f ++='26)(2，……1分由题知⎩⎨⎧-=+-=+⇒⎩⎨⎧=++=-=+++=629026)1(612)1(b a b a b a f b a f ⎩⎨⎧-==∴123b a ……4分 经检验⎩⎨⎧-==123b a 符合题意……5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，11232)(23+-+=x x x x f ，)2)(1(61266)(2+-=-+='x x x x x f ，故20)(-=⇔='x x f 或x ＝1，……6分 列表如下：∵f(2)＝5＜21＝f(－2)，∴f(x)在[－2，2]上的最大值为21，最小值为－6……12分13．本题考查利用合情推理与归纳假设得出结论的思想方法及能力，考查等比数列的求和计算；及考查用数学归纳法等其它直接证明的方法推理论证简单的数学命题的能力． 解：(Ⅰ)由正方形数的特点可知2n a n =；……2分由二项式定理的性质，杨辉三角第n 行n 个数的和为11111012-----=+++=n n n n n n C C C S ，……3分 所以1222211221-=++++=+++=-nn n n S S S T ．……5分(Ⅱ)312,4222=-==T a ，所以712,9;33322=-==>T a T a ，所以;33T a >1512,16444=-==T a ，所以3112,25;55544=-==>T a T a ，所以;55T a <6312,36666=-==T a ，所以;66T a <……猜想：当2≤n ≤4时，n n T a >；当n ≥5时，n n T a <．……8分 证明如下：法1：当2≤n ≤4时，已证；下面用数学归纳法证明：当n ≥5时，n n T a <． ①当n ＝5时，已证；②假设n ＝k(k ≥5，k ∈N *)时，猜想成立，即：k k T a <，所以122-<k k ；那么，1121)12(21221222211++=+>+-=-⋅=-=++k k k T k k k k22)1(12+=++>k k k所以，当n ＝k ＋1时，猜想也成立．综合①②，可知当n ≥5时，n n T a <．……12分 法2：当2≤n ≤4时，已证；下面证明：当n ≥5时，n n T a <，即证122-<n n ，即证122+>n n ，∵n n n n n n n C C C C ++++=+= 210)11(212222)1(12)(2222210+>++=-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=++≥n n n n n n n n n C C C n n n ∴当n ≥5时，n n T a <成立……12分14．本题主要考查分段函数的认识，考查函数、导数、不等式等知识的应用，考查函数思想及转化能力、计算能力及解决实际问题的能力．满分14分． 解：(Ⅰ)当x ∈[30，50]时，设该工厂获利为S ，则700)30(160060)160040(20222---=-+-=+--=x x x x x x S ，……3分所以当x ∈[30，50]时，S ＜0，因此，该工厂不会获利．……4分 当x ＝30时，S 取得最大值－700，所以国家至少需要补贴700万元才能使该工厂不亏损．……5分 (Ⅱ)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+∈+==]50,30[,401600)30,10[,640251)(2x x x x xx x y x P ……7分①当x ∈[10，30)时，x x x P 640251)(2+=，23225)8000(2640252)('xx x x x P -=-= 因为x ∈[10，30)，所以当10≤x ＜20时，P '(x)＜0，P(x)为减函数； 当20＜x ＜30时，P '(x)＞0，P(x)为增函数；所以当x ＝20时，P(x)取得最小值48206402520)20(3=+=P ……10分 ②当x ∈[30，50]时，404016002401600)(=-⋅≥-+=xx x x x P ， 当且仅当xx 1600=， 即x ＝40∈[30,50]时，P(x)取得最小值P(40)＝40．……13分因为48＞40，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最低．……14分B 卷(共50分)三、填空题： 15．5； 16．1.75； 17．(0，1)； 18．14； 19．17； 20．①④四、解答题：本大题共2小题，共26分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．21．本题考查概率统计等基础知识，理解取有限个值的离散型随机变量的均值和方差的概念及其计算，考查数据处理能力、推理论证、运算求解能力，能解决一些实际问题，满分12分． 解： (Ⅰ)依题意，41161127=⇒=++a a ……1分 设投入到项目A 和B 的资金都为X 万元变量1X 和2X 分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，则1X 和2X 的分布列分别为：由分布列得X X X X E 2.041061)2.0(1274.0)(1=⨯+⨯-+⨯=，……2分 cX bX X E 1.03.0)(2-=，……3分因为)()(21X E X E =，所以0.3b －0.1c ＝0.2，又b ＋c ＝1,解得41,43==c b ； 综上，;41,43,41===c b a ……4分 (Ⅱ)当投入100万元资金时，由(I)知X ＝100，所以20)()(21==X E X E ，60041)200(61)2020(127)2040()(2221=⨯-+⨯--+⨯-=X D ，……5分 30041)2010(43)2030()(222=⨯--+⨯-=X D ，……6分因为)()(21X D X D >，说明虽然项目A 和项目B 的平均收益相等， 但项目B 更稳妥，所以，从风险控制角度，建议该投资公司选择项目B ……7分 (Ⅲ)2211100100,100X xY X x Y -==， 所以)100100()100()(2121X xD X x D DY DY x f -+=+=……9分 2212100100)100(DX x DX x ⎪⎭⎫⎝⎛-+=200)3100(1009])100(2[1003222+-=-+=x x x ……11分 所以当3100=x 时，f(x)取得最小值200．……12分 22．本题考查函数导数的几何意义，考查利用函数与导数运算求解、推理论证能力，考查函数与方程与整合思想、数形结合思想及化归与转化思想．满分14分． 解：(Ⅰ)∵xax f =')(，12)(-='bx x g ，……1分 由题知⎩⎨⎧'===)1()1('0)1()1(g f g f ，代入解得：⎩⎨⎧-==-1201b a b ，∴⎩⎨⎧==11a b ……3分(Ⅱ)令22ln )(ln )()()(x x a x x x x a x x g x f x h -=---=--=．……4分∴)0(2)(2>-='x x x a x h ，令h ′(x)＝0，得2a x ±=(∵x ＞0，∴2ax =) ∵ax e 1≤≤且a ＞2e ，∴1e 2>>a，显然2e a a >令h ′(x)＞0得)2,1(a ，∴h(x)在)2,1(a 单调递增； 令h ′(x)＜0得)e ,2(a a ，∴h(x)在)e ,2(a a 单调递减；……6分 故)12(ln 222ln )2()(max -=-===a a a a a a h x h ∵a ＞2e ，∴e 2>a ，∴1e ln 2ln =>a，∴0)2(>a h ，又h(1)＝－1＜0，而0)e )(e (e)e (e ln )e (222<-+=-=-=a a aa aaa a a a h ，∴方程f(x)－g(x)＝x 在],1[a e 上有2个实根……8分 (Ⅲ)2211)()()()(x x x f x f x x x f x f -->-- )0(21x x x <<<．下面证明：……9分∵)1(ln )1(lnln ln )()(111111111-=-=--=--=xx x x xx x x x x x x x x x x x f x f S ，取)1,0(11∈=x x t ， ∴)1(ln 111-=t x t S ，同理，取122>=x x t ，则)1(ln )()(22222-=--=t x t x x x f x f S ，……10分 令)0(1ln )(>-=t t t t F ，∴)0()1(ln 1)1(ln )1(1)(22>---=---='t t t t t t t tt t t F ， 再令t t t t ln 1)(--=φ，则t t ln )(-='φ，……11分 当0＜t ＜1时，0)(>'t φ，∴函数)(t φ在(0，1)上递增； 当t ＞1时，0)(<'t φ，∴函数)(t φ在(1，＋∞)上递减． 故0)1()(max ==φφt ，∴0)1()(=≤φφt ，即F '(t)≤0， ∴F(t)在(0，＋∞)上单调递减……12分 又∵210t t <<，∴)()(21t F t F >，即证1ln 1ln 2211->-t t t t ，……13分 又∵x ＞0，∴222111)1(ln )1(ln S t x t t x t S =->-=，即证得：2211)()()()(x x x f x f x x x f x f -->--……14分高二下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若i 为虚数单位，则关于 1i，下列说法不正确的是A ．1i 为纯虚数B ．1i 的虚部为i -C ．|1i |=lD ．1i在复平面上对应的点在虚轴上 2．下列式子不．正确的是 A.()23cos 6cos sin x x xx x x x '+=+- B. ()sin 22cos2x x '=C ．2sin cos sin x x x x x x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．23112ln x x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 3．已知复数),,,(,,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=，下列命题中：①21,z z 不能比较大小；②若1||1≤z ，则111≤≤-z ；③⎩⎨⎧==⇔=db ca z z 21；④若021=+z z ，则021==z z .其中正确的命题是A ．②③B ．①③C ．③④D ．②④ 4．用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++5．(A 题）直线t ty t x (32⎩⎨⎧-=+=为参数)的倾斜角等于A ．43π B ．3π C ． 4π D ．6π （B 题）如图，空间四边形ABCD 中，G M ,分别是BC 、CD的中点，则AB +等于A ．ADB ．GAC ．AGD ．MG6．已知二项式n 的展开式中第四项为常数项，则n 等于A ．9B ．6C ．5D ．37．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 A ．96种B ．48种C ．34种D ．144种8. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两 局才能得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12B ．35C ．34D ．239.已知随机变量ξ和η，其中210+=ξη，且365)(=ηE ，若ξ的分布列如右表，则m 的值为 A ．4760 B ．3760 C ．2760 D ．1810. 已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的 图象如图所示． 下列关于()f x 的命题： ①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2， 那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的个数是 A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知f(x)＝x 3的所有切线中，满足斜率等于1的切线有 条.12．已知61512++++=x x x x C C C ，则=+42x x C .13．复数i ii z +-+=1)1(2，则=||z ．14．俗话说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，某校三位学生参加数学省举行的数学团体竞赛， 对于其中一题，他们各自解出的概率分别是41,31,51，由于发扬团队精神，此题能解出的概率是 ．15．（A 题）在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2:4C πθ=，若曲线1C 与2C 交于,A B 两点，则线段AB的长度为 ．（B 题）已知α//l ，且l 的方向向量为()1,,2m ，平面α的法向量为⎪⎭⎫⎝⎛2,21,1，则=m ． 16．（A 题）已知函数|32||12|)(-++=x x x f ．若关于x 的不等 式|1|)(-<a x f 的解集非空，则实数a 的取值范围是________．（B 题）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，90=∠ABC ，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为______.17．已知函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>若对任意的]6,3[∈a ，不等式()1f x ≤在]2,2[-∈x 上恒成立，则m 的取值范围是____________.三、解答题（本大题共5小题，共69分） 18．（本题满分13分）已知甲、乙、丙等6人 .（1）这6人同时参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？（2）这6人同时参加6项不同的活动，每项活动限1人参加，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？（3）这6人同时参加4项不同的活动，求每项活动至少有1人参加的概率.19．（本题满分13分）（A 题）以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点)4,2(--P 的直线L 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222，设直线L 与曲线C 分别交于N M ,；（1）写出曲线C 和直线L 的普通方程；（2）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值． （B 题）如图，在棱长为1的正方体1AC 中，E 、F 分别为11D A 和11B A 的中点．(1)求平面1ACC 与平面1BFC 所成的锐二面角；(2)若点P 在正方形ABCD 内部或其边界上，且//EP 平面1BFC ，求EP 的取值范围．20．（本题满分14分）某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考察得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η.(1)写出ξ的概率分布列，并求出E(ξ)，E(η)；(2)求D(ξ)，D(η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？21．（本小题满分14分）（A 题）已知+∈R z y x ,,，且1=++z y x ． (1)求证：27111222≥++zy x ； (2)若333222)(z y x z y x ++≤++λ恒成立，求实数λ的最大值． （B 题）设函数),,,(,)(23R d c b a d cx bx ax x f ∈+++=． （1）若3)21()(x x f -=，求d c b a -++23的值； （2）若0,31<=b a ，()y f x =在0x =处取得极值1-，且过点(0,0)可作曲线()y f x =的三条切线，求b 的取值范围.22．（本题满分15分）已知函数()()2ln f x x a x a R =+∈． (1)讨论函数)(x f 的单调性；(2)若函数)(x f 的最小值为()a ϕ，求()a ϕ的最大值；(3)若函数)(x f 的最小值为()a ϕ，,m n 为()a ϕ定义域A 内的任意两个值，试比较()()2m n ϕϕ+与2m n ϕ+⎛⎫⎪⎝⎭的大小．参考答案1212,328t t t t a +=+=+，由22212121212()3t t t t t t t t =-⇒+=2)5(328)a ⇒+=+2340a a ⇒+-=又因为0a >，所以1a =…………………………………………………………………14分（B 题）解: （1）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,1(A ，1(,0,1)2E ， )0,1,1(B ，)1,21,1(F 平面1ACC 的一个法向量为)0,1,1(=DB ，设平 面1BFC 的法向量为),,(z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⋅=⋅=+-=⋅,0)1,0,1(),,(,0211z x z y x BC n z y BF n ∴,2.x z y z =⎧⎨=⎩ 取1z =得平面1BFC 的一个法向量)1,2,1(=n ……………………………………………5分236221||||,cos =⋅+=⋅=〉〈n DB n DB ，因为〉〈n DB ,为锐角， ∴所求的锐二面角为6π． …………………………………………………7分由η～B(3，23)，D(η)＝3×23×13＝23．可见，E(ξ)＝E(η)，D(ξ)<D(η)，因此，建议该单位派甲参加竞赛．………………………………………………………………………………………………14分21.（A 题）解：证明（1） +∈R z y x ,,，且3103133≤<⇒≥++=xyz xyz z y x ，27)31(3)(331112233222222=≥=≥++∴xyz z y x zy x 故27111222≥++zy x 当31===z y x 时等号成立……………………………6分 （2） +∈R z y x ,,， 1=++z y x 且333222)(z y x z y x ++≤++λ恒成立，222333z y x z y x ++++≤∴λ恒成立， 2222333333)())((z y x z y x z y x z y x ++≥++++=++又 311)()111)((2222222222≥++⇒=++≥++++z y x z y x z y x 31)(31222333222333≥++++⇒++≥++∴zy x z y x z y x z y x 当31===z y x 时等号成立 31≤∴λ，故实数λ的最大值为31…………………………………………………14分 （B 题）解：（1）d cx bx ax x x f +++=-=233)21()( ，对此等式两边同时求导数得：c bx ax x ++=--23)2()21(322，令1=x 得：623-=++c b a ，又由二项式定理知1=d故71623-=--=-++d c b a ………………………………………………6分 此题还可直接利用二项式定理求出d c b a ,,,的值，然后再求d c b a -++23的值. （2）c bx x x f ++='2)(2，由题意可得'(0)0f =，(0)1f =-，解得1,0-==d c经检验，()f x 在0x =处取得极大值.∴131)(3-+=bx x x f ………………………8分 设切点为00(,)x y ，则切线方程为0'00()()y y f x x x -=-即为132)2(2030020---+=bx x x bx x y ……………………………………………………9分 因为切线方程为132)2(2030020---+=bx x x bx x y ，把(0,0)代入可得01322030=++bx x ， 因为有三条切线，故方程01322030=++bx x 有三个不同的实根.………………………11分 设)0(0132)(23<=++=b bx x x g bx x x g 22)(2+='，令022)(2=+='bx x x g ，可得0x =和b x -=22. 解： (1)显然0x >，且xax f +='2)(……………………………………………1分 ① 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在定义域内单调递增； ② 当0a <时，若0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()0f x '<，函数单调递减； 若,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>函数单调递增…………………………4分 (2)由(1)知，当0a ≥时，函数()f x 在定义域内单调递增，所以)(x f 无最小值. 当0a <时，2a x =-时，)(x f 最小，即()ln 22a a a f a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()ln 2a a ϕ⎛⎫'=-⎪⎝⎭因此，当2a <-时，()0a ϕ'>，函数()a ϕ单调递增； 当20a -<<时，()0a ϕ'<，函数()a ϕ单调递减；故()a ϕ的最大值是()22ϕ-=…………………………………………………………8分 (3) 由(1)知{}|0A a a =<,极小值即最小值2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故()ln 922a a a f a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分对于任意的,m n A ⊂且m n ≠有，()()ln ln 22ln 222224m n m m n n m n m n m n m n M n ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪++⎡+++⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22ln ln ln ln ln 1122222422m m n n m n m n m m n n m n m n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭分 不妨设0m n <<，则1m n >，令()1mt t n=>则 ()()2222ln ln ln ln 22221111m m n m n n m n t n t m m n t t n n ϕϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎪ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦设()()()22ln ln ln 2ln 1ln 2ln 111t u t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=+=-++-+⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()ln 2ln 21ln(1)t t t t =+-++所以2()ln 2ln(1)ln()1t u t t t t '=-+=+，因为221110111t t t t t t t ----==>+++即211tt >+，所以()0u t '>，即函数()u t 在()1,t ∈+∞上单调递增. 从而()(1)0u t u >=，但是02n <，所以()()022m n m n ϕϕϕ++⎛⎫-< ⎪⎝⎭即)2(2)()(nm n m +<+ϕϕϕ……………………………………………………………14分侧视图主视图高二下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 （2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x（B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2}（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为 （A） （B） （C（D （5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为 （A ）23 （B ）15 （C ）52 （D ）14（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A）37 （B ）13（C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24xf x =-（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+（8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A（B（C（D（9）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32- （10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是 （A ）76 （B ）70 （C ）64 （D ）62DC 1B 1CBA （11）设2()3,()ln(3)x f x e g x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]-(12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2） （B ）1∞（-,-) （C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上． （13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为 ．（14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥， 则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知2,b =3B π=，且△ABC 的面积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.（19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC⊥平面BCC 1B 1．（Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1,（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点. （Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围．请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C. （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯. （11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意 到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a =，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：（15）问题转化为求直线与圆2x y +=有公共点时，的取值范围，数形结合易得a -≤（16）由余弦定理得2222cos 4b ac ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 2S ac B ===4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==，------------------------------------------------------------------------------1分∴1(1)n a a n d n=+-=，------------------------------------------------------------------------------3分∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分(Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分EA BCB 1C 1D(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分 （18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯， ------2分 高二学生的人数为:59=39+6⨯；-------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2), (a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能；----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分【解法:2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=.---------------------------------------------------------------------------12分（19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分 ∵D、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===,∴BD =;----------------------------------------------------------------------------------------------------8分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1 ∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=. ---------------------------------12分 【解法2：取1CC 中点F,连结DF ， ∵DF为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅111132212=⨯⨯=. --------------------------------12分 （20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得:222(2)(1)x y -+-=,----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分 依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--= 整理得:222210x y x y +--+=,------------------------------------------------------------------------4分 ∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交, ∴点P的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---= 得2230y y --=,解得1y =-或3y =, 不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设,------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得:22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分 216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k +==-++,------------------------------------------------------------------------9分由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-,∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得:2k =±,---------------------------------------------------------------------------------------------11分∴当2OM ON ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =+. --------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分 ∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分 （Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x≤---，--------------6分记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-，当∈x 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x <∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即实数a的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞--⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分 代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分 ∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14， 故线段P 1P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分 即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得 其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f(x)＝|x －2|＋|x ＋2|， ①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分 综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分 所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*） 当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分 当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分 故所求a的取值范围为5[,+2∞）.--------------------------------------------------------------------------10分高二下学期期末数学试卷一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是（ ）A ．ˆ510yx =- B ．ˆ510y x =+ C ．ˆ510y x =-- D ．ˆ510y x =-+ 2．已知随机变量X 的分布列如右图所示，则E(6X ＋8)＝( )A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.23．6)3(y x +的二项展开式中，42y x 项的系数是（ ）A ．90B ．45C ．270D ．1354．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有( )A ．18种B ．36种C ． 48种D ．60种5.过点(0，2)且与直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)互相垂直的直线方程为( )．A.⎩⎨⎧x ＝3t y ＝2＋tB.⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2＋tC.⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2－tD.⎩⎨⎧x ＝2－3ty ＝t6．已知x,y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且0.95,y x a a ∧=+=则A ．2．2B ．2．7．若直线的参数方程为12()24x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为( )A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 8．直线1:0l x y +-=与直线2,2:(x l t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）的交点到原点O 的距离是（ ） 9．已知随机变量ξ服从正态分布N （2，a 2），且P （ξ＜4）=0.8，则P （0＜ξ＜2）=（ ）A ．0.6 B．0.4 C ．0.3 D ．0.2 10．若随机变量X 的分布列如表:则E(X)=( )A.181 B.91 C.9 D.2011.若P(2，－1)为圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )．A ．x －y －3＝0B ．x ＋2y ＝5C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝012．甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为32，则甲以1:3的比分获胜的概率为（ ） A ．278 B ．8164C ． 94D ．98二、填空题（每小题5分，共计20分）.13.已知55443322105)21(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则=++++54321a a a a a ________；14．把一枚硬币任意抛掷两次，记第一次出现正面为事件A ，第二次出现正面为事件B ，则P(B|A)等于________． 15．已知点A 为椭圆x225＋y29＝1上任意一点，点B 为圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，求|AB|的最大值为_______16．已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{cos sin x y θθ==（θ为参数），直线l 的极坐标方程为cos()63πρθ-=．点P 在曲线C 上，则点P 到直线l 的距离的最小值为________．三、解答题（共70分,写出必要的计算或证明步骤）.17．（10分）已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝3x －y 的最值．18．（12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下列表：已知在全班50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为5．（1）请将上表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否有99．5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由． 下面的临界值表供参考：1 (参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)19．（12分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23. (1)求乙至多击中目标2次的概率；(2)记甲击中目标的次数为Z ，求Z 的分布列、数学期望和标准差．20. （12分）设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos α，y ＝4＋tsin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)． (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率．(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．21．（12分）某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为23，且相互间没有影响. (1）求选手甲进入复赛的概率；(2) 设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试求X 的分布列和数学期望.22．（12分）某高校在2018年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3，4，5组的频率； (2)若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试， (ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；75 80 85 90 95错误!0.010.02 0.04 0.06 0.07 0.03 0.05(ⅱ)学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有ξ名学生被考官L 面试，求ξ的分布列和数学期望．高二下学期期末数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，满分50分，每小题5分，每小题给出四个选项，只有一个是符合题目要求的。

2019-2020学年广东省韶关市高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =--≤，集合B 为正整数集，则A B =（ ）A ．1,0,1,2B ．{}1C ．{}0,1,2D ．{}1,2【答案】D【解析】解一元二次不等式可得{}|12A x x =-≤≤，再由集合的交集运算即可得解. 【详解】因为集合{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤，集合B 为正整数集，所以{}1,2AB =.故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2．设复数z 满足()14i z i +=，则z =（ ）A ．2B C ．2D ．【答案】D【解析】转化条件为41iz i=+，由复数的除法运算可得22z i =+，进而可得复数的模. 【详解】因为()14i z i +=，所以()()()41444221112i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==.故选：D. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数模的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．命题“对任意x ∈R ，都有20x x ->”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有20x x -≤B ．存在0x R ∈，使得2000x x -≤C ．存在0x R ∈，使得2000x x ->D ．不存在0x R ∈，使得2000x x -≤【答案】B【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断即可. 【详解】命题“对任意x ∈R ，都有20x x ->”是全称量词命题，则命题的否定是：存在0x R ∈，使得2000x x -≤.故选：B 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.4．若将一个骰子随机掷两次，设前后两次得到的点数分别为x ，y ，则事件1x y -=的概率为（ ） A ．518B ．536C ．16D ．136【答案】A【解析】先确定前后两次得到的点数构成的总事件数，再确定事件1x y -=包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】将一个骰子随机掷两次，共有36种基本事件，其中1x y -=包含(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5)这10种基本事件， 因此概率为1053618= 故选：A 【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.5．已知平面向量a 与b 均为单位向量，且3a b -=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．60︒ B ．120︒C ．30D ．150︒【答案】B【解析】由平面向量数量积的运算可得2222a b a a b b -=-⋅+，进而可得12a b ⋅=-，设a 与b 的夹角为,0,180αα⎡⎤∈⎣⎦，再由平面向量数量积的定义可得cos α，即可得解. 【详解】因为平面向量a 与b 均为单位向量，且3a b -=， 所以()22222223a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=-⋅=，所以12a b ⋅=-，设a 与b 的夹角为,0,180αα⎡⎤∈⎣⎦， 所以1cos 2a ba bα⋅==-⋅，所以120α=.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】=，进而可得b =，再由双曲线离心率公式e =. 【详解】由题意可得双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=， 设其中一个焦点()(),0,0F c c >，则222+=a b c则焦点到渐近线的距离bcd b c====， 所以该双曲线的离心率3c e a ====.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用及离心率的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 7．已知函数()()22ln ||xxf x x -=+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的性质以及特殊点的位置，即可根据排除法解出． 【详解】因为函数()()22ln ||xxf x x -=+定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()f x f x -=， 所以函数()()22ln ||xxf x x -=+为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D ；又因为()10f =，可排除C ；()()10f e f >=，可排除A ． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别，属于基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352=S ，数列{}n b 为等比数列，且77b a =，则113b b ⋅=（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】A【解析】由等差数列的性质及前n 项和公式可得74a =，再由等比数列的性质可得21137b b b ⋅=，即可得解.因为数列{}n a 为等差数列， 所以1131371313522a a S a +=⨯==，所以74a =， 所以774b a ==，又数列{}n b 为等比数列，所以2113716b b b ⋅==.故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．若a ，b ，c 满足11102a =，4105b =，5ln 2c =，则（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C【解析】转化条件为()1102048a =，()110625b =，由幂函数的性质可得1a b >>；由对数函数的性质可得ln 1c e <=，即可得解. 【详解】 因为()()111111101010222048a ===，()()411410101055625b ===，所以1a b >>， 又5lnln 12c e =<=，所以1c b a <<<. 故选：C. 【点睛】本题考查了指数幂的运算及幂函数、对数函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题.10．设抛物线28y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为Q ，过点Q 作斜率为()0k k <的直线交抛物线于,A B 两点，若2AF BF =，则k 的值为（ ）A ．3-B ．C ．-D ． 【答案】A【解析】联立方程，借助韦达定理即可建立关于k 的方程，解之即可. 【详解】方法一：（韦达定理消去x ）抛物线的焦点为()2,0F ，准线2x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12AF x =+，22BF x =+，由2AF BF =得12222x x ，即有1222x x =+①，联立28y x =与直线()2y k x =+的方程得()22224840k x k x k +-+=，则有()2122480k x x k k-++=<②，124x x =③.由①、②得124,1x x ==，代入②中得()224850k k k -+=<，解得k =A . 方法二：（韦达定理消去y ）设抛物线的准线:2m x =-，分别过,A B 作AA m '⊥，BB m '⊥，由2AF BF =得2AA BB ''=，则有2QA QB ''=.设()11,A x y 、()22,B x y 从而有122y y =.联立28y x =与直线()2y k x =+的方程得28160ky y k -+=，则有128y y k +=①，1216y y =②，由122y y =则有12283y y y k+==③，2122216y y y ==④，消去2y 得()2890162k k ⎛⎫⎪⎝⎭=<，解得3k =-，故选A. 方法三：（几何法）设抛物线:2m x =-，分别过,A B 作AA m '⊥，BB m '⊥，由2AF BF =得2AA BB ''=，则有2QA QB ''=，则B '是QA '的中点，设(),A A A x y 、(),B B B x y ，从而有2A B y y =.则B 是QA 的中点，则有12OB AF =（O 是原点），而12BF AF =，则OB FB =，故点B 在线段OF 的垂直平分线上，则1B x =，从而B y =-，则A y =-，4A x =，故k =故选A. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系问题，考查了韦达定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、多选题11．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是棱PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ，则有（ ）A ．异面直线PA 与BD 所成角大小为3π B ．平面PAC ⊥平面PBD C ．PB ⊥平面EFD D ．BD ED ⊥【答案】ABC【解析】连接AC 交BD 于O ，连接EO ，即可得EOD ∠或其补角即为异面直线PA 与BD 所成角，即可判断A ；由线面垂直的性质与判定可得AC ⊥平面PBD ，再由面面垂直的判定可判断B ；利用线面垂直的性质与判定即可判断C ；由DE ⊥平面PBC 可知DE EB ⊥，即可判断D.【详解】对于A ，连接AC 交BD 于O ，连接EO ，如图，因为底面ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点，所以//EO PA ， 所以EOD ∠或其补角即为异面直线PA 与BD 所成角， 不妨设1PD DC ==，则2PA BD PC ===，所以22EO OD DE ===， 所以3EOD π∠=，所以异面直线PA 与BD 所成角为3π，故A 正确； 对于B ，由PD ⊥底面ABCD 可得PD AC ⊥， 又因为BD AC ⊥，所以AC ⊥平面PBD ，由AC ⊂平面PAC 可得平面PAC ⊥平面PBD ，故B 正确； 对于C ，由PD ⊥底面ABCD 可得PD BC ⊥，又因为CD BC ⊥，所以BC ⊥平面PCD ，所以BC DE ⊥，又PD DC =，E 是棱PC 的中点，所以DE PC ⊥，所以DE ⊥平面PBC ， 所以DE PB ⊥，因为EF PB ⊥，所以PB ⊥平面EFD ，故C 正确；对于D ，由DE ⊥平面PBC 可知DE EB ⊥，故BD ED ⊥不成立，故D 错误.故选：ABC. 【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的判定与性质及异面直线所成角的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.12．已知函数()2sin cos f x x x =，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C ．函数()()1g x f x =+在区间[]0,2π上有且仅有3个零点 D ．若()()122f x f x +=，则1222k x x ππ+=+（k Z ∈） 【答案】AD【解析】由三角函数的周期性可判断A ；由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin 2f x x =，结合三角函数的图象与性质即可判断B ；按照30,,222x πππ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦、3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭分类，即可判断C ；由三角函数的图象与性质可得111,42k x k Z ππ=+∈，222,42k x k Z ππ=+∈，即可判断D ；即可得解. 【详解】由题意()sin 2,22222sin cos ,3sin 2,2222x k x k f x x x k Z x k x k ππππππππ⎧-+<≤+⎪⎪==∈⎨⎪-+<≤+⎪⎩， 对于A ，因为()()()()22sin 2cos 22sin cos f x x x x x f x πππ+=++==， 所以()f x 是周期函数，故A 正确； 对于B ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin 2f x x =，[]20,x π∈，所以函数()f x 不单调，故B 错误； 对于C ，当30,,222x πππ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()()1sin 21g x f x x =+=+， 因为[][]20,3,4x πππ∈，所以此时函数()g x 有一个零点；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1sin 21g x f x x =+=-+，因为()2,3x ππ∈，所以此时函数()g x 有一个零点； 所以函数()g x 在[]0,2π只有两个零点，故C 错误；对于D ，()()1212sin 2sin 22f x f x x x +=+=，所以12sin 2sin 21x x ==， 所以1sin 21x =±，2sin 21x =±， 所以1112,2x k k Z ππ=+∈，2222,2x k k Z ππ=+∈，所以111,42k x k Z ππ=+∈，222,42k x k Z ππ=+∈， 所以()121212,42422222k k k k k k Z x x ππππππππ++++=+=+=∈+，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查了三角恒等变换及三角函数图象与性质的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.三、填空题13．tan 750︒=______.【解析】由题意结合诱导公式可得tan750tan30︒=︒，即可得解. 【详解】由题意()tan 750tan 7503602tan 30︒=︒-︒⨯=︒=【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14．在6x⎛+ ⎝的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】写出二项展开式通项，通过3602r-=得到4r =，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为：366622666rr r r r r r r C x C x x C xx ----⋅⋅=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭当3602r-=时，4r = ∴常数项为：4615C =本题正确结果：15 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.15．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.如图，在“鳖臑”A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且BD CD ⊥，1AB BD CD ===，点P 在侧棱AC 上运动，当PBD △的面积最小时，三棱锥P BCD -的外接球表面积为______.【答案】94π【解析】过点P 作PO BC ⊥于O ，ON BD ⊥于N ，连接PN ，由线面垂直的判定与性质可得PN BD ⊥，设PC x =，由平面几何的知识可得3x PO =33x ON -=，进而可得23332322PN x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭PBD △的面积最小时， P 为AC 的中点；确定球心所在直线后，列方程确定外接球的半径，由球的表面积公式即可得解. 【详解】过点P 作PO BC ⊥于O ，ON BD ⊥于N ，连接PN ，如图，则//PO AB ，//ON CD ，所以PO ⊥平面BCD ， 所以PO BD ⊥，BD ⊥平面PON ，所以PN BD ⊥， 由1AB BD CD ===可得2BC =3AC =设PC x =，由PO PC AB AC =可得33xPO =， 由ON OB AP CD BC AC ==可得33ON =， 所以222223332233333PN P N x x O x x O ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎭-+⎝ 23332322x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当PBD △的面积最小时，PN 最小，此时3x =即P 为AC 的中点， 所以O 也为Rt BCD 斜边的中点，1222BO CB ==，1122PO AB ==， 所以三棱锥P BCD -的外接球的球心在直线PO 上，设为1O ，设外接球半径为r ，连接1O B ，则22211222O B r ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 所以 2221222r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得34r =， 所以三棱锥P BCD -的外接球表面积22394444S r πππ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭.故答案为：94π.本题考查了几何体外接球表面积的求解及线面位置关系的应用，考查了运算求解能力与空间思维能力，属于中档题.四、双空题16．直线y x b =+被圆()()22114x y -+-=截得的弦长的最大值是______；若该圆上到此直线y x b =+的距离等于1的点有且仅有4个，则b 的取值范围是______.【答案】4 (【解析】确定圆的圆心和半径，由圆的性质可得直线过圆心时截得的弦长最大；转化条件为圆心到直线的距离[)0,1d ∈，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为圆()()22114x y -+-=的圆心为()1,1，半径为2，所以当直线y x b =+过圆心时，截得的弦长最大，最大值为4； 若要使该圆上到此直线y x b =+的距离等于1的点有且仅有4个，则圆心到直线的距离[)0,1d ==，所以(b ∈.故答案为：4；(. 【点睛】本题考查了由圆的标准方程确定圆的圆心和半径，考查了直线与圆位置关系的应用，属于基础题.五、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c B a b =-．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若c =，1b a -=，求ABC ∆的面积．【答案】（1）3π （2）2【解析】借助余弦定理进行“角转边”，得出222a b c ab +-=，利用余弦定理求出cos C ，得出角C ，已知边c 和角C ，利用余弦定理列出,a b 关系式，与1b a -=联立，求出,a b 的值，求出面积.（1）由2cos 2c B a b =-得：222222a c b c a b ac+-=-，∴ 222a b c ab +-=，∴ 2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,C π∈，∴ 3C π=.（2） 3C π=,c =∴ 223a b ab +-=，又1b a =+，∴ 220a a +-=，∴ 1a =或2a =－（舍去），∴1a =，2b =，c =∴ 2ABC S ∆=.【点睛】解三角形问题是高考高频考点，一般出自解答题的17题，考查灵活应用正弦定理、余弦定理进行“角转变、边转角”解三角形，因此正弦定理和余弦定理的各种变形使用显得极为重要.18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，636S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足2142n n b a n =+-（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列通项公式及前n 项和公式可得112a d =⎧⎨=⎩，再由等差数列的通项公式即可得解； （2）由题意11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再由裂项相消法即可得解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为23a =，636S =，所以113656362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 所以()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-； （2）由题意()()()221114221212142n n b a n n n n n ===+-+--+- 11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭， 所以1231111111233557112121n n T b b b b n n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝-+⎭-11122121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的基本量运算，考查了裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14A D A A ==，2AB =，E 、M 、N 分别是BC 、1BB 、1A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE ； （2）求点C 到平面1C DE 的距离；（3）设P 为边AB 上的一点，当直线PN 与平面11A ADD 所成角的正切值为24时，求二面角1N A P M --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）43；（3）26-.【解析】（1）连接1B C ，ME ，由平面几何的知识结合长方体的性质可得四边形MEDN 为平行四边形，进而可得//MN ED ，由线面平行的判定即可得证；（2）由长方体的几何特征结合平面几何的知识可得1C ED S △，由三棱锥的体积公式结合11C C DE C DCE V V --=即可得解；（3）由线面角的概念可得1AP =，建立空间直角坐标系，求得平面1NA P 的一个法向量m 、平面1A PM 的一个法向量n ，由cos ,m n m n m n⋅=⋅即可得解.【详解】（1）证明：连接1B C ，ME ，如图，因为E 、M 分别是BC 、1BB 的中点，所以1//ME B C 且112ME B C =， 又N 是1A D 的中点，所以112ND A D =， 结合长方体的性质可得//ME ND 且ME ND =， 所以四边形MEDN 为平行四边形，所以//MN ED ，又MN ⊄平面1C DE ，ED ⊂平面1C DE ，所以//MN 平面1C DE ； （2）因为14A D A A ==，2AB =，1111ABCD A B C D -为长方体， E 、M 、N 分别是BC 、1BB 、1A D 的中点，所以221125C E CE C C =+=221125C D CD C C =+=，2222ED CD EC =+=所以1C ED △为等腰三角形，其底边上的高为221322DE C E ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以11223262C ED S =⨯⨯=△， 设点C 到平面1C DE 的距离为h ，则11123C C DE C ED V S h h -=⋅=△， 又11111182243323C C DE C DCE DCE V S C V C --==⋅⨯⨯⨯⨯==△，所以823h =，解得43h =，所以点C 到平面1C DE 的距离为43；（3）连接AN ，如图，由PA ⊥平面11A ADD 可得ANP ∠即为直线PN 与平面11A ADD 所成角， 又2211112222AN A D AD AA ==+=241AP AN ==, 分别以DA 、DC 、1DD 作为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()14,0,4A ，()4,1,0P ，()2,0,2N ， 所以()10,1,4A P =-，()12,0,2A N =--， 设平面1NA P 的一个法向量为(),,m x y z =， 则1140220m A P y z m A N x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1z =则()1,4,1m =-，易得平面1A PM 的一个法向量()1,0,0n =，所以cos ,61m n m n m n⋅===-+⋅，因为二面角1N A P M --为钝角，所以二面角1N A P M --的余弦值为6-. 【点睛】本题考查了线面平行的判定及等体积法解决点到平面的距离问题，考查了空间向量的应用，属于中档题.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，短轴一个端点与右焦点的距离为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点()0,3P 且与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=，（2 【解析】（1）根据条件得a ，再根据离心率得,,c b 即得椭圆C 的方程；（2）根据条件可设直线l 方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求OAB 面积，再利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为短轴一个端点与右焦点的距离为2，所以2a =，因为离心率为2，所以2c c a ==，因此b =从而椭圆C 的方程为22142x y +=（2）由题意得直线l 斜率存在，可设为:3l y kx =+与22142x y +=联立得，22(12)12140k x kx +++=设()1122,,(,)A x y B x y ， 则2221212221214,,(12)414(12)4(814)1212k x x x x k k k k k-+==∆=-⨯+=-++1||2O ABS AB d-∴===令21218tt St=>∴=≤=+当且仅当2k=±时取等号，即OAB.【点睛】本题考查椭圆标准方程、直线与椭圆位置关系、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.21．某地的一个黄金楼盘售楼中心统计了2020年1月到5月来本楼盘看楼的人数，得到如下的相关数据.其中“1x=”表示1月份，“2x=”表示2月份，依此类推；y表示人数）：（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测几月份来该楼盘看楼的人数能超过30000人；（2）该楼盘为了吸引购楼者，特别推出“玩掷硬币游戏，送购楼券”活动，购楼者可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则购楼者可获得购楼券5000元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则购楼者可获得购楼券2000元，已知抛掷一枚均匀的硬币，出现正面（印有中国人民银行）朝上与反面朝上的概率是相等的，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格.遥控车开始在第0格，购楼者每抛掷一次硬币，遥控车向前移动一次.若正面朝上，遥控车向前移动一格（从k到1k+），若反面朝上，遥控车向前移动两格（从k到2k +），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第n（119n≤≤）格的概率为nP，试证明{}1n nP P--是等比数列，并求购楼者参与游戏一次获得购楼券5000元的概率.附：线性回归方程y bx a=+中的斜率与截距：1221ni iiniix y nx ybx nx==-=-∑∑，a y bx=-.【答案】（1）4226y x=-；预计8月份来该楼盘看楼的人数能超过30000人；（2）证明见解析；2021132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）计算出x 、y 、51i ii x y =∑、521ii x=∑后，代入公式即可得b 、a ，进而可得线性回归方程；令4226300y x =->，结合x 为正整数即可估计月份； （2）由概率的加法和乘法公式可得121122n n n P P P --=+，进而可得()11212n n n n P P P P ----=--，即可证明{}1n n P P --是等比数列；再由等比数列的通项公式结合累加法即可得19P ，即可得解. 【详解】 （1）由题意1234535x ++++==，20501001501801005y ++++==，511202503100415051801920i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555ii x==++++=∑，所以515222151920531004255535i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，从而10042326a y bx =-=-⨯=-，所以所求线性回归方程为4226y x =-；令4226300y x =->，x 为正整数，所以8x ≥， 故预计8月份来该楼盘看楼的人数能超过30000人； （2）遥控车开始在第0格为必然事件，所以01P =， 若第一次掷硬币正面朝上，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =， 遥控车移到第()219n n ≤≤格的情况有且只有两种：①遥控车先移到第1n -格，又掷出正面朝上，其概率为112n P -；②遥控车先移到第2n -格，又掷出反面朝上，其概率为212n P -； 所以121122n n n P P P --=+，所以()11212n n n n P P P P ----=--， 又1012P P -=-， 所以当119n ≤≤时，数列{}1n n P P --是首项为12-，公比为12-的等比数列， 所以112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()()()()0102132191819P P P P P P P P P P =++++⋅⋅⋅+----2023191112111111222212⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+-+-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭20202121113232⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以购楼者参与游戏一次获得购楼券5000元的概率为2021132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解与应用，考查了概率与数列的综合应用及运算求解能力，属于中档题.22．已知函数()()()2ln 1f x a x x x +-=+（其中a R ∈）.（1）当0a =时，求函数()f x 在坐标原点处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的极值点个数，并说明理由. 【答案】（1）y x =；（2）见解析.【解析】（1）当0a =时，对函数求导，由导数的几何意义即可得解；（2）对函数求导，令()[)221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞，按照0a =、809a <≤、89a >、0a <分类，求得()0g x >、()0g x <的解集，进而确定函数()f x 的单调区间，结合函数极值点的概念即可得解.【详解】（1）当0a =时，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+， 所以()00f =，()01f '=，所以函数()f x 在坐标原点处的切线方程为y x =；（2）由题意函数()f x 的定义域为()1,-+∞， ()2121211ax ax a f x ax a x x +-+'=-+=++， 令()[)221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞， ①当0a =时，()10g x =>，()0f x '>，此时函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，函数无极值点；②当0a >时，()()242198a a a a a ∆=-⨯⨯-+=-， （i ）若809a <≤，0∆≤，此时()0g x ≥，()0f x '≥， 函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，函数无极值点；（ii ）若89a >，>0∆，设()0g x =的两根为1x 、2x （12x x <）， 二次函数221y ax ax a =+-+图象的对称轴为直线14x =-， 又()12110g a a a -=--+=>，所以12114x x -<<-<， 所以当()()121,x x x ∈-+∞时，()0g x >，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0g x <，()0f x '<；所以函数()f x 的单调增区间为()()121,,x x -+∞，单调减区间为()12,x x ， 所以函数()f x 有两个极值点；③当0a <时，()980a a ∆=->，设()0g x =的两根为1x 、2x （12x x <），二次函数221y ax ax a =+-+图象的对称轴为直线14x =-， 又()110g -=>，所以12114x x <-<-<，所以当()21,x x ∈-时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以函数()f x 有1个极值点；综上，当0a <时，函数()f x 有1个极值点；当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有2个极值点. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用及利用导数解决函数极值点的问题，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.。

广东省韶关市2019-2020学年数学高二下学期文数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）A . 若，，则B . 若，，则C . 若，，则D . 若，，则2. （2分） (2017高一上·珠海期末) 已知函数f（x）=|log2x|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则图像必定经过点（a，2b）的函数为（）A . y=B . y=2xC . y=2xD . y=x23. （2分）不等式的解集是（）A .B .C .D .4. （2分）已知y=x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值是（）A . b＜﹣1或b＞2B . b≤﹣2或b≥2C . ﹣1＜b＜2D . ﹣1≤b≤25. （2分） (2015高三上·舟山期中) 设全集U=R，集合，P={x|﹣1≤x≤4}，则（∁UM）∩P等于（）A . {x|﹣4≤x≤﹣2}B . {x|﹣1≤x≤3}C . {x|3≤x≤4}D . {x|3＜x≤4}6. （2分）复数的虚部为（）A . 2B . -2C . 2iD . -2i7. （2分） (2015高二上·和平期末) 若命题“∃x0∈R，x02﹣3mx0+9＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（）A . （﹣2，2）B . （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C . [﹣2，2]D . （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）8. （2分）设全集为实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是（）A . {x|﹣2≤x＜1}B . {x|﹣2≤x≤2}C . {x|1＜x≤2}D . {x|x＜2}9. （2分） (2017高三上·太原期末) 执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=5，则输出s=（）A . ﹣2B . ﹣3C . 4D . 310. （2分）设（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），则下列结论正确的是（）A . x和y成正相关B . 若直线l方程为 = x+ ，则＞0C . 最小二乘法是使尽量多的样本点落在直线上的方法D . 直线l过点11. （2分） (2016高二下·丰城期中) 若P（﹣2，﹣）是极坐标系中的一点，则Q（2，）、R（2，）、M（﹣2，）、N（2，2kπ﹣）（k∈Z）四点中与P重合的点有（）个．A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分）(2017·长沙模拟) 某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑一圈，在学生A开始跑步时，在教室内有一个学生B往操场看了一次，以后每50秒往操场上看一次，则该学生B“感觉”到学生A的运动是（）A . 逆时针方向匀速前跑B . 顺时针方向匀速前跑C . 顺时针方向匀速后退D . 静止不动二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·辽宁期末) 若集合，，且，则________．14. （1分） (2018高二下·聊城期中) ________15. （1分）直线ρ= 与直线l关于直线θ= （ρ∈R）对称，则l的极坐标方程是________．16. （1分） (2015高二上·城中期末) 若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（x）=|x﹣2|+1．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥5；（2）若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的取值范围．18. （10分）夏天到了，某中学餐饮中心为了解学生对冷冻降暑食品的饮食习惯，在全校二年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：喜欢冷冻不喜欢冷冻合计女学生602080男学生101020合计7030100附：（）（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“女学生和男学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名高二（15）班的学生，其中2名不喜欢冷冻降暑食品．现在从这5名学生中随机抽取2人，求至多有1人喜欢冷冻降暑食品的概率．P（χ2≥k）0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.63519. （10分） (2016高三上·海淀期中) 已知函数f（x）=ex（x2+ax+a）．（1）求f（x）的单调区间；（2）求证：当a≥4时，函数f（x）存在最小值．20. （10分） (2018高二下·虎林期末) 已知曲线的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为。

广东省肇庆市韶关曲江中学2019-2020学年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列满足，且，则使数列前项和最小的等于（）．A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B略2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，C1D1的中点，N 是线段BC1的中点，若点P，M分别为线段D1B，EF上的动点，则的最小值为（）A．1 B．C．D．参考答案：D3. 已知全集，集合，，则等于( )A．B．C．D．参考答案：A4. 已知向量，若与垂直，则（）A． B． C．D．4参考答案：A略5. 在等差数列｛an｝中，若, 是数列｛｝的前项和，则的值为（）A.48B.54C.60D.66参考答案：B略6. 已知，则的最小值等于A. B. C. D. 2参考答案：D7. 椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，轴，且△PF1F2是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A、B、C、D、参考答案：D8. 为使高三同学在高考复习中更好的适应全国卷，进一步提升成绩，济南外国语学校计划聘请北京命题组专家利用周四下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36种B．30种C．24种D．6种参考答案：B【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】间接法：先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共种方法，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，可得结论．【解答】解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共=6种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共=6种方法，故总的方法种数为：6×6﹣6=30，故选：B．9. 椭圆上一点到一个焦点的距离等于，则它到相应的准线的距离为A. B. C.D.参考答案：C10. 已知,,则向量与向量的夹角是( )A． B． C． D． ks5u参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数＝x＋(x≠0)的值域为.参考答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)12. 已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别是,过点的直线交C于A，B两点，且的周长为．则椭圆C的方程为．参考答案：13. 设函数的导数为，则数列的前项和是______________．参考答案：略14. 若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1），（1，2）内各有一个零点，则的取值范围是．参考答案：（3，6）【考点】简单线性规划的应用；函数零点的判定定理．【分析】由题意可得，画出可行域，如图所示，目标函数z=2+，表示2加上点（a，b）与点M（0，4）连线的斜率．数形结合求得的范围，可得z的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1），（1，2）内各有一个零点，∴，即，画出可行域，如图所示：表示△ABC的内部区域，其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0）．目标函数z=2+，即2加上点（a，b）与点M（0，4）连线的斜率．数形结合可得，的最小值趋于 K AM==1，的最大值趋于 K BM==4，故z的最小值趋于2+1=3，最大值趋于2+4=6，故答案为（3，6）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，简单的线性规划，斜率公式，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．15. 已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是____________．参考答案：316. 动直线l：（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0过定点P，则点P的坐标为，若直线l与x轴的正半轴有公共点，则λ的取值范围是．参考答案：（0，﹣6），{λ|λ＞1或λ＜﹣}【考点】直线的一般式方程．【分析】由题意（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0得（其中λ∈R），由此可得方程组，从而可求定点的坐标；分类讨论，即可得到λ的取值范围．【解答】解：由（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0得：λ（3x﹣y﹣6）+（x+y+6）=0，由得，即直线恒过定点P（0，﹣6）；由（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0，当λ=1时，即x=0，不满足题意，当λ≠1时，当y=0时，（3λ+1）x+6﹣6λ=0，若λ=﹣，此时无解，若λ≠﹣，则x=，由直线l与x轴的正半轴有公共点，∴＞0，即（λ﹣1）（x+）＞0，解得λ＞1或λ＜﹣，综上所述λ的范围为{λ|λ＞1或λ＜﹣}故答案为：（0，﹣6），{λ|λ＞1或λ＜﹣}17. 已知抛物线上的一点到焦点的距离是5，且点在第一象限，则的坐标为_______________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。