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圆的综合运用

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圆的综合（一）、知识要点1、所给条件为特殊角或者普通角的三角函数时；(1)特殊角问题或者锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行，如果题目条件中给的特殊角并没有放入直角三角形中时，需要构造直角三角形。

构造圆中的直角三角形，主要有以下四种类型： ①利用垂径定理； ②直接作垂线构造直角三角形；半径相等圆周角=圆周角圆心角=2圆周角弦切角=圆周角射影定理模型综合利用各种方法2、所给条件为线段长度、或者线段的倍分关系时；(1)因为圆中能产生很多直角三角形，所以可以考虑利用勾股定理来计算线段长度，在利用勾股定理来计算线段长度时，特别是在求半径时，经常会利用半径来表示其他线段的长度，常见情形如下；(2)圆中能产生很多相似三角形，所以经常也会利用相似三角形对应边成比例来计算线段长度，常见的圆中相似情形如下：△ADE ∽△ACBEDCBA△ADE ∽△BCE EDCBA△ABD ∽△CAD ∽△CBA△ABC ∽△ADB∽△BDCA△ABO ∽△ADB∽△BDO△ABC∽△OBD二、典型例题 能力提升类例1 如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于点P ，交角为45°，若228PE PF +=，求直径AB 。

评析：解答此题需注意应用数形结合的思想，熟练运用勾股定理和完全平方公式。

例2如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP QO，求QCQA的值。

评析：本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被该点所分得的两线段的长的乘积相等”。

熟记并灵活应用定理是解答本题的关键。

综合运用类例3如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与三角形的AB边和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求∠DEF的度数。

例4已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN 分别交于P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F。

求证：EF∥AB思维拓展类例5在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x 轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连结OD．（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的⊙P与⊙O外切，求⊙O的半径。

评析：本题考查了运用待定系数法求函数解析式，同学们注意到分类讨论是解决本题的关键。

例6已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切。

评析：这道题考查了相切两圆的性质和射影定理的应用，以及中位线的知识，对于这些重点知识，同学们应熟练掌握。

总结：一、思想方法总结数形结合思想：将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法，特别是几何图形的直观性，能收到事半功倍的效果。

转化思想：能将复杂图形转化为简单图形，将圆的有关计算问题转化为三角形、四边形的问题来解决。

分类讨论思想：圆的有关概念、圆周角的有关求值及直线和圆、圆和圆的位置关系的讨论等问题均应用了这一思想。

方程思想：在相交弦定理、切割线定理及弧长公式中，已知其他量，求一个量，运用了方程的思想。

二、与圆有关的辅助线的添加规律：遇直径，作直径上的圆周角；遇切线，作过切点的半径或连结圆上某一点构成弦切角；证明圆周角相等，常用同弧上的圆心角过渡或作同弧上的圆周角；求弦长、弦心距、半径，常作垂直于弦的半径，连结圆心和弦的端点构造直角三角形；证明线段等积或成比例，一般构造相交弦、相交割线或相似三角形；遇到四个点在同一圆周上，要考虑到顺次连结四点构成圆内接四边形，再运用其性质解题；遇到圆外切三角形、多边形，应注意到切线长定理的应用。

遇到两圆相交，添加公共弦或连心线，特别是公共弦，它在相交的两圆中起着桥梁作用。

巩固训练（答题时间：60分钟）一、选择题1. 如图所示，AB、AC与圆O相切于点B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC 的度数是（）A. 65°B. 115°C. 65°和115°D. 130°和50°A OBC2. 如图所示，A是半径为5的圆O内的一点，且OA＝3，过点A且长小于8的弦有（）A. 0条B. 1条C. 2条D. 4条OA3. 如图所示，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线2+-=xy与⊙O的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 相切D. 以上三种情形都有可能4. 给出下列命题：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形。

其中真命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 如图所示，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以CE、DF为直径的两个半圆也均与x轴相切于点O，则图中阴影部分的面积是（）A. π81B. π41C. π21D. π二、填空题1. 如图所示，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝12cm，AP：PB＝2：3，则圆O的直径是________cm。

OP BAD C2. 如图所示，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC分别交于点D 、E ，则AB ＝________，AD ＝________。

CD BAE3. 如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，32BC ，以A 为圆心，以AC 为半径作弧交AB 于D ，则图中阴影部分的面积是________。

ACDB4. 如图所示，同底等高的圆锥和圆柱，它们的底面直径和高相等（即2R=h ），那么圆锥和圆柱的侧面积之比为 。

5. 如图所示，将边长为8cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时（当正方形的四个顶点的位置首次与起始位置相同时，称为正方形滚动一周），正方形的顶点A 所经过的路线长是 cm 。

三、解答题1. 已知：⊙O 与⊙O'外离，⊙O 的半径为4cm ，⊙O'的半径为6cm ，OO'＝20cm ，求两圆的公切线的长。

2. 已知：如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，过点P 的直线AB 分别与⊙O 1、⊙O 2相交于点A 、B ，BD 切⊙O 1于点B ，交⊙O 2于点C 、D ，AE 是⊙O 2的直径。

求证：（1）AE ⊥BD ；（2）△APD ∽△CPB ；（3）AD 2＋BC·BD ＝AB 2。

一、选择题1. C解析：若点P 在劣弧BC 上，连结OB 、OC则∠BOC ＝180°－50°＝130°∴劣弧BC 的度数为130°，优弧BC 的度数为230°∴∠BPC 的度数为︒=︒⨯11523021当点P 在优弧BC 上时，∠BPC 21=×130°＝65°故选C.2. A则8DE 435DA 22=∴=-=，而DE 是过点A 最短的弦，它不可能小于8， ∴选A.BOCA ED3. C 点拨：画出直线，得到直线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为)0,2(、).2,0(则直线与两坐标轴围5. 中的空白部分面积，所以所求阴影部分面积等于半圆B 的面积，即S 阴影=ππ211212=⋅，故选C .二、填空题 1. 65解析：设AP ＝x 2，PB ＝x 3 ∵AB ⊥CD ，∴PC ＝PD ＝6 又PA ·PB ＝PC ·PD36x 3x 2=⋅∴ 6x 2=6x ±=∴（舍负） 65AB 63x 362x 2=∴==，2. 5，518解析：作CF ⊥AB 于F ，∵∠ACB ＝90° ∴可证AB AF AC 2⋅= 又543AB 22=+=518592AD 59AB AC AF 2=⨯=∴==∴ ADBCEF3. π-3232 解析：由勾股定理得AB=4，∴∠B=30°，∠A ＝60°3232221322360602=⨯⨯==⨯=∴∆ABC CAD S S ππ扇形∴阴影面积π-=3232 4.5：4 点拨：圆柱的侧面积为24R π，圆锥的侧面积为25R π.5. ππ1628+ 点拨：第一次滚动，点A 经过的路线长是以C 为圆心、CA 为半径、圆心角为90°的扇形弧长；第二次滚动，点A 经过的路线长是以D 为圆心、边长DA 为半径、圆心角为90°的扇形弧长；第三次滚动，点A 不动；第四次滚动，点A 经过的路线长是以B 为圆心、BA 为半径、圆心角为90°的扇形弧长。

第二周滚动与第一周相同。

所以正方形滚动两周时，点A 经过路线长是).(16282)4424(cm πππππ+=⨯++三、解答题1. 解：（1）如图，连结O'A 、OB ，过点O 作OE ⊥AO'于点E∵AB 与⊙O'、⊙O 分别相切于点A 、B ∴AO'⊥AB ，BO ⊥AB∴四边形ABOE 是矩形，∴AB ＝OE ，AE ＝BO ∵AO'＝6，BO ＝4，∴O'E ＝2∵OO'＝20，∴由勾股定理可得OE =611 ∴AB ＝611（2）如图，连结O'C 、OD ，过点O'作O'E ⊥OD 的延长线于点E∵CD 与⊙O'、⊙O 分别相切于点C 、D∴O'C ⊥CD ，OD ⊥CD∴四边形CO'ED 是矩形，∴CD ＝O'E ，O'C ＝DE∵O'C ＝6，OD ＝4，∴在Rt △OEO'中，OE ＝10，OO'＝20 由勾股定理得O E '=103，∴310=CD∴外公切线长AB ＝611cm ，内公切线长CD ＝103cm2. 证明：（1）连结AC ，过点P 作两圆的公切线交BD 于T ，则∠1＝∠2，∠4＝∠5.∵BD 切⊙O 1于B ，∴∠3＝∠B.∵∠DCA ＝∠1＋∠B ，∠CPB ＝∠2＋∠3，∴∠DCA ＝∠CPB.∵四边形APCD 内接于⊙O 2，∴∠ADC ＝∠CPB. ∴∠DCA ＝∠ADC.∴⋂⋂=AC AD .∵AE 为直径，∴AE ⊥BD.（2）∵∠3＝∠4＝∠B ，∴∠B ＝∠5.∵∠PAD ＝∠PCB ，∴△APD ∽△CPB.（3）∵BCD 、BPA 为⊙O 2的两条割线，∴BC·BD ＝BP·BA. ∵∠B ＝∠5，∠PAD ＝∠BAD ，∴△ADP ∽△ABD.∴AD AB AP AD=. ∴AD 2＝AP·AB. ∴AD 2＋BC·BD ＝AP·AB ＋BP·BA ＝AB （AP ＋BP ）＝AB 2.即AD2＋BC·BD＝AB2.。

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中考圆综合解题技巧

中考圆综合解题技巧

教育教学jiao yu jiao xue69中考圆综合解题技巧◎孙旺生摘要：运用圆的五条结论作辅助线是解决初中几何圆中重要的做题思路，其本质是利用三角形的边和角的关系，运用勾股定理和三角形及其性质。

将分散的线段和角集中在一起，从而进行有效的排列组合，解决实际问题。

关键词：圆；辅助线；初中数学一、问题的提出陕西数学中考命题圆综合题型是试卷中重难点题型[1]，在陕西中考中占比重较大：陕西中考数学主要依据这类题型来体现区分度来完成中考的目标，当前中考综合题相当于简单知识点的复合应用，对于学生的能力考察、知识考察更加明显，圆综合题是完美的凸显了中考数学中数形结合的思想，对于学生的思维能力，创新能力会有大幅度的提升.本文通过大量的实例来说明陕西省中考圆综合的解答技巧，进而达到提升学生能力的效果。

二、思路及解答探究（一）切线连切点例1、如图1所示，已知⊙o 的半径为4，点B 是圆外一点，连接OB，过点B 作⊙o 的切线BD，切点为D，其中OB=6，过点A 作切线BD 的垂线，延长BO 交⊙o 于点A，垂足为C，求证：AD 平分∠BAC；图1 图2分析：连接OD，由BD 是⊙O 的切线，AC ⊥BD，易证得OD ∥AC，继而可证得AD 平分∠BAC；证明：连接OD，如图2∵BD 是⊙o 的切线，OD ⊥BD，AC ⊥BD,∴OD // AC， ∴∠2=∠3，∵OA=OD，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2， 即AD 平分∠BAC 说明：这道题目考查了圆的知识点，圆切线的性质以及相似三角形的判定与性质，在解决此类题目时，一定要注意掌握辅助线的做法，注意掌握数形结合思想的应用[2]。

（二）等边对等角，等角对等边图3 图4例2、如图3，已知AB 是⊙o 的一根弦，作BC ⊥A 交圆于点C，过点C 作⊙o 的切线，交AB 的延长线于点D 且取A E=DE，EF //BC，EF 和DC 相较于F 且连接AF，AF 和BC 相交于点G，证明：FC=FG分析：证出∠DCB=∠G，对顶角相等得出∠GCF=∠G；证明：(1)如图4，EF//BC，AB ⊥BG，EF ⊥AD.又∵E 是AD 的中点，∴ FA=FD，∠FAD=∠D 又∵GB ⊥AB，∠GAB+∠G=∠D+∠1=90°∴∠1=∠G.而∠1=∠2，∴∠2=∠G. ∴FC=FG说明：题目运用了等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理。

2020中考数学 培优专题：圆的综合应用(解析版)

2020中考数学 培优专题：圆的综合应用(解析版)

2020中考数学培优专题：圆的综合应用（解析版）【例题1】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC==4，即可得出△ABC外接圆的半径．【解答】（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．【例题2】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O 的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．（1）求证：DE⊥AC；（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．【分析】（1）欲证明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即可；（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，构建矩形ODEH，设AH=x．则由矩形的性质推知：AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．在Rt△AOH中，由勾股定理知：x2+（x﹣2）2=102，通过解方程得到AH的长度，结合OH⊥AF，得到AF=2AH=2×8=16．【解答】（1）证明：∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC．∵DE是⊙O的切线，OD是半径，∴DE⊥OD，∴DE⊥AC；（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，∴四边形ODEH是矩形，∴OD=EH，OH=DE．设AH=x．∵DE+AE=8，OD=10，∴AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣2）2=102，解得x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）．∴AH=8．∵OH⊥AF，∴AH=FH=AF，∴AF=2AH=2×8=16．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质．解题时，利用了方程思想，属于中档题．【例题3】如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BO，根据△OBC和△BCE都是等腰三角形，即可得到∠BEC=∠OBC=∠OCB=30°，再根据三角形内角和即可得到∠EBO=90°，进而得出BE是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，根据∠ACB=30°，BC=3，即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积，进而得到阴影部分的面积．【解答】解：（1）如图所示，连接BO，∵∠ACB=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵DE⊥AC，CB=BD，∴Rt△DCE中，BE=CD=BC，∴∠BEC=∠BCE=30°，∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，∴BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，BC=3，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，又∵∠ACB=30°，∴AB=tan30°×BC=，∴AC=2AB=2，AO=，∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt△ABC的面积=π×AO2﹣AB×BC=π×3﹣××3=﹣．【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【例题4】如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN．（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；（2）当t为何值时，线段EN与⊙M相切？（3）若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围．【分析】（1）连接MF．只要证明MF∥AD，可得=，即=，解方程即可；（2）当线段EN与⊙M相切时，易知△BEN∽△BOA，可得=，即=，解方程即可；（3）①由题意可知：当0＜t≤时，⊙M与线段EN只有一个公共点．②当F与N重合时，则有t+2t=16，解得t=，观察图象即可解决问题；【解答】解：（1）连接MF．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8，在Rt△AOB中，AB==10，∵MB=MF，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=∠MFB，∴MF∥AD，∴=，∴=，∴BF=t（0＜t≤8）．（2）当线段EN与⊙M相切时，易知△BEN∽△BOA，∴=，∴=，∴t=．∴t=s时，线段EN与⊙M相切．（3）①由题意可知：当0＜t≤时，⊙M与线段EN只有一个公共点．②当F与N重合时，则有t+2t=16，解得t=，关系图象可知，＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点．综上所述，当0＜t≤或＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点．巩固练习一、选择题：1.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（）A．30°B．50°C．60°D．70°【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠BAD的度数．【解答】解：连接BD，∵∠ACD=30°，∴∠ABD=30°，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．故选C．2.如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（）A．B．C．5 D．【分析】过点D作OD⊥AC于点D，由已知条件和圆的性质易求OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，进而可求出AC的长．【解答】解：过点D作OD⊥AC于点D，∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°，∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，∴∠AOC=120°，∵OA=OC，∴∠OAD=30°，∵AB=10，∴OA=5，∴OD=AO=2.5，∴AD==，∴AC=2AD=5，故选A．3.如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（）A．20°B．35°C．40°D．55°【分析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，由圆周角定理求出∠ACB=90°，得出∠BAC=35°，由弦切角定理得出∠MCA=∠ABC=55°，由三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，即可求出∠ACD的度数．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，∠BAC=90°﹣∠ABC=35°，∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，∴∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，∴∠ACD=∠MCA﹣∠DCM=55°﹣35°=20°；故选：A．4. 如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（）A．2 B．﹣πC．1 D．+π【分析】设AC交⊙O于D，连结BD，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，则可判断△ADB、△BDC都是等腰直角三角形，所以AD=BD=CD=AB=，然后利用弓形AD的面积等于弓形BD的面积得到阴影部分的面积=S．△BTD【解答】解：∵BT是⊙O的切线；设AT交⊙O于D，连结BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，而∠ATB=45°，∴△ADB、△BDT都是等腰直角三角形，∴AD=BD=TD=AB=，∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，∴阴影部分的面积=S=××=1．△BTD故选C．【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质把阴影部分的面积转化为三角形的面积．二、填空题：5.如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是2．【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，根据两点间的距离公式得到AP=3，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，∴当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，∵A的坐标为（﹣1，0），y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0，∴AP==3，∴PQ==2．6.如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4，则图中阴影部分的面积为．【分析】由条件可求得∠COA的度数，过O作OE⊥CA于点E，则可求得OE的长和CA的长，再利用S阴影=S扇形COA﹣S△COA可求得答案．【解答】解：如图，过O作OE⊥CA于点E，∵DB为⊙O的切线，∴∠DBA=90°，∵∠D=30°，∴∠BOC=60°，∴∠COA=120°，∵OC=OA=4，∴∠OAE=30°，∴OE=2，CA=2AE=4∴S阴影=S扇形COA﹣S△COA=﹣×2×4=π﹣4，故答案为：π﹣4．7.如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB=BC=2，则∠AOB= 60°．【分析】由垂径定理易得BD=1，通过解直角三角形ABD得到∠A=30°，然后由切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质可以求得∠AOB的度数．【解答】解：∵OA⊥BC，BC=2，∴根据垂径定理得：BD=BC=1．在Rt△ABD中，sin∠A==．∴∠A=30°．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°．∴∠AOB=60°．故答案是：60．8.如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC 交于点E，连结CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD=CD；③CD2=CECO，其中正确结论的序号是①②③．【分析】①由OC⊥AB就可以得出∠BOC=∠AOC=90°，再由OC=OA就可以得出∠OCA=∠OAC=45°，由AC∥OD就可以得出∠BOD=45°，进而得出∠DOC=45°，从而得出结论；②由∠BOD=∠COD即可得出BD=CD；③由∠AOC=90°就可以得出∠CDA=45°，得出∠DOC=∠CDA，就可以得出△DOC∽△EDC．进而得出，得出CD2=CECO．【解答】解：①∵OC⊥AB，∴∠BOC=∠AOC=90°．∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=45°．∵AC∥OD，∴∠BOD=∠CAO=45°，∴∠DOC=45°，∴∠BOD=∠DOC，∴OD平分∠COB．故①正确；②∵∠BOD=∠DOC，∴BD=CD．故②正确；③∵∠AOC=90°，∴∠CDA=45°，∴∠DOC=∠CDA．∵∠OCD=∠OCD，∴△DOC∽△EDC，∴，∴CD2=CECO．故③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，圆的性质，圆心角与弦的关系定理的运用，相似三角形的判定及性质；熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于．（结果保留π）【分析】先根据ACB=90°，AC=1，AB=2，得到∠ABC=30°，进而得出∠A=60°，再根据AC=1，即可得到弧CD的长．【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=1，AB=2，∴∠ABC=30°，∴∠A=60°，又∵AC=1，∴弧CD的长为=，故答案为：．三、解答题：10.如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【分析】（1）由已知条件得到△BOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠OAM=90°，于是得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2，于是得到结论．【解答】解：（1）∵∠B=60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠1=∠2=60°，∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OA∥BD，∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，∴AM是⊙O的切线；（2）∵∠3=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∵∠OAM=90°，∴∠CAD=30°，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=2，∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC=（4+2）×2﹣=6﹣．。

圆综合题技巧大全

圆综合题技巧大全

圆综合题技巧大全
1.理解圆的基本概念和性质：了解圆的中心、半径、直径、弧、弦等基本概念，并熟悉圆的切线、切点、切角等性质。

2.运用正弦、余弦、正切等三角函数：在求解圆的综合问题时，将圆分解成三角形或者扇形，运用三角函数求解问题。

3.运用勾股定理：求解圆心距离或圆心到某一点的距离时，可以将圆分解成直角三角形，运用勾股定理求解。

4.运用相似性质：当两个圆相似时，它们的半径比相等，可以利用这一性质求解问题。

5.运用平面几何知识：如利用圆的割线定理、相交弧定理、角平分线定理等解决问题。

6.运用向量知识：利用向量的始末点等代数性质求解圆的位置关系。

7.利用方程求解：通过列方程、解方程的方式求解圆的位置关系或者面积等问题。

8.综合思考：圆的综合问题往往不止一个解法，需要综合考虑题目所给信息，灵活运用不同的方法求解。

同时，需要进行多次验算，确保答案正确。

圆知识点归纳总结

圆知识点归纳总结

圆知识点归纳总结圆是平面几何中的重要图形，具有许多特殊的性质和应用。

在学习圆的相关知识时，我们需要了解圆的定义、性质、公式、相关定理等内容。

下面，我们将对圆的知识点进行归纳总结。

一、圆的定义和性质1.圆的定义圆是平面上到一个固定点距离不超过一定值的所有点的集合。

这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径，通常以字母r表示。

2.圆的性质(1) 任意一条弦所对应的圆心角相等。

(2) 圆的半径垂直于弦，且以弦的中点为端点。

(3) 圆内接角在同一个弧上的两个弦等于一半的圆周角。

(4) 圆周角等于它所对的弧的一半。

(5) 等圆周角的两个弧所对的圆心角相等。

(6) 相交弦的外接角相等。

(7) 圆内切于另一圆的直径的两圆相交。

二、圆的公式和关系1. 圆的周长和面积(1) 圆的周长：C=2πr(2) 圆的面积：S=πr²2. 圆的弧长和扇形面积(1) 圆的弧长公式：L=2πr(α/360)，其中α为圆心角(2) 圆的扇形面积公式：A=1/2r²α，其中α为圆心角的度数3. 圆与直线、圆与直线的位置关系(1) 直线与圆的位置关系：相离、相切、相交(2) 圆与直线的位置关系：圆内切、圆外切、相交三、圆的相关定理和推论1. 弧长定理(1) 弧长定理1：圆的所有圆心角的度数和一定为360°(2) 弧长定理2：如果一个角的角度是一个圆的圆周角的1/2，那么这个角的对应弦长就是这个圆的半径。

2. 弦长定理(1) 弦长定理1：两条相等的弦所对的两条圆弧是相等的。

(2) 弦长定理2：相等弦等，相等弦所对的字母也相等。

3. 圆心角定理(1) 圆心角定理：这个角的角度是这个圆弧的角度的一半。

4. 圆的切线定理(1) 切线定理1：切线与半径垂直，且切点处的切线与圆的切线平行。

(2) 切线定理2：切线与半径的成正比，切线的长度等于切点到圆心的距离。

四、圆的相关应用1. 圆的综合应用(1) 圆的几何问题：例如圆心角、圆周角、弧长等问题(2) 圆的物理应用：例如汽车行驶的弧形路径、转动物体的圆周运动等(3) 圆的工程应用：例如建筑中的圆形构造、机械运动中的圆弧运动等2. 圆的新颖应用(1) 圆的信息技术应用：例如在计算机编程中的圆的相关算法和数据结构(2) 圆的工业应用：例如在制造工艺中的圆形零件加工、在生产中的圆形产品设计等以上就是圆的相关知识点的归纳总结。