《24.2.1 点和圆的位置关系》教案、导学案

24．2 点和圆、直线和圆的位置关系 《24．2.1 点和圆的位置关系》教案【教学目标】 1．能从点和圆的位置关系，判断点和圆心的距离与半径的大小关系． 2．学会用已知点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 3．认识三角形的外接圆，三角形的外心的概念，会画三角形的外接圆． 【教学过程】 一、情境导入同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成 绩是由击中靶子不同位置所决定的；如图是一位运动员射击 6 发子弹在靶上留下 的痕迹．你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算．(击中最里面的圆的成 绩为 10 环，依次为 9、8、…、1 环)二、合作探究 探究点一：点和圆的位置关系 【类型一】判断点和圆的位置关系如图，已知矩形 ABCD 的边 AB＝3cm，AD＝4cm. (1)以点 A 为圆心，4cm 为半径作⊙A，则点 B，C，D 与⊙A 的位置关系如何？ (2)若以点 A 为圆心作⊙A，使 B，C，D 三点中至少有一点在圆内且至少有一 点在圆外，则⊙A 的半径 r 的取值范围是什么？解：(1)∵AB＝3cm＜4cm，∴点 B 在⊙A 内；∵AD＝4cm，∴点 D 在⊙A 上； ∵AC＝ 32＋42＝5cm＞4cm，∴点 C 在⊙A 外．(2)由题意得，点 B 一定在圆内，点 C 一定在圆外．∴3cm＜r＜5cm. 【类型二】点和圆的位置关系的应用如图，点 O 处有一灯塔，警示⊙O 内部为危险区，一渔船误入危险区点 P 处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由．解：渔船应沿着灯塔 O 过点 P 的射线 OP 方向航行才能尽快离开危险区．理 由如下：设射线 OP 交⊙O 与点 A，过点 P 任意作一条弦 CD，连接 OD，在△ODP 中，OD－OP＜PD，又∵OD＝OA，∴OA－OP＜PD，∴PA＜PD，即渔船沿射线 OP 方 向航行才能尽快离开危险区．探究点二：确定圆的条件 【类型一】经过不在同一直线上的三个点作一个圆已知：不在同一直线上的三个已知点 A，B，C(如图)，求作：⊙O，使 它经过点 A，B，C.解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边 AB、 BC 的垂直平分线相交于点 O，以 O 为圆心，以 OA 为半径，作出圆即可．解：(1)连接 AB、BC； (2)分别作出线段 AB、BC 的垂直平分线 DE、GF，两垂直平分线相交于点 O， 则点 O 就是所求作的⊙O 的圆心； (3)以点 O 为圆心，OC 长为半径作圆．则⊙O 就是所求作的圆． 方法总结：线段垂直平分线的作法，需熟练掌握． 探究点三：三角形的外接圆【类型一】与圆的内接三角形有关的角的计算 如图，△ABC 内接于⊙O，∠OAB＝20°，则∠C 的度数是________．解析：由 OA＝OB，知∠OAB＝∠OBA＝20°，所以∠AOB＝140°，根据圆周 角定理，得∠C＝12∠AOB＝70°.方法总结：在圆中求圆周角的度数，可以根据圆周角定理找相等的角实现互 换，也可以寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系．【类型二】与圆的内接三角形有关线段的计算 如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC＝24cm，O 到 BC 的距离是 5cm，求△ABC 的外接圆的半径．解：连接 OB，过点 O 作 OD⊥BC，则 OD＝5cm，BD＝12BC＝12cm.在 Rt△OBD 中，OB＝ OD2＋BD2＝ 52＋122＝13cm.即△ABC 的外接圆的半径为 13cm.方法总结：由外心的定义可知外接圆的半径等于 OB，过点 O 作 OD⊥BC，易 得 BD＝12cm.由此可求它的外接圆的半径．三、板书设计【教学反思】 教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相离，它是三角形三边垂直平分线的交点．在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问 题.《24.2.1 点和圆的位置关系》教案【教学目标】 (一)教学知识点 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三 个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． (二)能力训练要求 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探 索能力． 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解 决数学问题的策略． (三)情感与价值观要求 1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践 能力与创新精神． 2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 【教学重点】 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个 结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 【教学难点】 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条 直线上的三个点作圆． 【教学方法】 教师指导学生自主探索交流法．【教学过程】 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么， 经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索． Ⅱ．新课讲解 1．回忆及思考 投影片(§3．4A) 1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么？ [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的 距离相等． 作法：如下图，分别以 A、B 为圆心，以大于 1 AB 长为半径画弧，在 AB 的2 两侧找出两交点 C、D，作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线，直线 CD 上的任一点到 A 与 B 的距离相等．[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图 形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关 键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．2．做一做(投影片§3．4B) (1)作圆，使它经过已知点 A，你能作出几个这样的圆？ (2)作圆，使它经过已知点 A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？ 其圆心的分布有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？ (3)作圆，使它经过已知点 A、B、C(A、B、C 三点不在同一条直线上)．你是 如何作的？你能作出几个这样的圆？[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家 互相交换意见并作出解答．[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点 A 作圆，只要圆 心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这 一点与点 A 所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的 圆有无数个．如图(1)．(2)已知点 A、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到 A、 B 的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平 分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段 AB 的垂直平分线上．在 AB 的垂直平分线上任意取一点，都能满足到 A、B 两点的距离相等，所以在 AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到 A 的距离即为半径．圆就确定 下来了．由于线段 AB 的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆 有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过 A、B、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三 点的距离相等．因为到 A、B 两点距离相等的点的集合是线段 AB 的垂直平分线， 到 B、C 两点距离相等的点的集合是线段 BC 的垂直平分线，这两条垂直平分线的 交点满足到 A、B、C 三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条 件的圆．[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？ 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 投影片(§3．4C)作法 1．连结 AB、BC图示2．分别作 AB、BC 的垂直 平分线 DE 和 FG，DE 和 FG 相交于点 O3．以 O 为圆心，OA 为半径 作圆 ⊙O 就是所要求作的圆他作的圆符合要求吗？与同伴交流． [生]符合要求． 因为连结 AB，作 AB 的垂直平分线 ED，则 ED 上任意一点到 A、B 的距离相等； 连结 BC，作 BC 的垂直平分线 FG，则 FG 上的任一点到 B、C 的距离相等．ED 与 FG 的满足条件． [师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过 不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接 圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 (circumcenter)． Ⅲ．课堂练习 已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们 外心的位置有怎样的特点？解：如下图．O 为外接圆的圆心，即外心． 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角 形的外心在三角形的外部． Ⅳ．课时小结 本节课所学内容如下： 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程． 方法． 3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念． Ⅴ．课后作业 习题 3．6 Ⅵ．活动与探究 如下图，CD 所在的直线垂直平分线段 AB．怎样使用这样的工具找到圆形工 件的圆心？解：因为 A、B 两点在圆上，所以圆心必与 A、B 两点的距离相等，又因为和 一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在 CD 所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的 交点就是圆心．《24.2.1 点和圆的位置关系》导学案学习要求 1．能根据点到圆心的距离与圆的半径大小关系，确定点与圆的位置关系． 2．能过不在同一直线上的三点作圆，理解三角形的外心概念． 3．初步了解反证法，学习如何用反证法进行证明．课堂学习检测 一、基础知识填空 1．平面内，设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d，则有 d>r 点 P 在 ⊙O______；d=r 点 P 在⊙O______；d<r 点 P 在⊙O______． 2．平面内，经过已知点 A，且半径为 R 的圆的圆心 P 点在 _________________________________________． 3．平面内，经过已知两点 A，B 的圆的圆心 P 点在 __________________________________________________________． 4．_________________________________确定一个圆． 5．在⊙O 上任取三点 A，B，C，分别连结 AB，BC，CA，则△ABC 叫做⊙O 的 ______；⊙O 叫做△ABC 的______；O 点叫做△ABC 的______，它是△ ABC___________的交点． 6．锐角三角形的外心在三角形的___________部，钝角三角形的外心在三角 形的_____________部，直角三角形的外心在________________． 7．若正△ABC 外接圆的半径为 R，则△ABC 的面积为___________． 8．若正△ABC 的边长为 a，则它的外接圆的面积为___________． 9．若△ABC 中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径为 ___________． 10．若△ABC 内接于⊙O，BC=12cm，O 点到 BC 的距离为 8cm，则⊙O 的周长 为___________．二、解答题11．已知：如图，△ABC． 作法：求件△ABC 的外接圆 O．综合、运用、诊断一、选择题12．已知：A，B，C，D，E 五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．A．5 个圆B．8 个圆C．10 个圆D．12 个圆13．下列说法正确的是( )．A．三点确定一个圆B．三角形的外心是三角形的中心C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点D．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上14．下列说法不正确的是( )．A．任何一个三角形都有外接圆B．等边三角形的外心是这个三角形的中心C．直角三角形的外心是其斜边的中点D．一个三角形的外心不可能在三角形的外部15．正三角形的外接圆的半径和高的比为( )．A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．1∶ 316．已知⊙O 的半径为 1，点 P 到圆心 O 的距离为 d，若关于 x 的方程 x2－2x＋d=0 有实根，则点 P( )．A．在⊙O 的内部B．在⊙O 的外部C．在⊙O 上D．在⊙O 上或⊙O 的内部二、解答题17．在平面直角坐标系中，作以原点 O 为圆心，半径为 4 的⊙O，试确定点A(－2，－3)，B(4，－2)， C(2 3, 2) 与⊙O 的位置关系．18．在直线123-=x y 上是否存在一点P ，使得以P 点为圆心的圆经过已知两点A (－3，2)，B (1，2)．若存在，求出P 点的坐标，并作图．。