《自动控制原理》第三章 3-1 一阶系统的时域分析

自动控制原理控制系统的时域分析杨金显yangjinxian@河南理工大学电气工程与自动化学院本章主要内容与重点响应性能指标控制系统的时域分析一阶系统时域分析 二阶系统时域分析 高阶系统的时域分析 线性系统的稳定性分析 线性系统的稳态误差计算2对于线性系统，常用的分析方法有三种： 时域分析方法 根轨迹法 频率特性法 分析性能指标——动态性能、稳态性能 改善系统性能 时域分析方法，是一种直接分析方法，具有 直观准确的优点，尤其适用于低阶系统。

3时域分析：是根据微分方程，利用拉氏变换直接求出系 统的时间响应，然后按照响应曲线来分析系统的性能。

输 入 信 号控制 拉普拉 传 系统 斯变换 递 函 微分 数 方程稳定性 输 出 信 号 准确性 响应过程稳定 稳态误差 动态指标4时域分析对于一单输入单输出n阶线性定常系统，可用一n阶 常系数线性微分方程来描述。

dc(t) d c(t) d c(t) + anc(t) a0 n + a1 n−1 + + an−1 dt dt dt d mr(t) d m−1r(t) dr(t) = b0 m + b1 m−1 + + bm−1 + bmr(t) dt dt dt系统在输入信号r(t )作用下，输出c(t )随时间变化的规律，即上式 微分方程的解，就是系统的时域响应。

nn−1动态过程—从初始态到接近稳态的响应。

稳态过程—t趋于无穷大时的输出状态。

5假定初始条件为0时2 s Y ( s ) + 5sY ( s ) + 6Y ( s ) = 1 2 s y (t ) = ∗1 − 1 ∗ e −2t − ∗ e −3t , (无初始值) 3 3 2 2 Y (s) = = 2 s ( s + 5s + 6) s ( s + 2)( s + 3) 1 1 1 1 2 y (t ) = ∗1 − ∗ e −2t + ∗ e −3t , 输入为1，无初始值 6 2 3 3− 1 − 3 = s s+2 s+3 1 10 −3t −2 t y (t ) = ∗1 + 4 ∗ e − ∗ e , t ≥ 0 (有初始值时) 3 32系统响应=稳态分量+暂态分量影响输出的有：系统本身结构与参数、输入信号、初始状态统一条件：静止状态和典型输入信号63.1 典型输入信号f (t )（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数F (s )1δ (t )1( t )1s1s 1s2 3tt 22e − at sin ω t1 (s + a)ω (s2 + ω 2 )s (s + ω )2 27cos ω t典型输入信号之间关系83.2 时域性能指标1）稳态性能指标 采用稳态误差ess来衡量，其定义为：当 时间t 趋于无穷时，系统输出响应的期 望值与实际值之差。

第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。

微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。

对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。

本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。

根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。

这里先引入时域分析法的基本概念。

所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。

由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。

当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。

3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。

下面先介绍常用的典型输入信号。

3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。

为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。

第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案3-1 已知系统脉冲响应t e t k 25.10125.0)(-=试求系统闭环传递函数)(s Φ。

解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程T c t c t r t r t ••+=+()()()()τ近似描述，其中，1)(0<-<τT 。

试证系统的动态性能指标为 T T T t d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=τln 693.0t T r =22. T T T t s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=)ln(3τ 解 设单位阶跃输入ss R 1)(=当初始条件为0时有：11)()(++=Ts s s R s C τ 11111)(+--=⋅++=∴Ts T s s Ts s s C ττC t h t T Te t T()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时h t T Te t td ()./==---051τ12=--T T e t T d τ/ ; Tt T T d-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-τln 2ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴T T T t d τln 2ln2) 求t r （即)(t c 从1.0到9.0所需时间)当 Tt eTT t h /219.0)(---==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ 当 Tt eTT t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==21090122ln ... 3) 求 t sTt s s eTT t h /195.0)(---==τ ]ln 3[]20ln [ln ]05.0ln [ln TT T T T T T T T t s τττ-+=+-=--=∴3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。

要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。

一阶系统的时域分析自动控制原理第三章线性系统时域分析法3-1 系统时间响应的性能指标?3-2 一阶系统的时域分析3-3 二阶系统的时域分析3-4 高阶系统的时域分析3-5 线性系统的稳定性分析?3-6 线性系统的稳态误差设计3-2 一阶系统的时域分析1. 一阶系统的数学模型2. 一阶系统的单位阶跃响应3. 一阶系统的单位脉冲响应4. 一阶系统的单位斜坡响应5. 一阶系统的单位加速度响应(1)、通过对一阶系统的分析，掌握如何应用时域指标的概念来计算上述五个动态指标。

(2)、通过一阶系统在三个典型信号（阶跃、斜坡、加速度）的响应，引出系统对信号的跟踪概念（稳态误差）重点分析阶跃、斜坡信号作用于一阶系统时的响应、误差表达式、稳态误差。

1、一阶系统的数学模型i(t)RCr(t)c(t))()()(0)0()()()()()(t r t c dtt dc T c dt t dc C t i t r t c t Ri =+∴===+列方程：图3-2 一阶控制系统如RC 电路C(t)为输出电压，r(t)为输入电压，C(0)=0一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。

其中，T ＝RC 为时间常数；取拉氏变换)()()(s R s C s TsC =+(3-2))(1)()()()()()(:s I Css C s CsC s I Rs C s R s I ==-=或画方框图则一阶系统的传递函数为：)()()(s R s C s TsC =+11)()()(+==ΦTs s R s C s (3-3)R1Cs1R(s)C(s)I(s)-i(t)RCr(t)c(t)(a)(b)2、一阶系统的单位阶跃响应设输入信号为单位阶跃输入于是单位阶跃响应h(t)为：h (t )=1－e -t/T ，t≥011)(+=ΦTs s ss R t t r 1)(),(1)(==)1(1111)()()(+=+=Φ=Ts s Ts s s R s s H Ts s Ts T s /11111+-=+-=(3-4)注意：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。