高中数学第三章导数及其应用本章整合课件新人教B版选修11

体积的最大值为___2_7__π__ cm3. 答案 解析
类型二 实际生活中的最值问题 命题角度 1 利润最大问题 例 3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位： 千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数.已知当销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值； 解答
热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝3x＋k 5(0≤x≤10)，若不建隔热层， 每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费 用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式； 解答
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值. 解答
f′(x)＝6－32x＋40502， 令 f′(x)＝0，即32x＋40502＝6，解得 x＝5，x＝－235(舍去). 当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0， 故x＝5为f(x)的极小值点也为最小值点， 对应的最小值为 f(5)＝6×5＋1850＋05＝70. 答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.
跟踪训练4 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行 速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运 输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平 方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值. 解答
包装盒容积为 V＝2x2· 2(30－x) ＝－2 2x3＋60 2x2(0<x<30)， 所以 V′＝－6 2x2＋120 2x＝－6 2x(x－20). 令V′>0，得0<x<20； 令V′<0，得20<x<30. 所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为 20 2 cm，高为10 2 cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.

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题型探究
重点突破
题型一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋1)(x－1)； 解 ∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′＝3x2－2x＋1. (2)y＝3x－lg x. 解 函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差. 由导数公式表分别得出 f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝xln110， 利用函数差的求导法则可得(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－xln110.
f′xgx－fx·g′x gfxx′＝________[g__x__]2_______
(g(x)≠0)
两个函数的商的导数，等于分子的导 数乘上分母减去分子乘上分母的导数， 再除以分母的平方
答案
思考 若f(x)＝x2·sin x，则f′(x)＝(x2)′·(sin x)′＝2x·sin x是否正确？ 答案 不正确.f′(x)＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′ ＝2x·sin x＋x2·cos x.
∴将②式和(1，－1)代入①式，得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0).
解得 x0＝1 或 x0＝－12. ∴P 点坐标为(1，－1)或(－12，78)， 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y－78＝－54(x＋12). 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
反思与感悟
解析答案
2′·x2－2·x2′ 3′·x3－3·x3′
＝
x4
＋
x6
＝－x43－x94.
解析答案
1－sin x (3)y＝1＋cos x；
解 y′＝11＋－csoins xx′

∴所求切线有两条,方程分别为
y-1=2(x-1)或y-5=10(x-25),
即y=2x-1或y=10x-245.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求曲线上在点P处的切线与过点P的切线有区别,在点P处的切 线,点P必为切点;求过点P的切线,点P未必是切点,点P也不一定在 已知曲线上.应注意概念区别,其求解方法上也有所不同,要认真体 会.若点P在曲线上,要分点P是切点和不是切点两种情况解决.
3.“Δx→0”的意义. 剖析:Δx与0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意 小的正数,但始终有Δx≠0.
பைடு நூலகம்
题型一
题型二
题型三
题型四
导数的定义
【例1】 已知函数y=f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.
(1) lim
Δ ������ →0
f(x0-���������x���x)-f(x0);
(a,b)内每一点都可导,是指对于区间(a,b)内每一个确定的值x0,都对 应着一个确定的导数f'(x0).根据函数的定义,在开区间(a,b)内就构成 了一个新的函数,就是函数f(x)的导函数f'(x).
(3)函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在点x=x0处的 函数值,即f'(x0)=f'(x)|������=������0 .
化率������(������0+Δ������)-������(������0)趋近于一个常数
������
l,则数
l
称为函数
f(x)在点
x0
的瞬
时变化率.用趋近于符号“→”记作当 Δx→0 时,������(������0+ΔΔ������������)-������(������0)→l.这时,

答： 当 OO1 为 2 m 时， 帐篷的体积最大， 最大体积为 16 3 m3.
[一点通] 解决面积，容积的最值问题，要正确引入变量，
将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利 用导数求解函数的最值．
1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大， 则其高应为 20 3 A. cm 3 C．20 cm B．100 cm 20 D. cm 3 ( )
2． 学校或班级举行活动， 通常需要张贴海报进行宣传． 现 让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心 面积为 128 dm2，上、下两边各空 2 dm，左、右两边 各空 1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面 积最小？
128 解：设版心的高为 x dm，则版心的宽为 x dm，此时四 周空白面积为
[精解详析] 设速度为每小时 v 千米的燃料费为每小时 p 元， 由题意得 p＝k· v3，其中 k 为比例常数，当 v＝10，p＝6，解得 k＝ 6 ＝0.006. 103 于是有 p＝0.006v3. 设当速度为每小时 v 千米时，行 1 千米所需的总费用为 q 元， 那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行 1 千米所需时间 1 1 为v小时，所以行 1 千米的总费用为 q＝v(0.006v3＋96)＝0.006v2＋ 96 v
3 3 2 1 V(x)＝ (8＋2x－x ) 3x－1＋1. 2
3 ＝ (16＋12x－x3)． 2
求导数，得 V′(x)＝
3 (12－3x2)． 2
令 V′(x)＝0，解得 x＝－2(不合题意，舍去)，x＝2. 当 1＜x＜2 时，V′(x)＞0，V(x)为增函数； 当 2＜x＜4 时，V′(x)＜0，V(x)为减函数． 所以，当 x＝2 时，V(x)最大．

又f
-
2 2
= 32,f(3)=15,
因此,当 x∈[-1,3]时,f(x)max=15.
要使得不等式 f(x)≤k-2 000 对于 x∈[-1,3]恒成立,则 k≥15+2 000=2
015.所以,存在最小的正整数 k=2 015 使得不等式 f(x)≤k-2 000 对于 x∈[-1,3]
恒成立.
当 x∈
-2,
2 3
时,f'(x)<0;
当 x∈
2 3
,1
时,f'(x)>0.所以 f(x)在[-3,1]上的单调增区间是[-3,-2)和
2 3
,1
,
单调减区间是
-2,
2 3
.
因为 f(1)=4,f(x)极大值=f(-2)=13,
所以 f(x)在区间[-3,1]上的最大值为 13.
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专题一
专题二
专题探究
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专题一
专题二
专题三
专题四
知识网络
专题探究
【例 2】 已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,求曲线 y=f(x) 在点(2,f(2))处的切线方程.
解:由 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,令 x=2-x,得 f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8, 即 2f(x)-f(2-x)=x2+4x-4, 联立 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,得 f(x)=x2, 所以 f'(x)=2x,f'(2)=4, 即所求切线斜率为 4, 所以切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0.

解析答案
题型二 物体运动的瞬时速度 例2 一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 运动，求这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度. 解 设在t＝2 s附近的时间增量为Δt， 则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2. 因为ΔΔst＝8＋2Δt，Δlit→m0 ΔΔst＝Δlit→m0 (8＋2Δt)＝8， 所以这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.
，即 f′(x0)＝lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；
③0.1；④0.01. 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3. ①当 Δx＝2 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当 Δx＝1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当 Δx＝0.1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当 Δx＝0.01 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
lim

导数作为工具为研究函数的单调性、极值和最值提供了 通性通法．某些求参数范围问题，常借助导数求最值转化为 恒成立问题．
解题时，一般先分离参数，再利用 f(x)≥a，即 f(x)min≥a 恒成立或 f(x)≤a，即 f(x)max≤a 恒成立的思想解决参数的范围 问题．
【思路点拨】 先对函数求导，用 f′(x)的正负来判断 f(x) 的增减，用恒成立的思想解决 k 的取值范围，但要注意对 k 值的分类讨论．
(2)设切点为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x20＋1，∴直线 l 的方程为 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16， 又∵直线 l 过点(0,0)， ∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16， 整理得 x30＝－8，∴x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13， ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
若抛物线 C1：y1＝x2－2x＋2 与抛物线 C2：y2＝ －x2＋ax＋b 在它们的一个公共点处的切线互相垂直．
(1)求 a，b 之间的关系； (2)若 a>0，b>0，求 ab 的最大值．
【思路点拨】 结合导数的几何意义求公共点处的导数 即为斜率，由已知斜率互为负倒数进而推知 a，b 的关系式．
【规范解答】 (1)依题意 y′ 1 ＝2x－2，y2′＝－2x＋a，设 它们的公共点为 P(x0，y0)，因为在 P 点切线互相垂直且切线 斜率一定存在．
∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，
即 4x20－2(a＋2)x0＋2a－1＝0，
①
则 Δ＝4[(a－2)2＋4]＞0.
又∵y0＝x20－2x0＋2，且 y0＝－x20＋ax0＋b，

fx0＋ΔΔxx－fx0＝Δlixm→0
(a＋b·Δx)＝a.
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5.已知函数f(x)＝ ax在x＝1处的导数为－2，则实数a的值是__2_.
1＋aΔx－a
－a
解析 f′(1)＝lim Δx→0
Δx
＝ lim
＝－a.
Δx→0 1＋Δx
由题意知，－a＝－2，∴a＝2.
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课堂小结
KETANGXIAOJIE
(2)求平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔyx.
跟踪训练 1
(1)若 lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝k，则Δlixm→0
fx0＋2·ΔΔxx－fx0等于
√A.2k
B.k
1 C.2k
D.以上都不是
解析
lim
Δx→0
fx0＋2·ΔΔxx－fx0，
＝2 lim 2Δx→0
fx0＋22··ΔΔxx－fx0＝2k.
(2)求y＝2x2＋4x在点x＝3处的导数.
解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝2(Δx)2＋16Δx，ΔΔxy＝2Δx＋16， Δlixm→0ΔΔyx＝Δlixm→0(2Δx＋16)＝16，
所以y′|x＝3＝16.
3 达标检测
PART THREE
1.如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其
在1.2 s末的瞬时速度为
√A.－4.8 m/s
B.－0.88 m/s
C.0.88 m/s
D.4.8 m/s
解析 物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定 义即可求得.

由 f′(x)＝0，得 x＝± 33a(a≥0).
∵f(x)在区间(qū jiān)(－1,1)上不单调，
∴0＜ 33a＜1，得 0＜a＜3，即 a 的取值范围为(0,3).
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解答
反思(fǎn sī)与感悟 f(x)为(a，b)上的增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有 f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不
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第六页，共四十八页。
知识点三 函数(hánshù)y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法
1.求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值. 2.将函数y＝f(x)的 极值与(端jízhí点) 处的函数值 是最大值， 最的小一个是最小值.
f(a)，比f(b较) ，其中(qízhōng) 最大的一个
集的影响进行分类讨论.
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跟踪训练(xùnliàn)1 讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性.
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第十六页，共四十八页。
解答
命题角度2 由函数(hánshù)单调性求参数范围 例2 已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)讨论f(x)的单调性；
则 g′(x)＝1x＋2ax＋b.
由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得g′(1)＝1＋2a＋b＝0，∴b
＝－2a－1.
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解答
(2)若a≥0，试讨论函数(hánshù)g(x)的单调性.
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解答