当前位置：文档之家 › 3.9 晶格振动模式密度

3.9 晶格振动模式密度

  • 格式：ppt
  • 大小：447.50 KB
  • 文档页数：10

下载文档原格式

  / 10

合集下载

格波模式数及模式密度密度

格波模式数及模式密度密度



b1 ( b2 b3 )
*
* ,
N1 N 2 N3
N1N 2 N3 N
*为倒格矢原胞体积（第一布里渊区体积），
* (2 )3
q的可取数目：
* / * N（晶体的原胞数） N
而每个波矢量q 在倒空间所占体积可写为
* (2 )3 (2 )3
N N Vc

N3 2
可知
q

l1 N1
b1

l2 N2
b3

l3 N3
b3
l1,l2 ,l3 0,1,2,...
量在波每矢一空组间(表l1,示l2出l3来)对,它应们于是一均个匀q矢分量布,的将点这,些每矢个
点的体积等于边长为
b1 , b2 , b3 N1 N 2 N 3 3
• 每个平行六面体的体积为
• 晶体单位体积中格波的频谱密度g(ω)dω定 义为频率ω到ω＋dω之间的简正模式数目 除以晶体的体积
g()d

1
8
3
dq sd
s
选取dq的表达式之后，简 模式密度可以表达为：
g ( )d

1
8 3

lds

1
8
3

dsd grad
由于d是任意的
g()
1
8 3
Vc 为晶体体积。
所以波矢q的点在布里渊区中的密度为
N *

N
(2 )3

Vc
(2 )3
一维：
波矢q点在布里渊区中的密度为
N *


N
2


Na
2

固体物理：3_9 晶格振动模式密度

固体物理：3_9 晶格振动模式密度
m
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§3-9晶格振动模式密度
• 为准确地求出晶格热容及它与温度的变化 关系，必须较准确的办法计算出晶格振动 的模式密度（或称频率分布函数）。
• 一般来说，ω与q之间的关系是复杂的，除 非在一些特殊情况下，得不到g(ω)解析表 达式。
对于Debye模型有：gD(ω)= gl(ω)+2 gt(ω)。
Debye模型的色散关系是：
ωl=Clq; ωt=Ctq
l
Clq
d
q
Cldq
l
Cl
gl ()
dnl
d
V
(2 )3
ds
V 4 q2 V2
ql (q) (2 )3 Cl 2 2Cl3
gt ()
dnt
d
V
(2 )3
ds V 4 q2 V2 qt (q) (2 )3 Ct 2 2Ct3
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
模式密度（振动模式密度、状态密度、频率分布函数）
计算方法：若设Δn=g(ω) Δω表示ω到ω+ Δω范围内的晶格振动模式数，则定义：
g( ) lim n (1) Δn=(q空间中格波0 分布密度)×(频率为ω
到ω+ Δω的等频面间的体积)； (2) q空间中格波分布密度分别为：
) 1
E
dgD ( )[
1 2
e kBT
] 1
弹性波的色散关系ω(q)——ω(q)=Cq 晶格振动的色散关系ω(q)——不同体系不同结论
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质

固体物理 第13讲晶体热容的量子理论和晶格振动模式密度

固体物理 第13讲晶体热容的量子理论和晶格振动模式密度

在极低温范围内，爱因斯坦理论值下降比较陡，与实验不符合。 爱因斯坦理论值反映了随温度下降的趋势。
11
晶体热容 温度较高时
k B E 0
2 x ex 1 x 2!
CV 3Nk B
—— 与杜隆 — 珀替定律相符
12
晶体热容
温度非常低时
k B E 0
0 2 CV 3Nk B ( ) e k BT
实验测得结果

0 k BT
—— 按温度的指数形式降低
—— 爱因斯坦模型认为各原子的振动是相互独立的，因而3N 个频率是相同的。 —— 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别。
13
2. 德拜模型 1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布喇 菲晶格看作是各向同性的连续介质。
—— 对于一定的波矢量q，有1个纵波和2个独立的横波
频率在 之间振动模式的数目
实际晶体由N个原子组成，自由度为3N个 格波总的数目 德拜认为： 当频率大于某一频率 m时，短波振动不存在， 在m之上的振动可当作弹性波来处理。
18
3V 2 g ( ) 2 3 2 C
N 1/ 3 m C [6 ( )] V
2
晶体总的热容 CV
lognitudinalwave不同的振动模能量不同色散关系1515三维晶格态密度受边界条件限制波矢q分立取值允许的取值在q空间形成了均匀分布的点子体积元态的数目q是近连续变化的dq振动数目1616频率在之间振动模式的数目各向同性的介质振动频率分布函数或者振动模的态密度函数一个振动模的热容晶体总的热容的计算1717频率在之间纵波数目频率在之间格波数目频率在之间横波数目波矢的数值在之间的振动方式的数目1818频率分布函数频率在间格波数目频率在之间振动模式的数目实际晶体由n个原子组成自由度为3n个格波总的数目德拜认为

固体物理总复习

固体物理总复习

gap
2 )q 一维双原子链的长声学波 ( a mM B 长声学波中相邻原子的振动 ( A ) 1
光学波 长波极限
2
mM B m , ( ) － mM A M
§3.4
1. 三维复式格子
三维晶格的振动
l i [ t R l k q ] 格波的一般形式 A e k k
ab c
§5 晶体的宏观对称性
点对称操作 1. 绕轴旋转 2.旋转-反演(反演，镜面) 对称操作
1. 绕轴旋转
2.旋转-反演 3.空间平移
晶体的宏观对称性只有8种独立的对称操作： 1，2，3，4，6， 1 ( i ),
2 (m)
和
4
能证明为何晶体中没有5次对称性？
第二章
• 晶体结合的类型？ • 晶体结合的物理本质？ • 固体结合的类型与固体性质之间的联系？
T —— 电子对比热的贡献, 即电子热容
AT 3—— 晶格振动对比热的贡献, 即晶格热容
温度不太低时，可以忽略电子的贡献 爱因斯坦模型与德拜模型 爱因斯坦温度和德拜温度
§3.9 晶格振动模式密度
晶格振动模式密度 —— 单位频率间隔的振动模式数目
n g ( ) lim 0
在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度
本课程的主要内容
晶格动力学
原子核的运动规律 核外电子的运动规律
固体物理
固体电子论
晶格动力学
1. 晶体结构 2. 固体的结合 3. 晶格振动和热学性质
固体电子论
4. 能带理论 5. 外场中电子的运动 6. 金属电子论
第一章 摘
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5 §1-6 §1-7 §1-8 §1-9

2012-固体物理(3-5)-1 模密度

2012-固体物理(3-5)-1 模密度

11
例2：三维晶体，ω = cq 求模式密度。 q 其中c为常量， 解1: 在波矢空间，等频率面为球面，球 半径为q。
qy
∇ω q = c
V
3
qx
g (ω ) =
(2π )
V
∫
ds V 1 = ∇ qω (2π )3 c
∫
ds
=
(2π )
3
2 2 1 V 4π ⎛ ω ⎞ 2 V ω 4πq = ⎜ ⎟ = 2 3 3 c 2π c (2π ) c ⎝ c ⎠
12
解2:
ω ~ ω + dω
间隔内的振动模式数为 间隔内的振动模式数为： qy
v Δn = g(ω )dω = g( q ) d q
v dq ∴ g(ω ) = g( q ) dω
dω dω c = v = 2 dq 4πq dq 4πq 2
v dq = 4πq 2dq d
qx
∴ g (ω ) =
1/ 2
a 2 1/ 2 = (ωm − ω 2 ) 2
L dq Δn = 2 × dω 2π dω
2L 2 = ωm − ω 2 πa
= 2×
L 1 2π a ω 2 − ω 2 m 2
(
)
1/ 2
dω
(
)
−1 / 2
dω
Δn = g(ω )Δω
2N 2 2 −1 / 2 g (ω ) = (ωm − ω ) π
(2π )3Vຫໍສະໝຸດ 2 4πq 2 V 4π ⎛ ω ⎞ ⋅ = ⎜ ⎟ 3 c (2π ) c ⎝ c ⎠
V ω2 = 2π 2 c3
二维呢？ 13
例3：若
ω = cq
2

晶格振动模式密度定义

晶格振动模式密度定义

晶格振动模式密度定义晶格振动模式密度（Phonon Density of States，简称PDOS）是描述晶体中原子振动模式的一种物理量。

晶体中的原子在平衡位置附近以小振幅做简谐振动，这些简谐振动构成了晶体的振动模式。

PDOS给出了不同频率的振动模式在能量空间中的分布情况，反映了晶体各种振动模式的丰度和分布情况。

PDOS对于研究晶体的热力学性质、热传导、声学性质等都具有重要意义。

它是计算晶体热容、热导率、声子散射等性质的基础。

此外，PDOS还可以用于研究晶体的相变、物理化学性质以及材料的设计和优化。

PDOS的具体定义如下：设晶体中的原子总数为N，晶格振动模式的总数为M，则PDOS可以定义为每单位频率范围内单位原子数的平均数，即：PDOS(ω) = (1/ N) * ∑(m=1 to M) δ(ω - ω_m)其中，δ(ω-ω_m)为狄拉克函数，当ω等于ω_m时取值为1，否则取值为0。

PDOS可以分为各向同性的PDOS和各向异性的PDOS。

各向同性PDOS是指晶体中各个晶向上的振动模式在一些频率范围内的分布情况，它是晶体的各向同性介质的特征。

各向异性PDOS是指晶体中不同晶向上的振动模式在一些频率范围内的分布情况，它反映了晶体的各向异性效应，比如晶体的声子色散关系。

在实际计算中，PDOS通常通过量子力学计算或者分子动力学模拟得到。

对于固体材料，计算PDOS是一个复杂的过程，需要考虑晶胞、原子的排列方式、晶格常数等诸多因素。

目前，常用的计算方法包括密度泛函理论（DFT）、哈密顿动力学模拟（HMD）等。

根据计算得到的PDOS，可以进一步研究晶体的声子态密度（Phonon Density of States，简称PhDOS），PhDOS是PDOS的积分，表示在一些频率以下的所有振动模式的能量状态密度。

总结起来，晶格振动模式密度（PDOS）是指描述晶体中不同频率的振动模式在能量空间中的分布情况。

它是了解晶体物理、热学以及声学性质的重要指标，可以通过理论计算或者模拟得到。

晶格振动模式密度

晶格振动模式密度

热力学
热容量
晶格振动模式密度可以影响固体 的热容量，通过分析晶格振动模 式密度，可以更准确地描述固体
热容量的变化规律。
热传导
晶格振动模式密度对热传导过程也 有重要影响，它决定了固体内部热 能传递的速率和方式。
相变
晶格振动模式密度在相变过程中扮 演着重要角色，可以影响相变温度 和相变过程中的能量变化。
根据晶体的结构和对称性，建立晶格模型 。
根据原子间的相互作用势，确定原子间的 相互作用。
3. 求解振动方程
4. 计算振动模式密度
根据晶格模型和原子间的相互作用，求解 晶体的振动方程。
根据求解得到的振动方程，计算晶体的振 动模式密度。
结果分析
振动模式密度的分布
振动模式的能量分布
分析计算得到的振动模式密度在晶格 中的分布情况，了解晶体的振动特性。
CHAPTER
材料科学
材料性质预测
晶格振动模式密度可用于预测材 料的物理性质，如热导率、弹性 常数等，有助于材料设计和优化 。
相变研究
通过研究晶格振动模式密度随温 度的变化，有助于理解材料的相 变行为，如金属向绝缘体的转变 等。
环境科学
污染物扩散
晶格振动模式密度可以影响气体在材料中的扩散系数，对于 理解污染物在环境中的传播和扩散具有重要意义。
光学
光的吸收和散射
晶格振动模式密度对光与物质相互作用过程中的吸收和散射有重 要影响，可以改变光的传播方向和强度。
光的折射和反射
晶格振动模式密度可以影响光的折射和反射，从而改变光在物质表 面的行为。
非线性光学效应
通过研究晶格振动模式密度，可以深入了解非线性光学效应的机制， 为新型光学材料和器件的开发提供理论支持。

03-09晶格振动模式密度

03-09晶格振动模式密度
固 体 物 理
Solid State Physics
固体物理 Solid State Physics
第三章 晶格振动
§ 3.9 晶格振动模式密度
西 南 科 技 大 学
固 体 物 理
Solid State Physics
晶格振动对热容的贡献 —— 量子理论
一个频率为j的振动模对热容的贡献
频率为j的振动模由一系列量子能级组成
2 德拜模型
—— 1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波 将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质 晶体总的热容
—— 振动频率分布函数
西 南 科 技 大 学
和m的计算
晶体总的热容
固 体 物 理
Solid State Physics
爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?
在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符?
一维情况振动模式密度 在 的一些点 奇点
西 南 科 技 大 学
—— 范霍夫奇点，是晶体中一些高对称点__布里渊区边界 —— 这些临界点与晶体的对称性密切相联
一个振动模的平均能量
西 南 科 技 大 学
一个振动模对热容贡献
固 体 物 理
Solid State Physics
晶体中有3N个振动模，总的能量
晶体总的热容
1 爱因斯坦模型 —— N个原子构成的晶体，所有原子以相同的频率
西 南 科 技 大 学
0振动
固 体 物 理
Solid State Physics
西 南 科 技 大 学
固 体 物 理
Solid State Physics
§3.9 晶格振动模式密度
晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动

固体物理总结晶格振动与晶体的热学性质完全版

固体物理总结晶格振动与晶体的热学性质完全版

固体物理总结晶格振动与晶体的热学性质完全版第四章总结第四章要求1、掌握⼀维单原⼦链振动的格波解及⾊散关系的求解过程以及格波解的物理意义；2、掌握⼀维双原⼦链振动的⾊散关系的求解过程，清楚声学波与光学波的定义以及它们的物理本质；3、了解三维晶格的振动；4、掌握离⼦晶体长光学波近似的宏观运动⽅程的建⽴过程及系数的确定，清楚LST关系及离⼦晶体的光学性质；5、了解局域振动的概念；6、掌握晶格热容的量⼦理论；熟悉晶格振动模式密度；7、掌握⾮谐效应的概念以及它在热膨胀和热传导中的作⽤。

⼀维晶格的振动和三维晶格的振动晶格振动的简谐近似和简正坐标状态及能量确定晶格振动谱的实验⽅法离⼦晶体的长波近似热容晶格振动的爱因斯坦模型热容量德拜模型晶格状态⽅程⾮简谐效应热膨胀1、⼀维单晶格的振动⼀维单原⼦链格波：晶格振动是晶体中诸原⼦（离⼦）集体地在作振动，由于晶体内原⼦间有相互作⽤，存在相互联系，各个原⼦的振动间都存在着固定的位相关系，从⽽形成各种模式的波，即各晶格原⼦在平衡位臵附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。

相邻原⼦之间的相互作⽤βδδ-≈-=d dv Fa d vd ???? ?=22δβ表明存在于相邻原⼦之间的弹性恢复⼒是正⽐于相对位移的第n 个原⼦的运动⽅程)2(11n n n n m µµµβµ-+=-+?)(naq t i nq Ae-=ωµ⾊散关系：把ω与q 之间的关系称为⾊散关系，也称为振动频谱或振动谱。

)21(sin 4]cos 1[222aq maq mββω=-=其中波数为λπ/2=q ，ω是圆频率，λ是波长有位相差。

相邻原⼦之间的位相差为aq 。

（2）q 的取值范围【－(π/a)""这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。

q 的取值及范围常称为布⾥渊区。

前⾯所考虑的运动⽅程实际上只适⽤于⽆穷长的链，⽽两端原⼦的运动⽅程与中间的不同，因此有了玻恩-卡曼提出的环状链模型。

晶格振动模式密度定义

晶格振动模式密度定义

晶格振动模式密度定义
晶格振动模式密度，也称为声子态密度，是固体物理学中一种描述晶格振动模式种类
和数量的物理量。

它指的是在特定材料中，固体内能够传播热量和声波的振动模式种类及
其频率密度分布的表征。

这个概念源于声子，它是一种量子力学的概念，解释了晶体内的振动。

当物质中的离
子或原子振动时，它们的能量以干扰的形式向其他周围原子传递，从而形成晶体中的声子。

声子态密度包括所有可能的振动模式类型的密度，每种振动模式代表一个特定的波数
和频率。

声子态密度与晶体中存在的原子的数量和种类有关，并在不同材料和不同温度下
变化。

它还与材料的结构和性质密切相关，因此是研究材料的热、电、磁性质等方面的重
要参量。

晶格振动模式密度可以用实验方法或理论计算方法得到，例如声子谱测量、密度泛函
理论等。

通过比较实验和理论结果，可以对材料的特性进行更深入的研究。

在材料科学研究中，声子态密度常常用于研究材料的热传导、声学性质、相变以及缺
陷和晶格畸变等方面，对于设计新型功能材料、优化材料性能具有重要意义。

晶格振动模式

晶格振动模式

2 (m M )
(q)
mM
2
m
2
q
M
2a
2a

0
2a
q
2a
称为一维复式晶格的 第一布里渊区
一维复式晶格的色散关系曲线
即一维复式晶格的倒格子原胞
如m<M，色散关系中存在频隙
周期性边界条件：一维双原子链由N个原胞组成，
每个原胞中含有两个不同的基，将若干个相同的
布拉菲晶格： xn Aei(qnat)
复式晶格：
x2n Aei(q2nat )
x Be 2n1
i[q(2n1)at ]
一组确定的q, 决定一种格波，或振动模式。
每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是
表示整个晶体所有原子都参与的频率 ，初相位
的振动，也称为一个振动模式。
有N个原子组成的晶体，一共有3N组特解，即有3N 种不同频率的间歇振动，也即有3N个振动模式。
晶体中原子的实际振动由运动方程的一般解表示
方程的一般解可表示为特解的线性叠加
3N
qk AklSin(lt l ) k 1,2,,3N l 1
模式，即代表一种格波。
例如：

q,



1 2

a
,
2

m
长波极限， ,q 0 整个晶格象刚体一样作整体运
动,因而恢复力为0,故 0 2a, q 邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢
a 复力和频率取极大值
二、周期性边界条件
考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成，另有 无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长 的一维原子链，各段相应原子运动情况相同。

第三章 晶格振动与晶体的热学性质

第三章 晶格振动与晶体的热学性质
3
杜隆—珀替定律
模型处理方法：把固体中的原子看成一组互相独立 的振子来处理，应用能量均分定理。设固体中有N个 原子，则晶体平均能量为： E = 3 Nk BT 则由热学知识可得：
⎛ ∂E ⎞ ⎟ = 3 Nk B CV = ⎜ ⎜ ∂T ⎟ ⎠V ⎝
N＝6.023×1023，则摩尔比热CV＝24.9J/k•mol
即 h 只取N个不同的值。因此，由一维单原子组成的一维 晶格，q只能取N个不同的值。 格波数：一维单原子晶体，一个q只对应一个格波。q取N 个不同的值，对应N个
ω，因此，独立自由度数。
28
• 色散关系
把u n
••
= Ae
− i ( qna − ω t
miμi =
∑
3N
j =1
a ij Q
j
1 3N •2 T = ∑ Qi 2 i =1
1 3N 2 2 V = ∑ ω i Qi 2 i =1
15
由分析力学的一般办法，由动能和势能可以直接写出拉 格朗日函数
L = T −V
∂ Qi
Pi = ∂L
•
得到正则动量 : 哈密顿量可写成 :
可取之处：获得低温段CV～T3的规律。
6
绝热近似
固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子组成，所 以固体实际上是由电子和离子组成的多粒子体系。由于电子之 间、电子与离子以及离子之间的相互作用，要严格求解这种复杂 的多体总量是不可能的。但注意到电子与离子的质量相差很大， 离子的运动速度比电子慢得多，可以近似地把电子的运动与离子 的运动分开来考虑，这种近似方法称为绝热近似，即：
第三章 晶格振动与晶体热学性质 lattice vibration and heat property

3.9-晶格振动模式密度、状态方程和热膨胀

3.9-晶格振动模式密度、状态方程和热膨胀
§3-9 晶格振动模式密度
为了准确地求出晶格热容以及它与温度的 变化关系, 必须用较精确的办法计算出晶 格振动的模式密度（也称频率分布函数）
原则上, 只要知道了晶格振动谱 ωj(q), 就知道了 各个振动模的频率, 也就知道了模式密度函数 g(ω)
一般来说, ω与 q 之间的关系是复杂的, 除非在一些特殊情况下, 得不到 g(ω) 的
aq
1/
2
aq n , n 取 N / 2 与 N / 2 间的整数值
N
其中只有前面的β依赖于链的长度 2Na
上式两边求对数, 并对 ln(2Na) 求微商, 得到
－ d
d ln
ln(2Na)
1 2
d
d ln
ln(2Na)
1 2
d ln
d ln a
从原子相互作用势能的展开式, 可以看到, β 实际是相邻原子势能的二次微商系数
§3-9 晶格振动模式密度 小结
模式密度的一般公式 几种特例：
g
()＝
V
(2
)3
|
dS
(q)
|
q
一维单原子链
Debye模型 平方型色散关系
g()＝2N
m2 2
1 2
g()
V
2 2c3
2
g(
)＝
V
(2
)2
1 c3/ 2
1/ 2
§3-10 晶格的状态方程和热膨胀
1. 晶格状态方程
如果已知晶体的自由能函数 F(T,V), V 为晶体的
解析表达式, 因而往往要用数值计算
铜 晶 体 的 模 式 密 度
实际的晶体的模式密度与 Debye 近似下的模式 密度，除在低频极限以外，存在一定差别 这说明为什么 Debye 热容理论只是在及低温下才 是严格正确的, 因为此时只有低频振动模有贡献

固体物理学_晶格振动与晶体的热学性质之_晶格振动模式密度剖析

固体物理学_晶格振动与晶体的热学性质之_晶格振动模式密度剖析
03_09 晶格振动模式密度
晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 —— 不同频率的振动模对应不同的能量
给定晶体 —— 总的振动模数目是一定的 按振动频率分布 —— 用晶格振动模式密度来描述
振动模式密度 —— 研究晶体热容、电学和光学性质
晶格振动模式密度 g() lim n —— 单位频范霍夫奇点 —— 晶体中一些高对称点__布里渊区边界 —— 这些临界点与晶体的对称性密切相联
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
ds
(2 )3 q(q)
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
简单几种情况下振动模式密度的表示 一维无限长单原子链 —— 最大频率 振动模式密度 一维情况下
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
考虑到一个频率可以有 两个值 振动模式密度
g() 2N 1 m2 2
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
q空间 —— 振动模是均匀分布的，状态密度
根据
做出一个等频率面
两个等频率面 和
之间的振动模式数目
—— 频率是q的连续函数
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
之间振动模式数目
g() lim n 0
g() V
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 也可以直接由q空间的状态密度来计算 状态密度
振动模式密度 g() 2N 1 m2 2
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
德拜近似下的振动模式密度 振动频率与波矢成正比
g()
V
2 2c3
2

03_09_晶格振动模式密度

03_09_晶格振动模式密度

03_09_晶格振动模式密度
晶体中的原子不是静态的，而是处于无限个振动模式之中。

这些振动模式以不同的频
率振动，并与晶格点的相互作用相互影响。

因此，晶体的振动模式密度是描述晶体振动行
为的一种重要工具。

晶格振动模式密度是指每单位频率内的振动模式数。

在固体物理学中，晶格振动模式
密度是描述晶体振动特性和热力学性质的重要物理量。

它反映了晶体中所有可能的振动模式，包括纵波和横波、彼此耦合的振动等。

晶格振动的频率区间通常被分为三个范围：远红外波段、中红外波段和近红外波段。

在每个频段中，振动模式密度随频率增加而增加，但在不同频率范围内的增长速度是不同的。

在远红外波段，晶格振动主要由晶体内部的振动和声波组成。

这些振动模式通常被称
为声子。

在中红外波段，晶格振动包括晶体的特定振动模式和局部原子的振动模式。

在近
红外波段，晶体中的振动模式包括晶体基元的整体振动和各原子之间的化学键振动。

晶格振动模式密度可以通过测量晶体的各种热力学性质来确定。

例如，温度和压力对
晶格振动模式密度的影响可以通过热容和热膨胀系数来测量。

这些测量结果可以揭示晶体
内在的能量状态和振动行为，从而为研究特定晶体中的物理和化学现象提供有价值的信息。

此外，晶格振动模式密度还可以用于开发新的材料和设计化学反应的方法。

总之，晶格振动模式密度是描述晶体内部振动行为以及热力学性质的重要物理量。

它
反映了晶体内部的能量状态和振动行为，可以在材料科学和化学领域中发挥重要作用，并
促进新颖材料和反应的开发。

晶格振动模式密度研究

晶格振动模式密度研究

不同体系的晶格热容公式．
１ 晶格振动模式
晶体中原子的排列是具有周期性的，而其排列 的具体形式即称为晶格，格子的位置代表了原子的
平衡位置．晶体的一些宏观性质如导电性、导热性等 就是因为晶体中电子和原子的运动造成的，而晶格 振动即晶体中原子在其平衡位置附近的振动，温度 越高振动越激烈，温度达到熔点附近则原子将脱离 格点的束缚而发生相变．在简谐近似即温度不太高 的小振动过程中，研究发现晶格振动中所有原子都 以相同的振动频率参与振动，且振动的模式具有波 的形式，一般把体系中所有原子一起参与的共同振 动叫做一个振动模式．振动模式具有波的形式又叫 做格波，格波的能量量子叫声子，声子是一种假想的 能量量子．原则上只要找到了体系的振动模式或格 波的运动方程，就能方便的求解薛定谔方程，解决相 应的问题．
个 体
数 积
正 中
好 的
为 量
子ｈ１化·点ｈ２
· 的
个ｈ３
个．格 数，所
波 以
分 不
布 同
密 体
度 系
就 的
是 格
单 波
位 分
布密度计算公式如下．
１）三维体系 ｑ 空间的体积为
( ) ·[( ) ( ) ] ｈ１ ２π Ｎ１ α１
ｈ２ ２π × ｈ３ ２π ＝
Ｎ２ α２
Ｎ３ α３
（ ） ２π ３
（ ） ２π ３
２第０１３８７年卷８第月８ 期
大 学 物 理
ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖｏｌ．３７ Ｎｏ．８ Ａｕｇ ２０１８
晶格振动模式密度研究
王晴晴，宫 昊，程荣龙，葛立新
（蚌埠学院 理学院，安徽 蚌埠 ） ２３３０３０
摘要：晶格振动模式密度（声子态密度）即单位频率间隔内的模式数，是反映声子在波矢空间分布疏密程度的物理量．为 了准确地求出晶格热容量随温度的变化关系，必须用较精确的办法计算出晶格振动的模式密度，进而掌握材料的热力学性质． 一般教材中对该部分的讲解晦涩难懂，本文从晶格振动的物理意义开始，分析说明并推导一维、二维、三维不同体系的晶格振 动模式密度公式，进而求出德拜模型下不同体系晶格热容公式．
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
10/10
g ( )
V 2 c
2 3

2
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
07/10
色散关系 cq2 —— 三维情形 q空间的等频率面是一个球面，球面面积
振动模式密度
V g ( ) 2 3/ 2 (2 ) c
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
01/10
在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度
根据 两个等频率面 和 做出一个等频率面
之间的振动模式数目
频率是q的连续函数
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
02/10
之间振动模式数目
振动模式密度函数
V ds g () (2 )3 q( q)
2N
1
2 m 2

03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
05/10
也可以直接由q空间的状态密度来计算 状态密度
振动模式密度
g ( )
2N
1
2 m 2

03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
06/10
德拜近似下的振动模式密度
振动频率与波矢成正比
08/10
——二维情况 等频率是一个圆 振动模式密度
g ( ) ห้องสมุดไป่ตู้
——一维情况
S 4 c
L g ( ) 2 c
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
09/10
如果色散关系
三维情况振动模式密度 二维情况振动模式密度 一维情况振动模式密度 在 的一些点 奇点 —— 范霍夫奇点，是晶体中一些高对称点（布里渊区边界） —— 这些临界点与晶体的对称性密切相联
§3.9 晶格振动模式密度 晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 —— 不同频率的振动模对应不同的能量 对于给定晶体，总的振动模数目是一定的，可以用晶格振动 模式密度来描述频率分布
—— 由振动模式密度，可研究晶格热容、晶体电学、光学性质 定义晶格振动模式密度 —— 单位频率间隔振动模式的数目
n g ( ) lim 0
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
03/10
几种简单情况下振动模式密度的表示 一维无限长单原子链 —— 色散关系 —— 最大频率
振动模式密度 一维情况下
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
04/10
考虑到一个频率可以有 振动模式密度
两个值
g ( )