2017年长郡中学高二数学分班考试试题及参考答案

长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（文科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.1. 设集合，，则集合为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：化简集合，再由交集的定义，即可得到所求集合.详解：集合，，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的交集的运算，其中正确求解集合的解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 若复数是纯虚数，则实数等于（）A. 2B. -2C. -1D. 1【答案】A【解析】分析：复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a的值即可．详解：因为，是纯虚数，所以a=2．故选：A．点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：为非奇非偶函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，且是上的增函数，故选D.4. 已知：命题：若函数是偶函数，则；命题：，关于的方程有解.在①；②；③；④中真命题的是（）A. ②③B. ②④C. ③④D. ①④【答案】D【解析】分析：先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．详解：若函数f（x）=x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|=x2+|x﹣a|，即有|x+a|=|x﹣a|，易得a=0，故命题p 为真；当m＞0时，方程的判别式△=4﹣4m不恒大于等于零，当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，即p真q假，故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．综上可得真确命题为①④．故选：D．点睛：本题考查复合命题的真假的判断．解题关键真确判断命题p，q的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解．属于基础题．（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q 至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p 且q”为真命题转化为交集的运算．5. 若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：用已知函数值的角表示要求的角，再由两角和差公式得到结果.详解：=因为， ,,故代入得到结果为：.故答案为：A.6. 已知数列是等差数列，满足，下列结论中错误的是（）A. B. 最小 C. D.【答案】B【解析】由题设可得，即，所以答案D正确；由等差数列的性质可得，则，所以答案A正确；又，故答案C正确。

长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因，故复数对应的点在第二象限，应选答案B。

2. 设、为非空集合，定义集合为如图非阴影部分的集合，若| ，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．详解：依据定义，A B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义：A*B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．点睛：本小题考查函数的定义域和值域，考查集合交并运算的知识，考查运算能力，属于中档题．3. 阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】输入执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，由题可知满足，输出故故选C4. 使不等式成立的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选B.5. 已知集合，，则从到的映射满足，则这样的映射共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】B【解析】分析：根据映射的定义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案详解：：若f（3）=3，则f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故这样的映射的个数是2×2=4个，故选：B．点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题6. 在直角坐标系中，若角的终边经过点，在（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意角的终边经过点，即点，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.详解：由题意，角的终边经过点，即点，则，由三角函数的定义和诱导公式得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7. 定义运算，，例如，则函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：欲求函数y=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．8. 若在区间上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．详解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.9. 已知，，分别为内角，，的对边，且，，成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为成等比数列，所以,利用正弦定理化简得：,又，所以原式=所以选C.点睛：此题考察正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题.10. 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】分析：由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．详解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜（+，＞=0，即为||=cos＜+，＞，当cos＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．点睛：本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量数量积的定义和性质，考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．11. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（）A. 1B.C. 3D. 0【答案】C【解析】由导数的几何意义得所以=，故选C.12. 设，则使得的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，对函数f（x）求导分析可得函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x ﹣3|，解可得x的取值范围，即可得答案．详解：根据题意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（e x﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1与函数y=2（e x﹣1+e1﹣x）都关于直线x=1对称，则函数f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x=1对称，f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）=﹣2x+2﹣（e x﹣1﹣）=﹣2（x+1+e x﹣1﹣），又由x≥1，则有e x﹣1≥，即e x﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．点睛：处理抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．13. 已知函数，其中为函数的导数，则（）A. 2B. 2019C. 2018D. 0【答案】A【解析】由题意易得：∴函数的图象关于点中心对称，∴由可得∴为奇函数，∴的导函数为偶函数，即为偶函数，其图象关于y轴对称，∴∴故选：A14. 中，角、、的对边分别为，，，若，三角形面积为，，则( )A. 7B. 8C. 5D. 6【答案】A【解析】分析：由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．详解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=7．故选：A．点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．15. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设则，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．详解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12=故所求的最小值为故选：C．点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件【答案】①【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为：①．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．17. 对于，，规定，集合，则中的元素的个数为__________．【答案】41【解析】分析：由⊕的定义，a b=36分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=36；a和b同奇偶，则a+b=36．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可详解：a b=36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．点睛：本题考查的知识要点：列举法在排列组合中的应用，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．18. 已知平面向量，满足||=1，||=2，|﹣|=，则在方向上的投影是__________．【答案】【解析】分析：根据向量的模求出•=1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵||=1，||=2，|﹣|=，∴||2+||2﹣2•=3，解得•=1，∴在方向上的投影是=，故答案为：点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．19. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是__________．【答案】【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得因此，当且仅当时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20. 已知集合，且下列三个关系：，，中有且只有一个正确，则函数的值域是__________．【答案】【解析】分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数=，当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21. 以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线相交于，两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程，巧解韦达定理表示，解得其值.试题解析：（1）由曲线C的原极坐标方程可得，化成直角方程为．（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，整理得，∵，于是点P在AB之间，∴．点睛：过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为 (t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1，P对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为 (t1＋t2)222. 如图，在中，角，，所对的边分别为，，，若.（1）求角的大小；（2）若点在边上，且是的平分线，，，求的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出，从而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根据是的平分线，可得，故而可求得结果.试题解析：(1)在中，∵,∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴.(2)在中，由余弦定理得，即,解得,或（负值，舍去）∵是的平分线，，∴,∴.23. 已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是；单调递减区间是.（2）【解析】试题分析：(1)，根据题意，由于函数当t=-e时，即导数为,,函数的单调递增区间是；单调递减区间是（2) 根据题意由于对于任意，不等式恒成立，则在第一问的基础上，由于函数,只要求解函数的最小值大于零即可，由于当t>0,函数子啊R递增，没有最小值，当t<0，那么可知，那么在给定的区间上可知当x=ln（-t）时取得最小值为2，那么可知t的取值范围是．考点：导数的运用点评：主要是考查了导数的运用，以及函数最值的运用，属于中档题。

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）开学数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2}2．（5分）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别为（）A．2，B．4，3C．4，D．2，13．（5分）若复数z＝（a+i）2（a∈R）在复平面内对应的点在y轴上，则|z|＝（）A．1B．3C．2D．44．（5分）在区间[﹣1，4]上随机选取一个数x，则x≤1的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线（m＞0）渐近线方程为y＝±x，则m的值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1B．C．D．27．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4B．9C．10D．128．（5分）已知函数f（x）＝若数列{a n}满足a n＝f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．（2，3）D．[，3）9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．2B．﹣1C．1D．010．（5分）设p：f（x）＝x3﹣2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；，则p 是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．以上都不对11．（5分）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于（）A．B．C．﹣D．﹣12．（5分）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•＝2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.）13．（5分）幂函数y＝x a在其图象上点（2，16）处的切线方程为．14．（5分）函数f（x）＝cos2x+6cos（﹣x）的最大值是．15．（5分）已知非零向量，满足||＝4||，且⊥（2+），则与的夹角为．16．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE 的外接球的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a2＝4，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA＝DB＝DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝45°，求四面体F﹣DBC的体积．19．（12分）某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（第x周）和市场占有率（y%）的几组相关数据如下表：（Ⅰ）根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x；（Ⅱ）根据上述线性回归方程，预测在第几周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过0.40%（最后结果精确到整数）．参考公式：＝，＝﹣．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为．设过点F 2的直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，总有TA与TB的斜率之和为定值．21．（12分）已知f（x）＝（a≠0，且a为常数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＝，在区间（1，+∞）内，存在x1，x2，且x1≠x2时，使不等式|f（x1）﹣f （x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|成立，求k的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ＝8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣3|，g（x）＝|x+1|+|x﹣a|．（l）求f（x）≥1的解集；（2）若对任意的t∈R，s∈R，都有g（s）≥f（t）．求a的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：D．2．【解答】解：∵x1，x2，…，x5的平均数是2，则x1+x2+…+x5＝2×5＝10．∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是：′＝[（3x1﹣2）+（3x2﹣2）+（3x3﹣2）+（3x4﹣2）+（3x5﹣2）]＝[3×（x1+x2+…+x5）﹣10]＝4，S′2＝×[（3x1﹣2﹣4）2+（3x2﹣2﹣4）2+…+（3x5﹣2﹣4）2]，＝×[（3x1﹣6）2+…+（3x5﹣6）2]＝9×[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x5﹣2）2]＝3．故选：B．3．【解答】解：复数z＝（a+i）2＝a2﹣1+2ai（a∈R），由复数z＝（a+i）2（a∈R）在复平面内的对应点在y轴上，可得a2﹣1＝0，2a≠0，解得a＝±1．则|z|＝2．故选：C．4．【解答】解：∵在区间[﹣1，4]上随机选取一个数x，∴x≤1的概率P＝＝，故选：A．5．【解答】解：双曲线（m＞0）的渐近线方程为y＝±x，由渐近线方程为y＝±x，可得＝，可得m＝3，故选：C．6．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB＝1，AB＝1，AD＝1，∴BD＝，PD＝＝．PC═该几何体最长棱的棱长为：故选：C．7．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故选：C．8．【解答】解：∵数列{a n}是递增数列，又∵f（x）＝，a n＝f（n）（n∈N*），∴3﹣a＞0，且a＞1且f（10）＜f（11）∴10（3﹣a）﹣6＜a2解得a＜﹣12，或a＞2故实数a的取值范围是（2，3），故选：C．9．【解答】解：当i＝1时，满足进行循环的条件，故S＝0，i＝2；当i＝2时，满足进行循环的条件，故S＝1，i＝3；当i＝3时，满足进行循环的条件，故S＝0，i＝4；…当i＝2n﹣1（n∈Z）时，满足进行循环的条件，故S＝0，i＝2n；当i＝2n（n∈Z）时，满足进行循环的条件，故S＝1，i＝2n+1；…当i＝2018时，满足进行循环的条件，故S＝1，i＝2019；当i＝2019时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为1，故选：C．10．【解答】解：因为f（x）＝x3﹣2x2+mx+1，所以f′（x）＝3x2﹣4x+m，由f（x）＝x3﹣2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，即f′（x）＝3x2﹣4x+m≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，即△＝16﹣12m≤0，解得：m，即p：m，则p是q的必要不充分条件，故选：C．11．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ，∵在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝h＝BC＝a，∴BD＝AD＝a，CD＝a，在Rt△ADC中，cosθ＝＝＝，故sinθ＝，∴cos A＝cos（+θ）＝cos cosθ﹣sin sinθ＝×﹣×＝﹣．故选：C．12．【解答】解：设直线AB的方程为：x＝ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m＝0，根据韦达定理有y1•y2＝﹣m，∵•＝2，∴x1•x2+y1•y2＝2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2＝﹣2，故m＝2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，＝．当且仅当，即时，取“＝”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.）13．【解答】解：把点（2，16）代入幂函数y＝x a中，得2a＝16，解得a＝4，∴幂函数为y＝x4；求函数的导数为y′＝4x3，令x＝2，得切线斜率为k＝4×23＝32，所以过函数图象上点（2，16）处的切线方程为y﹣16＝32（x﹣2），即为y＝32x﹣48．故答案为：y＝32x﹣48．14．【解答】解：f（x）＝cos2x+6cos（﹣x）＝1﹣2sin2x+6sin x＝﹣2sin2x+6sin x+1．令t＝sin x，t∈[﹣1，1]，则原函数化为y＝，∴当t＝1时，y有最大值为．故答案为：5．15．【解答】解：∵非零向量，满足||＝4||，且⊥（2+），设与的夹角为θ，则•（2+）＝2+＝2+||•4||•cosθ＝0，∴cosθ＝﹣，∴θ＝，故答案为：．16．【解答】解：∵∠DAB＝60°∴三棱锥P﹣DCE各边长度均为1∴三棱锥P﹣DCE为正三棱锥P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O∴OD＝OE＝OC＝在直角△POD中：OP2＝PD2﹣OD2＝OP＝∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，则O'P＝O'D设O'P＝O'D＝R则在直角△OO'D中：OO'2+OD2＝O'D2（OP﹣O'P）2+OD2＝O'D2（﹣R）2+（）2＝R2，R＝∴体积为πR3＝故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（Ⅰ）公差d不为零的等差数列{a n}中，a2＝4，且a1，a3，a9成等比数列，可得a32＝a1a9，即（a1+2d）2＝a1（a1+8d），化为a1＝d，又a1+d＝4，可得a1＝d＝2，则a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）＝2n+4n，则前n项和T n＝（2+4+…+2n）+（4+16+…+4n）＝•n（2+2n）+＝n2+n+．18．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又F为AB的中点，DA＝DB，∴AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF＝D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA＝DB＝DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，∴线段DA、DB、DC在平面ABC的投影EA，EB，EC满足EA＝EB＝EC∴△ABC为直角三角形，即AB⊥BC由AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝45°，∴AB＝BC＝2，DE＝2，∴S△FBC＝＝2，∴四面体F﹣DBC的体积V F﹣DBC＝V D﹣FBC＝＝．19．【解答】解：（Ⅰ）由题中的数据可知：＝（1+2+3+4+5）＝3，＝（0.03+0.06+0.1+0.14+0.17）＝0.1则＝＝0.036＝﹣＝﹣0.008所以y关于x的线性回归方程：＝0.036x﹣0.008（Ⅱ）由（Ⅰ）知，＝0.036x﹣0.008＞0.40，解得x＞11.3，所以自上市起经过12个周，该款旗舰机型市场占有率能超过0.40%20．【解答】解：（I）由题意知，4a＝8，所以a＝2．因为e＝，所以c＝1，则b＝．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：当直线l垂直与x轴时，显然直线TS与TR的斜率之和为0，当直线l不垂直与x轴时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2x+4k2﹣12＝0，△＝64k4﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＝k2+1＞0恒成立，x1+x2＝，x1x2＝，由k TA+k TB＝+＝＝，TA，TB的斜率存在，由A，B两点的直线y＝k（x﹣1），故y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），由2x1x2﹣5（x1+x2）+8＝＝0，∴k TA+k TB＝0，∴直线TA与TB的斜率之和为0，综上所述，直线TA与TB的斜率之和为定值，定值为0．21．【解答】解：（1）∵f（x）＝（a≠0，且a为常数），∴f′（x）＝＝﹣．∴①若a＞0时，当0＜x＜1，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．即a＞0时，函数f（x）单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．②若a＜0时，当0＜x＜1，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．即a＜0时，函数f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．（2）由（1）知，f（x）＝在区间（1，+∞）上单调递减，不妨设x2＞x1＞1，则f（x1）＞f（x2），∴不等式|f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|可化为f（x1）﹣f（x2）≥k（lnx2﹣lnx1）．即f（x1）+klnx1≥f（x2）+klnx2，令F（x）＝f（x）+klnx，则F（x）在区间（1，+∞）上存在单调递减区间，∴F′（x）＝f′（x）+＝+＝＜0有解，即kx＜lnx（x＞1），∴k＜有解，令G（x）＝，则G′（x）＝，由G′（x）＝0得x＝e，当x∈（1，e）时，G′（x）＞0，G（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，G′（x）＜0，G（x）单调递减．∴G（x）max＝G（e）＝，故k＜．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）由得：，∴ρ2＝16，即ρ＝±4．∴A、B两点的极坐标为：或．（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ＝8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8，得到普通方程为x2﹣y2＝8．将直线代入x2﹣y2＝8，整理得．∴|MN|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣3|，故f（x）≥1，等价于|2x+1|﹣|2x﹣3|≥1，令2x+1＝0，解得x＝﹣，令2x﹣3＝0，解得x＝，则：不等式等价于：，或，或．解①求得x∈∅，解②求得，解③求得x．综上可得，不等式的解集为{x|}．（2）若对任意的t∈R，s∈R，都有g（s）≥f（t），可得g（x）min≥f（x）max，∵函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣3|≤|2x+1﹣2x+3|＝4，∴f（x）max＝4．∵g（x）＝|x+1|+|x﹣a|≥|x+1﹣x+a|＝|a+1|，故g（x）min＝|a+1|，∴|a+1|≥4，∴a+1≥4或a+1≤﹣4，求得a≥3或a≤﹣5．故所求的a的范围为{a|a≥3或a≤﹣5}．。

长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（文科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.1. 设集合，，则集合为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：化简集合，再由交集的定义，即可得到所求集合.详解：集合，，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的交集的运算，其中正确求解集合的解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 若复数是纯虚数，则实数等于（）A. 2B. -2C. -1D. 1【答案】A【解析】分析：复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a的值即可．详解：因为，是纯虚数，所以a=2．故选：A．点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：为非奇非偶函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，且是上的增函数，故选D.4. 已知：命题：若函数是偶函数，则；命题：，关于的方程有解.在①；②；③；④中真命题的是（）A. ②③B. ②④C. ③④D. ①④【答案】D【解析】分析：先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．详解：若函数f（x）=x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|=x2+|x﹣a|，即有|x+a|=|x﹣a|，易得a=0，故命题p为真；当m＞0时，方程的判别式△=4﹣4m不恒大于等于零，当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，即p真q假，故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．综上可得真确命题为①④．故选：D．点睛：本题考查复合命题的真假的判断．解题关键真确判断命题p，q的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解．属于基础题．（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．5. 若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：用已知函数值的角表示要求的角，再由两角和差公式得到结果.详解：=因为，,,故代入得到结果为：.故答案为：A.6. 已知数列是等差数列，满足，下列结论中错误的是（）A. B. 最小 C. D.【答案】B【解析】由题设可得，即，所以答案D正确；由等差数列的性质可得，则，所以答案A正确；又，故答案C正确。

绝密★启用前2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期第一次模块检测数学（文）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．要完成下列两项调查:（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A. (1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法B. (1)用分层抽样法,(2)用系统袖样法C. (1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D. (1)(2)都用分层抽样法2．某校共有1200名学生，现采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行健康状况调查，若抽到男生比女生多10人，则该校男生共有（）A. 700名B. 600名C. 630名D. 610名3．利用系统抽样从含有45个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中每个个体被抽到的可能性是（）A. 145B. 29C. 14D. 与第几次被抽取有关4．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别A. 23与26B. 31与26C. 24与30D. 26与305．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A. 480B. 481C. 482D. 483将该班所有同学的考试分数分为七组：[100,104),[104,108),[108,112),[112,116),[116,120),[120,124),[124,128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112 分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A. 10B. 12C. 20D. 407．与第6题条件相同，家委会决定对班上的中位数以上的同学进行奖励，请问，如图所示的频率分布直方图中，理论上的中位数是（）A. 108.8B. 114C. 112D. 1168．数据5，7，7，8，10，11的标准差是（）A. 8B. 4C. 2D. 19．给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”；④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”.其中属于互斥但不对立的亊件的有（）A. 0对B. 1对C. 2 对D. 3对10．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A. 25B. 925C. 825D. 1511．命题“∃x∈R,sin x>1”的否定是（）A. ∃x∈R,sin x≤1B. ∀x∈R,sin x>1C. ∃x∈R,sin x=1D. ∀x∈R,sin x≤112．下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题p:∃x∈R，使得x2+x−1<0，则¬p:∀x∈R，均有x2+x−1>0；②若p是q的必要不充分条件，则¬p是¬q的充分不必要条件；③命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命题；④“m=−1”是“直线l1:m x+(2m−1)y+1=0与直线l2:3x+m y+3=0垂直”的充要条件.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13．已知椭圆x28+y24=1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF2|=2，则cos∠F1PF2=（）A. 34B. 23C. 12D. 1314．已知A(2,1),B(1,−2),C(35,−15)，动点P(a,b)满足0≤O P⋅O A≤2,且0≤O P⋅O B≤2，1A. 1−5π64B. 5π64C. 1−π16D. π1615．已知直线y=k x+1，当k变化时，此直线被椭圆x24+y2=1截得的最大弦长是（）A. 4B. 2C. 433D. 5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 16．已知命题“若直线l 与平面α垂直，则直线l 与平面α内的任意一条直线垂直”，则其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是__________．17．已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1 ⊥PF 2 .若ΔPF 1F 2的面积为9，则b =__________． 18．椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，焦距为2c .若直线y = 3(x +c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠M F 1F 2=2∠M F 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．19．椭圆x 24+y 2=1中，以点M (1,12)为中点的弦所在直线方程是__________．20．已知F 1是椭圆x 225+y 216=1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (−1,3)是一定点，则|P A |+|PF 1|的最大值是__________．三、解答题21．设:实数满足4a x +3a 2<0，q :实数x 满足|x −3|<1.（1）若a =1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若其中a >0且¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.22．某电脑公司备6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表:（1）求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；（2）若第6名产品推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额.参考公式：{b = (x i −x)(y i −y )n i =1 (x i −x )2n i =1= x i y i −nx⋅y n i =1 x i 2−n (x )2n i =1a =y−bx 23．已知圆M 过两点C (1,−1),D (−1,1),且圆心M 在x +y −2=0上.（1）求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x +4y +8=0上的动点，P A ,P B 是圆M 的两条切线，A ,B 为切点，求四边形P A M B 面积的最小值.24．已知椭圆C :x 2a +y 2b =1(a >b >0)经过点A (1, 32)，且离心率e = 32. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点B (−1,0)能否作出直线l ，使l 与椭圆C 交于M 、N 两点，且以M N 为直径的圆经过坐标原点O？若存在,求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 25．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S N=−a N−(12)N−1+2(n∈N∗).(1)求数列{a n}的通项公式，并写出推理过程；(2)令c n=n+1n a N，T N=c1+c2+⋯+c N，试比较T N与5n2n+1的大小，并给出你的证明.参考答案1．C【解析】试题分析：（1）由于家庭收入差异较大，故（1）应该使用分层抽样（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，由于人数较少，故使用简单随机抽样，考点：抽样方法2．C【解析】试题分析：设样本中男生、女生各为x 、y 人，则{x +y =200x −y =10⇒{x =105y =95⇒该校男生共有105200×1200=630人，故选C.考点：分层抽样.3．B【解析】由题设就是求概率是多少.事实上从45个个体中抽取10个的概率是P =1045=29，故应选B.4．B【解析】试题分析：众数是出现次数最多的数，中位数是按大小顺序排列后位于中间的一个或两个的平均数考点：众数与中位数5．C【解析】试题分析：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32−07=25，则样本容量为50025＝20，则对应的号码数x =7+25（n −1），当n =20时，x 取得最大值为x =7+25×19=482，故选C .考点：系统抽样，样本容量、组距.6．A【解析】由频率分布直方图得分数低于112分的频率为：(0.01+0.03+0.05)×4=0.36，∵分数低于112分的有18人，∴高三（1)班总人教为：n =180.36=50，∵分数不低于120分的频率为：(0.03+0.02)×4=0.2，∴分数不低于120分的人数为：50×0.2=10人.故选A.7．C【解析】因为前三组的频率和为（0.01+0.03+0.05）×4=0.36<0.5 ，前四组的频率和为（0.01+0.03+0.05+0.07）×4=0.64>0.5，所以中位数在第四组的中间位置，所以理论上的中位数是114.点晴：本题考查的是根据频率分布直方图求理论上的中位数.解决这类问题的关键是弄清各小矩形的面积和为1，各小矩形的面积表示的是这个范围内的数据的频率.先判断出频率为0.5所在的范围，再根据比例求出理论上的中位数.8．C【解析】试题分析：因为这组数据的平均数x=5+7+7+8+10+116=8,所以这组数据的方差为(5−5)2+(5−8)2+(5−7)2+(5−7)2+(5−10)2+(5−11)26=4，标准差是2，故选C.考点：1、样本数据的平均数；2、样本数据的方差与标准差.9．C【解析】①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件，但还可以“射中6环”，故不是对立事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故②不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”，不可能同时发生，故它们是互斥事件，但还有可能“没有红球”，故不是对立事件.故答案为C.10．A【解析】试题分析：从甲乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数为n =C 52=10，甲被选中包含的基本事件的个数m =C 11C 41=4,所以甲被选中的概率为p =m n =25，故选A ． 考点：古典概型及其概率的计算．11．D【解析】试题分析：原命题的否定为∀x ∈R ,sin x ≤1，故选D ．考点：命题的否定．12．B【解析】试题分析：①中¬P :∀x ∈R ，均有x 2+x −1≤0，④中两直线垂直的充要条件是3m +m (2m −1)=0⇔m =0或-1，故①、④错误，②、③正确，因此选B.考点：真假命题.13．D【解析】∵椭圆x 28+y 24=1，∴a =2 2，b =2=c ，∵|PF 2|= 2，|PF 1|+|PF 2|=4 2，∴|PF 1|=3 2，∴cos ∠F 1PF 2= 2)2 2)22=13.故选D. 14．A【解析】试题分析：依题意有{0≤2a +b ≤20≤a −2b ≤2，目标函数 (a −35)2+(b +15)2>14，即以C (35,−15)为圆心，半径为14的圆外.画出可行域如下图所示，圆外面积为45−π16，故概率为45−π1645=1−5π64.考点：几何概型．15．C【解析】法一：直线y =k x +1必过点(0,1)，以改点为圆心，R 为半径作圆：x 2+(y −1)2=R 2，与椭圆x 24+y 2=1联立得3y 2+2y +R 2−5=0，若只有一交点，则对应的为最大的弦长，故即Δ=0，得4−12(R 2−5)=0，得R 2=163，R =4 33，即最大的弦长=4 33.法二：直线y =k x +1必过点A (0,1)，设椭圆上一点P (2cos α,sin α)，则弦A P = (2cos α)2+(sin α−1)2= −3(sin α+13)2+163≤4 33. 法三：联立y =k x +1与x 24+y 2=1得：(1+4k 2)x 2+8k x =0.∴x 1+x 2=−8k (1+4k 2)，x 1+x 2=0，k 2>0.弦长2=(1+k 2)[64k 2(1+4k )2]=4[(1+4k 2)2+2(1+4k 2)−3](1+4k )2=4+81+4k 2−12(1+4k 2)2=163−12[1(1+4k 2)−13]2 当1(1+4k 2)=13，即k 2=12时，弦长最大，最大值为4 33.16．3【解析】逆命题: 若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，直线l 与平面α垂直，为真命题; 否命题: 直线l 与平面α不垂直，若直线l 不与平面α内的任意一条直线垂直，为真命题 逆否命题: 若直线l 与平面α内的任意一条直线不垂直，直线l 与平面α不垂直，为真命题. 17．3【解析】试题分析：由PF 1 ⊥PF 2 知∠F 1PF 2=900，根据椭圆中焦点三角形的面积公式S Δ=b 2⋅tan θ2，得S Δ=b 2⋅tan θ2=b 2⋅tan 450=9，所以b =3.考点：1、椭圆的性质；2、焦点三角形．18．【解析】试题分析：如下图所示，则可知直线的倾斜角为π3，且过点F 1，∴∠M F 1F 2=2∠M F 2F 1=π3，∴|M F 1|=c ，|M F 2|= 3c ，∴，故填： 3−1.考点：椭圆的标准方程及其性质．19．x +2y −2=0【解析】由题：x 24+y 2=1，可设过中点的弦与椭圆的两个交点坐标分别为：(x 1,y 1),(x 2,y 2)，代入椭圆得：x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，两式相减得：14(x 1+x 2)(x 1−x 2)=(y 1+y 2)(y 2−y 1)，k =y 1−y2x 1−x 2=−14(x 1+x2y 1+y 2)，另由中点坐标公式：x 1+x 2=2,y 1+y 2=1，则：k =−12，中点弦的直线方程为：y −12=−12(x −1)，x +2y −2=0. 点晴：本题考查的是椭圆中的中点弦方程.求直线方程需要具备一点一斜或者是两点，求斜率时可以设直线方程与椭圆联立，用待定系数法确定斜率，求直线方程，也可以设过中点的弦与椭圆的两个交点坐标分别为：(x 1,y 1),(x 2,y 2)，代入椭圆得：x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，两式相减得：14(x 1+x 2)(x 1−x 2)=(y 1+y 2)(y 2−y 1)，确定k =y 1−y 2x 1−x 2=−14(x 1+x2y 1+y 2)的值. 20．15【解析】由题可知：F 1(−3,0),F 2(3,0)利用椭圆的定义可得：|PF 1|+|PF 2|=2a =10.利用三角形三边的大小关系可得|P A |+|PF 1|=|P A |+10−|PF 2|≤10+|AF 2|=15.21．（Ⅰ）2<x <3（Ⅱ）43≤a ≤2【解析】试题分析：（１）a =1时得p :1<x <3；q ：2<x <4，由p ∧q 为真,得x 的取值范围；（2）由a >0得可得¬p ,¬q 由¬p 是¬q 的充分不必要条件,得实数a 的取值范围．试题解析： （1）由x 2−4a x +3a 2<0得(x −3a )(x −a )<0,当a =1时,1<x <3, 即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.由|x −3|<1,得−1<x −3<1,得2<x <4,即q 为真时实数x 的取值范围是2<x <4, 若p ∧q 为真, 则p 真且q 真,∴实数x 的取值范围是2<x <3.（2）由x 2−4a x +3a 2<0得(x −3a )(x −a )<0,若¬p 是¬q 的充分不必要条件,则¬p ⇒¬q ,且¬q ⇒¬p ,设A ={x |¬p },B ={x |¬q },则A ⊆B ,又A ={x |¬p }={x |x ≤a 或x ≥3a },B ={x |¬q }={x |x ≥4或x ≤2},则0<a ≤2,且3a ≥4, ∴实数a 的取值范围是43≤a ≤2.考点：充分条件；必要条件；逻辑联结词．【易错点睛】判断充分、必要条件时应注意的问题：（1）要弄清先后顺序：“Α的充分不必要条件是Β”是指Β能推出Α，且Α不能推出Β；而“Α是Β的充分不必要条件”则是指Α能推出Β，且Β不能推出Α；（2）要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以通过举出恰当的反例来说明．22．（1）y =0.5x +0.4；（2）5.9【解析】试题分析：（1）首项求出x ,y 的平均数，利用最小二乘法求出b 的值，再利用样本中线点满足线性回归方程，即可求解a 的值，写出线性回归方程；（2）第6名推销员的工作年限为11年，即当x =11时，把自变量的值代入线性回归方程，得到y 的预报值，即估计出6名推销员的年推销金额.试题解析：（1）设所求的线性回归方程为y =b x +a ,x =6,y =3.4, 则b= x i y i −5xy 5i =1x i 2−5x25i =1=112−5×6×3.4200−5×62=0.5,a=y −b x =0.4. 所以年推销金额y 关于工作年限x 的的线性回归归方程为y=0.5x +0.4. （2）当x =11时，y=0.5x +0.4=0.5×11+0.4=5.9（万元） 所以估计他的年推销金额为5.9（万元） 考点：线性回归直线方程及其应用. 23．（1）(x −1)2+(y −1)2=4；（2）2 5． 【解析】试题分析：（1）设圆的方程为(x −a )2+(y −b )2=r 2(r >0)，将C ,D 的坐标代入圆的方程，将圆心代入直线x +y −2=0，列方程组，求得a =b =1,r =2；（2）将四边形变为两个三角形，即S =S ΔP A M +S ΔP B M =12|A M |·|P A |+12|B M |·|P B |=2|P A |，而|P A |= |P M |2−4，所以S =2 |P M |2−4，|P M |最小时，面积取得最小值，点到直线的距离最小为3，所以面积最小值为S =2 22−4=2 5.试题解析： （1）设圆M 的方程为(x −a )2+(y −b )2=r 2(r >0)， 根据题意得：{(1−a )2+(−1−b )2=r 2(−1−a )2+(1−b )2=r 2a +b −2=0，解得a =b =1,r =2，故所求圆M 的方程为(x −1)2+(y −1)2=4． （2）因为四边形P A M B 的面积，S =S ΔP A M +S ΔP B M =12|A M |·|P A |+12|B M |·|P B |，又|A M |=|B M |=2,|P A |=|P B |，所以S =2|P A |，而|P A |= ||−|A M |= |P M |−4，即S =2 |P M |−4， 因此要求S 的最小值，只需求|P M |的最小值即可， 即在直线3x +4y +8=0上找一点P ，使得|P M |的值最小， 所以|P M |min ==3，所以四边形P A M B 面积的最小值为S =2 ||min−4=2 32−4=2 5.考点：直线与圆的位置关系，最值问题.【方法点晴】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查方程的思想，考查最值问题.第一问已知条件有三个，有两个圆上的点C ,D 还有圆心在某条直线上，由此可假设圆的标准方程，代入已知条件，列出方程组，求得圆心和半径.第二问要求四面形面积的最小值，转化为两个三角形的面积的最小值，转化为点到直线的距离最小值来求.24．【解析】试题分析：（1）由已知e =ca ，b 2=a 2−c 2，点A (1, 32)在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，得到关于a 、b 、c 的方程组，解方程组得椭圆方程；（2）先验证当直线l 的斜率不存在时以M N 为直径的圆不经过坐标原点O ．当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为：y =k (x +1)，两交点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，由{x 24+y 2=1y =k (x +1)，得(1+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−4=0，x 1+x 2=−8k 21+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2−41+4k 2，因为以M N 为直径的圆经过坐标原点O ，所以，得到关于k 的方程，解得k ，求出l 的方程． 试题解析：（1）由已知e =c a =32，即c 2=34a 2,b 2=a 2−c 2=14a 2，所以，椭圆方程为x 2a+4y 2a =1，将A (1, 32)代入得：1a 2+124a 2=1，解得a 2=4，可知b 2=1，所以，椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）因为直线l 经过椭圆内的点B (−1,0)，所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M ,N ．当直线l 的斜率不存在时，其方程是：x =−1，代入x 24+y 2=1，得y =±32，可知M (−1, 32)，N (−1,− 32)，所以以M N 为直径的圆不经过坐标原点O ．当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为：y =k (x +1)，两交点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2) 由{x 24+y 2=1y =k (x +1)，得(1+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−4=0，x 1+x 2=−8k 21+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2−41+4k 2， 因为以M N 为直径的圆经过坐标原点O ，所以．可得x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k (x 1+1)⋅k (x 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k 2(x 1+x 2)+k 2=0．即(1+k 2)4k 2−41+4k 2+k 2⋅−8k 21+4k 2+k 2=0，解得k =±2．综上所述，存在过点B (−1,0)的直线l ，使得以l 被椭圆C 截得的弦为直径的圆经过原点O ，l 的方程为y =2x +2或y =−2x −2．考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆.【方法点睛】（1）由已知e =ca ，b 2=a 2−c 2，点A (1, 32)在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，得到关于a 、b 、c 的方程组，解方程组得椭圆方程．（2）先验证当直线l 的斜率不存在时以M N 为直径的圆不经过坐标原点O ．当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为：y =k (x +1)，两交点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，联立直线与椭圆，得x 1+x 2=−8k 21+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2−41+4k 2，因为以M N 为直径的圆经过坐标原点O ，所以，得到关于k 的方程，解得k ，求出l 的方程．25．（Ⅰ）a n =n2n ；（Ⅱ）T n >5n2n +1，证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可根据数列通项a n 与前n 项和S n 之间的关系来进行求解，即当n =1时，a 1=S 1；当n ⩾2时，a n =S n −S n −1，这时可得到a n 与a n −1的关系式，根据关系式的特点2n a n =2n −1a n −1+1，可通过构造换元，令b n =2n a n ，从而得出数列{b n }是等差数列，先求出数列{b n }的通项，再求出数列{a n }的通项；（Ⅱ）根据数列{C n }的特点可利用错位相减法求出T n ，接着利用作差法进行比较，根据差式的特点这里可采用数学归纳法进行猜想证明，详见解析．试题解析：（Ⅰ）在S n =−a n −(12)n −1+2中，令n =1，可得S 1=a n −1+2=a 1，即a 1=12，当n ≥2时，S n −1=−a n −1−(12)n −2+2，∴a n =S n −S n −1=−a n +a n −1+(12)n −1，∴2a n =a n −1+(12)n −1，即2n a n =2n −1a n −1+1，设b n =2n a n ，则b n =b n −1+1，即当n ≥2时，b n −b n −1=1， 又b 1=2a 1=1，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 于是b n =1+(n −1)·1=n =2n a n ，∴a n =n2n（Ⅱ）由（Ⅰ）得c n =n +1n a n=(n +1)(12)n ，所以T n =2×12+3×(12)2+4×(12)3+K +(n +1)(12)n ，12T n =2×(12)2+3×(12)3+4×(12)4+K +(n +1)(12)n +1 由①-②， 得12T n =1+(12)2+(12)3+K +(12)n −(n +1)(12)n +1=1+14[1−(12)n −1]1−12−(n +1)(12)n +1=32−n +32n +1∴T n =3−n +32n，则T n −5n 2n +1=3−n +32n−5n2n +1=(n +3)(2n −2n −1)2n (2n +1)于是只要比较2n 与2n +1的大小即可，（1）当n =1,2时，2n <2n +1，此时T n −5n2n +1<0，即T n <5n2n +1，（2）猜想：当n ≥3时，2n >2n +1，下面用数学归纳法证明：①当n =3时，不等式2n >2n +1成立；②假设n =k ≥3时，不等式成立，即2k >2k +1； 则当n =k +1时，2k +1>2·2k >2(2k +1)=4k +2=2k +(2k +2)≥2k +8>2(k +1)+1，所以当n =k +1时，不等式2n >2n +1成立， 由①和②可知，当n ≥3时，2n >2n +1成立， 于是，当n ≥3时，T n −5n2n +1>0，即T n >5n2n +1．另证：要证2n >2n +1 (n ≥3)，只要证：2n −1>2n ，只要证：1+21+22+L +2n −1>2n ， 由均值不等式得：1+21+22+⋯+2n −1>n 1⋅21⋅22⋯⋯2n n=n ⋅2n −12≥n ⋅23−12=2n ，所以2n >2n +1，于是当n ≥3时，T n −5n2n +1>0，即T n >5n2n +1．考点：1．数列的通项及前n 项和；2．数列与不等式的证明；3．数学归纳法的应用．【方法点睛】此题主要考查数列、数学归纳法等方面的内容，属于中高档题．在求数列的通项公式中，常利用数列的通项与前n 项和之间的关系来进行求解，若得到的关系式相对复杂的可构造新的数列，使得到新的数列是等差数列或等比数列，再利用等差数列或等比数列的通项公式进行求解；求数列的前n 项和有很多种方法，本题解答过程中采用了错位相减法，错位相减法适用于数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列之积，亦是教材（人教A 版）中用于推导等比数列的前n 项和公式的方法．。

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（文科）(J)副标题一、选择题（本大题共15小题，共15.0分）1.设集合，0，1，2，，则集合为A. 0，1，B. 0，1，C. 0，1，2，D. 0，1，2，【答案】B【解析】解：集合0，1，0，1，2，，则集合0，1，．故选：B．化简集合A，再由交集的定义，即可得到所求集合．本题考查集合的交集的求法，注意运用化简变形和定义法，考查运算能力，属于基础题．2.若复数是纯虚数，则实数a等于A. 2B.C.D. 1【答案】A【解析】解：是纯虚数，，即．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数是奇函数且是增函数，对于A，函数是非奇非偶函数，对于B，函数在定义域上无单调性，对于C，函数的定义域上无单调性，对于D，函数是奇函数且是增函数，故选：D．根据函数奇偶性的定义以及函数的单调性判断即可．本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，是一道基础题．4.已知：命题p：若函数是偶函数，则．命题q：，关于x的方程有解．在；；￢；￢￢中为真命题的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：若函数为偶函数，则，即有，易得，故命题p为真；当时，方程的判别式不恒大于等于零，当时，，此时方程无实根，故命题q为假，即p真q假，故命题为真，为假，￢为假，￢￢为真．综上可得真确命题为．故选：D．先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．本题考查复合命题的真假的判断解题关键真确判断命题p，q的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解属于基础题．5.若，，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，可得：，，可得：，又，可得：，整理可得：，解得：，或舍去．故选：A．由已知利用两角和的余弦函数公式可求，结合同角三角函数基本关系式可求，进而解得的值．本题主要考查了两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．6.已知数列是等差数列，满足，下列结论中错误的是A. B. 最小 C. D.【答案】B【解析】解：等差数列的前n项和为，，，解得：．，故A正确；，不一定最小，故B错误；，，故C正确；，故D正确．错误的结论是B．故选：B．由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式求出首项和公差的关系，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，属中档题．7.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为，再由点C沿北偏东方向走10m到位置D，测得，则塔AB的高是单位：A.B.C.D. 10【答案】B【解析】解：设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，，在中，，，，由正弦定理可得，可得，则；所以塔AB的高是米；故选：B．设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，，由正弦定理可求BC，从而可求x即塔高．本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．8.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为可排除B，D答案当时，，则可排除C答案故选：A．由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．9.设数列是首项为1，公比为的等比数列，若是等差数列，则A. 4026B. 4028C. 4030D. 4032【答案】B【解析】解：数列是首项为1，公比为的等比数列，可得，由是等差数列，即为常数，可得，即，，即有．故选：B．运用等比数列的通项公式和等差数列的定义，求得，进而得到所求和．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的定义，考查运算能力，属于中档题．10.将函数的图象向左平移个单位，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的值不可能为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：将得图象横坐标缩短到原来的倍，得到，然后将函数图象向右平移个单位，得到，函数在上单调递增，，则，得，当时，，当时，，显然不可能取得，故选：C．根据三角函数的图象关系求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的关系求出函数的解析式，以及利用三角函数的单调性的性质是解决本题的关键．11.已知函数，若函数在区间上有最值，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，由函数在区间上有最值在区间上单调且存在零点．，可得，解得．此时在区间上单调递减．实数a的取值范围是．故选：A．，由函数在区间上有最值在区间上存在零点利用函数零点存在定理即可得出．本题考查了利用对数研究函数的单调性极值与最值、函数零点存在定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，E，F分别为BC，CD的中点，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：四边形ABCD是边长为2的菱形，，可得，则，故选：D．运用向量的加减运算和数量积的定义以及性质，主要是向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义以及性质，考查运算能力，属于中档题．13.已知函数，的部分图象如图所示，且，则A. 6B. 4C.D.【答案】D【解析】解：，其中，，设函数的最小正周期为T，则，可得：，，可得：，即关于对称，而与的距离为半个周期，．故选：D．利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，其中，，由函数图象可求周期T，由，利用正弦函数的对称性可求，利用正弦函数的周期性进而可求的值．本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想的灵活应用，属于中档题．14.已知为数列的前n项和，，，若关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，时，，，整理得，，．不等式，化为：，，，关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，可知，2．，故选：A．由，时，，则，即有，可得：不等式，化为：，，，关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，即为1，2，即可得出正实数t的取值范围．本题考查数列的递推关系、不等式的性质的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知函数若方程有五个不同的实根，则实数a的取值范围A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，显然是方程的一个根，当时，，当时，，显然，若为方程的解，则为方程为的解，方程有5个不同的根，方程在上有两解，做出和的函数图象，如图所示，设与相切，切点为，则，解得，，与在上有两个交点，，即，故选：D．求出的解析式，根据x的范围不同得出两个不同的方程，由两个方程的关系得出在上有解，根据函数图象和导数的几何意义得出a的范围本题主要考查了函数的解析式，以及函数与方程和根的存在性和根的个数的判断，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，共5.0分）16.______．【答案】【解析】解：，故答案为：．利用两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式，求得要求式子的值．本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．17.若复数满足，则的值为______．【答案】【解析】解：由且，得，即，，即，．．故答案为：．把代入，整理后利用复数相等的条件列式求得x，y 的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．18.设是定义在R上的周期为3的函数，当时，，则______．【答案】【解析】解：是定义在R上的周期为3的函数，当时，，，．故答案为：．推导出，由此能求出．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.下列命题中：是的充分不必要条件；函数的最小正周期是；中，若，则为钝角三角形；若，则函数的图象的一条对称轴方程为；其中是真命题的为______．【答案】【解析】解：对于若“”成立则能推出“”成立，反之若“”成立，则有即推不出“”成立，所以是的充分不必要条件；故对对于函数的最小正周期是故错对于，若则则为锐角，则C为钝角，则为钝角三角形故对对于，是图象的一条对称轴故对故答案为根据题意，依次分析命题可得：利用充要条件的判断方法得到对；通过画图形求出函数的周期得到错；通过两角和的余弦公式及三角形的内角和判断出对；利用三角函数的公式及整体角处理的方法研究三角函数的性质判断出对，综合可得答案．本题考查如何判断条件问题、考查三角函数周期的求法、考查两角和的余弦公式及三角形的内角和公式、开始三角函数的重要公式、考查整体角处理的思想方法．20.若a，b是函数的两个不同的零点，且a，b，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于______．【答案】9【解析】解：由题意可得：，，，，可得，，又a，b，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得或解得：；解得：．，，则．故答案为：9．由一元二次方程根与系数的关系得到，，再由a，b，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．三、解答题（本大题共5小题，共5.0分）21.已知点和向量若向量与向量同向，且，求点B的坐标；若向量与向量的夹角是钝角，求实数k的取值范围．【答案】解：设，则，若向量与向量同向，则有，若，则，解可得或，当时，，与向量反向，不合题意，舍去；当时，，与向量同向，则B的坐标为；若向量与向量的夹角是钝角，则有且，解可得且，故k的取值范围是．【解析】根据题意，设，易得向量的坐标，分析可得且，解可得x、y的值，验证向量与向量是否同向，即可得答案；根据题意，由向量数量积的计算公式可得且，解可得k的取值范围，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．22.在等比数列中，，且是与的等差中项．求数列的通项公式；若数列满足，求数列的前n项和．【答案】解：设等比数列的公比为q，，且是与的等差中项．即有，即为，解得舍去，即有；，数列的前n项和．【解析】设等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得q，进而得到所求通项公式；求出，运用数列的求和方法：分组求和，以及裂项相消求和，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列的中项的性质，考查数列的求和方法：分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．23.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求角C；若，的面积为，M为AB的中点，求CM的长．【答案】解：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．．由正弦定理，得，即．又由余弦定理，得．，．，为等腰三角形，且顶角．故，解得．在中，由余弦定理，得：．解得．【解析】推导出，由正弦定理，得由余弦定理，得，由此能求出．由得到，求出，再由余弦定理，能求出CM．本题考查三角形的内角求法，考查三角形的边的求法，考查同角三角函数关系式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．24.已知函数，．讨论函数的单调性；证明：若，则对于任意，，，有．【答案】解：的定义域为．若即，则故在单调增．若，而，故，则当时，；当及时，故在单调减，在，单调增．若，即，同理可得在单调减，在，单调增．考虑函数则由于，故0'/>，即在单调增加，从而当时有，即，故，当时，有【解析】根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出讨论当时导函数大于0，函数单调递增；当时分类讨论函数的增减性；当时讨论函数的增减性．构造函数，求出导函数，根据a的取值范围得到导函数一定大于0，则为单调递增函数，则利用当时有即可得证．考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及基本不等式证明的能力．25.已知函数，如曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；若，，关于x的不等式的整数解有且只有一个，求a的取值范围．【答案】解：函数的定义域是R，，曲线在点处的切线方程为，，，解得：；当时，，，关于x的不等式的整数解有且只有一个，等价于关于x的不等式的整数解有且只有1个，构造函数，，故F，时，，，故，又，故F，故F在递增，，，在存在唯一整数，使得，即；当时，为满足题意，函数在上不存在整数使得，即在上不存在整数使得，，，当时，函数，在递减，；当时，--，不合题意，综上，a的范围是．【解析】由曲线在处的切线方程为，得，求出a，b的值即可；构造函数，通过对构造的函数求导并分类讨论，即可得出a的范围．本题考查导数的几何意义，导数的研究函数中的应用以及不等式问题，意在考查转化和化归思想，数形结合思想以及学生的运算能力．。

长郡中学高二进高三分班考试理科数学试题时量120分钟 总分150分一 选择题:本大题个8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的选项中,只有一项符合题目要求1、与两条不共面的直线都垂直的直线 A 、恰有一条 B 、恰有两条 C 、有无数条 D 、可能一条也没有2、已知,114|⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+=x x A {},|||a x x B <=若,A B ⊆则实数a 的取值范围是 A 、1<a B 、1≤a C 、31≤<-a D 、10≤<a3、要从已编号1到60的60枚最新研制的某种导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是 A 5,10,15,20,25,30 B 3,13,23,33,43,53 C 1,2,3,4,5,6 D 2,4,8,16,32,48 ４，如果执行下面的程序框图，那么输出的S = Ａ．2550Ｂ．-2550Ｃ． 2548Ｄ．-2552５、不等式组⎩⎨⎧≤≤≥++-300))(5(x y x y x 表示的平面区域是A ．矩形B ．三角形C ．直角梯形D ．等腰梯形６、与参数方程)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为 A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2xC ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x７、已知实数z y x ,,满足：132=++z y x ，则222z y x ++的最小值是A ．91 B.121 C.141 D.3361８、已知P 是以F1、F2为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点，若21PF PF⋅=0， 21t a nF PF ∠=2，则椭圆的离心率为A ．21B ．32C ．31D ．35二 填空题:本大题共7个小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题中卡对应题号的横线上 9、 在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________ 10、设lg2x －lgx2－2＝0的两个零点是、，则log +log的值＝____________11、3|2|x dx -⎰=_____________12．设nxx )13(3+的展开式中的各项系数之和与它的二项式系数和之差为240，那么n=____________13、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则不同的选排方法共有____________种(用数字作答) 14、对于命题①化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为1y = ②“a b Z +∈”是“20x ax b ++=有且仅有整数解”的必要非充分条件③i 1的虚部为-1④ 如果函数y=f(x) 有最大值M ，则使得不等式f(x)≤k 有解时,k 的范围是k ≥M , 其中正确的有____________②③（填写你认为正确的序号）15、已知命题：“若数列}{n a 为等差数列，且),,(,,*∈<==N n m n m b a a a n m，则m n ma nb a n m --=+··”，现已知数列}{n b ),0(*∈>N n b n 为等比数列，且,,b b a b n m ==),,(*∈<N n m n m ，若类比上述结论，则可得=+n m b三 :解答题:本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤16、（（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且416S =，47a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求100993221111a a a a a a +⋅⋅⋅++的值.17、（本小题满分12分）若锐角35)sin(,713tan tan ,=-=⋅βαβαβα且满足，求值：（1）)cos(βα-； （2）)cos(βα+.18、（本小题满分12分）从装有3个红球，2个白球袋中随机取出2个球，求至少摸到一个红球的概率设摸到红球的个数为ξ，求ξ的概率分布列及期望19、（本小题满分13分）如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F.⑴求证：A1C⊥平面BED；⑵求A1B与平面BDE所成的角的正弦值.20、（本小题满分13分）已知函数).(ln21)(2Raxaxxf∈-=（1）求函数f (x)的单调区间；（2）当x > 1时，试比较xx ln212+与.323x的大小，并证明D CA1 B1D1 C1EF21．（本小题满分13分）已知动点M 在y 轴右侧，M 到点(0，41)的距离比它到直线y=－21的距离小41.（1）求动点M 轨迹C 的方程。

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）复数z＝cos+i sin在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）1、设A、B为非空集合，定义集合A*B为如图非阴影部分表示的集合，若，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A*B＝（）A．（0，2）B．[0，1]∪[2，+∞）C．（1，2]D．[0，1]∪（2，+∞）3．（3分）阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a的取值范围为（）A．5≤a≤6B．5＜a＜6C．5≤a＜6D．5＜a≤64．（3分）使不等式|x+1|≤4成立的一个必要不充分条件是（）A．2≤x≤3B．﹣6≤x≤3C．﹣5≤x≤3D．﹣6≤x≤2 5．（3分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则从A到B的映射f满足f（3）＝3，则这样的映射共有（）个．A．3B．4C．5D．66．（3分）在直角坐标系中，若角α的终边经过点，则sin（π﹣α）＝（）A．B．C．D．7．（3分）定义运算a*b，，例如1*2＝1，则函数y＝1*2x的值域为（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（0，1]8．（3分）若f（x）＝lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）9．（3分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，且B ＝，则+＝（）A．B．C．D．10．（3分）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）A．1B．2C．D．11．（3分）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是+2，则f （1）+f′（1）的值等于（）A．1B．C．3D．012．（3分）设f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），则使得f（x+1）＜f（2x﹣2）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3）C．（﹣∞，）∪（1，+∞）D．（，1）13．（3分）己知函数f（x）＝+sin x，其中f′（x）为函数f（x）的导数，求f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝（）A．2B．2019C．2018D．014．（3分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a+b+c＝20，三角形面积为，A＝60°，则a＝（）A．7B．8C．5D．615．（3分）在△ABC中，已知，sin B＝cos A•sin C，S△ABC＝6，P为线段AB上的一点，且．，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16．（3分）《左传•僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的条件（将正确的序号填入空格处）．①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件17．（3分）对于a，b∈N规定a*b＝，集合M＝{（a，b）a*b ＝36，a，b∈N+}M中的元素的个数为．18．（3分）已知平面向量，满足||＝1，||＝2，|﹣|＝，则在方向上的投影是．19．（3分）已知函数f（x）＝2x﹣sin x，若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）＝0，则的最小值是．20．（3分）已知集合{a，b，c}＝{2，3，4}，且下列三个关系：a≠3，b＝3，c≠4有且只有一个正确，则函数的值域是．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21．（8分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．22．（8分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a cos A＝b cos C+c cos B．（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，求AD的长．23．（8分）已知函数f（x）＝e x+tx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当t＝﹣e时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，求实数t的取值范围．24．（8分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）＝（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．25．（8分）已知函数f（x）＝，g（x）＝alnx﹣x（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由题意可知，z＝cos+i sin＝+i，对应的点在第二象限．故选：B．2．【解答】解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A＝{x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y＝3x（x＞0）的值域，解得B＝{y|y＞1}；依据定义：A*B＝{x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．3．【解答】解：由框图的流程得：第1次循环S＝0+1＝1，i＝2；第2次循环S＝1+2＝3，i＝3；第3次循环S＝3+3＝6，i＝4；第4次循环S＝6+4＝10，i＝5；第5次循环S＝10+5＝15，i＝6；此时满足条件6＞a，退出循环，输出S的值．综上可得：5≤a＜6．故选：C．4．【解答】解：不等式|x+1|≤4，即﹣4≤x+1≤4，即﹣5≤x≤3，故“﹣6≤x≤3”是“﹣5≤x≤3”的一个必要不充分条件，故选：B．5．【解答】解：若f（3）＝3，则f（1）＝3或f（1）＝4；f（2）＝3或f（2）＝4；故这样的映射的个数是2×2＝4个，故选：B．6．【解答】解：∵角α的终边经过点，可得cosα＝sin＝，sinα＝cos＝﹣，∴sin（π﹣α）＝sinα＝﹣，故选：C．7．【解答】解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y＝1*2x＝1当1＞2x时，即x＜0时，函数y＝1*2x＝2x∴f（x）＝由图知，函数y＝1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．8．【解答】解：令u＝x2﹣2ax+1+a，则f（u）＝lgu，配方得u＝x2﹣2ax+1+a＝（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x＝a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u＝x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u＝x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x＝1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x＝1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．9．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，利用正弦定理化简得：sin2B＝sin A sin C，∵B＝，∴原式＝+＝＝＝＝＝．故选：C．10．【解答】解：由题意可得•＝0，可得|+|＝＝，（﹣）•（﹣）＝2+•﹣•（+）＝||2﹣||•|+|cos＜（+，＞＝0，即为||＝cos＜+，＞，当cos＜+，＞＝1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．11．【解答】解：由已知点点M（1，f（1））在切线上，所以f（1）＝，切点处的导数为切线斜率，所以，即f（1）+f'（1）＝3，故选C．12．【解答】解：根据题意，f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）＝﹣（x﹣1）2﹣2（e x﹣1+）+1，分析可得：y＝﹣（x﹣1）2+1与函数y＝2（e x﹣1+e1﹣x）都关于直线x＝1对称，则函数f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x＝1对称，f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）＝﹣2x+2﹣（e x﹣1﹣）＝﹣2（x+1+e x﹣1﹣），又由x≥1，则有e x﹣1≥，即e x﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．13．【解答】解：函数f（x）＝+sin x＝sin x++1，设g（x）＝sin x+，则g（﹣x）＝sin（﹣x）+＝﹣（sin x+）＝﹣g（x），即g（﹣x）+g（x）＝0，即f（﹣x）+f（x）＝2，则f（2018）+f（﹣2018）＝g（2018）+1+g（﹣2018）+1＝2，又f′（x）＝g′（x），由g（x）为奇函数，则g′（x）为偶函数，可得f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝g′（2019）﹣g′（﹣2019）＝0，即有f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝2，故选：A．14．【解答】解：由题意可得，S△ABC＝bc sin A＝bc sin60°∴bc sin60°＝10∴bc＝40∵a+b+c＝20∴20﹣a＝b+c．由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc cos60°＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣120解得a＝7．故选：A．15．【解答】解：△ABC中设AB＝c，BC＝a，AC＝b∵sin B＝cos A•sin C，∴sin（A+C）＝sin C cos A，即sin A cos C+sin C cos A＝sin C cos A，∴sin A cos C＝0，∵sin A≠0，∴cos C＝0 C＝90°∵，S△ABC＝6∴bc cos A＝9，∴，根据直角三角形可得sin A＝，cos A＝，bc＝15∴c＝5，b＝3，a＝4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得＝（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴＝（x，0）+（0，y）＝（x，y）∴x＝3λ，y＝4﹣4λ则4x+3y＝12＝故所求的最小值为故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16．【解答】解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为：①17．【解答】解：a⊕b＝36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab＝36，满足此条件的有1×36＝3×12＝4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b＝36，满足此条件的有1+35＝2+34＝3+33＝4+32＝…＝18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．18．【解答】解：∵||＝1，||＝2，|﹣|＝，∴||2+||2﹣2•＝3，解得•＝1，∴在方向上的投影是＝，故答案为：19．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2x﹣sin x，有f′（x）＝2﹣cos x＞0，则函数f（x）为增函数，又由f（﹣x）＝2（﹣x）﹣sin（﹣x）＝﹣（2x﹣sin x）＝﹣f（x），则函数为奇函数，若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）＝0，则有f（a）＝﹣f（2b﹣1）＝f（1﹣2b），又由函数为增函数，则a＝1﹣2b，即a+2b＝1，＝（）（a+2b）＝9++≥9+2＝9+4，当且仅当b＝a时等号成立，即的最小值是9+4，故答案为：9+4．20．【解答】解：由{a，b，c}＝{2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a＝2时，b＝3、c＝4时，a≠3，b＝3，c≠4都正确，不满足条件．当a＝2时，b＝4、c＝3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a＝3时，b＝2、c＝4时，都不正确，此时不满足题意；当a＝3时，b＝4、c＝2时，c≠4成立，此时满足题意；当a＝4时，b＝2，c＝3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a＝4时，b＝3、c＝2时，a≠3，b＝3成立，此时不满足题意；综上得，a＝3、b＝4、c＝2，则函数＝，当x＞4时，f（x）＝2x＞24＝16，当x≤4时，f（x）＝（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，即ρ2sin2θ＝4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．（2）直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C方程y2＝4x．可得（1+t）2＝4（1+t），整理得，∵t1•t2＝﹣15＜0，∴点P在AB之间，∴|P A|+|PB|＝|t1﹣t2|＝＝4．22．【解答】解：（1）∵2a cos A＝b cos C+c cos B，∴2sin A cos A＝sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A≠0，∴cos A＝，∴A＝．（2）在△ABC中，由余弦定理的cos A＝＝，解得AC＝1+或AC＝1﹣（舍）．∵BD是∠ABC的平分线，∴＝，∴AD＝AC＝．23．【解答】解：（Ⅰ）当t＝﹣e时，f（x）＝e x﹣ex，f'（x）＝e x﹣e．由f'（x）＝e x﹣e＞0，解得x＞1；f'（x）＝e x﹣e＜0，解得x＜1．∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）依题意：对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，即e x+tx＞0恒成立，即在x∈（0，2]上恒成立．令，∴．当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜2时，g'（x）＜0．∴函数g（x）在（0，1）上单调递增；在（1，2）上单调递减．所以函数g（x）在x＝1处取得极大值g（1）＝﹣e，即为在x∈（0，2]上的最大值．∴实数t的取值范围是（﹣e，+∞）．所以对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立的实数t的取值范围是（﹣e，+∞）．24．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）＝2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）＝30•x%+40（1﹣x%）＝40﹣；当30＜x＜100时，g（x）＝（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）＝﹣x+58；∴g（x）＝；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．25．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，．当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：当a＜0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：综上所述，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，又f（0）＝a，f（e）＝所以f（x）min＝a，同样地，当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，所以g（x）max＝g（a）＝alna﹣a，因为a﹣（alna﹣a）＝a（2﹣lna）＞a（2﹣lne）＝a＞0，所以对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x）max＝g（e）＝alna﹣a＜a＝f（x）min．所以对于任意x1，x2∈（0，e]，仍有x1，x2∈（0，e]．综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．…（13分）。

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.1．（3分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}2．（3分）若复数是纯虚数，则实数a等于（）A．2B．﹣2C．﹣1D．13．（3分）下列函数中，与函数y＝x3的单调性和奇偶性一致的函数是（）A．B．y＝tan x C．D．y＝e x﹣e﹣x 4．（3分）已知：命题p：若函数f（x）＝x2+|x﹣a|是偶函数，则a＝0．命题q：∀m∈（0，+∞），关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有解．在①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧q；④（￢p）∨（￢q）中为真命题的是（）A．②③B．②④C．③④D．①④5．（3分）若，，则sinα的值为（）A．B．C．D．6．（3分）已知数列{a n}是等差数列，满足a1+2a2＝S5，下列结论中错误的是（）A．S9＝0B．S5最小C．S3＝S6D．a5＝07．（3分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（）（单位：m）A．10B．10C．10D．108．（3分）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．9．（3分）设数列{a n}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，若是等差数列，则＝（）A．4026B．4028C．4030D．403210．（3分）将函数f（x）的图象向左平移φ个单位，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）＝sin x的图象，若函数f（x）在（）上单调递增，则φ的值不可能为（）A．B．C．D．11．（3分）已知函数f（x）＝ae x﹣x2﹣（2a+1）x，若函数f（x）在区间（0，ln2）上有极值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣∞，0）∪（0，1）12．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD 的中点，则＝（）A．B．C．D．13．（3分）已知函数f（x）＝6sinωx cosωx﹣8cos2ωx+3（ω＞0），y＝f（x）+1的部分图象如图所示，且f（x0）＝4，则f（x0+1）＝（）A．6B．4C．﹣4D．﹣614．（3分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，2S n＝（n+1）a n，若关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为（）A．B．C．D．15．（3分）已知函数f（x）＝若方程f（﹣x）＝f（x）有五个不同的实根，则实数a的取值范围（）A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣e）二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16．（3分）＝．17．（3分）若复数z＝x+yi（x，y∈R）满足（1+z）i＝3﹣i，则x+y的值为．18．（3分）设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，，则＝．19．（3分）下列命题中：（1）的充分不必要条件；（2）函数f（x）＝|2cos x﹣1|的最小正周期是π；（3）△ABC中，若cos A cos B＞sin A sin B，则△ABC为钝角三角形；（4）若a+b＝0，则函数y＝a sin x﹣b cos x的图象的一条对称轴方程为；其中是真命题的为．20．（3分）若a，b是函数f（x）＝x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.21．（8分）已知点A（1，﹣2）和向量＝（2，3）（1）若向量与向量同向，且||＝2，求点B的坐标；（2）若向量与向量＝（﹣3，k）的夹角是钝角，求实数k的取值范围．22．（8分）在等比数列{a n}中，a1＝1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n＝，（n∈N*）．求数列{b n}的前n项和S n．23．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B﹣cos2C＝．（1）求角C；（2）若，△ABC的面积为，M为AB的中点，求CM的长．24．（8分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+（a﹣1）lnx，（a＞1）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：若a＜5，则对于任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有．25．（8分）已知函数f（x）＝a+（bx﹣1）e x，（a，b∈R）（1）如曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，求a，b的值；（2）若a＜1，b＝2，关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，求a的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.1．【解答】解：集合A＝{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2}B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．2．【解答】解：∵＝是纯虚数，∴，即a＝2．故选：A．3．【解答】解：函数y＝x3是奇函数且是增函数，对于A，函数是非奇非偶函数，对于B，函数在定义域上无单调性，对于C，函数的定义域上无单调性，对于D，函数是奇函数且是增函数，故选：D．4．【解答】解：若函数f（x）＝x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|＝x2+|x﹣a|，即有|x+a|＝|x﹣a|，易得a＝0，故命题p为真；当m＞0时，方程的判别式△＝4﹣4m不恒大于等于零，当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，即p真q假，故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．综上可得真确命题为①④．故选：D．5．【解答】解：∵，，可得：sinα＞0，∴cosα+sinα＝，可得：cosα＝+sinα，又∵sin2α+cos2α＝1，可得：sin2α+（+sinα）2＝1，整理可得：2sin2α+sinα﹣＝0，∴解得：sinα＝，或﹣（舍去）．故选：A．6．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝a1+2a2，∴，解得：a1＝﹣4d．∴＝0，故A正确；＝﹣10d，不一定最小，故B错误；S3＝3a1+3d＝﹣9d，，故C正确；a5＝a1+4d＝0，故D正确．∴错误的结论是B．故选：B．7．【解答】解：设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝x，从而有BC＝，AC＝，在△BCD中，CD＝10，∠BCD＝60°+30°+15°＝105°，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°由正弦定理可得，可得，BC＝＝10＝则x＝10；所以塔AB的高是10米；故选：B．8．【解答】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）可排除B，D答案当x∈（﹣2，﹣1）时，sin x＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选：A．9．【解答】解：数列{a n}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，可得a n＝q n﹣1，由是等差数列，即﹣为常数，可得q＝1，即a n＝1，＝1，即有＝2×2014＝4028．故选：B．10．【解答】解：将g（x）＝sin x得图象横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin2x，然后将函数图象向右平移φ个单位，得到f（x）＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），∵函数f（x）在（）上单调递增，∴2x﹣2φ∈（﹣2φ，π﹣2φ），则，得﹣kπ≤φ≤﹣kπ，当k＝0时，≤φ≤，当k＝﹣1时，≤φ≤，显然不可能取得，故选：C．11．【解答】解：f′（x）＝ae x﹣2x﹣（2a+1）＝g（x），由函数f（x）在区间（0，ln2）上有极值⇔g（x）在区间（0，ln2）上单调且存在零点．∴g（0）g（ln2）＝（a﹣2a﹣1）（2a﹣2ln2﹣2a﹣1）＜0，可得a+1＜0，解得a＜﹣1．此时g′（x）＝ae x﹣2在区间（0，ln2）上单调递减．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：A．12．【解答】解：四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，可得•＝2×2×cos60°＝2，则＝（+）•＝（+）•（﹣）＝（×4﹣4+×2）＝﹣，故选：D．13．【解答】解：∵f（x）＝6sinωx cosωx﹣8cos2ωx+3＝3sin2ωx﹣4cos2ωx﹣1＝5sin（2ωx﹣φ）﹣1，其中sinφ＝，cosφ＝，∴设函数f（x）的最小正周期为T，则T＝（θ+）﹣θ＝，可得：T＝2，∵f（x0）＝4，可得：sin（2ωx0﹣φ）＝1，即f（x）关于x＝x0对称，而x＝x0+1与x＝x0的距离为半个周期，∴sin[2ω（x0+1）﹣φ）＝﹣1，∴f（x0+1）＝5sin[2ω（x0+1）﹣φ]﹣1＝5×（﹣1）﹣1＝﹣6．故选：D．14．【解答】解：∵a1＝1，2S n＝（n+1）a n，∴n≥2时，2S n﹣1＝na n﹣1，∴2a n＝2（S n﹣S n﹣1）＝（n+1）a n﹣na n﹣1，整理得＝，∴＝＝…＝＝＝1，∴a n＝n．不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，∴0＜n≤2t，关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，可知n＝1，2．∴1≤t＜，故选：A．15．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（﹣x）＝，显然x＝0是方程f（﹣x）＝f（x）的一个根，当x＞0时，e x＝﹣ax①，当x＜0时，e﹣x＝ax②，显然，若x0为方程①的解，则﹣x0为方程为②的解，∵方程f（﹣x）＝f（x）有5个不同的根，∴方程①在（0，+∞）上有两解，做出y＝e x（x＞0）和y＝﹣ax（x＞0）的函数图象，如图所示，设y＝kx与y＝e x相切，切点为（x0，y0），则，解得x0＝1，k＝e，∵y＝e x与y＝﹣ax在（0，+∞）上有两个交点，∴﹣a＞e，即a＜﹣e，故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16．【解答】解：＝＝＝，故答案为：．17．【解答】解：由z＝x+yi（x，y∈R）且（1+z）i＝3﹣i，得（1+x+yi）i＝3﹣i，即﹣y+（1+x）i＝3﹣i，∴，即x＝﹣2，y＝﹣3．∴x+y＝﹣5．故答案为：﹣5．18．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，，∴f（）＝f（﹣）＝4×（﹣）2﹣2＝，＝f（）＝．故答案为：．19．【解答】解：对于（1）若“”成立则能推出“”成立，反之若“”成立，则有即推不出“”成立，所以的充分不必要条件；故（1）对对于（2）函数f（x）＝|2cos x﹣1|的最小正周期是2π故（2）错对于（3），若cos A cos B＞sin A sin B则cos（A+B）＞0则A+B为锐角，则C为钝角，则△ABC 为钝角三角形故（3）对对于（4），∵a+b＝0∴a＝﹣b∴y＝a sin x﹣b cos x＝a（sin x+cos x）＝∴是图象的一条对称轴故（4）对故答案为（1）（3）（4）20．【解答】解：由题意可得：a+b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p＝a+b＝5，q＝1×4＝4，则p+q＝9．故答案为：9．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.21．【解答】解：（1）设B（x，y），则＝（x﹣1，y+2），若向量与向量同向，则有3（x﹣1）＝2（y+2），若||＝2，则（x﹣1）2+（y+2）2＝52，解可得或，当时，＝（﹣4，﹣6），与向量反向，不合题意，舍去；当时，＝（4，6），与向量同向，则B的坐标为（5，4）；（2）若向量与向量＝（﹣3，k）的夹角是钝角，则有•＝﹣6+3k＜0且2k+9≠0，解可得k＜2且k≠﹣，故k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，2）．22．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，a1＝1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项．即有a1+a3﹣1＝2a2，即为1+q2﹣1＝2q，解得q＝2（0舍去），即有a n＝a1q n﹣1＝2n﹣1；（2）b n＝＝＝2n﹣1+﹣，数列{b n}的前n项和S n＝（1+2+…+2n﹣1）+（1﹣+﹣+…+﹣）＝+1﹣＝2n﹣．23．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B﹣cos2C ＝．∴sin2C﹣sin2B＝sin2A﹣．由正弦定理，得c2﹣b2＝a2﹣，即．又由余弦定理，得cos C＝＝＝．∵0＜∠C＜π，∴∠C＝．（2）∵，∴△ABC为等腰三角形，且顶角．故＝，解得a＝4．在△MBC中，由余弦定理，得：CM2＝MB2+BC2﹣2MB•BC cos B＝4+16+2×2×＝28．解得CM＝2．24．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．（i）若a﹣1＝1即a＝2，则故f（x）在（0，+∞）单调增．（ii）若a﹣1＜1，而a＞1，故1＜a＜2，则当x∈（a﹣1，1）时，f′（x）＜0；当x∈（0，a﹣1）及x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0故f（x）在（a﹣1，1）单调减，在（0，a﹣1），（1，+∞）单调增．（iii）若a﹣1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a﹣1）单调减，在（0，1），（a﹣1，+∞）单调增．（2）考虑函数g（x）＝f（x）+x＝则由于1＜a＜5，故g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）单调增加，从而当x1＞x2＞0时有g（x1）﹣g（x2）＞0，即f（x1）﹣f（x2）+x1﹣x2＞0，故，当0＜x1＜x2时，有25．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是R，f′（x）＝be x+（bx﹣1）e x＝（bx+b﹣1）e x，∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，∴，∴，解得：；（2）当b＝2时，f（x）＝a+（2x﹣1）e x，（a＜1），关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，等价于关于x的不等式a+（2x﹣1）e x﹣ax＜0的整数解有且只有1个，构造函数F（x）＝a+（2x﹣1）e x﹣ax，x∈R，故F′（x）＝e x（2x+1）﹣a，1°x≥0时，∵e x≥1，2x+1≥1，故e x（2x+1）≥1，又a＜1，故F′（x）＞0，故F（x）在（0，+∞）递增，∵F（0）＝﹣1+a＜0，F（1）＝e＞0，∴在[0，+∞）存在唯一整数x0，使得F（x0）＜0，即f（x0）＜ax0；2°当x＜0时，为满足题意，函数F（x）在（﹣∞，0）上不存在整数使得F（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，﹣1]上不存在整数使得F（x）＜0，∵x≤﹣1，∴e x（2x+1）＜0，①当0≤a＜1时，函数F′（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，﹣1]递减，∴≤a＜1；②当a＜0时，F（﹣﹣1）＝﹣+2a＜0，不合题意，综上，a的范围是[，1）．。

长郡中学2017-2018学年度高二第一学期第一次模块检测数学（文科）第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∴，=，故故选C.2. 设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C. 考点：原命题与否命题.3. 把颜色分别为红、黑、白的个球随机地分给甲、乙、丙人，每人分得个球，事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”是（）A. 对立事件B. 不可能事件C. 互斥事件D. 必然事件【答案】C【解析】由于甲、乙、丙3人都可以持有白球，故事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”不可能是对立事件．又事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”不可能同时发生，故两事件的关系是互斥事件．4. 某程序框如图所示，则该程序运行后输出的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不符合；不符合；不符合；符合；所以输出故选：C5. 若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，. 本题选择D选项.6. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图知几何体为倒放的半个圆锥，圆锥的底面圆半径为1，高为2，∴圆锥的母线长为，∴几何体的表面积S=×π×12+×π×1×+×2×2=.故选：A.7. 以下关于命题的说法正确的有（选择所有正确命题的序号）.（1）“若，则函数在其定义域内是减函数”是真命题；（2）命题“若，则”的否命题是“若，则”；（3）命题“若都是偶函数，则也是偶数”的逆命题为真命题；（4）命题“若，则”与命题“若，则”等价.A. （1）（3）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（4）【答案】C【解析】对于①，当时，a＞1，∴函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在其定义域内是增函数，①错误；对于②，命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”，∴②正确；对于③，命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆命题为“若x+y是偶数，则x、y都是偶数”，它是假命题，如1+1=2，但1是奇数，∴③错误；对于④，命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是“若b∈M，则a∉M”，则两个命题是等价命题，∴④正确．综上，正确的命题是（2）（4）．故答案为：C ．8. 若直线被圆截得弦长为，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2 =4，它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；设弦心距为d，由题意可得 22+d2=4，求得d=0，可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得=（）（a+b）=5+≥5+2当且仅当=时取等号，∴的最小值是9．故选：A．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.9. 在区间上随机地一个数，则事件“”发生的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴由解得0≤x≤或≤x≤π，则事件“”发生的概率P==，故选：D．点睛：利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．10. 已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，画出椭圆与直线的图形；设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（，），B（，），斜率为k；则①，②；∴①﹣②，得，∵由中点坐标公式：=4，=2，∴；∴k=．故选B．11. 为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，该某班学生的脚长为，据此估计其身高为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴线性回归方程为，则==22.5，==160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选C．12. 若，则目标函数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域，∵=1+2•，∴设k=．则k的几何意义为过原点的直线的斜率，由图象可知，直线OA的斜率最大，直线OB的斜率最小，此时A（1，2），k=2；此时B（2，1），k=，∴，则2≤1+2k≤5，即2≤z≤5，故选：A点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.13. 在等比数列中，若有，则（）A. B. C. D.【答案】C考点：等比数列的基本性质.14. 已知椭圆上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点设左焦点为则连接所以四边形为长方形．根据椭圆的定义：，由题则．所以利用即椭圆离心率e的取值范围为故选A考点：椭圆的简单性质，三角函数的图和性质【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质，三角函数的图和性质，属中档题.解题时首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以，再根据椭圆的定义，再由离心率公式，最后由的范围，进一步求出结论．15. 已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，作出函数的图象，如图所示，则时，有两个根，当时，有一个根，若关于的方程有三个不同的实根，则等价为由两个不同的实数根，且或，当时，，此时由，解得或，满足有两个根，有一个根，满足条件；当时，设，则即可，即，解得，综上实数的取值范围为，故选A.考点：根的存在性及个数的判断.【方法点晴】本题主要考查了根的存在性及个数的判断问题，其中解答中涉及到到指数函数与对数函数的图象与性质，一元二次函数根的分布等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中利用函数的零点和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点是解答的根据，利用数形结合以及换元法是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.第Ⅱ卷（共55分）二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）16. 如图，在正方体中，点是的中点，则与所成角的余弦值是__________．【答案】【解析】如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，D1（0，0，2），B（2，2，0），A（2，0，0），M（1，2，0），=（2，2，﹣2），，设D1B与AM所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞||=．故答案为：．17. 是两个向量，且，则与的夹角为__________．【答案】【解析】∵是两个向量，且，设，的夹角为θ，则有（）•=+=1+1×2×cosθ=0，∴cosθ=，∴θ=120°，故答案为：120°．18. 已知函数，则__________．【答案】【解析】.故答案为：19. 椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，则的周长的最大值是__________．【答案】【解析】如图，设椭圆的右焦点为M，椭圆的长轴为2×2a=4a，△FAB的周长AF+FB+AB≤FA+AM+FB+BM=2×2a+2×2a=8a，故答案为：8a点睛：本题充分体现了解析几何的思想方法：数形结合，利用椭圆的定义结合三角形的基本性质得到周长的最值.20. 设数列的前项和为，且为等差数列，则的通项公式__________．【答案】【解析】设c n=，∵数列的前n项和为，且=1，∴c1=4，c2=8，∴c n=c1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，即c n==4n当n≥2时，S n﹣S n﹣1+（1+）a n﹣（1+）a n﹣1=0∴，即2•，∴{}是以为公比，1为首项的等比数列，∴=，∴．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21. 已知向量，若.（1）求函数的单调递增区间；（2）已知的三内角的对边分别为，且（为锐角），，求的值.【答案】(1) (2)【解析】（1）由得.的单调递增区间为得.（2）又..由正弦定理得，(1)，由余弦定理，得，(2)解(1) (2)组成的方程组，得.综上.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.22. 在三棱柱中，平面，其垂足落在直线上.（1）求证：；（2）若为的中点，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）首先根据直三棱柱可得，再由条件平面易得，从而根据线面垂直的判定可证平面，即有；（2）根据条件中给出的数据可得，因此可得，再由为的中点，因此可将转化为求，从而可得．试题解析：（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，又∵平面，∴，∵平面，且平面，∴，又∵平面，平面,, ∴平面，又∵平面，∴； 5分（2）在直三棱柱中，，∵平面，其垂足落在直线上，∴，在中，,,，，在中，， 8分由（1）知平面，平面，从而，，∵为的中点，， 10分∴． 12分考点：1．线面垂直的性质与判定；2．空间几何体的体积．23. 从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在和的学生中共抽取人，该人中成绩在的有几人？（3）在（2）中抽取的人中，随机抽取人，求分数在和各人的概率. 【答案】(1)92，(2)2人（3）.....................试题解析：（1）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92．（2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为6人和3人所以抽取的6人中分数在[130，150]的人有（人）（3）由（2）知：抽取的6人中分数在[30，50）的有4人，记为A1,A2,A3,A4分数在[130，150]的人有2人，记B1，B2，从中随机抽取2人总的情形有(A1,A2)、（A1, A3）、（A1, A4）、（A1, B1）、（A1, B2）、（A2, A3）、（A2, A4）、（A2, B1）、（A2, B2）、（A3,A4）、（A3, B1）、（A3, B2）、（A4, B1）、（A4, B2）、（B1, B2）15种；而分数在[30，50）和[130，150]各1人的情形有（A1, B1）、（A1, B2）、（A2, B1）、（A2, B2）、（A3, B1）、（A3, B2）、（A4, B1）、（A4, B2）8种故所求概率24. 已知命题方程的图象是焦点在轴上的椭圆；命题“”；命题“”.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若为真，为真，求实数的取值范围.【答案】(1) 或；(2)【解析】（1）命题为真，当时，不合题意，当时，或；（2）若为真且且，解得，若为真，若为真，为真，真假，解得.25. 已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设与圆相切的直线交椭圆于两点，求面积的最大值，及取得最大值时直线的方程.【答案】(1) (2) 面积的最大值为，此时直线方程【解析】试题分析：（1）利用由条件求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程；（2）①当不存在时，直接求解三角形的面积；②当存在时，设直线为，联立直线与椭圆的方程组，通过韦达定理与距离公式表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最大值．然后求解直线方程.试题解析：（1）由题意可得：（2）①当不存在时，，②当不存在时，设直线为，,,,当且仅当，即时等号成立，面积的最大值为，此时直线方程.考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；。

长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数22cossin33z i ππ=+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设A 、B 为非空集合，定义集合*A B 为如图非阴影部分的集合，若2{|2}A x y x x ==-，{|3,0}x B y y x ==>，则*A B =（ ）A ．()0,2B ．[][)0,12,+∞ C ．(1,2] D ．[]()0,12,+∞3.阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a 的取值范围为（ ）A ．56a ≤≤B ．56a <<C ．56a ≤<D ． 56a <≤ 4.使不等式14x +≤成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．23x ≤≤B ．63x -≤≤ C.53x -≤≤ D ．62x -≤≤ 5.已知集合{1,2,3}A =，{}3,4B =，则从A 到B 的映射f 满足(3)3f =，则这样的映射共有（ ）A ．3个B ．4个 C.5个 D ．6个 6.在直角坐标系中，若角α的终边经过点22sin,cos 33P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在sin()πα-=（ ） A ．12 B ．32 C.12- D ．32-0S =1i = DOS S i =+ 1i i =+LOOP UNTIL i a > PRINT S END7.定义运算*a b ，*a a b b ⎧=⎨⎩()()a b a b ≤>，例如1*21=，则函数1*2xy =的值域为（ ）A ．()0,1B ．(),1-∞ C.[)1,+∞ D ．(]0,18.若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ） A ．[1,2) B ．[]12， C.[1+)∞，D ．[2+)∞， 9.已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，且3B π=，则11tan tan A C+=（ ） AB．2C.3 D．310.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0c a c b --=，则c 的最大值是（ ）A ．1B ．D．211.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)'(1)f f +的值等于（ ） A ．1 B ．52C.3 D ．0 12.设211()22()x x f x x x e e --=-+-+，则使得(1)(22)f x f x +<-的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(3,)-∞+∞ B ．(1,3) C.1(,)(1,)3-∞+∞ D ．1(,1)313.已知函数2()sin 20191x f x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，则(2018)(2018)'(2019)'(2019)f f f f +-+-=（ ）A.2B.2019C.2018D.014.ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若20a b c ++=，三角形面积为60A =︒，则a =( )A.7B.8C.5D.615.在ABC ∆中，已知9AB AC =，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP xy CA CB=+，则11x y +的最小值为（ ）A.76 B.712C.7123+763+二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的 条件(将正确的序号填入空格处). ①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件 17.对于a，b N∈，规定,*,a b a b a b +⎧=⎨⨯⎩a b a b 与的奇偶性相同与的奇偶性不同，集合(){},*36,,M a b a b a b N +==∈，则M 中的元素的个数为 ．18.已知平面向量a，b 满足1a =，2b =，a b -=，则a 在b 方向上的投影是 ．19.已知函数()2sin f x x x =-，若正实数a ，b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是 ．20.已知集合{,,}{2,3,4}a b c =，且下列三个关系：3a ≠，3b ≠，4c ≠中有且只有一个正确，则函数22,()(),x x bf x x c a x b⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩的值域是 ． 三、解答题 ：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin =4cos ρθθ. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为115x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），设点(1,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值.22.如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos a A b C c B =+.（1）求角A 的大小；（2）若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线，2AB =，4BC =，求AD 的长.23.已知函数()xf x e tx =+（e 为自然对数的底数）. （1）当t e =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数t 的取值范围.24. 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S 中%x (0100x <<)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为30,030()1800290,301002x f x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩(单位:分钟), 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题: (1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间? (2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性,并说明其实际意义.25.已知函数2()1axf x a x =++，()ln g x a x x =-（0a ≠）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：当0a >时，对任意1x ，2(0,]x e ∈，总有12()()g x f x <成立.试卷答案一、选择题1-5:BDCBB 6-10:CDACC 11-15：CBAAC 二、填空题16.○1 17.41 18.1219.9+[3,)+∞ 三、解答题21.(1)∵曲线C 的极坐标方程2sin 4cos ρθθ=，即22sin 4cos ρθρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）直线l的参数方程为115x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程24y x =，可得2141⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2150t --=，∵12150t t ⋅=-<，∴点P 在AB 之间，∴12||||||PA PB t t +=+=22.（1）∵2cos cos cos a A b C c B =+，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A A B C C B B C A =+=+=， ∴3A π=.（2）在ABC ∆中，由余弦定理得24161cos 42AC A AC +-==，解得1AC =1AC =∵BD 是ABC ∠的角平分线， ∴12AD AB CD BC ==，∴13AD AC ==23.（1）当t e =-时，()xf x e ex =-，'()xf x e e =-由'()0xf x e e =->，解得1x >；由'()0xf x e e =-<解得，1x <. ∴函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞；单调递减区间是(,1)-∞. （2）依题意：对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，即0xe tx +>恒成立，即xe t e>-在(0,2]x ∈上恒成立，令()xe g x x =-，所以2(1)'()xx e g x x -=.当01x <<时，'()0g x >；当12x <<时，'()0g x <. ∴函数()g x 在(0,1)上单调递增；在(1,2)上单调递减.所以函数()g x 在1x =处取得极大值(1)g e =-，即为在(0,2]x ∈上的最大值. ∴实数t 的取值范围是(,)e -+∞.所以对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立的实数t 的取值范围是(,)e -+∞. 24.（1）由题意知，当30100x <<时，1800()29040f x x x=+->， 即2659000x x -+>， 解得20x <或45x >，∴(45,100)x ∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间. （2）当030x <≤时，()30%40(1%)4010x g x x x =⋅+-=-； 当30100x <<时，2180013()(290)%40(1%)585010x g x x x x x x =+-⋅+-=-+；∴240(030)10()1358(30100)5010x x g x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减； 当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.25.（1）函数()f x 的定义域为R ，2222(1)(1)(1)'()(1)(1)a x a x x f x x x --+==++.当0a >时，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：当0a <时，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：综上所述，当0a >时，()f x 的单调递增区间为(1,1)-，单调递减区间为(,1)-∞-，(1,)+∞； 当0a <时，()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-. （2）由（1）可知，当当0a >时，()f x 在(0,1)上单调递增，()f x 在(1,]e 上单调递减， 又(0)f a =，2()1aef e a a e =+>+， 所以min ()f x a =，同样地，当0a >时，若a e <，()g x 在(0,)a 上单调递增，()g x 在(,]a e 上单调递减，所以min ()()ln g x g a a a a ==-，因为(ln )(2ln )(2ln )0a a a a a a a e a --=->-=>， 同理，当a e >或a e =时，对于任意1x ，2(0,]x e ∈，总有max min ()()()g x g a a e a f x ==-<=.综上所述，对于任意1x ，2(0,]x e ∈，总有12()()f x f x <成立.。

湖南省长郡中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设i 为虚数单位，a R ∈，若(1)(1)i ai ++是纯虚数，则a =A ．2B ．2-C ．1D ．1- 2．“p q ∨是真命题”是“p 为真命题”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．曲线3()1f x x x =-+在点(1,1)处的切线方程是（ ）A ．210x y --=或450x y +-=B ．210x y --=C ．20x y +-=或450x y +-=D ．20x y +-=4．执行下列程序框图，若输入,a b 分别为77,63，则输出的a =（ ）A ．12B ．14C ．7D ．95．设复数z 1=i ，z 2=1−i ，则复数z =z 1⋅z 2在复平面内对应的点到原点的距离是（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．√226．下表是某小卖部统计出的五天中卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：若卖出热茶的杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ） A ．6y x =+B ．42y x =-+C ．260y x =-+D ．378y x =-+ 7．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ）A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c< 8．极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（ ）．A ．直线、直线B ．圆、圆C ．直线、圆D ．圆、直线9．设P 是双曲线22 11620x y -=上一点，1F ，2F 分别是双曲线左、右两个焦点，若19PF =，则2PF 等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对10．某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++并参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”C ．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”D ．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”11．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30，则C 的离心率为（ ）A ．6B ．13C ．12D 12．若关于x 的不等式15x x m -++>的解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()(),64,-∞-⋃+∞B ．()(),46,-∞-⋃+∞C ．6,4D ．[]4,6- 13．一次试验：向如图3-3-14所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形的豆子的总数为N 粒，其中有m (m <N )粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值为( )A ．m NB ．2m NC ．3m ND ．4m N 14．已知函数21()log 1x f x x x -=-++.若方程()x m e f x --=在11[,]33-内有实数解，则实数m 的最小值是（ ）A ．1343e -+ B ．1343e + C ．1343e - D ．1343e -- 15．已知椭圆O:x 2a 2+y 2b 2=1的离心率为e 1，动ΔABC 是其内接三角形，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +45OB⃗⃗⃗⃗⃗ ．若AB 的中点为D ，D 的轨迹E 的离心率为，则（ ） A ．e 1=e 2 B ．e 1<e 2 C ．e 1>e 2 D ．e 1e 2=1二、填空题16．命题:(0,)P x ∀∈+∞，ln 2x x e +≤，则:p ⌝__________．17．抛物线220y x +=的焦点坐标是__________．18．已知0a >，函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是______.19．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝.甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷.根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是__________．20．已知()()111123f n n N n +=++++∉，用数学归纳法证明()122n n f +>时， ()()122k k f f +-等于__________．三、解答题21．共享单车的推广给消费者带来全新消费体验，迅速赢得广大消费者的青睐，然而，同时也暴露出管理、停放、服务等方面的问题，为了了解公众对共享单车的态度（提倡或不提倡），某调查小组随机地对不同年龄段50人进行调查，将调查情况整理如下表：并且，年龄在[20,25)和[40,45)的人中持“提倡”态度的人数分别为5和3，现从这两个年龄段中随机抽取2人征求意见.（Ⅰ）求年龄在[20,25)中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率；（Ⅱ）求年龄在[40,45)中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率.22．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l 的参数方程为123x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），若l 与C 交于A B 、两点.（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值.23．证明：（Ⅰ）已知a b m 、、是正实数，且a b <.求证：a a m b b m+<+； （Ⅱ）已知a b c d R ∈、、、，且1a b +=，1c d +=，1ac bd +>.求证：a b c d 、、、中至少有一个是负数.24．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右两个焦点分别为12F F ，，离心率2e =，短轴长为2.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆上的一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO的延长线与椭圆交于C 点，若ABC AB 的方程. 25．已知函数()()x f x xe x R -=∈.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x +>.参考答案1．C【解析】∵()()11i ai ++是纯虚数∴1(1)a a i -++是纯虚数∴10a -=，即1a =故选C2．A【解析】p 为真命题,则p q ∨是真命题; p q ∨是真命题,p 则不一定为真命题;所以“p q ∨是真命题”是“p 为真命题”的必要不充分条件,选A.3．B【解析】2()31(1)312f x x k f =-∴==-∴'=' 切线方程是12(1),210y x x y -=---= 选B4．C【解析】因为a b >，则986335a =-=，则a b <，所以633528b =-=，则a b >，所以35287a =-=，则a b <，所以28721b =-=，则a b <，所以21714b =-=，则a b <，所以1477b =-=，则7a b ==，所以输出7a =，故选C ．5．B【解析】∵z 1=i ,z 2=1+i ，∴z =z 1⋅z 2=i (1+i )=−1+i ，∴复数z =z 1⋅z 2在复平面内对应的点的坐标为(−1,1)，到原点的距离是√2，故选B.6．C1813104024343951629,4255x y ++++++++====∴， 260y x =-+过点()9,42 ,选C. 7．D【解析】本题主要考查不等关系．已知0,0a b c d >><<,所以110d c->->，所以a b d c ->-，故a b d c<．故选D 8．D【解析】由cos ρθ=，得2cos ρρθ=，将222,cos x y x ρρθ=+=代入上式得220x y x +-=，故极坐标方程表示的图形为圆；由123x t y t=--⎧⎨=+⎩消去参数t 整理得310x y ++=，故参数方程表示的图形为直线。