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非线性控制系统的分析样本

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第八章 非线性控制系统分析

一、教学目与规定：

通过对本章内容讲授，让学生结识到实际系统当中抱负线性系统并不存在，构成系统各元件，或多或少都存在着不同限度非线性，研究分析非线性系统办法十分必要，也很重要。通过学习分析非线性系统相平面法和描述函数法，掌握分析非线性系统基本要领，规定学生能对某些常用非线性特性求描述函数，用描述函数办法分析非线性系统稳定性问题，极限环存在与消除；纯熟掌握二阶线性系统相轨迹各种形状，掌握非线性系统相平面分析办法。

二、授课重要内容：

1． 非线性控制系统概述

1）非线性控制系统特点

2）非线性控制系统分析办法

2． 常用非线性特性及其对系统运动影响

1．相平面法

1）相平面基本概念

2）相轨迹绘制等倾线法

1）线性系统相平面分析

2）非线性系统相平面分析

2．描述函数法

1）描述函数基本概念

2）典型非线性特性描述函数

3）非线性系统稳定性分析描述函数法

（详细内容见讲稿）

三、重点、难点及对学生规定（掌握、熟悉、理解、自学）

1. 掌握什么是非线性系统、非线性系统特点、一阶线性近似化办法。 2. 理解描述函数概念及计算办法，掌握非线性系统描述函数分析法。

3. 掌握相轨迹绘制办法、线性二阶系统相轨迹及奇点分析以及非线性系统相平面分析办法。

4. 理解李亚普诺夫各类稳定性定义及鉴定办法。

四、重要外语词汇

非线性控制系统 nonlinear control system

相平面法 phase-plane method

描述函数法 description function method

逆系统法 inverse system method

等效增益 equivalent gain

继电特性 relay characteristic

死区特性 dead band characteristic

饱和特性 saturation characteristic

间隙特性 clearance characteristic

根轨迹 root locus

相轨迹 phase locus

奇点 odd nod

奇线 odd line

伪线性系统 fake linear system

五、辅助教学状况（见课件）

六、复习思考题

1． 什么是非线性系统？它有什么特点？

2． 常用非线性特性有哪些？

3． 非线性系统分析设计办法有哪些？

4． 描述函数分析法实质是什么？试述描述函数概念及其求取办法。 5． 如何运用描述函数法来分析具备非线性环节控制系统稳定性和极限环振荡问题？

6． 试述相平面分析法实质，为什么它是分析二阶系统有效办法？

7． 试绘制二阶线性系统相轨迹大体形状，并从中找出相轨迹某些规律是什么？

8． 相轨迹绘制办法有哪些？

9． 如何获得e和e信号?如何可获得e-e平面上相轨迹?

10． 试比较非线性系统中极限环和线性系统中无阻尼等幅振荡异同。

11． 消除极限环有哪些办法?

七、参照教材（资料）

1．《当代控制工程》 绪方胜彦著（卢伯英 佟明安 罗维铭 译） 科学出版社

参照该书第八章关于内容。

2．《自动控制原理》 天津大学 李光泉 主编 机械工业出版社

参照该书第八章关于内容。

八、讲稿

第八章 非线性系统理论

8.1.非线性系统特点

非线性系统与线性控制系统相比，具备一系列新特点

线性系统满足叠加原理，而非线性控制系统不满足叠加原理。图8－1带滤波器非线性系统 2.非线性系统稳定性不但取决于控制系统固有构造和参数，并且与系统初始条件以及外加输入关于系。例：对于一由非线性微分方程

X=-x(1–x) (8-1)

描述非线性系统，显然有两个平衡点，即x1=0和x2=1。将上式改写为

3.非线性系统也许存在自激振荡现象4.非线性系统在正弦信号作用下，其输出存在极其复杂状况：

（1） 跳跃谐振和多值响应

如图8－3所示非线性弹簧输出幅频特性。

图8－3跳跃谐振与多值响应(2)分频振荡和倍频振荡

非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同频率振荡外，还也许产生倍频振荡和分频振荡。如图8－4所示波形。

8.1.2 研究非线性系统意义与办法 1.研究非线性系统意义

1）实际控制系统，存在着大量非线性因素。这些非线性因素存在，使得咱们用线性系统理论进行分析时所得出结论，与实际系统控制效果不一致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生影响。

2）非线性特性存在，并不总是对系统产生不良影响。

2.研究非线性系统办法

1）相平面法是用图解办法分析一阶，二阶非线性系统办法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性办法。

2）描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出一种分析非线性系统办法。它是一种谐波线性化分析办法，是频率法在非线性系统分析中推广。

3）计算机求解法是运用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程一种数值解法。8.2典型非线性特性数学描述及其对系统性能影响8.2.1 饱和特性在电子放大器中常用一种非线性，如图8－5所示，饱和装置输入特性数学描述如下：8.2.2死区特性 死区特性也称为不敏捷区，如图8-6所示。其数学描述如下：

8.2.3 间隙

如图8-7所示，它数学描述如下：

8.2.4 继电特性 在使用继电特性时，有四种可供选取形态，如图8－8所示 具死区继电特性具磁滞回环继电特性

具磁滞回环和死区继电特性

8.3描述函数法8.3.1描述函数概念

描述函数合用于具备如下特点非线性系统。

1.系统线性某些和非线性环节可以分离。如图8－9所示，图中NL为非线性环节，G为线性某些传递函数。2.非线性特性具奇对称特性，且输入输出关系为静特性。

3.线性某些应具良好低通滤波特性。

若满足以上条件，描述函数可定义为非线性环节输出基波分量与输入正弦量复数比。

假定，给非线性环节输入为正弦量 (8-9)普通状况下，其输出为周期函数，可展开成傅立叶级数式中，由于非线性为奇对称特性，因此A0＝0。而(8-10)

tAtesin)(10sincos2)(nnntnBtnAAtx20)(cos)(1ttdntxAn20)(sin)(1ttdntxBn

由式（8－14）可知，描述函数是输入振幅A函数，是一种可变增益放大系数

8.3.2 典型非线性描述函数

2.死区特性

具死区和磁滞回环继电特性描述函数N（A）为

当a＝0时，可求如图8－14所示继电特性描述函数为

当m＝1，a≠0时，可求如图8－15所示具死区继电特性描述函数为 当m＝－1时，可求得如图8－16所示具滞环继电特性描述函数为

8.3.3多重非线性描述函数1.串联非线性

如图8－17所示串联非线性。串联非线性特性描述函数绝不等于两个非线性描述函数乘积。

假定图8－17中NL1为死区非线性，NL2为饱和非线性，它们串联后复合非线性如图8－18所示

N(A)=N1(A)+N2(A)

8.3.4 用描述函数法分析非线性系统

tAXsin22一非线性系统构造如图8－21所示，假定输入为零，图中N（A）为非线性环节描述函数图8－21非线性系统

综合公式（8－35）（8－36）可得出系统产生自激振荡条件为

由公式（8－37），将乃魁斯特判据推广应用于非线性系统，可判断系统运动稳定性：线性某些为最小相位系统，)(1)(ANjG

例:一继电控制系统构造如图8－23所示。继电器参数a＝1，b＝3，试分析系统与否产生自激振荡，若产生自激振荡，求出振幅和振荡频率。若要使系统不产生自激振荡，应如何调节继电器参数。

8.4相平面法8.4.1相轨迹及其绘制办法对于一任意二阶非线性微分方程

x +f(x,x)= 0

令x1=x,x2= x1=x

则x1= x2,x2=-f(x1,x2)

写成普通形式有

x1 = P ( x1，x2 )

x2 = Q (x1 ,x1 )

于是有

轴，x2为纵坐标平面上绘制一条x2与x1关系曲线，咱们把这样一条轨线称为相轨迹，由一族相轨迹构成图像称为相平面图。而式（8－41）是相轨迹上某点处切线斜率。

相轨迹上除平衡点外任意一点只有一根相轨迹通过。可知，相轨迹在平衡点附近切线斜率不定，意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。

依照上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通过这条线上各点时，其切线斜率都相同，咱们称之为等倾线。如果取不同值，可在相平面上绘制一系列等倾线。如图8－27所示。

3）重根

此时若a+d<0，此时称奇点为退化稳定结点，

若a+d>0，奇点称为退化不稳定结点，相应相轨迹如图8－30所示。

2.极限环

相平面图上一根孤立封闭相轨迹称为极限环。它相应系统会产生自激振荡。如图8－33所示。

极限环有稳定，不稳定和半稳定。如图8-34（a）,(b),（c）所示。 )(4)(2bcadda

8.4.3 用相平面法分析非线性系统

用相平面法分析非线性系统环节如下：

1. 依照非线性特性将相平面划分为若干区域，建立每个区域线性微分方程来描述系统运动特性；

2依照分析问题需要，恰当选取相平面坐标轴，普通为，或作为相平面坐标轴；

3.依照非线性特性建立相平面上切换线方程，必要注意是，切换线方程变量应与坐标轴所选坐标变量一致；

4.求解每个区域微分方程，绘制相轨迹;；

5.平滑地将各个区域相轨迹连起来，得到整个系统相轨迹。据此可用来分析非线性系统运动特性。

例： 如图8-36所示非线性控制系统在t ＝ 0时加上一种幅度为6阶跃输入，系统初始状态为，问通过多少秒，系统状态可到达原点。

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机械传动间隙非线性对自动控制系统影响的分析

机械传动间隙非线性对自动控制系统影响的分析

第２４卷第２期　２００６年ｏ４月　佳木斯大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｍｕｓｉ　Ｕｎｉｖｅ￣ｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．２４　Ｎ０．２　Ａｐｒ．　２００６　

文章编号：１００８～ｌ４ｏ２（２００６）０２—０２４９—０３　

机械传动间隙非线性对自动控制系统影响的分析　

李丽　，　白金泉ｂ，　周大帅　，　闫德春　

（佳术斯大学ａ．信息电子学院Ｉｂ．理学院；ｃ．机械工程学院．熙龙江佳术斯１５４００７）　

摘要：　非线性问题是自动控制重要课题之一，本文用描述函数的方法，分析了机械传动间隙对自　

动系统的影响，并提出了要从电气和机械两个方面进行研究，共同解决减少间隙非线性对自动控制系统的　

影响．　关键词：传动间隙；非线性；分析　

中图分类号：ＴＨ１６１　文献标识码：Ａ　

ｏ引言　繇　个　

在一些自动控制系统的伺服机构，诸如随动系　

统、机器人、机械手的控制装置中，拖动电动机与执　

行机构间多有齿轮减速机构，在齿轮传动中，主动　轮与从动轮之间存在着一定的“间隙”，由于间隙的　

存在给自动控制系统带来了很多不利因索，间隙的　

存在对控制精度和系统的稳定性都有影响．本文仅　

就机械传动间隙对自动控制系统的影响进行初浅　分析．　

１齿轮传动系统的分析　

图１给出了１对齿轮传动的示意图．其中１为　主动轮的１个齿，２为从动轮的１个齿，Ｄ为两个齿　

的间隙，　为主动齿运动方向，ｙ为从动齿的运动　

方向．如设某一时刻主动齿位移为　，当　＜Ｄ时，　

从动齿位移Ｙ＝０．只有　＞Ｄ时，从动轮方有位　移，此时Ｙ≠０．亦即从齿１移动到齿２移动中问有　

个时间差称为齿２滞后齿１．如果是反转，可能存在　

两倍间隙．在图２给出了两个齿之间位移关系．从　

图中可看出只有　＞Ｄ时，＇，才有输出即Ｙ＞０．　

与Ｙ之间呈线性关系，沿直线ＤＢ变化．而在戈＜Ｄ　

这一区间内，即主动齿位移量小于齿间之间隙时，　Ｙ没有输出，从动齿不动．这说明，具有间隙的齿轮　

非线性控制系统

非线性控制系统

176 第2篇 先进控制控制系统第8章 非线性控制系统前面的章节所讨论的都是线性系统，但是实际上，大多数物理过程都具有一定程度的非线性。即使如此，如果系统的非线性程度不高，或者仅存在于较窄的操作范围内，可将其近似为一个线性系统来进行处理，则前面所讨论的控制技术，例如常规PID控制仍旧是有效的。但是对于一些具有不可忽视的非线性的过程，这种方法就不适用了。这种情况下，采用非线性控制策略能进一步提高控制品质。随着控制理论的进展，自动化技术工具的发展，尤其是计算机的使用，使非线性控制系统在工业控制中逐步多了起来。如果对非线性控制系统粗略地进行分类，可以分为两类：一类过程是线性的(或近似按线性处理)，为了满足控制系统的某种要求或改善控制系统质量而引入非线性的控制规律；另一类过程本身是非线性的，引入非线性的补偿元件或控制规律，以达到系统规定的控制指标。 8．1 线性过程的非线性控制 8．1．1 液位的非线性控制 (1)均匀控制的实现 在均匀控制系统一节中，曾提到可以采用非线性控制规律来实现均匀控制，其中最常用的是采用带不灵敏区的非线性控制。这种带不灵敏区的非线性控制规律如图8-1所示。当系统偏差e在不灵敏区内，控制器的增益很小，即δ很大；偏差e超出不灵敏区后，控制器增益将增大(增大十倍或更多)。 利用非线性控制规律实现均匀控制的原理较简单，只要根据工艺允许的液位波动范围，合理设置不灵敏区宽度，就能做到在较小的外扰作用下，使液位偏差信号在不灵敏区内变化，非线性控制器工作在小增益区域，从而输出变化不大，控制阀的开度变化也不大，流量仅仅在小范围内波动。也就是说，液位在允许范围内波动的同时，流量不至于有较大的变化，达到液位和流量的均匀控制。只有在较大的外扰作用进入系统时，液位偏差信号一旦超出不灵敏区，非线性控制器才工作在高增益区域，其控制作用有一个较大的输出变化，使流量也产生一个较大的变化。但这种作较大变化的时间是短暂的，因为较强的控制作用驱使流量作较大的变化，可以很快地把液位偏差信号拉回到不灵敏区，于是整个系统又回复到上述的不灵敏区内的工作情况。因此，这种非线性液位控制系统经常工作在不灵敏区范围内，液位和流量均在小范围内波动，仅仅为了有力地克服大扰动作用，系统才工作在高增益区，造成流量的较大波动，但这种情况是不太多的，维持的时间也是较短的。实际系统的组成可采用单回路控制或非线性串级控制等形式，其系统构成分别示于图8—2(a)、(b)

非线性控制系统 2

非线性控制系统 2

部分混沌吸引子

1．Henon映射

nnnnnqxyypxx1211

当参数3.0,4.1qp时，Henon系统可产生混沌现象，对其进行Matlab仿真，可得Henon映射的吸引子如图：

-1.5-1-0.500.511.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.50.6xy

图.1 Henon映射的混沌吸引子 2.Lozi映射

nnnnnqxyyxpx111

当参数5.0,7.1qp时，Lozi系统表现为混沌，对其进行Matlab仿真，可得Lozi映射的吸引子如图：

-1.5-1-0.500.511.5-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8xy

图2 Lozi映射的混沌吸引子

3. Lorenz方程

213331122211xxxxxxxxxxxx

当参数3/8,28,10时，Lorenz系统出现混沌现象，对其进行Matlab仿真，可得Lorenz系统的混沌吸引子如图：

-20-1001020-40-200204001020304050xyz

图3.1 Lorenz系统的混沌吸引子(x-y-z) -20-15-10-505101520-30-20-100102030xy

图3.2 Lorenz系统的混沌吸引子(x-y)

-20-15-10-50510152005101520253035404550xz

图3.3 Lorenz系统的混沌吸引子(x-z)

-30-20-10010203005101520253035404550yz

图3.4 Lorenz系统的混沌吸引子(y-z)

4．Chen电路

321331122211bxxxxxxxaccxxaxaxx

当参数28,3,35cba时，Chen电路系统出现混沌现象，对其进行Matlab仿真，可得Chen电路系统的混沌吸引子如图： -40-2002040-40-2002040020406080xyz

非线性复杂系统的分析与控制

非线性复杂系统的分析与控制

非线性复杂系统的分析与控制

随着科技的不断发展和社会的不断进步，人们对于各种复杂系统的研究和控制愈发重视。所谓复杂系统，就是由互相交互作用而组成的多元性集合体，而这些交互作用可能是非线性的，从而难以被容易地分析和控制。本文将通过一系列实例介绍非线性复杂系统的分析和控制方法，以期让读者对复杂系统的理解更深入，对方法更加熟悉。

一、社交网络系统

社交网络系统是一种非线性复杂系统，其各种元素间的互动可能是极其复杂的。在社交网络系统中，个体行为的变化和演化是由各种相互影响的因素所决定的。由于社交网络系统中的多样性和多变性，导致其研究和控制变得更加困难。近年来，随着网络的普及和社交网络系统的火热，该领域的研究逐渐发展起来，人们开始探索非线性系统的模型以及其控制方法。

传统的线性系统模型无法对非线性复杂系统进行有效的预测和控制，因此，网络科学家们提出了更加复杂的模型来描述社交网络系统。这些模型无法通过传统的经验规律或者直觉来进行分析，而需要依靠今天的计算机模拟、机器学习等技术。在社交网络系统中，人与人之间的关系是非常关键的，传染病、意见和行为的传播都受到社交网络的影响。通过对于数据的聚合和挖掘，我们可以获取网络用户的行为数据，从而利用复杂网络分析方法来解析复杂系统。

二、深度学习系统

深度学习系统是一种基于神经网络的非线性复杂系统，广泛运用在图像识别、自然语言处理、人工智能等领域。在深度学习系统中，相互作用的情况也是非常复杂的，由于其非线性的特性，不同的变量和指标之间具有高度复杂的关联性。因此，通过深度学习系统来对信息进行处理和学习，需要对神经元的相互作用进行建模，计算和分析。

相比于传统的线性模型，深度学习模型可以通过自我学习和自适应性来逼近非线性、高维度的复杂情况。神经网络的设计、训练和测试都是非常复杂的过程，需要结合数学、计算机和其他学科的知识。在深度学习系统中，数据是至关重要的，对于数据的预处理、划分和标注都必须严谨和全面。同时，在深度学习算法的实践中，往往需要特定的硬件支持，例如高性能的GPU等，这也是对于非线性复杂系统的另一种探究。