【人教A版】高中数学必修一：第2章《基本初等函数(Ⅰ)》导学案设计(含答案)

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2.1.1 指数与指数幂的运算

[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质.

知识点一 根式的定义

1.n次方根的定义

一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

2.n次方根的性质

(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次方根用符号na表示.

(2)当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±na(a＞0).

(3)0的任何次方根都是0，记作n0＝0.

(4)负数没有偶次方根.

3.根式的定义

式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

4.两个等式

(1)(na)n＝a(n∈N*).

(2)nan＝ an为奇数，且n∈N*，|a|＝ aa≥0，－aa<0n为偶数，且n∈N*.

第2页 共11页 知识点二 分数指数幂

(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：mna＝nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1).

(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：mna＝nma1(a＞0，m，n∈N*,

且n＞1).

(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

思考 (1)分数指数幂mna能否理解为mn个a相乘？

(2)在分数指数幂与根式的互化公式mna＝nam中，为什么必须规定a>0?

答 (1)不能.mna不可以理解为mn个a相乘，事实上，它是根式的一种新写法.

(2)①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即nam＝mna＝0，无研究价值.

②若a<0，mna＝nam不一定成立，如(－2)32＝2－23无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.

知识点三 有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；

(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q).

知识点四 无理数指数幂

无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.

题型一 根式的运算

例1

求下列各式的值.

(1)3－23；(2)4－32；(3)83－π8；

(4)x2－2x＋1－x2＋6x＋9，x∈(－3,3).

解 (1)3－23＝－2.

(2)4－32＝432＝3.

(3)83－π8＝|3－π|＝π－3.

第3页 共11页 (4)原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|，

当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.

当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.

因此，原式＝ －2x－2，－3＜x≤1，－4，1＜x＜3.

反思与感悟 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.

2.开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.

跟踪训练1 化简下列各式.

(1)5－25；(2)4－104；(3)4a－b4.

解 (1)5－25＝－2.

(2)4－104＝|－10|＝10.

(3)4a－b4＝|a－b|＝ a－ba≥b，b－aa＜b.

题型二 根式与分数指数幂的互化

例2 将下列根式化成分数指数幂形式.

(1)3a·4a； (2) aaa；

(3)3a2·a3； (4)(3a)2·ab3.

解 (1)3a·4a＝a31·a41＝a127.

(2)原式＝a21·a41·a81＝a87.

(3)原式＝a23·a32＝a136.

(4)原式＝(a31)2·a21·b32＝a76b32.

反思与感悟

在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：mna＝nam和mna＝nma1＝1nam，其中字母a要使式子有意义.

跟踪训练2 用分数指数幂表示下列各式：

(1) 3a·6－a(a＜0)；

第4页 共11页 (2) 3ab2ab3(a，b＞0)；

(3)22433()b(b＜0)；

(4)13x5x22(x≠0).

解 (1)原式＝a31·(－a)61

＝－(－a)31·(－a)61＝－(－a)21(a＜0).

(2)原式＝323232baab＝32725ba

＝157322()ab＝5766ab(a，b＞0).

(3)原式＝212343b＝(－b)91(b＜0).

(4)原式＝3154311xx＝531x＝x35 (x≠0).

题型三

分数指数幂的运算

例3 (1)计算：0.06431－－780＋[(－2)3]34＋16－0.75＋|－0.01|21；

(2)化简：3329aa÷ 3a－7·3a13(a＞0).

解 (1)原式＝(0.43)31－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)21＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.

(2)原式＝191317113()()32322323[][]aaaa

＝937136666a＝a0＝1.

反思与感悟 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.

跟踪训练3 计算或化简：

(1)－33823＋(0.002)21－10(5－2)－1＋(2－3)0；

(2)31133513222()()aaaa.

第5页 共11页 解 (1)原式＝(－1)2333823＋150021－105－2＋1

＝27823＋(500)21－10(5＋2)＋1

＝49＋105－105－20＋1＝－1679.

(2)原式＝133111513322222()[()()]aaaa

＝1513103222()()aaa＝(a－4)21＝a－2.

题型四

条件求值

例4 已知a21＋a21＝3，求下列各式的值.

(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)33221122aaaa.

解 (1)将a21＋a21＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，

即a＋a－1＝7.

(2)对(1)中的式子平方，得a2＋a－2＋2＝49，

即a2＋a－2＝47.

(3)33221122aaaa＝1111122221122()()aaa+a+aaaa

＝a＋a－1＋1＝8.

反思与感悟 1.条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程.本题若通过1122aa＝3(a>0)解出a的值代入求值则非常复杂.

解决此类问题的一般步骤是：

2.注意运用平方差公式、立方和公式、立方差公式对代数式进行变形，如：

(1)a－b＝(a21)2－(b21)2＝(a21＋b21)(a21－b21).

第6页 共11页 (2)a±b＝(a31)3±(b31)3＝(a31±b31)(a23∓a31b31＋b23).

跟踪训练4 已知a＋a－1＝5(a>0)，求下列各式的值：

(1)a2＋a－2；(2)a21－a21；(3)a3＋a－3.

解 (1)方法一 由a＋a－1＝5两边平方，得a2＋2aa－1＋a－2＝25，即a2＋a－2＝23.

方法二 a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.

(2)∵(a21－a21)2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，

∴|a21－a21|＝3，∴a21－a21＝±3.

(3)a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－aa－1＋a－2)

＝(a＋a－1)(a2＋2aa－1＋a－2－3)

＝(a＋a－1)[(a＋a－1)2－3]

＝5×(25－3)＝110.

因忽略对指数的讨论及被开方数的条件致误

例5 化简：(1－a)[(a－1)－2·(－a)21]21.

错解 原式＝(1－a)(a－1)－1·(－a)41＝－(－a)41.

正解 因为(－a)21存在，

所以－a≥0，故a－1<0，

原式＝(1－a)(1－a)－1(－a)41＝(－a)41.

错误原因 因题中有(－a)21，所以－a≥0，即a≤0，则[(a－1)－2]21≠(a－1)－1，错解中忽略了这一条件.

跟踪训练5 求[(1－2)2]21－(1＋2)－1－1＋213÷47的值.

解 原式＝2－1－(2－1)－1＋2－1＝－12.

1.下列各式正确的是( )

A.(3a)3＝a B.(47)4＝－7

第7页 共11页 C.(5a)5＝|a| D.6a6＝a

答案 A

解析 (47)4＝7，(5a)5＝a，6a6＝|a|.

2.a－b2＋5a－b5的值是( )

A.0 B.2(a－b)

C.0或2(a－b) D.a－b

答案 C

解析 当a－b≥0时，

原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)；

当a－b＜0时，原式＝b－a＋a－b＝0.

3.化简1－2x2(2x>1)的结果是( )

A.1－2x B.0

C.2x－1 D.(1－2x)2

答案 C

解析 ∵2x>1，∴1－2x<0.

∴1－2x2＝|1－2x|＝2x－1.

4.化简－x3x的结果是________.

答案 －－x

5.已知10m＝2,10n＝3，则103m－n＝________.

答案 83

解析 103m－n＝103m10n＝10m310n＝233＝83.

1.掌握两个公式：(1)(na)n＝a(n∈N*)；(2)n为奇数且n∈N*，nan＝a，n为偶数且n∈N*，nan＝|a|＝ a a≥0，－aa＜0.

2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.