用扭摆法测定物体的转动惯量
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用扭摆法测定物体的转动惯量
刚体的转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特性的一个物理量。它与刚体的形状、总质量、质量分布以及转轴的位置有关。如果刚体是由几部分组成的，那么刚体总的转动惯量J就等于各个部分对同一转轴的转动惯量之和，即
J= J1+ J2+ ······
对于形状简单的匀质物体，可以直接计算出它绕定轴转动时的转动惯量。对于形状比较复杂或非匀质的物体，则多采用实验的方法来测定，如电机转子、机械部件、钟表齿轮、枪炮弹丸等。
转动惯量的测量，一般都是使物体以一定的形式运动，再通过表征这种运动的物理量与转动惯量的关系，来进行转换测量的。 本实验使物体扭摆转动，由对摆动周期及其它参数的测量而计算出物体的转动惯量。这种方法不仅仪器简单、操作容易，而且结果也比较准确。
[实验目的]
1.
2. 熟练掌握直尺、游标卡尺、数字式电子天平的使用；
3.
4. 熟悉扭摆的构造及使用方法，测定扭摆的仪器常数（弹簧的扭转系数）K；
5.
6. 测定几种不同形状物体的转动惯量，并与理论值进行比较；
7.
8. 验证转动惯量的平行轴定理。
[仪器与用具]
扭摆装置及其附件（塑料圆柱体，金属空心圆筒，实心球体，金属细长杆等），转动惯量测试仪，数字式电子天平，直尺，游标卡尺。
转动惯量测试仪说明：
1.
2. 开机后摆动指示灯亮，功能显示窗显示“P1”,数据显示窗显示“0000”，因本仪器的内部单片机设置了自动复位功能，所以不会出现死机现象。方式设定键“转动”和“摆动”键，功能选择键（左边的一组↑、↓键），数据设置键（右面一组箭头键）以及“清零”、“执行”键分别有效，“记时”指示灯工作时亮。开机默认状态为“摆动”，默认周期数为10，测量次数为3，执行数据皆空为0。
蒄
荿图1 QS-R型转动惯量测试仪面板图
莈
3.
4. 薅功能选择
薂按“转动”“摆动”键，可以选择摆动、转动两种功能（开机默认值为摆动）。
5.
6. 肂置数
膈按左面一排的箭头键，对“重复次数”（周期数）和“测量次数”进行选择，选“重复次数”（其左面的指示灯亮）时显示“n＝１０”，按右面“↑”键，周期数依次加1，按“↓”键，周期数依次减1，周期数只能在1—20范围内任意设定。选“测量次数”时，显示“n=3”，按“↑”，测量次数依次加1，按“↓”，测量次数依次减1。各参数一旦予置完毕，除再次置数外，其它操作均不改变予置的参数。
7.
8. 蚆执行
螁将测量次数和重复次数选定后，按左面的“↓”，选定“测量”，然后将刚体水平旋转约90度后让其自由摆动，按“执行”键，仪器的两表头分别显示“P1”“000.0”，当被测物体上的挡光杆第一次通过光电门时开始计时，同时状态指示的“计时”灯点亮。随着刚体的摆动，仪器开始连续计时，直到周期数（重复次数）等于设定值时，停止计时，计时指示灯随之熄灭，此时仪器显示第一次测量的总时间。重复上述步骤，可进行多次测量。本机设定重复测量的最多次数为5次，即（P1、P2、P3、P4、P5）。执行键还具有修改功能，按执行键可重新测量数据。
9.
10. 薂查询
袈按“查询”键，可知每次测量的周期（C1-C5）以及多次测量的周期平均值CA，如没有数据，则每次的总时间数显示为“0000”，周期数不显示。
蒄[实验原理]
肃
羁 图2 扭摆的构造及光电探头
虿扭摆的构造如图2所示，在其垂直轴1上装有一个薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。在轴1上可以安装各种待测物体。垂直轴与支架间装有轴承，以减小摩擦力矩。将待测物体装在轴1上，在水平面内转过角度后，在弹簧的恢复力矩作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。根据胡克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度 成正比，即
蒅 M=-K （1）
膁式中K为弹簧的扭转系数。根据转动定律
莀M=Jß
荿式中J为物体绕转轴的转动惯量 ，ß为角加速度，有
薆ß=JM （2）
薄令 JK2 ，且忽略轴承的摩擦阻力矩，由式（1）、（2）可得
螀 222JKdtd
肀此方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性；角加速度 与角位移 成正比，且方向相反。
莄此微分方程的解为
蚂 =cos(At+Φ)
式中，A为谐振动的角振幅， 为角速度，Φ为初相位。此间谐振动的摆功周期为
KJT22 （３）
由式（3）可知，在测得了扭摆的摆动周期T后，在K和J中任何一个量已知时，即可计算出另外一个量的值。
在本实验中，是将待测物体放在载物盘上测量其转动惯量的，则由式（3）可知，
JJJTT10010 或
TTTJJ20212010
式中 J0为金属载物盘绕转轴的转动惯量， TO为其摆动周期，待测物体的转动惯量为
J1，它与载物盘一起转动的转动周期为 T1，其单独绕转轴转动的转动周期为
TT2021（为什么？）。
因此，弹簧的扭转系数
TTJK2021142
对于实验中所用的质量为m1、直径为D1的匀质圆柱体，其转动惯量为
DmJ211811
由此可以求出扭摆弹簧装置的仪器常数K。
若要测定其它形状物体的转动惯量，只需将待测物体固定在扭摆装置的垂直轴上，测定其摆动周期，利用已知的K值，带入式（3）即可计算出该物体绕转轴的转动惯量J，即
TKJ224 （４）
根据刚体力学理论，若质量为m的物体绕通过质心轴的转动惯量为 J0，则绕距其质心轴平移距离为x的轴旋转时的转动惯量为
xJmJ20 （5）
这个定理称为转动惯量的平行轴定理。
[实验内容与步骤]
1.
2. 用数字式电子天平测量塑料圆柱、金属圆筒、实心球以及金属细杆的质量。
3.
4. 用游标卡尺分别测量塑料圆柱的外径，金属圆筒的内、外径各三次，用直尺测量细杆的长度三次。
5.
6. 调整扭摆基座螺钉，使水准泡的气泡居中。
7.
8. 装上金属载物盘，调整光电探头的位置使载物盘挡光杆处于其缺口（见图2）中央，且能遮住红外线的小孔，测量其10次往返摆动所用的时间３次。
9.
10. 将塑料圆柱、金属圆筒分别垂直放于载物盘上，测量其10次往返摆动所用时间。
11.
12. 取下载物盘，分别装上实心球及金属细杆，测量其10次往返摆动所用时间。
13.
14. 将滑块对称的放在细杆两边的凹槽内（滑块质心距转轴距离分别为5.00cm，10.00cm，15.00cm，20.00cm，25.00cm）分别测量细杆5次往返摆动所用时间。
[数据表格及数据处理]
1.
2. 弹簧扭转系数及物体转动惯量的测定
芅物体名称
芃质量（kg）
葿几何尺寸（cm）
蝿周期T（s）
芇转动惯量理论值)kg(m1024
莁实验值)kg(m1024
膂百分误差
蕿金属载物盘
肄
螄
薁10T0
艿
膆
袂TTJTJ20211200
肁=
螆
羄
平均值
塑料圆柱
D1 10T1 DmJ211811
平均值 平均值
金属圆筒
D内 10T2
822mJ（DD22外内）
=
平均值
D外
平均值
平均值
实
心
球 D3 10T3 DmJ2331013
平均值 平均值
金属细杆 L 10T4 lmJ241214=
平均值 平均值 TTJ2021124K N•m
2.验证转动惯量的平行轴定理
其中：细杆夹具转动惯量m1024kg230.0J•
球支座转动惯量J=0.178m1024kg•
两个滑块绕绕通过质心轴的转动惯量m10m10J24245kg812.0kg406.02
单个滑块质量m=239.7g。
[注意事项]
1. 弹簧的扭转系数K不是固定常数，与摆动的角度有关，但在40度-90度间基本相同。因此为了减少摆角变化带来得系统误差，在测量过程中，摆角不宜过小，且各次测量时的摆角应基本相当，整个实验中摆角应基本保持在这一范围内。
2. 光电探头应放置在挡光杆的平衡位置处，且不能相互接触，以免增加摩擦力矩。
3. 在使用过程中，基座应保持水平状态。
4. 载物盘必须插入转轴，并将螺丝旋紧，使它与弹簧组成固定的系统。如果发现摆动数次之后摆角明显减小或停下，应将止动螺丝旋紧。
[思考题]
1. 刚体的转动惯量与哪些因素有关？说“一个确定的刚体有确定的转动惯量”，这句话对吗？为什么？
2. 在测定摆动周期时，光电探头应放置在挡光杆平衡位置处，为什么？
3. 在实验中，对于结构相当复杂的、由三部分组成的刚体，若已知各部分相对转轴的摆动周期为T1、T2、T3，则其组成的刚体相对转轴的摆动周期T是多少？
4. 在实验中，为什么称量球和细杆的质量时，必须将安装夹具取下？为什么它们的转动惯量在计算中可以不考虑？
5. 数字式记时仪的仪器误差为0.01s，实验中为什么要测量10T的时间。 X（cm） 5.00 10.00 15.00 20.0 25.00
摆动5个周期的时间（s）
摆动周期T（s）
实验值)kg(m1024•T224KJ
理论值)kg(m1024•
JxJ524m2J
百分误差
