尺规作图角平分线

课题：基本作图（二）-----角平分线及其性质

教学重点：角平分线的尺规作图、性质定理及它们的应用。

教学难点：理解角平分线尺规作图的依据，以及角平分线性质定理的应用；

教学目标：

1．知识与技能：掌握角平分线的尺规作图方法及角平分线的性质定理，并用它们解决相关问题；

2．过程与方法：学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。

3．情感与态度：经过对角的平分线的性质的探索与形成的过程，发展应用数学知识的意识与能力，养成良好的学习态度和严谨的科学态度。

教学过程：

实际问题引入：若要在S区建一个瞭望塔，安排人员进行环境监测，要求瞭望塔到三条公路的距离都相等，请问瞭望塔应建于何处？

预设一：学生想到作高线，找交点。

预设二：学生想到作中线，找交点。

预设三：学生想到作角平分线，找交点。

（在此情况下，学生分组进行画图实验，之后比较，猜想哪种做法是有可能正确的，之后引出作角平分线的方法，既然作角平分线的方法有可能，那就研究标准的作角平分线的的方法，研究猜想是否正确。） S公路公路公路CBA【活动一】作角平分线。

（一）提出问题：你能自己想办法做出一个角的角平分线吗？

（学生自己考虑解决问题的方法）

预设一：学生估计角度的大小，直接画出近似的角平分线；

预设二：学生用折纸的方法完成；

预设三：学生用量角器度量功能完成；

预设四：学生用直尺量出AO=BO,联结AB，确定AB中点C，之后作射线OC;

预设五：学生用直尺量出AO=BO,分别过A,B作OA,OB的垂线，两条垂线相交于点C，之后作射线OC;

预设六：学生思考到尺规作图的方法，但是不能准确叙述或者是完成；

预设七：学生可以用尺规作图的方法完成。

如果学生出现预设中的一、二、三、四、五情形的时候，老师适时提出：预设一不准确，预设二相对准确些，但是不便于操作，预设三、四、五，这时可以提问：如果我们没有刻度尺，没有半圆仪这些带刻度的工具，我们能不能考虑其他方法解决这个问题呢？如何做呢？

尺规作图把一个角三等分

如何把一个角用尺规作图的方法三等分是大多数数学教师的一个难题，下面的方法可能对你有所启发：

１、 画任意角MON

２、 在ＯＭ上任取一点Ａ，过点Ａ作ＡＢＯＮ交ＯＮ于点Ｂ，作ＡＥ∥ＯＮ。

O N （１）

Ｅ Ｍ

Ａ

Ｏ Ｂ Ｎ

（２） M

３、 用圆规量取ＯＡ，然后在直尺上截取２ＯＡ，并在直尺上标记。

４、 把标记好的直尺放在图（２）上，让直尺的一边始终经过点Ｏ，经过适当的滑动调整，使点Ｆ于ＡＢ相交于点Ｃ，点Ｈ与ＡＥ相交于点Ｄ，即ＯＤ＝２ＯＡ。画射线ＯＤ。

即射线ＯＤ就是MON的三等分线。

Ｅ Ｍ

Ａ

Ｏ Ｂ Ｎ

（3） Ｐ

Ｃ Ｄ Ｆ Ｈ ２ＯＡ

ＭＯＮ的三等分线ＯＤ是ＭＯＮＰＯＮＰＯＮＡＯＰＰＯＮＡＰＯ即ＰＤＡＰＯＮ＝ＯＮＡＥ又ＰＤＡＡＰＯ　ＰＤＡＰＡＤＰＤＡＰ又ＡＰＯＡＯＰ＝ＡＰ＝ＯＡＣＤ＝２ＯＡ又ＣＤ＝ＰＤ２１ＡＰ＝中，点Ｐ是ＣＤ的中点在ＲＡＢＮ＝９０ＢＡＤ＝　ＯＮ　ＡＥＤ的中点Ｐ，连接ＡＰ证明：尺规作图找到Ｃ31222／／CADt／／

角平分线尺规作图

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。

尺规作图做一个角的角平分线按照以下步骤：

1、先在纸上画一个角∠AOB，这个角是作为要被平分的角。

2、以任意长度为半径，顶点为圆心画圆弧，交角两边于C、D。

3、然后以C为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧。

4、接着以D为圆心，同3步骤一样以长度为半径用圆规画圆弧。

5、最后两圆弧交于E点。

6、连接顶点O和E，OE即为角平分线。

在三角形中的定义。

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。 由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。 由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。

解题技巧与方法　

◎栾鹤臣（黑龙江省朗乡林区基层法院，黑龙江铁力１５２５１９）　

【摘要】用已被三等分一角的三角形，通过平行投影与　

求解的任意角所在的三角形重合，三等分任意角．　

【关键词】平面；旋转；立体；投影；重合　

一、作图方法　

１．用直尺作一任意　Ｏ，以点０为圆心，以任意长为半　

径，用圆规作一圆，交　０的两边为Ａ、Ｂ（图１，平面图），　

／－ＡＯＢ为求解三等分的任意角．　

图２　

６．在ＡＡＢＣ中，过ＡＣ上的Ｄ、Ｅ两点分别作ＢＣ的两条　

平行线，交ＡＢ上Ｇ、Ｆ两点．　

７．连接ＯＦ、ＯＧ，所得ＬＡＯＦ（　１　）＝　ＦＯＧ（　２　）＝　

／－ＧＯＢ（／＿３　）．ＯＧ、ＯＦ为任意ＬＡＯＢ三等分线，任意角被三　

等分．　

二、证明（解题原理）　

１．以图１中的ＡＯ为轴，将已三等分一角的ＡＡＯＣ向　

ＡＡＯＢ方向旋转任意角度Ｏｔ（１８０。＞Ｏｔ＞０。），连接ＢＣ，即形　成立体三角锥体（图３，立体图）　

图３　２．沿ＣＢ方向作ＡＡＯＣ的平行投影，ＡＡＯＢ所在的平面　

作为投影面．　

因沿直线ＣＢ方向作平行投影，所以点Ｃ的投影与点Ｂ　

重合，线段ＯＣ的投影与ＯＢ重合、相等，线段ＡＣ的投影与　

ＡＢ重合、相等．　

又因ＡＯ为ＡＡＯＢ与ＡＡＯＣ的公共边，且在投影面上，　所以ＡＡＯＣ的平行投影与ＡＡＯＢ重合、相等（三条边相　

等的两个三角形相等）．　

３．三等分线ＯＤ、ＯＥ的平行投影．即过线段ＡＣ上的Ｄ、　

Ｅ两点作ＢＣ的两条平行线（投影线），交ＡＢ上两点Ｇ　、Ｆ　．　

连接ＯＦ　、ＯＧ　，得／－１　、　２　、／－３　．ＯＦ　、ＯＧ　为ＯＥ、ＯＤ的平　

行投影．因／－１　、　２　、Ｌ３　为三等分／－ＡＯＣ中的　１、　２、　

Ｌ３在任意／－ＡＯＢ上的平行投影，原角与投影角的关系是被　

放大或缩小，故对应的角应成比例．所以　１：　１　＝／－２：　

２　＝　３：　３　．因　１＝／＿２＝　３，所以　１　＝Ｌ２　＝　３　，　

任意角被三等分．ＯＦ　、ＯＧ　为任意角的三等分线．