伸缩变换

函数()yfx=图像的平移变换与伸缩变换

在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数y=Asin(x+)+m(A0, 0)wjw构的图像是由sinyx=的图像怎样变换得来的，这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时，也要增加函数()yfx=的图像变换的内容。三角函数也属于函数，因此一般函数()yfx=的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。

大家知道，sinyx=的图像向上(下)平移10个单位，可得到10sinyx-=(10sinyx+=)，即sin10yx=+(sin10yx=-)的图像；sinyx=的图像向右(左)平移10，可得到sin()10yxp=-(sin()10yxp=+)的图像；sinyx=的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12)，可得到1sin2yx=(sin2yx=)的图像；sinyx=的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13)，可得到1sin3yx=(3sinyx=)，即3sinyx=(1sin3yx=)的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反映出来。表格为

变换内容 解析式的相应变化

向右平移110 10xxp?

向左平移110 10xxp?

向下平移10 10yy?

向上平移10 10yy?

横向伸长至原2倍 12xx®

横向缩短至原12 2xx®

纵向伸长至原3倍 13yy®

纵向缩短至原13 3yy®

从上面的表格，我们可以感到平移变换和伸缩变换有如下特点：

左加右减，下加上减；横向变换变x，纵向变换变y；各种变换均在x、y头上直接变；x、y的变化总与我们的感觉相反。例如，向左或向右平移、横向伸长或横向缩短时变化的均为x；向上平移或向下平移、纵向伸长或纵向缩短时变化的均为y；从这可以看出横向变换变x，纵向变换变y。向右平移110时，我们感觉图像上的每个点的横坐标应增加110，但x的变化却为把x变为10xp-；横向伸长至原来的2倍时，我们感觉每个点的横坐标应变为原来的2倍，但实际上x的变化却为把x变为12x；从这可看出x、y的变化总与我们的感觉相反。从上面的解析式的相应变化中可看到，x、y的变化均是直接把x或y变成多少，其余一律照抄下来。例如，sin(2)3yxp=+的图像向右平移2个单位，应得到sin[2(2)]3yxp=-+的图像，而不是sin(22)3yxp=-+；sin(2)3yxp=+的图像横向伸长至原来的3倍，应得到1sin(2)33yxp=?，即2sin()33yxp=+的图像，而不是1sin[(2)]33yxp=+的图像，这就体现了各种变换均在x、y头上直接变。

二次函数的平移与伸缩变换

二次函数是高中数学中的一个重要内容，通过平移与伸缩变换，可以对二次函数的图像进行调整和改变。本文将重点讨论二次函数的平移与伸缩变换，并通过具体的例子来说明。

平移变换是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行移动，而不改变其形状。对于二次函数来说，平移变换可以分为水平方向和垂直方向两种。水平方向的平移变换称为横向平移，垂直方向的平移变换称为纵向平移。

横向平移变换的一般形式为：f(x) = a(x - h)^2 + k，其中h为横向平移量，表示将函数图像沿x轴方向平移的距离。当h>0时，图像向右平移h个单位；当h<0时，图像向左平移|h|个单位。

纵向平移变换的一般形式为：f(x) = a(x - h)^2 + k，其中k为纵向平移量，表示将函数图像沿y轴方向平移的距离。当k>0时，图像向上平移k个单位；当k<0时，图像向下平移|k|个单位。

举个例子来说明平移变换的具体过程。考虑函数f(x) = x^2，如果要将函数图像向右平移2个单位，则可以将函数改写为f(x) = (x - 2)^2。这样，原本的二次函数图像将在坐标轴上整体右移2个单位。

接下来是伸缩变换。伸缩变换是指改变函数图像的形状，使得图像变得更瘦长或更宽扁。对于二次函数来说，伸缩变换可以分为水平方向和垂直方向两种。水平方向的伸缩变换称为横向伸缩，垂直方向的伸缩变换称为纵向伸缩。 横向伸缩变换的一般形式为：f(x) = a(x - h)^2 + k，其中a为伸缩因子，表示将函数图像在x轴方向上压缩或拉长的程度。当|a| > 1时，图像在x轴方向上被压缩；当|a| < 1时，图像在x轴方向上被拉长。

纵向伸缩变换的一般形式为：f(x) = a(x - h)^2 + k，其中a为伸缩因子，表示将函数图像在y轴方向上压缩或拉长的程度。当|a| > 1时，图像在y轴方向上被压缩；当|a| < 1时，图像在y轴方向上被拉长。

第1页共3页

三角函数的平移及伸缩变换

一、单选题(共8道，每道12分)

1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( )

A.B.

C.D.

2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y＝f(x)的表达式时( )

A.B.

C.D.

3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( )

A.2 B.3

C.4 D.5

4.已知函数的最小正周期为，将的图象向第2页共3页 左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( )

A.B.

C.D.

5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( )

A.1 B.2

C.3 D.4

6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( )

A.π B.

C.D.

7.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将f(x)的图象(

)

第3页共3页 A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

8.将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是(

)

A.B.

C.D.

函数)sin(Axy的图像

（1）物理意义：sin()yAx（A＞0，ω＞0），x∈[0,+ ∞）表示一个振动量时，A称为振幅，T = 2，1fT称为频率，x称为相位，称为初相。

（2）函数sin()yAxk的图像与sinyx图像间的关系：

① 函数sinyx的图像纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移||个单位得sinyx的图像；

② 函数sinyx图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到函数sinyx的图像；

③ 函数sinyx图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数sin()yAx的图像；

④ 函数sin()yAx图像的横坐标不变，纵坐标向上（0k）或向下（0k），得到sinyAxk的图像。

要特别注意，若由sinyx得到sinyx的图像，则向左或向右平移应平移||个单位。

对)sin(xy图像的影响

一般地，函数)sin(xy的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____(当>0时)或向______(当<0时)平移个单位长度得到的

注意：左右平移时可以简述成“______________”

对xysin图像的影响

函数xysin)10(且Rx，的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(或_______)10(到原来的1倍（纵坐标不变）。

A对xysinA的影响 函数xysinA，)1A0A(且Rx的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的纵坐标_______)1A(或_______)1A0(到原来的A倍得到的

由xysin到)sin(Axy的图像变换

先平移后伸缩：

先伸缩后平移：